Definiciones sobre: Números reales, valor absoluto, desigualdades y conjuntos

1. Alumno: Brandon Sánchez
C.I: 31.162.171
Sección: IN0104
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSIDAD
POLITÉCNICA TERRITORIAL ÁNDRES ELOY BLANCO
BARQUISIMETO, ESTADO – LARA

2. Definición De
Conjuntos
• En matemáticas, un conjunto es una colección
de elementos considerada en sí misma como un
objeto. Los elementos de un conjunto, pueden
ser las
siguientes: personas, números, colores, letras, fi
guras, etc. Se dice que
un elementos (o miembro) pertenece al
conjunto si está definido como incluido de
algún modo dentro de él.
Un conjunto suele definirse mediante una propiedad
que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para
los números naturales, si se considera la propiedad de
ser un número primo, el conjunto de los números
primos es:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}

3. Operaciones Con Conjunto
• Las operaciones con conjuntos también
conocidas como álgebra de conjuntos,
nos permiten realizar operaciones
sobre los conjuntos para obtener otro
conjunto. De las operaciones con
conjuntos veremos las siguientes unión,
intersección, diferencia, diferencia
simétrica y complemento.
Unión o reunión de conjuntos:
Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para
formar otro conjunto que contendrá a todos los elementos que
queremos unir pero sin que se repitan. Es decir dado un conjunto
A y un conjunto B, la unión de los conjuntos A y B será otro
conjunto formado por todos los elementos de A, con todos los
elementos de B sin repetir ningún elemento. El símbolo que se usa
para indicar la operación de unión es el siguiente: ∪. Cuando
usamos diagramas de Venn, para representar la unió de conjuntos,
se sombrean los conjuntos que se unen o se forma uno nuevo.
Luego se escribe por fuera la operación de unión.
Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión
de estos conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando
diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
AuB =
También se puede graficar del
siguiente modo:
AuB =

4. Intersección de conjuntos:
• Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5}
y B={4,5,6,7,8,9} la unión de estos
conjuntos será
A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Usando
diagramas de Venn se tendría lo
siguiente:
Ejemplo 2:
Es la operación que nos permite formar un conjunto,
en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es
el que tendrá todos los elementos que pertenecen
al primero pero no al segundo. Es decir dados dos
conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos entra
A y B, estará formado por todos los elementos de A
que no pertenezcan a B. El símbolo que se usa para
esta operación es el mismo que se usa para la resta
o sustracción, que es el siguiente:
Ejemplo:
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y
B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos
conjuntos será A-B={1,2,3}. Usando
diagramas de Venn se tendría lo
siguiente:
A n B

5. Diferencia de conjuntos:
• Es la operación que nos permite formar un
conjunto, en donde de dos conjuntos el
conjunto resultante es el que tendrá todos los
elementos que pertenecen al primero pero no
al segundo. Es decir dados dos conjuntos A y
B, la diferencia de los conjuntos entra A y B,
estará formado por todos los elementos de A
que no pertenezcan a B. El símbolo que se usa
para esta operación es el mismo que se usa
para la resta o sustracción, que es el siguiente:
Ejemplo:
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y
B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos
será A-B={1,2,3}. Usando diagramas de Venn se
tendría lo siguiente:
A B
A - B
Diferencia de simetrica de conjuntos:
Es la operación que nos permite formar un
conjunto con todos los elementos del
conjunto de referencia o universal, que no
están en el conjunto. Es decir dado un
conjunto A que esta incluido en el conjunto
universal U, entonces el conjunto
complemento de A es el conjunto formado
por todos los elementos del conjunto
universal pero sin considerar a los
elementos que pertenezcan al conjunto A.
En esta operación el complemento de un
conjunto se denota con un apostrofe sobre
el conjunto que se opera, algo como esto A'
en donde el conjunto A es el conjunto del
cual se hace la operación de complemento.
Ejemplo:
Dado el conjunto Universal
U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el conjunto
A={1,2,9}, el conjunto A' estará
formado por los siguientes
elementos A'={3,4,5,6,7,8}. Usando
diagramas de Venn se tendría lo
siguiente: U

