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Cours de Math´ematiques
Compl´ements de calcul int´egral
Sommaire
Compl´ements de calcul int´egral
Sommaire
I Int´egrales doubles ou triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.1 Int´egrales doubles : th´eor`emes de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.2 Int´egrales doubles : Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . 2
I.3 Formule de Grien-Riemann et applications . . . . . . . . . . . . . . . . 3
I.4 Int´egrales triples : Th´eor`emes de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
I.5 Int´egrales triples : Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . 4
II Centres et moments d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
II.1 Cas d’une plaque plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
II.2 Cas d’un solide en dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
III Int´egrales curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
III.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
III.2 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
III.3 Cas des formes exactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
IV Notions d’analyse vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
IV.1 Champs de scalaires et champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . 10
IV.2 Circulation et gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
IV.3 Divergence et rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
IV.4 Quelques formules d’analyse vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
IV.5 Potentiels scalaires et potentiels vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
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Compl´ements de calcul int´egral
Partie I : Int´egrales doubles ou triples
I Int´egrales doubles ou triples
I.1 Int´egrales doubles : th´eor`emes de Fubini
Th´eor`eme
Soient u, v deux applications continues de [a, b] dans IR, avec u ≤ v.
Soit ∆ le compact du plan d´efini par : a ≤ x ≤ b et u(x) ≤ y ≤ v(x).
Soit f : ∆ → IR, continue.
On a l’´egalit´e :
∆
f(x, y) dx dy =
b
a
v(x)
u(x)
f(x, y) dy dx.
Th´eor`eme
Soient u, v deux applications continues de [c, d] dans IR, avec u ≤ v.
Soi ∆ le compact du plan d´efini par : c ≤ y ≤ d et u(y) ≤ x ≤ v(y).
Soit f : ∆ → IR, continue.
On a l’´egalit´e :
∆
f(x, y) dx dy =
d
c
v(y)
u(y)
f(x, y) dx dy.
Cas particuliers
– Soit ∆ le compact [a, b] × [c, d]. Soit f : ∆ → IR, continue.
On a l’´egalit´e :
∆
f(x, y) dx dy =
d
c
b
a
f(x, y) dx dy =
b
a
d
c
f(x, y) dy dx.
– Supposons notamment que f(x, y) ≡ ϕ(x)ψ(y), o`u ϕ et ψ sont continues.
Alors on a l’´egalit´e :
∆
f(x, y) dx dy =
b
a
ϕ(x) dx
d
c
ψ(y) dy.
I.2 Int´egrales doubles : Changement de variables
Proposition
Soit f une application continue sur le compact ∆, inclus dans l’ouvert V .
Soient D un compact inclus dans l’ouvert U et ϕ : U → V de classe C1
telle que ϕ(D) = ∆.
On suppose que ϕ est injective ou sinon que l’ensemble des points de ∆ qui ont plusieurs
ant´ec´edents a une aire nulle.
On note (u, v) → ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v)) ce changement de variables.
Soit J(u, v) =
D(x, y)
D(u, v)
le jacobien de ϕ en un point quelconque de U.
Alors on a l’´egalit´e :
∆
f(x, y) dx dy =
D
f(x(u, v), y(u, v))
D(x, y)
D(u, v)
du dv
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Compl´ements de calcul int´egral
Partie I : Int´egrales doubles ou triples
Passage en coordonn´ees polaires
La formule s’´ecrit :
∆
f(x, y) dx dy =
D
f(ρ cos θ, ρ sin θ) ρ dρ dθ
I.3 Formule de Grien-Riemann et applications
Proposition
Soit ∆ un compact de IR2
, de fronti`ere δ. On suppose que δ est sans point double, et orient´ee
dans le sens positif : si on suit cette fronti`ere orient´ee, on laisse ∆ sur sa gauche.
Soit ω = P dx + Q dy une forme diff´erentielle de classe C1
sur un ouvert U contenant ∆.
Alors
δ
ω =
δ
P(x, y) dx + Q(x, y) dy =
∆
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
dx dy.
Cons´equences
– Aires planes se ramenant `a des int´egrales curvilignes
Avec les notations ci-dessus, l’aire A(∆) de ∆ s’obtient par :
A(∆) =
δ
x dy = −
δ
y dx =
1
2 δ
(x dy − y dx)
– Calcul des aires de domaines d´efinis en coordonn´ees polaires
Soit ∆ le domaine du plan limit´e par les demi-droites issues de O d’angles polaires θ1 ≤ θ2,
et par la courbe d’´equation ρ = ρ(θ) ≥ 0.
Alors l’aire de ∆ s’´ecrit : A(∆) =
1
2
θ2
θ1
ρ2
(θ) dθ.
I.4 Int´egrales triples : Th´eor`emes de Fubini
Th´eor`eme
Soit D un compact de IR2
et u, v deux applications continues de D dans IR.
Soit ∆ le compact de IR3
d´efini par : (x, y) ∈ D, u(x, y) ≤ z ≤ v(x, y).
Soit f une application continue d´efinie sur ∆, `a valeurs r´eelles.
Alors on a l’´egalit´e :
∆
f(x, y, z) dx dy dz =
D u(x,y)
v(x, y)f(x, y, z) dz dx dy
Th´eor`eme
Soit ∆ un compact de IR3
limit´e inf´erieurement par z = a et sup´erieurement par z = b.
Pour tout z de [a, b] soit Dz = {(x, y) ∈ IR2
, (x, y, z) ∈ ∆}.
Soit f une application continue d´efinie sur ∆, `a valeurs r´eelles.
Alors on a l’´egalit´e :
∆
f(x, y, z) dx dy dz =
c
a Dz
f(x, y, z) dx dy dz
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Compl´ements de calcul int´egral
Partie I : Int´egrales doubles ou triples
Cas particuliers
– Soit ∆ le compact de IR3
d´efini par ∆ = [p, q] × [r, s] × [t, u].
Alors, par exemple :
∆
f(x, y, z) dx dy dz =
u
t
s
r
q
p
f(x, y, z) dx dy dz.
