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Université de Boumerdes année 2000-2001
Faculté des sciences
Département de physique
E.M.D. 01 Mécanique Rationnelle : année 2000-2001
Durée : 01h 30mn
Exercice 01 : (03 pts)
Déterminer le moment par rapport à l’origine O de la force :
→→→→
+−−= kjiF 532 appliquée au
point A pour les cas suivants : Le vecteur position du point A est donné par :
a)
→→→→
+−= kjir 4321
; b)
→→→→
−+= kjir 10642
Déterminer dans les deux cas l’angle que fait la force avec le vecteur position :
→
r .
Exercice 02 : (09 pts)
Une plaque triangulaire homogène ABC de poids P est lié à un support fixe par l’intermédiaire
d’une articulation sphérique au point A et cylindrique au point C. On donne OA=OC=OB = a.
La plaque est maintenue en position inclinée d’un angle °= 30α par rapport au plan horizontal
(xoz) par un câble inextensible BD, accroché au point D à un mur vertical. La corde fait un angle
de °=60β avec la verticale.
Solution
Une charge de poids Q = 2P est suspendue au point
B∈(yoz).
Le centre de gravité G de la plaque est situé 1/3 de
OB à partir de O.
1. Ecrire les équations d’équilibre statique ;
2. Déterminer les réactions des liaisons aux points A
et C ainsi que la tension du câble.
BA
y
o
C
D
z
x
Exercice 03 : (08 pts)
Le système suivant est composé d’un quart de
disque homogène évidé d’un triangle rectangle.
1) Déterminer le centre d’inertie du solide en
utilisant le théorème de Guldin ;
2) Retrouver les résultats précédents par la
méthode d’intégration. (Démontrer tous les
résultats même les calculs des surfaces)
3a/4
a/4
a/2 x
y
a/2
Exercice 01 :
→→→→→→→−
→
→
−−−=










−
−
∧










−=∧=∧= kjiFrFOAOFM 12183
5
3
2
4
3
2
)/( 11
→→→→→−
→
→
=










−
−
∧










−
=∧=∧= 0
5
3
2
10
6
4
)/( 22 FrFOAOFM
→→
⇒ Fr //2
NF 16,62594 =++=
→
; Nr 38,516941 =++=
→
22,41
14,33
25
coscos 1
1
1
1111 °=⇒=
•
•
=⇒•=• →→
→→
→→→→
θθθ
rF
rF
rFrF
πθθθ =⇒=
−
=
•
•
=⇒•=• →→
→→
→→→→
2
2
2
2222 -1
76
76
coscos
rF
rF
rFrF →→
⇒ Fr //2
mais de sens
contraire.
Exercice 02 :
Nous avons OA = OB = OC = a ;
3
a
OG = ; Q = 2P ; °= 30α , °=60β
Le point )(yozB ∈ ;










→
Az
Ay
Ax
A
R
R
R
R ;










→
Cz
CyC
R
RR
0
;










−
→
β
β
sin
cos
0
T
TT ;










−
→
0
2
0
PQ ;










−
→
0
0
PP




−
0
0
a
A ;





0
0
a
C ;





α
α
cos
sin
0
a
aB ;





α
α
cos)3/(
sin)3/(
0
a
aG ⇒





→−
0
0
2a
AC ;





→−
α
α
cos
sin
a
a
a
AB ;





→−
α
α
cos)3/(
sin)3/(
a
a
a
AG
BA
y
o
C
D
z
x
G
Le système est en équilibre statique, nous avons alors :
→→
=∑ 0
i
iF ⇔
→→→→→→
=++++ 0PQTRR CA
(1)
→→−
=∑ 0/
i
AiM ⇔
→→→−→→−→→−→→−
=∧+∧+∧+∧ 0PAGQABTABRAC C
(2)
La projection de l’équation (1) sur les axes donne trois équations scalaires :
0=AxR (3)
02cos =−−++ PPTRR CyAy β (4)
0sin =−+ βTRR CzAz (5)
En développant l’équation vectorielle (2), nous obtenons trois autres équations scalaires :










=










−∧










+










−∧










+










−
∧










+










∧










0
0
0
0
0
cos)3/(
sin)3/(
0
2
0
cos
sin
sin
cos
0
cos
sin
0
0
0
2
P
a
a
a
P
a
a
a
T
T
a
a
a
R
R
a
Cz
Cy
α
α
α
α
β
β
α
α
0cos
3
cos2coscossinsin =++−− ααβαβα
aP
aPaTaT (6)
0sin2 =+− βaTaRCz (7)
02cos2 =−−+ aPaPaTaRCy β (8)
Les six équations permettent de trouver toutes les inconnues :
(3) ⇒ 0=AxR (6) ⇒ PT 32,2= ; (7) ⇒ PRCz =
(8) ⇒ PRCy 92,0= ; (5) ⇒ PRAz = ; (4) ⇒ PRAy 92,0=
d’où : PRRRR AzAyAxA 358,1222
=++= ; PRRRR CzCyCxC 358,1222
=++=
Exercice 03 :
1) Centre d’inertie par le théorème de Guldin :
16
3
4
22
aa
Stot −=
π
a
aa
aa
a
S
VV
S
V
x
tot
cônesphèredemi
tot
ytot
G 506,0
16
3
4
.2
4
3
.
2
..
3
1
.
3
4
.
2
1
.2
_
.2 22
2
3
/
=






