1. Carlos Ivorra Castillo
´
ALGEBRA

3. Mathematics, rightly viewed, possesses not only
truth, but supreme beauty —a beauty cold and aus-
tere, like that of sculpture.
Bertrand Russell

5. ´
Indice General
Introducci´n
o ix
Preliminares conjuntistas xv
Cap´
ıtulo I: Los n´ meros enteros y racionales
u 1
1.1 Construcci´n de los n´meros enteros . . . .
o u . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Cuerpos de cocientes. N´meros racionales .
u . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Cuaterniones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Cap´
ıtulo II: Anillos de polinomios 15
2.1 Construcci´n de los anillos de polinomios . . . . . . . . . . . . . 15
o
2.2 Evaluaci´n de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
o
2.3 Propiedades algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Cap´
ıtulo III: Ideales 25
3.1 Ideales en un dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Dominios de ideales principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Anillos noetherianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Cap´
ıtulo IV: Divisibilidad en dominios ´ ıntegros 29
4.1 Conceptos b´sicos . . . . . . . . . . . . . . .
a . . . . . . . . . . . 29
4.2 Ideales y divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3 Divisibilidad en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.4 Divisibilidad en anillos de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Cap´
ıtulo V: Congruencias y anillos cociente 45
5.1 Definiciones b´sicas . . . . . . . . . . . . .
a . . . . . . . . . . . . . 45
5.2 N´meros perfectos . . . . . . . . . . . . .
u . . . . . . . . . . . . . 49
5.3 Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.4 Homomorfismos y anillos cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.5 Cocientes de anillos de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
v

6. vi ´
INDICE GENERAL
Cap´
ıtulo VI: Algunas aplicaciones 65
6.1 Ternas pitag´ricas . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.2 Sumas de dos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.3 Sumas de cuatro cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.4 N´meros de la forma x2 + 3y 2 .
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.5 La ecuaci´n x2 + 3y 2 = z 3 . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
´
6.6 El Ultimo Teorema de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.7 Enteros ciclot´micos . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Cap´
ıtulo VII: M´dulos
o y espacios vectoriales 87
7.1 M´dulos . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.2 Suma de m´dulos
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.3 M´dulos libres. .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Cap´
ıtulo VIII: Extensiones de cuerpos 105
8.1 Extensiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8.2 Homomorfismos entre extensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8.3 Clausuras algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8.4 Extensiones normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.5 Extensiones separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.6 El teorema del elemento primitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.7 Normas y trazas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Cap´
ıtulo IX: Grupos 135
9.1 Definici´n y propiedades b´sicas .
o a . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.2 Grupos de permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
9.3 Generadores, grupos c´ıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
9.4 Conjugaci´n y subgrupos normales
o . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.5 Producto de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
9.6 Grupos cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
9.7 Grupos alternados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Cap´
ıtulo X: Matrices y determinantes 157
10.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
10.2 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
10.3 Formas bilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Cap´
ıtulo XI: Enteros algebraicos 179
11.1 Definici´n y propiedades b´sicas . . . . . .
o a . . . . . . . . . . . . 179
11.2 Ejemplos de anillos de enteros algebraicos . . . . . . . . . . . . . 185
11.3 Divisibilidad en anillos de enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
11.4 Factorizaci´n unica en cuerpos cuadr´ticos .
o ´ a . . . . . . . . . . . . 195
11.5 Aplicaciones de la factorizaci´n unica . . . .
o ´ . . . . . . . . . . . . 201

7. ´
INDICE GENERAL vii
Cap´
ıtulo XII: Factorizaci´n ideal
o 207
12.1 Dominios de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
12.2 Factorizaci´n ideal en anillos de enteros . . . . . . . . . . . . . . 214
o
12.3 Dominios de Dedekind y dominios de factorizaci´n unica . . . . . 220
o ´
Cap´
ıtulo XIII: Factorizaci´n en cuerpos
o cuadr´ticos
a 223
13.1 Los primos cuadr´ticos . . . . . . . .
a . . . . . . . . . . . . . . . . 223
13.2 El grupo de clases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
13.3 C´lculo del n´mero de clases . . . .
a u . . . . . . . . . . . . . . . . 230
Cap´
ıtulo XIV: La ley de reciprocidad cuadr´tica a 243
14.1 Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . 243
14.2 El s´
ımbolo de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
14.3 El s´
ımbolo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
14.4 Los teoremas de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
Cap´
ıtulo XV: La teor´ de Galois
ıa 259
15.1 La correspondencia de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
15.2 Extensiones ciclot´micas . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
15.3 Cuerpos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
15.4 Polinomios sim´tricos . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
Cap´
ıtulo XVI: M´dulos finitamente generados
o 281
16.1 Los teoremas de estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
16.2 La estructura de los grupos de unidades . . . . . . . . . . . . . . 289
Cap´
ıtulo XVII: Resoluci´n de ecuaciones por radicales
o 293
17.1 Extensiones radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
17.2 Grupos resolubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
17.3 Caracterizaci´n de las extensiones radicales . . . . . .
o . . . . . . 303
17.4 La ecuaci´n general de grado n . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . 305
Ap´ndice A: El teorema de la base normal
e 307
Ap´ndice B: Extensiones inseparables
e 311
Ap´ndice C: La resultante
e 315
Bibliograf´
ıa 319
´
Indice de Tablas 321
´
Indice de Materias 322

9. Introducci´n
o
El prop´sito de este libro es introducir a un lector con conocimientos m´
o ınimos
de matem´ticas en el estudio de los n´meros naturales
a u
0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
Quiz´ esta afirmaci´n sorprenda al lector por dos posibles motivos: bien
a o
porque crea que los n´meros naturales son algo tan simple que dif´
u ıcilmente se
puede escribir un libro sobre ellos, bien porque crea que un libro as´ no deber´
ı ıa
´
llamarse ‘Algebra’. El primer caso es f´cil de rectificar. Consideremos por
a
ejemplo la ecuaci´n
o
x2 + xy − 3y 2 = 15.
¿Sabr´ decidir el lector si existen n´meros naturales (x, y) que satisfagan
ıa u
esta condici´n? Tenemos aqu´ un problema de planteamiento elemental cuya
o ı
soluci´n no es nada f´cil. Si existiera un par as´ podr´
o a ı ıamos tener suerte y en-
contrarlo por tanteo, pero si no lo hay necesitaremos alg´n tipo de razonamiento
u
que lo justifique, pues el no encontrar soluciones no significa que no las haya.
Si el problema fuera x2 + xy + 3y 2 = 15 el asunto ser´ muy diferente, pues
ıa
podr´ ıamos hacer 4(x2 + xy + 3y 2 ) = (2x + y)2 + 11y 2 y de aqu´ sacar´
ı ıamos una
cota a las posibles soluciones, con lo que un n´mero finito de comprobaciones
u
bastar´ para decidir si las hay. Aun as´ habr´
ıa ı ıamos necesitado un peque˜o truco
n
que requerir´ un m´
ıa ınimo de perspicacia.
De nada sirve despejar la y en funci´n de x, o viceversa, pues entonces nos
o
encontraremos con el problema de determinar si una expresi´n con una ra´
o ız
cuadrada puede o no ser un n´mero natural, y no podremos ir mucho m´s lejos.
u a
Sin duda el lector que cre´ dominar los n´meros naturales reconocer´ ya la
ıa u a
precariedad de ese dominio. Sin embargo esta situaci´n suele causar rechazo al
o
matem´tico acostumbrado a otra clase de problemas m´s . . . ¿abstractos? La
a a
reacci´n natural es: ¿pero qu´ importa si existen o no soluciones naturales? Una
o e
pregunta interesante podr´ ser si existen funciones reales continuas no deriva-
ıa
bles en ning´n punto, por ejemplo, porque una soluci´n negativa consolidar´
u o ıa
nuestro conocimiento de la continuidad y la derivabilidad, mientras que una
soluci´n positiva ser´ (y de hecho es) algo verdaderamente curioso e intrigante.
o ıa
Sin embargo, tanto si alguien encuentra una soluci´n a esa ecuaci´n como si
o o
prueba que no las hay, lo cierto es que nos quedamos igual, obtenemos un dato
irrelevante.
ix