– En particulier, si f(x, y, z) ≡ ϕ(x)ψ(y)ξ(z), o`u ϕ, ψ, ξ sont continues :
∆
f(x, y, z) dx dy dz =
q
p
ϕ(x) dx
s
r
ψ(y) dy
u
t
ξ(z) dz.
I.5 Int´egrales triples : Changement de variables
Proposition
Soit f une application continue sur le compact ∆, inclus dans l’ouvert V .
Soient D un compact inclus dans l’ouvert U et ϕ : U → V de classe C1
, telle que ϕ(D) = ∆.
On suppose que ϕ est injective ou sinon que l’ensemble des points de ∆ qui ont plusieurs
ant´ec´edents a un volume nul.
On note (u, v, w) → ϕ(u, v, w) = (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)).
Soit J(u, v, w) =
D(x, y, z)
D(u, v, w)
le jacobien de ϕ en un point quelconque de U.
Alors on a l’´egalit´e :
∆
f(x, y, z) dx dy dz =
D
f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))
D(x, y, z)
D(u, v, w)
du dv dw
Exemples
– Passage en coordonn´ees cylindriques
La formule s’´ecrit :
∆
f(x, y, z) dx dy dz =
D
f(ρ cos θ, ρ sin θ, z) ρ dρ dθ dz.
– Passage en coordonn´ees sph´eriques
Avec x = r cos θ sin ϕ, y = r sin θ sin ϕ, et z = r cos ϕ, o`u θ d´esigne la longitude et ϕ la
colatitude, et en notant g l’application d´efinie par g(r, θ, ϕ) = f(x, y, z), la formule devient :
∆
f(x, y, z) dx dy dz =
D
g(r, θ, ϕ) r2
sin ϕ dr dθ dϕ.
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Compl´ements de calcul int´egral
Partie II : Centres et moments d’inertie
II Centres et moments d’inertie
II.1 Cas d’une plaque plane
On d´efinit ici les ´el´ements d’inertie d’une plaque du plan Oxy limit´ee par un compact D, et
“recouverte” d’une densit´e surfacique µ(x, y) ≥ 0.
D´efinition
La masse d’une plaque plane est l’int´egrale de sa densit´e : m(D) = µ(x, y) dx dy.
Remarque
On suppose que la plaque est homog`ene, c’est-`a-dire recouverte d’une densit´e constante µ.
Alors m(D) = µA(D), o`u A(D) = dx dy est l’aire de D.
D´efinition
Le centre d’inertie G de la plaque D est d´efini par
−→
OG =
1
m(D) D
−→
0Mµ(x, y) dx dy, o`u
M = (x, y) est un point parcourant D et o`u m(D) est la masse de la plaque D.
Remarques
– Si D est homog`ene alors
−→
OG =
1
A(D) D
−→
0M dx dy o`u A(D) est l’aire de la plaque D.
– Les coordonn´ees de G s’obtiennent par projection :
xG =
1
m(D) D
xµ(x, y) dx dy, et yG =
1
m(D) D
yµ(x, y) dx dy.
Et dans le cas d’une plaque homog`ene :
xG =
1
A(D) D
x dx dy, et yG =
1
A(D) D
y dx dy.
– Des consid´erations de sym´etrie peuvent souvent faciliter le calcul des coordonn´ees de G.
D´efinition
Soit D un compact du plan. On d´esigne ici par Γ un point ou une droite du plan.
Le moment d’inertie de D par rapport `a Γ est IΓ =
D
d(M, Γ)2
µ(x, y) dx dy, o`u d(M, Γ)
est la distance du point courant M(x, y) de D `a Γ.
Remarques et exemples
– Les moments d’inertie sont homog`enes au produit d’une masse par le carr´e d’une distance.
– Le moment d’inertie de D par rapport `a l’axe Ox est I0x =
D
y2
µ(x, y) dx dy.
– Le moment d’inertie de D par rapport `a l’axe Oy est IOy =
D
x2
µ(x, y) dx dy.
– Le moment d’inertie de D par rapport `a O est IO =
D
(x2
+ y2
)µ(x, y) dx dy = I0x + I0y.
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Compl´ements de calcul int´egral
Partie II : Centres et moments d’inertie
II.2 Cas d’un solide en dimension 3
On d´efinit ici les ´el´ements d’inertie d’un solide de l’espace Oxy limit´e par un compact D, et
muni d’une densit´e volumique µ(x, y, z) ≥ 0.
D´efinition
La masse du solide D est l’int´egrale de sa densit´e : m(D) =
D
µ(x, y, z) dx dy dz.
Remarque
Supposons que le solide D soit homog`ene, c’est-`a-dire de densit´e constante µ.
Alors la masse de D est m(D) = µV (D), o`u V (D) =
D
dx dy dz est le volume de D.
D´efinition
Le centre d’inertie du solide D est le point G d´efini par :
−→
OG =
1
m(D) D
−→
0Mµ(x, y, z) dx dy dz.
Remarques
– Si D est homog`ene alors
−→
OG =
1
V (D) D
−→
0M dx dy dz o`u V (D) est le volume de D.
– Les coordonn´ees de G s’obtiennent par projection :
xG =
1
m(D) D
xµ(x, y, z) dx dy dz, yG =
1
m(D) D
yµ(x, y, z) dx dy dz
et zG =
1
m(D) D
zµ(x, y, z) dx dy dz.
– Dans le cas d’une plaque homog`ene :
xG =
1
A(D) D
x dx dy dz yG =
1
A(D) D
y dx dy dz
zG =
1
A(D) D
z dx dy dz
– Des consid´erations de sym´etries peuvent souvent faciliter le calcul des coordonn´ees de G.
D´efinition
On d´esigne ici par Γ un point, une droite ou un plan de l’espace.
Le moment d’inertie de D par rapport `a Γ est IΓ =
D
d(M, Γ)2
µ(x, y, z) dx dy dz, o`u
d(M, Γ) est la distance du point courant M(x, y, z) de D `a Γ.
