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LEA (UMR 6609) ENSIAME
CEAT 2A MFE
Rapport de Stage
Réduction de modèle
et contrôle de l’écoulement de canal linéarisé
Effectué au :
Laboratoire d’Études Aérodynamiques
Sous la direction de :
Laurent Cordier
Chargé de Recherche CNRS
Présenté par :
Jérôme Vinçonneau
Septembre 2009 - Janvier 2010
Table des matières
Table des matières iii
Table des figures v
Remerciements vii
1 Introduction 1
1.1 Présentation du Laboratoire d’Études Aérodynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Contexte général du projet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Organisation du document . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Modélisation réduite 7
2.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Configuration d’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.2 Mise en équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.3 Adimensionnement du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Équations de Navier-Stokes linéarisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Système d’Orr-Sommerfeld/Squire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.1 Équation de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.2 Équation d’Orr-Sommerfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.3 Équation de Squire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Représentation d’état du système d’Orr-Sommerfeld/Squire . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Théorie du contrôle 13
3.1 Contrôle optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Contrôle LQR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2.2 Multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.3 Obtention du système optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.4 Équation de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3 Perturbation optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 Méthodes Spectrales 21
4.1 Le problème des conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2 Méthode de différence finie et méthode spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3 Choix de la grille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5 Résultats 29
5.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2 Écoulement de Poiseuille non contrôlé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.3 Conditions de glissement aux parois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.3.1 Étude préliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.3.2 Exploitation des résultats et validation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
iii
iv/viii TABLE DES MATIÈRES
5.4 Viscosité variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.5 Représentation de l’écoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6 Conclusion 45
6.1 Bilan scientifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.2 Bilan personnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.2.1 Découverte du monde de la recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.2.2 Applications des mathématiques et de la physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.2.3 Difficultés rencontrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.2.4 Compétences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
A Système d’Orr-Sommerfeld/Squire et représentation d’état I
A.1 Mise en équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I
A.2 Adimensionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II
A.3 Équation des petites perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II
A.4 Système d’Orr-Sommerfeld/Squire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V
A.4.1 Équation de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V
A.4.2 Équation d’Orr Sommerfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI
A.4.3 Équation de Squire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII
A.5 Système en représentation d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII
B Contrôle LQR XI
B.1 Choix de la fonctionnelle J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI
B.2 Multiplicateur de Lagrange et état adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XII
B.3 Système optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIII
B.3.1 Équation directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIII
B.3.2 Équation adjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIII
B.3.3 Condition d’optimalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XV
B.4 Équation de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVI
Bibliographie XIX
Table des figures
1.1 Représentation schématique du contrôle en boucle fermée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Configuration généraique d’écoulement de Poiseuille contrôlé. . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1 Représentation schématique de la configuration d’étude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.1 Système optimal pour le contrôle LQR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.1 Convergence au quatrième ordre d’une différentiation par différence finie . . . . . . . . . . 23
4.2 Convergence d’une différentiation spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.3 Interpolation de f pour des points équirépartis (gauche) et de Gauss-Lobatto (droite). En
haut N = 10. En bas N = 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.4 Interpolation de P(x) pour des points équi-repartis (gauche) et de Gauss-Lobatto (droite) 26
4.5 Équipotentielles pour des points équirépartis (gauche) et de Gauss-Lobatto (droite) . . . . 26
4.6 Vitesse de convergence et précision de la différentiation spectrale des quatre fonctions. . . 27
5.1 Spectre de valeurs propres associé à une perturbation 2D. Re = 10000, α = 1, β = 0. . . 30
5.2 Fonctions propres d’Orr-Sommerfeld/Squire pour Re = 5000, α = 1 et β = 1. A gauche
de chaque sous-figure est représentée la vitesse normale v, et à droite la vorticité ωy. Les
parties réelle et imaginaire sont respectivement en bleu et rouge. . . . . . . . . . . . . . . 31
5.3 Spectre issu d’une perturbation 3D. Re = 10000, α = 0, β = 1. . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.4 Spectre d’Orr-Sommerfeld Squire insuffisamment résolu. Re = 10000, α = 1, β = 0. . . . 33
5.5 Énergie transitoire G(t) avec α = 1 et β = 0. Cas instable Re = 8000. Cas stable Re = 5000. 33
5.6 Énergie transitoire avec Re = 1000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.7 Énergie maximale pour Re = 1000 en fonction des deux nombres d’onde. . . . . . . . . . . 34
5.8 Énergie maximale avec β = 0 en fonction du nombre de Reynolds Re et de α. . . . . . . . 35
5.9 Courbes d’iso-valeurs de l’amplification maximale d’énergie Gmax dans le plan (α, β) pour
Re = 1500. Cas d’adhérence en trait plein. Cas du glissement symétrique en pointillés. . . 37
5.10 Amplification énergétique maximale G(t) pour α = 0 et β = 2 dans le cas d’un glissement
symétrique (Re = 1500). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.11 Viscosité de Cess pour différentes valeurs du nombre de Reynolds. . . . . . . . . . . . . . 39
5.12 Profil de vitesse moyen dans le modèle de Cess pour différentes valeurs du nombre de
Reynolds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.13 Iso-valeurs de l’énergie transitoire pour Re = 1000 en fonction de α et β. . . . . . . . . . . 40
5.14 Amplification maximale de l’énergie transitoire en fonction de β pour α = 0 et différentes
valeurs du nombre de Reynolds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.15 Amplification maximale de l’énergie transitoire en fonction de β pour α = 0 et une valeur
de nombre Reynolds égal à 1000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.16 Perturbation optimale pour Re = 1000, α = 1 et β = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.17 Perturbation optimale lorsque l’énergie est maximale (Re = 1000, α = 1 et β = 0). . . . . 43
5.18 Perturbation optimale 3D pour Re = 1000, α = 0 et β = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.19 Perturbation optimale lorsque l’énergie est maximale (Re = 1000, α = 1 et β = 0). . . . . 44
v
vi/viii TABLE DES FIGURES
B.1 Système optimal pour le contrôle LQR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XV
Remerciements
Je voudrais tout d’abord remercier Laurent Cordier, Chargé de Recherche CNRS au Laboratoire
d’Études Aérodynamiques de Poitiers (LEA), pour avoir accepté de m’encadrer pendant ce stage de
quatre mois et demi alors qu’ a priori je ne connaissais que peu de choses au contrôle et à la stabilité
hydrodynamique. Qu’il soit également remercié pour sa disponibilité à répondre à toutes mes questions,
qu’elles fussent d’ordre scientifique, technique ou pratique. Merci aussi d’avoir fait en sorte que ce stage
se soit déroulé dans la bonne humeur.
Merci également à Yves Gervais directeur du LEA, Professeur d’Université à l’École Supérieure
d’Ingénieurs de Poitiers (ESIP) pour m’avoir mis en relation avec Laurent Cordier.
Des remerciements aussi aux doctorants Guillaume Daviller, Vincent Jauney, Maxime Koenig,
Rémi Maury, ainsi qu’aux post-doctorants Cyrille Bonamy et Sébastien Piponniau pour leur aide mais
aussi pour leur enthousiasme et leur bonne humeur. C’est grâce à eux que j’ai pu découvrir le monde des
doctorants, les aléas qui ponctuent les années de thèse et élargir ma culture scientifique aux travers de
nos échanges.
Enfin, je voudrais remercier toutes les personnes du laboratoire que j’ai rencontrées pour leur accueil
chaleureux et leur gentillesse.
vii
Chapitre 1
Introduction
Cette introduction a pour but de présenter le laboratoire d’accueil (section 1.1) ainsi que le contexte
général du projet qui m’a été confié (section 1.2). Elle nous permettra également d’esquisser la trame du
rapport (section 1.3).
1.1 Présentation du Laboratoire d’Études Aérodynamiques
Le Laboratoire d’Études Aérodynamiques (LEA) est une Unité Mixte de Recherche entre le Centre Na-
tional de la Recherche Scientifique (CNRS), l’École Nationale Supérieure de Mécanique et d’Aérotechnique
de Poitiers (ENSMA) et l’université de Poitiers. Il a été créé le 1er
janvier 1996 et appartient au groupe
de discipline des Sciences pour l’Ingénieur. Il a pour département scientifique de rattachement celui
des Sciences et Technologies de l’Information et de l’Ingénierie. L’activité du LEA est centrée sur la
mécanique des fluides avec une vocation marquée pour l’étude des écoulements instationnaires. Les
chercheurs peuvent s’appuyer sur des installations expérimentales conséquentes. Par ailleurs, une part
importante des recherches porte sur le développement d’approches de simulations numériques. Les ap-
plications concernent essentiellement le secteur des transports terrestres, maritimes, aéronautiques et
spatiaux. En effet, le LEA possède un savoir-faire en matière d’aéro- et hydrodynamique interne et ex-
terne, d’aéroacoustique, ainsi que de transferts thermiques pariétaux et ce en collaboration avec d’autres
laboratoires poitevins. Les installations et la qualité des recherches menées au LEA en font un partenaire
de choix pour les industriels. On peut citer Airbus, EADS, Snecma, Dassault, PSA, Renault, SNCF... et
de nombreux instituts et universités étrangers (MIT, Berkeley, ...).
Les activités du laboratoire sont organisées sur la base de six unités de recherche :
– TAMCO : Turbulance, Analyse, Modélisation et Contrôle
Dans cette unité, différentes méthodes numériques sont étudiées comme les codes RANS (Reynolds
Avereraged Navier-Stokes), URANS (Unsteady Reynolds Averaged Navier-Stokes), DNS (Direct
Numerical Simulation) et LES (Large Eddy Simulation). On s’intéresse aussi à l’analyse fine de
la turbulence grâce à la POD (Proper Orthogonal Decomposition), à la LSE (Linear Stochastic
Estimation), à la réduction de modèle pour le contrôle ou encore à l’analyse dynamique des grosses
structures turbulentes. Sur le plan des méthodes expérimentales, l’unité développe des peignes de
fils chauds pour l’anémométrie. Des études se font également sur le contrôle des écoulements tur-
bulents de jets, de couches de mélanges ou de décollements.
– Aéro-Hydrodynamique
Cette unité s’intéresse au développement de méthodes de calcul d’écoulements hydrodynamiques
sur des corps perçant ou au voisinage de surfaces libres ainsi qu’à l’aérodynamique des voiles à
partir de méthodes de singularités. Des recherches sont effectuées afin d’optimiser les formes des
carènes et de créer des bassins de carènes numériques en fluide visqueux.
1
2/48 Chapitre 1 - Introduction
– Acoustique et Aéroacoustique
Le but de cette unité est d’analyser et de modéliser les mécanismes de génération des sources
aéroacoustiques et leur propagation en milieux externes et internes. Une partie des recherches est
consacrée au développement de techniques expérimentales d’analyses comme les lasers et les réseaux
de capteurs. Des techniques de contrôles expérimentales sont également étudiées.
– Électrofluidodynamique
Cette unité étudie les interactions entre les phénomènes électriques et la mécanique des fluides. Elle
s’intéresse à l’électrisation et aux risques industriels. Des recherches sont menées sur les plasmas
froids pour le contrôle des écoulements, sur les jets électrifiés, sur la stabilité linéaire des jets, sur
l’interaction entre charges électriques et tension superficielle.
– Rhéologie des fluides et écoulements polyphasiques
Le but de cette unité est d’étudier le comportement des suspensions en écoulements comme la
rhéologie des suspensions d’argiles purifiées, des boues bentonitiques industrielles, des sédiments
vaseux ainsi que la rhéologie des émulsions.
– Dynamique et transferts instationnaires
Cette unité s’intéresse à l’étude de la structure complexe des écoulements et des phénomènes de
transferts de matière ou de chaleur. Des recherches visent à développer des méthodes avancées
d’analyse et de modélisation (RANS, URANS, POD, LSE) et de métrologies innovantes comme la
PIV 3D (Particule Image Velocimetry), les corrélations spatio-temporelles. Des études sont menées
afin de mieux comprendre la dynamique des structures instationnaires et leur stabilité. Des travaux
sont effectués sur les écoulements de fluides couplés à des transferts de matière et de chaleur et sur
des applications de l’aérodynamique.
Le LEA fait partie du dispositif de formation par la recherche puisqu’il intervient durant la formation
des étudiants suivant le Master Mécanique, Énergétique et Ingénierie (MEI) de l’université de Poitiers
dans trois spécialités : Génie Électrique en Mécanique des Fluides (GEMF), Simulation Numérique et
Codes de calculs Industriels en Mécanique (SINUCIM) ainsi que la spécialité Fluides, Acoustique et
Énergétique (FAE).
Les chercheurs permanents du laboratoire sont au nombre de 43. 38 d’entre eux sont enseignants
chercheurs et 5 sont chercheurs au CNRS. Au total vingt permanents sont Habilités à Diriger des Re-
cherches (HDR). Ces derniers sont assistés par 40 Ingénieurs Techniciens Administratifs (ITA), dont 28
sont rattachés à l’Enseignement Supérieur et 12 au CNRS. Une grande partie des effectifs est constituée
des doctorants puisqu’ils sont au nombre de 41. Par ailleurs, le laboratoire accueille régulièrement des
Post-Doctorants, des Attachés Temporaires d’Éducation et de Recherches (ATER) ainsi que des cher-
cheurs et des professeurs étrangers.
Le LEA est réparti sur quatre sites géographiques : le site du Campus (bâtiment K), le SP2MI -
Futuroscope, l’ENSMA et le CEAT.
Mon stage s’est effectué sur le site du CEAT dans l’unité TAMCO et plus particulièrement dans sa
partie contrôle d’écoulement.
1.2 Contexte général du projet
Dans le contexte industriel, économique et écologique actuel, tout est mis en œuvre pour limiter le bruit
et la consommation des véhicules terrestre et aérien. Afin de parvenir aux objectifs fixés par l’ACARE
2020, on essaie depuis une dizaine d’années d’employer des techniques de contrôle d’écoulement. De façon
générale, le but du contrôle d’écoulement est d’atteindre un objectif fixé (réduction de traı̂née, augman-
1.2 Contexte général du projet 3/48
PSfrag replacements
Perturbations
Système
Actionneurs Capteurs
Contrôleur
Contrôle
Mesures
Estimateur
État estimé
Figure 1.1 – Représentation schématique du contrôle en boucle fermée.
tation de portance, réduction du niveau sonore,. . .) en manipulant de manière judicieuse la configuration
de l’écoulement (propriétés physiques, forçage volumique, conditions aux limites). Suivant que le contrôle
est actif ou passif, en boucle ouverte ou en boucle fermée, différentes stratégies peuvent être envisagées.
Le contrôle passif peut être vu comme une simple optimisation de forme. C’est Newton, à la fin du
XVIIème siècle, qui fut le premier à chercher la forme d’une surface de révolution minimisant la traı̂née.
Bien que les progrès de ces techniques d’optimisations soient importants (ailette marginale en bout d’aile
des avions, forme des ailerons en automobile), il n’en demeure pas moins que l’on est proche d’atteindre
leurs limites.
A l’inverse, le contrôle actif est une stratégie efficace, tant d’un point de vue énergétique que d’appli-
cabilité industrielle, et n’en est qu’à ses débuts. En boucle ouverte, les paramètres des actionneurs sont
établis une fois pour toute lors de la conception et restent constant durant toute la procédure d’optimisa-
tion et ce quels que soient les changements subis par l’écoulement. Avec ce type de stratégie, le système
est particulièrement sensible aux perturbations extérieures ainsi qu’aux erreurs de modélisation. De plus,
il est difficile de stabiliser une solution initialement instable alors que cela peut se révéler intéressant du
point de vue des performances du système. C’est pour ces raisons que nous avons choisi le contrôle en
boucle fermée (figure 1.1). Dans ce cas, il existe également des capteurs qui mesurent, au moins partiel-
lement, l’état du système afin d’évaluer l’action du contrôle fourni par les actionneurs. Le contrôle est
alors ajusté en conséquence.
Différents types de problèmes rentrent dans le cadre du contrôle d’écoulement. Un premier type de
problème est de savoir comment déterminer la loi de contrôle à appliquer à un système afin de minimiser
une certaine norme d’un critère de performance. Sans perte de généralités, ce problème est appelé contrôle
optimal. Le modèle utilisé pour représenter le système peut être issu d’une DNS (Bewley et al., 2001),
d’une LES (El Shrif, 2008) ou d’un modèle réduit obtenu par POD (Bergmann et Cordier, 2008). Si le
système est supposé Linéaire Temps Invariant (Burl, 1999) alors le problème de contrôle optimal est appelé
plus simplement LQR (Linear Quadratic Regulator). Un autre type de problème consiste à déterminer la
condition initiale qui maximise l’amplification énergétique du système à un instant donné. On introduit
pour cela le concept de perturbation optimale et de croissance optimale (Schmid et Henningson, 2001).
Ce sont ces deux types de problèmes qui feront l’objet du chapitre 3.
4/48 Chapitre 1 - Introduction
PSfrag replacements
Paroi supérieure
Paroi inférieure
Actionneurs
Capteurs
Contrôleurs
Écoulement x
y
Figure 1.2 – Configuration généraique d’écoulement de Poiseuille contrôlé.
1.3 Organisation du document
Dans ce rapport, nous allons nous intéresser à un écoulement de canal plan. En raison de sa géométrie
simple et de sa dynamique suffisamment complexe, l’écoulement de canal est devenu un problème ca-
nonique en recherche numérique que ce soit pour étudier la turbulence à faible nombre de Reynolds ou
pleinement développée (Moin et Kim, 1982; Kim et al., 1987; Moser et al., 1999), ou plus récemment,
pour le développement de stratégies de contrôle (Choi et al., 1994; Schmid et Henningson, 2001; Rowley
et Ilak, 2008).
La configuration d’étude est un écoulement de canal plan (figure 1.2) pour lequel les actionneurs
(soufflage/aspiration) et les capteurs (mesure de frottement pariétal) sont situés aux parois. L’objectif
initial du projet était de déterminer les lois de contrôle à imposer aux parois du canal afin de minimiser
la traı̂née de l’écoulement. Pour ce faire, nous avons commencé par une phase de réduction de modèle.
En effet, la réalité physique étant trop complexe, le nombre de variables nécessaires pour avoir une des-
cription complète du système est trop important. La réduction de modèle consiste à décrire la dynamique
du système de manière simplifiée en ne retenant que les phénomènes importants du point de vue de la
dynamique.
Dans ce projet, nous n’allons pas utiliser une technique de réduction de modèle basée sur une méthode
de projection comme la POD (Bergmann et Cordier, 2008), la ”Balanced POD” (Rowley, 2005) ou les
modes globaux (Barbagallo et al., 2009). De manière plus simple, nous allons chercher à réduire le nombre
de variables physiques nécessaires à l’écriture des équations de Navier-Stokes puis utiliser la périodicité
de l’écoulement dans deux directions de l’espace pour se ramener à un système dynamique simplifié écrit
dans l’espace de Fourier.
Au chapitre 2, nous commençons par établir les équations régissant la dynamique de l’écoulement en
gardant à l’esprit le point de vue réduction de modèle. La première partie de ce chapitre (section 2.1) a
pour but de présenter en détail la configuration d’étude. Par la suite, dans la section 2.2, les équations
de Navier-Stokes linéarisées sont déterminées afin d’étudier la stabilité des petites perturbations. A la
section 2.3, un modèle réduit de l’écoulement de Poiseuille est déterminé sous la forme du système d’Orr-
1.3 Organisation du document 5/48
Sommerfeld/Squire (système de deux équations différentielles ordinaires à deux inconnues). Enfin, une
représentation d’état de ce système adapté au contrôle est réalisé à la section 2.4. Le chapitre 3 est
consacré à la théorie du contrôle. Dans une première section, nous introduisons le formalisme général
associé au contrôle optimal sous la forme d’un problème d’optimisation sous contrainte. La section 3.2 est
consacrée à la présentation détaillée du contrôle ”Linear Quadratic Regulator” qui est le cas le plus simple
de contrôle optimal que l’on puisse envisager en pratique. Enfin, nous considérons le cas du problème
de perturbation optimale dans la section 3.3. Le chapitre 4 décrit les méthodes spectrales (discrétisation
Chebyshev) que nous avons été amenés à manipuler pour résoudre les équations d’Orr-Sommerfeld en
représentation d’état. Nous présentons ensuite au chapitre 5 les résultats de nos travaux pour les trois
types de configuration d’écoulement envisagés, soit le cas de l’écoulement de Poiseuille non contrôlé
(section 5.2), le cas des conditions de glissement à la paroi (section 5.3) et le cas de la viscosité variable
(section 5.4). Enfin, nous proposons un bilan sous forme de conclusion au chapitre 6.
Chapitre 2
Modélisation réduite
Dans ce chapitre, nous déterminons les équations 1
régissant la dynamique de l’écoulement de canal
plan tridimensionnel. Plus particulièrement, l’objectif est d’obtenir une représentation d’état linéarisé
pour la dynamique du système afin de mettre en œuvre les concepts de la théorie du contrôle (voir
chapitre 3). Notre description s’inspire de celle faite par Schmid et Henningson (2001). Cependant, nous
considérons ici que la viscosité physique ν peut dépendre de la direction normale et du nombre de
Reynolds.
2.1 Présentation
2.1.1 Configuration d’étude
Dans ce rapport, nous considérons un écoulement de canal plan de demi-hauteur h (voir Fig. 2.1). Les
parois inférieure et supérieure sont situées respectivement à y = −h et y = h. On note Lx la longueur du
canal et Lz sa largeur. En outre, le canal est supposé long (Lx  h) et ayant un grand rapport d’aspect
(Lz  h). L’écoulement moyen est donc prédominant dans la direction Ox et la vitesse moyenne varie
essentiellement dans la direction normale Oy.
PSfrag replacements
L
L
2h
U(y)
x
x
y
z
z
−1
1
O
Figure 2.1 – Représentation schématique de la configuration d’étude.
Le champ de vitesse du fluide, fonction de la position x et du temps t sera noté u(x, t) ou plus sim-
plement u. Les composantes du vecteur vitesse seront notées (u, v, w) respectivement dans les directions
longitudinale (Ox), normale (Oy) et transversale (Oz). De même, les composantes du vecteur position x
seront notées (x, y, z). Le champ de vitesse du fluide peut être décomposé en un champ de base (souvent
une vitesse moyenne) et une vitesse fluctuante de la manière suivante :
u = ub + u0
.
1. Nous ne présenterons par la suite que les résultats principaux de la mise en équation. Les démonstrations complètes
se trouvent en annexe A.
7
8/48 Chapitre 2 - Modélisation réduite
2.1.2 Mise en équations
Le fluide est supposé homogène, newtonien et incompressible, de masse volumique ρ et de viscosité
dynamique µ (ν = µ/ρ est la viscosité cinématique associée). Le fluide occupe un domaine spatial Ω défini
par Ω = [0, Lx] × [−h, h] × [0, Lz] et sa pression est notée p(x, t). Dans ces hypothèses, les équations de
conservation de la masse et de la quantité de mouvement s’écrivent sous la forme :
∇ · u = 0 (2.1)
ρ
∂u
∂t
+ ρ(u · ∇)u = ∇ · σ (2.2)
où σ = −p I + τ(u) est le tenseur des contraintes. Le symbole I représente le tenseur identité et
τ(u) = µ

∇u +

∇u
T

est le tenseur des contraintes de viscosité.
En réécrivant le terme de droite (voir annexe A), il vient :
ρ
∂u
∂t
+ ρ(u · ∇)u = −∇p + ∇ ·

µ

∇u +

∇u
T

. (2.3)
En supposant la densité volumique constante on peut diviser (2.3) à gauche et à droite par ρ. Dans
le cas général, on ajoute un terme de viscosité turbulente νt à la viscosité cinématique ν. En écrivant
νT = ν + νt on obtient :
∂u
∂t
+ (u · ∇)u = −
1
ρ
∇p + ∇ ·