−






−
===
−
π
π
ππ
ππ
a
aa
aa
a
S
VV
S
V
y
tot
cônesphèredemi
tot
xtot
G 479,0
16
3
4
.2
2
.
4
3
..
3
1
.
3
4
.
2
1
.2
_
.2 22
2
3
/
=






−






−
===
−
π
π
ππ
ππ
1) Centre d’inertie par les intégrales:
a) Soit S1 la surface du quart de disque :
4
.
;
2
0;0;.
22
00
11
a
drdrSardrdrds
a
π
θ
π
θθ
π
==≤≤≤≤= ∫∫
π
θθθ
π
θθ
π
π
3
4
.cos...
.
4
..cos.
.
4
.
1 2
00
2
2
0
21
1
1
1
a
dddrr
a
drdrr
a
xds
S
x
aa
S
G ==== ∫∫∫∫
π
θθθ
π
θθ
π
π
3
4
.sin...
.
4
..sin.
.
4
.
1 2
00
2
2
0
21
1
1
1
a
dddrr
a
drdrr
a
yds
S
y
aa
S
G ==== ∫∫∫∫
a) Soit S2 la surface du triangle :
dydxds .2 = ; la droite limitant le triangle a pour équation :






−= x
a
y
22
3
; où 





−= y
a
x
4
3
3
2
2
2
0
)
2
(
2
3
0
2
0
2
16
3
.
22
3
..
2
adxx
a
dydxdydxS
a
x
aa
S
=





−=== ∫∫∫∫
−
6
.
22
3
.
3
16
.
3
161 2
0
2
)
2
(
2
3
0
2
0
22
2
2
2
a
dxx
a
x
a
dyxdx
a
xds
S
x
a
x
aa
S
G =





−=== ∫∫∫∫
−
4
.
4
3
3
2
.
3
16
.
3
161 4
3
0
2
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4
3
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3
2
0
4
3
0
22
2
2
2
a
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a
y
a
dxydy
a
yds
S
y
a
y
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S
G =