6. Números Reales:
• Son cualquier número que se encuentre o corresponda con la
recta real que incluye a los números racionales y números
irracionales, Por lo tanto, el dominio de los números reales se
encuentra entre menos infinito y más infinito.
Las principales características de los números reales son:
Orden. Todos los números reales siguen un orden, por ejemplo 1, 2, 3, 4 …
Integral. La integridad de los números reales marca que no hay espacios
vacíos, es decir, cada conjunto que dispone de un límite superior tiene un
límite más pequeño.
Infinitos. Los números reales no tienen final, ni por el lado positivo ni por el
lado negativo. Por eso su dominio está entre menos infinito y más infinito.
Decimal. Los números reales pueden ser expresados como una expansión
decimal infinita.
Clasificación de los números reales
La clasificación de los números reales incluye los siguientes números.
Números naturales. Son los números iguales o mayores que uno no decimales. El conjunto de los números naturales
no tiene en cuenta el cero.
Números enteros. Son los números positivos y negativos no decimales, incluyendo el cero. Es decir, los números
naturales incluyendo los números negativos y el cero.
Números racionales. Los que se pueden representar como el cociente de dos enteros con denominador diferente a
cero. Son las fracciones que pueden crearse utilizando números naturales y enteros.
Números irracionales. Aquellos que no pueden ser expresados como una fracción de números enteros con
denominador distinto a cero. Se trata de números decimales que no pueden expresarse ni de manera exacta, ni de
manera periódica, siendo el número pi un ejemplo de este tipo de números.

7. Operaciones de los números reales
Las distintas operaciones de los números reales cumplen con una serie de propiedades:
Propiedad Interna
Cuando se suman dos números reales el resultado que se obtiene es otro número real. Lo mismo ocurre con la multiplicación de números
reales, que también da como resultado otro número real.
Propiedad Asociativa
El modo en que se asocian o agrupan los sumandos no influye en el resultado de una suma. En el caso de una multiplicación tampoco importa
la asociación pues el resultado será siempre el mismo
a + (b + c) = (a + b) + c
a x (b x c) = (a x b) x c
Propiedad Conmutativa
Tanto la suma como la multiplicación de números reales cumplen con la propiedad conmutativa que indica que el orden no varía el resultado.
a + b = b + a
a x b = b x a
• Elemento neutro y elemento opuesto
• En la suma el cero se convierte en el elemento neutro pues cualquier número que se sume con el 0 va a dar
como resultado el mismo número.
• a + 0 = a
• Por su parte, si al sumar dos números reales se obtiene cero se dice que esos números son opuestos (e - e =
0).
• En cuanto a la multiplicación, el elemento neutro en los números reales es el 1, ya que cualquier número real
que se multiplique por 1 da lugar al mismo número.
• a x 1 = a
• 0.453 x 1 = 0.453
• En la multiplicación el inverso de un número es aquel que al multiplicarlo, da como resultado la unidad:
• a x 1/a = 1
• 3.4 x 1/3.4 = 1
Propiedad Distributiva
El producto de un número real por una suma de números reales es igual a la suma de los
productos de dicho número por cada uno de los sumandos.
a x (b + c) = a x b + a x c
Al proceso inverso de la propiedad distributiva se le conoce como sacar el factor común.
a x b + a x c = a x (b + c)
La gran mayoría de las situaciones físicas que tienen lugar se modelan con números reales
por lo que son de suma importancia. El conjunto de los números reales está formado por otros
números como los naturales, enteros, racionales e irracionales. Los números reales son
infinitos y siguen un orden, pudiendo ser decimales y negativos.
Es habitual que utilicemos los números naturales en el día a día y que sepamos mucho más
de ellos de lo que pensamos, porque forman parte importante en nuestra sociedad para
organizar, contar y realizar cálculos.