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Compl´ements de calcul int´egral
Partie II : Centres et moments d’inertie
Remarques et exemples
– Les moments d’inertie sont homog`enes au produit d’une masse par le carr´e d’une distance.
– Le moment d’inertie de D par rapport au plan Oxy est I0xy =
D
z2
µ(x, y, z) dx dy dz.
– Le moment d’inertie par rapport au plan Oxz est I0xz =
D
y2
µ(x, y, z) dx dy dz.
– Le moment d’inertie par rapport au plan Oyz est I0yz =
D
x2
µ(x, y, z) dx dy dz.
– Le moment d’inertie par rapport `a l’axe Ox est I0x =
D
(y2
+ z2
)µ(x, y, z) dx dy dz.
On constate que IOx = IOxy + IOxz.
– Le moment d’inertie par rapport `a l’origine est I0 =
D
(x2
+ y2
+ z2
)µ(x, y, z) dx dy dz.
On constate que I0 = IOxy + IOxz + IOyz.
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Partie III : Int´egrales curvilignes
III Int´egrales curvilignes
III.1 Rappels
– On consid`ere ici l’espace affine euclidien E3 de dimension 3, identifi´e `a IR3
par le choix d’un
rep`ere orthonorm´e. Un point M de E3 est identifi´e au triplet (x, y, z) de ses coordonn´ees.
– Un arc param´etr´e (I, ϕ) est la donn´ee d’un intervalle I et d’une application ϕ : I ⊂ IR → E3.
– L’image de t est not´ee M(t). C’est le “point de param`etre t”.
On notera x(t), y(t), z(t) les coordonn´ees de M(t).
– L’ensemble des points M(t), quand t parcourt l’intervalle I, est appel´e le support de l’arc.
– L’arc (I, ϕ) est dit continu (resp. de classe Ck
) si ϕ est continue (resp. de classe Ck
).
III.2 D´efinition
D´efinition
Soit γ = ([a, b], ϕ) un arc C1
de support contenu dans l’ouvert Ω.
Soit ω = P(x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz une forme diff´erentielle continue sur Ω.
Pour tout M de Ω la quantit´e ω(M) est donc une forme lin´eaire sur IR3
d´efinie par :
∀h = (α, β, γ) ∈ IR3
, ω(M)(h) = αP(M) + βQ(M) + γR(M).
On appelle int´egrale curviligne de ω le long de l’arc γ le r´eel not´e
γ
ω ´egal `a :
b
a
ω(M(t))M (t) dt =
b
a
(P(M(t)) x (t) + Q(M(t)) y (t) + R(M(t)) z (t)) dt.
Propri´et´es
– La quantit´e
γ
ω est lin´eaire par rapport `a ω.
– L’int´egrale curviligne de ω sur un arc ferm´e ne d´epend pas de l’origine choisie sur cet arc.
– On g´en´eralise facilement, par la relation de “Chasles”, la d´efinition de
γ
ω au cas d’un arc
γ = (I, ϕ) o`u ϕ est continue sur I et seulement C1
par morceaux.
III.3 Cas des formes exactes
Proposition
Soit ([a, b], ϕ) un arc C1
par morceaux de support contenu dans Ω ouvert.
Soient A = M(a) et B = M(b) l’origine et l’extr´emit´e de l’arc γ.
Soit ω = df une forme diff´erentielle exacte sur Ω, o`u f est une application de classe C1
.
Alors on a l’´egalit´e :
γ
ω = f(B) − f(A).
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Partie III : Int´egrales curvilignes
Remarques
– L’int´egrale curviligne d’une forme diff´erentielle ω exacte sur un arc param´etr´e ne d´epend que
des extr´emit´es de l’arc et est ´egale `a l’accroissement d’une primitive quelconque de ω.
– En particulier, si γ est un arc ferm´e alors
γ
ω = 0.
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Partie IV : Notions d’analyse vectorielle
IV Notions d’analyse vectorielle
Soit E3 l’espace affine euclidien orient´e de dimension 3, rapport´e `a un rep`ere orthonorm´e direct.
Un point M de E3 est identifi´e au triplet (x, y, z) de ses coordonn´ees.
On d´esigne par Ω un ouvert de E3.
IV.1 Champs de scalaires et champs de vecteurs
D´efinition
Un champ de scalaires sur l’ouvert Ω est une application f de Ω dans IR.
Remarques
– On dit que ce champ est continu (respectivement de classe Ck
) si l’application f qui au point
M(x, y, z) associe f(M) = f(x, y, z) est continue (respectivement de classe Ck
).
– Les surfaces d’´equations f(M) = λ sont appel´ees surfaces de niveau de f.
D´efinition
Un champ de vecteurs sur l’ouvert Ω est une application E de Ω dans IR3
.
Remarques
– Un champ de vecteurs E est d´etermin´e par trois champs de scalaires P, Q, R :
∀M(x, y, z) ∈ E3, E(M) = (P(M), Q(M), R(M)).
– Le champ E est continu (resp. de classe Ck
) ⇔ P, Q, R sont continus (resp. de classe Ck
).
– Les lignes de champ de E sont les arcs Γ tels qu’en tout point M de Γ, le vecteur E(M) soit
port´e par la tangente en M `a l’arc Γ.
IV.2 Circulation et gradient
D´efinition (Circulation d’un champ de vecteurs)
Au champ E = (P, Q, R) correspond la forme diff´erentielle ω = P dx + Q dy + R dz.
Soit γ = ([a, b], ϕ) un arc param´etr´e de support inclus dans Ω.
L’int´egrale curviligne de ω sur l’arc γ est appel´ee circulation du champ E le long de cet
arc.
Elle se note
γ
−−−→
E(M) ·
−−→
dM.
Par cons´equent :
γ
−−−→
E(M) ·
−−→
dM =
γ
ω =
b
a
(P(M) x (t) + Q(M) y (t) + R(M) z (t)) dt.