10. x Introducci´n
o
Esta objeci´n entronca con la posible sorpresa de que un libro que promete
o
´
abordar estas banalidades tenga la osad´ de titularse ‘Algebra’. El reproche
ıa
estar´ justificado si lo unico que fu´ramos a ver en este libro fuera una co-
ıa ´ e
lecci´n de recetas o, a´n peor, de trucos para resolver ecuaciones como la de
o u
antes. Tambi´n en tal caso ser´ razonable opinar que el contenido del libro
e ıa
ser´ irrelevante, al menos seg´n los gustos matem´ticos al uso. Sin embargo,
ıa u a
el inter´s de un problema puede no estar en la pregunta sino en la respuesta.
e
Parafraseamos a Gauss al decir que la aridez de esta clase de problemas oculta
una disciplina que merece el t´ ıtulo de Reina de las Matem´ticas. ¿Por qu´ un
a e
matem´tico que destac´ tan prodigiosamente en an´lisis, geometr´ diferencial,
a o a ıa
f´
ısica y estad´ ıstica, entre otras partes de la matem´tica, antepon´ la teor´ de
a ıa ıa
n´meros a todas ellas? Sencillamente porque al abordar problemas como el que
u
hemos propuesto se encontr´ con una teor´ mucho m´s rica, sutil y abstracta
o ıa a
que cualquier otra de su ´poca.e
Ciertamente, la teor´ de n´meros antes de Gauss era esencialmente una
ıa u
colecci´n de trucos, verdaderos monumentos al ingenio humano, eso s´ pero
o ı,
despreciables al gusto del matem´tico moderno, pero estamos hablando de la
a
teor´ de n´meros del siglo XVIII. Para los matem´ticos del siglo XIX la si-
ıa u a
tuaci´n era radicalmente distinta, y es esta visi´n moderna la que queremos
o o
transmitir al lector de este libro. B´sicamente se puede describir como sigue:
a
Los n´meros naturales son unos objetos extremadamente caprichosos, pero
u
no ca´ticos. Es como si un pianista decide caprichosamente qu´ pieza va a
o e
tocar. A priori no podemos predecir lo que har´, pero una vez que conocemos su
a
decisi´n podemos anticipar cada uno de sus movimientos a partir de la partitura.
o
Un pianista ca´tico ser´ por ejemplo un int´rprete de jazz que improvisara en
o ıa e
todo momento. As´ el comportamiento de los n´meros puede ser controlado en
ı, u
funci´n de ciertos par´metros, caprichosos hasta donde hoy se sabe, y la forma
o a
de controlarlos no es la fuerza bruta (la manipulaci´n de ecuaciones al estilo
o
del siglo XVIII), que ofrece resultados muy limitados, sino la psicolog´ m´s ıa a
fina, la b´squeda de leyes generales que s´lo pueden ser expresadas en t´rminos
u o e
de objetos abstractos, impensables en una primera aproximaci´n, pero que los
o
matem´ticos han podido descubrir poco a poco a lo largo de casi dos siglos.
a
Pensemos por ejemplo en la introducci´n de los n´meros enteros:
o u
... −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
Se trata del ejemplo m´s elemental de c´mo un artificio algebraico como es poner
a o
un signo delante de los n´meros resulta ser de inestimable ayuda en su manejo.
u
Tanto es as´ que en realidad, aunque la motivaci´n primera en el estudio de los
ı o
n´meros proviene de los n´meros naturales, es m´s justo decir que en este libro
u u a
se estudian los n´meros enteros.
u
Pero si queremos resolver el problema que hemos planteado necesitamos ir
mucho m´s lejos. El paso siguiente en esta direcci´n es factorizar la ecuaci´n
a o o
≥ √ ¥≥ √ ¥
x2 + xy − 3y 2 = x + y 1+2 13 x + y 1−2 13 .
Esto puede parecer un sucio ‘truco’, pero en realidad es un paso obvio si se
disfruta del punto de vista adecuado. As´ nos encontramos con que la ecuaci´n
ı o

11. xi
est´ relacionada con el n´mero D = 13, invisible hasta ahora, y que se conoce
a u
como discriminante de la ecuaci´n. Por ejemplo, si antes dec´
o ıamos que el proble-
ma con −3 es m´s dif´ que el mismo problema pero con un +3, un algebrista
a ıcil
ver´ el discriminante D = 13 frente al discriminante D = −11, y el algebrista
a
sabe que una de las caracter´ısticas generales de este tipo de ecuaciones es que las
de discriminante negativo siempre son m´s f´ciles. Vemos as´ que el verdadero
a a ı
problema no era el signo del −3, sino el del discriminante.√
Adem´s nos ha aparecido el n´mero irracional 1+2 13 , y en este punto el
a u
algebrista deja de pensar en n´meros para fijarse en algo mucho m´s abstracto,
u a
como es el conjunto
h √ i n √ o
Z 1+2 13 = x + y 1+2 13 | x, y ∈ Z .
´
El sabe que este conjunto tiene una estructura importante conocida como do-
ıntegro, que lo hace muy similar al propio conjunto Z de los n´meros
minio ´ u
enteros. Sobre este conjunto est´ definida una aplicaci´n llamada norma
a o
h √ i
N : Z 1+2 13 −→ Z,
≥ √ ¥ ≥ √ ¥≥ √ ¥
dada por N x + y 1+2 13 = x + y 1+2 13 x + y 1−2 13 = x2 + xy − 3y 2 y
cuyo comportamiento es extremadamente regular.
El resultado es que la penetraci´n del algebrista convierte un arduo problema
o
que todo el mundo entiende en un sencillo problema que s´lo los algebristas
√
o
entienden: ¿Existe un entero cuadr´tico en Q( 1+2 13 ) cuya norma sea 15?
a
Decimos ‘sencillo’ pensando, por supuesto, en el punto de vista del algebrista
que cuenta con el equipaje de una s´lida y elegante teor´ Para ´l la soluci´n se
o ıa. e o
obtiene analizando unos objetos todav´ m´s abstractos y alejados de la simple
ıa a
ecuaci´n dada: los ideales del anillo anterior. No importa si el lector no sabe en
o
este punto de qu´ estamos hablando (eso es lo que puede aprender en este libro,
e
precisamente), lo que importa es que esos ideales siguen un comportamiento
extremadamente simple, de modo que una comprobaci´n elemental le permite
o
concluir la inexistencia de soluciones enteras. Citamos aqu´ la comprobaci´n sin
ı o
a
´nimo de que el lector la entienda, s´lo para que admire su sencillez formal:
o
Tenemos que 15 = 3 · 5 y si existiera un ideal de norma 15 ´ste tendr´
e ıa
un factor primo de norma 5, pero eso significar´ que el discriminante 13 ser´
ıa ıa
un resto cuadr´tico m´dulo 5, pero (13/5) = (3/5) = (5/3) = (2/3) = −1,
a o
contradicci´n.
o
Todo esto puede ser razonado sin esfuerzo incluso mentalmente. El lector
encontrar´ los detalles en el cap´
a ıtulo XIV.
En realidad este problema era muy f´cil. Si el t´rmino independiente de la
a e
ecuaci´n no hubiera sido 15, sino otro n´mero, como 17, entonces la soluci´n
o u o
habr´ sido positiva, y para justificarlo el algebrista habr´ tenido que contar
ıa ıa
con dos datos m´s, todav´ m´s≥abstractos:
a ıa a √ ¥
1) El n´mero de clases de Q 1+2 13 es h = 1,
u
≥ √ ¥
2) El cuerpo Q 1+2 13 contiene unidades de norma negativa.

12. xii Introducci´n
o
Una vez m´s, no esperamos que el lector entienda nada de esto. La segunda
a
propiedad es f´cil de comprobar con un m´
a ınimo tanteo, mientras que la primera
es un hecho nada trivial y que ejemplifica lo que antes llam´bamos comporta- a ≥ √ ¥
miento ‘caprichoso’ de los n´meros. En efecto, cada cuerpo como Q 1+2 13
u
tiene asociado un n´mero natural h llamado su ‘n´mero de clases’, que se puede
u u
calcular en la pr´ctica mediante un algoritmo.
a
√
¿Por qu´ el n´mero de clases para 13 es h = 1 mientras que, por ejemplo,
√ e u
para 15 es h = 2? Esto forma parte del comportamiento caprichoso de los
n´meros del que habl´bamos antes, pero lo cierto es que, una vez determinado
u a
el n´mero de clases, el algebrista sabe cu´l es el ‘car´cter’ que este capricho
u a a
imprime a los problemas asociados a este n´mero, y sabe a qu´ atenerse.
u e
No creemos necesario aburrir al lector con m´s afirmaciones que probable-
a
´
mente no entienda. Estas habr´n bastado para que comprenda la situaci´n.
a o
Los problemas num´ricos como el que hemos presentado abren la puerta, a la
e
vez que dan sentido y motivaci´n, a una teor´ cuyo ‘sabor’ ha podido captar
o ıa
hace un momento, una teor´ profunda, rica en conceptos y en ideas y que nos
ıa
permite llegar a elegantes principios generales m´s simples formalmente cuanto
a
m´s elevados y complejos conceptualmente.
a
Se trata de una situaci´n similar a la de la mec´nica celeste: el movimiento de
o a
los planetas puede ser descrito eficientemente por las leyes ptolemaicas, mera-
mente descriptivas y aproximadas, o por las leyes de Kepler, rigurosas pero
t´cnicas, o por la ley de la gravitaci´n universal de Newton, la m´s simple
e o a
formalmente, o por las ecuaciones de la relatividad general de Einstein, las m´s a
sofisticadas de todas, pero las que proporcionan una mejor comprensi´n del o
fen´meno.
o
El estudio de los n´meros enteros se conoce en general como Teor´ de
u ıa
N´meros, y la teor´ que hay detr´s es tan vasta que no encaja en ninguna
u ıa a
rama particular de las matem´ticas, sino que en ella intervienen el ´lgebra, la
a a
topolog´ el an´lisis e incluso la geometr´ Por ello, y a pesar de que fraccio-
ıa, a ıa.
narla no deja de ser artificial, se habla de una Teor´ de N´meros Elemental (que
ıa u
no usa m´s que la aritm´tica b´sica), una Teor´ Algebraica de N´meros, una
a e a ıa u
Teor´ Anal´
ıa ıtica de n´meros y una Geometr´ de los N´meros. (No obstante
u ıa u
las fronteras no pueden establecerse con precisi´n, y por eso se ha terminado
o
hablando de una Teor´ Algebraica de N´meros Anal´
ıa u ıtica).
El ejemplo que hemos dado corresponde a la Teor´ Algebraica de N´meros
ıa u
(al igual que el contenido de este libro). Quiz´ despu´s de todo podr´ tener
a e ıa
o ´
raz´n el lector que considerara que ‘Algebra’ no es el t´ ıtulo adecuado de este
libro, sino que ser´ mejor haberlo llamado ‘Teor´ Algebraica de N´meros’.
ıa ıa u
Sin embargo hemos decidido darle el t´ ıtulo que tiene porque al fin y al cabo
abordamos a un nivel aceptable como introducci´n el equivalente a un primer
o
curso de ´lgebra: ´lgebra lineal (m´dulos, espacios vectoriales, matrices, deter-
a a o
minantes), teor´ de anillos, teor´ de cuerpos y teor´ de grupos finitos (con
ıa ıa ıa
especial hincapi´ en los grupos abelianos y resolubles y los grupos de permu-
e
´
taciones), y no creemos que la palabra ‘Algebra’ deba significar otra cosa m´s a
especializada. M´s bien los libros que se ocupan de resultados algebraicos tan
a