−=== ∫∫∫∫
−
a
aa
aaaa
SS
xSxS
x GG
G 506,0
16
3
4
6
.
16
.3
3
4
.
4
.
..
22
22
21
2211
=
−
−
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−
−
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π
π
π
a
aa
aaaa
SS
ySyS
y GG
G 479,0
16
3
4
4
.
16
.3
3
4
.
4
.
..
22
22
21
2211
=
−
−
=
−
−
=
π
π
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  • 1. Université de Boumerdes année 2000-2001 Faculté des sciences Département de physique E.M.D. 01 Mécanique Rationnelle : année 2000-2001 Durée : 01h 30mn Exercice 01 : (03 pts) Déterminer le moment par rapport à l’origine O de la force : →→→→ +−−= kjiF 532 appliquée au point A pour les cas suivants : Le vecteur position du point A est donné par : a) →→→→ +−= kjir 4321 ; b) →→→→ −+= kjir 10642 Déterminer dans les deux cas l’angle que fait la force avec le vecteur position : → r . Exercice 02 : (09 pts) Une plaque triangulaire homogène ABC de poids P est lié à un support fixe par l’intermédiaire d’une articulation sphérique au point A et cylindrique au point C. On donne OA=OC=OB = a. La plaque est maintenue en position inclinée d’un angle °= 30α par rapport au plan horizontal (xoz) par un câble inextensible BD, accroché au point D à un mur vertical. La corde fait un angle de °=60β avec la verticale. Solution Une charge de poids Q = 2P est suspendue au point B∈(yoz). Le centre de gravité G de la plaque est situé 1/3 de OB à partir de O. 1. Ecrire les équations d’équilibre statique ; 2. Déterminer les réactions des liaisons aux points A et C ainsi que la tension du câble. BA y o C D z x Exercice 03 : (08 pts) Le système suivant est composé d’un quart de disque homogène évidé d’un triangle rectangle. 1) Déterminer le centre d’inertie du solide en utilisant le théorème de Guldin ; 2) Retrouver les résultats précédents par la méthode d’intégration. (Démontrer tous les résultats même les calculs des surfaces) 3a/4 a/4 a/2 x y a/2
  • 2. Exercice 01 : →→→→→→→− → → −−−=           − − ∧           −=∧=∧= kjiFrFOAOFM 12183 5 3 2 4 3 2 )/( 11 →→→→→− → → =           − − ∧           − =∧=∧= 0 5 3 2 10 6 4 )/( 22 FrFOAOFM →→ ⇒ Fr //2 NF 16,62594 =++= → ; Nr 38,516941 =++= → 22,41 14,33 25 coscos 1 1 1 1111 °=⇒= • • =⇒•=• →→ →→ →→→→ θθθ rF rF rFrF πθθθ =⇒= − = • • =⇒•=• →→ →→ →→→→ 2 2 2 2222 -1 76 76 coscos rF rF rFrF →→ ⇒ Fr //2 mais de sens contraire. Exercice 02 : Nous avons OA = OB = OC = a ; 3 a OG = ; Q = 2P ; °= 30α , °=60β Le point )(yozB ∈ ;           → Az Ay Ax A R R R R ;           → Cz CyC R RR 0 ;           − → β β sin cos 0 T TT ;           − → 0 2 0 PQ ;           − → 0 0 PP     − 0 0 a A ;      0 0 a C ;      α α cos sin 0 a aB ;      α α cos)3/( sin)3/( 0 a aG ⇒      →− 0 0 2a AC ;      →− α α cos sin a a a AB ;      →− α α cos)3/( sin)3/( a a a AG BA y o C D z x G
  • 3. Le système est en équilibre statique, nous avons alors : →→ =∑ 0 i iF ⇔ →→→→→→ =++++ 0PQTRR CA (1) →→− =∑ 0/ i AiM ⇔ →→→−→→−→→−→→− =∧+∧+∧+∧ 0PAGQABTABRAC C (2) La projection de l’équation (1) sur les axes donne trois équations scalaires : 0=AxR (3) 02cos =−−++ PPTRR CyAy β (4) 0sin =−+ βTRR CzAz (5) En développant l’équation vectorielle (2), nous obtenons trois autres équations scalaires :           =           −∧           +           −∧           +           − ∧           +           ∧           0 0 0 0 0 cos)3/( sin)3/( 0 2 0 cos sin sin cos 0 cos sin 0 0 0 2 P a a a P a a a T T a a a R R a Cz Cy α α α α β β α α 0cos 3 cos2coscossinsin =++−− ααβαβα aP aPaTaT (6) 0sin2 =+− βaTaRCz (7) 02cos2 =−−+ aPaPaTaRCy β (8) Les six équations permettent de trouver toutes les inconnues : (3) ⇒ 0=AxR (6) ⇒ PT 32,2= ; (7) ⇒ PRCz = (8) ⇒ PRCy 92,0= ; (5) ⇒ PRAz = ; (4) ⇒ PRAy 92,0= d’où : PRRRR AzAyAxA 358,1222 =++= ; PRRRR CzCyCxC 358,1222 =++= Exercice 03 : 1) Centre d’inertie par le théorème de Guldin : 16 3 4 22 aa Stot −= π a aa aa a S VV S V x tot cônesphèredemi tot ytot G 506,0 16 3 4 .2 4 3 . 2 .. 3 1 . 3 4 . 2 1 .2 _ .2 22 2 3 / =       −       − === − π π ππ ππ a aa aa a S VV S V y tot cônesphèredemi tot xtot G 479,0 16 3 4 .2 2 . 4 3 .. 3 1 . 3 4 . 2 1 .2 _ .2 22 2 3 / =       −       − === − π π ππ ππ
  • 4. 1) Centre d’inertie par les intégrales: a) Soit S1 la surface du quart de disque : 4 . ; 2 0;0;. 22 00 11 a drdrSardrdrds a π θ π θθ π ==≤≤≤≤= ∫∫ π θθθ π θθ π π 3 4 .cos... . 4 ..cos. . 4 . 1 2 00 2 2 0 21 1 1 1 a dddrr a drdrr a xds S x aa S G ==== ∫∫∫∫ π θθθ π θθ π π 3 4 .sin... . 4 ..sin. . 4 . 1 2 00 2 2 0 21 1 1 1 a dddrr a drdrr a yds S y aa S G ==== ∫∫∫∫ a) Soit S2 la surface du triangle : dydxds .2 = ; la droite limitant le triangle a pour équation :       −= x a y 22 3 ; où       −= y a x 4 3 3 2 2 2 0 ) 2 ( 2 3 0 2 0 2 16 3 . 22 3 .. 2 adxx a dydxdydxS a x aa S =      −=== ∫∫∫∫ − 6 . 22 3 . 3 16 . 3 161 2 0 2 ) 2 ( 2 3 0 2 0 22 2 2 2 a dxx a x a dyxdx a xds S x a x aa S G =      −=== ∫∫∫∫ − 4 . 4 3 3 2 . 3 16 . 3 161 4 3 0 2 ) 4 3 ( 3 2 0 4 3 0 22 2 2 2 a dyy a y a dxydy a yds S y a y aa S G =      −=== ∫∫∫∫ − a aa aaaa SS xSxS x GG G 506,0 16 3 4 6 . 16 .3 3 4 . 4 . .. 22 22 21 2211 = − − = − − = π π π a aa aaaa SS ySyS y GG G 479,0 16 3 4 4 . 16 .3 3 4 . 4 . .. 22 22 21 2211 = − − = − − = π π π