νT

∇u +

∇u
T

. (2.4)
2.1.3 Adimensionnement du problème
Adimensionnement des équations de Navier-Stokes
Afin d’adimensionner les variables, nous introduisons une longueur caractéristique, dénotée Lref, et
une vitesse caractéristique Uref. Pour un écoulement de canal plan, on considère que Lref est égale à la
demi-hauteur du canal h. Pour Uref, plusieurs choix sont possibles selon les applications. Dans le cas de
l’écoulement de canal non contrôlé (section 5.2) et dans celui du cas de glissement aux parois (section
5.3), nous considérons pour vitesse de référence la vitesse au centre du canal Uc. Par contre, dans le cas
où l’on considère que la viscosité du fluide νT est fonction de y et du nombre de Reynolds (section 5.4),
nous considérerons alors que Uref = uτ où uτ est la vitesse de frottement aux parois 2
.
Les variables sans dimensions sont donc :
ũ =
u
Uref
; p̃ =
p
ρ U2
ref
; x̃ =
x
h
; t̃ =
t
tref
=
t Uref
Lref
.
Il est désormais possible d’écrire les équations sans dimension décrivant le mouvement du fluide dans
le domaine Ω :
∇ · ũ = 0 (2.5)
∂ũ
∂t̃
+ (ũ · ∇)ũ = −∇p̃ +
1
Reref
∇ ·
h
e
νT
h
∇ũ + (∇ũ)T
ii
(2.6)
2. La vitesse de frottement aux parois est définie par
uτ =
r
τw
ρ
où τw = −µ
∂u
∂y
n2



y=±h
est la contrainte pariétale. n2 désigne la normale extérieure aux parois supérieure et inférieure du
canal.
2.2 Équations de Navier-Stokes linéarisées 9/48
où Reref = Uref h
ν est le nombre de Reynolds et e
νT = νT
ν . Par convention, on dénommera Reτ = uτ h
ν et
Rec = Uc h
ν .
Grandeurs en unités de paroi
Afin de décrire la dynamique de la couche limite turbulente, il est d’usage d’introduire un nouvel
adimensionnement noté (.)∗
où les grandeurs physiques sont adimensionnées par les échelles de longueur
ν/uτ et de vitesse uτ .
En unités de paroi (aussi appelées unités visqueuses), les grandeurs sont définies par :
u∗
=
u
uτ
= ũ ; x∗
=
x
ν/uτ
= Reτ x̃ ; t∗
=
t
ν/u2
τ
= Reτ t̃.
Afin d’alléger les notations, nous n’utiliserons plus dans le suite le symbole (e
.) pour représenter les
variables adimensionnées par h et Uref.
2.2 Équations de Navier-Stokes linéarisées
Les équations de Navier-Stokes écrites précédemment sont difficilement utilisables en l’état pour le
contrôle d’écoulement. Nous cherchons donc à en obtenir une expression à la fois plus simple (réduction
de modèles) et adaptée au contrôle linéaire (voir chapitre 3). Pour cela, nous avons déterminé l’équation
d’évolution des perturbations u autour du profil moyen de vitesse U(y). Soit f = (fx, fy, fz), le terme de
forçage volumique nécessaire pour le contrôle, nous obtenons après simplifications (voir annexe A) :
∂u
∂t
+ U(y)
∂u
∂x
+ v U0
(y)ex = −∇p +
1
Reref







e
νT ∆u + (e
νT )0







∂u
∂y
+
∂v
∂x
2
∂v
∂y
∂w
∂y
+
∂v
∂z














+ f, (2.7)
ou encore selon chaque direction :

∂
∂t
+ U(y)
∂
∂x

u + v U0
(y) = −
∂p
∂x
+ e
νT ∆u + (e
νT )0

∂u
∂y
+
∂v
∂x

+ fx (2.8)

∂
∂t
+ U(y)
∂
∂x

v = −
∂p
∂y
+ e
νT ∆v + 2 (e
νT )0 ∂v
∂y
+ fy (2.9)

∂
∂t
+ U(y)
∂
∂x

w = −
∂p
∂z
+ e
νT ∆w + (e
νT )0

∂w
∂y
+
∂v
∂z

+ fz (2.10)
Dans la suite, nous utiliserons la loi de Cess (Cess, 1958) pour la viscosité totale :
e
νT (y) =
1
2
(
1 +
κ2
Re2
τ
9
(1 − y2
)2
(1 + 2y2
)2

1 − exp

(|y| − 1) Reτ
A
2
)1/2
+
1
2
(2.11)
κ = 0, 426 est la constante de von Kármán, A = 25, 4 est la constante de la loi de van Driest.
2.3 Système d’Orr-Sommerfeld/Squire
2.3.1 Équation de Poisson
Les équations de Navier-Stokes que nous venons d’écrire forment un système de quatre équations à
quatre inconnues. Pour faciliter la résolution, nous allons chercher à réduire le nombre de variables et à
10/48 Chapitre 2 - Modélisation réduite
passer à un système de deux équations à deux inconnues. Une première étape consiste à obtenir l’expres-
sion de la pression. La relation entre la pression et les composantes de la vitesse est donnée par l’équation
de Poisson.
Une des techniques pour aboutir à cette relation consiste à dériver chacune des équations (2.8), (2.9)
et (2.10) selon x, y et z respectivement puis d’en faire la somme. Dans le terme de gauche de l’expression
ainsi obtenue, la divergence de u apparaı̂t, et d’après l’équation de continuité ∇ · u = 0, ce qui permet
de simplifier le terme de gauche pour n’avoir plus qu’une dépendance en v. Le terme de droite est quant
à lui plus difficile à obtenir mais en choisissant une décomposition astucieuse on peut à nouveau, après
de rapides calculs, faire apparaı̂tre la divergence de la vitesse (voir annexe A). Après simplification, il ne
reste plus que des terme en v. On aboutit alors à l’équation de Poisson qui s’écrit :
2 U0
(y)
∂v
∂x
= −∇2
p + 2 e
ν0
T (y)∇2
v + 2 e
ν00
T (y)
∂v
∂y
+ ∇ · f (2.12)
2.3.2 Équation d’Orr-Sommerfeld
Une fois l’équation de Poisson obtenue, nous cherchons à éliminer la pression de l’équation de conserva-
tion du moment. Pour cela, nous remarquons d’abord que le laplacien de la pression s’exprime uniquement
en fonction de termes en v. Prenons donc le laplacien de l’équation de Navier-Stokes linéarisée sur la com-
posante v, c’est à dire l’équation (2.9). En permutant l’ordre de certaines dérivées puis en remplaçant la
pression par son expression issue de l’équation de Poisson de nombreux termes se simplifient. On obtient
l’équation dite d’Orr-Sommerfeld (voir annexe A) :
∂
∂t
(∇2
v) + U(y)∇2

∂v
∂x

− U00
(y)
∂v
∂x
= e
νT (y)∇4
v + 2e
ν0
T (y)∇2

∂v
∂y

+ e
ν00
T (y)

2
∂2
v
∂y2
− ∇2
v

+∇2
fy −
∂
∂y
∇ · f
(2.13)
2.3.3 Équation de Squire
Nous avons obtenu l’équation d’Orr-Sommerfeld qui n’a pour seule variable que la composante v de
la vitesse. Comme nous l’avons dit précédemment, le but de cette fin de chapitre est de réduire le nombre
de variables du système à deux. Il est clair que la variable v ne pourra pas être supprimée ou remplacée.
En revanche, il existe un lien entre les dérivées partielles de u et de w. Pour cette raison, il est judicieux
d’introduire la vorticité définie par : ωy = ∂u
∂z − ∂w
∂x . Dérivons maintenant l’équation (2.8) par rapport à
z et l’équation (2.10) par rapport à x pour faire apparaı̂tre le terme de vorticité. On obtient de façon
quasi immédiate (voir annexe A) l’équation de Squire :

∂
∂t
+ U(y)
∂
∂x

ωy − e
νT (y)∇2
ωy − e
ν0
T (y)
∂
∂y
ωy −
∂fx
∂z
+
∂fz
∂x
= −U0
(y)
∂v
∂z
(2.14)
2.4 Représentation d’état du système d’Orr-Sommerfeld/Squire
A l’issue de ces trois dernières sections, nous sommes passés d’un problème à quatre équations (conser-
vation de la masse et une équation de conservation du moment pour chaque composante) à quatre incon-
nues (u, v, w et p) à un problème à deux équations (Orr-Sommerfeld/Squire) à deux inconnues (v et ωy).
La première partie de la réduction du modèle est donc achevée. La deuxième partie consiste à utiliser les
propriétés spatiales de l’écoulement. A l’issue de ce processus nous obtiendrons un système d’équations
compact et général dit en représentation d’état dans la théorie du contrôle.
2.4 Représentation d’état du système d’Orr-Sommerfeld/Squire 11/48
Afin d’avoir une écriture plus compacte et adaptée à notre problème, nous allons nous servir de la
périodicité spatiale de l’écoulement suivant les axes Ox et Oz. Cette périodicité permet d’utiliser la
décomposition de Fourier pour représenter les évolutions spatiales des variables. Dans la terminologie de
la stabilité hydrodynamique, cette étude correspond à une analyse locale de stabilité. Avant de donner
les expressions des équations dans le domaine de Fourier, définissons quelques règles de calcul.
En analyse locale de stabilité, on suppose que le terme de perturbation peut s’écrire
u(x, t) = û(y, t)ei(αx+βz)
où α et β sont les nombres d’onde respectivement dans les directions ex et ez. En appliquant les règles
relatives au calcul dans le plan complexe, il est clair que dériver par rapport à x revient à multiplier par
iα, et que dériver par rapport à z revient à multiplier par iβ. On note D la matrice de différentiation
spatiale selon y (voir chapitre 4) et on représente la dérivée temporelle par un point. On pose également
k2
= α2
+ β2
.
L’équation d’Orr-Sommerfeld (2.13) étant linéaire en v, le terme exponentiel se retrouve en facteur
des deux côtés de l’égalité et on peut donc simplifier l’expression obtenue dans l’espace de Fourier par
ei(αx+βz)
. Après plusieurs étapes de simplification et de réarrangement (voir section A.5), on obtient
l’équation d’Orr-Sommerfeld sous la forme :
(D2
− k2
)
∂v̂
∂t
= LOSv̂ − k2 ˆ
fy − iD(α ˆ
fx + β ˆ
fz) avec
LOS = −iα

U(D2
− k2
) − U00

+ e
νT (D2
− k2
)2
+ 2 e
ν0
T (D2
− k2
)D + e
ν00
T (D2
+ k2
)
où LOS est l’opérateur d’Orr-Sommerfeld.
En procédant de la même façon pour l’équation de Squire (2.14), on obtient la forme suivante :
∂ω̂y
∂t
= −iβU0
v̂ + LSQ ω̂y + iβ ˆ
fx − iα ˆ
fz avec
LSQ = −iαU + e
νT (D2
− k2
) + e
ν0
T D
où LSQ est l’opérateur de Squire.
En regroupant les deux équations précédentes, on peut écrire le système sous la forme matricielle :

D2
− k2
0
0 1

∂
∂t

v̂
ω̂y

=

LOS 0
−iβU0
LSQ
 
v̂
ω̂y

+

−iαD −k2
−iβD
iβ 0 −iα



ˆ
fx
ˆ
fy
ˆ
fz

 (2.15)
ou encore, en posant ∆ = D2
− k2
:
 ˙
v̂
˙
ω̂y

| {z }
q̇
=

∆−1
LOS 0
−iβU0
LSQ

| {z }
A

v̂
ω̂y

| {z }
q
+

−∆−1
iαD −∆−1
k2
−∆−1
iβD
iβ 0 −iα

| {z }
B


ˆ
fx
ˆ
fy
ˆ
fz


| {z }
s
(2.16)
Le terme −iβU0
parfois noté LC représente le couplage entre les deux équations. La forme matricielle
peut être simplifiée en écrivant
q̇ = A q + B s.
Cette représentation est le point de départ de la théorie du contrôle que nous allons présenter dans le
prochain chapitre.
Chapitre 3
Théorie du contrôle
Le but de ce chapitre 1
est d’introduire les outils nécessaires au contrôle. Comme nous l’avons vu dans
l’introduction, déterminer une loi de contrôle optimale ou calculer une perturbation optimale revient à
résoudre un problème d’optimisation sous contrainte. Après avoir rappelé succinctement le cadre général
du contrôle optimal dans la section 3.1, nous présentons à la section 3.2 le problème LQR (Linear Qua-
dratic Control), qui est un cas particulier de contrôle optimal, puis traitons dans la section 3.3 de la
perturbation optimale.
3.1 Contrôle optimal
Tout problème d’optimisation sous contrainte en mécanique des fluides (que ce soit l’optimisation de
forme, le contrôle d’écoulement en boucle ouverte ou en boucle fermée, la croissance optimale) peut être
décrit de façon mathématique par les quantités suivantes :
– des variables d’état q 2
qui décrivent l’écoulement. Selon le problème, ces variables peuvent être
des vecteurs vitesse, la pression, etc . . .
– des paramètres de contrôle s 3
. En pratique, ces variables apparaissent en tant que conditions
aux limites dans les équations d’état, lorsqu’un contrôle est appliqué aux frontières du domaine
ou directement comme un terme source si le contrôle est effectué à l’intérieur du domaine (forçage
volumique). Dans le cas de la croissance optimale, ces paramètres de contrôle interviennent en tant
que conditions initiales. Selon les situations, ces paramètres peuvent être des vitesses aux frontières
du domaine (imposées par soufflage/aspiration par exemple), des flux de chaleurs, des températures
aux parois. S’il s’agit d’un problème d’optimisation de forme, les paramètres de contrôle pourront
être des variables décrivant la forme d’une frontière.
– une fonctionnelle coût J qui décrit une mesure de l’objectif que l’on cherche à atteindre. Il peut
s’agir de la minimisation de la traı̂née, de la maximisation de la portance . . . Cette fonctionnelle
dépend des variables d’état q et des paramètres de contrôle s.
– des contraintes physiques F qui représentent l’évolution des variables d’états et des paramètres
de contrôle en suivant les lois physiques. Mathématiquement, ces contraintes se notent F (q, s) = 0.
En mécanique des fluides, ces contraintes correspondent généralement aux équations de Navier-
Stokes et à leurs conditions initiales associées. Si l’on exerce un contrôle aux frontières du domaine,
1. Les résultats présentés dans ce chapitre sont donnés sans démonstration. Le lecteur est invité à consulter le détail des
calculs se trouvant en annexe B.
2. La communauté du contrôle utilise plus souvent x pour désigner les variables d’état mais nous avons préféré utiliser
ici q pour éviter toute confusion.
3. Pour les mêmes raisons que pour les variables d’état, nous choisissons de noter s les variables de contrôle et non u
comme c’est classiquement le cas en automatique.
13
14/48 Chapitre 3 - Théorie du contrôle
les conditions aux limites peuvent également être prises comme contrainte. En outre, il est souvent
nécessaire de rajouter des contraintes supplémentaires pour que le problème soit bien posé.
De façon concise, un problème d’optimisation sous contrainte peut être énoncé de la manière suivante :
 Déterminer les variables d’états q et les paramètres de contrôle u de façon à ce que la fonctionnelle
J soit optimale (maximale ou minimale selon les cas) sous les contraintes F .
Maintenant que nous avons clairement défini ce qu’est un problème d’optimisation sous contraintes,
intéressons nous au cas le plus simple en pratique où le système d’état est linéaire et la fonction objectif
quadratique.
3.2 Contrôle LQR
3.2.1 Introduction
Supposons ici que nous connaissons l’état du système en tout point et en tout instant (nos amis an-
glophones parlent de full state information). Bien que cela soit physiquement irréalisable, il s’agit d’un
point de départ nécessaire à l’élaboration de modèles plus complexes.
Notre système s’écrit :

q̇ = A q + B s avec q(0) = q0
z = C1 q + D12 s
(3.1)
où z est la variable de performance. Les matrices C1 et D12 sont précisées dans l’annexe B.
Par identification avec le système (2.16) établi à la fin du chapitre 2, il est clair que les variables
d’état représentées par q sont la vitesse v̂ et la vorticité ω̂y. De même, les termes de contrôle s sont les
composantes du forçage volumique ( ˆ
fx, ˆ
fy, ˆ
fz).
La fonctionnelle coût J est quant à elle définie par :
J (q, s) =
ˆ T
0
kzk2
2 dt (3.2)
où T désigne l’horizon temporel d’optimisation.
Soit zH
le transconjugué du vecteur z, la norme L2 de z s’écrit :
kzk2
2 = zH
z = qH
Qq q + sH
Qs s = kqk2
Qq
+ ksk2
Qs
où la notation k·k2
Q désigne la norme associée au produit scalaire avec poids défini par kφkQφ
= φH
Qφφ.
Dès lors, en considérant que Qs = `2
Id avec `  0 et Id la matrice identité, la fonctionnelle devient :
J =
ˆ T
0
qH
Qq q + `2
sH
s

dt. (3.3)
Le paramètre ` est un paramètre de régularisation qui mesure le coût de la mise en œuvre du contrôle.
Si la valeur de ` est élevée, l’application du contrôle coûte cher et la minimisation de J conduira au
contrôle minimal à appliquer pour réguler le système. A l’inverse, si la valeur de ` est faible, l’application
du contrôle est peu coûteux et l’amplitude du contrôle pourra alors être plus importante.
L’objectif du contrôle LQR est de minimiser la fonctionnelle coût J sous les contraintes du système
d’état. On considère donc comme contraintes la fonction F définie par :
F (q, s) = q̇ − A q − Bs = 0. (3.4)
3.2 Contrôle LQR 15/48
3.2.2 Multiplicateurs de Lagrange
Le contrôle LQR se pose comme un problème d’optimisation sous contraintes. En effet, cela revient à
déterminer le contrôle s et l’état q tels que la fonctionnelle coût J (q, s) soit minimale sous la contrainte
F (q, s) = 0.
Pour y parvenir, nous allons transformer le problème d’optimisation sous contrainte afin de nous
ramener en un problème d’optimisation sans contrainte. Pour cela, nous allons introduire la méthode
des multiplicateurs de Lagrange. Le contrôle sera alors obtenu en résolvant un système d’équations aux
dérivées partielles couplées appelé système optimal (voir section 3.2.3).
Commençons par introduire le produit scalaire h· , ·i qui nous sera utile pour la suite :
ha, bi =
ˆ T
0
aH
(t)b(t) dt + complexe conjugué (3.5)
= 2 Re
ˆ T
0
aH
(t)b(t) dt
!
.
Avec cette définition, la fonctionnelle coût (3.3) s’écrit :
J(q, s) =
1
2

hC1q, C1qi + `2
hs, si

. (3.6)
Considérons alors la fonctionnelle Lagrangienne :
L (q, s, q+
) , J (q, s) −


F(q, s), q+

(3.7)
= J (q, s) −


q̇ − A q − Bs, q+

(3.8)
où q+
est l’état adjoint, aussi appelé multiplicateur de Lagrange (d’où le nom de la méthode). Il faut re-
marquer que contrairement à la formulation initiale, chaque argument dans la fonctionnelle Lagrangienne
est indépendant des autres. Ceci nous permet d’énoncer le problème d’optimisation sans contrainte :
 Déterminer le contrôle optimal s, l’état q et le multiplicateur de Lagrange q+
tels que la fonction-
nelle Lagrangienne L (q, s, q+
) atteigne un minimum .
3.2.3 Obtention du système optimal
La solution optimale est obtenue en annulant les premières variations de L par rapport à chacune
des variables q+
, q et s.
Équation directe
L’équation directe est obtenue grâce à la première variation de L par rapport à q+
qui s’écrit :

∂L
∂q+
, δq+

= lim
ε→0
L (q, s, q+
+ εδq+
) − L (q, s, q+
)
ε
.
En remplaçant L par sa valeur nous obtenons de manière immédiate l’équation directe (voir section
B.3.1) :
q̇ = A q + Bs. (3.9)
16/48 Chapitre 3 - Théorie du contrôle
Équation adjointe
La première variation de L par rapport à q va nous permettre de déterminer l’équation adjointe.
Cette variation s’écrit :

∂L
∂q
, δq

= lim
ε→0
L (q + εδq, s, q+
) − L (q, s, q+
)
ε
. (3.10)
Une première étape consiste à remplacer L par son expression, on obtient alors :

∂L
∂q
, δq

=
∂J
∂q
δq
| {z }
T1
+


δq̇, q+

| {z }
T2
+


Aδq, q+

| {z }
T3
. (3.11)
Après une suite de calculs sur les termes T1 à T3, on obtient (voir section B.3.2) la nouvelle expression
de (3.11) :
∂L
∂q
= C+
1 C1q + ˙
q+
+ A+
q+
.
Ce résultat conduit à l’équation adjointe et à sa condition terminale :
(
− ˙
q+
= A+
q+
+ C+
1 C1q,
q+
(T) = 0.
(3.12)
Comme on le constate, l’équation adjointe est donc définie en temps rétrograde et doit être intégrée
à partir d’une condition terminale.
Condition d’optimalité
La première variation de L par rapport à s, qui nous permettra d’obtenir la condition d’optimalité,
s’écrit : 
∂L
∂s
, δs

= lim
ε→0
L (q, s + εδs, q+
) − L (q, s, q+
)
ε
.
En utilisant la définition de la Lagrangienne, il vient :