13. xiii
abstractos que ya no tienen nada que ver con los n´meros (cuyo valor e inter´s
u e
´
nadie pone en duda) deber´ llamarse ‘Algebra abstracta’ (como de hecho al-
ıan
gunos lo hacen), y un libro de Teor´ Algebraica de N´meros ser´ algo m´s
ıa u ıa a
especializado y sistem´tico. Preferimos pensar, pues, que ´ste es un libro de
a e
a
´lgebra con ilustraciones de teor´ de n´meros, encaminado a dotar al lector de
ıa u
una base algebraica suficiente para un estudio posterior de la Teor´ Algebraica
ıa
de N´meros propiamente dicha.
u
El criterio general en la redacci´n ha sido usar los n´meros como hilo con-
o u
ductor e ir introduciendo progresivamente los conceptos algebraicos necesarios
a un nivel lo suficientemente general como para que el lector termine con un co-
nocimiento s´lido del ´lgebra elemental, pero nunca hasta el punto (esperamos)
o a
de que las ideas resulten oscurecidas por los conceptos formales.
La restricci´n principal ha sido que a todos los efectos no existen los n´meros
o u
reales. No hemos demostrado ning´n resultado que requiera el uso de n´meros
u u
reales ni se da ninguna interpretaci´n geom´trica o aplicaci´n a la geometr´
o e o ıa
de los conceptos algebraicos. La raz´n de esta restricci´n es que, en primer
o o
lugar, los n´meros reales no han resultado necesarios en ning´n momento y,
u u
en segundo lugar, que consideramos que la introducci´n m´s razonable de los
o a
n´meros reales es una introducci´n geom´trica y no algebraica ni anal´
u o e ıtica, por
lo que no es ´ste el libro adecuado para presentarlos.
e
La unica laguna importante que este criterio ha ocasionado es que no hemos
´
hablado de equivalencia y semejanza de matrices, vectores propios, polinomios
caracter´ ısticos, etc., pues estos conceptos tienen una interpretaci´n geom´trica
o e
importante y ser´ absurdo introducirlos sin ella. Tambi´n puede echarse en
ıa e
falta la teor´ de Sylow, de la que no hemos hablado porque su indiscutible
ıa
utilidad en el estudio de los n´meros s´lo se pone de manifiesto en estados m´s
u o a
avanzados de la teor´ y por lo tanto hubiera sido forzado mostrar alguna apli-
ıa,
caci´n m´s all´ de la propia teor´ de grupos. Hemos incluido tres ap´ndices
o a a ıa e
con algunos resultados cuyo inter´s no puede comprenderse plenamente sin co-
e
nocer el desarrollo posterior de la teor´ pero que de todos modos pueden ser
ıa,
ilustrativos porque son una prolongaci´n natural de la teor´ elemental.
o ıa
El orden de exposici´n pretende combinar la naturalidad, en el sentido de
o
que cada concepto aparezca en el momento en que resulta necesario, con el
m´ınimo orden preciso para una correcta asimilaci´n por parte del lector. Esto
o
hace que algunos resultados puedan estar en cap´ ıtulos donde en principio no
se esperar´ encontrarlos. Pi´nsese que ´ste no es un libro de consulta, sino
ıa e e
un libro para ser le´ desde el principio hasta el final, un libro donde no se
ıdo
pretende que est´ ‘todo’ sino s´lo lo necesario para que no haya paja que saltar.
e o
Esperamos sinceramente que el lector disfrute, si no con la forma de este
libro, de la que somos responsables, s´ con su contenido, que ha cautivado a
ı
tantos matem´ticos.a

15. Preliminares conjuntistas
Citamos aqu´ brevemente los resultados que el lector deber´ conocer para
ı ıa
entender este libro. De todos modos, salvo en muy contadas ocasiones todos los
requisitos pueden suplirse con un poco de sentido com´n (o intuici´n, como suele
u o
decirse). Por ello el unico requisito real es estar familiarizado con el lenguaje y
´
el razonamiento matem´tico.
a
Suponemos que el lector conoce el lenguaje de la teor´ de conjuntos ele-
ıa
mental: conjuntos, subconjuntos, uni´n, intersecci´n, producto cartesiano, apli-
o o
caciones, etc. S´lo hay un punto a destacar a este respecto, y es que en este
o
libro adoptaremos siempre el convenio de que en una composici´n de aplicacio-
o ° ¢
nes act´a primero la aplicaci´n de la izquierda, esto es, (f ◦ g)(x) = g f (x) .
u o
Consideramos que, a la larga, este convenio resulta mucho m´s natural que el
a
contrario.
Necesitaremos tambi´n algo de teor´ de cardinales, aunque normalmente
e ıa
todos los cardinales que nos aparecer´n ser´n finitos. Si el lector decide ignorar
a a
toda alusi´n a cardinales infinitos se perder´ una m´
o a ınima parte del contenido de
este libro. Baste, pues, saber que el cardinal de un conjunto es, al menos si el
conjunto es finito, lo que usualmente se entiende por su ‘n´mero de elementos’,
u
y que dos conjuntos tienen el mismo cardinal si y s´lo si se puede establecer una
o
aplicaci´n biyectiva entre ellos. El cardinal de un conjunto X es menor o igual
o
que el cardinal de un conjunto Y si y s´lo si existe una aplicaci´n inyectiva de
o o
X en Y .
Un hecho elemental de uso muy frecuente es que si un conjunto finito X tiene
el mismo cardinal que un subconjunto Y , entonces X = Y . M´s en general: una
a
aplicaci´n entre dos conjuntos finitos del mismo cardinal es biyectiva si y s´lo
o o
si es inyectiva si y s´lo si es suprayectiva.
o
Respecto a la aritm´tica cardinal usaremos a menudo que si un conjunto
e
est´ dividido en subconjuntos disjuntos, entonces su cardinal es la suma de los
a
cardinales de sus partes, y si todas ellas tienen el mismo cardinal, entonces el
cardinal del conjunto total es el de una de sus partes multiplicado por el n´mero
u
de partes. As´ mismo, el cardinal de un producto cartesiano es el producto de
ı
los cardinales de los factores.
El unico punto donde necesitaremos alg´n resultado adicional es en la prueba
´ u
de la equicardinalidad de bases (cap´ ıtulo VII). All´ usaremos que si X es un
ı
conjunto infinito, entonces el n´mero de subconjuntos finitos de X coincide con
u
xv

16. xvi Preliminares conjuntistas
el cardinal de X, y que si X est´ dividido en conjuntos finitos, entonces el
a
cardinal de X coincide con el n´mero de partes.
u
Menci´n especial requiere el Lema de Zorn, que nos aparecer´ en pocas
o a
pero importantes ocasiones. Recordemos las definiciones que intervienen en su
enunciado:
Un conjunto X est´ parcialmente ordenado por una relaci´n ≤ si se cumple:
a o
1. x ≤ x para todo x ∈ X.
2. Si x ≤ y e y ≤ x, entonces x = y, para todo x, y, ∈ X.
3. Si x ≤ y e y ≤ z, entonces x ≤ z, para todo x, y, z ∈ X.
El ejemplo t´ıpico de orden parcial en una familia de conjuntos es el dado por
la inclusi´n, es decir, x ≤ y si y s´lo si x ⊂ y.
o o
Un subconjunto Y de un conjunto parcialmente ordenado X es una cadena
si cualquier par de elementos x, y ∈ Y cumple x ≤ y o y ≤ x.
Un elemento x de un conjunto parcialmente ordenado X es una cota superior
de un conjunto Y ⊂ X si para todo y ∈ Y se cumple y ≤ x.
Si X es un conjunto parcialmente ordenado, un maximal de X es un elemento
x ∈ X tal que no existe ning´n y ∈ X que cumpla x ≤ y, x 6= y.
u
Lema de Zorn Si X es un conjunto parcialmente ordenado no vac´ en el que
ıo
toda cadena tiene una cota superior, entonces X tiene un elemento maximal.
En la pr´ctica, el lema de Zorn se aplica a conjuntos ordenados por la in-
a
clusi´n, y la forma t´
o ıpica de probar que una cadena tiene cota superior es probar
que la uni´n de todos sus elementos es tambi´n un elemento del conjunto, lo
o e
cual es siempre un ejercicio sencillo. El resultado es entonces la existencia de un
miembro de la familia que no est´ contenido en ning´n otro. Todas las verifica-
a u
ciones concretas de las hip´tesis del lema de Zorn en este libro se dejan como
o
un sencillo ejercicio para el lector.
Hay un teorema que puede probarse mediante el lema de Zorn pero que
hemos preferido probar de otro modo para evitar tecnicismos conjuntistas de-
masiado prolijos. Se trata de la existencia de clausura algebraica (cap´
ıtulo VIII)
En su lugar usaremos un resultado equivalente al lema de Zorn, y es el principio
de buena ordenaci´n de Zermelo:
o
Principio de buena ordenaci´n Todo conjunto admite un buen orden, esto
o
es, una relaci´n de orden total en la que todo subconjunto no vac´ tiene un
o ıo
m´ınimo elemento.
Usaremos este hecho junto con el teorema de recursi´n transfinita, seg´n el
o u
cual, si X es un conjunto bien ordenado por una relaci´n ≤, podemos definir
o
una sucesi´n {Ax }x∈X definiendo un t´rmino arbitrario Ax en funci´n de la
o e o
sucesi´n de t´rminos anteriores {Ay }y<x .
o e