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Partie IV : Notions d’analyse vectorielle
D´efinition (Gradient d’un champ de scalaires)
Soit f un champ de scalaires sur l’ouvert Ω de E3, de classe C1
.
On appelle gradient de f le champ de vecteurs, not´e grad(f), d´efini par :
∀M(x, y, z) ∈ Ω, grad(f)(M) =
∂f
∂x
(M),
∂f
∂y
(M),
∂f
∂z
(M)
D´efinition (Champs de gradients)
On dit qu’un champ de vecteurs E = (P, Q, R) est un champ de gradients sur Ω s’il existe
un champ f de classe C1
sur Ω tel que E = grad(f).
Remarques
– Le champ de vecteurs E = (P, Q, R) est un champ de gradients ⇔ la forme diff´erentielle
w = Pdx + Qdy + Rdz est exacte.
Plus pr´ecis´ement : E = grad(f) ⇔ ω = df.
– Si E = grad(f), on dit que f est un potentiel scalaire du champ E. Les lignes de champs de
E sont les trajectoires orthogonales des surfaces de niveau de f, appel´ees ici ´equipotentielles.
– Soit E = grad(f) un champ de gradients. La circulation de E le long de l’arc param´etr´e
γ = ([a, b], ϕ) est ´egale `a f(B) − f(A), c’est-`a-dire `a l’accroissement du potentiel scalaire f.
IV.3 Divergence et rotationnel
D´efinition (Divergence d’un champ de vecteurs)
Soit E = (P, Q, R) un champ de vecteurs, de classe C1
sur l’ouvert Ω de E3.
On appelle divergence de E, et on note div(E), le champ de scalaires d´efini sur Ω par :
∀M ∈ Ω, div(E)(M) =
∂P
∂x
(M) +
∂Q
∂y
(M) +
∂R
∂z
(M).
Interpr´etation
div(E) est le produit scalaire
−→
i ·
∂E
∂x
+
−→
j ·
∂E
∂y
+
−→
k ·
∂E
∂z
.
D´efinition (Rotationnel d’un champ de vecteurs)
Soit E = (P, Q, R) un champ de vecteurs, de classe C1
sur l’ouvert Ω de E3.
On appelle rotationnel de E, le champ de vecteurs d´efini sur Ω par :
∀M ∈ Ω, rot(E)(M) =
∂R
∂y
(M) −
∂Q
∂z
(M),
∂P
∂z
(M) −
∂R
∂x
(M),
∂Q
∂x
(M) −
∂P
∂y
(M)
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Partie IV : Notions d’analyse vectorielle
Interpr´etation et notation
– rot(E) est le champ de vecteurs
−→
i ∧
−→
∂E
∂x
+
−→
j ∧
−→
∂E
∂y
+
−→
k ∧
−→
∂E
∂z
.
– Avec l’op´erateur “Nabla” :
=








∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z








, rot(E) = ∧ E =







∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z







∧





P
Q
R





=







∂R
∂y
−
∂Q
∂z
∂P
∂z
−
∂R
∂x
∂Q
∂x
−
∂P
∂y







.
D´efinition (Champs de rotationnels)
On dit qu’un champ de vecteurs E de classe C1
est un champ de rotationnels s’il existe un
champ de vecteurs continu F tel que, sur l’ouvert Ω, on ait E = rot(F).
On dit alors que E d´erive du potentiel vecteur F.
D´efinition (Laplacien d’un champ de scalaires)
Soit f un champ de scalaires, de classe C2
sur l’ouvert Ω de E3.
On appelle laplacien de f le champ de scalaires, not´e ∆f d´efini par :
∀M ∈ Ω, ∆f(M) =
∂2
f
∂x2
(M) +
∂2
f
∂y2
(M) +
∂2
f
∂z2
(M).
Remarques
– On remarque que le champ ∆f s’´ecrit ∆f = div(grad(f)).
– On dit que f est harmonique sur Ω si son laplacien ∆f est nul sur Ω.
IV.4 Quelques formules d’analyse vectorielle
– Soient f, g des champs scalaires de classe C1
sur Ω, et λ, µ ∈ IR.
Soient E, F des champs de vecteurs de classe C1
sur Ω.
On a les ´egalit´es suivantes :
grad(λf + µg) = λgrad(f) + µgrad(g)
grad(fg) = fgrad(g) + ggrad(f)
div(λE + λF) = λdiv(E) + µdiv(F)
rot(λE + µF) = λrot(E) + µrot(F)
div(fE) = fdiv(E)+ < grad(f), E >
rot(fE) = frot(E) + grad(f) ∧ E
div(E ∧ F) = < F, rot(E) > − < E, rot(F) >
– Soient f, g des champs scalaires de classe C2
sur Ω, et λ, µ ∈ IR.
Soient E, F des champs de vecteurs de classe C2
sur Ω.
On a les ´egalit´es suivantes :
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Partie IV : Notions d’analyse vectorielle
∆(λf + µg) = λ∆(f) + µ∆(g)
∆(fg) = f∆(g) + g∆(f) + 2 < grad(f), grad(g) >
rot(grad(f)) = 0 et div(rot(E)) = 0
rot(fgrad(g)) = grad(f) ∧ grad(g)
IV.5 Potentiels scalaires et potentiels vecteurs
Les champs sont suppos´es d´efinis sur un ouvert Ω de E3.
Proposition
Si le champ E, de classe C1
, est un champ de rotationnels alors div(E) ≡ 0.
La r´eciproque est vraie si l’ouvert Ω est ´etoil´e. Les potentiels vecteurs de E sont alors les
champs F = F0 + grad(f), o`u F0 est un potentiel vecteur particulier et o`u f est un champ
scalaire quelconque de classe C1
.
Proposition
Si le champ E, de classe C1
, est un champ de gradients alors rot(E) ≡ 0.