8. Desigualdades:
• La desigualdad matemática es aquella proposición que
relaciona dos expresiones algebraicas cuyos valores son distintos.
Se trata de una proposición de relación entre dos elementos
diferentes, ya sea por desigualdad mayor, menor, mayor o igual, o
bien menor o igual. Cada una de las distintas tipologías de
desigualdad debe ser expresada con diferente signo (> o <, etcétera)
y tendrá una reacción a operaciones matemáticas diferente según
su naturaleza.
• Por lo tanto, si queremos explicar cuál es la finalidad de este
concepto con el menor número de palabras posibles diremos que; el
objetivo de la desigualdad matemática es mostrar que dos sujetos
matemáticos expresan valores diferentes.
Signos de desigualdad matemática
Podemos sintetizar los signos de expresión de todas las
desigualdades matemáticas posibles en los cinco siguientes:
Desigual a: ≠
Menor que: <
Menor o igual que: ≤
Mayor que: >
Mayor o igual que: ≥
Ejemplos
Las desigualdades matemáticas están formadas,
en la mayoría de ocasiones, por dos miembros o
componentes. Un miembro se encontrará a la
izquierda del símbolo y el otro a la derecha.
Un ejemplo sería expresar: 4x – 2 > 9. Lo
leeríamos diciendo que “cuatro veces nuestra
incógnita menos dos es superior a nueve”.
Siendo el elemento 4x-2 el elemento A y 9 el
elemento B. La resolución nos mostraría que (en
números naturales) la desigualdad se cumple si
x es igual o superior a 3 (x≥3).

9. Valor Absoluto:
• El valor absoluto de un número real es la magnitud de este, independientemente del signo que
le preceda.
• El valor absoluto de un número, en otras palabras, es el valor que resulta de eliminar el signo
correspondiente a este.
• Para verlo en términos más formales, tenemos las siguientes condiciones que deben cumplirse,
donde el x entre dos barras significa que estamos hallando el valor absoluto de x:
• |x|=x si x≥ 0
Es decir, el valor absoluto de un número positivo es este mismo número. En cambio, el valor
absoluto de un número negativo es igual a este número, pero con un signo negativo delante. Es
decir, multiplicado por -1.
Asimismo, el valor absoluto de -10 es -(-10)=10. Así, debemos destacar que el valor absoluto
siempre es positivo.
Propiedades del valor absoluto
Entre las propiedades del valor absoluto destacan las
siguientes:
El valor absoluto de un número y de su opuesto es el mismo.
Es decir, el valor de -19 y 19 es el mismo: 19.
El valor absoluto de una sumatoria es igual, o menor, que la
sumatoria de los valores absolutos de los sumandos. Es decir,
se cumple que:
|x+y|≤|x|+|y|
Podemos comprobar lo anterior con algunos ejemplos:
|8+9|≤|8|+|9|
|17|≤8+9

10. Desigualdades Con Valor
Absoluto:
• Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto con
una variable dentro.
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es:
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera numéros reales a y b , si | a | < b , entonces a < b Y a > - b .

11. Bibliografía:
• Definición De Conjuntos: https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto
• Operaciones Con Conjuntos:
https://www.conoce3000.com/html/espaniol/Libros/Matematica01/Cap10-
03-OperacionesConjuntos.php
• Números Reales: https://www.sdelsol.com/glosario/numeros-
reales/#:~:text=utilizando%20n%C3%BAmeros%20reales.-
,Qu%C3%A9%20son%20los%20n%C3%BAmeros%20reales,menos%20infinit
o%20y%20m%C3%A1s%20infinito.
• Desigualdades: https://www.sdelsol.com/glosario/desigualdad-matematica/
• Valor Absoluto: https://economipedia.com/definiciones/valor-absoluto.html
• Desigualdades Con Valor Absoluto:
https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/absol
ute-value-inequalities