17. Cap´
ıtulo I
Los n´ meros enteros y
u
racionales
1.1 Construcci´n de los n´ meros enteros
o u
Seguramente el lector conocer´ de sobra los n´meros enteros. Los n´meros
a u u
enteros son:
... −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
En definitiva los n´meros enteros no son sino los n´meros naturales por dupli-
u u
cado, de modo que mientras la operaci´n 4 − 7 no puede efectuarse con n´meros
o u
naturales, tiene en cambio la soluci´n entera −3.
o
En primer lugar vamos a indicar c´mo construir los n´meros enteros en
o u
teor´ de conjuntos. Aunque la formalizaci´n conjuntista no va a ser nuestra
ıa o
preocupaci´n principal, consideramos ilustrativo detenernos en ello porque se
o
trata de un buen ejemplo del uso de las relaciones de equivalencia, y el lector
deber´ reflexionar sobre esta construcci´n no s´lo hasta entenderla, sino hasta
ıa o o
verla natural.
En principio podr´ ıamos definir los n´meros enteros como los n´meros natu-
u u
rales precedidos de un signo +/−, con el convenio de que +0 = −0. Esto ser´ ıa
l´gicamente aceptable y probablemente es la definici´n que m´s se ajusta a la
o o a
idea que el lector tiene de estos n´meros, pero no es la definici´n m´s pr´ctica
u o a a
ni mucho menos en la que podr´ ıamos pensar. Por ejemplo, si a partir de dicha
definici´n queremos definir la suma de dos n´meros enteros deber´
o u ıamos escribir
algo as´ como:
ı
La suma de dos n´meros enteros del mismo signo se calcula sumando sus
u
valores absolutos con el mismo signo. La suma de dos n´meros enteros de signos
u
opuestos se calcula restando sus valores absolutos con el signo del sumando de
mayor valor absoluto.
El lector lo habr´ entendido perfectamente, pero desde un punto de vista
a
l´gico es una ley enrevesada y si quisi´ramos usarla para probar algo tan simple
o e
1

18. 2 Cap´
ıtulo 1. Los n´meros enteros y racionales
u
como que (n + m) + r = n + (m + r) nos obligar´ a distinguir casos y m´s casos.
ıa a
La idea para obtener una definici´n pr´ctica parte del hecho de que un
o a
n´mero entero puede ser determinado algebraicamente como la resta de dos
u
n´meros naturales. Por ejemplo, el par (8, 3) determina el n´mero 8 − 3 = +5,
u u
mientras que el par (3, 8) determina al n´mero 3 − 8 = −5.
u
No podemos establecer que el n´mero entero +5 ser´ para nosotros el par
u a
de n´meros naturales (8, 3), porque, por ejemplo, el par (7, 2) es otro objeto
u
distinto que tendr´ el mismo derecho a ser identificado con el entero +5.
ıa
Entonces nos preguntamos cu´ndo dos pares de n´meros (a, b) y (c, d) dan
a u
lugar al mismo n´mero entero al restar sus componentes. Obviamente se cumple
u
a − b = c − d si y s´lo si a + d = b + c. Ahora observamos que los pares de
o
n´meros naturales y la relaci´n a + d = b + c no involucran en absoluto n´meros
u o u
enteros, luego podemos usarlos para definir los n´meros enteros sin que nuestra
u
definici´n resulte circular.
o
Definici´n 1.1 Suponemos conocido el conjunto de los n´meros naturales, al
o u
que aqu´ llamaremos N. Definimos en N × N la relaci´n R dada por
ı o
(a, b) R (c, d) si y s´lo si a + d = b + c.
o
Es f´cil probar que se trata de una relaci´n de equivalencia. Llamaremos
a o
[a, b] a la clase de equivalencia del par (a, b), es decir, [a, b] es el conjunto formado
por todos los pares relacionados con (a, b).
En los t´rminos anteriores los elementos de [a, b] son todos los pares que
e
dan lugar al mismo n´mero entero que (a, b) al restar sus componentes, con
u
lo que existe exactamente una clase de equivalencia por cada n´mero entero. u
Por ejemplo, el n´mero +5 se corresponde con la clase cuyos elementos son
u
(5, 0), (6, 1), (7, 2), . . . La diferencia l´gica es que los n´meros enteros no los
o u
tenemos definidos y las clases de equivalencia respecto a la relaci´n R s´ o ı.
Llamaremos conjunto de los n´meros enteros al cociente Z = (N × N)/R. La
u
letra Z es por el alem´n Zahl (n´mero). Si n es un n´mero natural llamaremos
a u u
+n = [n, 0] y −n = [0, n].
Ahora es f´cil probar que todo n´mero entero [a, b] es de la forma [a − b, 0] o
a u
bien [0, b − a], seg´n si a es mayor o menor que b, es decir, todo n´mero entero
u u
es de la forma +n o bien −n para un n´mero natural n. Adem´s todos ´stos
u a e
son distintos salvo en el caso +0 = −0 = [0, 0].
Llamaremos n´meros positivos a los del conjunto Z+ = {+n | n ∈ N, n 6= 0}.
u
Los n´meros negativos ser´n los del conjunto Z− = {−n | n ∈ N, n 6= 0}. De
u a
este modo el conjunto Z se expresa como uni´n disjunta Z = Z+ ∪ Z− ∪ {0}.
o
Para ordenar los n´meros enteros observamos que ha de ser a − b ≤ c − d si y
u
s´lo si a + d ≤ b + c (para todos los n´meros naturales a, b, c, d), luego podemos
o u
definir [a, b] ≤ [c, d] si y s´lo si a + d ≤ b + c.
o
Esta definici´n exige comprobar que es compatible con la relaci´n R, es
o o
decir, que si [a, b] = [a0 , b0 ] y [c, d] = [c0 , d0 ] entonces a + d ≤ b + c si y s´lo si
o
a0 + d0 ≤ b0 + c0 .

19. 1.2. Anillos 3
La comprobaci´n es sencilla, como tambi´n lo es probar que esta relaci´n
o e o
define un orden total con el cual Z queda ordenado seg´n lo hemos representado
u
en la p´gina 1. En lo sucesivo identificaremos los n´meros naturales con los
a u
n´meros enteros no negativos. En particular suprimiremos el signo +, de modo
u
que 2 y +2 ser´n una misma cosa. Por tanto podemos escribir N ⊂ Z.
a
La suma y el producto de n´meros enteros se definen como sigue:
u
[a, b] + [c, d] = [a + c, b + d], [a, b][c, d] = [ac + bd, ad + bc].
(El lector debe convencerse de que ´stas son las definiciones l´gicas. Por ejemplo,
e o
en el caso de la suma ha de considerar que (a − b) + (c − d) = (a + c) − (b + d).)
Es f´cil ver que estas operaciones son compatibles con la identificaci´n que
a o
hemos hecho entre n´meros naturales y enteros, es decir, que 7 + 5 = 12 visto
u
tanto como suma de n´meros naturales como de enteros (m´s concretamente:
u a
(+m) + (+n) = +(m + n)).
Ahora es f´cil demostrar las propiedades b´sicas de la suma de enteros.
a a
Veamos como muestra la asociatividad que antes hab´ ıamos puesto como ejemplo:
([a, b] + [c, d]) + [e, f ] = [a + c + e, b + d + f ] = [a, b] + ([c, d] + [e, f ]).
1.2 Anillos
Nuestro estudio de los n´meros enteros nos va a llevar m´s adelante a tra-
u a
bajar con ‘n´meros’ m´s generales (o m´s abstractos, si se quiere). Por ello, en
u a a
lugar de enunciar directamente las propiedades b´sicas de las operaciones con
a
enteros conviene hacerlo en un contexto m´s general, de manera que el mismo
a
lenguaje que introduzcamos ahora nos permita despu´s sentir cierta familiaridad
e
con los objetos que nos encontraremos.
Definici´n 1.2 Una ley de composici´n interna en un conjunto A es una apli-
o o
caci´n ∗ : A × A −→ A. Escribiremos a ∗ b en lugar de ∗(a, b).
o
Diremos que una ley de composici´n interna ∗ es asociativa si cumple que
o
(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) para todos los elementos a, b y c del conjunto A.
En tal caso las expresiones de la forma a ∗ b ∗ c ∗ d ∗ e, y en general a1 ∗ · · · ∗ an
est´n bien definidas, en el sentido de que no dependen del orden en que se
a
efect´en las operaciones (respetando la posici´n de los factores) y por lo tanto
u o
no se necesitan par´ntesis.
e
Una ley de composici´n interna ∗ es conmutativa si cumple a ∗ b = b ∗ a
o
para todos los elementos a y b del conjunto A. Si ∗ es a la vez asociativa y
conmutativa las expresiones a1 ∗ · · · ∗ an no dependen tampoco de la posici´n o
de cada factor, es decir, podemos desordenarlas sin alterar el resultado.
Un anillo es una terna (A, +, ·) en la que A es un conjunto y +, · son dos
leyes internas en A, de modo que se cumplan las propiedades siguientes:
1. (a + b) + c = a + (b + c) para todos los a, b, c de A.
2. a + b = b + a para todos los a, b de A.