∂L
∂s
, δs

=
∂J
∂s
δs
| {z }
T1
+


Bδs, q+

| {z }
T2
. (3.13)
De même que pour l’obtention de l’équation adjointe, nous modifions les termes T1 et T2 (voir section
B.3.3) pour obtenir une nouvelle expression de (3.13) :
∂L
∂s
= B+
q+
+ `2
s.
De cette équation, on tire la condition d’optimalité :
B+
q+
= −`2
s. (3.14)
En regroupant les équations (3.9), (3.12) et (3.14), nous pouvons écrire le système optimal donné dans
la figure 3.1. La section suivante va avoir pour but de présenter une méthode de résolution explicite de
ce système. Pour ce faire, il sera introduit une équation différentielle non linéaire dite de Riccati.
3.2 Contrôle LQR 17/48
Équation d’état

q̇ = A q + Bs
q(0) = q0
Équations adjointes
(
− ˙
q+
= A+
q+
+ C+
1 C1q
q+
(T) = 0
Condition d’optimalité B+
q+
= −`2
s
Figure 3.1 – Système optimal pour le contrôle LQR.
3.2.4 Équation de Riccati
Afin de résoudre le système optimal lié au problème LQR (voir figure 3.1), nous devons éliminer deux
variables parmi les trois inconnues q, s et q+
. La condition d’optimalité permet d’obtenir s facilement :
s(t) = −
1
`2
B+
q+
(t). (3.15)
Cette équation nous permet d’éliminer s des équations mais il nous faut encore trouver une relation
entre q+
et q pour découpler le système. Burl (1999) montre que ces deux quantités sont reliées par une
matrice inconnue qui est fonction du temps, notée Π(t). Cette relation s’écrit :
q+
(t) = Π(t)q(t). (3.16)
La loi de contrôle peut donc s’écrire sous une nouvelle forme :
s(t) = −
1
`2
B+
Π(t) q(t) = K(t) q(t)
où K(t) est le gain de Kalman.
Dans le but d’évaluer le gain K(t), il faut déterminer l’expression de la matrice inconnue Π(t). Il se
trouve qu’en prenant la dérivée temporelle de l’équation (3.16), puis en substituant q et q+
grâce au
système :

q̇
˙
q+

=
A −
1
`2
BB+
−C+
1 C1 −A+
! 
q
q+

avec

q(0) = q0
q+
(T) = 0
,
on obtient (voir section B.4) l’équation de Riccati :
−Π̇ = A+
Π + Π A −
1
`2
Π B B+
Π + C+
1 C1.
Cette équation peut être résolue en temps rétrograde à partir de la condition finale Π(T) = 0.
Si le but du contrôle est d’avoir un résultat aux temps longs, l’étude du comportement transitoire
n’est pas utile. On peut alors considérer l’équation de Riccati algébrique continue en temps :
A+
Π + Π A −
1
`2
Π B B+
Π + C+
1 C1 = 0. (3.17)
La solution de (3.17) permet d’obtenir le coût du contrôle optimal associé. En connaissant la condition
initiale q(0), le coût optimal Jmin est donné (Burl, 1999) par :
Jmin = qH
(0) Π(0) q(0).
18/48 Chapitre 3 - Théorie du contrôle
Nous venons d’établir les résultats principaux de la théorie du contrôle pour le problème LQR. Comme
nous l’avons vu précédemment, il existe une autre sorte de problème, celui de la perturbation optimale.
C’est ce problème que nous allons étudier dans la prochaine section.
3.3 Perturbation optimale
Dans le cas des perturbations optimales, la fonctionnelle coût J à considérer pour le problème d’op-
timisation sous contrainte est l’amplification énergétique relative d’une perturbation q, soit
J (t) =
kq(t)k2
E
kq(0)k2
E
(3.18)
où kq(t)k2
E = q(t)H
Q q(t) est la norme énergétique (d’où l’indice E) définie par un produit scalaire
de matrice de poids Q. Le problème de perturbation optimale peut donc s’énoncer comme le problème
d’optimisation suivant :
 Déterminer la solution q et le paramètre de contrôle q0 (perturbation optimale) de façon à ce que
la fonctionnelle J soit maximale .
Il est donc possible comme nous l’avons fait à la section 3.2 pour le problème de contrôle LQR, de cher-
cher la solution optimale comme la solution d’un problème direct-adjoint défini par un système optimal.
Ici, nous avons fait le choix de présenter la méthode généralement utilisée en stabilité hydrodynamique
pour déterminer les perturbations optimales (Schmid et Henningson, 2001). Cette méthode repose sur la
détermination du gain d’amplification énergétique relative, soit
G(t) = max
q06=0
J (t).
Nous commençons par reprendre l’équation (2.16) établie à la fin du chapitre 2 en considérant ici le
cas sans contrôle i.e. s = 0. Le système s’écrit :
q̇(t) = A q(t) avec q(0) = q0. (3.19)
Les contraintes du système sont maintenant définies par :
F(q, s) = q̇ − Aq = 0.
Comme la matrice Q est hermitienne, il est possible d’écrire Q = TH
T en appliquant la décomposition
de Cholesky. On a alors pour un vecteur q, la norme énergétique associée
kq(t)k2
E = q(t)H
Q q(t) = q(t)H
TH
T q(t) = kT q(t)k2
2.
La croissance énergétique s’écrit alors :
G(t) = max
q06=0
kq(t)k2
E
kq0|2
E
= max
q06=0
kTq(t)k2
2
kT q0|2
2
.
Or la solution de (3.19) est donnée par
q(t) = eA t
q(0)
d’où
G(t) = max
q06=0
kTeA t
q0k2
2
kTq0k2
2
. (3.20)
En effectuant le changement de variable φ0 = Tq0, (3.20) s’écrit successivement :
G(t) = max
φ06=0
kT eA t
T−1
φ0k2
2
kφ0|2
2
= max
kφ0k2=1
kT eA t
T−1
φ0k2
2 , kT eA t
T−1
k2
2 = σ2
1 (3.21)
3.3 Perturbation optimale 19/48
où σ1 est la valeur singulière maximale de la matrice TeA t
T−1
. D’un point de vue numérique, la difficulté
provient du calcul de l’exponentielle de la matrice A car cette matrice est pleine. Pour faciliter la résolution
numérique, on peut chercher à diagonaliser la matrice A soit
A = V ΛV −1
où Λ représente la matrice des valeurs propres de A et V la matrice des vecteurs propres associés.
Deux solutions sont alors possibles. La première consiste à évaluer eA t
par V eΛ t
V −1
puis à rechercher
la valeur singulière maximale de T V eΛ t
V −1
T−1
. Une autre solution consiste à écrire q(t) dans la base
des vecteurs propres de A, soit
q(t) = V K(t)
où le vecteur K définit les coefficients du développement. Le système (3.19) est alors équivalent à
K̇ = ΛK
ce qui admet pour solution K(t) = eΛt
K0 où K0 = K(t0). En considérant cette fois la décomposition de
Cholesky de V H
QV = TH
T, on peut montrer en suivant exactement la même démarche que précédemment
que :
G(t) = kT eΛ t
T−1
k2
2 = σ2
1 (3.22)
où σ1 est cette fois la valeur singulière maximale de la matrice T eΛ t
T−1
. C’est précisément la méthode
qui est utilisée au chapitre 5 pour déterminer les perturbations optimales.
Chapitre 4
Méthodes Spectrales
L’objectif de ce chapitre est de faire le lien entre la théorie analytique que nous venons de voir et le
passage au numérique.
Pour le calcul numérique il est nécessaire de discrétiser spatialement l’écoulement, et donc les fonc-
tions et les opérateurs différentiels associés. Nous utiliserons pour ce faire des méthodes pseudo-spectrales
aussi appelées méthodes de collocation. Il s’agit ici d’une brève introduction. Pour plus d’information le
lecteur est invité à se référer à Canuto et al. (2006), Weideman et Reddy (2000) et Trefethen (2000).
L’idée des méthodes spectrales est d’approximer une fonction inconnue f(x) par une somme de fonction
du type :
f(x) =
X
j
aj φj(x) (4.1)
où les φj sont des fonctions connues, par exemple les polynômes d’Hermite, de Laguerre ou de Che-
byshev. La connaissance de leurs dérivées permet notamment de trouver facilement l’expression des bj
tels que :
f0
(x) =
X
j
bjφj(x) (4.2)
Ainsi, la fonction f sera directement recherchée comme une combinaison linéaire de fonctions globales
s’étendant sur tout le domaine. En suivant une méthode spectrale l’erreur décroı̂t exponentiellement avec
le nombre N de points contrairement aux méthodes de différence finie où l’erreur décroı̂t suivant une loi
du type N−α
où α est l’ordre du schéma. En outre, il est à noter que l’approche spectrale est quasiment
exempte d’erreur de dissipation et de dispersion numérique (si la fonction f est suffisamment régulière).
La fonction est interpolée par une série de points de collocation. On peut alors représenter la fonction
par ses valeurs aux points de collocation. Cette méthode permet de travailler dans l’espace physique
plutôt que dans l’espace spectral des aj. En pratique, une fois définies une grille de calcul (les points de
collocation {xj}) et une base de fonctions associées, nous pourrons déterminer la valeur de la dérivée
d’une fonction f grâce à la connaissance de sa valeur en chaque point de la grille.
Selon les domaines sur lesquels la fonction est définie, on peut choisir des points de collocation issus
des polynômes de Chebyshev pour x ∈ [−1, 1], des polynômes de Laguerre pour x ∈ [0, ∞[, des polynômes
d’Hermite pour x ∈]−∞, ∞[... Les points de collocation correspondant sont en fait les zéros du polynôme
d’ordre N + 1 choisi.
La dérivée d’ordre quelconque d’une fonction interpolée peut être calculée analytiquement en utilisant
des formules de différentiation. Pour cela il existe des matrices de différentiation pour lesquelles on a :
f(i)
= Di
f (4.3)
21
22/48 Chapitre 4 - Méthodes Spectrales
où f(i)
est le vecteur des valeurs de la dérivée i-ème de f(x) aux points de collocation.
En s’appuyant sur des critères de minimisation de l’erreur, il ressort que le choix d’une grille de
Gauss-Lobatto de taille N + 2 et des polynômes de Chebyshev associés est le choix idéal pour l’étude
d’un écoulement de canal. Les points de Gauss-Lobatto sont les extrema du polynôme de Chebyshev
T2N+1 et s’écrivent
xj = cos
(j − 1)π
2N + 1
avec j = 1 . . . N + 2
Nous utiliserons la suite de fonctions Matlab développée par Weideman et Reddy pour obtenir les
matrices de différentiation dans notre code.
4.1 Le problème des conditions aux limites
Les conditions aux limites sont en fait les différentes valeurs prises aux parois. Les points extrêmes de
Gauss-Lobatto joueront donc un rôle particulier. Dans le cas de conditions aux limites dites de Dirichlet
homogènes (dans notre étude cela correspond au cas sans glissement), la quasi totalité du problème ne
peut être résolue que sur les N points intérieurs du domaine. Ce n’est que lorsque l’on souhaitera repasser
dans le jeu de variables initial (u, v, w) que nous implémenterons les conditions aux limites.
La méthode numérique présentée ici consiste à résoudre les équations de Navier-Stokes en géométrie
cartésienne. L’idée générale est de représenter la fonction cherchée sur une grille de collocation dans
l’espace physique et d’évaluer toutes les dérivées nécessaires au calcul de son évolution sur une grille de
nombres d’ondes dans l’espace spectral. De fait, il ne s’agit ni d’une méthode de collocation pure (avec des
champs uniquement représentés dans l’espace physique), ni d’une méthode purement spectrale. Il s’agit
d’une méthode hybride, fusion de ces deux approches qui est qualifiée de méthode pseudo-spectrale.
L’intérêt de rechercher l’évolution de la fonction sur une grille de nombres d’ondes est de réduire
significativement la taille du problème. En effet on passe de cette façon d’un problème qui est potentiel-
lement tri-dimensionnel à une représentation mono-dimensionnelle. Par ailleurs dans l’espace de Fourier
l’opération de dérivation partielle ∂
∂x est remplacée par un simple produit avec le nombre d’onde corres-
pondant (ici i kx ou i α).
4.2 Méthode de différence finie et méthode spectrale
Nous avons évoqué dans l’introduction le point épineux que constituait le choix d’une méthode pour
la dérivation des opérateurs ainsi que le jeu de fonctions associées. Nous nous proposons de justifier ici
les choix faits par des illustrations simples obtenues grâce aux programmes de Trefethen Trefethen (2000).
On se donne pour commencer un jeu de points {xk} avec les valeurs d’une fonction en ces points
{f(xk)}. Le but est d’utiliser ces données pour approximer la dérivée de f. Pour un jeu de points équi-
répartis selon un pas h = xk+1 − xk, si gk représente l’approximation de f0
(xk), dérivée de f au point xk
alors la différence finie du second ordre s’écrit :
gk =
fk+1 − fk−1
2h
(4.4)
En guise d’exemple, on considère une fonction f(x) = exp(sin(x)) que l’on souhaite dériver. Cette
dérivation est effectuée de trois façons différentes.
La première est analytique, on obtient sans difficulté le résultat f0
(x) = cos(x) exp(sin(x)).
4.2 Méthode de différence finie et méthode spectrale 23/48
La seconde utilise une méthode de différence finie. Le calcul en différence finie se présente comme
suit :











g1
.
.
.
gN











= h−1

















... 1
12
−2
3
... 1
12
1
12
... 2
3
...
... 0
...
... 2
3
...
−1
12
2
3
...
2
3
−1
12
...




























f1
.
.
.
fN











(4.5)
On a donc de façon plus concise g = h−1
Df. On peut remarquer que D est une matrice de Teoplitz,
c’est à dire qu’elle n’a qu’une seule valeur par diagonale. De plus D est globalement vide (toutes les
diagonales non représentées sont nulles). De façon numérique cette structure lacunaire nous permet
de manipuler de grandes matrices avec un temps d’exécution très faible. On compare les résultats de
l’approximation par différence finie fi avec les valeurs exactes de la dérivée analytique pour différentes
valeurs de N. L’erreur s’écrit erreur= kD f − f0
analytiquek et est représentée en Fig. 4.1. On peut voir que
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
−15
10
−10
10
−5
10
0
N
erreur
Convergence en différence finie du 4ème ordre
N−4
Figure 4.1 – Convergence au quatrième ordre d’une différentiation par différence finie
la loi de convergence est du type N−4
. Cependant, il est clair que pour des différences finies à des ordres
plus élevés la matrice D va être de plus en plus dense, ce qui se traduit par une chute des performances.
La méthode de différence finie est donc rapidement limitée.
24/48 Chapitre 4 - Méthodes Spectrales
Une autre manière de faire est de remplacer la matrice D par une autre matrice de différenciation, ici
on choisit :
D =























.
.
.
... 1
2 cot 3h
2
... −1
2 cot 2h
2
... 1
2 cot 1h
2
0
−1
2 cot 1h
2
...
1
2 cot 2h
2
...
−1
2 cot 3h
2
...
.
.
.























