Nivelación de Matemáticas
para Ingeniería

POTENCIACIÓN
LEYES Y TEORIA DE
EXPONENTES

LOGRO DE LA SESIÓN
Al finalizar la sesión de aprendizaje el alumno
aplica sin dificultad, los teoremas de potenciación en
la resolución de problemas.

ESQUEMA DE LA UNIDAD
LEYES Y TEORIA
DE EXPONENTES
POTENCIACIÓN
- DEFINICIÓN
- EXPONENTE
NATURAL
- EXPONENTE CERO
- EXPONENTE
NEGATIVO
- TEOREMAS
RADICACIÓN
- DEFINICIONES
- TEOREMAS

an =
n veces
Base
Exponente
a . a . a . … . a
Recuerda que si elevamos un número a (la base) Al exponente n,
significa que se multiplica ese número a tantas veces como indique el
exponente n.

EXPONENTE
NATURAL
;  x  R  n  Z+
EXPONENTE
CERO
x0 = 1
;  x  R – { 0 }
EXPONENTE NEGATIVO
;  x  R – {0}  n  Z+


 


 

veces
n
n
x
x
x
x
x ......
..........
.
.
.
 n
n
x
x
1


TEOREMAS DE
POTENCIACIÓN

3 2 = 3 . 3 = 9
(-3) 2 = -3 . -3 = 9
5 3 = 5 . 5 . 5 = 125
(-5) 3 = -5 . -5 . -5 = -125
x 6 = x . x . x . x . x . x = x 6
(-x) 6 = -x . -x . -x . -x . -x . -x = x 6
-x 6 = - (x . x . x . x . x . x) = - x 6
Recuerda que no se
multiplica la base por
el exponente.
Si la base es
negativa hay que
encerrarla en
paréntesis.
Si no se ve paréntesis, la base es positiva y si tuviera signo
delante, el signo no le pertenece a la base. Hay que considerarlo
como el opuesto de lo que sea el resultado de elevar la base a la
potencia indicada.

3 2 = 3 . 3 = 9
(-3) 2 = -3 . -3 = 9
5 3 = 5 . 5 . 5 = 125
(-5) 3 = -5 . -5 . -5 = -125
x 6 = x . x . x . x . x . x = x 6
(-x) 6 = -x . -x . -x . -x . -x . -x = x 6
-x 6 = - (x . x . x . x . x . x) = - x 6
Recuerda que:
 Si elevamos una base negativa a una potencia par, el resultado es
positivo.
 Si la base es negativa y el exponente es impar, el resultado es
negativo.
 Si la base es positiva el resultado es positivo siempre.

3 0 = 1
(-3) 0 = 1
135 0 = 1
(-275) 0 = 1
x 0 = 1
(-x) 0 = 1
(x2y3) 0 = 1
Cualquier número ó expresión que se eleva a la potencia cero, el
resultado es uno.
00 no está definido

3 -2 =
(-3) -2 =
2 -3 =
(-2) -3 =
1 1
=
32 9
1 1
=
(-3)2 9
1 1
=
23 8
1
x5
1
(x2y3)7
1 1
=
(-2)3 - 8
x -3
y
y
x
 x -5 =
 (x2y3) -7 =
 =
3

Si a y b son números reales distintos de cero; m y n son números
enteros, se cumple:
m.n
n
m
a
)
(a 
n
m
n
m
a
.a
a 

n
m
n
m
a
a
a 

m
m
m
.b
a
(a.b) 
m
m
m
b
a
b
a







Multiplicación de Potencias con Bases
Iguales
Potencia elevada a otra potencia
Producto elevado a una
potencia
División de Potencias con Bases
Iguales
Fracción elevada a una
potencia

a n . a m = a n + m
Al multiplicar bases iguales se suman los exponentes
Ejemplos:
4 5 . 4 2 = 4 7
x 2 . x . x 4 = x 7
x 2 . x -3 . x -1 . x 8 = x 6
x + x 3 = No se puede aplicar esta
ley ya que las potencias
no se están
multiplicando. La ley
aplica cuando tenemos
una multiplicación, no
aplica en suma.

7 5 = 75-3 = 72
73
7 5 = 7 2 = 49
7 3
7 5 = 7 0 = 1
7 5
x 3 = x
x 2
Ejemplos:
Al dividir bases iguales se restan
los exponentes.
n
m
n
m
a
a
a 
 ;  a 
0

(a . b) n = a n . b n
Ejemplos:
( x y ) 3 = x3y3
( 2 x ) 5 = 25 x5 = 32 x5
(x + y ) 2 = No se puede aplicar esta ley ya que no hay una
multiplicación, hay una suma.










2
5
3
y
Se eleva cada término de la
fracción a la misma potencia n.









2
y
x









3
2
3
y
x
2
2
y
x
9
10
y
6
9
y
x
;  b  0
𝑎
𝑏
𝑛
=
𝑎𝑛
𝑏𝑛

Ejemplos:
(x 2 ) 3 = x 6
(5 3 ) 4 = 5 12
(y 7 ) 0 = 1
Cuando se eleva una potencia a otra potencia, se multiplican los
exponentes
  mn
n
m
a
a 
)
(
{(22)3}4 = 2 2.3.4 = 224

Datos/Observaciones
1.Calcular el valor de :
𝑃 = 490,5 + 1440,5 + 360,5
𝑃 = 49 + 144 + 36
𝑃 = 7 + 12 + 6
𝑃 = 25 = 5

Datos/Observaciones
1
1
1
4
1
3
1
2
1
























Q
2. Reducir
2 3 4
9
3
Q
Q
Q
  



Datos/Observaciones
1
7 (3) 7 7
7 (7 )7 (3)7
7 (3 7 1)
7 ( 3)
3
1
3
Y y Y
y Y y
Y
Y
C
C
C

 

 
 



 

3. Si: 3x = 7y; reducir: y
x
y
x
y
x
C
7
.
3
3
.
7
7
3
7
3 1
1







Reemplazando 3x = 7y en C se tiene:

Datos/Observaciones
4. Calcular
1
2
4
9
27




A
1
2
4
1
2
4
1
( )
2
9
3 (9 )
3 9
1
3 3
27
(3 )
(3 )
(3 )
3











Datos/Observaciones
5. Una bacteria cada una hora se reproduce 4 veces más que la hora anterior. ¿Cuántas
bacterias hay al cabo de 4 horas?
Si se reproduce 4 veces más que la hora anterior, tenemos:
Inicio → 1 bacteria
1 hora → 5 bacterias
2 horas → 25 bacterias
Y así sucesivamente, encontrando que tiene un patrón basado en la potencia de 5.
En 4 horas:
54 = 625 bacterias

POTENCIACIÓN
Calcular:
(32)0,252
3

POTENCIACIÓN
Supongamos que una sustancia decae de tal modo que ½
de ella queda después de cada 1 hora. Si había 640
gramos al inicio, ¿cuánto queda después de 7 horas? y
¿cuánto queda después de n horas?
Después de 7 horas quedan 5 gramos
Después de “n” horas quedan
𝟔𝟒𝟎
𝟐𝒏 gramos