20. 4 Cap´
ıtulo 1. Los n´meros enteros y racionales
u
3. Existe un elemento 0 en A tal que a + 0 = a para todo a de A.
4. Para todo a de A existe un −a en A tal que a + (−a) = 0.
5. (ab)c = a(bc) para todos los a, b, c de A.
6. a(b + c) = ab + ac
(a + b)c = ac + bc para todos los a, b, c de A.
El elemento aludido en la condici´n 3 ha de ser unico, pues si 0 y 00 cumplen
o ´
lo mismo entonces 0 = 0 + 00 = 00 . Lo llamaremos elemento neutro o nulo del
anillo A.
Igualmente, para cada a de A el elemento −a aludido en 4 es unico, pues
´
si b cumpliera lo mismo entonces b = 0 + b = −a + a + b = −a + 0 = −a. Lo
llamaremos elemento sim´trico u opuesto de a.
e
En lo sucesivo usaremos siempre los signos + y · para nombrar las operacio-
nes de un anillo cualquiera, aunque en cada caso se tratar´ de una operaci´n
a o
distinta. A la operaci´n + la llamaremos ‘suma’ y a la operaci´n · la llama-
o o
remos ‘producto’. Igualmente, ‘A es un anillo’ significar´ que lo es con ciertas
a
operaciones que se sobrentienden. Pn
Escribiremos a − b en lugar de a + (−b). La notaci´n i=1 ai se usar´ para
Qn o a
representar sumas finitas mientras que i=1 ai indicar´ un producto finito.
a
Un anillo A es conmutativo si ab = ba para todos los elementos a y b de A.
Un anillo A es unitario si existe un elemento 1 en A tal que a · 1 = 1 · a = a
para todo elemento a de A. Dicho elemento 1 ha de ser unico, pues si 1 y
´
10 cumplen lo mismo entonces 1 = 1 · 10 = 10 . Al elemento 1 lo llamaremos
identidad de A.
El teorema siguiente contiene unas cuantas propiedades sencillas de los ani-
llos. Todas ellas se cumplen en particular en el caso de Z, pero a´n m´s im-
u a
portante es saber que podremos usarlas al trabajar con cualquier conjunto del
que sepamos que tiene estructura de anillo, por muy abstracta que pueda ser la
naturaleza de sus elementos y sus operaciones.
Teorema 1.3 Sea A un anillo y a, b, c elementos de A.
1. Si a + b = a + c entonces b = c.
2. Si a + a = a entonces a = 0.
3. −(−a) = a.
4. 0a = a0 = 0.
5. (−a)b = a(−b) = −(ab).
6. (−a)(−b) = ab.
7. −(a + b) = −a − b.

21. 1.2. Anillos 5
´
Demostracion:
1. a + b = a + c ⇒ −a + a + b = −a + a + c ⇒ 0 + b = 0 + c ⇒ b = c.
2. a + a = a ⇒ a + a = a + 0 ⇒ a = 0.
3. −a + a = 0 = −a + (−(−a)) ⇒ a = −(−a).
4. 0a = (0 + 0)a = 0a + 0a ⇒ 0a = 0.
5. (−a)b + ab = (−a + a)b = 0b = 0 ⇒ (−a)b = −(ab).
6. (−a)(−b) = −(a(−b)) = −(−(ab)) = ab.
7. (−a − b) + (a + b) = a − a + b − b = 0 ⇒ (−a − b) = −(a + b).
Observemos que si en un anillo unitario A se cumple 1 = 0 entonces cualquier
a ∈ A cumple a = a · 1 = a · 0 = 0, luego A = {0}. Los anillos que m´s nos a
van a interesar son los anillos conmutativos y unitarios distintos de este caso
trivial. A tales anillos los llamaremos dominios es decir: Un dominio es un anillo
conmutativo y unitario en el que 1 6= 0. Es f´cil ver que Z es un dominio.
a
Notemos que en cualquier anillo a0 = 0a = 0, pero no es cierto en general
que si ab = 0 uno de los factores haya de ser nulo. Por supuesto en Z s´ ocurre
ı
as´ Vamos a dar una definici´n que recoja este hecho.
ı. o
Definici´n 1.4 Un elemento a de un dominio A es un divisor de cero si es no
o
nulo y existe un b en A no nulo tal que ab = 0. Un dominio ´ıntegro es un
dominio sin divisores de cero.
Una propiedad muy importante de los dominios ´ ıntegros es que en ellos
podemos simplificar elementos no nulos de las igualdades, es decir, si en un
dominio ´ıntegro tenemos que ab = ac y a 6= 0, entonces b = c, pues a(b − c) = 0,
luego b − c = 0.
Ejercicio: Dotar a Z × Z de una estructura de dominio que no sea ´
ıntegro.
Para acabar con las propiedades b´sicas del anillo Z vamos a probar que
a
cualquier par de n´meros no nulos se puede dividir eucl´
u ıdeamente, es decir, se
puede obtener un cociente y un resto. Nos basamos en que los n´meros naturales
u
cumplen esto mismo.
Teorema 1.5 Sean D y d n´meros enteros con d no nulo. Entonces existen
u
unos unicos enteros c y r tales que D = dc + r y 0 ≤ r < |d|, donde |d| es igual
´
a d si d es positivo y a −d si es negativo.
´
Demostracion: Consideremos los n´meros naturales |D| y |d|. Sabemos
u
que existen naturales c y r tales que |D| = |d|c + r, con 0 ≤ r < |d|.
Si r = 0 entonces cambiando el signo de c si es preciso tenemos D = dc + 0.
Supongamos r > 0.
Si D ≥ 0 y d > 0 entonces tenemos D = dc + r, como quer´ ıamos.

22. 6 Cap´
ıtulo 1. Los n´meros enteros y racionales
u
Si D ≥ 0 y d < 0 entonces sirve D = d(−c) + r.
Si D < 0 y d > 0 entonces D = d(−c − 1) + (d − r).
Si D < 0 y d < 0 entonces D = d(c + 1) + (−d − r).
Si tuvi´ramos dos expresiones distintas D = dc + r = dc0 + r0 , entonces sea
e
c = c si d > 0 y c = −c si d < 0. Igualmente definimos c0 . As´ dc = |d|¯,
¯ ¯ ¯ ı c
dc0 = |d|0 c0 . Supongamos que c < c0 . Entonces
¯ ¯ ¯
D = dc + r = |d|¯ + r < |d|¯ + |d| = |d|(¯ + 1) ≤ |d|¯0 = dc0 ≤ dc0 + r0 = D,
c c c c
y esto es una contradicci´n. Por lo tanto ha de ser c = c0 y de aqu´ que
o ı
dc + r = dc + r0 , luego r = r0 .
Esta propiedad de los n´meros enteros confiere propiedades muy importantes
u
al anillo Z y es pose´ tambi´n por otros anillos de inter´s. Por ello conviene
ıda e e
tratarla en general.
Definici´n 1.6 Un dominio eucl´
o ıdeo es un dominio ´ ıntegro A tal que existe
una funci´n φ : A {0} −→ N que cumpla lo siguiente:
o
1. Si a, b son elementos de A no nulos φ(a) ≤ φ(ab).
2. Si D y d son elementos de A con d 6= 0 entonces existen c y r en A de
manera que D = dc + r con r = 0 o bien 0 ≤ φ(r) < φ(d).
La funci´n φ se llama norma eucl´
o ıdea.
Es obvio que Z es un dominio eucl´ ıdeo con la norma φ dada por φ(a) = |a|.
Ahora bien, observemos que el cociente y el resto no son unicos. Por ejemplo,
´
para dividir 8 entre 3 podemos hacer 8 = 3 · 2 + 2 o bien 8 = 3 · 3 − 1. En ambos
casos |r| < |d|.
Un elemento a de un dominio A es una unidad si existe un elemento b en
A tal que ab = 1. Dicho elemento b est´ un´
a ıvocamente determinado por a, ya
que si ab = 1 = ac entonces b = b1 = bac = 1c = c. A este unico elemento lo
´
llamaremos inverso de a y lo representaremos por a−1 .
Obviamente 1 es una unidad y 1−1 = 1. En cambio 0 no puede ser una
unidad. Una unidad no puede ser divisor de cero, pues si a es una unidad y
ab = 0, entonces b = 1b = a−1 ab = a−1 0 = 0.
Las unidades de Z son exactamente 1 y −1.
Un anillo de divisi´n es un anillo unitario con 1 6= 0 en el que todo elemento
o
no nulo es una unidad.
Un cuerpo es un anillo de divisi´n conmutativo. En particular todo cuerpo
o
es un dominio ´ıntegro.
Observemos tambi´n que todo cuerpo K es un dominio eucl´
e ıdeo tomando
como norma la aplicaci´n constante 1, pues la divisi´n eucl´
o o ıdea puede realizarse
siempre con resto 0, es decir, D = d(D/d) + 0.
Vamos a definir operaciones entre n´meros enteros y los elementos de un
u
anillo.

23. 1.3. Cuerpos de cocientes. N´meros racionales
u 7
Sea A un anillo, a un elemento de A y n un n´mero entero. Definimos el
u
elemento na como
 n veces

 a + ··· + a si n > 0
na = 0 si n = 0

 −n veces
(−a) + · · · + (−a) si n < 0
n veces
Si n > 0 definimos tambi´n an = a · · · a. Si A es unitario a0 = 1, y si a es
e
−n veces
una unidad y n < 0, entonces an = a−1 · · · a−1 .
Es pura rutina comprobar los hechos siguientes.
Teorema 1.7 Sea A un anillo unitario y a, b elementos de A (que supondremos
inversibles cuando proceda). Sean m y n n´meros enteros. Se cumple:
u
1. m(a + b) = ma + mb.
2. (m + n)a = ma + na.
3. (−m)a = −(ma) = m(−a).
4. m(na) = (mn)a.
5. Si ab = ba entonces (ab)m = am bm .
6. am+n = am an .
7. (am )n = amn .
8. a−m = (a−1 )m = (am )−1 .
Adem´s si A = Z, ma es lo mismo en el sentido de la definici´n anterior que
a o
en el sentido del producto usual en Z.
1.3 Cuerpos de cocientes. N´ meros racionales
u
A continuaci´n vamos a dar un m´todo para obtener un cuerpo a partir
o e
de un dominio ´ ıntegro. A partir de Z obtendremos el cuerpo de los n´meros
u
racionales, pero el m´todo es general y lo aplicaremos a m´s casos.
e a
Sea K un cuerpo y a, b dos elementos de K con b no nulo. Llamaremos
a
b = ab−1 . Es f´cil comprobar las relaciones siguientes:
a
a c a c ad + bc ac ac
= ⇔ ad = bc, + = , = .
b d b d bd bd bd
Con estos hechos in mente definimos:

24. 8 Cap´
ıtulo 1. Los n´meros enteros y racionales
u
Definici´n 1.8 Sea A un dominio ´
o ıntegro y A∗ = A {0}. Sea R la relaci´n
o
∗
en el conjunto A × A dada por (a, b) R (c, d) ⇔ ad = bc. Es f´cil probar
a
que R es una relaci´n de equivalencia en A × A∗ . Llamaremos a a la clase
o b
de equivalencia del par (a, b). De este modo se cumple a = d ⇔ ad = bc.
b
c
Llamaremos cuerpo de cocientes de A al conjunto cociente K = (A × A∗ )/R.
Es f´cil comprobar que ciertamente K es un cuerpo con las operaciones dadas
a
por a + d = ad+bc , a d = ac . Concretamente 0 = 0 , 1 = 1 ,− a = −a = −b , y
b
c
bd
c a
° ab −1 bd
¢ 1 1 b b
si a 6= 0, entonces b
b
b
= a.
Para relacionar un anillo con su cuerpo de cocientes conviene introducir
algunos conceptos. Es claro que lo que interesa de un anillo no es en absoluto
la naturaleza conjuntista de sus elementos sino el modo en que los relacionan
las leyes internas. Por ejemplo, si A = {a, b} es cualquier conjunto con dos
elementos, es f´cil convertirlo en un anillo (cuerpo, de hecho) con las leyes
a
dadas por a + a = b + b = a, a + b = b + a = b, aa = ab = ba = a, bb = b.
Si hacemos lo mismo con otro conjunto A0 = {a0 , b0 } obtenemos un anillo
distinto conjuntistamente, pero el mismo anillo algebraicamente. La forma de
plasmar esta relaci´n es el concepto de homomorfismo de anillos que definimos
o
a continuaci´n.
o
Definici´n 1.9 Sean A y B dos anillos. Una aplicaci´n f : A −→ B es un
o o
homomorfismo de anillos si cumple f (a + b) = f (a) + f (b), f (ab) = f (a)f (b)
para todos los elementos a y b de A.
Una consecuencia inmediata es que f (0) = f (0 + 0) = f (0) + f (0), luego
f (0) = 0, y que f (a) + f (−a) = f (a − a) = f (0) = 0, luego f (−a) = −f (a).
Tambi´n es claro que si m es un n´mero entero f (ma) = mf (a).
e u
Una precauci´n es que no tiene por qu´ ocurrir f (1) = 1. Por ejemplo la
o e
aplicaci´n que vale constantemente 0 es un homomorfismo (el unico) que cumple
o ´
f (1) = 0.
Suponiendo f (1) 6= 0, una condici´n suficiente para que f (1) = 1 es que B
o
sea un dominio ´ıntegro, pues entonces f (1)f (1) = f (1 · 1) = f (1) = f (1)1, luego
f (1) = 1.
Cuando f (1) = 1 se cumple f (an ) = f (a)n para todo elemento a de A y
todo entero n. En cualquier caso esto vale para exponentes positivos.
La composici´n de homomorfismos es un homomorfismo.
o
Un isomorfismo de anillos es un homomorfismo biyectivo. Notemos que
si f : A −→ B es ° isomorfismo, ¢
un entonces f −1¢ : B °−→ A¢tambi´n es un
° e
isomorfismo, pues f f (a) + f (b) = f f −1 (a) + f f −1 (b) = a + b, luego
−1 −1
f −1 (a + b) = f −1 (a) + f −1 (b), e igualmente ocurre con el producto.
Dos anillos A y B son isomorfos (abreviadamente, A ∼ B) si existe un
=
isomorfismo f : A −→ B. Cuando dos anillos son isomorfos son algebraicamente
indistinguibles, es decir, uno es conmutativo si y s´lo si lo es el otro, etc. Por
o
tanto podemos considerarlos el mismo anillo.

25. 1.3. Cuerpos de cocientes. N´meros racionales
u 9
Un anillo A es un subanillo de un anillo B si A ⊂ B y las operaciones de A
son las mismas que las de B. Por ejemplo, {2n | n ∈ Z} es un subanillo de Z
(no unitario, por cierto). En general, si f : A −→ B es un homomorfismo, es
f´cil ver que f [A] es un subanillo de B.
a
Ejercicio: Considerando Z × Z y Z × {0}, probar que la identidad de un subanillo
puede ser distinta de la del anillo. Probar que esto es imposible si los anillos son
dominios ´
ıntegros.
Un monomorfismo de anillos es un homomorfismo inyectivo. Si f : A −→ B
es un monomorfismo es claro que f : A −→ f [A] es un isomorfismo, o sea, A
es isomorfo a un subanillo de B, luego podemos identificar A con su imagen y
considerar que A es un subanillo de B.
´
Este es el caso de un dominio ´
ıntegro y su cuerpo de cocientes:
Teorema 1.10 Sea A un dominio ´ ıntegro y K su cuerpo de cocientes.
a) La aplicaci´n φ : A −→ K dada por φ(a) = a/1 es un monomorfismo de
o
anillos.
b) Si K 0 es un cuerpo y ψ : A −→ K 0 es un monomorfismo de anillos, existe
un unico monomorfismo de cuerpos χ : K −→ K 0 tal que para todo a de A se
´
cumple χ(φ(a)) = ψ(a).
´
Demostracion: a) es inmediato. Para probar b) basta definir χ(a/b) =
ψ(a)ψ(b)−1 . Se prueba que la definici´n no depende de la representaci´n de a/b
o o
como fracci´n y que es un monomorfismo.
o
Lo que afirma la parte a) del teorema anterior es que podemos considerar
a A como un subanillo de su cuerpo de cocientes sin m´s que identificar cada
a
elemento a con a/1, es decir, considerando que dividir entre 1 es no hacer nada.
La parte b) afirma que si un cuerpo K 0 contiene a A, entonces tambi´n e
contiene una copia isomorfa de K, a saber, el conjunto {ab−1 | a, b ∈ A}. En
otras palabras, si ya tenemos a A contenido en un cuerpo K 0 no necesitamos
salirnos de K 0 para construir el cuerpo de cocientes de A. Basta tomar todas
las fracciones posibles con elementos de A aunque, si no tenemos a A metido en
ning´n cuerpo, siempre podemos realizar la construcci´n de la definici´n 1.8.
u o o
Definici´n 1.11 Llamaremos cuerpo de los n´meros racionales Q al cuerpo de
o u
cocientes de Z. Los elementos de Q son las fracciones a/b con a, b en Z, b 6= 0.
Como a = −a , podemos exigir que b sea positivo.
b −b
El cuerpo Q est´ totalmente ordenado por la relaci´n a ≤ d ⇔ ad ≤ bc
a o b c
(si b, d > 0). Es f´cil ver que este orden extiende al de Z. Llamaremos Q+
a
al conjunto de los n´meros racionales positivos (mayores que 0) y Q− al de los
u
n´meros negativos.
u
El valor absoluto de un n´mero racional r es
u
Ω
r si r ≥ 0,
|r| =
−r si r < 0.

26. 10 Cap´
ıtulo 1. Los n´meros enteros y racionales
u
El signo de r es 
 1 si r > 0,
sig r = 0 si r = 0,

−1 si r < 0.
El lector puede entretenerse demostrando el teorema siguiente:
Teorema 1.12 Sean r, s, t y u n´meros racionales.
u
1. Si r ≤ s y t ≤ u entonces r + t ≤ s + u.
2. Si r ≤ s entonces −s ≤ −r y si son positivos 1/s ≤ 1/r.
3. Si 0 ≤ r y s ≤ t, entonces rs ≤ rt.
4. Existe un n´mero natural n tal que r < n.
u
5. Si r < s existe un n´mero racional t tal que r < t < s.
u
6. |r| = |s| si y s´lo si r = s o r = −s.
o
7. |r| ≤ a si y s´lo si −a ≤ r ≤ a.
o
8. |rs| = |r||s|.
9. |a + b| ≤ |a| + |b|.
Ø Ø
10. Ø|a| − |b|Ø ≤ |a − b|.
(Veamos por ejemplo la prueba de 10: por 9) |a| = |a − b + b| ≤ |a − b| + |b|,
luego |a| − |b| ≤ |a − b|, y similarmente |b| − |a| ≤ |a − b|, luego tenemos que
−|a − b| ≤ |a| − |b| ≤ |a − b|, y por 7) concluimos 10).
Los cuerpos de cocientes nos permiten salirnos temporalmente de un anillo
en nuestros c´lculos aunque despu´s volvamos a ´l. Veamos un ejemplo.
a e e
Definici´n 1.13 Definimos inductivamente el factorial de un n´mero natural
o u
mediante las condiciones siguientes:
0! = 1, (n + 1)! = (n + 1) n!
Por ejemplo
0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, etc.
Sean n, n1 , . . . , nk n´meros naturales tales que n = n1 +. . . +nk . Definimos
u
el n´mero combinatorio
u
µ ∂
n n!
=
n1 · · · nk n1 ! · · · nk !
Si 0 ≤ m ≤ n abreviaremos
µ ∂ µ ∂
n n n!
= =
m m n−m m! (n − m)!

27. 1.3. Cuerpos de cocientes. N´meros racionales
u 11
µ ∂
5
Por ejemplo, = 10. Vamos a demostrar las propiedades principales de los
3
n´meros combinatorios.
u
Teorema 1.14 Sean m ≤ n n´meros naturales.
u
°n¢ ° n ¢
1. m = n−m .
° ¢ ° ¢ °n¢
2. n = n = 1,
0 n 1 = n.
° n ¢ ° n ¢ ° n+1 ¢
3. Si m < n, m + m+1 = m+1 .
4. Los n´meros combinatorios son n´meros naturales.
u u
´
Demostracion: 3) Hay que probar que
n! n! (n + 1)!
+ = .
m! (n − m)! (m + 1)! (n − m − 1)! (m + 1)! (n − m)!
Ahora bien,
µ ∂
n! n!
+ (m + 1)! (n − m)!
m! (n − m)! (m + 1)! (n − m − 1)!
n! (m + 1) m! (n − m)! n! (m + 1)! (n − m)(n − m − 1)!
= +
m! (n − m)! (m + 1)! (n − m − 1)!
= n! (m + 1) + n! (n − m) = m n! + n! + n n! − m n! = (n + 1) n! = (n + 1)!
°n¢
4) Una simple inducci´n nos da que m es un n´mero natural, pues cada
o u
n´mero combinatorio con n + 1 es suma de dos con n, por el apartado 3).
u
Para el caso general basta usar que
µ ∂ µ ∂µ ∂
n n − nk+1 n
= .
n1 . . . nk nk+1 n1 . . . nk nk+1
La forma m´s f´cil de calcular los n´meros combinatorios es disponerlos en
a a u
forma de tri´ngulo, de modo que cada uno es la suma de los dos que hay sobre
a
´l. El tri´ngulo as´ construido se suele llamar tri´ngulo de Tartaglia.
e a ı a
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
Tri´ngulo de Tartaglia
a
La utilidad principal de estos n´meros ser´ para nosotros el hecho siguiente:
u a

28. 12 Cap´
ıtulo 1. Los n´meros enteros y racionales
u
Teorema 1.15 (Binomio de Newton) Sea A dominio, n un n´mero natural
u
y a, b dos elementos de A. Entonces
X µn∂
n
(a + b)n = am bn−m .
m=0
m
´
Demostracion: Por inducci´n sobre n. Para n = 0 es inmediato.
o
X µn∂
n
n+1 n
(a + b) = (a + b) (a + b) = am bn−m (a + b)
m=0
m
X µn∂
n X µn∂
n
m+1 n−m
= a b + am bn−m+1
m=0
m m=0
m
n+1
X µ ∂ X µn∂
n
n m n+1−m
= a b + am bn+1−m
m=1
m−1 m=0
m
µ ∂ µ ∂
n 0 n+1 n n+1 0
= a b + a b
0 n
Xµ n ∂
n X µn∂
n
+ am bn+1−m + am bn+1−m
m=1
m−1 m=1
m
µ ∂ µ ∂
n 0 n+1 n + 1 n+1 0
= a b + a b
0 n+1
X µµ n ∂ µ n ∂∂
n
+ + am bn+1−m
m=1
m−1 m
µ ∂ µ ∂ n µ ∂
n 0 n+1 n + 1 n+1 0 X n + 1 m n+1−m
= a b + a b + a b
0 n+1 m=1
m
n+1
X µ ∂
n + 1 m n+1−m
= a b .
m=0
m
Pn ° ¢
n
Una consecuencia inmediata es que m=0 m = (1 + 1)n = 2n .
De forma similar se demuestra en general:
Teorema 1.16 Sea A un anillo conmutativo y unitario,n un n´mero natural y u
a1 , . . . , ak elementos de A. Entonces se cumple:
X µ n
∂
n
(a1 + · · · + ak ) = an1 · · · ank ,
n ,...,n
n1 · · · nk 1 k
1 k
donde la suma se extiende sobre todos los n´meros naturales n1 , . . . , nk tales
u
que n1 + · · · + nk = n.

29. 1.4. Cuaterniones racionales 13
1.4 Cuaterniones racionales
Para terminar esbozaremos un ejemplo de un anillo de divisi´n D que no
o
es un cuerpo. La idea es que los elementos de D han de ser de la forma a +
bi + cj + dk, donde a, b, c y d son n´meros racionales. Los elementos i, j, k se
u
multiplican como sigue:
i2 = j 2 = k2 = −1, ij = k, ji = −k, jk = i, kj = −i, ki = j, ik = −j.
O sea, cuando multiplicamos en el orden i → j → k → i, el producto es
el elemento restante, pero si multiplicamos en el orden inverso obtenemos el
opuesto.
Seg´n esto, dos elementos cualesquiera se han de multiplicar as´
u ı:
(a+bi+cj +dk)(a0 +b0 i+c0 j +d0 k) = (aa0 −bb0 −cc0 −dd0 )+(ab0 +ba0 +cd0 −dc0 )i
+(ac0 + ca0 + db0 − bd0 )j + (ad0 + da0 + bc0 − cb0 )k.
Como un elemento de D viene determinado por cuatro n´meros racionales,
u
formalmente podemos definir D = Q4 y las operaciones vendr´n dadas por:
a
(a, b, c, d) + (a0 , b0 , c0 , d0 ) = (a + a0 , b + b0 , c + c0 , d + d0 )
(a, b, c, d)(a0 , b0 , c0 , d0 )
= (aa0 −bb0 −cc0 −dd0 , ab0 +ba0 +cd0 −dc0 , ac0 +ca0 +db0 −bd0 , ad0 +da0 +bc0 −cb0 ).
As´ es f´cil, aunque tedioso, probar que D es un anillo unitario. La identidad
ı a
es, por supuesto, (1, 0, 0, 0).
Llamando 1 = (1, 0, 0, 0), i = (0, 1, 0, 0), j = (0, 0, 1, 0) y k = (0, 0, 0, 1), es
f´cil probar que
a
(a, b, c, d) = (a, 0, 0, 0)1 + (b, 0, 0, 0)i + (c, 0, 0, 0)j + (d, 0, 0, 0)k.
Por otra parte, la aplicaci´n que a cada n´mero racional a le asigna (a, 0, 0, 0)
o u
es un monomorfismo de anillos, por lo que si identificamos a con (a, 0, 0, 0),
obtenemos que cada elemento de D se expresa de forma unica como quer´
´ ıamos,
es decir, (a, b, c, d) = a + bi + cj + dk.
Los elementos de D se llaman cuaterniones racionales. Para probar que D es
realmente un anillo de divisi´n conviene llamar conjugado de q = a + bi + cj + dk
o
al cuaterni´n q = a − bi − cj − dk. Es f´cil probar que q q = a2 + b2 + c2 + d2 .
o ¯ a ¯
A este n´mero lo llamaremos norma de q. La norma de un cuaterni´n q, que
u o
representaremos por N(q), es un n´mero racional positivo y adem´s claramente
u a
N(q) = 0 ⇔ q = 0.
q
¯
Si q es un cuaterni´n no nulo, tenemos que existe q −1 = N(q) , luego cierta-
o
mente D es un anillo de divisi´n. Como ij 6= ji, no es un cuerpo.
o
Ejercicio: Comprobar que pq = q p, y de aqu´ a su vez que N(pq) = N(p) N(q).
¯¯ ı
Ejercicio: Escribir expl´
ıcitamente la igualdad N(pq) = N(p) N(q) e interpretarla como
una propiedad de los n´meros naturales.
u
Ejercicio: ¿Qu´ condici´n ha de cumplir un cuerpo K para que podamos construir
e o
un anillo de divisi´n de cuaterniones sobre K?
o