(4.6)
De même on compare les résultats obtenus par cette méthodes avec l’expression analytique. La représentation
est faite en Fig. 4.2. Le même programme que pour le tracé de la Fig. 4.1 est utilisé. Le seul changement
10
0
10
1
10
2
10
−14
10
−12
10
−10
10
−8
10
−6
10
−4
10
−2
10
0
N
erreur
Convergence en différentiation spectrale
Figure 4.2 – Convergence d’une différentiation spectrale
est celui de la matrice D. Il est clair que les résultats sont bien meilleurs pour la méthode spectrale ! Une
erreur inférieure à 10−14
est obtenue avec 120 points seulement alors que pour avoir un résultat compa-
rable en différence finie il est nécessaire de porter ce nombre à plus de 10000 points ! Ce phénomène porte
le nom de précision spectrale. La supériorité de cette méthode est donc évidente.
4.3 Choix de la grille
Nous avons précédemment évoqué les différents choix de jeux de points (ou de grille ou de maillage)
possibles. Le but de cette section est d’illustrer en quoi les polynômes de Chebyshev et la grille formée par
les points de Gauss-Lobatto constituent un choix judicieux. On rappelle que les points de Gauss-Lobatto
4.3 Choix de la grille 25/48
sont les extrema du polynôme de Chebyshev T2N+1 et s’écrivent xk = cos
(k − 1)π
2N + 1
, avec k = 1 . . . N + 2.
De façon géométrique, les points de Gauss-Lobatto sont les projections sur l’axe des abscisses de points
régulièrement répartis sur le cercle unité dans le sens trigonométrique (x0 = 1, xN/2 = 0, xN = −1).
En guise de premier exemple on se donne une fonction f(x) =
1
1 + 16x2
. Voici les résultats de l’interpo-
lation effectuée sur l’intervalle [−1, 1] de la fonction avec une grille étant constituée, soit de points espacés
régulièrement (pas constant), soit par les points de Gauss-Lobatto. L’erreur maximale est également in-
diquée. L’interpolation a été représentée pour le degré N = 20. On remarque que lorsque N augmente,
−1 −0.5 0 0.5 1
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Points espacés régulièrement N = 10
erreur max = 1.1769
x
f(x)
−1 −0.5 0 0.5 1
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Points de Gauss−Lobatto N = 10
erreur max = 0.074754
x
f(x)
−1 −0.5 0 0.5 1
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Points espacés régulièrement N = 20
erreur max = 26.9471
x
f(x)
−1 −0.5 0 0.5 1
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Points de Gauss−Lobatto N = 20
erreur max = 0.0066681
x
f(x)
Figure 4.3 – Interpolation de f pour des points équirépartis (gauche) et de Gauss-Lobatto (droite).
En haut N = 10. En bas N = 20
l’erreur augmente de façon exponentielle dans le cas équi-espacé alors qu’au contraire, dans le cas de
Chebyshev, l’erreur diminue exponentiellement. Ce fait caractéristique porte le nom de phénomène de
Runge.
Dans un second exemple on s’intéresse à un polynôme d’ordre 17. On représente de même l’interpo-
lation sur chaque type de grilles à la Fig. 4.4 puis les pseudo-spectres associés à la Fig. 4.5. Le premier
graphe révèle de larges variations près des frontières du domaine alors que pour le second les variations
sont régulières et d’amplitudes similaires. En ce qui concerne les potentiels dans le plan complexe as-
26/48 Chapitre 4 - Méthodes Spectrales
−1 −0.5 0 0.5 1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x 10
−3 Points espacés régulièrement
x
P(x)
−1 −0.5 0 0.5 1
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
x 10
−5 Points de Gauss Lobatto
x
P(x)
Figure 4.4 – Interpolation de P(x) pour des points équi-repartis (gauche) et de Gauss-Lobatto (droite)
sociés, présentés en Fig. 4.5, on peut remarquer que pour la grille régulière, [−1, 1] ne ressemble pas à
une équipotentielle. En revanche pour la grille de Gauss-Lobatto [−1, 1] est très proche la première courbe
équipotentielle.
−1 −0.5 0 0.5 1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Points espacés régulièrement
x
P(x)
−1 −0.5 0 0.5 1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Points de Gauss Lobatto
x
P(x)
Figure 4.5 – Équipotentielles pour des points équirépartis (gauche) et de Gauss-Lobatto (droite)
Pour finir voici des figures illustrant la vitesse de convergence et la précision de la dérivée spectrale
de Chebyshev pour différents types de fonctions. Ces fonctions sont classées de gauche à droite par ordre
de régularité croissante. La première, |x3
|, a une dérivée troisième d’amplitude bornée. La deuxième,
exp(−x−2
), est de classe C∞
, régulière mais pas analytique. La troisième, 1
1+x2 , est analytique au voisi-
nage de [−1, 1]. Enfin, la dernière, x10
, est polynomiale. On remarque que plus la fonction est régulière,
plus la convergence se fait rapidement.
Nous avons donc choisi, pour toutes les raisons que nous venons d’évoquer, une méthode de différentiation
pseudo-spectrale pour le développement de notre programme. La démarche de programmation et la
présentation des résultats sont développés dans le prochain chapitre.
4.3 Choix de la grille 27/48
0 10 20 30 40 50
10
−15
10
−10
10
−5
10
0
N
erreur
|x3
|
0 10 20 30 40 50
10
−15
10
−10
10
−5
10
0
N
erreur
exp(−x−2
)
0 10 20 30 40 50
10
−15
10
−10
10
−5
10
0
N
erreur
1/(1+x2
)
0 10 20 30 40 50
10
−15
10
−10
10
−5
10
0
N
erreur
x10
Figure 4.6 – Vitesse de convergence et précision de la différentiation spectrale des quatre fonctions.
Chapitre 5
Résultats
Ce chapitre vise à présenter les différents résultats obtenus durant le stage. Nous commencerons
par décrire les moyens qui étaient à notre disposition avant de détailler les résultats obtenus dans trois
configurations d’écoulement de Poiseuille. Le premier cas correspond à l’écoulement de canal non contrôlé
(section 5.2). Dans la seconde configuration, nous nous sommes intéressés à l’influence de conditions de
glissement sur la stabilité de l’écoulement (section 5.3). Enfin, dans la dernière configuration, nous avons
traité du cas où la viscosité cinématique ν est fonction de y et du nombre de Reynolds (section 5.4).
5.1 Présentation
Nous avions à notre disposition plusieurs codes développés sous Matlab. Le travail demandé durant
le stage était d’obtenir un code complet permettant de faire du contrôle sur un écoulement de Poiseuille.
Le travail s’est déroulé selon trois axes principaux. Le premier a consisté à modifier les programmes
décrits dans Schmid et Henningson (2001) et Hœpffner (2006) afin d’obtenir une version un peu plus
étoffée nous permettant de partir d’une base générale pour la suite de nos travaux. Le second aspect a
été de faire évoluer le code de façon à pouvoir prendre en compte le cas où il y a glissement aux parois
(voir section 5.3). Enfin, la troisième partie a eu pour but d’implémenter le cas où la viscosité est fonction
de y et du nombre de Reynolds, ce que nous aborderons à la section 5.4. Pour chaque étape, un travail
théorique a été effectué en amont. De plus, une fois la partie programmation terminée, une comparaison
des résultats avec ceux issus de la littérature a été faite lorsque cela a été possible. Cette comparaison a
permis, ou non, la validation du code. Ce sont ces différentes étapes que nous nous proposons de détailler
ici.
Selon les auteurs, différentes stratégies sont adoptées pour l’implémentation des conditions aux limites.
Hœpffner (2006) fait le choix de ne traiter que les points intérieurs de l’écoulement dans les équations
d’Orr-Sommerfeld/Squire. Il part du principe suivant : puisque les valeurs de la vitesse, de la vorticité et
de leurs dérivées sont nulles aux parois, il n’est pas nécessaire de les calculer. Ce n’est qu’au retour dans le
jeu de variables physiques (u, v, w) que les conditions aux limites sont imposées de façon manuelle. Dans
Schmid et Henningson (2001), le parti est pris de considérer tout le domaine, autrement dit, ils prennent
à la fois en compte les points intérieurs et les points situés sur les parois. Cela revient à implémenter
les conditions aux limites dès le début du calcul et de faire toutes les opérations avec. Ce choix se tra-
duit par une modification des opérateurs d’Orr-Sommerfeld et de Squire (LOS, LC, LSQ). Les différentes
stratégies de résolution ont été étudiées dans Mckerman et al. (2003). Le code de Mckerman et al. étant
lui aussi disponible, nous nous y sommes intéressés. Ce code était plus flou que les deux précédents et
l’implémentation des conditions aux limites était faite d’une manière compliquée. En effet, un jeu différent
de matrices de différentiation était utilisé selon le vecteur que l’on souhaitait dériver. Autrement dit, un
jeu de matrices correspondait à la variable v, un autre pour la vorticité ωy, et encore d’autres pour leurs
dérivées. Pour cette raison, cette approche plutôt séduisante initialement s’est révélée moins exploitable
en pratique. Cette piste a donc été abandonnée. Finalement, nous avons retenu l’approche d’Hœpffner
29
30/48 Chapitre 5 - Résultats
qui nous semble être la plus efficace.
Or, le choix de la stratégie de prise en compte des conditions aux limites a des conséquences impor-
tantes sur le calcul de la croissance transitoire de l’énergie. Schmid et Henningson font un tri dans les
valeurs propres pour ne pas avoir à toutes les prendre en compte dans le calcul des perturbations opti-
males. Leur méthode consiste à trier les valeurs propres par ordre de parties imaginaires décroissantes.
Les valeurs limites des valeurs propres à prendre en compte sont écrites ”en dur” dans le code ce qui
a été source de difficultés pour le calcul des perturbations optimales. Toutefois, pour un écoulement de
Poiseuille sans contrôle, ce tri est efficace puisqu’il permet un nombre de calculs limité et donc un temps
d’exécution plus court.
5.2 Écoulement de Poiseuille non contrôlé
Dans cette section, nous allons présenter les résultats obtenus pour la stabilité de l’écoulement de
Poiseuille en régime non contrôlé. Tout d’abord, nous présenterons les spectres des valeurs propres
en soulignant l’importance du nombre de points constituant la grille de Gauss-Lobatto utilisé pour la
discrétisation spectrale du système d’Orr-Sommerfeld/Squire (voir chapitre 4). Dans un second temps,
nous présenterons les résultats concernant l’énergie de la perturbation. Afin de pouvoir comparer nos
résultats avec la littérature, nous nous sommes placés dans les mêmes conditions que dans Schmid et Hen-
ningson (2001). Sauf mentions contraires, le nombre de points de Gauss-Lobatto est N = 200. Rappelons
que les paramètres α et β représentent les nombres d’onde longitudinal et transversal de la perturbation.
Le nombre de Reynolds est noté Re.
L’étude de la stabilité peut être faite de deux manières. La première consiste à déterminer le spectre
de valeurs propres/vecteurs propres du système d’Orr-Sommerfeld/Squire. La deuxième possibilité est de
s’intéresser à l’évolution temporelle de l’énergie des perturbations.
La figure 5.1 présente le spectre des valeurs propres dans le cas d’une perturbation bidimensionnelle
(α = 1 et β = 0). Les équations d’Orr-Sommerfeld et de Squire sont ici découplées puisque β = 0. Le
spectre en Y ainsi obtenu est caractéristique de l’écoulement de Poiseuille. Le nombre de valeurs propres
sur chaque branche dépend des paramètres (N, α, β). Les fonctions propres correspondant aux valeurs
propres pour chaque branche sont représentées sur la figure 5.2. La branche verticale, souvent notée S,
correspondant au pied du Y , représente des modes très amortis (Fig. 5.2 - c). La branche de gauche,
notée A, représente les valeurs propres les plus amplifiées. Les modes propres correspondant sont appelés
modes de parois en raison de leurs grandes variations en proximité des parois (Fig. 5.2 - a). Quant à
la branche de droite, dénotée P, elle représente les modes qui atteignent leurs maxima au centre du
canal. On les appelle donc modes centraux (Fig. 5.2 - b). La partie la plus intéressante pour l’étude de
la stabilité hydrodynamique est celle des branches A et P.
PSfrag replacements
Im
(λ)
Ré(λ)
Spectre des valeurs propres λ
A
P
S
0
−0, 1
−0, 2
−0, 3
−0, 4
−0, 5
−0, 6
−0, 7
−0, 8
−0, 9
−1
0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 0, 9 1
Figure 5.1 – Spectre de valeurs propres associé à une perturbation 2D. Re = 10000, α = 1, β = 0.
5.2 Écoulement de Poiseuille non contrôlé 31/48
ements
y
y
v ωy
vitesse normale aux parois vorticité normale aux parois
Im
Ré
opres
×10−3
−2 2
0
0
0
0
−4 −0, 1
−0, 2
−0, 2
−0, 2
−0, 4
−0, 4
−0, 6
−0, 6
−0, 8
−0, 8
−1
−1
0, 1
0, 2
0, 2
0, 2
0, 4
0, 4
0, 6
0, 6
0, 8
0, 8
1
1
(a) Branche A
PSfrag replacements
y
y
v ωy
vitesse normale aux parois vorticité normale aux parois
−0, 01 0, 01 0, 02
0
0
0
0
−0, 2
−0, 2
−0, 2
−0, 4
−0, 4
−0, 4
−0, 6
−0, 6
−0, 8
−0, 8
−1
−1
0, 2
0, 2
0, 2
0, 4
0, 4
0, 4
0, 6
0, 6
0, 8
0, 8
1
1
(b) Branche P
PSfrag replacements
y
y
v ωy
vitesse normale aux parois vorticité normale aux parois
×10−3
2 2
0
0
0
0 −0, 1
−0, 2
−0, 2
−0, 2
−0, 4
−0, 4
−0, 6
−0, 6
−0, 8
−0, 8
−1
−1
−1 0, 1
0, 2
0, 2
0, 2
0, 4
0, 4
0, 6
0, 6
0, 8
0, 8
1
1
1
(c) Branche S pour Im(λ) = −0, 4
PSfrag replacements
y
ωy
vitesse normale aux parois vorticité normale aux parois
Im
Ré
Spectre des valeurs propres
0
0
−0, 1
−0, 2
−0, 2
−0, 4
−0, 6
−0, 8
−1
0, 1
0, 2
0, 2
0, 4
0, 6
0, 8
1
1
(d) Branche S pour Im(λ) = −0, 9
Figure 5.2 – Fonctions propres d’Orr-Sommerfeld/Squire pour Re = 5000, α = 1 et β = 1.
A gauche de chaque sous-figure est représentée la vitesse normale v, et à droite la vorticité ωy.
Les parties réelle et imaginaire sont respectivement en bleu et rouge.
32/48 Chapitre 5 - Résultats
La figure 5.3 présente le spectre issu d’une perturbation tridimensionnelle. On peut remarquer que
lorsque la dépendance longitudinale est quasi nulle (i.e. α = 0), l’allure du spectre est remarquablement
modifiée. Le spectre ne comporte qu’une branche, située à proximité de l’origine. Il est possible de mon-
trer que ces valeurs propres sont toujours amorties. Par extension, on montre de même que les modes de
Squire sont tous toujours amortis.
PSfrag replacements
vitesse normale aux parois
vorticité normale aux parois
Im
(λ)
Ré(λ)
Spectre des valeurs propres λ
0
0
−0, 2
−0, 4
−0, 6
−0, 8
−1
0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1
Figure 5.3 – Spectre issu d’une perturbation 3D. Re = 10000, α = 0, β = 1.
Nous allons maintenant étudier l’influence du nombre de points de discrétisation Gauss-Lobatto sur
le spectre des valeurs propres. La figure 5.4 représente pour deux valeurs différentes de N (N = 100
et N = 50), le spectre des valeurs propres. Sur la figure 5.4 (a), on peut remarquer que la branche S
est divisée en deux pour les parties imaginaires inférieures à −0, 6. Cela peut s’expliquer de la manière
suivante. En observant les vecteurs propres associés à la branche S (Fig. 5.2 - c,d) on remarque que plus
la partie imaginaire des valeurs propres diminue, plus le phénomène d’oscillation des vecteurs propres
correspondant est important. Si le nombre de points de Gauss-Lobatto est insuffisant, les oscillations des
vecteurs propres ne sont pas prises en compte de façon satisfaisante. Cela se traduit alors par des valeurs
propres incohérentes. Si la résolution se dégrade encore plus, le comportement oscillatoire des branches
A et P ne peut, à son tour être représenté de façon correcte ce qui se traduit, de la même manière que
pour la branche S, par la division des branches A et P (Fig. 5.4 - b). Une résolution insuffisante introduit
donc des erreurs lors de la détermination des spectres. L’allure des spectre renseigne donc de manière
qualitative sur la qualité de la résolution.
Toutes les figures précédentes sont rigoureusement en accord avec la littérature. Cela nous permet
donc de valider le code pour la stabilité des équations d’Orr-Sommerfeld/Squire en régime non contrôlé.
Une fois les spectres validés, nous pouvons nous intéresser aux résultats concernant l’évolution tem-
porelle de l’énergie des perturbations. La figure 5.5 présente, pour une perturbation bidimensionnelle
(β = 0), l’influence du nombre de Reynolds (Re = 5000 dans le premier cas et Re = 8000 dans le second)
sur l’énergie des perturbations G(t). Aux temps courts, les courbes sont qualitativement identiques dans
les deux cas. Dans la partie transitoire correspondant au pic, la croissance des fonctions ne dépend pas
du caractère stable ou instable de l’écoulement. Ce dernier n’est révélé que lorsque le temps t tend vers
l’infini. En d’autres termes, la valeur propre la moins stable gouverne le comportement de la croissance
énergétique uniquement aux temps longs. La croissance transitoire de l’énergie de l’écoulement stable est
un phénomène qui se déroule sur une échelle de temps très courte comparée à la croissance infinie associée
aux écoulements instables.
5.2 Écoulement de Poiseuille non contrôlé 33/48
Sfrag replacements
normale aux parois
normale aux parois
Im
(λ)
Ré(λ)
Spectre des valeurs propres λ
0
−0, 1
−0, 2
−0, 3
−0, 4
−0, 5
−0, 6
−0, 7
−0, 8
−0, 9
−1
0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 0, 9 1
(a) N = 100
PSfrag replacements
vitesse normale aux parois
vorticité normale aux parois
Im
(λ)
Ré(λ)
Spectre des valeurs propres λ
0
−0, 1
−0, 2
−0, 3
−0, 4
−0, 5
−0, 6
−0, 7
−0, 8
−0, 9
−1
0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 0, 9 1
(b) N = 50
Figure 5.4 – Spectre d’Orr-Sommerfeld Squire insuffisamment résolu. Re = 10000, α = 1, β = 0.
PSfrag
replacements
stable
instable
G(t)
t
0
0
10
20
20
30
40
40
50
60
60
80 100 120 140 160
Figure 5.5 – Énergie transitoire G(t) avec α = 1 et β = 0.
Cas instable Re = 8000. Cas stable Re = 5000.
34/48 Chapitre 5 - Résultats
La figure 5.6 illustre l’influence des nombres d’onde de la perturbation sur la croissance transitoire.
On voit clairement que pour une perturbation bidimensionnelle (figure 5.6 - a), l’énergie croı̂t peu avant
de se stabiliser rapidement vers zéro. A l’inverse, lorsque la perturbation est tridimensionnelle (figure 5.6
- b), l’énergie croı̂t de manière importante, le maximum est atteint au bout d’un temps nettement plus
long, puis l’énergie décroı̂t relativement lentement.
Sfrag replacements
G(t)
t
0
0
1
2
3
4
5
5
6
7
10 15 20 25 30 35 40
(a) α = 1 et β = 0
PSfrag replacements
G(t)
t
0
0
20
40
50
60
80
100
100
120
150
140
160
180
200
(b) α = 0 et β = 1
Figure 5.6 – Énergie transitoire avec Re = 1000.
La figure 5.7 examine l’influence des nombres d’onde sur la croissance maximale de l’énergie. On a
représenté, pour un nombre de Reynolds Re = 1000, les valeurs de l’énergie maximale Gmax = max
t
G(t)
atteinte sur un même intervalle de temps [0, 300]. A chaque couleur correspond une valeur de Gmax. Il
est à noter que la perturbation optimale est de 196 et est obtenue pour α = 0 et β = 2, 05, au bout d’un
temps t ' 76.
PSfrag replacements
α
β
0.5
0.5
1
1
1, 5
1, 5
2
2
2, 5
3
3, 5
4
0
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Figure 5.7 – Énergie maximale pour Re = 1000 en fonction des deux nombres d’onde.
5.2 Écoulement de Poiseuille non contrôlé 35/48
Observons maintenant sur la figure 5.8, les variations de Gmax pour un écoulement de Poiseuille bi-
dimensionnel dans le plan (α, Re). Il est possible de distinguer une zone de forme oblongue sur la droite
(nombre de Reynolds élevé avec α proche de 1). Cette région correspond aux valeurs du nombre de Rey-
nolds et du nombre d’onde longitudinal pour lesquelles il existe une valeur propre instable (Gmax = ∞).
En dehors de cette région, la figure montre les contours de Gmax de 10 à 100 par pas de 10 (de gauche
à droite). Le ƒsommet ‚de la courbe verte la plus à droite, délimitant la région d’instabilité correspond
au plus petit nombre de Reynolds pour lequel il existe une valeur propre exponentiellement instable. Ce
nombre de Reynolds est appelé nombre de Reynolds critique. On trouve souvent dans la littérature que
la valeur limite du nombre de Reynolds pour la transition à la turbulence dans un écoulement de canal
est Recri = 5772. On s’aperçoit ici que c’est pour cette valeur précise que débute la zone d’instabilité. En
outre, nous pouvons remarquer qu’il peut y avoir une croissance transitoire significative pour des nombres
de Reynolds subcritiques. Ce type de figure apporte donc de informations riches sur la stabilité et sur les
régimes transitoires de l’écoulement.
PSfrag
replacements
α
Re
0
0
0, 2
0, 4
0, 6
0, 8
1
1, 2
1, 4
1, 6
1, 8
2
4000 8000 12000 16000 20000
Figure 5.8 – Énergie maximale avec β = 0 en fonction du nombre de Reynolds Re et de α.
Une nouvelle fois, les résultats obtenus sont en accord avec les résultats publiés (Schmid et Henningson,
2001). C’est donc sur une base solide que nous allons poursuivre notre travail.
36/48 Chapitre 5 - Résultats
5.3 Conditions de glissement aux parois
L’intégration dans le code d’une condition de glissement aux parois s’est faite de façon simple. Pour
ce faire, nous nous sommes appuyés sur Lauga et Cossu (2008). Un des intérêts est de montrer la validité
de conditions aux limites sans glissement (”no-slip condition” dans la terminologie anglo-saxonne) pour
des liquides Newtoniens à proximité de surfaces solides. De nombreuses études aux petites échelles avec
des écoulements conduits par des gradients de pression, par cisaillement ou par champ électrique, ont
montré qu’il existait une rupture de la condition d’adhérence, avec des longueurs de glissement de l’ordre
du micron.
5.3.1 Étude préliminaire
On considère l’écoulement d’un fluide de viscosité ν entre deux plaques parallèles infinies situées en
y = −1 et y = 1. Cet écoulement de canal plan est conduit par un gradient de pression constant (voir
section 2.1.1). Sous forme adimensionnée, les équations de Navier-Stokes incompressibles pour la vitesse
(u = (u, v, w)) et le champ de pression p s’écrivent :
∇ · u = 0, (5.1)
∂u
∂t
+ (u · ∇)u = −∇p +
1
Re
∇2
u. (5.2)
On suppose également que l’écoulement vérifie les conditions de glissement sur les deux parois, avec des
longueurs de glissement λ1 et λ2 respectivement en y = 1 et y = −1. La longueur de glissement est définie
comme le rapport de la vitesse de surface et du taux de cisaillement en surface. Si l’on définit le nombre
de Knudsen Kn1 = λ1/h et Kn2 = λ2/h (où h est la demi-hauteur du canal) alors on a les conditions aux
limites suivantes pour (5.2) :
u + Kn1
∂u
∂y
= v = w + Kn1
∂w
∂y
= 0 en y = 1,
u − Kn2
∂u
∂y
= v = w − Kn2
∂w
∂y
= 0 en y = −1.
On s’intéresse maintenant à la stabilité du champ stationnaire moyen U = (U(y), 0, 0) vérifiant les
équations précédentes. On a
U(y) = 1 +
2(Kn1 + Kn2 + 2 Kn1 Kn2)
2 + Kn1 + Kn2
+

2(Kn1 − Kn2)
2 + Kn1 + Kn2

y − y2
. (5.3)
En absence de glissement, on a Kn1 = Kn2 = 0 et on retrouve la solution de Poiseuille standard
U(y) = 1 − y2
. La suite du développement est la même que la démonstration complète effectuée dans le
chapitre 2, on passe en variable (v̂, ω̂y) puis on construit les opérateurs d’Orr-Sommerfeld et de Squire.
Le seul changement intervient au niveau des conditions aux limites. Ces dernières s’écrivent :
v̂ = D v̂ + Kn1 D2
v̂ = 0 en y = 1, (5.4)
v̂ = D v̂ − Kn2 D2
v̂ = 0 en y = −1, (5.5)
ω̂y = −Kn1 D ω̂y en y = 1, (5.6)
ω̂y = Kn2 D ω̂y en y = −1. (5.7)
Pour des raisons de simplicité, les résultats sont présentés uniquement dans les cas de glissement
symétrique (Kn1 = Kn2 = Kn) et de glissement antisymétrique (Kn1 = Kn, Kn2 = 0).
L’implémentation informatique des conditions aux limites s’est faite de façon assez simple en modi-
fiant les conditions aux limites dans les opérateurs d’Orr-Sommerfeld et de Squire. On choisit évidemment
5.3 Conditions de glissement aux parois 37/48
la formulation de Schmid et Henningson. La première et dernière ligne de l’opérateur d’Orr-Sommerfeld
LOS, correspondantes aux valeurs de v̂ en y = 1 et y = −1 sont modifiées de manière à avoir l’équivalent
numérique de (5.4) et (5.5). L’opérateur de couplage LC reste inchangé. De la même manière que pour
LOS, l’opérateur de Squire LSQ est modifié pour prendre en compte les conditions (5.6) et (5.7).
Par ailleurs, on introduit une nouvelle sous-fonction qui calcule la vitesse selon les types de glissement
envisagés. Comme nous l’avons vu, le cas de l’écoulement de Poiseuille non contrôlé peut être considéré
comme un cas particulier de traitement des conditions d’adhérence aux parois pour lequel Kn1 = Kn2 =
0. Ainsi, il n’est pas nécessaire de développer un programme spécifique pour le cas du canal non contrôlé.
5.3.2 Exploitation des résultats et validation
La figure 5.9 présente les iso-valeurs de la croissance maximale en énergie Gmax en fonction des
nombres d’ondes α et β. Les calculs ont été menés avec Re = 1500, à la fois pour le cas d’adhérence
(Kn = 0) représenté en lignes pleines et pour le cas d’un glissement symétrique (Kn = 0.03) en lignes
pointillées. Les valeurs de Gmax sont 10, 100, 200, 300 et 400 en partant de l’extérieur vers l’intérieur.
On peut remarquer que malgré le fait que l’amplification maximale de l’énergie avec glissement est plus
grande qu’avec adhérence, la différence reste faible. Par conséquent, on peut conclure que le glissement
affecte à peine la croissance transitoire de l’énergie. L’amplification maximale est atteinte pour α = 0 et
β = 2 dans les deux cas.
PSfrag
replacements
β
α
0
0
0, 5
0, 5
1
1
1, 5
1, 5
2
2
2, 5
3
3, 5
4
Figure 5.9 – Courbes d’iso-valeurs de l’amplification maximale d’énergie Gmax dans le plan (α, β) pour
Re = 1500.
Cas d’adhérence en trait plein. Cas du glissement symétrique en pointillés.
38/48 Chapitre 5 - Résultats
La figure 5.10 représente l’évolution temporelle de l’amplification optimale de l’énergie G(t) avec α = 0
et β = 2 pour un nombre de Reynolds Re = 1500 et un glissement symétrique. Le nombre de Knudsen
varie de Kn = 0 à Kn = 0, 03 par pas de 0, 01. Une légère augmentation de l’amplification optimale
apparaı̂t avec l’augmentation de la valeur du nombre de Knudsen. De même, le temps pour lequel le
maximum est atteint augmente lui aussi légèrement avec l’amplitude du glissement. On peut montrer que
la racine carrée du maximum de l’énergie et le temps pour lequel il est atteint dépendent tous les deux
linéairement du nombre de Reynolds. Ces effets suggèrent que l’effet de glissement induit une augmenta-
tion du nombre de Reynolds effectif. Ceci est en accord avec l’observation que les écoulements glissants
ont un plus grand débit que ceux considérés en hypothèse d’adhérence.
PSfrag
replacements
Kn = 0
Kn = 0, 01
Kn = 0, 02
Kn = 0, 03
G(t)
t
0
0
50 100
100
150 200
200
250 300
300
350 400
400
500
600
Figure 5.10 – Amplification énergétique maximale G(t) pour α = 0 et β = 2 dans le cas d’un
glissement symétrique (Re = 1500).
Les figures 5.9 et 5.10 sont identiques à celles que l’on peut trouver dans Lauga et Cossu (2008) ce
qui permet de valider le code dans le cas de glissement aux parois.
5.4 Viscosité variable 39/48
5.4 Viscosité variable
Les premiers à calculer l’amplification optimale dans un canal plan en régime turbulent ont été Butler
et Farrell (1993). Ils ont utilisé le profil moyen turbulent proposé par Reynolds et Tiederman (1967) qui
s’appuie sur la viscosité turbulente établie dans Cess (1958). Cependant, ils ont utilisé un modèle de
viscosité moléculaire pour la linéarisation des équations de perturbation ce qui obligeait à imposer des
contraintes supplémentaires. L’étude a ensuite été reprise dans Álamo et Jiménez (2006) mais cette fois
sans les contraintes supplémentaires de Butler et Farrell (1993). Álamo et Jiménez ont obtenu deux pics
pour la croissance d’énergie maximale, le second diminuant lorsque le nombre de Reynolds augmentait,
ce qui n’est pas conforme avec l’expérience. Enfin, très récemment, Pujals et al. (2009) ont repris l’étude
avec de nouvelles stratégies de calculs. C’est sur cette dernière étude que nous avons bâti notre travail.
La figure 5.11 représente la viscosité donnée par la loi de Cess en fonction du nombre de Reynolds.
Sur cette figure, ce dernier prend des valeurs dans l’intervalle [200; 20000] soit une variation sur deux
ordres de grandeurs. La ligne en pointillés représente la loi 0, 41 × y+
qui est suivie par la viscosité e
νT
dans un écoulement de couche limite. On rappelle que l’exposant (·)+
correspond aux grandeurs en unité
de paroi (voir section 2.1.3).
PSfrag
replacements
Re = 200
Re = 500
Re = 1000
Re = 2000
Re = 5000
Re = 10000
Re = 20000
e
ν
T
y
+
0, 41 × y+
0, 1
1
1
10
10
100
100
1000
1000
10000
10000
100000
Figure 5.11 – Viscosité de Cess pour différentes valeurs du nombre de Reynolds.
40/48 Chapitre 5 - Résultats
La figure 5.12 représente le profil moyen de la vitesse obtenu par (A.17) en utilisant la loi de Cess pour
la viscosité (le même code couleur que dans la figure 5.11 est utilisé). La ligne en pointillés représente la
loi 1/κ log y.
PSfrag
replacements
U
y+
+
1 10
10
100 1000 10000 100000
0
5
15
20
25
30
Figure 5.12 – Profil de vitesse moyen dans le modèle de Cess pour différentes valeurs du nombre de
Reynolds.
La figure 5.13 montre l’influence des nombres d’onde α et β sur la croissance transitoire de l’énergie
pour Re = 1000. Les valeurs de G vont de 1 (en rouge) à 12 (vert) par pas de 1 de droite à gauche. On
remarque que la valeur maximale est atteinte pour α = 0 et β = 1, 57.
PSfrag
replacements
α
β
0
0, 5
0, 5
1
1
1, 5
1, 5
2
2
2, 5
3
3, 5
4
Figure 5.13 – Iso-valeurs de l’énergie transitoire pour Re = 1000 en fonction de α et β.
Les figures 5.14 et 5.15 illustrent l’influence du nombre transverse β sur le maximum de croissance
de l’énergie transitoire. On peut observer deux pics, le premier pour β = 1, 57 ce qui confirme ce que
nous avions obtenu sur la figure 5.13 et un second pour β = 80. Les calculs ont été menés avec α = 0
pour différentes valeurs du nombre de Reynolds comprises entre 500 et 20000 sur un intervalle de temps
[1, 10] sur la figure 5.14. Des optimisations de l’intervalle de temps pour le calcul sur la plage complète
5.4 Viscosité variable 41/48
de valeurs de β ont été nécessaires. Le temps de calcul étant très long, nous ne représentons sur la figure
5.15 le tracé complet uniquement pour Re = 1000.
2
4
6
8
10
12
14
2 4 6 8 10
PSfrag
replacements
Re = 500
Re = 1000
Re = 2000
Re = 5000
Re = 10000
Re = 20000
β
G
max
Figure 5.14 – Amplification maximale de l’énergie transitoire en fonction de β pour α = 0 et
différentes valeurs du nombre de Reynolds.
PSfrag
replacements
Re = 1000
β
G
max
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10
11
100 1000
Figure 5.15 – Amplification maximale de l’énergie transitoire en fonction de β pour α = 0 et une
valeur de nombre Reynolds égal à 1000.
42/48 Chapitre 5 - Résultats
5.5 Représentation de l’écoulement
Enfin, nous nous sommes attachés à obtenir une représentation claire de l’écoulement. Les difficultés
de cette étape ont résidé dans la prise en compte du maillage. Un nombre trop important de points rend
la figure illisible, à l’inverse des points trop peu nombreux ne donnent pas suffisamment d’informations.
Il a fallu rechercher les différents outils permettant d’utiliser ce type de maillage et ensuite choisir la
représentation la plus adaptée.
La figure 5.16 présente la condition initiale relative à une perturbation bidimensionnelle (α = 1, β = 0)
optimale pour un écoulement de Poiseuille à Re = 1000. La perturbation optimale est caractérisée par la
tendance de l’écoulement à s’opposer au cisaillement moyen.
PSfrag replacements
y
x
0 1 2 3 4 5 6
0
0, 2
0, 4
0, 6
0, 8
1
−0, 2
−0, 4
−0, 6
−0, 8
−1
Figure 5.16 – Perturbation optimale pour Re = 1000, α = 1 et β = 0.
Lorsque le temps augmente, la perturbation s’incline selon le sens du cisaillement moyen ce qui cause
une croissance transitoire de l’énergie. Cette croissance se manifeste par l’apparition de tourbillons de
plus en plus énergétiques, comme le montre la figure 5.17 qui représente l’état de l’écoulement au moment
où l’énergie est maximale. Ce mécanisme est souvent associé au mécanisme non visqueux de Orr (1907)
qui décrit les instabilités aux temps courts dues à l’inclinaison de la perturbation.
5.5 Représentation de l’écoulement 43/48
PSfrag replacements
y
x
0 1 2 3 4 5 6
0
0, 2
0, 4
0, 6
0, 8
1
−0, 2
−0, 4
−0, 6
−0, 8
−1
Figure 5.17 – Perturbation optimale lorsque l’énergie est maximale (Re = 1000, α = 1 et β = 0).
44/48 Chapitre 5 - Résultats
La figure 5.18 présente la perturbation optimale associée à une perturbation tridimensionnelle (α =
0, β = 2) pour un écoulement de Poiseuille à Re = 1000. La figure 5.19 correspond au même type de
représentation mais au temps ou l’énergie est maximale. On observe des tourbillons longitudinaux qui
changent relativement peu au fur et à mesure que le temps s’écoule. Toutefois, des pics très énergétiques
se forment en raison de l’effet de décollement ( lift up ).
PSfrag replacements
y
z
0 1 2 3 4 5 6
0
0, 2
0, 4
0, 6
0, 8
1
−0, 2
−0, 4
−0, 6
−0, 8
−1
Figure 5.18 – Perturbation optimale 3D pour Re = 1000, α = 0 et β = 2.
PSfrag replacements
y
z
0 1 2 3 4 5 6
0
0, 2
0, 4
0, 6
0, 8
1
−0, 2
−0, 4
−0, 6
−0, 8
−1
Figure 5.19 – Perturbation optimale lorsque l’énergie est maximale (Re = 1000, α = 1 et β = 0).
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Reduction de modele_et_controle_de_lecou (1)

  • 1. LEA (UMR 6609) ENSIAME CEAT 2A MFE Rapport de Stage Réduction de modèle et contrôle de l’écoulement de canal linéarisé Effectué au : Laboratoire d’Études Aérodynamiques Sous la direction de : Laurent Cordier Chargé de Recherche CNRS Présenté par : Jérôme Vinçonneau Septembre 2009 - Janvier 2010
  • 2.
  • 3. Table des matières Table des matières iii Table des figures v Remerciements vii 1 Introduction 1 1.1 Présentation du Laboratoire d’Études Aérodynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Contexte général du projet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Organisation du document . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 Modélisation réduite 7 2.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.1 Configuration d’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.2 Mise en équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.3 Adimensionnement du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 Équations de Navier-Stokes linéarisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3 Système d’Orr-Sommerfeld/Squire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3.1 Équation de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3.2 Équation d’Orr-Sommerfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3.3 Équation de Squire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.4 Représentation d’état du système d’Orr-Sommerfeld/Squire . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3 Théorie du contrôle 13 3.1 Contrôle optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2 Contrôle LQR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.2.2 Multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2.3 Obtention du système optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2.4 Équation de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.3 Perturbation optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 Méthodes Spectrales 21 4.1 Le problème des conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.2 Méthode de différence finie et méthode spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.3 Choix de la grille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5 Résultats 29 5.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5.2 Écoulement de Poiseuille non contrôlé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5.3 Conditions de glissement aux parois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.3.1 Étude préliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.3.2 Exploitation des résultats et validation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 iii
  • 4. iv/viii TABLE DES MATIÈRES 5.4 Viscosité variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.5 Représentation de l’écoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 6 Conclusion 45 6.1 Bilan scientifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 6.2 Bilan personnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 6.2.1 Découverte du monde de la recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 6.2.2 Applications des mathématiques et de la physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6.2.3 Difficultés rencontrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6.2.4 Compétences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 A Système d’Orr-Sommerfeld/Squire et représentation d’état I A.1 Mise en équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I A.2 Adimensionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II A.3 Équation des petites perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II A.4 Système d’Orr-Sommerfeld/Squire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V A.4.1 Équation de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V A.4.2 Équation d’Orr Sommerfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI A.4.3 Équation de Squire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII A.5 Système en représentation d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII B Contrôle LQR XI B.1 Choix de la fonctionnelle J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI B.2 Multiplicateur de Lagrange et état adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XII B.3 Système optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIII B.3.1 Équation directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIII B.3.2 Équation adjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIII B.3.3 Condition d’optimalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XV B.4 Équation de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVI Bibliographie XIX
  • 5. Table des figures 1.1 Représentation schématique du contrôle en boucle fermée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Configuration généraique d’écoulement de Poiseuille contrôlé. . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.1 Représentation schématique de la configuration d’étude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.1 Système optimal pour le contrôle LQR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.1 Convergence au quatrième ordre d’une différentiation par différence finie . . . . . . . . . . 23 4.2 Convergence d’une différentiation spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.3 Interpolation de f pour des points équirépartis (gauche) et de Gauss-Lobatto (droite). En haut N = 10. En bas N = 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.4 Interpolation de P(x) pour des points équi-repartis (gauche) et de Gauss-Lobatto (droite) 26 4.5 Équipotentielles pour des points équirépartis (gauche) et de Gauss-Lobatto (droite) . . . . 26 4.6 Vitesse de convergence et précision de la différentiation spectrale des quatre fonctions. . . 27 5.1 Spectre de valeurs propres associé à une perturbation 2D. Re = 10000, α = 1, β = 0. . . 30 5.2 Fonctions propres d’Orr-Sommerfeld/Squire pour Re = 5000, α = 1 et β = 1. A gauche de chaque sous-figure est représentée la vitesse normale v, et à droite la vorticité ωy. Les parties réelle et imaginaire sont respectivement en bleu et rouge. . . . . . . . . . . . . . . 31 5.3 Spectre issu d’une perturbation 3D. Re = 10000, α = 0, β = 1. . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.4 Spectre d’Orr-Sommerfeld Squire insuffisamment résolu. Re = 10000, α = 1, β = 0. . . . 33 5.5 Énergie transitoire G(t) avec α = 1 et β = 0. Cas instable Re = 8000. Cas stable Re = 5000. 33 5.6 Énergie transitoire avec Re = 1000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5.7 Énergie maximale pour Re = 1000 en fonction des deux nombres d’onde. . . . . . . . . . . 34 5.8 Énergie maximale avec β = 0 en fonction du nombre de Reynolds Re et de α. . . . . . . . 35 5.9 Courbes d’iso-valeurs de l’amplification maximale d’énergie Gmax dans le plan (α, β) pour Re = 1500. Cas d’adhérence en trait plein. Cas du glissement symétrique en pointillés. . . 37 5.10 Amplification énergétique maximale G(t) pour α = 0 et β = 2 dans le cas d’un glissement symétrique (Re = 1500). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5.11 Viscosité de Cess pour différentes valeurs du nombre de Reynolds. . . . . . . . . . . . . . 39 5.12 Profil de vitesse moyen dans le modèle de Cess pour différentes valeurs du nombre de Reynolds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.13 Iso-valeurs de l’énergie transitoire pour Re = 1000 en fonction de α et β. . . . . . . . . . . 40 5.14 Amplification maximale de l’énergie transitoire en fonction de β pour α = 0 et différentes valeurs du nombre de Reynolds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.15 Amplification maximale de l’énergie transitoire en fonction de β pour α = 0 et une valeur de nombre Reynolds égal à 1000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.16 Perturbation optimale pour Re = 1000, α = 1 et β = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.17 Perturbation optimale lorsque l’énergie est maximale (Re = 1000, α = 1 et β = 0). . . . . 43 5.18 Perturbation optimale 3D pour Re = 1000, α = 0 et β = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.19 Perturbation optimale lorsque l’énergie est maximale (Re = 1000, α = 1 et β = 0). . . . . 44 v
  • 6. vi/viii TABLE DES FIGURES B.1 Système optimal pour le contrôle LQR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XV
  • 7. Remerciements Je voudrais tout d’abord remercier Laurent Cordier, Chargé de Recherche CNRS au Laboratoire d’Études Aérodynamiques de Poitiers (LEA), pour avoir accepté de m’encadrer pendant ce stage de quatre mois et demi alors qu’ a priori je ne connaissais que peu de choses au contrôle et à la stabilité hydrodynamique. Qu’il soit également remercié pour sa disponibilité à répondre à toutes mes questions, qu’elles fussent d’ordre scientifique, technique ou pratique. Merci aussi d’avoir fait en sorte que ce stage se soit déroulé dans la bonne humeur. Merci également à Yves Gervais directeur du LEA, Professeur d’Université à l’École Supérieure d’Ingénieurs de Poitiers (ESIP) pour m’avoir mis en relation avec Laurent Cordier. Des remerciements aussi aux doctorants Guillaume Daviller, Vincent Jauney, Maxime Koenig, Rémi Maury, ainsi qu’aux post-doctorants Cyrille Bonamy et Sébastien Piponniau pour leur aide mais aussi pour leur enthousiasme et leur bonne humeur. C’est grâce à eux que j’ai pu découvrir le monde des doctorants, les aléas qui ponctuent les années de thèse et élargir ma culture scientifique aux travers de nos échanges. Enfin, je voudrais remercier toutes les personnes du laboratoire que j’ai rencontrées pour leur accueil chaleureux et leur gentillesse. vii
  • 8.
  • 9. Chapitre 1 Introduction Cette introduction a pour but de présenter le laboratoire d’accueil (section 1.1) ainsi que le contexte général du projet qui m’a été confié (section 1.2). Elle nous permettra également d’esquisser la trame du rapport (section 1.3). 1.1 Présentation du Laboratoire d’Études Aérodynamiques Le Laboratoire d’Études Aérodynamiques (LEA) est une Unité Mixte de Recherche entre le Centre Na- tional de la Recherche Scientifique (CNRS), l’École Nationale Supérieure de Mécanique et d’Aérotechnique de Poitiers (ENSMA) et l’université de Poitiers. Il a été créé le 1er janvier 1996 et appartient au groupe de discipline des Sciences pour l’Ingénieur. Il a pour département scientifique de rattachement celui des Sciences et Technologies de l’Information et de l’Ingénierie. L’activité du LEA est centrée sur la mécanique des fluides avec une vocation marquée pour l’étude des écoulements instationnaires. Les chercheurs peuvent s’appuyer sur des installations expérimentales conséquentes. Par ailleurs, une part importante des recherches porte sur le développement d’approches de simulations numériques. Les ap- plications concernent essentiellement le secteur des transports terrestres, maritimes, aéronautiques et spatiaux. En effet, le LEA possède un savoir-faire en matière d’aéro- et hydrodynamique interne et ex- terne, d’aéroacoustique, ainsi que de transferts thermiques pariétaux et ce en collaboration avec d’autres laboratoires poitevins. Les installations et la qualité des recherches menées au LEA en font un partenaire de choix pour les industriels. On peut citer Airbus, EADS, Snecma, Dassault, PSA, Renault, SNCF... et de nombreux instituts et universités étrangers (MIT, Berkeley, ...). Les activités du laboratoire sont organisées sur la base de six unités de recherche : – TAMCO : Turbulance, Analyse, Modélisation et Contrôle Dans cette unité, différentes méthodes numériques sont étudiées comme les codes RANS (Reynolds Avereraged Navier-Stokes), URANS (Unsteady Reynolds Averaged Navier-Stokes), DNS (Direct Numerical Simulation) et LES (Large Eddy Simulation). On s’intéresse aussi à l’analyse fine de la turbulence grâce à la POD (Proper Orthogonal Decomposition), à la LSE (Linear Stochastic Estimation), à la réduction de modèle pour le contrôle ou encore à l’analyse dynamique des grosses structures turbulentes. Sur le plan des méthodes expérimentales, l’unité développe des peignes de fils chauds pour l’anémométrie. Des études se font également sur le contrôle des écoulements tur- bulents de jets, de couches de mélanges ou de décollements. – Aéro-Hydrodynamique Cette unité s’intéresse au développement de méthodes de calcul d’écoulements hydrodynamiques sur des corps perçant ou au voisinage de surfaces libres ainsi qu’à l’aérodynamique des voiles à partir de méthodes de singularités. Des recherches sont effectuées afin d’optimiser les formes des carènes et de créer des bassins de carènes numériques en fluide visqueux. 1
  • 10. 2/48 Chapitre 1 - Introduction – Acoustique et Aéroacoustique Le but de cette unité est d’analyser et de modéliser les mécanismes de génération des sources aéroacoustiques et leur propagation en milieux externes et internes. Une partie des recherches est consacrée au développement de techniques expérimentales d’analyses comme les lasers et les réseaux de capteurs. Des techniques de contrôles expérimentales sont également étudiées. – Électrofluidodynamique Cette unité étudie les interactions entre les phénomènes électriques et la mécanique des fluides. Elle s’intéresse à l’électrisation et aux risques industriels. Des recherches sont menées sur les plasmas froids pour le contrôle des écoulements, sur les jets électrifiés, sur la stabilité linéaire des jets, sur l’interaction entre charges électriques et tension superficielle. – Rhéologie des fluides et écoulements polyphasiques Le but de cette unité est d’étudier le comportement des suspensions en écoulements comme la rhéologie des suspensions d’argiles purifiées, des boues bentonitiques industrielles, des sédiments vaseux ainsi que la rhéologie des émulsions. – Dynamique et transferts instationnaires Cette unité s’intéresse à l’étude de la structure complexe des écoulements et des phénomènes de transferts de matière ou de chaleur. Des recherches visent à développer des méthodes avancées d’analyse et de modélisation (RANS, URANS, POD, LSE) et de métrologies innovantes comme la PIV 3D (Particule Image Velocimetry), les corrélations spatio-temporelles. Des études sont menées afin de mieux comprendre la dynamique des structures instationnaires et leur stabilité. Des travaux sont effectués sur les écoulements de fluides couplés à des transferts de matière et de chaleur et sur des applications de l’aérodynamique. Le LEA fait partie du dispositif de formation par la recherche puisqu’il intervient durant la formation des étudiants suivant le Master Mécanique, Énergétique et Ingénierie (MEI) de l’université de Poitiers dans trois spécialités : Génie Électrique en Mécanique des Fluides (GEMF), Simulation Numérique et Codes de calculs Industriels en Mécanique (SINUCIM) ainsi que la spécialité Fluides, Acoustique et Énergétique (FAE). Les chercheurs permanents du laboratoire sont au nombre de 43. 38 d’entre eux sont enseignants chercheurs et 5 sont chercheurs au CNRS. Au total vingt permanents sont Habilités à Diriger des Re- cherches (HDR). Ces derniers sont assistés par 40 Ingénieurs Techniciens Administratifs (ITA), dont 28 sont rattachés à l’Enseignement Supérieur et 12 au CNRS. Une grande partie des effectifs est constituée des doctorants puisqu’ils sont au nombre de 41. Par ailleurs, le laboratoire accueille régulièrement des Post-Doctorants, des Attachés Temporaires d’Éducation et de Recherches (ATER) ainsi que des cher- cheurs et des professeurs étrangers. Le LEA est réparti sur quatre sites géographiques : le site du Campus (bâtiment K), le SP2MI - Futuroscope, l’ENSMA et le CEAT. Mon stage s’est effectué sur le site du CEAT dans l’unité TAMCO et plus particulièrement dans sa partie contrôle d’écoulement. 1.2 Contexte général du projet Dans le contexte industriel, économique et écologique actuel, tout est mis en œuvre pour limiter le bruit et la consommation des véhicules terrestre et aérien. Afin de parvenir aux objectifs fixés par l’ACARE 2020, on essaie depuis une dizaine d’années d’employer des techniques de contrôle d’écoulement. De façon générale, le but du contrôle d’écoulement est d’atteindre un objectif fixé (réduction de traı̂née, augman-
  • 11. 1.2 Contexte général du projet 3/48 PSfrag replacements Perturbations Système Actionneurs Capteurs Contrôleur Contrôle Mesures Estimateur État estimé Figure 1.1 – Représentation schématique du contrôle en boucle fermée. tation de portance, réduction du niveau sonore,. . .) en manipulant de manière judicieuse la configuration de l’écoulement (propriétés physiques, forçage volumique, conditions aux limites). Suivant que le contrôle est actif ou passif, en boucle ouverte ou en boucle fermée, différentes stratégies peuvent être envisagées. Le contrôle passif peut être vu comme une simple optimisation de forme. C’est Newton, à la fin du XVIIème siècle, qui fut le premier à chercher la forme d’une surface de révolution minimisant la traı̂née. Bien que les progrès de ces techniques d’optimisations soient importants (ailette marginale en bout d’aile des avions, forme des ailerons en automobile), il n’en demeure pas moins que l’on est proche d’atteindre leurs limites. A l’inverse, le contrôle actif est une stratégie efficace, tant d’un point de vue énergétique que d’appli- cabilité industrielle, et n’en est qu’à ses débuts. En boucle ouverte, les paramètres des actionneurs sont établis une fois pour toute lors de la conception et restent constant durant toute la procédure d’optimisa- tion et ce quels que soient les changements subis par l’écoulement. Avec ce type de stratégie, le système est particulièrement sensible aux perturbations extérieures ainsi qu’aux erreurs de modélisation. De plus, il est difficile de stabiliser une solution initialement instable alors que cela peut se révéler intéressant du point de vue des performances du système. C’est pour ces raisons que nous avons choisi le contrôle en boucle fermée (figure 1.1). Dans ce cas, il existe également des capteurs qui mesurent, au moins partiel- lement, l’état du système afin d’évaluer l’action du contrôle fourni par les actionneurs. Le contrôle est alors ajusté en conséquence. Différents types de problèmes rentrent dans le cadre du contrôle d’écoulement. Un premier type de problème est de savoir comment déterminer la loi de contrôle à appliquer à un système afin de minimiser une certaine norme d’un critère de performance. Sans perte de généralités, ce problème est appelé contrôle optimal. Le modèle utilisé pour représenter le système peut être issu d’une DNS (Bewley et al., 2001), d’une LES (El Shrif, 2008) ou d’un modèle réduit obtenu par POD (Bergmann et Cordier, 2008). Si le système est supposé Linéaire Temps Invariant (Burl, 1999) alors le problème de contrôle optimal est appelé plus simplement LQR (Linear Quadratic Regulator). Un autre type de problème consiste à déterminer la condition initiale qui maximise l’amplification énergétique du système à un instant donné. On introduit pour cela le concept de perturbation optimale et de croissance optimale (Schmid et Henningson, 2001). Ce sont ces deux types de problèmes qui feront l’objet du chapitre 3.
  • 12. 4/48 Chapitre 1 - Introduction PSfrag replacements Paroi supérieure Paroi inférieure Actionneurs Capteurs Contrôleurs Écoulement x y Figure 1.2 – Configuration généraique d’écoulement de Poiseuille contrôlé. 1.3 Organisation du document Dans ce rapport, nous allons nous intéresser à un écoulement de canal plan. En raison de sa géométrie simple et de sa dynamique suffisamment complexe, l’écoulement de canal est devenu un problème ca- nonique en recherche numérique que ce soit pour étudier la turbulence à faible nombre de Reynolds ou pleinement développée (Moin et Kim, 1982; Kim et al., 1987; Moser et al., 1999), ou plus récemment, pour le développement de stratégies de contrôle (Choi et al., 1994; Schmid et Henningson, 2001; Rowley et Ilak, 2008). La configuration d’étude est un écoulement de canal plan (figure 1.2) pour lequel les actionneurs (soufflage/aspiration) et les capteurs (mesure de frottement pariétal) sont situés aux parois. L’objectif initial du projet était de déterminer les lois de contrôle à imposer aux parois du canal afin de minimiser la traı̂née de l’écoulement. Pour ce faire, nous avons commencé par une phase de réduction de modèle. En effet, la réalité physique étant trop complexe, le nombre de variables nécessaires pour avoir une des- cription complète du système est trop important. La réduction de modèle consiste à décrire la dynamique du système de manière simplifiée en ne retenant que les phénomènes importants du point de vue de la dynamique. Dans ce projet, nous n’allons pas utiliser une technique de réduction de modèle basée sur une méthode de projection comme la POD (Bergmann et Cordier, 2008), la ”Balanced POD” (Rowley, 2005) ou les modes globaux (Barbagallo et al., 2009). De manière plus simple, nous allons chercher à réduire le nombre de variables physiques nécessaires à l’écriture des équations de Navier-Stokes puis utiliser la périodicité de l’écoulement dans deux directions de l’espace pour se ramener à un système dynamique simplifié écrit dans l’espace de Fourier. Au chapitre 2, nous commençons par établir les équations régissant la dynamique de l’écoulement en gardant à l’esprit le point de vue réduction de modèle. La première partie de ce chapitre (section 2.1) a pour but de présenter en détail la configuration d’étude. Par la suite, dans la section 2.2, les équations de Navier-Stokes linéarisées sont déterminées afin d’étudier la stabilité des petites perturbations. A la section 2.3, un modèle réduit de l’écoulement de Poiseuille est déterminé sous la forme du système d’Orr-
  • 13. 1.3 Organisation du document 5/48 Sommerfeld/Squire (système de deux équations différentielles ordinaires à deux inconnues). Enfin, une représentation d’état de ce système adapté au contrôle est réalisé à la section 2.4. Le chapitre 3 est consacré à la théorie du contrôle. Dans une première section, nous introduisons le formalisme général associé au contrôle optimal sous la forme d’un problème d’optimisation sous contrainte. La section 3.2 est consacrée à la présentation détaillée du contrôle ”Linear Quadratic Regulator” qui est le cas le plus simple de contrôle optimal que l’on puisse envisager en pratique. Enfin, nous considérons le cas du problème de perturbation optimale dans la section 3.3. Le chapitre 4 décrit les méthodes spectrales (discrétisation Chebyshev) que nous avons été amenés à manipuler pour résoudre les équations d’Orr-Sommerfeld en représentation d’état. Nous présentons ensuite au chapitre 5 les résultats de nos travaux pour les trois types de configuration d’écoulement envisagés, soit le cas de l’écoulement de Poiseuille non contrôlé (section 5.2), le cas des conditions de glissement à la paroi (section 5.3) et le cas de la viscosité variable (section 5.4). Enfin, nous proposons un bilan sous forme de conclusion au chapitre 6.
  • 14.
  • 15. Chapitre 2 Modélisation réduite Dans ce chapitre, nous déterminons les équations 1 régissant la dynamique de l’écoulement de canal plan tridimensionnel. Plus particulièrement, l’objectif est d’obtenir une représentation d’état linéarisé pour la dynamique du système afin de mettre en œuvre les concepts de la théorie du contrôle (voir chapitre 3). Notre description s’inspire de celle faite par Schmid et Henningson (2001). Cependant, nous considérons ici que la viscosité physique ν peut dépendre de la direction normale et du nombre de Reynolds. 2.1 Présentation 2.1.1 Configuration d’étude Dans ce rapport, nous considérons un écoulement de canal plan de demi-hauteur h (voir Fig. 2.1). Les parois inférieure et supérieure sont situées respectivement à y = −h et y = h. On note Lx la longueur du canal et Lz sa largeur. En outre, le canal est supposé long (Lx h) et ayant un grand rapport d’aspect (Lz h). L’écoulement moyen est donc prédominant dans la direction Ox et la vitesse moyenne varie essentiellement dans la direction normale Oy. PSfrag replacements L L 2h U(y) x x y z z −1 1 O Figure 2.1 – Représentation schématique de la configuration d’étude. Le champ de vitesse du fluide, fonction de la position x et du temps t sera noté u(x, t) ou plus sim- plement u. Les composantes du vecteur vitesse seront notées (u, v, w) respectivement dans les directions longitudinale (Ox), normale (Oy) et transversale (Oz). De même, les composantes du vecteur position x seront notées (x, y, z). Le champ de vitesse du fluide peut être décomposé en un champ de base (souvent une vitesse moyenne) et une vitesse fluctuante de la manière suivante : u = ub + u0 . 1. Nous ne présenterons par la suite que les résultats principaux de la mise en équation. Les démonstrations complètes se trouvent en annexe A. 7
  • 16. 8/48 Chapitre 2 - Modélisation réduite 2.1.2 Mise en équations Le fluide est supposé homogène, newtonien et incompressible, de masse volumique ρ et de viscosité dynamique µ (ν = µ/ρ est la viscosité cinématique associée). Le fluide occupe un domaine spatial Ω défini par Ω = [0, Lx] × [−h, h] × [0, Lz] et sa pression est notée p(x, t). Dans ces hypothèses, les équations de conservation de la masse et de la quantité de mouvement s’écrivent sous la forme : ∇ · u = 0 (2.1) ρ ∂u ∂t + ρ(u · ∇)u = ∇ · σ (2.2) où σ = −p I + τ(u) est le tenseur des contraintes. Le symbole I représente le tenseur identité et τ(u) = µ ∇u + ∇u T est le tenseur des contraintes de viscosité. En réécrivant le terme de droite (voir annexe A), il vient : ρ ∂u ∂t + ρ(u · ∇)u = −∇p + ∇ · µ ∇u + ∇u T . (2.3) En supposant la densité volumique constante on peut diviser (2.3) à gauche et à droite par ρ. Dans le cas général, on ajoute un terme de viscosité turbulente νt à la viscosité cinématique ν. En écrivant νT = ν + νt on obtient : ∂u ∂t + (u · ∇)u = − 1 ρ ∇p + ∇ · νT ∇u + ∇u T . (2.4) 2.1.3 Adimensionnement du problème Adimensionnement des équations de Navier-Stokes Afin d’adimensionner les variables, nous introduisons une longueur caractéristique, dénotée Lref, et une vitesse caractéristique Uref. Pour un écoulement de canal plan, on considère que Lref est égale à la demi-hauteur du canal h. Pour Uref, plusieurs choix sont possibles selon les applications. Dans le cas de l’écoulement de canal non contrôlé (section 5.2) et dans celui du cas de glissement aux parois (section 5.3), nous considérons pour vitesse de référence la vitesse au centre du canal Uc. Par contre, dans le cas où l’on considère que la viscosité du fluide νT est fonction de y et du nombre de Reynolds (section 5.4), nous considérerons alors que Uref = uτ où uτ est la vitesse de frottement aux parois 2 . Les variables sans dimensions sont donc : ũ = u Uref ; p̃ = p ρ U2 ref ; x̃ = x h ; t̃ = t tref = t Uref Lref . Il est désormais possible d’écrire les équations sans dimension décrivant le mouvement du fluide dans le domaine Ω : ∇ · ũ = 0 (2.5) ∂ũ ∂t̃ + (ũ · ∇)ũ = −∇p̃ + 1 Reref ∇ · h e νT h ∇ũ + (∇ũ)T ii (2.6) 2. La vitesse de frottement aux parois est définie par uτ = r τw ρ où τw = −µ ∂u ∂y n2    y=±h est la contrainte pariétale. n2 désigne la normale extérieure aux parois supérieure et inférieure du canal.
  • 17. 2.2 Équations de Navier-Stokes linéarisées 9/48 où Reref = Uref h ν est le nombre de Reynolds et e νT = νT ν . Par convention, on dénommera Reτ = uτ h ν et Rec = Uc h ν . Grandeurs en unités de paroi Afin de décrire la dynamique de la couche limite turbulente, il est d’usage d’introduire un nouvel adimensionnement noté (.)∗ où les grandeurs physiques sont adimensionnées par les échelles de longueur ν/uτ et de vitesse uτ . En unités de paroi (aussi appelées unités visqueuses), les grandeurs sont définies par : u∗ = u uτ = ũ ; x∗ = x ν/uτ = Reτ x̃ ; t∗ = t ν/u2 τ = Reτ t̃. Afin d’alléger les notations, nous n’utiliserons plus dans le suite le symbole (e .) pour représenter les variables adimensionnées par h et Uref. 2.2 Équations de Navier-Stokes linéarisées Les équations de Navier-Stokes écrites précédemment sont difficilement utilisables en l’état pour le contrôle d’écoulement. Nous cherchons donc à en obtenir une expression à la fois plus simple (réduction de modèles) et adaptée au contrôle linéaire (voir chapitre 3). Pour cela, nous avons déterminé l’équation d’évolution des perturbations u autour du profil moyen de vitesse U(y). Soit f = (fx, fy, fz), le terme de forçage volumique nécessaire pour le contrôle, nous obtenons après simplifications (voir annexe A) : ∂u ∂t + U(y) ∂u ∂x + v U0 (y)ex = −∇p + 1 Reref        e νT ∆u + (e νT )0        ∂u ∂y + ∂v ∂x 2 ∂v ∂y ∂w ∂y + ∂v ∂z               + f, (2.7) ou encore selon chaque direction : ∂ ∂t + U(y) ∂ ∂x u + v U0 (y) = − ∂p ∂x + e νT ∆u + (e νT )0 ∂u ∂y + ∂v ∂x + fx (2.8) ∂ ∂t + U(y) ∂ ∂x v = − ∂p ∂y + e νT ∆v + 2 (e νT )0 ∂v ∂y + fy (2.9) ∂ ∂t + U(y) ∂ ∂x w = − ∂p ∂z + e νT ∆w + (e νT )0 ∂w ∂y + ∂v ∂z + fz (2.10) Dans la suite, nous utiliserons la loi de Cess (Cess, 1958) pour la viscosité totale : e νT (y) = 1 2 ( 1 + κ2 Re2 τ 9 (1 − y2 )2 (1 + 2y2 )2 1 − exp (|y| − 1) Reτ A 2 )1/2 + 1 2 (2.11) κ = 0, 426 est la constante de von Kármán, A = 25, 4 est la constante de la loi de van Driest. 2.3 Système d’Orr-Sommerfeld/Squire 2.3.1 Équation de Poisson Les équations de Navier-Stokes que nous venons d’écrire forment un système de quatre équations à quatre inconnues. Pour faciliter la résolution, nous allons chercher à réduire le nombre de variables et à
  • 18. 10/48 Chapitre 2 - Modélisation réduite passer à un système de deux équations à deux inconnues. Une première étape consiste à obtenir l’expres- sion de la pression. La relation entre la pression et les composantes de la vitesse est donnée par l’équation de Poisson. Une des techniques pour aboutir à cette relation consiste à dériver chacune des équations (2.8), (2.9) et (2.10) selon x, y et z respectivement puis d’en faire la somme. Dans le terme de gauche de l’expression ainsi obtenue, la divergence de u apparaı̂t, et d’après l’équation de continuité ∇ · u = 0, ce qui permet de simplifier le terme de gauche pour n’avoir plus qu’une dépendance en v. Le terme de droite est quant à lui plus difficile à obtenir mais en choisissant une décomposition astucieuse on peut à nouveau, après de rapides calculs, faire apparaı̂tre la divergence de la vitesse (voir annexe A). Après simplification, il ne reste plus que des terme en v. On aboutit alors à l’équation de Poisson qui s’écrit : 2 U0 (y) ∂v ∂x = −∇2 p + 2 e ν0 T (y)∇2 v + 2 e ν00 T (y) ∂v ∂y + ∇ · f (2.12) 2.3.2 Équation d’Orr-Sommerfeld Une fois l’équation de Poisson obtenue, nous cherchons à éliminer la pression de l’équation de conserva- tion du moment. Pour cela, nous remarquons d’abord que le laplacien de la pression s’exprime uniquement en fonction de termes en v. Prenons donc le laplacien de l’équation de Navier-Stokes linéarisée sur la com- posante v, c’est à dire l’équation (2.9). En permutant l’ordre de certaines dérivées puis en remplaçant la pression par son expression issue de l’équation de Poisson de nombreux termes se simplifient. On obtient l’équation dite d’Orr-Sommerfeld (voir annexe A) : ∂ ∂t (∇2 v) + U(y)∇2 ∂v ∂x − U00 (y) ∂v ∂x = e νT (y)∇4 v + 2e ν0 T (y)∇2 ∂v ∂y + e ν00 T (y) 2 ∂2 v ∂y2 − ∇2 v +∇2 fy − ∂ ∂y ∇ · f (2.13) 2.3.3 Équation de Squire Nous avons obtenu l’équation d’Orr-Sommerfeld qui n’a pour seule variable que la composante v de la vitesse. Comme nous l’avons dit précédemment, le but de cette fin de chapitre est de réduire le nombre de variables du système à deux. Il est clair que la variable v ne pourra pas être supprimée ou remplacée. En revanche, il existe un lien entre les dérivées partielles de u et de w. Pour cette raison, il est judicieux d’introduire la vorticité définie par : ωy = ∂u ∂z − ∂w ∂x . Dérivons maintenant l’équation (2.8) par rapport à z et l’équation (2.10) par rapport à x pour faire apparaı̂tre le terme de vorticité. On obtient de façon quasi immédiate (voir annexe A) l’équation de Squire : ∂ ∂t + U(y) ∂ ∂x ωy − e νT (y)∇2 ωy − e ν0 T (y) ∂ ∂y ωy − ∂fx ∂z + ∂fz ∂x = −U0 (y) ∂v ∂z (2.14) 2.4 Représentation d’état du système d’Orr-Sommerfeld/Squire A l’issue de ces trois dernières sections, nous sommes passés d’un problème à quatre équations (conser- vation de la masse et une équation de conservation du moment pour chaque composante) à quatre incon- nues (u, v, w et p) à un problème à deux équations (Orr-Sommerfeld/Squire) à deux inconnues (v et ωy). La première partie de la réduction du modèle est donc achevée. La deuxième partie consiste à utiliser les propriétés spatiales de l’écoulement. A l’issue de ce processus nous obtiendrons un système d’équations compact et général dit en représentation d’état dans la théorie du contrôle.
  • 19. 2.4 Représentation d’état du système d’Orr-Sommerfeld/Squire 11/48 Afin d’avoir une écriture plus compacte et adaptée à notre problème, nous allons nous servir de la périodicité spatiale de l’écoulement suivant les axes Ox et Oz. Cette périodicité permet d’utiliser la décomposition de Fourier pour représenter les évolutions spatiales des variables. Dans la terminologie de la stabilité hydrodynamique, cette étude correspond à une analyse locale de stabilité. Avant de donner les expressions des équations dans le domaine de Fourier, définissons quelques règles de calcul. En analyse locale de stabilité, on suppose que le terme de perturbation peut s’écrire u(x, t) = û(y, t)ei(αx+βz) où α et β sont les nombres d’onde respectivement dans les directions ex et ez. En appliquant les règles relatives au calcul dans le plan complexe, il est clair que dériver par rapport à x revient à multiplier par iα, et que dériver par rapport à z revient à multiplier par iβ. On note D la matrice de différentiation spatiale selon y (voir chapitre 4) et on représente la dérivée temporelle par un point. On pose également k2 = α2 + β2 . L’équation d’Orr-Sommerfeld (2.13) étant linéaire en v, le terme exponentiel se retrouve en facteur des deux côtés de l’égalité et on peut donc simplifier l’expression obtenue dans l’espace de Fourier par ei(αx+βz) . Après plusieurs étapes de simplification et de réarrangement (voir section A.5), on obtient l’équation d’Orr-Sommerfeld sous la forme : (D2 − k2 ) ∂v̂ ∂t = LOSv̂ − k2 ˆ fy − iD(α ˆ fx + β ˆ fz) avec LOS = −iα U(D2 − k2 ) − U00 + e νT (D2 − k2 )2 + 2 e ν0 T (D2 − k2 )D + e ν00 T (D2 + k2 ) où LOS est l’opérateur d’Orr-Sommerfeld. En procédant de la même façon pour l’équation de Squire (2.14), on obtient la forme suivante : ∂ω̂y ∂t = −iβU0 v̂ + LSQ ω̂y + iβ ˆ fx − iα ˆ fz avec LSQ = −iαU + e νT (D2 − k2 ) + e ν0 T D où LSQ est l’opérateur de Squire. En regroupant les deux équations précédentes, on peut écrire le système sous la forme matricielle : D2 − k2 0 0 1 ∂ ∂t v̂ ω̂y = LOS 0 −iβU0 LSQ v̂ ω̂y + −iαD −k2 −iβD iβ 0 −iα   ˆ fx ˆ fy ˆ fz   (2.15) ou encore, en posant ∆ = D2 − k2 : ˙ v̂ ˙ ω̂y | {z } q̇ = ∆−1 LOS 0 −iβU0 LSQ | {z } A v̂ ω̂y | {z } q + −∆−1 iαD −∆−1 k2 −∆−1 iβD iβ 0 −iα | {z } B   ˆ fx ˆ fy ˆ fz   | {z } s (2.16) Le terme −iβU0 parfois noté LC représente le couplage entre les deux équations. La forme matricielle peut être simplifiée en écrivant q̇ = A q + B s. Cette représentation est le point de départ de la théorie du contrôle que nous allons présenter dans le prochain chapitre.
  • 20.
  • 21. Chapitre 3 Théorie du contrôle Le but de ce chapitre 1 est d’introduire les outils nécessaires au contrôle. Comme nous l’avons vu dans l’introduction, déterminer une loi de contrôle optimale ou calculer une perturbation optimale revient à résoudre un problème d’optimisation sous contrainte. Après avoir rappelé succinctement le cadre général du contrôle optimal dans la section 3.1, nous présentons à la section 3.2 le problème LQR (Linear Qua- dratic Control), qui est un cas particulier de contrôle optimal, puis traitons dans la section 3.3 de la perturbation optimale. 3.1 Contrôle optimal Tout problème d’optimisation sous contrainte en mécanique des fluides (que ce soit l’optimisation de forme, le contrôle d’écoulement en boucle ouverte ou en boucle fermée, la croissance optimale) peut être décrit de façon mathématique par les quantités suivantes : – des variables d’état q 2 qui décrivent l’écoulement. Selon le problème, ces variables peuvent être des vecteurs vitesse, la pression, etc . . . – des paramètres de contrôle s 3 . En pratique, ces variables apparaissent en tant que conditions aux limites dans les équations d’état, lorsqu’un contrôle est appliqué aux frontières du domaine ou directement comme un terme source si le contrôle est effectué à l’intérieur du domaine (forçage volumique). Dans le cas de la croissance optimale, ces paramètres de contrôle interviennent en tant que conditions initiales. Selon les situations, ces paramètres peuvent être des vitesses aux frontières du domaine (imposées par soufflage/aspiration par exemple), des flux de chaleurs, des températures aux parois. S’il s’agit d’un problème d’optimisation de forme, les paramètres de contrôle pourront être des variables décrivant la forme d’une frontière. – une fonctionnelle coût J qui décrit une mesure de l’objectif que l’on cherche à atteindre. Il peut s’agir de la minimisation de la traı̂née, de la maximisation de la portance . . . Cette fonctionnelle dépend des variables d’état q et des paramètres de contrôle s. – des contraintes physiques F qui représentent l’évolution des variables d’états et des paramètres de contrôle en suivant les lois physiques. Mathématiquement, ces contraintes se notent F (q, s) = 0. En mécanique des fluides, ces contraintes correspondent généralement aux équations de Navier- Stokes et à leurs conditions initiales associées. Si l’on exerce un contrôle aux frontières du domaine, 1. Les résultats présentés dans ce chapitre sont donnés sans démonstration. Le lecteur est invité à consulter le détail des calculs se trouvant en annexe B. 2. La communauté du contrôle utilise plus souvent x pour désigner les variables d’état mais nous avons préféré utiliser ici q pour éviter toute confusion. 3. Pour les mêmes raisons que pour les variables d’état, nous choisissons de noter s les variables de contrôle et non u comme c’est classiquement le cas en automatique. 13
  • 22. 14/48 Chapitre 3 - Théorie du contrôle les conditions aux limites peuvent également être prises comme contrainte. En outre, il est souvent nécessaire de rajouter des contraintes supplémentaires pour que le problème soit bien posé. De façon concise, un problème d’optimisation sous contrainte peut être énoncé de la manière suivante : Déterminer les variables d’états q et les paramètres de contrôle u de façon à ce que la fonctionnelle J soit optimale (maximale ou minimale selon les cas) sous les contraintes F . Maintenant que nous avons clairement défini ce qu’est un problème d’optimisation sous contraintes, intéressons nous au cas le plus simple en pratique où le système d’état est linéaire et la fonction objectif quadratique. 3.2 Contrôle LQR 3.2.1 Introduction Supposons ici que nous connaissons l’état du système en tout point et en tout instant (nos amis an- glophones parlent de full state information). Bien que cela soit physiquement irréalisable, il s’agit d’un point de départ nécessaire à l’élaboration de modèles plus complexes. Notre système s’écrit : q̇ = A q + B s avec q(0) = q0 z = C1 q + D12 s (3.1) où z est la variable de performance. Les matrices C1 et D12 sont précisées dans l’annexe B. Par identification avec le système (2.16) établi à la fin du chapitre 2, il est clair que les variables d’état représentées par q sont la vitesse v̂ et la vorticité ω̂y. De même, les termes de contrôle s sont les composantes du forçage volumique ( ˆ fx, ˆ fy, ˆ fz). La fonctionnelle coût J est quant à elle définie par : J (q, s) = ˆ T 0 kzk2 2 dt (3.2) où T désigne l’horizon temporel d’optimisation. Soit zH le transconjugué du vecteur z, la norme L2 de z s’écrit : kzk2 2 = zH z = qH Qq q + sH Qs s = kqk2 Qq + ksk2 Qs où la notation k·k2 Q désigne la norme associée au produit scalaire avec poids défini par kφkQφ = φH Qφφ. Dès lors, en considérant que Qs = `2 Id avec ` 0 et Id la matrice identité, la fonctionnelle devient : J = ˆ T 0 qH Qq q + `2 sH s dt. (3.3) Le paramètre ` est un paramètre de régularisation qui mesure le coût de la mise en œuvre du contrôle. Si la valeur de ` est élevée, l’application du contrôle coûte cher et la minimisation de J conduira au contrôle minimal à appliquer pour réguler le système. A l’inverse, si la valeur de ` est faible, l’application du contrôle est peu coûteux et l’amplitude du contrôle pourra alors être plus importante. L’objectif du contrôle LQR est de minimiser la fonctionnelle coût J sous les contraintes du système d’état. On considère donc comme contraintes la fonction F définie par : F (q, s) = q̇ − A q − Bs = 0. (3.4)
  • 23. 3.2 Contrôle LQR 15/48 3.2.2 Multiplicateurs de Lagrange Le contrôle LQR se pose comme un problème d’optimisation sous contraintes. En effet, cela revient à déterminer le contrôle s et l’état q tels que la fonctionnelle coût J (q, s) soit minimale sous la contrainte F (q, s) = 0. Pour y parvenir, nous allons transformer le problème d’optimisation sous contrainte afin de nous ramener en un problème d’optimisation sans contrainte. Pour cela, nous allons introduire la méthode des multiplicateurs de Lagrange. Le contrôle sera alors obtenu en résolvant un système d’équations aux dérivées partielles couplées appelé système optimal (voir section 3.2.3). Commençons par introduire le produit scalaire h· , ·i qui nous sera utile pour la suite : ha, bi = ˆ T 0 aH (t)b(t) dt + complexe conjugué (3.5) = 2 Re ˆ T 0 aH (t)b(t) dt ! . Avec cette définition, la fonctionnelle coût (3.3) s’écrit : J(q, s) = 1 2 hC1q, C1qi + `2 hs, si . (3.6) Considérons alors la fonctionnelle Lagrangienne : L (q, s, q+ ) , J (q, s) − F(q, s), q+ (3.7) = J (q, s) − q̇ − A q − Bs, q+ (3.8) où q+ est l’état adjoint, aussi appelé multiplicateur de Lagrange (d’où le nom de la méthode). Il faut re- marquer que contrairement à la formulation initiale, chaque argument dans la fonctionnelle Lagrangienne est indépendant des autres. Ceci nous permet d’énoncer le problème d’optimisation sans contrainte : Déterminer le contrôle optimal s, l’état q et le multiplicateur de Lagrange q+ tels que la fonction- nelle Lagrangienne L (q, s, q+ ) atteigne un minimum . 3.2.3 Obtention du système optimal La solution optimale est obtenue en annulant les premières variations de L par rapport à chacune des variables q+ , q et s. Équation directe L’équation directe est obtenue grâce à la première variation de L par rapport à q+ qui s’écrit : ∂L ∂q+ , δq+ = lim ε→0 L (q, s, q+ + εδq+ ) − L (q, s, q+ ) ε . En remplaçant L par sa valeur nous obtenons de manière immédiate l’équation directe (voir section B.3.1) : q̇ = A q + Bs. (3.9)
  • 24. 16/48 Chapitre 3 - Théorie du contrôle Équation adjointe La première variation de L par rapport à q va nous permettre de déterminer l’équation adjointe. Cette variation s’écrit : ∂L ∂q , δq = lim ε→0 L (q + εδq, s, q+ ) − L (q, s, q+ ) ε . (3.10) Une première étape consiste à remplacer L par son expression, on obtient alors : ∂L ∂q , δq = ∂J ∂q δq | {z } T1 + δq̇, q+ | {z } T2 + Aδq, q+ | {z } T3 . (3.11) Après une suite de calculs sur les termes T1 à T3, on obtient (voir section B.3.2) la nouvelle expression de (3.11) : ∂L ∂q = C+ 1 C1q + ˙ q+ + A+ q+ . Ce résultat conduit à l’équation adjointe et à sa condition terminale : ( − ˙ q+ = A+ q+ + C+ 1 C1q, q+ (T) = 0. (3.12) Comme on le constate, l’équation adjointe est donc définie en temps rétrograde et doit être intégrée à partir d’une condition terminale. Condition d’optimalité La première variation de L par rapport à s, qui nous permettra d’obtenir la condition d’optimalité, s’écrit : ∂L ∂s , δs = lim ε→0 L (q, s + εδs, q+ ) − L (q, s, q+ ) ε . En utilisant la définition de la Lagrangienne, il vient : ∂L ∂s , δs = ∂J ∂s δs | {z } T1 + Bδs, q+ | {z } T2 . (3.13) De même que pour l’obtention de l’équation adjointe, nous modifions les termes T1 et T2 (voir section B.3.3) pour obtenir une nouvelle expression de (3.13) : ∂L ∂s = B+ q+ + `2 s. De cette équation, on tire la condition d’optimalité : B+ q+ = −`2 s. (3.14) En regroupant les équations (3.9), (3.12) et (3.14), nous pouvons écrire le système optimal donné dans la figure 3.1. La section suivante va avoir pour but de présenter une méthode de résolution explicite de ce système. Pour ce faire, il sera introduit une équation différentielle non linéaire dite de Riccati.
  • 25. 3.2 Contrôle LQR 17/48 Équation d’état q̇ = A q + Bs q(0) = q0 Équations adjointes ( − ˙ q+ = A+ q+ + C+ 1 C1q q+ (T) = 0 Condition d’optimalité B+ q+ = −`2 s Figure 3.1 – Système optimal pour le contrôle LQR. 3.2.4 Équation de Riccati Afin de résoudre le système optimal lié au problème LQR (voir figure 3.1), nous devons éliminer deux variables parmi les trois inconnues q, s et q+ . La condition d’optimalité permet d’obtenir s facilement : s(t) = − 1 `2 B+ q+ (t). (3.15) Cette équation nous permet d’éliminer s des équations mais il nous faut encore trouver une relation entre q+ et q pour découpler le système. Burl (1999) montre que ces deux quantités sont reliées par une matrice inconnue qui est fonction du temps, notée Π(t). Cette relation s’écrit : q+ (t) = Π(t)q(t). (3.16) La loi de contrôle peut donc s’écrire sous une nouvelle forme : s(t) = − 1 `2 B+ Π(t) q(t) = K(t) q(t) où K(t) est le gain de Kalman. Dans le but d’évaluer le gain K(t), il faut déterminer l’expression de la matrice inconnue Π(t). Il se trouve qu’en prenant la dérivée temporelle de l’équation (3.16), puis en substituant q et q+ grâce au système : q̇ ˙ q+ = A − 1 `2 BB+ −C+ 1 C1 −A+ ! q q+ avec q(0) = q0 q+ (T) = 0 , on obtient (voir section B.4) l’équation de Riccati : −Π̇ = A+ Π + Π A − 1 `2 Π B B+ Π + C+ 1 C1. Cette équation peut être résolue en temps rétrograde à partir de la condition finale Π(T) = 0. Si le but du contrôle est d’avoir un résultat aux temps longs, l’étude du comportement transitoire n’est pas utile. On peut alors considérer l’équation de Riccati algébrique continue en temps : A+ Π + Π A − 1 `2 Π B B+ Π + C+ 1 C1 = 0. (3.17) La solution de (3.17) permet d’obtenir le coût du contrôle optimal associé. En connaissant la condition initiale q(0), le coût optimal Jmin est donné (Burl, 1999) par : Jmin = qH (0) Π(0) q(0).
  • 26. 18/48 Chapitre 3 - Théorie du contrôle Nous venons d’établir les résultats principaux de la théorie du contrôle pour le problème LQR. Comme nous l’avons vu précédemment, il existe une autre sorte de problème, celui de la perturbation optimale. C’est ce problème que nous allons étudier dans la prochaine section. 3.3 Perturbation optimale Dans le cas des perturbations optimales, la fonctionnelle coût J à considérer pour le problème d’op- timisation sous contrainte est l’amplification énergétique relative d’une perturbation q, soit J (t) = kq(t)k2 E kq(0)k2 E (3.18) où kq(t)k2 E = q(t)H Q q(t) est la norme énergétique (d’où l’indice E) définie par un produit scalaire de matrice de poids Q. Le problème de perturbation optimale peut donc s’énoncer comme le problème d’optimisation suivant : Déterminer la solution q et le paramètre de contrôle q0 (perturbation optimale) de façon à ce que la fonctionnelle J soit maximale . Il est donc possible comme nous l’avons fait à la section 3.2 pour le problème de contrôle LQR, de cher- cher la solution optimale comme la solution d’un problème direct-adjoint défini par un système optimal. Ici, nous avons fait le choix de présenter la méthode généralement utilisée en stabilité hydrodynamique pour déterminer les perturbations optimales (Schmid et Henningson, 2001). Cette méthode repose sur la détermination du gain d’amplification énergétique relative, soit G(t) = max q06=0 J (t). Nous commençons par reprendre l’équation (2.16) établie à la fin du chapitre 2 en considérant ici le cas sans contrôle i.e. s = 0. Le système s’écrit : q̇(t) = A q(t) avec q(0) = q0. (3.19) Les contraintes du système sont maintenant définies par : F(q, s) = q̇ − Aq = 0. Comme la matrice Q est hermitienne, il est possible d’écrire Q = TH T en appliquant la décomposition de Cholesky. On a alors pour un vecteur q, la norme énergétique associée kq(t)k2 E = q(t)H Q q(t) = q(t)H TH T q(t) = kT q(t)k2 2. La croissance énergétique s’écrit alors : G(t) = max q06=0 kq(t)k2 E kq0|2 E = max q06=0 kTq(t)k2 2 kT q0|2 2 . Or la solution de (3.19) est donnée par q(t) = eA t q(0) d’où G(t) = max q06=0 kTeA t q0k2 2 kTq0k2 2 . (3.20) En effectuant le changement de variable φ0 = Tq0, (3.20) s’écrit successivement : G(t) = max φ06=0 kT eA t T−1 φ0k2 2 kφ0|2 2 = max kφ0k2=1 kT eA t T−1 φ0k2 2 , kT eA t T−1 k2 2 = σ2 1 (3.21)
  • 27. 3.3 Perturbation optimale 19/48 où σ1 est la valeur singulière maximale de la matrice TeA t T−1 . D’un point de vue numérique, la difficulté provient du calcul de l’exponentielle de la matrice A car cette matrice est pleine. Pour faciliter la résolution numérique, on peut chercher à diagonaliser la matrice A soit A = V ΛV −1 où Λ représente la matrice des valeurs propres de A et V la matrice des vecteurs propres associés. Deux solutions sont alors possibles. La première consiste à évaluer eA t par V eΛ t V −1 puis à rechercher la valeur singulière maximale de T V eΛ t V −1 T−1 . Une autre solution consiste à écrire q(t) dans la base des vecteurs propres de A, soit q(t) = V K(t) où le vecteur K définit les coefficients du développement. Le système (3.19) est alors équivalent à K̇ = ΛK ce qui admet pour solution K(t) = eΛt K0 où K0 = K(t0). En considérant cette fois la décomposition de Cholesky de V H QV = TH T, on peut montrer en suivant exactement la même démarche que précédemment que : G(t) = kT eΛ t T−1 k2 2 = σ2 1 (3.22) où σ1 est cette fois la valeur singulière maximale de la matrice T eΛ t T−1 . C’est précisément la méthode qui est utilisée au chapitre 5 pour déterminer les perturbations optimales.
  • 28.
  • 29. Chapitre 4 Méthodes Spectrales L’objectif de ce chapitre est de faire le lien entre la théorie analytique que nous venons de voir et le passage au numérique. Pour le calcul numérique il est nécessaire de discrétiser spatialement l’écoulement, et donc les fonc- tions et les opérateurs différentiels associés. Nous utiliserons pour ce faire des méthodes pseudo-spectrales aussi appelées méthodes de collocation. Il s’agit ici d’une brève introduction. Pour plus d’information le lecteur est invité à se référer à Canuto et al. (2006), Weideman et Reddy (2000) et Trefethen (2000). L’idée des méthodes spectrales est d’approximer une fonction inconnue f(x) par une somme de fonction du type : f(x) = X j aj φj(x) (4.1) où les φj sont des fonctions connues, par exemple les polynômes d’Hermite, de Laguerre ou de Che- byshev. La connaissance de leurs dérivées permet notamment de trouver facilement l’expression des bj tels que : f0 (x) = X j bjφj(x) (4.2) Ainsi, la fonction f sera directement recherchée comme une combinaison linéaire de fonctions globales s’étendant sur tout le domaine. En suivant une méthode spectrale l’erreur décroı̂t exponentiellement avec le nombre N de points contrairement aux méthodes de différence finie où l’erreur décroı̂t suivant une loi du type N−α où α est l’ordre du schéma. En outre, il est à noter que l’approche spectrale est quasiment exempte d’erreur de dissipation et de dispersion numérique (si la fonction f est suffisamment régulière). La fonction est interpolée par une série de points de collocation. On peut alors représenter la fonction par ses valeurs aux points de collocation. Cette méthode permet de travailler dans l’espace physique plutôt que dans l’espace spectral des aj. En pratique, une fois définies une grille de calcul (les points de collocation {xj}) et une base de fonctions associées, nous pourrons déterminer la valeur de la dérivée d’une fonction f grâce à la connaissance de sa valeur en chaque point de la grille. Selon les domaines sur lesquels la fonction est définie, on peut choisir des points de collocation issus des polynômes de Chebyshev pour x ∈ [−1, 1], des polynômes de Laguerre pour x ∈ [0, ∞[, des polynômes d’Hermite pour x ∈]−∞, ∞[... Les points de collocation correspondant sont en fait les zéros du polynôme d’ordre N + 1 choisi. La dérivée d’ordre quelconque d’une fonction interpolée peut être calculée analytiquement en utilisant des formules de différentiation. Pour cela il existe des matrices de différentiation pour lesquelles on a : f(i) = Di f (4.3) 21
  • 30. 22/48 Chapitre 4 - Méthodes Spectrales où f(i) est le vecteur des valeurs de la dérivée i-ème de f(x) aux points de collocation. En s’appuyant sur des critères de minimisation de l’erreur, il ressort que le choix d’une grille de Gauss-Lobatto de taille N + 2 et des polynômes de Chebyshev associés est le choix idéal pour l’étude d’un écoulement de canal. Les points de Gauss-Lobatto sont les extrema du polynôme de Chebyshev T2N+1 et s’écrivent xj = cos (j − 1)π 2N + 1 avec j = 1 . . . N + 2 Nous utiliserons la suite de fonctions Matlab développée par Weideman et Reddy pour obtenir les matrices de différentiation dans notre code. 4.1 Le problème des conditions aux limites Les conditions aux limites sont en fait les différentes valeurs prises aux parois. Les points extrêmes de Gauss-Lobatto joueront donc un rôle particulier. Dans le cas de conditions aux limites dites de Dirichlet homogènes (dans notre étude cela correspond au cas sans glissement), la quasi totalité du problème ne peut être résolue que sur les N points intérieurs du domaine. Ce n’est que lorsque l’on souhaitera repasser dans le jeu de variables initial (u, v, w) que nous implémenterons les conditions aux limites. La méthode numérique présentée ici consiste à résoudre les équations de Navier-Stokes en géométrie cartésienne. L’idée générale est de représenter la fonction cherchée sur une grille de collocation dans l’espace physique et d’évaluer toutes les dérivées nécessaires au calcul de son évolution sur une grille de nombres d’ondes dans l’espace spectral. De fait, il ne s’agit ni d’une méthode de collocation pure (avec des champs uniquement représentés dans l’espace physique), ni d’une méthode purement spectrale. Il s’agit d’une méthode hybride, fusion de ces deux approches qui est qualifiée de méthode pseudo-spectrale. L’intérêt de rechercher l’évolution de la fonction sur une grille de nombres d’ondes est de réduire significativement la taille du problème. En effet on passe de cette façon d’un problème qui est potentiel- lement tri-dimensionnel à une représentation mono-dimensionnelle. Par ailleurs dans l’espace de Fourier l’opération de dérivation partielle ∂ ∂x est remplacée par un simple produit avec le nombre d’onde corres- pondant (ici i kx ou i α). 4.2 Méthode de différence finie et méthode spectrale Nous avons évoqué dans l’introduction le point épineux que constituait le choix d’une méthode pour la dérivation des opérateurs ainsi que le jeu de fonctions associées. Nous nous proposons de justifier ici les choix faits par des illustrations simples obtenues grâce aux programmes de Trefethen Trefethen (2000). On se donne pour commencer un jeu de points {xk} avec les valeurs d’une fonction en ces points {f(xk)}. Le but est d’utiliser ces données pour approximer la dérivée de f. Pour un jeu de points équi- répartis selon un pas h = xk+1 − xk, si gk représente l’approximation de f0 (xk), dérivée de f au point xk alors la différence finie du second ordre s’écrit : gk = fk+1 − fk−1 2h (4.4) En guise d’exemple, on considère une fonction f(x) = exp(sin(x)) que l’on souhaite dériver. Cette dérivation est effectuée de trois façons différentes. La première est analytique, on obtient sans difficulté le résultat f0 (x) = cos(x) exp(sin(x)).
  • 31. 4.2 Méthode de différence finie et méthode spectrale 23/48 La seconde utilise une méthode de différence finie. Le calcul en différence finie se présente comme suit :            g1 . . . gN            = h−1                  ... 1 12 −2 3 ... 1 12 1 12 ... 2 3 ... ... 0 ... ... 2 3 ... −1 12 2 3 ... 2 3 −1 12 ...                             f1 . . . fN            (4.5) On a donc de façon plus concise g = h−1 Df. On peut remarquer que D est une matrice de Teoplitz, c’est à dire qu’elle n’a qu’une seule valeur par diagonale. De plus D est globalement vide (toutes les diagonales non représentées sont nulles). De façon numérique cette structure lacunaire nous permet de manipuler de grandes matrices avec un temps d’exécution très faible. On compare les résultats de l’approximation par différence finie fi avec les valeurs exactes de la dérivée analytique pour différentes valeurs de N. L’erreur s’écrit erreur= kD f − f0 analytiquek et est représentée en Fig. 4.1. On peut voir que 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 −15 10 −10 10 −5 10 0 N erreur Convergence en différence finie du 4ème ordre N−4 Figure 4.1 – Convergence au quatrième ordre d’une différentiation par différence finie la loi de convergence est du type N−4 . Cependant, il est clair que pour des différences finies à des ordres plus élevés la matrice D va être de plus en plus dense, ce qui se traduit par une chute des performances. La méthode de différence finie est donc rapidement limitée.
  • 32. 24/48 Chapitre 4 - Méthodes Spectrales Une autre manière de faire est de remplacer la matrice D par une autre matrice de différenciation, ici on choisit : D =                        . . . ... 1 2 cot 3h 2 ... −1 2 cot 2h 2 ... 1 2 cot 1h 2 0 −1 2 cot 1h 2 ... 1 2 cot 2h 2 ... −1 2 cot 3h 2 ... . . .                        (4.6) De même on compare les résultats obtenus par cette méthodes avec l’expression analytique. La représentation est faite en Fig. 4.2. Le même programme que pour le tracé de la Fig. 4.1 est utilisé. Le seul changement 10 0 10 1 10 2 10 −14 10 −12 10 −10 10 −8 10 −6 10 −4 10 −2 10 0 N erreur Convergence en différentiation spectrale Figure 4.2 – Convergence d’une différentiation spectrale est celui de la matrice D. Il est clair que les résultats sont bien meilleurs pour la méthode spectrale ! Une erreur inférieure à 10−14 est obtenue avec 120 points seulement alors que pour avoir un résultat compa- rable en différence finie il est nécessaire de porter ce nombre à plus de 10000 points ! Ce phénomène porte le nom de précision spectrale. La supériorité de cette méthode est donc évidente. 4.3 Choix de la grille Nous avons précédemment évoqué les différents choix de jeux de points (ou de grille ou de maillage) possibles. Le but de cette section est d’illustrer en quoi les polynômes de Chebyshev et la grille formée par les points de Gauss-Lobatto constituent un choix judicieux. On rappelle que les points de Gauss-Lobatto
  • 33. 4.3 Choix de la grille 25/48 sont les extrema du polynôme de Chebyshev T2N+1 et s’écrivent xk = cos (k − 1)π 2N + 1 , avec k = 1 . . . N + 2. De façon géométrique, les points de Gauss-Lobatto sont les projections sur l’axe des abscisses de points régulièrement répartis sur le cercle unité dans le sens trigonométrique (x0 = 1, xN/2 = 0, xN = −1). En guise de premier exemple on se donne une fonction f(x) = 1 1 + 16x2 . Voici les résultats de l’interpo- lation effectuée sur l’intervalle [−1, 1] de la fonction avec une grille étant constituée, soit de points espacés régulièrement (pas constant), soit par les points de Gauss-Lobatto. L’erreur maximale est également in- diquée. L’interpolation a été représentée pour le degré N = 20. On remarque que lorsque N augmente, −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 Points espacés régulièrement N = 10 erreur max = 1.1769 x f(x) −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 Points de Gauss−Lobatto N = 10 erreur max = 0.074754 x f(x) −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 Points espacés régulièrement N = 20 erreur max = 26.9471 x f(x) −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 Points de Gauss−Lobatto N = 20 erreur max = 0.0066681 x f(x) Figure 4.3 – Interpolation de f pour des points équirépartis (gauche) et de Gauss-Lobatto (droite). En haut N = 10. En bas N = 20 l’erreur augmente de façon exponentielle dans le cas équi-espacé alors qu’au contraire, dans le cas de Chebyshev, l’erreur diminue exponentiellement. Ce fait caractéristique porte le nom de phénomène de Runge. Dans un second exemple on s’intéresse à un polynôme d’ordre 17. On représente de même l’interpo- lation sur chaque type de grilles à la Fig. 4.4 puis les pseudo-spectres associés à la Fig. 4.5. Le premier graphe révèle de larges variations près des frontières du domaine alors que pour le second les variations sont régulières et d’amplitudes similaires. En ce qui concerne les potentiels dans le plan complexe as-
  • 34. 26/48 Chapitre 4 - Méthodes Spectrales −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 10 −3 Points espacés régulièrement x P(x) −1 −0.5 0 0.5 1 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 x 10 −5 Points de Gauss Lobatto x P(x) Figure 4.4 – Interpolation de P(x) pour des points équi-repartis (gauche) et de Gauss-Lobatto (droite) sociés, présentés en Fig. 4.5, on peut remarquer que pour la grille régulière, [−1, 1] ne ressemble pas à une équipotentielle. En revanche pour la grille de Gauss-Lobatto [−1, 1] est très proche la première courbe équipotentielle. −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Points espacés régulièrement x P(x) −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Points de Gauss Lobatto x P(x) Figure 4.5 – Équipotentielles pour des points équirépartis (gauche) et de Gauss-Lobatto (droite) Pour finir voici des figures illustrant la vitesse de convergence et la précision de la dérivée spectrale de Chebyshev pour différents types de fonctions. Ces fonctions sont classées de gauche à droite par ordre de régularité croissante. La première, |x3 |, a une dérivée troisième d’amplitude bornée. La deuxième, exp(−x−2 ), est de classe C∞ , régulière mais pas analytique. La troisième, 1 1+x2 , est analytique au voisi- nage de [−1, 1]. Enfin, la dernière, x10 , est polynomiale. On remarque que plus la fonction est régulière, plus la convergence se fait rapidement. Nous avons donc choisi, pour toutes les raisons que nous venons d’évoquer, une méthode de différentiation pseudo-spectrale pour le développement de notre programme. La démarche de programmation et la présentation des résultats sont développés dans le prochain chapitre.
  • 35. 4.3 Choix de la grille 27/48 0 10 20 30 40 50 10 −15 10 −10 10 −5 10 0 N erreur |x3 | 0 10 20 30 40 50 10 −15 10 −10 10 −5 10 0 N erreur exp(−x−2 ) 0 10 20 30 40 50 10 −15 10 −10 10 −5 10 0 N erreur 1/(1+x2 ) 0 10 20 30 40 50 10 −15 10 −10 10 −5 10 0 N erreur x10 Figure 4.6 – Vitesse de convergence et précision de la différentiation spectrale des quatre fonctions.
  • 36.
  • 37. Chapitre 5 Résultats Ce chapitre vise à présenter les différents résultats obtenus durant le stage. Nous commencerons par décrire les moyens qui étaient à notre disposition avant de détailler les résultats obtenus dans trois configurations d’écoulement de Poiseuille. Le premier cas correspond à l’écoulement de canal non contrôlé (section 5.2). Dans la seconde configuration, nous nous sommes intéressés à l’influence de conditions de glissement sur la stabilité de l’écoulement (section 5.3). Enfin, dans la dernière configuration, nous avons traité du cas où la viscosité cinématique ν est fonction de y et du nombre de Reynolds (section 5.4). 5.1 Présentation Nous avions à notre disposition plusieurs codes développés sous Matlab. Le travail demandé durant le stage était d’obtenir un code complet permettant de faire du contrôle sur un écoulement de Poiseuille. Le travail s’est déroulé selon trois axes principaux. Le premier a consisté à modifier les programmes décrits dans Schmid et Henningson (2001) et Hœpffner (2006) afin d’obtenir une version un peu plus étoffée nous permettant de partir d’une base générale pour la suite de nos travaux. Le second aspect a été de faire évoluer le code de façon à pouvoir prendre en compte le cas où il y a glissement aux parois (voir section 5.3). Enfin, la troisième partie a eu pour but d’implémenter le cas où la viscosité est fonction de y et du nombre de Reynolds, ce que nous aborderons à la section 5.4. Pour chaque étape, un travail théorique a été effectué en amont. De plus, une fois la partie programmation terminée, une comparaison des résultats avec ceux issus de la littérature a été faite lorsque cela a été possible. Cette comparaison a permis, ou non, la validation du code. Ce sont ces différentes étapes que nous nous proposons de détailler ici. Selon les auteurs, différentes stratégies sont adoptées pour l’implémentation des conditions aux limites. Hœpffner (2006) fait le choix de ne traiter que les points intérieurs de l’écoulement dans les équations d’Orr-Sommerfeld/Squire. Il part du principe suivant : puisque les valeurs de la vitesse, de la vorticité et de leurs dérivées sont nulles aux parois, il n’est pas nécessaire de les calculer. Ce n’est qu’au retour dans le jeu de variables physiques (u, v, w) que les conditions aux limites sont imposées de façon manuelle. Dans Schmid et Henningson (2001), le parti est pris de considérer tout le domaine, autrement dit, ils prennent à la fois en compte les points intérieurs et les points situés sur les parois. Cela revient à implémenter les conditions aux limites dès le début du calcul et de faire toutes les opérations avec. Ce choix se tra- duit par une modification des opérateurs d’Orr-Sommerfeld et de Squire (LOS, LC, LSQ). Les différentes stratégies de résolution ont été étudiées dans Mckerman et al. (2003). Le code de Mckerman et al. étant lui aussi disponible, nous nous y sommes intéressés. Ce code était plus flou que les deux précédents et l’implémentation des conditions aux limites était faite d’une manière compliquée. En effet, un jeu différent de matrices de différentiation était utilisé selon le vecteur que l’on souhaitait dériver. Autrement dit, un jeu de matrices correspondait à la variable v, un autre pour la vorticité ωy, et encore d’autres pour leurs dérivées. Pour cette raison, cette approche plutôt séduisante initialement s’est révélée moins exploitable en pratique. Cette piste a donc été abandonnée. Finalement, nous avons retenu l’approche d’Hœpffner 29
  • 38. 30/48 Chapitre 5 - Résultats qui nous semble être la plus efficace. Or, le choix de la stratégie de prise en compte des conditions aux limites a des conséquences impor- tantes sur le calcul de la croissance transitoire de l’énergie. Schmid et Henningson font un tri dans les valeurs propres pour ne pas avoir à toutes les prendre en compte dans le calcul des perturbations opti- males. Leur méthode consiste à trier les valeurs propres par ordre de parties imaginaires décroissantes. Les valeurs limites des valeurs propres à prendre en compte sont écrites ”en dur” dans le code ce qui a été source de difficultés pour le calcul des perturbations optimales. Toutefois, pour un écoulement de Poiseuille sans contrôle, ce tri est efficace puisqu’il permet un nombre de calculs limité et donc un temps d’exécution plus court. 5.2 Écoulement de Poiseuille non contrôlé Dans cette section, nous allons présenter les résultats obtenus pour la stabilité de l’écoulement de Poiseuille en régime non contrôlé. Tout d’abord, nous présenterons les spectres des valeurs propres en soulignant l’importance du nombre de points constituant la grille de Gauss-Lobatto utilisé pour la discrétisation spectrale du système d’Orr-Sommerfeld/Squire (voir chapitre 4). Dans un second temps, nous présenterons les résultats concernant l’énergie de la perturbation. Afin de pouvoir comparer nos résultats avec la littérature, nous nous sommes placés dans les mêmes conditions que dans Schmid et Hen- ningson (2001). Sauf mentions contraires, le nombre de points de Gauss-Lobatto est N = 200. Rappelons que les paramètres α et β représentent les nombres d’onde longitudinal et transversal de la perturbation. Le nombre de Reynolds est noté Re. L’étude de la stabilité peut être faite de deux manières. La première consiste à déterminer le spectre de valeurs propres/vecteurs propres du système d’Orr-Sommerfeld/Squire. La deuxième possibilité est de s’intéresser à l’évolution temporelle de l’énergie des perturbations. La figure 5.1 présente le spectre des valeurs propres dans le cas d’une perturbation bidimensionnelle (α = 1 et β = 0). Les équations d’Orr-Sommerfeld et de Squire sont ici découplées puisque β = 0. Le spectre en Y ainsi obtenu est caractéristique de l’écoulement de Poiseuille. Le nombre de valeurs propres sur chaque branche dépend des paramètres (N, α, β). Les fonctions propres correspondant aux valeurs propres pour chaque branche sont représentées sur la figure 5.2. La branche verticale, souvent notée S, correspondant au pied du Y , représente des modes très amortis (Fig. 5.2 - c). La branche de gauche, notée A, représente les valeurs propres les plus amplifiées. Les modes propres correspondant sont appelés modes de parois en raison de leurs grandes variations en proximité des parois (Fig. 5.2 - a). Quant à la branche de droite, dénotée P, elle représente les modes qui atteignent leurs maxima au centre du canal. On les appelle donc modes centraux (Fig. 5.2 - b). La partie la plus intéressante pour l’étude de la stabilité hydrodynamique est celle des branches A et P. PSfrag replacements Im (λ) Ré(λ) Spectre des valeurs propres λ A P S 0 −0, 1 −0, 2 −0, 3 −0, 4 −0, 5 −0, 6 −0, 7 −0, 8 −0, 9 −1 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 0, 9 1 Figure 5.1 – Spectre de valeurs propres associé à une perturbation 2D. Re = 10000, α = 1, β = 0.
  • 39. 5.2 Écoulement de Poiseuille non contrôlé 31/48 ements y y v ωy vitesse normale aux parois vorticité normale aux parois Im Ré opres ×10−3 −2 2 0 0 0 0 −4 −0, 1 −0, 2 −0, 2 −0, 2 −0, 4 −0, 4 −0, 6 −0, 6 −0, 8 −0, 8 −1 −1 0, 1 0, 2 0, 2 0, 2 0, 4 0, 4 0, 6 0, 6 0, 8 0, 8 1 1 (a) Branche A PSfrag replacements y y v ωy vitesse normale aux parois vorticité normale aux parois −0, 01 0, 01 0, 02 0 0 0 0 −0, 2 −0, 2 −0, 2 −0, 4 −0, 4 −0, 4 −0, 6 −0, 6 −0, 8 −0, 8 −1 −1 0, 2 0, 2 0, 2 0, 4 0, 4 0, 4 0, 6 0, 6 0, 8 0, 8 1 1 (b) Branche P PSfrag replacements y y v ωy vitesse normale aux parois vorticité normale aux parois ×10−3 2 2 0 0 0 0 −0, 1 −0, 2 −0, 2 −0, 2 −0, 4 −0, 4 −0, 6 −0, 6 −0, 8 −0, 8 −1 −1 −1 0, 1 0, 2 0, 2 0, 2 0, 4 0, 4 0, 6 0, 6 0, 8 0, 8 1 1 1 (c) Branche S pour Im(λ) = −0, 4 PSfrag replacements y ωy vitesse normale aux parois vorticité normale aux parois Im Ré Spectre des valeurs propres 0 0 −0, 1 −0, 2 −0, 2 −0, 4 −0, 6 −0, 8 −1 0, 1 0, 2 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1 1 (d) Branche S pour Im(λ) = −0, 9 Figure 5.2 – Fonctions propres d’Orr-Sommerfeld/Squire pour Re = 5000, α = 1 et β = 1. A gauche de chaque sous-figure est représentée la vitesse normale v, et à droite la vorticité ωy. Les parties réelle et imaginaire sont respectivement en bleu et rouge.
  • 40. 32/48 Chapitre 5 - Résultats La figure 5.3 présente le spectre issu d’une perturbation tridimensionnelle. On peut remarquer que lorsque la dépendance longitudinale est quasi nulle (i.e. α = 0), l’allure du spectre est remarquablement modifiée. Le spectre ne comporte qu’une branche, située à proximité de l’origine. Il est possible de mon- trer que ces valeurs propres sont toujours amorties. Par extension, on montre de même que les modes de Squire sont tous toujours amortis. PSfrag replacements vitesse normale aux parois vorticité normale aux parois Im (λ) Ré(λ) Spectre des valeurs propres λ 0 0 −0, 2 −0, 4 −0, 6 −0, 8 −1 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1 Figure 5.3 – Spectre issu d’une perturbation 3D. Re = 10000, α = 0, β = 1. Nous allons maintenant étudier l’influence du nombre de points de discrétisation Gauss-Lobatto sur le spectre des valeurs propres. La figure 5.4 représente pour deux valeurs différentes de N (N = 100 et N = 50), le spectre des valeurs propres. Sur la figure 5.4 (a), on peut remarquer que la branche S est divisée en deux pour les parties imaginaires inférieures à −0, 6. Cela peut s’expliquer de la manière suivante. En observant les vecteurs propres associés à la branche S (Fig. 5.2 - c,d) on remarque que plus la partie imaginaire des valeurs propres diminue, plus le phénomène d’oscillation des vecteurs propres correspondant est important. Si le nombre de points de Gauss-Lobatto est insuffisant, les oscillations des vecteurs propres ne sont pas prises en compte de façon satisfaisante. Cela se traduit alors par des valeurs propres incohérentes. Si la résolution se dégrade encore plus, le comportement oscillatoire des branches A et P ne peut, à son tour être représenté de façon correcte ce qui se traduit, de la même manière que pour la branche S, par la division des branches A et P (Fig. 5.4 - b). Une résolution insuffisante introduit donc des erreurs lors de la détermination des spectres. L’allure des spectre renseigne donc de manière qualitative sur la qualité de la résolution. Toutes les figures précédentes sont rigoureusement en accord avec la littérature. Cela nous permet donc de valider le code pour la stabilité des équations d’Orr-Sommerfeld/Squire en régime non contrôlé. Une fois les spectres validés, nous pouvons nous intéresser aux résultats concernant l’évolution tem- porelle de l’énergie des perturbations. La figure 5.5 présente, pour une perturbation bidimensionnelle (β = 0), l’influence du nombre de Reynolds (Re = 5000 dans le premier cas et Re = 8000 dans le second) sur l’énergie des perturbations G(t). Aux temps courts, les courbes sont qualitativement identiques dans les deux cas. Dans la partie transitoire correspondant au pic, la croissance des fonctions ne dépend pas du caractère stable ou instable de l’écoulement. Ce dernier n’est révélé que lorsque le temps t tend vers l’infini. En d’autres termes, la valeur propre la moins stable gouverne le comportement de la croissance énergétique uniquement aux temps longs. La croissance transitoire de l’énergie de l’écoulement stable est un phénomène qui se déroule sur une échelle de temps très courte comparée à la croissance infinie associée aux écoulements instables.
  • 41. 5.2 Écoulement de Poiseuille non contrôlé 33/48 Sfrag replacements normale aux parois normale aux parois Im (λ) Ré(λ) Spectre des valeurs propres λ 0 −0, 1 −0, 2 −0, 3 −0, 4 −0, 5 −0, 6 −0, 7 −0, 8 −0, 9 −1 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 0, 9 1 (a) N = 100 PSfrag replacements vitesse normale aux parois vorticité normale aux parois Im (λ) Ré(λ) Spectre des valeurs propres λ 0 −0, 1 −0, 2 −0, 3 −0, 4 −0, 5 −0, 6 −0, 7 −0, 8 −0, 9 −1 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 0, 9 1 (b) N = 50 Figure 5.4 – Spectre d’Orr-Sommerfeld Squire insuffisamment résolu. Re = 10000, α = 1, β = 0. PSfrag replacements stable instable G(t) t 0 0 10 20 20 30 40 40 50 60 60 80 100 120 140 160 Figure 5.5 – Énergie transitoire G(t) avec α = 1 et β = 0. Cas instable Re = 8000. Cas stable Re = 5000.
  • 42. 34/48 Chapitre 5 - Résultats La figure 5.6 illustre l’influence des nombres d’onde de la perturbation sur la croissance transitoire. On voit clairement que pour une perturbation bidimensionnelle (figure 5.6 - a), l’énergie croı̂t peu avant de se stabiliser rapidement vers zéro. A l’inverse, lorsque la perturbation est tridimensionnelle (figure 5.6 - b), l’énergie croı̂t de manière importante, le maximum est atteint au bout d’un temps nettement plus long, puis l’énergie décroı̂t relativement lentement. Sfrag replacements G(t) t 0 0 1 2 3 4 5 5 6 7 10 15 20 25 30 35 40 (a) α = 1 et β = 0 PSfrag replacements G(t) t 0 0 20 40 50 60 80 100 100 120 150 140 160 180 200 (b) α = 0 et β = 1 Figure 5.6 – Énergie transitoire avec Re = 1000. La figure 5.7 examine l’influence des nombres d’onde sur la croissance maximale de l’énergie. On a représenté, pour un nombre de Reynolds Re = 1000, les valeurs de l’énergie maximale Gmax = max t G(t) atteinte sur un même intervalle de temps [0, 300]. A chaque couleur correspond une valeur de Gmax. Il est à noter que la perturbation optimale est de 196 et est obtenue pour α = 0 et β = 2, 05, au bout d’un temps t ' 76. PSfrag replacements α β 0.5 0.5 1 1 1, 5 1, 5 2 2 2, 5 3 3, 5 4 0 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Figure 5.7 – Énergie maximale pour Re = 1000 en fonction des deux nombres d’onde.
  • 43. 5.2 Écoulement de Poiseuille non contrôlé 35/48 Observons maintenant sur la figure 5.8, les variations de Gmax pour un écoulement de Poiseuille bi- dimensionnel dans le plan (α, Re). Il est possible de distinguer une zone de forme oblongue sur la droite (nombre de Reynolds élevé avec α proche de 1). Cette région correspond aux valeurs du nombre de Rey- nolds et du nombre d’onde longitudinal pour lesquelles il existe une valeur propre instable (Gmax = ∞). En dehors de cette région, la figure montre les contours de Gmax de 10 à 100 par pas de 10 (de gauche à droite). Le ƒsommet ‚de la courbe verte la plus à droite, délimitant la région d’instabilité correspond au plus petit nombre de Reynolds pour lequel il existe une valeur propre exponentiellement instable. Ce nombre de Reynolds est appelé nombre de Reynolds critique. On trouve souvent dans la littérature que la valeur limite du nombre de Reynolds pour la transition à la turbulence dans un écoulement de canal est Recri = 5772. On s’aperçoit ici que c’est pour cette valeur précise que débute la zone d’instabilité. En outre, nous pouvons remarquer qu’il peut y avoir une croissance transitoire significative pour des nombres de Reynolds subcritiques. Ce type de figure apporte donc de informations riches sur la stabilité et sur les régimes transitoires de l’écoulement. PSfrag replacements α Re 0 0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1 1, 2 1, 4 1, 6 1, 8 2 4000 8000 12000 16000 20000 Figure 5.8 – Énergie maximale avec β = 0 en fonction du nombre de Reynolds Re et de α. Une nouvelle fois, les résultats obtenus sont en accord avec les résultats publiés (Schmid et Henningson, 2001). C’est donc sur une base solide que nous allons poursuivre notre travail.
  • 44. 36/48 Chapitre 5 - Résultats 5.3 Conditions de glissement aux parois L’intégration dans le code d’une condition de glissement aux parois s’est faite de façon simple. Pour ce faire, nous nous sommes appuyés sur Lauga et Cossu (2008). Un des intérêts est de montrer la validité de conditions aux limites sans glissement (”no-slip condition” dans la terminologie anglo-saxonne) pour des liquides Newtoniens à proximité de surfaces solides. De nombreuses études aux petites échelles avec des écoulements conduits par des gradients de pression, par cisaillement ou par champ électrique, ont montré qu’il existait une rupture de la condition d’adhérence, avec des longueurs de glissement de l’ordre du micron. 5.3.1 Étude préliminaire On considère l’écoulement d’un fluide de viscosité ν entre deux plaques parallèles infinies situées en y = −1 et y = 1. Cet écoulement de canal plan est conduit par un gradient de pression constant (voir section 2.1.1). Sous forme adimensionnée, les équations de Navier-Stokes incompressibles pour la vitesse (u = (u, v, w)) et le champ de pression p s’écrivent : ∇ · u = 0, (5.1) ∂u ∂t + (u · ∇)u = −∇p + 1 Re ∇2 u. (5.2) On suppose également que l’écoulement vérifie les conditions de glissement sur les deux parois, avec des longueurs de glissement λ1 et λ2 respectivement en y = 1 et y = −1. La longueur de glissement est définie comme le rapport de la vitesse de surface et du taux de cisaillement en surface. Si l’on définit le nombre de Knudsen Kn1 = λ1/h et Kn2 = λ2/h (où h est la demi-hauteur du canal) alors on a les conditions aux limites suivantes pour (5.2) : u + Kn1 ∂u ∂y = v = w + Kn1 ∂w ∂y = 0 en y = 1, u − Kn2 ∂u ∂y = v = w − Kn2 ∂w ∂y = 0 en y = −1. On s’intéresse maintenant à la stabilité du champ stationnaire moyen U = (U(y), 0, 0) vérifiant les équations précédentes. On a U(y) = 1 + 2(Kn1 + Kn2 + 2 Kn1 Kn2) 2 + Kn1 + Kn2 + 2(Kn1 − Kn2) 2 + Kn1 + Kn2 y − y2 . (5.3) En absence de glissement, on a Kn1 = Kn2 = 0 et on retrouve la solution de Poiseuille standard U(y) = 1 − y2 . La suite du développement est la même que la démonstration complète effectuée dans le chapitre 2, on passe en variable (v̂, ω̂y) puis on construit les opérateurs d’Orr-Sommerfeld et de Squire. Le seul changement intervient au niveau des conditions aux limites. Ces dernières s’écrivent : v̂ = D v̂ + Kn1 D2 v̂ = 0 en y = 1, (5.4) v̂ = D v̂ − Kn2 D2 v̂ = 0 en y = −1, (5.5) ω̂y = −Kn1 D ω̂y en y = 1, (5.6) ω̂y = Kn2 D ω̂y en y = −1. (5.7) Pour des raisons de simplicité, les résultats sont présentés uniquement dans les cas de glissement symétrique (Kn1 = Kn2 = Kn) et de glissement antisymétrique (Kn1 = Kn, Kn2 = 0). L’implémentation informatique des conditions aux limites s’est faite de façon assez simple en modi- fiant les conditions aux limites dans les opérateurs d’Orr-Sommerfeld et de Squire. On choisit évidemment
  • 45. 5.3 Conditions de glissement aux parois 37/48 la formulation de Schmid et Henningson. La première et dernière ligne de l’opérateur d’Orr-Sommerfeld LOS, correspondantes aux valeurs de v̂ en y = 1 et y = −1 sont modifiées de manière à avoir l’équivalent numérique de (5.4) et (5.5). L’opérateur de couplage LC reste inchangé. De la même manière que pour LOS, l’opérateur de Squire LSQ est modifié pour prendre en compte les conditions (5.6) et (5.7). Par ailleurs, on introduit une nouvelle sous-fonction qui calcule la vitesse selon les types de glissement envisagés. Comme nous l’avons vu, le cas de l’écoulement de Poiseuille non contrôlé peut être considéré comme un cas particulier de traitement des conditions d’adhérence aux parois pour lequel Kn1 = Kn2 = 0. Ainsi, il n’est pas nécessaire de développer un programme spécifique pour le cas du canal non contrôlé. 5.3.2 Exploitation des résultats et validation La figure 5.9 présente les iso-valeurs de la croissance maximale en énergie Gmax en fonction des nombres d’ondes α et β. Les calculs ont été menés avec Re = 1500, à la fois pour le cas d’adhérence (Kn = 0) représenté en lignes pleines et pour le cas d’un glissement symétrique (Kn = 0.03) en lignes pointillées. Les valeurs de Gmax sont 10, 100, 200, 300 et 400 en partant de l’extérieur vers l’intérieur. On peut remarquer que malgré le fait que l’amplification maximale de l’énergie avec glissement est plus grande qu’avec adhérence, la différence reste faible. Par conséquent, on peut conclure que le glissement affecte à peine la croissance transitoire de l’énergie. L’amplification maximale est atteinte pour α = 0 et β = 2 dans les deux cas. PSfrag replacements β α 0 0 0, 5 0, 5 1 1 1, 5 1, 5 2 2 2, 5 3 3, 5 4 Figure 5.9 – Courbes d’iso-valeurs de l’amplification maximale d’énergie Gmax dans le plan (α, β) pour Re = 1500. Cas d’adhérence en trait plein. Cas du glissement symétrique en pointillés.
  • 46. 38/48 Chapitre 5 - Résultats La figure 5.10 représente l’évolution temporelle de l’amplification optimale de l’énergie G(t) avec α = 0 et β = 2 pour un nombre de Reynolds Re = 1500 et un glissement symétrique. Le nombre de Knudsen varie de Kn = 0 à Kn = 0, 03 par pas de 0, 01. Une légère augmentation de l’amplification optimale apparaı̂t avec l’augmentation de la valeur du nombre de Knudsen. De même, le temps pour lequel le maximum est atteint augmente lui aussi légèrement avec l’amplitude du glissement. On peut montrer que la racine carrée du maximum de l’énergie et le temps pour lequel il est atteint dépendent tous les deux linéairement du nombre de Reynolds. Ces effets suggèrent que l’effet de glissement induit une augmenta- tion du nombre de Reynolds effectif. Ceci est en accord avec l’observation que les écoulements glissants ont un plus grand débit que ceux considérés en hypothèse d’adhérence. PSfrag replacements Kn = 0 Kn = 0, 01 Kn = 0, 02 Kn = 0, 03 G(t) t 0 0 50 100 100 150 200 200 250 300 300 350 400 400 500 600 Figure 5.10 – Amplification énergétique maximale G(t) pour α = 0 et β = 2 dans le cas d’un glissement symétrique (Re = 1500). Les figures 5.9 et 5.10 sont identiques à celles que l’on peut trouver dans Lauga et Cossu (2008) ce qui permet de valider le code dans le cas de glissement aux parois.
  • 47. 5.4 Viscosité variable 39/48 5.4 Viscosité variable Les premiers à calculer l’amplification optimale dans un canal plan en régime turbulent ont été Butler et Farrell (1993). Ils ont utilisé le profil moyen turbulent proposé par Reynolds et Tiederman (1967) qui s’appuie sur la viscosité turbulente établie dans Cess (1958). Cependant, ils ont utilisé un modèle de viscosité moléculaire pour la linéarisation des équations de perturbation ce qui obligeait à imposer des contraintes supplémentaires. L’étude a ensuite été reprise dans Álamo et Jiménez (2006) mais cette fois sans les contraintes supplémentaires de Butler et Farrell (1993). Álamo et Jiménez ont obtenu deux pics pour la croissance d’énergie maximale, le second diminuant lorsque le nombre de Reynolds augmentait, ce qui n’est pas conforme avec l’expérience. Enfin, très récemment, Pujals et al. (2009) ont repris l’étude avec de nouvelles stratégies de calculs. C’est sur cette dernière étude que nous avons bâti notre travail. La figure 5.11 représente la viscosité donnée par la loi de Cess en fonction du nombre de Reynolds. Sur cette figure, ce dernier prend des valeurs dans l’intervalle [200; 20000] soit une variation sur deux ordres de grandeurs. La ligne en pointillés représente la loi 0, 41 × y+ qui est suivie par la viscosité e νT dans un écoulement de couche limite. On rappelle que l’exposant (·)+ correspond aux grandeurs en unité de paroi (voir section 2.1.3). PSfrag replacements Re = 200 Re = 500 Re = 1000 Re = 2000 Re = 5000 Re = 10000 Re = 20000 e ν T y + 0, 41 × y+ 0, 1 1 1 10 10 100 100 1000 1000 10000 10000 100000 Figure 5.11 – Viscosité de Cess pour différentes valeurs du nombre de Reynolds.
  • 48. 40/48 Chapitre 5 - Résultats La figure 5.12 représente le profil moyen de la vitesse obtenu par (A.17) en utilisant la loi de Cess pour la viscosité (le même code couleur que dans la figure 5.11 est utilisé). La ligne en pointillés représente la loi 1/κ log y. PSfrag replacements U y+ + 1 10 10 100 1000 10000 100000 0 5 15 20 25 30 Figure 5.12 – Profil de vitesse moyen dans le modèle de Cess pour différentes valeurs du nombre de Reynolds. La figure 5.13 montre l’influence des nombres d’onde α et β sur la croissance transitoire de l’énergie pour Re = 1000. Les valeurs de G vont de 1 (en rouge) à 12 (vert) par pas de 1 de droite à gauche. On remarque que la valeur maximale est atteinte pour α = 0 et β = 1, 57. PSfrag replacements α β 0 0, 5 0, 5 1 1 1, 5 1, 5 2 2 2, 5 3 3, 5 4 Figure 5.13 – Iso-valeurs de l’énergie transitoire pour Re = 1000 en fonction de α et β. Les figures 5.14 et 5.15 illustrent l’influence du nombre transverse β sur le maximum de croissance de l’énergie transitoire. On peut observer deux pics, le premier pour β = 1, 57 ce qui confirme ce que nous avions obtenu sur la figure 5.13 et un second pour β = 80. Les calculs ont été menés avec α = 0 pour différentes valeurs du nombre de Reynolds comprises entre 500 et 20000 sur un intervalle de temps [1, 10] sur la figure 5.14. Des optimisations de l’intervalle de temps pour le calcul sur la plage complète
  • 49. 5.4 Viscosité variable 41/48 de valeurs de β ont été nécessaires. Le temps de calcul étant très long, nous ne représentons sur la figure 5.15 le tracé complet uniquement pour Re = 1000. 2 4 6 8 10 12 14 2 4 6 8 10 PSfrag replacements Re = 500 Re = 1000 Re = 2000 Re = 5000 Re = 10000 Re = 20000 β G max Figure 5.14 – Amplification maximale de l’énergie transitoire en fonction de β pour α = 0 et différentes valeurs du nombre de Reynolds. PSfrag replacements Re = 1000 β G max 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 11 100 1000 Figure 5.15 – Amplification maximale de l’énergie transitoire en fonction de β pour α = 0 et une valeur de nombre Reynolds égal à 1000.
  • 50. 42/48 Chapitre 5 - Résultats 5.5 Représentation de l’écoulement Enfin, nous nous sommes attachés à obtenir une représentation claire de l’écoulement. Les difficultés de cette étape ont résidé dans la prise en compte du maillage. Un nombre trop important de points rend la figure illisible, à l’inverse des points trop peu nombreux ne donnent pas suffisamment d’informations. Il a fallu rechercher les différents outils permettant d’utiliser ce type de maillage et ensuite choisir la représentation la plus adaptée. La figure 5.16 présente la condition initiale relative à une perturbation bidimensionnelle (α = 1, β = 0) optimale pour un écoulement de Poiseuille à Re = 1000. La perturbation optimale est caractérisée par la tendance de l’écoulement à s’opposer au cisaillement moyen. PSfrag replacements y x 0 1 2 3 4 5 6 0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1 −0, 2 −0, 4 −0, 6 −0, 8 −1 Figure 5.16 – Perturbation optimale pour Re = 1000, α = 1 et β = 0. Lorsque le temps augmente, la perturbation s’incline selon le sens du cisaillement moyen ce qui cause une croissance transitoire de l’énergie. Cette croissance se manifeste par l’apparition de tourbillons de plus en plus énergétiques, comme le montre la figure 5.17 qui représente l’état de l’écoulement au moment où l’énergie est maximale. Ce mécanisme est souvent associé au mécanisme non visqueux de Orr (1907) qui décrit les instabilités aux temps courts dues à l’inclinaison de la perturbation.
  • 51. 5.5 Représentation de l’écoulement 43/48 PSfrag replacements y x 0 1 2 3 4 5 6 0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1 −0, 2 −0, 4 −0, 6 −0, 8 −1 Figure 5.17 – Perturbation optimale lorsque l’énergie est maximale (Re = 1000, α = 1 et β = 0).
  • 52. 44/48 Chapitre 5 - Résultats La figure 5.18 présente la perturbation optimale associée à une perturbation tridimensionnelle (α = 0, β = 2) pour un écoulement de Poiseuille à Re = 1000. La figure 5.19 correspond au même type de représentation mais au temps ou l’énergie est maximale. On observe des tourbillons longitudinaux qui changent relativement peu au fur et à mesure que le temps s’écoule. Toutefois, des pics très énergétiques se forment en raison de l’effet de décollement ( lift up ). PSfrag replacements y z 0 1 2 3 4 5 6 0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1 −0, 2 −0, 4 −0, 6 −0, 8 −1 Figure 5.18 – Perturbation optimale 3D pour Re = 1000, α = 0 et β = 2. PSfrag replacements y z 0 1 2 3 4 5 6 0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1 −0, 2 −0, 4 −0, 6 −0, 8 −1 Figure 5.19 – Perturbation optimale lorsque l’énergie est maximale (Re = 1000, α = 1 et β = 0).