Si Ω est ´etoil´e, la r´eciproque est vraie : les potentiels scalaires de E sont alors les champs
f = f0 +λ, o`u f0 est un potentiel scalaire particulier et o`u λ est un champ scalaire constant
quelconque.
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Integrales doubles-ou-triples

  • 1. Cours de Math´ematiques Compl´ements de calcul int´egral Sommaire Compl´ements de calcul int´egral Sommaire I Int´egrales doubles ou triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.1 Int´egrales doubles : th´eor`emes de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.2 Int´egrales doubles : Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . 2 I.3 Formule de Grien-Riemann et applications . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.4 Int´egrales triples : Th´eor`emes de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.5 Int´egrales triples : Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . 4 II Centres et moments d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 II.1 Cas d’une plaque plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 II.2 Cas d’un solide en dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 III Int´egrales curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 III.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 III.2 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 III.3 Cas des formes exactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 IV Notions d’analyse vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 IV.1 Champs de scalaires et champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . 10 IV.2 Circulation et gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 IV.3 Divergence et rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 IV.4 Quelques formules d’analyse vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 IV.5 Potentiels scalaires et potentiels vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.
  • 2. Cours de Math´ematiques Compl´ements de calcul int´egral Partie I : Int´egrales doubles ou triples I Int´egrales doubles ou triples I.1 Int´egrales doubles : th´eor`emes de Fubini Th´eor`eme Soient u, v deux applications continues de [a, b] dans IR, avec u ≤ v. Soit ∆ le compact du plan d´efini par : a ≤ x ≤ b et u(x) ≤ y ≤ v(x). Soit f : ∆ → IR, continue. On a l’´egalit´e : ∆ f(x, y) dx dy = b a v(x) u(x) f(x, y) dy dx. Th´eor`eme Soient u, v deux applications continues de [c, d] dans IR, avec u ≤ v. Soi ∆ le compact du plan d´efini par : c ≤ y ≤ d et u(y) ≤ x ≤ v(y). Soit f : ∆ → IR, continue. On a l’´egalit´e : ∆ f(x, y) dx dy = d c v(y) u(y) f(x, y) dx dy. Cas particuliers – Soit ∆ le compact [a, b] × [c, d]. Soit f : ∆ → IR, continue. On a l’´egalit´e : ∆ f(x, y) dx dy = d c b a f(x, y) dx dy = b a d c f(x, y) dy dx. – Supposons notamment que f(x, y) ≡ ϕ(x)ψ(y), o`u ϕ et ψ sont continues. Alors on a l’´egalit´e : ∆ f(x, y) dx dy = b a ϕ(x) dx d c ψ(y) dy. I.2 Int´egrales doubles : Changement de variables Proposition Soit f une application continue sur le compact ∆, inclus dans l’ouvert V . Soient D un compact inclus dans l’ouvert U et ϕ : U → V de classe C1 telle que ϕ(D) = ∆. On suppose que ϕ est injective ou sinon que l’ensemble des points de ∆ qui ont plusieurs ant´ec´edents a une aire nulle. On note (u, v) → ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v)) ce changement de variables. Soit J(u, v) = D(x, y) D(u, v) le jacobien de ϕ en un point quelconque de U. Alors on a l’´egalit´e : ∆ f(x, y) dx dy = D f(x(u, v), y(u, v)) D(x, y) D(u, v) du dv Page 2 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.
  • 3. Cours de Math´ematiques Compl´ements de calcul int´egral Partie I : Int´egrales doubles ou triples Passage en coordonn´ees polaires La formule s’´ecrit : ∆ f(x, y) dx dy = D f(ρ cos θ, ρ sin θ) ρ dρ dθ I.3 Formule de Grien-Riemann et applications Proposition Soit ∆ un compact de IR2 , de fronti`ere δ. On suppose que δ est sans point double, et orient´ee dans le sens positif : si on suit cette fronti`ere orient´ee, on laisse ∆ sur sa gauche. Soit ω = P dx + Q dy une forme diff´erentielle de classe C1 sur un ouvert U contenant ∆. Alors δ ω = δ P(x, y) dx + Q(x, y) dy = ∆ ∂Q ∂x − ∂P ∂y dx dy. Cons´equences – Aires planes se ramenant `a des int´egrales curvilignes Avec les notations ci-dessus, l’aire A(∆) de ∆ s’obtient par : A(∆) = δ x dy = − δ y dx = 1 2 δ (x dy − y dx) – Calcul des aires de domaines d´efinis en coordonn´ees polaires Soit ∆ le domaine du plan limit´e par les demi-droites issues de O d’angles polaires θ1 ≤ θ2, et par la courbe d’´equation ρ = ρ(θ) ≥ 0. Alors l’aire de ∆ s’´ecrit : A(∆) = 1 2 θ2 θ1 ρ2 (θ) dθ. I.4 Int´egrales triples : Th´eor`emes de Fubini Th´eor`eme Soit D un compact de IR2 et u, v deux applications continues de D dans IR. Soit ∆ le compact de IR3 d´efini par : (x, y) ∈ D, u(x, y) ≤ z ≤ v(x, y). Soit f une application continue d´efinie sur ∆, `a valeurs r´eelles. Alors on a l’´egalit´e : ∆ f(x, y, z) dx dy dz = D u(x,y) v(x, y)f(x, y, z) dz dx dy Th´eor`eme Soit ∆ un compact de IR3 limit´e inf´erieurement par z = a et sup´erieurement par z = b. Pour tout z de [a, b] soit Dz = {(x, y) ∈ IR2 , (x, y, z) ∈ ∆}. Soit f une application continue d´efinie sur ∆, `a valeurs r´eelles. Alors on a l’´egalit´e : ∆ f(x, y, z) dx dy dz = c a Dz f(x, y, z) dx dy dz Page 3 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.
  • 4. Cours de Math´ematiques Compl´ements de calcul int´egral Partie I : Int´egrales doubles ou triples Cas particuliers – Soit ∆ le compact de IR3 d´efini par ∆ = [p, q] × [r, s] × [t, u]. Alors, par exemple : ∆ f(x, y, z) dx dy dz = u t s r q p f(x, y, z) dx dy dz. – En particulier, si f(x, y, z) ≡ ϕ(x)ψ(y)ξ(z), o`u ϕ, ψ, ξ sont continues : ∆ f(x, y, z) dx dy dz = q p ϕ(x) dx s r ψ(y) dy u t ξ(z) dz. I.5 Int´egrales triples : Changement de variables Proposition Soit f une application continue sur le compact ∆, inclus dans l’ouvert V . Soient D un compact inclus dans l’ouvert U et ϕ : U → V de classe C1 , telle que ϕ(D) = ∆. On suppose que ϕ est injective ou sinon que l’ensemble des points de ∆ qui ont plusieurs ant´ec´edents a un volume nul. On note (u, v, w) → ϕ(u, v, w) = (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)). Soit J(u, v, w) = D(x, y, z) D(u, v, w) le jacobien de ϕ en un point quelconque de U. Alors on a l’´egalit´e : ∆ f(x, y, z) dx dy dz = D f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) D(x, y, z) D(u, v, w) du dv dw Exemples – Passage en coordonn´ees cylindriques La formule s’´ecrit : ∆ f(x, y, z) dx dy dz = D f(ρ cos θ, ρ sin θ, z) ρ dρ dθ dz. – Passage en coordonn´ees sph´eriques Avec x = r cos θ sin ϕ, y = r sin θ sin ϕ, et z = r cos ϕ, o`u θ d´esigne la longitude et ϕ la colatitude, et en notant g l’application d´efinie par g(r, θ, ϕ) = f(x, y, z), la formule devient : ∆ f(x, y, z) dx dy dz = D g(r, θ, ϕ) r2 sin ϕ dr dθ dϕ. Page 4 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.
  • 5. Cours de Math´ematiques Compl´ements de calcul int´egral Partie II : Centres et moments d’inertie II Centres et moments d’inertie II.1 Cas d’une plaque plane On d´efinit ici les ´el´ements d’inertie d’une plaque du plan Oxy limit´ee par un compact D, et “recouverte” d’une densit´e surfacique µ(x, y) ≥ 0. D´efinition La masse d’une plaque plane est l’int´egrale de sa densit´e : m(D) = µ(x, y) dx dy. Remarque On suppose que la plaque est homog`ene, c’est-`a-dire recouverte d’une densit´e constante µ. Alors m(D) = µA(D), o`u A(D) = dx dy est l’aire de D. D´efinition Le centre d’inertie G de la plaque D est d´efini par −→ OG = 1 m(D) D −→ 0Mµ(x, y) dx dy, o`u M = (x, y) est un point parcourant D et o`u m(D) est la masse de la plaque D. Remarques – Si D est homog`ene alors −→ OG = 1 A(D) D −→ 0M dx dy o`u A(D) est l’aire de la plaque D. – Les coordonn´ees de G s’obtiennent par projection : xG = 1 m(D) D xµ(x, y) dx dy, et yG = 1 m(D) D yµ(x, y) dx dy. Et dans le cas d’une plaque homog`ene : xG = 1 A(D) D x dx dy, et yG = 1 A(D) D y dx dy. – Des consid´erations de sym´etrie peuvent souvent faciliter le calcul des coordonn´ees de G. D´efinition Soit D un compact du plan. On d´esigne ici par Γ un point ou une droite du plan. Le moment d’inertie de D par rapport `a Γ est IΓ = D d(M, Γ)2 µ(x, y) dx dy, o`u d(M, Γ) est la distance du point courant M(x, y) de D `a Γ. Remarques et exemples – Les moments d’inertie sont homog`enes au produit d’une masse par le carr´e d’une distance. – Le moment d’inertie de D par rapport `a l’axe Ox est I0x = D y2 µ(x, y) dx dy. – Le moment d’inertie de D par rapport `a l’axe Oy est IOy = D x2 µ(x, y) dx dy. – Le moment d’inertie de D par rapport `a O est IO = D (x2 + y2 )µ(x, y) dx dy = I0x + I0y. Page 5 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.
  • 6. Cours de Math´ematiques Compl´ements de calcul int´egral Partie II : Centres et moments d’inertie II.2 Cas d’un solide en dimension 3 On d´efinit ici les ´el´ements d’inertie d’un solide de l’espace Oxy limit´e par un compact D, et muni d’une densit´e volumique µ(x, y, z) ≥ 0. D´efinition La masse du solide D est l’int´egrale de sa densit´e : m(D) = D µ(x, y, z) dx dy dz. Remarque Supposons que le solide D soit homog`ene, c’est-`a-dire de densit´e constante µ. Alors la masse de D est m(D) = µV (D), o`u V (D) = D dx dy dz est le volume de D. D´efinition Le centre d’inertie du solide D est le point G d´efini par : −→ OG = 1 m(D) D −→ 0Mµ(x, y, z) dx dy dz. Remarques – Si D est homog`ene alors −→ OG = 1 V (D) D −→ 0M dx dy dz o`u V (D) est le volume de D. – Les coordonn´ees de G s’obtiennent par projection : xG = 1 m(D) D xµ(x, y, z) dx dy dz, yG = 1 m(D) D yµ(x, y, z) dx dy dz et zG = 1 m(D) D zµ(x, y, z) dx dy dz. – Dans le cas d’une plaque homog`ene : xG = 1 A(D) D x dx dy dz yG = 1 A(D) D y dx dy dz zG = 1 A(D) D z dx dy dz – Des consid´erations de sym´etries peuvent souvent faciliter le calcul des coordonn´ees de G. D´efinition On d´esigne ici par Γ un point, une droite ou un plan de l’espace. Le moment d’inertie de D par rapport `a Γ est IΓ = D d(M, Γ)2 µ(x, y, z) dx dy dz, o`u d(M, Γ) est la distance du point courant M(x, y, z) de D `a Γ. Page 6 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.
  • 7. Cours de Math´ematiques Compl´ements de calcul int´egral Partie II : Centres et moments d’inertie Remarques et exemples – Les moments d’inertie sont homog`enes au produit d’une masse par le carr´e d’une distance. – Le moment d’inertie de D par rapport au plan Oxy est I0xy = D z2 µ(x, y, z) dx dy dz. – Le moment d’inertie par rapport au plan Oxz est I0xz = D y2 µ(x, y, z) dx dy dz. – Le moment d’inertie par rapport au plan Oyz est I0yz = D x2 µ(x, y, z) dx dy dz. – Le moment d’inertie par rapport `a l’axe Ox est I0x = D (y2 + z2 )µ(x, y, z) dx dy dz. On constate que IOx = IOxy + IOxz. – Le moment d’inertie par rapport `a l’origine est I0 = D (x2 + y2 + z2 )µ(x, y, z) dx dy dz. On constate que I0 = IOxy + IOxz + IOyz. Page 7 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.
  • 8. Cours de Math´ematiques Compl´ements de calcul int´egral Partie III : Int´egrales curvilignes III Int´egrales curvilignes III.1 Rappels – On consid`ere ici l’espace affine euclidien E3 de dimension 3, identifi´e `a IR3 par le choix d’un rep`ere orthonorm´e. Un point M de E3 est identifi´e au triplet (x, y, z) de ses coordonn´ees. – Un arc param´etr´e (I, ϕ) est la donn´ee d’un intervalle I et d’une application ϕ : I ⊂ IR → E3. – L’image de t est not´ee M(t). C’est le “point de param`etre t”. On notera x(t), y(t), z(t) les coordonn´ees de M(t). – L’ensemble des points M(t), quand t parcourt l’intervalle I, est appel´e le support de l’arc. – L’arc (I, ϕ) est dit continu (resp. de classe Ck ) si ϕ est continue (resp. de classe Ck ). III.2 D´efinition D´efinition Soit γ = ([a, b], ϕ) un arc C1 de support contenu dans l’ouvert Ω. Soit ω = P(x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz une forme diff´erentielle continue sur Ω. Pour tout M de Ω la quantit´e ω(M) est donc une forme lin´eaire sur IR3 d´efinie par : ∀h = (α, β, γ) ∈ IR3 , ω(M)(h) = αP(M) + βQ(M) + γR(M). On appelle int´egrale curviligne de ω le long de l’arc γ le r´eel not´e γ ω ´egal `a : b a ω(M(t))M (t) dt = b a (P(M(t)) x (t) + Q(M(t)) y (t) + R(M(t)) z (t)) dt. Propri´et´es – La quantit´e γ ω est lin´eaire par rapport `a ω. – L’int´egrale curviligne de ω sur un arc ferm´e ne d´epend pas de l’origine choisie sur cet arc. – On g´en´eralise facilement, par la relation de “Chasles”, la d´efinition de γ ω au cas d’un arc γ = (I, ϕ) o`u ϕ est continue sur I et seulement C1 par morceaux. III.3 Cas des formes exactes Proposition Soit ([a, b], ϕ) un arc C1 par morceaux de support contenu dans Ω ouvert. Soient A = M(a) et B = M(b) l’origine et l’extr´emit´e de l’arc γ. Soit ω = df une forme diff´erentielle exacte sur Ω, o`u f est une application de classe C1 . Alors on a l’´egalit´e : γ ω = f(B) − f(A). Page 8 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.
  • 9. Cours de Math´ematiques Compl´ements de calcul int´egral Partie III : Int´egrales curvilignes Remarques – L’int´egrale curviligne d’une forme diff´erentielle ω exacte sur un arc param´etr´e ne d´epend que des extr´emit´es de l’arc et est ´egale `a l’accroissement d’une primitive quelconque de ω. – En particulier, si γ est un arc ferm´e alors γ ω = 0. Page 9 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.
  • 10. Cours de Math´ematiques Compl´ements de calcul int´egral Partie IV : Notions d’analyse vectorielle IV Notions d’analyse vectorielle Soit E3 l’espace affine euclidien orient´e de dimension 3, rapport´e `a un rep`ere orthonorm´e direct. Un point M de E3 est identifi´e au triplet (x, y, z) de ses coordonn´ees. On d´esigne par Ω un ouvert de E3. IV.1 Champs de scalaires et champs de vecteurs D´efinition Un champ de scalaires sur l’ouvert Ω est une application f de Ω dans IR. Remarques – On dit que ce champ est continu (respectivement de classe Ck ) si l’application f qui au point M(x, y, z) associe f(M) = f(x, y, z) est continue (respectivement de classe Ck ). – Les surfaces d’´equations f(M) = λ sont appel´ees surfaces de niveau de f. D´efinition Un champ de vecteurs sur l’ouvert Ω est une application E de Ω dans IR3 . Remarques – Un champ de vecteurs E est d´etermin´e par trois champs de scalaires P, Q, R : ∀M(x, y, z) ∈ E3, E(M) = (P(M), Q(M), R(M)). – Le champ E est continu (resp. de classe Ck ) ⇔ P, Q, R sont continus (resp. de classe Ck ). – Les lignes de champ de E sont les arcs Γ tels qu’en tout point M de Γ, le vecteur E(M) soit port´e par la tangente en M `a l’arc Γ. IV.2 Circulation et gradient D´efinition (Circulation d’un champ de vecteurs) Au champ E = (P, Q, R) correspond la forme diff´erentielle ω = P dx + Q dy + R dz. Soit γ = ([a, b], ϕ) un arc param´etr´e de support inclus dans Ω. L’int´egrale curviligne de ω sur l’arc γ est appel´ee circulation du champ E le long de cet arc. Elle se note γ −−−→ E(M) · −−→ dM. Par cons´equent : γ −−−→ E(M) · −−→ dM = γ ω = b a (P(M) x (t) + Q(M) y (t) + R(M) z (t)) dt. Page 10 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.
  • 11. Cours de Math´ematiques Compl´ements de calcul int´egral Partie IV : Notions d’analyse vectorielle D´efinition (Gradient d’un champ de scalaires) Soit f un champ de scalaires sur l’ouvert Ω de E3, de classe C1 . On appelle gradient de f le champ de vecteurs, not´e grad(f), d´efini par : ∀M(x, y, z) ∈ Ω, grad(f)(M) = ∂f ∂x (M), ∂f ∂y (M), ∂f ∂z (M) D´efinition (Champs de gradients) On dit qu’un champ de vecteurs E = (P, Q, R) est un champ de gradients sur Ω s’il existe un champ f de classe C1 sur Ω tel que E = grad(f). Remarques – Le champ de vecteurs E = (P, Q, R) est un champ de gradients ⇔ la forme diff´erentielle w = Pdx + Qdy + Rdz est exacte. Plus pr´ecis´ement : E = grad(f) ⇔ ω = df. – Si E = grad(f), on dit que f est un potentiel scalaire du champ E. Les lignes de champs de E sont les trajectoires orthogonales des surfaces de niveau de f, appel´ees ici ´equipotentielles. – Soit E = grad(f) un champ de gradients. La circulation de E le long de l’arc param´etr´e γ = ([a, b], ϕ) est ´egale `a f(B) − f(A), c’est-`a-dire `a l’accroissement du potentiel scalaire f. IV.3 Divergence et rotationnel D´efinition (Divergence d’un champ de vecteurs) Soit E = (P, Q, R) un champ de vecteurs, de classe C1 sur l’ouvert Ω de E3. On appelle divergence de E, et on note div(E), le champ de scalaires d´efini sur Ω par : ∀M ∈ Ω, div(E)(M) = ∂P ∂x (M) + ∂Q ∂y (M) + ∂R ∂z (M). Interpr´etation div(E) est le produit scalaire −→ i · ∂E ∂x + −→ j · ∂E ∂y + −→ k · ∂E ∂z . D´efinition (Rotationnel d’un champ de vecteurs) Soit E = (P, Q, R) un champ de vecteurs, de classe C1 sur l’ouvert Ω de E3. On appelle rotationnel de E, le champ de vecteurs d´efini sur Ω par : ∀M ∈ Ω, rot(E)(M) = ∂R ∂y (M) − ∂Q ∂z (M), ∂P ∂z (M) − ∂R ∂x (M), ∂Q ∂x (M) − ∂P ∂y (M) Page 11 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.
  • 12. Cours de Math´ematiques Compl´ements de calcul int´egral Partie IV : Notions d’analyse vectorielle Interpr´etation et notation – rot(E) est le champ de vecteurs −→ i ∧ −→ ∂E ∂x + −→ j ∧ −→ ∂E ∂y + −→ k ∧ −→ ∂E ∂z . – Avec l’op´erateur “Nabla” : =         ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z         , rot(E) = ∧ E =        ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z        ∧      P Q R      =        ∂R ∂y − ∂Q ∂z ∂P ∂z − ∂R ∂x ∂Q ∂x − ∂P ∂y        . D´efinition (Champs de rotationnels) On dit qu’un champ de vecteurs E de classe C1 est un champ de rotationnels s’il existe un champ de vecteurs continu F tel que, sur l’ouvert Ω, on ait E = rot(F). On dit alors que E d´erive du potentiel vecteur F. D´efinition (Laplacien d’un champ de scalaires) Soit f un champ de scalaires, de classe C2 sur l’ouvert Ω de E3. On appelle laplacien de f le champ de scalaires, not´e ∆f d´efini par : ∀M ∈ Ω, ∆f(M) = ∂2 f ∂x2 (M) + ∂2 f ∂y2 (M) + ∂2 f ∂z2 (M). Remarques – On remarque que le champ ∆f s’´ecrit ∆f = div(grad(f)). – On dit que f est harmonique sur Ω si son laplacien ∆f est nul sur Ω. IV.4 Quelques formules d’analyse vectorielle – Soient f, g des champs scalaires de classe C1 sur Ω, et λ, µ ∈ IR. Soient E, F des champs de vecteurs de classe C1 sur Ω. On a les ´egalit´es suivantes : grad(λf + µg) = λgrad(f) + µgrad(g) grad(fg) = fgrad(g) + ggrad(f) div(λE + λF) = λdiv(E) + µdiv(F) rot(λE + µF) = λrot(E) + µrot(F) div(fE) = fdiv(E)+ < grad(f), E > rot(fE) = frot(E) + grad(f) ∧ E div(E ∧ F) = < F, rot(E) > − < E, rot(F) > – Soient f, g des champs scalaires de classe C2 sur Ω, et λ, µ ∈ IR. Soient E, F des champs de vecteurs de classe C2 sur Ω. On a les ´egalit´es suivantes : Page 12 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.
  • 13. Cours de Math´ematiques Compl´ements de calcul int´egral Partie IV : Notions d’analyse vectorielle ∆(λf + µg) = λ∆(f) + µ∆(g) ∆(fg) = f∆(g) + g∆(f) + 2 < grad(f), grad(g) > rot(grad(f)) = 0 et div(rot(E)) = 0 rot(fgrad(g)) = grad(f) ∧ grad(g) IV.5 Potentiels scalaires et potentiels vecteurs Les champs sont suppos´es d´efinis sur un ouvert Ω de E3. Proposition Si le champ E, de classe C1 , est un champ de rotationnels alors div(E) ≡ 0. La r´eciproque est vraie si l’ouvert Ω est ´etoil´e. Les potentiels vecteurs de E sont alors les champs F = F0 + grad(f), o`u F0 est un potentiel vecteur particulier et o`u f est un champ scalaire quelconque de classe C1 . Proposition Si le champ E, de classe C1 , est un champ de gradients alors rot(E) ≡ 0. Si Ω est ´etoil´e, la r´eciproque est vraie : les potentiels scalaires de E sont alors les champs f = f0 +λ, o`u f0 est un potentiel scalaire particulier et o`u λ est un champ scalaire constant quelconque. Page 13 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.