2. Objetivos da aula
• Princípio Fundamental da Contagem
• Arranjo Simples
• Permutações: simples e com repetição
• Combinação simples
3. Princípio Fundamental da
Contagem
Vamos imaginar o caso de uma montadora
de carros que dispõe de 5 cores (preto,
vinho, azul, vermelho e prata) para fabricar
3 modelos de carros diferentes (Sapoti, Figo
e Amora).
Para saber quantos tipos de carros
diferentes podem ser fabricados, basta
cruzar cada cor, com cada tipo de carro.
Usando o esquema a seguir fica mais fácil!
9. Fatorial de um número
natural
Representamos o fatorial de um
número colocando um ponto de
exclamação depois desse número (n!)
Exemplos:
4! 7! 20!
10. Cálculo do Fatorial
O fatorial de um número natural n é
dado pelo seguinte produto:
n! = n . (n-1) . (n-2) . (n-3). ... . 2.1
Exemplos:
• 4! = 4.3.2.1 = 24
• 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1= 3628800
14. Tente fazer sozinho
3) (UEMG) Simplificando a expressão
, obtemos:( )
( )!2
!1!
+
++
n
nn
111
1
)
1
)
−+−− n
n
d)
n
n
c)
n
b
n
n
a
15. Solução
Letra D
( )
( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( )( ) 1
1
!12
2!
!12
2!
!12
11!
!12
!1!
!2
!1!
+
=
++
+
=
++
+
=
++
++
=
++
++
=
+
++
nnnn
nn
nnn
nn
nnn
nn
nnn
nnn
n
nn
16. Arranjo Simples
O arranjo simples acontece quando
fazemos qualquer agrupamento com todos
ou alguns elementos de um conjunto, cuja
ordem dos elementos é considerada.
Exemplo: Quantos números de 3 algarismos
distintos podemos formar com os algarismos
2, 3, 4, 5 e 6.
= 60 números
5 4 3
17. Sendo:
n número total de elementos do conjunto
p quantidade de algarismos pedida
( )!
!
pn
n
A
p
n
−
=
( )
60
!3
!3.4.5.6
!3
!6
!36
!63
6
===
−
=A
Também podemos usar a fórmula de
arranjo simples:
19. Tente fazer sozinho
4) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
e 9.
a)Quantos números de 3 algarismos distintos
podemos escrever?
b)Quantos números de 4 algarismos distintos
que terminem com 7 podemos escrever?
c) Quantos números de 7 algarismos distintos
que iniciem com 3 e terminem com 8
podemos escrever?
20. Tente fazer sozinho
4) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
e 9.
a) Quantos números de 3 algarismos distintos
podemos escrever?
b) Quantos números de 4 algarismos distintos
que terminem com 7 podemos escrever?
c) Quantos números de 7 algarismos distintos
que iniciem com 3 e terminem com 8
podemos escrever?
22. Permutação
A permutação é um caso particular do
arranjo simples, pois acontece quando
agrupamos todos os elementos do conjunto
dado.
Exemplo: dados 1, 2, 3, 4, 5, se queremos
formar números de 3 algarismos, temos um
caso de arranjo. Se queremos formar
números de 5 algarismos, temos um caso de
arranjo, particularmente, a permutação.
23. Permutação Simples
A permutação simples acontece quando
fazemos qualquer agrupamento com todos
os elementos de um conjunto.
Exemplo:
A palavra AMOR apresenta 4 letras e com
elas, podemos formar alguns anagramas:
ROMA – MORA – ROAM - ARMO
24. Permutação Simples
Para calcular o número total de
anagramas, podemos seguir o seguinte
raciocínio:
= 24
Também podemos usar a fórmula de
permutação simples: Pn = n!
P4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
4 3 2 1
25. Tente fazer sozinho
5) (UF Pel. – RS Adaptado) Tomando como
base a palavra UFPEL, resolva as
seguintes questões:
a)Quantos anagramas podemos formar?
b)Quantos anagramas podemos formar, de
modo que comece e termine com vogal?
c)Quantos anagramas podemos formar, de
modo que as letras UF apareçam sempre
juntas?
26. Tente fazer sozinho
5) (UF Pel. – RS Adaptado) Tomando como
base a palavra UFPEL, resolva as
seguintes questões:
a)Quantos anagramas podemos formar?
b)Quantos anagramas podemos formar, de
modo que comece e termine com vogal?
c)Quantos anagramas podemos formar, de
modo que as letras UF apareçam sempre
juntas?
27. Solução
a) = 120
b) = 12
c) = 6 ; 6 .4 = 24
= 2 ;
2 x 24 = 48
1 3 2 1
4 3 2 15
3 2 1 12
UF
2 1
28. Tente fazer sozinho
6) (UNIRIO) Uma família formada por 3 adultos
e 2 crianças vai viajar, sendo 2 na frente e 3
atrás. Sabendo-se que apenas 2 pessoas
podem dirigir e que as crianças devem ir atrás
e na janela, o número total de maneiras
diferentes através das quais estas 5 pessoas
podem ser posicionadas, não permitindo as
crianças irem no colo de ninguém, é igual a:
a) 120 b) 96 c) 48 d) 24 e) 8
29. Tente fazer sozinho
6) (UNIRIO) Uma família formada por 3 adultos
e 2 crianças vai viajar, sendo 2 na frente e 3
atrás. Sabendo-se que apenas 2 pessoas
podem dirigir e que as crianças devem ir atrás
e na janela, o número total de maneiras
diferentes através das quais estas 5 pessoas
podem ser posicionadas, não permitindo as
crianças irem no colo de ninguém, é igual a:
a) 120 b) 96 c) 48 d) 24 e) 8
30. Solução
= 82 2 2 1 1
bancos
da frente
bancos
de trás
janelas
carona
motorista
31. Permutação com Repetição
Caso o conjunto dado apresente
elementos repetidos, usaremos a seguinte
fórmula:
Sendo:
n o número total de elementos
α, β, γ número que indica a quantidades
de elementos repetidos de cada tipo.
!!!
!,,
γβα
γβα n
Pn
=
32. Permutação com Repetição
Exemplo: A palavra ARARAQUARA apresenta
um total de 10 letras, sendo 5A, 3R, 1Q e 1U
5040
2.3!5
!5.6.7.8.9.10
2.3!5
!5.6.7.8.9.10
!3!5
!103,5
10
=
===P
37. Arranjo
Simples
Definição
Fórmula
Agrupamento de pelo menos 2 elementos
Importa a ordem
Permutação
Definição
Tipos
Com
repetição
simples
Agrupamento de todos
elementos dados
P!
Caso
Particular
característica
( )!
!
pn
n
A
p
n
−
=
!!!
!,,
γβα
γβα n
Pn
=
38. Combinação Simples
A combinação simples acontece
quando agrupamos uma quantidade p de
elementos de um conjunto com n elementos,
sem importar a ordem que esses elementos
são escolhidos.
Exemplo: Se devemos sortear 3 pessoas
dentre as 5 que se candidataram a uma
viagem, não importa a ordem que as 3 serão
escolhidas, pois todas as 3 irão da mesma
forma.
39. Combinação Simples
Para resolver problemas que ocorrem a
combinação simples, usaremos a fórmula:
Exemplo: Se devemos sortear 3 pessoas
dentre 5.
( )!!
!
pnp
n
C
p
n
−
=
( )
10
2!3
!3.4.5
2!3
!3.4.5
!2!3
!5
!35!3
!53
5
====
−
=C
40. Tente fazer sozinho
8) (UERJ)Sete diferentes figuras foram criadas para
ilustrar, em grupo de 4 distintas, o Manual do
Candidato do Vestibular Estadual de 2007. Um
desses grupos está apresentado a seguir:
Considere que cada grupo de 4 figuras que
poderia ser formado é distinto de outro somente
quando pelo menos uma de suas figuras for
diferente. Nesse caso, o número total de grupos
distintos entre si que poderiam ser formados para
ilustrar o Manual do Candidato é igual a:
41. Tente fazer sozinho
8) (UERJ)Sete diferentes figuras foram criadas para
ilustrar, em grupo de 4 distintas, o Manual do
Candidato do Vestibular Estadual de 2007. Um
desses grupos está apresentado a seguir:
Considere que cada grupo de 4 figuras que
poderia ser formado é distinto de outro somente
quando pelo menos uma de suas figuras for
diferente. Nesse caso, o número total de grupos
distintos entre si que poderiam ser formados para
ilustrar o Manual do Candidato é igual a:
