1. Primeira Lista de Exercícios – Integral definida
1) Calcular as integrais.
2 2 π/2 1 1
dx x 2 dx
∫ x6 b) ∫ x ln x dx ∫ sen x dx ∫ e) ∫ x e x dx
2
a) c) d)
1 1 0 −1 x3 + 3 0
2) Calcule a área formada sob a curva das funções:
a) f (x ) = 5x + 3 no intervalo x ∈ [0,3] b) f (x ) = − x 2 + 16
3) Calcule a área limitada pelas curvas:
x
a) f (x ) = x 2 e f (x ) = x + 2 b) f (x ) = x 3 e f (x ) = x c) f (x ) = 6 + x , f (x ) = x 3 e f (x ) = − .
2
4) Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação ao redor do eixo x da função
f (x ) = x 2 + 1 para x = −1 e x = 2 .
5) Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação ao redor do eixo x da superfície limitada
pelas curvas f (x ) = 4x − 2x 2 e f (x ) = 2x − x 2 .
6) Três aquecedores elétricos de comprimento L = 250 mm e diâmetro D = 250 mm estão submersos em
um tanque com 10 galões de água, inicialmente a 295K, como indicado na figura abaixo. A água pode ser
considerada com densidade ρ = 990kg / m 3 e calor especifico c = 4180 J / kg.K . Sabendo que quando os
aquecedores são ativados, cada trocador dissipa q1 = 500 W , estime o tempo necessário para elevar em
40K a temperatura da água. Dados: 1galão = 3,79.10 −3 m 3
Dica: Através de hipóteses simplificadoras e aplicando a lei de conservação da energia para sistemas
fechados (tanque), tem-se que a taxa total de calor trocado em qualquer instante de tempo é dado por:
Tf
dT ρVc
q = ρVc
dt
⇒ t= ∫
Ti
q
dT
1

2. 7) Rejeitos radioativos são embalados em longos recipientes de paredes finas, de comprimento (L) e
formato cilíndrico. Os rejeitos geram energia térmica de acordo com a expressão:
q(r ) = q 0 [1 − (r / r0 ) 2 ]
& &
Na expressão acima, (q) é a taxa local de geração de energia, (q 0 ) é constante e (r0 ) é o raio do
& &
recipiente. As condições de regime permanente são mantidas pela submersão do recipiente em um líquido
a uma determinada temperatura, que permite um coeficiente de convecção uniforme. Determine a taxa
total de geração de energia por recipiente. Dados: q 0 = 30 W / m 3 , r0 = 10 cm e L = 1 m .
&
Dica: Com as devidas simplificações e sabendo que (A s = 2 π r L ) é a área lateral do cilindro, a taxa total
de geração de energia pode ser determinada por:
r0
E g = ∫ q dV = ∫ q (r ) A s dr
& & &
0
8) Uma fabrica que produz molho de tomate necessita de água aquecida a uma temperatura de 100ºC para
o preparo do molho. O calor residual de um forno utilizado em outra parte do processo pode ser
aproveitado para aquecer a água. Um engenheiro sugere aquecer uma tubulação de raio (r0 ) com o calor
residual do forno e fazer com que a água escoe por esta tubulação, como mostra a figura abaixo. Neste
caso, considerando o escoamento laminar plenamente desenvolvido, a velocidade (u ) e a temperatura
(T) da água na direção radial na seção de saída da tubulação são expressas por:
u (r ) = 100[1 − (r / r0 ) 2 ]
T(r ) = 100[4 − (r / r0 ) 2 ]
Com unidades cm/s e K, respectivamente. Qual a temperatura média (Tm ) da água na saída da tubulação?
Do ponto de vista térmico, o problema foi resolvido? Por quê? Dados: r0 = 1 cm .
Dica: Aplicando algumas hipóteses simplificadoras, a temperatura média de mistura é dada por:
r0 r
2 2 0
Tm =
U m r02 ∫ u (r) T(r) r dr
0
onde Um =
r02 ∫
0
u (r ) r dr
2

3. 9) O reservatório de um equipamento hidropneumático tem a forma de cone e contem óleo de
lubrificação. O reservatório possui um orifício no fundo para a liberação do óleo. A altura do cone e o
raio da base têm h 0 = 1 m e r0 = 1 m , respectivamente. Se a equipe responsável pela manutenção do
equipamento preencheu totalmente o reservatório, em quantas horas deverá ser realizada uma nova
π10 −3
recarga? Dados: A1 = m 2 e g = 10 m / s 2 .
108 20
π r02 h 2
Volume de óleo: V(h ) = 2
3h0
Velocidade na saída do orifício: v1 (h ) = 2 g h
Dica: Se o escoamento é incompressível com densidade constante, o tempo necessário para que todo o
óleo extravase através do orifício no fundo do recipiente pode ser determinado por:
h
dV V(h )
= − ∫ v dA ⇒ t = −∫ dh
dt s .c . v (h ) A1
h0 1
Onde (h 0 ) e (h ) são as alturas inicial e final respectivamente. A velocidade com que o óleo passa pelo
orifício está indicada por ( v1 ) e a área do orifício por (A1 ) .
10) Um jato comercial Boeing 777-200 pesa, totalmente carregado, aproximadamente 3500kN. O piloto
leva as duas turbinas no empuxo máximo de decolagem de 450kN cada, antes de soltar os freios.
Desprezando as resistências aerodinâmicas e de rolamento, estime os valores mínimos do comprimento
da pista e do tempo para atingir a velocidade de decolagem de 60 m/s. Considere que o empuxo das
turbinas permaneça constante durante a corrida no solo. Dados: g = 10 m / s 2 .
vf vf
mv m
Dica: s = ∫ ∑ F dv
vi
e t= ∫ ∑ F dv
vi
Onde ( v i ) e ( v f ) representam a velocidade inicial e final do Boeing, respectivamente.
11) Um bloco de 10kg é puxado para cima ao longo de um plano inclinado. O deslocamento é de 5m. No
bloco atuam uma força R de 70N paralela ao plano inclinado e a força da gravidade. Admitindo a
ausência de atrito determine o trabalho que a força R realiza sobre o bloco. Dados: g = 10 m / s 2 .
sf
Dica: w = ∫ F ds
si
3

4. 12) Um aquecedor elétrico funciona com uma corrente de 6A e 220V durante 10 horas. Determine a
energia que deve ser fornecida ao aquecedor durante esta operação.
tf
Dica: w = ∫ P dt
ti
Onde (P) é a potencia consumida pelo aquecedor.
13) Um dispositivo pistão cilindro horizontal contém ar inicialmente a P1 = 100 kPa e volume
V1 = 2.10−3 m 3 e a face do pistão se encontra na posição x = 0 . Nesta posição, a mola não exerce força
alguma sob o pistão. A pressão atmosférica é de 100kPa e a área do pistão é 16,2.10−3 m 2 . O ar se
expande lentamente ate atingir um volume V2 = 3.10−3 m3 . Durante o processo, a força que a mola exerce
sobre o pistão varia de acordo com a expressão F = k x , onde k = 16,2.103 N / m . Não há atrito entre o
pistão e o cilindro. Determine o trabalho realizado pelo ar em kJ.
Dica: Fgás = Fatm + Fmola ⇒ P A p = Patm A p + kx
kx k (V − V1 )
P = Patm + ⇒ P = Patm +
Ap Ap
Vf
O trabalho é determinado por ⇒ w = ∫ P dV
V
14) Um gás se encontra em um tanque rígido e fechado. O tanque possui um agitador (hélice) o qual é
acionado durante 10 min. A potência fornecida pelo agitador do gás varia com o tempo de acordo com a
equação w = − t / 6 onde ( w ) esta em watts e (t) em segundos. Sabendo que ocorre a transferência do gás
& &
para as vizinhanças a uma taxa constante de 50W, determine a variação de energia do gás após 10
minutos.
Dica: Da Primeira Lei da termodinâmica para sistemas tem-se que
E2 t2 t2
dE &
dt
= Q−w
& ⇒ (
& & )
∫ dE = ∫ Q − w dt ⇒ & & (
∆E = ∫ Q − w dt )
E1 t1 t1
4

5. 15) Conhecer o valor atual de um fluxo de rendimentos contínuo é um fator importante quando são
analisadas oportunidades de investimentos ou nos processos de decisão administrativos que envolvem a
seleção ou substituição de novos equipamentos. Supondo uma contínua capitalização de juros, a fórmula
para determinar o valor atual de um fluxo de rendimentos é dada por C = K e − rt , onde (K ) é a taxa anual
de rendimentos, (r) a taxa de juros (juro composto continuamente) e (t) o período em anos.
Uma tipografia deseja adquirir um novo equipamento, mas antes quer analisar o valor atual do fluxo de
rendimentos deste equipamento. A companhia calcula que a taxa de renda produzida pelo equipamento no
tempo t será de K ( t ) = 10000 − 100 t reais por ano. Determinar o valor atual deste fluxo contínuo de
rendimentos durante os próximos 10 anos, com uma taxa de juros de 0,1%. Dados: e0,1 ≈ 1
t2
Dica: CT = ∫ K ( t ) e −rt dt
t1
16) Uma indústria de brinquedos determina que seu custo marginal é de 3 x 2 − 2x + 10 reais por unidade
de produto fabricado ao nível de produção x. São produzidos normalmente 10 unidades do produto.
Determine o custo adicional da produção de mais 30 unidades.
Dica: Se C( x ) é o custo de produção de x unidades de algum produto, então a derivada de C( x ) é
chamada de custo marginal e mede a razão segundo a qual os custos crescem (crescimento unitário) no
nível de produção. Assim, a função custo é uma antiderivada do custo marginal:
xf
C( x ) = ∫ C' ( x ) dx ⇒ CT = ∫ C' ( x ) dx
xi
Onde (CT ) fornece o custo total de produção de ( x f − x i ) unidades adicionais, considerando que ( x i )
unidades foram produzidas anteriormente.
17) Uma linha de montagem de uma fábrica de fornos industriais produz fornos a uma taxa de
P( t ) = 160 + 2t − 3t 2 unidades do produto por hora. Quantas unidades serão produzidas entre 4 e 8 horas
de operação?
18) Em 1973, aproximadamente 20 bilhões de barris de petróleo foram utilizados no mundo. A procura de
petróleo indica estar crescendo exponencialmente a uma taxa de aproximadamente 10% ao ano. Assim, a
taxa anual de consumo de petróleo, TP ( x ) , em um determinado tempo t (onde t = 0 corresponde a 1973)
pode ser aproximada para TP ( x ) = 20 e 0,1t . Admitindo que a procura de petróleo continue a crescer 10%
ao ano, quanto de petróleo será consumido entre 1973 e 2023 (meio século). Dados: e5 ≈ 148
5

6. 19) Suponha que, após t anos de operação, um campo petrolífero está produzindo petróleo a uma razão de
PP( t ) = 50 + 6t − 3 / 10t 2 milhões de barris de petróleo por ano. Quanto petróleo será produzido durante o
terceiro e o quarto ano de operação (de t = 2 a t = 4 )?
20) Uma epidemia de gripe espalha-se por uma cidade de tal modo que no tempo t novas pessoas ficam
doentes a uma taxa de PD( t ) = 200t − 3t 2 pessoas por dia. Quantas pessoas ficarão doentes durante o
sétimo, oitavo, nono e décimo dia da epidemia (a partir de t = 6 a t = 10 )?
21) Uma determinada cultura de bactérias cresce de acordo com a lei N( t ) = 50 e 0,5 t bactérias por hora.
Qual o tamanho médio da cultura no intervalo de tempo de t = 0 a t = 10 horas?
22) Depois que uma substância estranha é introduzida no sangue, a taxa à qual os anticorpos são
t
produzidos é dada por a ( t ) = , onde a ( t ) , válida para o intervalo 0 ≤ t ≤ 5 , indica milhares de
t +12
anticorpos por minutos e o tempo t é medido em minutos. Qual a quantidade de anticorpos no sangue ao
final dos três primeiros minutos? Dados: ln(10) = 2,3
23) Água flui para um tanque a uma taxa de r ( t ) = 20 − 4 t galões por hora válida para 0 ≤ t ≤ 5 . Quantos
galões de água o tanque possui ao final das duas primeiras horas?
24) Um capacitor é um componente eletrônico que tem a propriedade de armazenar carga elétrica. A
tensão em seus terminais é proporcional à carga armazenada e pode ser expressa por
t 0 t
q(t ) ∫ ic (t ) dt ∫ ic (t ) dt + ∫ ic (t ) dt
vc (t ) = = −∞
= −∞ 0
C C C
Onde q( t ) é a carga armazenada, C indica a capacitância (propriedade do dispositivo de armazenar
0
energia elétrica) e a integral ∫ i (t ) dt = q(0) representa a carga armazenada no tempo
c
t = 0 . Assim:
−∞
t
q(0) + ∫ i c ( t ) dt t t
1
vc (t) = 0
= v c (0) + ∫ i c ( t ) dt e q ( t ) = q (0) + ∫ i c ( t ) dt
C C0 0
Se os terminais de um capacitor são conectados a uma fonte de corrente i( t ) = 5 mA (5. 10 −3 Ampères) no
intervalo de 0 ≤ t ≤ 2 ms e sua capacitância é C = 1µF (1. 10 −6 Farad). Qual a tensão medida no capacitor
no tempo t = 2 ms se q(0) é nulo? Qual a carga armazenada em µC ( 10 −6 Coulomb)?
6

7. 25) Circuitos RC são circuitos onde um resistor de resistência R é associado em série a um capacitor de
capacitância C e a uma bateria que produz uma diferença de potencial V. Em circuitos eletrônicos, o
circuito RC é de fundamental importância porque a combinação resistor - capacitor determina a rapidez
do circuito eletrônico. Considere o circuito RC abaixo
Onde uma bateria de 10 V e de resistência interna desprezível, é usada para carregar um capacitor de
2µF através de um resistor de 100 Ω. Determinar a carga do capacitor após 500 ms . Considere que não
há carga no capacitor em t = 0 . Dados: e −2,5 ≈ 0,1
Dica: Se em t = 0 o valor de q(0) é nulo, a corrente elétrica pode ser determinada por
t
V
i( t ) = e −t / RC e q ( t ) = ∫ i c ( t ) dt
R 0
26) Considere uma viga de aço de seção W 250 × 22,3 bi-apoiada suportando uma laje em uma de suas
extremidades. A laje permite um carregamento distribuído (q) sob a viga de 15 kN / m , como indicado na
figura abaixo. Deseja-se determinar o deslocamento vertical (δ) no ponto D da viga. Dados: módulo de
elasticidade do aço E = 200 GPa e momento de inércia para o perfil W 250 × 22,3 I ≈ 3.10 −7 m 4 .
Dica: Pelo Teorema de Castigliano, o deslocamento ou rigidez flexional da viga é dado por:
L
1 ∂M ( x )
δ= ∫ M(x ) ∂Q dx
EI 0
Onde M ( x ) é o momento fletor para cada carregamento. Fazendo um diagrama de corpo livre de toda a
viga tem-se que
⎛ qb 2 b⎞ ∂M( x ) b
No trecho A-D ⇒ M(x) = ⎜ +Q ⎟x ⇒ = x
⎝ 2L L⎠ ∂Q L
⎡ qb(a − 1 / 2b) a⎤ x2 ∂M ( x ) a
No trecho D-B ⇒ M(x) = ⎢ +Q ⎥x− ⇒ = x
⎣ L L⎦ 2 ∂Q L
Onde Q é um carregamento no ponto D de valor nulo.
7

8. Substituindo os valores e fazendo Q = 0 tem-se:
∂M( x ) 2
No trecho A-D ⇒ M ( x ) = 10.000x e = x
∂Q 3
x2 ∂M ( x ) 1
No trecho D-B ⇒ M ( x ) = 10.000x − e = x
2 ∂Q 3
Assim, o deslocamento vertical será dado por:
1 ⎛ ∂M( x ) ⎞
L D B
1 ∂M ( x ) ∂M ( x )
EI ∫
δ= M( x ) dx = ⎜ ⎜ ∫ M(x) dx + ∫ M( x ) dx ⎟
∂Q EI ⎝ A ∂Q ∂Q ⎟
0 D ⎠
27) Verifique se a integral imprópria é convergente ou divergente.
1 2 ∞ ∞ ∞
dx dx dx dx
a) ∫ 2 / 3 ∫x x ∫x x d) ∫ ∫xe
−x 2
b) c) e) dx
0 ( x + 3)
3
0
x 0 1 −∞
8

9. Respostas:
1) a)
31
160
b) 2 ln 2 −
3
4
c)
π
4
d)
2 2
3
( 5−2 ) e) 1
63 256
2) a) u.a b) u.a
2 3
9 1
3) a) u.a b) u.a c) 22 u.a
2 4
78π
4) u.v
5
16 π
5) u.v
5
6) Aproximadamente 70 minutos
15π
7) W
100
8) Tm ≈ 94º C
9) 10 horas
10) 700m e 23,3s
11) 350 N.m
12) 13,2 kW/h
13) 195,5 J
14) 0
15) CT ≈ 100.000 reais
16) CT = 25.400 reais
17) 240 unidades
18) aproximadamente 29400 bilhões de barris
19) 130,4 milhões de barris
20) 5616 pessoas
21) 14700 bactérias
22) aproximadamente 1,15 mil anticorpos
23) 32 galões
24) 10 V e 10 µC
25) 18 µC
26) aproximadamente 6 mm
27) a) 3, convergente b) ∞ , divergente c) 2, convergente d) 1/2, convergente e) 0, convergente
9