31. Cap´
ıtulo II
Anillos de polinomios
Si x e y son n´meros enteros, xy + x y x2 − 2y son otros n´meros enteros. Su
u u
suma es x2 +xy+x−2y y su producto (xy+x)(x2 −2y) = x2 (xy+x)−2y(xy+x) =
x3 y + x3 − 2xy 2 − 2xy.
Al trabajar con n´meros enteros surgen f´cilmente relaciones de este estilo
u a
y a menudo resulta muy util poder tratarlas como objetos y no como meros
´
t´rminos que relacionan n´meros concretos. Lo que vamos a hacer es dar una
e u
construcci´n general que permite a˜adir a cada anillo A un conjunto de elemen-
o n
tos indeterminados, como aqu´ son x e y, de modo que obtengamos un nuevo
ı
anillo con elementos como x3 y +x3 −2xy 2 −2xy. A estos objetos los llamaremos
polinomios. Un polinomio no es nada m´s que esto, pero la construcci´n formal
a o
resulta un tanto t´cnica.
e
2.1 Construcci´n de los anillos de polinomios
o
Definici´n 2.1 Sea S un conjunto. Llamemos M el conjunto de las aplicaciones
o
u : S −→ N tales que el conjunto {i ∈ S | u(i) 6= 0} es finito.
Por ejemplo, si S = {x, y, z} y una funci´n u ∈ M cumple u(x) = 3, u(y) = 1,
o
u(z) = 7, nuestra intenci´n es que u represente al monomio puro x3 yz 7 .
o
Si u, v son funciones de M llamaremos u + v a la funci´n dada por
o
(u + v)(i) = u(i) + v(i).
Claramente u + v est´ en M .
a
Notemos que la suma u + v representa al producto de los monomios repre-
sentados por u y°por ¢ Si m ∈ N y u ∈ M llamaremos mu a la funci´n dada
v. o
por (mu)(i) = m u(i) . Tambi´n es claro que mu est´ en M . Es claro que mu
e a
representa a la potencia m–sima del monomio representado por u. Llamaremos
0 a la funci´n de M que toma constantemente el valor 0.
o
Si x ∈ S llamaremos ≤x ∈ M a la funci´n que toma el valor 1 en x y vale 0
o
en cualquier otro punto. Claramente, ≤x representa al monomio x.
15

32. 16 Cap´
ıtulo 2. Anillos de polinomios
Notemos que si u ∈ M y x1 , . . . , xn son los puntos donde u no se anula,
entonces u puede expresarse como u = u(x1 )≤x1 + · · · + u(xn )≤xn . Si pensamos
en el primer ejemplo, esto se interpreta como que el monomio u es el producto
del monomio x elevado a 3, por el monomio y, por el monomio z elevado a 7.
Un polinomio arbitrario, como x3 y + x3 − 2xy 2 − 2xy, es una suma de mono-
mios no necesariamente puros, sino multiplicados por coeficientes en un anillo
dado. Esto nos lleva a la definici´n siguiente:
o
Si A es un anillo, llamaremos conjunto de los polinomios con indeterminadas
en S sobre A al conjunto A[S] formado por las funciones f : M −→ A tales que
el conjunto {u ∈ M | f (u) 6= 0} es finito.
As´ si f ∈ A[S] y u ∈ M , el elemento f (u) se interpreta como el coeficiente
ı,
del monomio u en f . Con estas ideas el lector puede convencerse de que la
definici´n l´gica de las operaciones en A[S] es la siguiente:
o o
P
(f + g)(u) = f (u) + g(u), (f g)(u) = f (v)g(w).
v+w=u
Notar que el sumatorio que define el producto es finito.
Teorema 2.2 Sea A un anillo y S un conjunto. Entonces A[S] es un anillo.
Si A es conmutativo o unitario, A[S] tambi´n lo es.
e
´
Demostracion: Es f´cil ver que si f , g, h ∈ A[S], entonces (f + g) + h =
a
f + (g + h) y f + g = g + f .
La aplicaci´n 0 : M −→ A que toma constantemente el valor 0 es el elemento
o
neutro de A[S] y si f ∈ A[S], la funci´n dada por (−f )(u) = −f (u) es el
o
sim´trico de f . Si f , g, h ∈ A[S] y u ∈ M se cumple
e
° ¢ P P P
(f g)h (u) = f (s)g(t)h(w) = f (s)g(t)h(w)
v+w=u s+t=v w+s+t=u
P P ° ¢
= f (s)g(t)h(w) = f (gh) (u),
s+v=u t+w=v
luego (f g)h = f (gh).
° ¢ P ° ¢
f (g + h) (u) = f (v) g(w) + h(w)
v+w=u
P P
= f (v)g(w) + f (v)h(w) = (f g)(u) + (f h)(u),
v+w=u v+w=u
luego f (g + h) = f g + f h, e igualmente (f + g)h = f h + gh.
Si A es conmutativo
P P
(f g)(u) = f (v)g(w) = g(w)f (v) = (gf )(u),
v+w=u v+w=u
luego f g = gf , es decir, A[S] es conmutativo.
Si A es unitario, sea 1 la aplicaci´n que vale 1 sobre 0 ∈ M y vale 0 en otro
o
caso. Entonces (f 1)(u) = f (u), luego f 1 = f . Igualmente 1f = f .
Los teoremas siguientes prueban que los polinomios son lo que esperamos
que sean. El primer paso es sumergir A en A[S]. El teorema siguiente es una
comprobaci´n rutinaria.
o

33. 2.1. Construcci´n de los anillos de polinomios
o 17
Teorema 2.3 Sea A un anillo y S un conjunto. Para cada a ∈ A sea fa el
polinomio que cumple fa (0) = a y que toma el valor 0 en cualquier otro caso.
Sea φ : A −→ A[S] la aplicaci´n dada por φ(a) = fa . Entonces φ es un
o
monomorfismo de anillos y si A es unitario φ(1) = 1.
Definici´n 2.4 En lo sucesivo, si A es un anillo, S un conjunto y a ∈ A,
o
escribiremos a en lugar de φ(a) y A en lugar de φ[A]. De este modo A es un
subanillo de A[S]. Supongamos que A es unitario. Para cada x ∈ S llamaremos
x al polinomio que cumple x(≤x ) = 1 y que toma el valor 0 en cualquier otro caso.
¯ ¯
La aplicaci´n que a cada x le asigna x es biyectiva, luego podemos identificar
o ¯
x con x y as´ considerar que S ⊂ A[S]. A los elementos de S los llamaremos
¯ ı
indeterminadas.
El teorema siguiente recoge el comportamiento de los polinomios construidos
a partir de las indeterminadas mediante productos. Inmediatamente despu´s e
probaremos que todo polinomio puede construirse a partir de las indeterminadas
mediante sumas y productos.
Teorema 2.5 Sea A un anillo unitario y S un conjunto.
1. Si k ∈ N, a ∈ A y x ∈ S, entonces el polinomio axk toma el valor a sobre
k≤x y 0 en otro caso.
2. Si k1 , . . . , kn ∈ N, a ∈ A y x1 , . . . , xn son indeterminadas distintas,
entonces el polinomio axk1 · · · xkn toma el valor a sobre k1 ≤x1 +· · ·+kn ≤xn
1 n
y 0 en otro caso.
3. Si x, y ∈ S, entonces xy = yx.
4. Si a ∈ A y x ∈ S, entonces ax = xa.
´
Demostracion:
1. Por inducci´n sobre k. °
o Para k = 0 es inmediato. Supuesto cierto para k,
¢
entonces (axk+1 )(u) = (axk )x (u) = (axk )(v)x(w) = 0 salvo si v = k≤x
y w = ≤x , es decir, salvo si u = (k + 1)≤x , en cuyo caso da a.
2. Por inducci´n sobre n. Para n = 1 es el caso anterior. Supuesto cierto
o
kn+1 kn+1
para n tenemos que (axk1 · · · xn+1 )(u) = (axk1 · · · xkn )(v)(xn+1 )(w) = 0
1 1 n
salvo que v = k1 ≤x1 + · · · + kn ≤xn y w = kn+1 ≤xn+1 , es decir, salvo si
u = k1 ≤x1 + · · · + kn+1 ≤xn+1 , en cuyo caso vale a.
3. es inmediato por 2, pues ambos polinomios son la misma funci´n.
o
4. Basta notar que el caso 1 se prueba igual con a por la derecha.
Como consecuencia inmediata tenemos: