Covimatic 2020

90
Tercer grado de secundariaLIBRO DE ACTIVIDADES
MATEMATICA 3 | Manuel Coveñas Naquiche
En una carretera de Lima Manolito iba en
un transporte público en donde viajó un
tiempo de 2 horas y desconocía la velo-
cidad en la que viajaba. ¿Qué monomio
obtiene Manolito en km recorridos a una
velocidad de x km/h durante el tiempo
que viajó? .
Halla la expresión
algebraica que
da el número de
cuadraditos del
rectángulo.
De lunes a jueves camino
x Km. diarios y de viernes
a domingo, 6 Km. cada
día. Halla la expresión
algebraica que da los Km.
que camino en z semanas
DISTANCIA CUADRADITOS
CAMINO
Actividad
G.R.
El ...o de Descartes permite
calcular el resto sin necesidad
de efectuar la operación de la
división .
El método de ...es un caso
particular del método de
Horner y se emplea en la
división de un polinomio P(x)
entre divisores de las formas
(x a) o (ax b).
Los polinomios ...son aquellos
cuyos términos monomios tie-
nen igual grado.
Dos polinomios reducidos son ...cuan-
do los coeficientes que afectan a sus tér-
minos semejantes son iguales.
Al polinomio de tres términos se
denomina ...
2 2
a+b a –ab+b
Al operar:
se obtiene una ...
Dados los polinomios:
P(x):
Q(x):
De ellos se puede apreciar que
tienen el mismo ...
Se llama polinomio ...a aquel poli-
nomio que tiene los exponentes
de su letra ordenatriz en forma
consecutiva desde la mayor
hasta cero o viceversa.
Si
el valor de M es ...
Si el monomio:
2
2 2a-3
-3a x es de
tercer grado, el valor de `
a es ...
x +1 + x +2 x +Mx +3 x +2x + x +1
5 2 3 2
3 2
8x – 5x +7
4 2
2x – 3x + x +7

91
POLINOMIOS
Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4
Serliderespromoverlasbuenasrelaciones
entrelosdemas”
ACTIVIDADES
PARA LA CLASE
1 Escribe SÍ o NO , según corresponda en cada casillero:
2 Calcula: I) El grado relativo respecto a la variable x en cada polinomio.
II) El grado absoluto de cada polinomio.
Expresión algebraica ¿Es un polinomio? ¿Es un polinomio?Expresión algebraica
NO
NO
NO
NO
SÍ
SÍ
SÍ
SÍ
SÍ
SÍ
SÍ
SÍ
SÍ
SÍ
4 5
3
x x
x
+
– x2
– 9
3 x4
– 4x3
+ 3x2
(9+m)x5
+(a+n)x4
–(a–n)x2
x5
x2
+
x4
x-1
+ x2
-
-1
x-1
+ 8
x2
– 6xy – y2
8y–3
– 7y–2
+ y–1
ax3
y2
–bx2
+ cxy + d
1
2
x5
–
27
5
x4
+
8
9
x3
– x
8 4
2
x x
x
+ – 6x – 1
6 12
x –
3 9
x + 10
x –3x4
– 1
0,004x5
y3
– 0,3x3
y+
4
3
xy
x8/2
- 10x9/3
+ 5x4/2
- 11
2 3
4x – 2x 5x – 6+
Polinomio G.R.(x) G.R.(x)G.A. G.A.Polinomio
4x5
– 3x7
+ 2x2
– 8 7 2a
4 p + q
2a + 4 m - 1
3m + 1 a - 2
9 3 + a
7 2a + 3
5 p+q+3
2a + 5 2m - 1
3m + 3 2a
12 a + 6
7x2
y3
+ 11x3
y2
– 2x4
y+3
5 xa
· ya+1
– 2xa + 4
y3
· x2(a+2)
· y
2,3xm+2
y3
– 6x2m
y + 5x3m+1
y2
6xyz – 2x9
y2
z + xy3
– 3
3
4
xa
y2
– 0,6xa–1
y + 3x2a
y3
pxq
yp
– 2pxp
· yq
+ 3xp+q
· y3
2
5
xa–5
yz3
+ 4xa–3
y3
za
+ xa–2
3xm–2
y – 2xm–3
y2
+ mxm–1
ym
ax3+a
y – 2xa–2
y4
+ 2xa+1
· y5
5 4 6
3 2
2
x x
8x 2x
x
+
+ + – 1
3

92
3 Identifica el grado de las expresiones algebraicas siguientes.
4 Calcula el valor de “n” en las siguientes expresiones:
a) Si el grado de (yn
+y2n
+3)(yn
+2) es 18.
⇒ 3n = 18
n =6
⇒ 2(n + 1) = 20
n + 1 = 10
n = 9
⇒ n(n + 1) = 72
n² + n – 72= 0
n = 8
⇒ 5n = 25
n =5
Expresión algebraica Grado GradoExpresión algebraica
e) ( )( )( )
32
3 2
x 3 x 3 x 1
  + − +   
f)
3 4 2
2 5
x 5x 1 x 4x 1
x 3x 1 x 3
  + + − −
    − − −  
g)
3 6 10
2 3
x · y · z
x · y· z
d) 3 3 2
x 3x 3x 1+ + + h)
4 4 3 2
x 4x 6x 4x 1+ + + +
a) (x2n
+ 2)(x3n
– 3)(xn
+ 1)(x4n
– 1) 10n 36
c) (2x5n
– 3x3n
+ 1)2
10n 13
b) (x3
– 2x4
– 2)4 12 2
1 1
b) Si el grado de (z3n
+ zn
– 5)(z2n
– zn
+ 5) es 25.
c) Si el grado de (x2
– 3x4
+ 1)n+1
es 20. d) Si el grado de (zn
+ 1)n+1
es 72.

93
POLINOMIOS
entrelosdemas”
ACTIVIDADES
PARA LA CASA
1 Escribe SÍ o NO , según corresponda en cada casillero:
2 Calcula: I) El grado relativo respecto a la variable x en cada polinomio.
II) El grado absoluto de cada polinomio.
3 Calcula el grado de las expresiones algebraicas siguientes.
4 Calcula el valor de “n” en las siguientes expresiones:
Expresión algebraica ¿Es un polinomio? ¿Es un polinomio?Expresión algebraica
Polinomio G.R.(x) G.R.(x)G.A. G.A.Polinomio
15x8
– 9x6
+ x+ 1 8 8 2m + 3 2m + 3
2x4
y3
+ 3x3
y2
– 2y6
4 7 3 3
4xm–9
+ 5xm–1
+ x2m+3
8xab –3x2
a + 3x3
b – 2
Expresión algebraica Grado GradoExpresión algebraica
d) x2 . y3 . z6
y2 . z3 . x
a) (x4
– 2)(x6
– 3)(x + 6) 11
b) (x + 2)(x2
+ 4)(x – 3) 4
c) [(x3
+ 2)(x4
– 1)]6
42
5
b) Si el grado de (3yn
+ 4yn+1
–7)7
es 42.a) Si el grado de (xn
+ 1)(xn
–1) es 4.
3 2
2
x 5x 3
x
+ −
– 5 x –8x2
– 1 SÍ
–x4
+ 2x3
– 2x + 6 SÍ
x2/3
- 6x4/3
- 3
3x–4
– 2x–3
– 2
2x – 1
5x3
– 4x2
– 3x–1
+2 NO
NO
NO
NO
⇒ 2n = 4
n = 2
⇒ 7(n + 1) = 42
n+ 1 = 6
n = 5

94
ACTIVIDADES
PARA LA CLASE
1 Calcula el grado de:
( ) ( )
2
3 6 8 6 93M x; y 6x · x · y · x · y=
3 El grado absoluto de 10x3n - 7
· (y · z)n-2
es igual
a 4. ¿Cuánto vale el grado relativo a “x”?
2 Identifica el coeficiente del siguiente monomio:
( ) ( )2 5a 23Q y 2 a 2 · y −
= + , si es de grado 6.
4 Calcula a + b, si el polinomio mostrado es de
grado 10 respecto a “w” y de cuarto grado con
respecto a “z”.
( ) 4 b 1 a 3 2b 2 a 2 b 31
S w; z 6w z 3w z w · z
3
− + − − −
= + +
5 En el polinomio:
( )
a 1
a 7 a 1 a 3 a 2 a 12P x;y x · y x y x y 2a
+
+ + − − −
= + + +
Se sabe que el cociente entre G.R.(x) y el G.R.(y)
es 2. Calcula el grado del polinomio (G.A.) y el
término independiente.
6 Calcula “m” en el polinomio:
P(x) = (2mx - 3m)2
+ ( )
2 m
5 mx 14x+ ; si la
suma de coeficientes de P(x) excede en 2 al
término independiente.
Rpta. 72
Rpta. 10
Rpta. 18 y 10 Rpta. 2
Rpta. 2
Rpta. 30
⇒ = (6x³ ∙ x³ · y4
∙ x² ∙ y³)²
= 36 x16
y14
GA : 16 + 14
GA = 30
⇒ 3n – 7 + (n – 2) + (n – 2) = 4
5n - 11= 4
n = 3
Piden: GRX
= 3n - 7
= 3(3) - 7
= 2
⇒ GRW
= 10 ; GRZ
=4
a + 3 = 10 ; 2b - 2 = 4
a = 7 b = 3
Piden: a + b = 7 + 3
= 10
Si P(1) = P(0) + 2
⇒ (–m)2
+ 5m2
+ 14 = (–3m)2
+ 2
6m2
+ 14 = 9m2
+ 2
12 = 3m2
m = 2
⇒
5a – 2
3
= 6
5a - 2 = 18
a = 4
Piden: Coef. = 2(a + 2)2
= 2(6)2
= 72
Si
GRX
GRY
= 2 Piden:
GA = 2a + 8
⇒
a + 7
a + 1
= 2 = 2(5) + 8
= 18
a = 5
TI = 2a = 2(5)=10

95
POLINOMIOS
7 Ordena, respecto a la variable “x”, los siguientes polinomios:
8 Calcula la suma de coeficientes y el término independiente en cada caso.
9 Calcula los valores de “p” , “q” y “r” si se cumple las siguientes identidades:
10 Dados los siguientes polinomios idénticamente nulos. Calcula los valores de “p” , “q” y “r”.
En forma decreciente En forma creciente
a) 4 6 4 3
11xy 3x y x 4x+ − +
b) 3 3 4
x m 2xm x 9− + + −
c) 3 4
5 x x 4 0,5x− + −
a) 5 2 4 3 2 4
0,4x y 0,7x y x 2 3x y+ − + −
b) 3 2 6 51
x w 2xw 13 x
2
− + −
c) 2 3
2x 4 x x+ − +
Polinomio 
Polinomio 
Polinomio 
Polinomio 
Polinomio 
Polinomio 
S(1) 
P(1) 
Q(1) 
S(0) 
P(0) 
Q(0) 
P(1) 
Q(1) 
R(1) 
P(0) 
Q(0) 
R(0) 
P(x) = x4
- 5x3
+ 2x + 7
5 0
2 11
4 7
7 –
1
3
6x – 9 7
1 6
3x6
y – x4
+ 4x3
+ 11xy4
2 – 3x2
y4
– x3
+ 0,4x5
y2
+ 0,7x4
y
x4
– x3
m + 2xm3
– 9
13 + 2xw6
+ x3
w2
-
1
2
x5
– x4
+ 5 x3
– 0,5x + 4 4 – x + 2x2
+ x3
S(y) =
2
3
y4
-
4
3
y2
+ y -
1
3
a) 4(2x + 5) ≡ p(x + 4) + q(2x + 4)
8x + 20 = px + 4p +2qx + 4q
8x + 20 = x(p + 2q) + 4(p + q)
⇒ p + 2q = 8 ^ 4(p + q) = 20
p =2 ^ q = 3
a) ( ) ( ) ( )2 2
S x 3 2x 4 5x 2px 1 q x 6r= + + − − + −
b) px2
+ qx + r ≡ 2(x + 4)(x – 2)
b) ( ) 3 3
T x 3px 12x 8 9x 2q 6r= − + − + + x
5 2
Q(y)=2y 3y 9 6x+ − +
6 4 2
R(x)=12x 7x 2x 1− − +
m m 3 m 5
P(x) 2x 4x 2x 7− −
= + − +
m 5
Q(x) 0,5x 0,8x 0,3x 6= + − +
⇒ px2
+ qx + r = 2x2
+ 4x – 16
p = 2 ; q = 4 ; r = –16
= x3
(3p -q) + x(6r - 12) + (8 + 2q)
⇒ 3p - 9 = 0 ; 6r - 12 = 0 ; 8 + 2q = 0
p = 3 r = 2 q = –4
= 6x + 12 + 5x2
- 2px -(1 +q)x2
- 6r
= x2
(5 - 1 - q) + x(6 - 2p) + (12 - 6r)
⇒ 4 - q =0 ; 6 - 2p = 0 ; 12 - 6r = 0
q =4 ; p = 3 ; r = 2

96
En forma decreciente En forma creciente
a) 4 2 5 3
3x 7x x 2 6x x+ − + − +
b)
4 3 2 6
9xy 2x y 5x y 8− + −
c) 4 2
6xy 3 x y+ −
a)
8 6 3
3x 2x 4x 9− + −
b) 7 5 5 2 3
11x y x 9x y 2x y− + +
c)
2 2
4x x 2x 2− + +
entrelosdemas”
ACTIVIDADES
PARA LA CASA
1 Calcula el grado de:
P(x;y) = (2x2 . x4 . y6 . x3 . y123
)
2
4 Calcula el valor de “p”, “q” y “r” si se cumple las
siguientes identidades:
a) 2(y + 5) ≡ p(y + 3) - q(y + 1)
b) px + r ≡ 2(x + 6) + 3x - 1
2 El grado absoluto de: 5x2n+3 . (y . z)n+5
es igual a
21.
¿Cuánto vale el grado relativo a “x”?
5 Dado los siguientes polinomios identicamente
nulos. Calcula los valores de “p”, “q” y “r”.
a) ( ) 3 2 3 2
R x qx rx 6 7x 4x p= − + − + −
b) ( ) ( )2 2
P x p 3 x 5x q 8 rx= + − + − +
3 Ordena, respecto a la variable x los siguientes polinomios:
⇒ = (2x² ∙ x² · y³ ∙ x ∙ y4
)²
= 4 x10
y14
GA : 10 + 14
GA = 24
GA = 21
⇒ 2n + 3 + 2n + 10 =21
4n + 13 = 21
n = 2
Piden: GAx = 2n + 3
= 2(2) + 3
= 7
–x5
+ 3x4
– 6x3
+ 7x2
+ x +2 –9 + 4x3
– 2x6
+ 3x8
–2x4
y3
+ 5x2
y6
+ 9xy – 8 –x + 2x3
y + 9x5
y2
+ 11x7
y5
–x4
y2
+ 6xy + 3
2y + 10 = y(p – q) + (3p – q)
⇒ p – q = 2 ; 3p – q = 10
p = 4 q =2
x3
(q – 7) + x2
(4 – r) + (6 – p)
⇒ q – 7 = 0 ; 4 - r =0 ; 6 - p = 0
q = 7 r = 4 p = 6
(p + 3)2
x2
+ x(r – 5) + ( q – 8)
⇒ (p + 3)2
= 0 ; r – 5 = 0 ; q – 8 =0
p = -3 r= 5 q = 8
px + r = 2x + 12 + 3x - 1
px + r = 5x + 11
⇒ p = 5 ; r =11
2 – x + 6x2

97
POLINOMIOS
Razonamiento y Demostración
APLICO MIS
APRENDIZAJES
1 Identifica “m” si el siguiente monomio es de segundo
grado: -53
3 xm-4
.
A) 6 B) 3 C) 5 D) 4 E) 2
2 Calcula “a” si el término 0,58x3a
y2
, es de grado 11.
A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1
3 Identifica “m” si el siguiente polinomio es de grado
absoluto igual a 10. P(x) = 5 + 8xm+4
- 6xm+3
A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3
4 Calcula el grado de: M(x,y) = 5a2 . x164 . y155
A) 2 B) 3 C) 3 D) 7 E) 9
5 Calcula “p” en: 5xp-2
y2p-1
z3p-12
de modo que su
grado sea: G = 5p - 6
A) 8 B) 9 C) 7 D) 10 E) 11
6 ¿Cuántos términos tiene el siguiente polinomio?
P(x) x x x . . . + x x x 12n 1 2n 2 2n 3 3 2
= + + + + + +− − −
A) 2n B) 2n+1 C) 3n D) 2n-1 E) n
7 Si el polinomio: P(x) = (a - 4)x5
+ 3x4
+ ax5
- bx4
es
idénticamente nulo, señala (a + b).
A) 4 B) 5 C) 15 D) 20 E) 25
8 Si se cumple la siguiente identidad:
2x 27 m(x 3) n(x 4)+ ≡ + − − , calcula los valores de
“m” y “n”.
A) 4 y 2 B) 5 y 3 C) 6 y 4 D) 5 y -3 E) 4 y 1
9 Calcula el valor de “m” si el polinomio:
P(x;y) 2x y 3x y x y
2m 5 4n 2m 4 3 4 9
= + +
− −
es homogé-
neo.
A) 5 B) 13 C) 7 D) 8 E) 11
10 Calcula “m” y “n”, para que el polinomio:
P(x,y) x y x y x y2(m n) m 4 3m n 1 2n 1 n 5 2m 3n
= − ++ + + + + + +
sea homogéneo.
A) 5 y 2 B) 6 y 3 C) 4 y 1
D) 7 y 3 E) 6 y 2
11 Del siguiente polinomio se conocen: G.R.(x) = 7
G.R.(y) = 8. P(x;y) = 2xm+1
+ 6xm
yn
- 8yn+2
¿Cuál es el grado de P(x;y)?
A) 10 B) 12 C) 19 D) 14 E) 11
12 Calcula “mn”, si el polinomio:
P(x;y) = 4xm+1
yn-2
+ 6xm+2
yn-2
- xm+3
yn-2
es tal que:
G.R.(y) = 8 ; G.A. = 20.
A) 9 B) 19 C) 80 D) 81 E) 90
13 Si el polinomio: M(x) x 5x 2xm 10 m n 5 p n 6
= + +− − + − +
es completo y ordenado en forma descendente,
calcula el valor de: “m + n + p”.
A) 38 B) 28 C) 26 D) 25 E) 36
14 Calcula la suma de coeficientes del polinomio:
P(x;y) ax y bx y x yn5 7 2n2 3 2n2 17 25 a b
= + ++ + +
,
sabiendo que es homogéneo.
A) 50 B) 42 C) 51 D) a+b E) 48
15 Dada la equivalencia:
ax(x 1) b(x 1) cx(x 1) x2 2
+ + − + − = ; calcula: “abc”
A) 1 B) 1/4 C) -1/2 D) 0 E) -1/4
16 Dado el siguiente polinomio idénticamente nulo.
Q(x) b(x x) 2ax 3cx c a 12 2
= + − − + − + , calcula el
valor de: “ac - b”
A) 0 B) -1 C) -2 D) 1 E) 2
17 Los términos:T x y1
a b 2ab2 2
= +
, T x y2
3a b a b2 2 2 2
=
tienen igual grado, siendo a ≠ b . Calcula el grado
de: T x . y3
1/a 1/b
=
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
1. A
2. C
3. B
4. D
5. B
6. A
7. B
8. B
9. C
10. A
11. B
12. E
13. A
14. C
15. D
16. A
17. C
Clave de
Respuestas

98
Comunicación Matemática
APLICO MIS
APRENDIZAJES
1 Calcula: “mn”, si se sabe que el siguiente monomio
es de noveno grado respecto a “y”, y de sexto grado
respecto a “x”: -
1
4
2 xm+1
yn+7
.
A) 10 B) 3 C) 14 D) 8 E) 21
2 Calcula el coeficiente del siguiente monomio, sa-
biendo que es de octavo grado.
M(x,y) = 15a2
xa+1
y2
A) 375 B) 175 C) 215 D) 225 E) 255
3 Calcula el coeficiente del siguiente monomio:
P(x) = 2nn . xnkk
, si es de grado tres.
A) 2 B) k C) 9 D) 27 E) 54
4 ¿En cuánto excede el grado relativo de “x” al grado
relativo de “y” en:
(2x2
y3
+ 5x6
y2
)(3x4
y - 4x5
y4
)?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
5 El grado absoluto de: 2x3n-1
y2n-9
es igual a 15
¿Cuánto vale el grado relativo a “y”?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
6 Si: P(x,y) = 5 xm
–
3
4
xm
yn-1
-y16-n
es un polinomio
homogéneo, hallar el valor de: “m+n”
A) 8 B) 10 C) 7 D) 16 E) 6
Q(x,y) = nxn+5
+ 3xn
ym
+ mxm+3
, si es homogéneo.
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14
8 Si: 2x2
+ 5x - 1 ≡ (Ax + B)(x-1)+C(x2
+x+1),
calcula el valor de: “A + B - C”.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
9 Calcula A y B en la equivalencia mostrada:
A(2x-1) + B(x+1) = 6x + 3, y proporcionar: “A . B”
A) 6 B) 4 C) 12 D) 8 E) 10
10 Determina “n” de modo que el monomio:
M(x) =
xn-1. xn
x5n-46
3
sea de primer grado.
A) 1 B) 5 C) 8 D) 6 E) 4
11 Determina “P” en el polinomio homogéneo mos-
trado: Q(x;y) = xn2
+ 4
- 2x3n
y2
+ 3xp
y4
A) 1 ó 2 B) 2 ó 3 C) 3 ó 5
D) 1 ó 4 E) 3 ó 4
12 Determina el valor de: (a+b)b
-a
, si el siguiente po-
linomio: R(x,y)= xa+b
+ 3xb
y2a-3
- xa
y3b-10
+ 5y3b-7
es homogéneo.
A) 4 B) 8 C) 16 D) 32 E) 64
13 Si: P(x,y) = xm
2
-4
+ xy2n-2
- 3xn
y2
es un polinomio
homogéneo, calcula: P(1;-1)
A) 1 B) 0 C) -1 D) 4 E) -3
14 Indica si las afirmaciones son verdaderas (V) o
falsas (F).
I. Un polinomio completo siempre es ordenado.
II. Un polinomio completo de grado “n” posee
(n+1) términos.
III. Un polinomio puede tener grado negativo.
IV. El grado de toda constante siempre es cero.
A) VVVV B) FVVV C) VFVF
D) FFVV E) FVFV
15 Calcula “abc” de los polinomios idénticos:
P(x)=ax2
+ bx +c , Q(x)= 3(x - 2)(x +1)
A) -27 B) 27 C) 54 D) -54 E) 36
16 Calcula: “a + b + c”, si el polinomio:
P(x,y,z) x . y y . z z . xa 9 b b 9 7 c 10 2aa b c
= + +− + +
posee grado de homogeneidad 20.
A) 9 B) 11 C) 7 D) 10 E) 8
1. A
2. A
3. E
4. D
5. A
6. D
7. B
8. A
9. B
10. B
11. D
12. E
13. C
14. E
15. C
16. C
Clave de
Respuestas

99
POLINOMIOS
APLICO MIS
APRENDIZAJES
Resolución de Problemas
1 Calcula los valores de “m”y “n” en
P(x,y) = xm+5
yn-1
; sabiendo que el grado relativo
a “y” es 7 y el grado absoluto es 20. Dar como
respuesta: 2m + 3n.
A) 24 B) 48 C) 82 D) 64 E) 40
2 Calcula el coeficiente del monomio:
M(x) = 2n . xn-2. x3n7
xn+14
3
, si es de segundo grado.
A) 2 B) 6 C) 10 D) 14 E) 18
3 Identifica el coeficiente del monomio:
P(x,y,z) = 3mp . y .3 ym
xn . zp
, si su grado rela-
tivo a “x” es 2, grado relativo a “y” es 1 y su grado
absoluto es 5.
A) 3 B) 19 C) 36 D) 54 E) 18
4 En el monomio: P(x,y) 5(a b)x ya b
= − +
el grado
absoluto es 6 y el grado relativo a “x” es el
coeficiente del monomio. Calcula el valor de “b”.
A) 2 B) 3 C) 4 D) -2 E) -3
5 Calcula el valor de “x + y” en el monomio:
3 x y y+1
3 1-y2/3
.a b
M
.a b
+
= , si se sabe que:
G.A. (a,b) = 5 ; además: x = 3y – 1
A) 26 B) 22 C) 11 D) 8 E) 14
6 Calcula: (n – m)2
para que el binomio:
Q(x,y) x y x y3m 2n 5 m n 4 3m 2n 1 m n 2
= ++ − − + + − − +
sea de
grado absoluto 28 y de grado relativo a “y” igual a 2.
A) 6 B) 7 C) 2 D) 4 E) 3
7 Sabiendo que el polinomio:
P(x,y) x y 3x y x y3m n 1 m n 2 3m n m n 1 3m n 1 m n 1
= + ++ − + + + + − + + + +
es de grado absoluto 36 y la diferencia entre el
grado relativo de “x” y el menor exponente de
“y” es 12. Calcula el valor de “m”.
A) 5 B) 7 C) 9 D) 8 E) 4
8 Calcula el valor de “m” para que el monomio:
4m 3 3m
3
4 m
.a a
a
−
sea de 6to grado.
A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 11
9 Sea el polinomio:
P(x,y) 3a x y z 2 3b x y z 3a x yz2 5 4 3 4 6 2 5 4 7 6
= + − ;
halla el producto de su grado absoluto con el grado
relativo a “x”.
A) 126 B) 98 C) 45 D) 36 E) 63
10 Dado el polinomio:
Q(x,y,z) 5x y z x y z 7x y za 2 b 5 6 a 3 b 4 a 1 b 6 3
= + +− + − − +
de grado absoluto 17 y grado relativo a “x” es 6.
Calcula el valor de: “a – b”.
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
11 Calcula el valor de (m+4n) con la condición de que
el polinomio:
P(x,y) 2x y 3x y x y2m n 4 m n 2 2m n 3 m n 1 2m n 2 m n
= − ++ − + + + − + + + − +
sea de grado absoluto 28 y que la diferencia de sus
grados relativos a “x” e “y” sea igual a 6.
A) 8 B) 10 C) 11 D) 12 E) 14
12 Calcula el valor de “a” en el siguiente polinomio
completo y ordenado en forma ascendente.
Q(x) x 3x x xa b b c c d d 1
= + − ++ + + +
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) -1
13 Si el polinomio: P(x) x x x xb 1 a c a b c d
= + + +− + + +
es
completo y ordenado ascendente, calcula el valor
de: “a + b + c + d”
A) 1 B) -1 C) 2 D) -2 E) 5
14 En cuánto excede el grado del siguiente polinomio
homogéneo a la suma de coeficientes.
P(x,y) ax by x x y ya 12 a 3 13 bb a bb a
= + + +
−
A) 8 B) 12 C) 10 D) 6 E) 5
15 Si: . . . . + 3xa
yb
+ 5xa-1
y4
+ 7x3
yc
+ ... son términos
consecutivos de un polinomio homogéneo y orde-
nado en forma decreciente respecto a “x”, el valor
de: “a + b + c” es:
A) 10 B) 12 C) 13 D) 15 E) 17
1. E
2. D
3. D
4. A
5. C
6. D
7. A
8. C
9. E
10. E
11. B
12. E
13. E
14. A
15. C
Clave de
Respuestas

100
1
8
2
9
3
10
4
11
5
12
6
7
RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓN PAG. 97
Grado (Px
) = 2
Px
= -53
3 xm-4
⇒ m - 4 = 2 m = 6 Rpta.A
Se cumple:
2x + 27 = m(x + 3) - n(x - 4)
2x + 27 = mx + 3m - nx + 4n
2x + 27 = mx - nx + 3m + 4n
2x + 27 = x(m - n) + 3m + 4n
⇒ m – n = 2 ^ 3m + 4n = 27
m = 5 n = 3 Rpta.B
Grado (P(x,y)
) = 11
P(x,y)
= 0,58x3a
y2
⇒ 3a + 2 =11 a = 3 Rpta.C
(P(x,y)
) = P(x;y) 2x y 3x y x y
2m 5 4n 2m 4 3 4 9
= + +
− −
Es homógeneo. G: 13
⇒ 2m - 4 + 3 = 13
2m = 14 m = 7 Rpta: C
Grado (PX
) = 10
PX
= 5 + 8xm+4
- 6xm+3
⇒ m + 4 =10 m = 6 Rpta.B
Si
P(x,y) x y x y x y2(m n) m 4 3m n 1 2n 1 n 5 2m 3n
= − ++ + + + + + +
⇒ 2(m + n) + m + 4 =3m + n + 1 + 2n + 1
3m + 2n + 4 = 3m + 3n + 2
n = 2
Reemplazando:
3m + n + 1 + 2n + 1 = n+ 5 + 2m + 3n
3m + 3n + 2 = 2m + 4n + 5
3m + 8 = 2m+ 13
m = 5
Piden m y n = 5 y 2 Rpta.A
P(x,y,z) = 5xp-2
y2p-1
z3p-12
Grado: 5p - 6
⇒ p - 2 + 2p - 1 + 3p - 12 = 5p - 6
6p - 15 = 5p - 6
p = 9
Rpta.B
P(x;y) = 4xm+1
yn-2
+ 6xm+2
yn-2
- xm+3
yn-2
Si G.R.(y) = 8 ; G.A. = 20
⇒ n – 2 = 8 ; m + 3 + n – 2 = 20
n = 10 m + 11 = 20
m = 9
Piden m . n = 9 . 10
= 90 Rpta.E
P(x) x x x . . . + x x x 12n 1 2n 2 2n 3 3 2
= + + + + + +− − −
#Términos: 2n - 1 + 1 = 2n
Rpta.A
P(x) = (a - 4)x5
+ 3x4
+ ax5
- bx4
es nulo
⇒ a - 4 +a = 0 3 - b = 0
a =2 b = 3
Piden: a + b = 2 + 3 = 5 Rpta.B
M(x,y) = 5a2 . x164 . y155
=5a2
. x4
. y3
Grado: 4 + 3 = 7 Rpta.D
P(x;y) = 2xm+1
+ 6xm
yn
- 8yn+2
Si G.R.(x) = 7 G.R.(y) = 8
⇒ n + 2 = 8 m + 1 = 7
n = 6 m = 6
Piden Grado (P(x;y)) = 6 + 6
= 12 Rpta.B

101
POLINOMIOS
COMUNICACIÓN MATEMÁTICA PÁG. 98
13
14
15
16
17
M(x) x 5x 2xm 10 m n 5 p n 6
= + +− − + − +
Es completo y ordenado.
⇒ m – 10 = 2 ; m - n + 5 = 1 ; p - n + 6 = 0
m = 12 n = 16 p = 10
Piden m + n + p
=12 + 16 + 10 = 38
Rpta: A
P(x,y) =axn5+7
y2n2+3
+ bx2n2+17
y25
+ xa
yb
Es homogéneo
⇒ n5
+ 7 + 2n2
+ 3 = 2n2
+ 17 + 25
n5
+ 10 = 42
n5
= 32 n = 2
a + b = 2n2
+ 17 + 25
a + b = 2(4) + 42
a + b = 50
Piden ∑ Coef. = a + b + 1 = 50 + 1 = 51
Rpta. C
ax(x 1) b(x 1) cx(x 1) x2 2
+ + − + − =
ax2
+ ax + bx2
- b + cx2
- cx = x2
x2
(a + b + c) + x(a - c) = x2
+ b
⇒ a + b +c = 1 ; a - c = 0 ; b = 0
a + c = 1 a - c = 0
a =
1
2
a = c
c =
1
2
Piden: abc = (
1
2
) (0) (
1
2
) = 0 Rpta. D
T x y1
a b 2ab2 2
= +
, T x y2
3a b a b2 2 2 2
=
GT1 =
GT2
⇒ a2
+ b2
+ 2ab = 3a2
b2
+ a2
b2
(a + b)2
= 4a2
b2
a + b = 2ab
a + b
ab
= 2
Piden: GT3
: T3
= x1/a
. y 1/b
GT3 =
1
a
+ 1
b
GT3 =
a + b
ab
GT3 =
2
Rpta. C
Qx = b(x2
+ x) – 2ax2
– 3cx + c – a + 1
= bx2
+ bx – 2ax2
– 3cx + c – a + 1
= x2
(b - 2a) + x(b - 3c) + (c - a +1)
⇒ b - 2a = 0 ; b - 3c = 0 ; c – a + 1 =0
b = 2a b = 3c c + 1 = a
Reemplazando. 2a = 3c.
2a = 3(a - 1) a = 3
b = 6
c = 2
Piden "ac – b" = 6 – 6 = 0
Rpta: A
1 P(x,y): -
1
4
2 xm+1
yn+7
Gx = 6 , Gy =9
⇒ m + 1 = 6 ; n + 7 = 9
m = 5 n = 2
Piden mn = 5 . 2 = 10 Rpta. A
2 M(x,y) = 15a2
xa+1
y2
G = 8 ⇒ a + 1 + 2 = 8
a = 5
Piden Coef. = 15a2
= 15 · 25
= 375 Rpta. A
3 P(x) = 2nn . xnkk
P(x) = 2nn
. xn
; Gx =3
⇒ n = 3 Piden Coef: 2nn
= 2 . 33
= 54 Rpta. E
4 P(x,y) = (2x2
y3
+ 5x6
y2
)(3x4
y - 4x5
y4
)
= 6x6
y4
+ 15x10
y3
- 8x7
y7
- 20x11
y6
Gx = 11 , Gy =7
Piden: Gx - Gy = 11 - 7 = 4
Rpta. D

102
5 M(x,y) = 2x3n-1
y2n-9
GA
= 15
⇒ 3n - 1 + 2n - 9 = 15
5n - 10 = 15
n = 5
Piden Gy = 2n - 9 = 2(5) - 9
= 1 Rpta. A
6 P(x,y) = 5 xm
–
3
4
xm
yn–1
–y16–n
es homogéneo
⇒ m = m + n – 1 ; m = 16 – n
n = 1 m = 16 – 1
m = 15
Piden. m + n = 15 + 1 = 16 Rpta.D
7 Q(x,y) = nxn+5
+ 3xn
ym
+ mxm+3
si es homogéneo.
⇒ n + 5 = n + m ; n + 5 = m + 3
m = 5 n + 5 = 8
n = 3
Piden ∑ Coef. = 3 + 3 + 5
= 11 Rpta. B
8 2x2
+ 5x – 1 ≡ (Ax + B)(x–1)+C(x2
+x+1)
2x2
+ 5x − 1 = Ax2
–Ax+Bx–B+Cx2
+Cx+C
2x2
+ 5x − 1 = x2
(A + C) + x(B + C – A) + (C – B)
⇒ A + C = 2 ; B+C – A = 5 ; C – B = – 1
2C – A = 4 C + 1 = B
Reemplazando:
A = 2 - C ⇒ 2C – (2 – C) = 4
2C – 2 + C = 4
C = 2 ; A = 0
Piden: A + B – C
= 0 + 3 – 2 = 1 Rpta. A
9 A(2x–1) + B(x+1) = 6x + 3
2Ax – A + Bx + B = 6x + 3
x(2A + B) + (B - A) = 6x + 3
⇒ 2A + B = 6 ; B - A = 3
B = 3 + A
Reemplazamos:
2A + B = 6
2A +3 +A = 6
3A = 3 ⇒ A = 1 ; B = 4
Piden A.B = 1·4 = 4 Rpta. B
10 M(x) =
xn-1. xn
x5n-46
3
es de G = 1
=
x
n–1
3
. x
n
6
x
5n–4
18
=
x
9n–6
18
x
5n–4
18
⇒
9n - 6
18
–
5n - 4
18
= 1
4n - 2 = 18
n = 5 Rpta. B
11 Q(x;y) = xn2
+ 4 - 2x3n
y2
+ 3xp
y4
es homogéneo
⇒n2
+ 4 = 3n + 2
n2
- 3n + 2 = 0
(n - 2)(n - 1) = 0
n = 2 ∨ n = 1
Para n = 2 ⇒ p + 4 = 8
p = 4
Para n = 1 ⇒ p + 4 = 5
p = 1
Piden P: 1 ó 4 Rpta. D
12 R(x,y)= xa+b
+ 3xb
y2a–3
– xa
y3b–10
+ 5y3b–7
es homogéneo.
⇒ a + b = b + 2a – 3 ; a + b = 3b – 7
a = 2a – 3 3 + b = 3b – 7
a = 3 b = 5
Piden: (a + b)b–a
= (3 + 5)5–3
= 64 Rpta. E
13 P(x,y) = xm
2
–4
+ xy2n–2
– 3xn
y2
es homogéneo
⇒2n - 2 + 1 = n + 2
n = 3
m2
- 4 = n + 2
m2
- 4 = 5
m = 3
Piden: P(1,-1) = 19-4 +
1(–1)4
– 3(1)3
(–1)2
= 1 + 1 – 3
= –1 Rpta. C
14 I. Un polinomio completo siempre es ordenado. (F)
II. Un polinomio completo de grado “n” posee
(n+1) términos. (V)
III. Un polinomio puede tener grado negativo. (F)

103
POLINOMIOS
IV. El grado de toda constante siempre es cero. (V)
Rpta. E
15 P(x)=ax2
+ bx +c , Q(x)= 3(x–2)(x+1)
ax2
+ bx +c = 3x2
–3x – 6
a = 3 b = –3 c = –6
Piden abc = (3)(–3)(–6) = 54 Rpta. C
16 P(x,y,z) x . y y . z z . xa 9 b b 9 7 c 10 2aa b c
= + +− + +
bb
+ 9 + 7 = 20 cc
+ 10 + 2a = 20
bb
= 4 cc
= 4
b = 2 c = 2
aa
- 9 + b = 20
a = 3
Piden a + b + c = 7 Rpta: C
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pag. 99
1 P(x,y) = xm+5
yn-1
Si :Gy = 7 ; GA = 20
n – 1 = 7 , m + 5 + n – 1 = 20
n = 8 m = 8
Piden 2m + 3n = 2(8) + 3(8) = 40
Rpta. E
2 M(x) = 2n . xn-2. x3n7
xn+14
3
; GA = 2
M(x)= 2n
x
n–2
3
. x
3n
21
x
n+1
12
M(x)= 2n.
x
10n-14
21
x
n+1
12
⇒
10n-14
21
–
n+1
12
= 2
33n – 63 = 168
33n = 231
n = 7
Piden Coef. = 2n = 14 Rpta. B
3 P(x,y,z) = 3mp . y .3 ym
xm . zp
Si Gx = 2 ; Gy = 1 ; GA = 5
⇒P(x,y,z) = 3mp. x
n
2
. y
3+m
12 .
zp
n
2
= 2 ⇒ n = 4
3+m
12 = 1 ⇒ m = 9
2 + 1 + p = 5 p = 2
Piden Coef. = 3mp
= 3(9)(2) = 54 Rpta. D
4 P(x,y) 5(a b)x ya b
= − +
GA = 6 ⇒ a + b+ 1 = 6
a + b = 5
Si: Gx = 5 ⇒ 5(a - b) = 5
a - b =1
a = 3 ^ b = 2
Piden "b" = 2 Rpta. A
5
3 x y y+1
3 1-y2/3
.a b
M
.a b
+
=
M =
a
x+y
3
. b
y+1
3
a
2
3
. b
1-y
3
; GA = 5
Si: x = 3y – 1
⇒(x+y
3
–
2
3 )+ (y+1
3
–
1-y
3 ) = 5
x + y – 2
3 +
y + 1 – 1 + y
3 = 5
x + 3y – 2 = 15
3y – 1 + 3y = 17
y = 3
⇒ x = 3(3) – 1 Piden x+ y = 11
x = 8 Rpta. C
6 Q(x,y) x y x y3m 2n 5 m n 4 3m 2n 1 m n 2
= ++ − − + + − − +
Si GA = 28 ; Gy = 2
⇒ m – n + 4 = 2
m = n – 2
3m + 2n - 1 + m - n + 2 = 28
4m + n = 27

104
4n - 8 + n = 27
5n = 35
n = 7 m = 5
Piden (n - m)2
; = (7 - 5)2
= 4 Rpta. D
7
P(x,y) x y 3x y x y3m n 1 m n 2 3m n m n 1 3m n 1 m n 1
= + ++ − + + + + − + + + +
GA = 36 ; Gx - (m + n - 1) = 12
GA = 4m + 2n + 2
4m + 2n + 2 = 12
2m + n = 5
Reemplazamos:
3m + n + 1 – (m +n – 1) = 12
2m + 2 = 12
m = 5
2(5) + n = 5
10 + n = 5
n = -5
Piden m = 5 Rpta. A
8
P(a) =
4m 3 3m
3
4 m
.a a
a
−
; GA = 6
P(a) = a
m-3
3
. a
3m
12
b
m
12
⇒ 7m – 12
12
–
m
12
= 6
6m – 12 = 72
m = 14 Rpta. C
9 P(x,y) 3a x y z 2 3b x y z 3a x yz2 5 4 3 4 6 2 5 4 7 6
= + −
⇒ GA = 9 : Gx = 7
Piden: (GA)(Gx) = 9 . 7 = 63 Rpta. E
10 Q(x,y,z) 5x y z x y z 7x y za 2 b 5 6 a 3 b 4 a 1 b 6 3
= + +− + − − +
GA = 17
a – 1 = 6 ⇒ a = 7
GA = 17
a – 2 + b + 5 + 6 = 17
7 – 2 + b + 5 + 6 = 17
b = 1
Piden a – b = 7 – 1
= 6 Rpta. E
11
P(x,y) 2x y 3x y x y2m n 4 m n 2 2m n 3 m n 1 2m n 2 m n
= − ++ − + + + − + + + − +
GA = 28 ; Gx – Gy = 6
⇒2m + n - 2 - (m + n + 2) = 6
m - 4 = 6
m = 10
GA = 28
⇒2m + n - 2 + m + n = 28
3m + 2n = 30
30 + 2n = 30
n = 0
Piden: m + 4n = 10 + 4(0)
= 10 Rpta. B
12 Q(x) x 3x x xa b b c c d d 1
= + − ++ + + +
Es completo y ordenado
⇒ d + 1 = 3 ⇒ d = 2
c + d = 2
c + 2 =2 ⇒ c = 0
b + c = 1 ⇒ b = 1
b + 0 = 1
a + b = 0 ⇒ a = -1
a + 1 = 0
Pide: a = - 1 Rpta. E
13 P(x) x x x xb 1 a c a b c d
= + + +− + + +
es completo y ordenado
⇒b - 1 = 0 ⇒ b = 1
a + b = 2 ⇒ a = 1
a + 1 = 2
a + c = 1 ⇒ c = 0
1 + c = 1
c + d = 3 ⇒ d = 3
o + d = 3
Piden: a + b + c + d
1 + 1 + 0 + 3 = 5 Rpta. E
14
P(x,y) ax by x x y ya 12 a 3 13 bb a bb a
= + + +
−
GA = 16
⇒ ab
= 16 ^ ba
= 16
a = 4 b = 2
Piden: a + b + 2 = 4 + 2 + 2 = 8 Rpta. A

105
POLINOMIOS
15 Si: . . . . + 3xa
yb
+ 5xa-1
y4
+ 7x3
yc
+ ...
es homogéneo y ordenado
⇒ (a - 1) - 1 = 3 a = 5
a + b = a - 1 + 4
b = 3
3 + c = 8
c = 5
Piden: a + b +c = 5 + 3 + 5 = 13 Rpta. C

106
entrelosdemas”
PONGO A PRUEBA MIS APRENDIZAJES
1 Calcula “m” si el siguiente monomio es de
segundo grado: -4 5 xm-5
.
A) 3 B) 4 C) 7 D) 8 E) 9
3 Si se cumple la siguiente identidad:
7x + 13 = m(x-1) + n(x + 4) calcula los valores
de “m” y “n”.
A) 2 y 3 B) 3 y 4 C) 4 y 5
D) 1 y 5 E) -3 y 4
4 Calcula el valor de “a” si el polinomio:
Q(x,y) = 3x2a+2
y2a
+ x2a-1
ya+5
es homogéneo.
A) -1 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
2 Calcula “n”. Si el término 24x2n
y3
es de grado
13.
A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1
Mx = -4 5 xm-5
GX
= 2
⇒ m - 5 = 2 m = 7 Rpta. C
Rpta. B
Rpta. C
Rpta. A
Mx = 24x2n
y3
G(X,y)
= 13
⇒2n + 3 = 13 n = 5
7x + 13 = m(x – 1) + n(x + 4)
7x + 13 = mx – m + nx + 4n
7x + 13 = x(m + n) + 4n – m
⇒ m + n = 7 ; 4n - m = 13
n = 4
m = 3
Piden m y n = 3 y 4
2a + 2 + 2a = 2a – 1 +a + 5
4a + 2 = 3a + 4
a = 2

107
POLINOMIOS
entrelosdemas”
1 Calcula el coeficiente del siguiente monomio,
sabiendo que es de grado 5.
P(x,y) = 12b2
xb+1
y2
A) 24 B) 32 C) 48 D) 52 E) 60
2 En cuánto excede el grado relativo de “x” al
grado relativo de “y” en:
(3xy2
+ 2x2
y3
)(x4
y2
- 5x3
y)
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
P(x,y) = nxn+2
ym+1
+2nx2n
ym-4
si es homogéneo.
A) 7 B) 14 C) 21 D) 28 E) 30
4 Indica si las afirmaciones son verdaderas (V) o
falsas (F).
I. Un polinomio completo de grado “2n”
posee (2n + 1) términos.
II. El grado de un polinomio siempre es
positivo.
III. Si P(x) = 0, entonces P(x) es un polinomio
idénticamente nulo.
IV: Si P(0) = -5, entonces el término
independiente es 0.
A) VFVF B) VVFF C) VVVV
D) FFFF E) VVVF
Rpta. C
Rpta. C
Rpta. B
Rpta. A
P(x,y) = 12b2
xb+1
y2
; GA =5
⇒ b + 1 + 2 = 5 b = 2
Piden: 12b2
= 12(2)2
= 48
P(x,y) = (3xy2
+ 2x2
y3
)(x4
y2
- 5x3
y)
P(x,y) = 3x5
y4
+ 2x6
y5
- 15x4
y3
- 10x5
y4
)
GX
= 6 ; GY
= 5
Piden: Gx
- Gy
= 6 - 5 = 1
n + 2 + m + 1 = 2n + m - 4
n = 7
Piden: ∑Coef = n + 2n = 3n = 3(7)
= 21
I. VERDADERO
II. VERDADERO
III. FALSO
IV. FALSO

108
entrelosdemas”
1 En el monomio: P(x,y) = 4(m + n) xm+5
y2n-3
el
grado absoluto es 28 y el coeficiente es 72.
Calcula “m - n”.
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
2 Si el grado de “A” es 18 y el mayor exponente
de “y” es 5 calcula el valor de: m + 2n.
A =xm+6
yn-2
– xm+2
yn-1
A) 20 B) 16 C) 9 D) 7 E) 4
3 Calcula:
P(1), en el polinomio completo respecto a “x”.
P(x) = 5x2n
- nx3
+ (n+1)x2
+ xn-1
- 3n
Es completo
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
4 Calcula el valor de “m” en el siguiente polinomio
completo y ordenado en forma ascendente.
P(x) = -2xm-3
+ xm/2
- 3xm-1
+ xm
Es completo y ordenado
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
GA = 28 ; Coef. = 72
⇒ 4(m + n) = 72 ; m + 5 + 2n – 3 =28
m + n = 18 m + 2n = 26
m = 10 ^ n = 8
Piden "m – n" = 10 – 8
= 2
⇒ n – 1 = 5 ; m+ 6 + n – 2 = 18
n = 6 m + 10 = 18
m = 8
Piden: m + 2n
= 8 + 2(6) = 20
Rpta. A
Rpta. A
Rpta. D
Rpta. A
⇒ n - 1 = 1
n = 2
∴P(x) = 5x4
– 2x3
+ 3x2
+ x – 6
Piden: P1
= 5(1) - 2(1) + 3(1) + 1 - 6 = 1
⇒ m – 3 =1
m = 4

109
POLINOMIOS
entrelosdemas”
ACTIVIDADES
PARA LA CLASE
1 Dados los polinomios:
C = 4x4
+ 7x2
+ 3x3
– 2+ 5x
D = –2x3
– 5x4
+ x2
– 3
E = 9x4
– 2x2
– x – 1
Calcula: (C + D + E)
3 ¿Cuánto le falta a:
3x2
+ 8x3
– 6x + 3 para ser igual a
4x2
+ 10x3
– 3x – 4?
2 Dados los polinomios:
M = 5x2
+ 3x5
– 4x3
– 6
J = x + 4x5
+ 3x2
– 4
N = 2x2
+ 3x – 2 – x5
Calcula: (N + J)– M
4 Si:
10x5
+ 8x4
+ 4x2
– 5x – 3 = B + 5x5
+ 6x4
– x2
+ 2x – 4
Calcula el polinomio “B”.
5 ¿Qué polinomo hay que agregarle a
3x7
+ 7x4
– x – 10 para obtener 3x7
+ 6x4
– x – 12?
6 El polinomio que se debe restar de
8x3 + 6x2 – 4x – 11; para obtener 7x3
+ 6x2 –
5x + 4;es:
Rpta. 5x5
+ 2x4
+ 5x2
– 7x + 1
Rpta. 4x3
+ 4x
Rpta. x3
+ x – 15Rpta. –x4
– 2
Rpta. 2x3
+ x2
+ 3x – 7
Rpta. 8x4
+ x3
+ 6x2
+ 4x - 6
⇒ 4x4
+ 3x3
+ 7x2
+ 5x – 2
–5x4
– 2x3
+ x2
– 3
9x4
– 2x2
– x – 1
8 x4
+ x3
+ 6x2
+ 4x – 6
⇒ 4x2
+ 10x3
– 3x – 4
–3x7
– 8x3
+ 6x – 3
2x3
+ x2
+ 3x – 7
⇒ 10x5
+ 8x4
+ 4x2
– 5x – 3
–5x5
– 6x4
+ x2
– 2x + 4
5x5
+ 2x4
+ 5x2
- 7x + 1
⇒ 8x3
+ 6x2
– 4x – 11
–7x3
– 6x2
+ 5x – 4
x3
+ x – 15
⇒ 3x7
+ 6x4
– x – 12
–3x3
– 7x4
+ x + 10
–x4
– 2
⇒ 3x5
+ 5x2
+ 4x – 6
–3x5
– 5x2
+ 4x3
+ 6
4x3
+ 4x

110
11 Reduce:
3x2
y + 5xy2
+ 7x2
y + 5x3
+ 20xy2
+ 3xy2
+ 7x2
y.
12 Si al sumar mx2
+ nx2
resulta px2
, calcula:
E =
m + n + p
p
7 Reduce:
3x2
- (x2
- [1 - (2x - 3)])- x2

8 Halla el coeficiente de:
P(x) - Q(x), si:
P(x) = 15x4
- 7x3
+ 13 - x
Q(x) = 13 + 15x4
- 8x3
- x
9 Suma los siguientes monomios:
M(x,y) = ax2
y3
z5
N(x,y) = bx2
y3
z4
, indica su coeficiente.
10 Si al polinomio:
P(x) = 3x2
y3
+ 5x8
y4
se le resta (2x8
y4
- 5)
obtenemos:
⇒ 2x2
– x2
+[1 – 2x + 3]
x2
– 2x + 4
⇒ 15x4
– 7x3
– x + 13
–15x4
+ 8x3
+ x – 13
x3
Piden: Coef. = 1
⇒ ax2
y3
z5
+ bx2
y3
z4
(az5
+ bz4
) x2
y3
Piden: Coef. = az5
+ bz4
⇒ 3x2
y3
+ 5x8
y4
–2x8
y4
+ 5
3x2
y3
+ 3x8
y4
+ 5
17x2
y + 28xy2
+ 5x3
Si: mx2
+ nx2
= px2
x2
(m + n) = px2
m +n = p
⇒ E =
m + n + p
p
=
p + p
p
E =
2p
p
E = 2

111
POLINOMIOS
entrelosdemas”
ACTIVIDADES
PARA LA CASA
1 Calcula la suma de los polinomios:
P(x) = 1 - x + x2
Q(x) = 2x2
+ x - 1
S(x) = 2 + 2x - x2
3 Reduce:
-[1 - (2x2
+ [3 - (2x - 1)] - 2)]
2 Dado los polinomios:
P(x) = 3x2
+ 5x3
+ x + 17
R(x) = -4x2
+ x + 5x3
+ 17
Calcula: P(x) - R(x).
4 ¿Cuánto le falta a: 18x5
- 3x2
+ 7x4
- 3x3
+ 1?
Para ser igual a: 12x2
+ 8x4
+ 20x5
+ 2
5 Si al sumar axy2
+ bxy2
resulta: mxy2
.
Calcula: 2m
a + b
6 Simplifica:
-5ab - [4b - (2ab - a)] - [5a - (4ab - b) + 5b]
⇒ x2
– x + 1
2x2
+ x – 1
x2
+ 2x + 2
4x2
+ 2x + 2
–[1 – 2x2
– [3 – 2x + 1] + 2]
–[3 – 2x2
– 4 + 2x]
2x2
- 2x + 1
–5ab – 4ab + 2ab – a – 5a + 4ab – b – 5b
–3ab – 6a – 6bSi axy2
+ bxy2
= mxy2
xy2
(a + b) = mxy2
a + b = m
⇒
2m
a + b
=
2m
m
= 2
⇒ 20x5
+ 8x4
+ 12x2
+ 2
– 18x5
– 7x4
+ 3x3
+ 3x2
– 1
2x5
+ x4
+ 3x3
+ 15x2
+ 1
⇒ 5x3
+ 3x2
+ x + 17
–5x3
+ 4x2
– x – 17
7x2

112
1 Calcula la operación de los polinomios:
a) (7x + y)(2x + 5y)
b) (3x3
+ 2x2
- 3)(x - 2)
3 Calcula:

a) (0,8x + 0,2y)(5x2
- 10)
b) (0,6x2
y - 0,4x3
y2
)(0,5x5
y + 5xy2
)
2 Calcula la multiplicación de los Polinomios:
a) (2x3
y2
- 3x2
y4
+ xy)(x - 2)
b) (4x2
+ 3x + 2)(x3
- 2x2
- 1)
5 Completa la tabla escribiendo el producto. 6 Colocar el grado del polinomio y el término
independiente (si esta presente) que en cada
uno de los casos siguientes.
a) (-6x3
- 2x4
+ 4x5
+ x - 2)(-x2
+ 5x5
+ 6x3
- 3,
grado: , término independiente:
.
b) (12x5
+ 7x4
- 2x2
+ 3x - 13)(5x6
- 3x9
+ x + 8),
grado: , término independiente:
.
4 Calcula:
a) (x3a-1
+ 2xa-3
- 3xa
)(x3
- 6x)
b) (5x3a-2
- 2x2a-1
)(x4-a
+ 6x2
)
ACTIVIDADES
PARA LA CLASE
2
2b 3b+ 2 3
b 4b 1− + 3 2
10b b 2− −
2
2b b 3− +
3 2
4b 6b 3b 2+ + −
5 3
8b b 4b− +
2
5b 11b 2+ +
x
14x2
+ 35xy + 2xy + 5y2
14x2
+ 37xy + 5y2
2x4
y2
– 4x3
y2
– 3x3
y4
– 6x2
y4
+ x2
y – 2xy
3x4
– 6x3
+ 2x3
– 4x2
– 3x + 6
3x4
– 4x3
– 4x2
– 3x + 6
4x3
– 8x + x2
y – 2y x3a+2
– 6x3a
+ 2xa
– 12xa-2
– 3xa+3
+ 18xa+1
5x2a+2
+ 30x3a
– 2xa+3
– 12x2a+1
10
14
6
– 104
0,3x7
y2
+ 3x3
y3
– 0,2x8
y3
– 2x4
y4
4x5
- 8x4
- 4x2
+ 3x4
- 6x3
+ 3x + 2x3
- 4x2
- 2
4x5
- 5x4
- 4x3
- 8x2
+ 3x - 2

113
POLINOMIOS
7 Multiplica:
a) 2a (3ax + 9ay - 5a4
z)
b) 9m2
n(4m + 3n - 5m3
n)
9 Halla el área de la siguiente figura:
x + 2
x2
- 2x + 4
11 Halla el volumen del siguiente sólido:
x+1
x+1
x + 1
8 Al multiplicar:
P(x) = 5x3
y4
Q(x) = y5
- 3x4
y + 5xy
Se obtiene como suma de coeficientes.
10 Calcula el área de la siguiente figura:
x + 2
3x2
+ 5x + 1
12 Efectúa:
(xy - 2y2
)(3x - y) – xy (3x - y)
6a2
x + 18a2
y - 10a5
z
⇒ (5x3
y4
)(y5
- 3x4
y + 5xy)
=5x3
y9
- 15x7
y5
+ 25x4
y7
Piden: ∑coef. = 5 - 15 + 25
= 15
36m3
n + 27m2
n2
- 45m5
n2
A =
(x2
- 2x + 4)(x + 2)
2
A =
x3
+ 8
2
A = (3x2
+ 5x + 1)(x + 2)
A = 3x3
+ 11x2
+ 11x + 2
V = (x + 1)(x + 1)(x + 1)
V = (x + 1)3
V = x3
+ 3x + 3x2
+ 1
(3x2
y – xy2
– 6xy2
+ 2y3
) – (3x2
y – xy2
)
3x2
y - 7xy2
+ 2y3
- 3x2
y + xy2
2y3
- 6xy2

114
entrelosdemas”
ACTIVIDADES
PARA LA CASA
1 Al multiplicar:
A(x) = 14 x3
B(x) = 2 x12
C(x) = 28 x
Se obtiene como coeficientes:
3 Efectúa los polinomios:
a) (6x + 3)(7x - 2)
b) (2x2
+ 1)(3x - 4)
c) (2x2
- 3x + 2)(x + 4)
2 Halla el volumen de la siguiente figura:
3xy
x3
- 1
x2
+ 5
4 Calcula:
a) (2
3
ax8
-
5
3
a3
x)(3x2
- 9ax)
b) (0,2x2
+ xy)(0,3x + 0,5y)
5 Calcula el producto de:
(2b2
+ b - 4) (10b3
- b2
- 2)
6 Colocar el grado de polinomio y el término in-
dependiente (si esta presente) que resulten en
cada uno de los casos siguientes:
a) (7x5
+ 8x4
+ 3x3
+ 2) (9x6
- 3x + 10),
grado: , término indepen-
diente:
.
b) (-3x2
+ x4
- 2x3
- 1) (-7x6
+ 10 - x4
),
grado: , término indepen-
diente:
.
⇒ A(x)
B(x)
C(x)
= 14x3
· 2 x12
· 28 x
= 282
· x16
= 28x16
Piden: Coef. = 28
V = (x2
+ 5) (3xy) (x3
– 1)
V = (3x3
y + 15xy) (x3
– 1)
V = 3x6
y – 3x3
y + 45x4
y – 15xy
42x2
- 12x + 21x - 6
42x2
+ 9x - 6
0,6x3
+ 0,1x2
y + 0,3x2
y + 0,5xy2
0,6x3
+ 0,4x2
y + 0,5xy2
2x3
+ 8x2
– 3x2
– 12x + 2x + 8
2x3
+ 5x2
– 10x + 8
20b5
– 2b4
– 4b2
+ 10b4
– b3
– 2b – 40b3
+ 4b2
+ 8
20b5
+ 8b4
– 41b3
– 2b + 8
6x3
- 8x2
+ 3x - 4
2ax10
- 6a2
x9
- 5a3
x3
+ 15a4
x2
11
20
10
-10

115
POLINOMIOS
entrelosdemas”
ACTIVIDADES
PARA LA CLASE
1 Aplica productos notables y calcula el resultado de:
2 Halla el binomio que da origen a cada trinomio cuadrado perfecto:
3 Calcula el producto de los binomios siguiente:
b) (2x2
+ y)2
c) ( )
2
= x2
- 16x + 64
b) x2
- 2 3 + 3 = ( )
2
a) (2x + 3)2
a) ( )
2
= 9x2
+ 12x + 4
c)
2
4 1
3x
2
 
+ = 
 
d) ( )
2
= 16y
2
- 40y + 25
e) 4x2
- 12x + 9 = ( )
2
j) x2
- 4 5 + 20 = ( )
2
d) (0,5 + x)2
f)
25
4
x2
+ 5x + 1 = ( )
2
f) (3 – 2x)2
i) 4x2
+ x +
1
16
= ( )
2
i) (x6
– 3y3
)2
h) (y5
– 2x3
)2
g)
2
2
y
3
 
− = 
 
h) ( )
2
= x2
+ 2x + 1
e) (x – 2)2
g) ( )
2
= x2
+ 24x + 144
a) (4 + y)(y – 4)
b) (x2
– 2)(x2
+ 2) d)
  
+  
  
6 61 1
x – x
2 2
r) ( )( )+ =2 2
6x 0,2 6x – 0,2
e)   
+  
  
3 31 1
0,2x – 0,2x
2 2
c) (7 + x)(x – 7)
4x2
+ 12x + 9
(3x + 2)2
=
(x + 12)2
=
(x + 1)2
=
(x – 8)2
=
x4
– 4
y2
– 16 x2
– 49
6x4
– 0,04
0,04x6
–
1
4
x12
–
1
4
(4y – 5)2
=
= (x – 3 )2
= (
5
2
x + 1)2
= (2x +
1
4
)2
= (x – 2 5 )2
= (2x – 3)2
0,25 + x + x2 = y2
-
4
3
y +
4
9
x2
- 4x + 4 y10
- 4x3
y5
+ 4x6
x12
– 6x6
y3
+ 9y6
9 - 12x + 4x2
4x4
+ 4x2
y + y2
9x8
+ 3x4
+
1
4

116
13 Reduce las expresiones siguientes:
a) (x + 10)(x – 2) – (x + 5)(x – 4)
b) (x + 6)(x – 2) – (x + 4)(x + 3)
12 Aplica las identidades de Legendre para hallar
el resultado de:
a) (2m2
+ p)2
- (2m2
- p)2
b) ( 7 - 3 y5
)2
+ ( 7 + 3 y5
)2
c) (x2
- y4
)2
- (x2
+ y4
)2
11 Efectúa los siguientes trinomios al cubo, apli-
cando productos notables:
a) (x + 2y + 1)3
b) (x2
+ 3y2
+ 2)3
10 Escribe el producto de los binomios siguientes:
a) (5x3
+ 1)(25x6
– 5x3
+ 1)
b) (2a - 3b)(4a2
+ 6ab + 9b2
)
9 Utiliza productos notables para hallar el resul-
tado de:
a) (10y – 4x + 2)2
b) (x2
+ y3
– 6)3
= x6
+ y9
- 216 + 3x4
y3
8 Completa los espacios punteados según corres-
ponda.
a) (x3
+ 5) ........................ = x6
+ 10x3
+ 25
b) 4x8
- 4 3x4
+ 3 = (.............. )2
c) (..................)(3x + 8) = 6x4
+ 16x3
d) (3x - 4)8
( ............... )4
= (3x - 4)12
7 Escribe directamente el producto de los binomios
siguientes:
a) (x - 3)(x - 4)
b) (x + 4)(x + 6)
c) (3x - 1)(-x + 5)
d) (2x + 3)(x - 2)
6 Aplicando la fórmula del binomio de Newton,
halla el resultado de:
a) (0,5 + x)6
b) (x - 3)8
5 Aplica productos notables para hallar el resultado
de:
a) (0,2 + x)3
b) (x + 6)3
c) (3 - x
2 )
3
4 En los siguientes ejercicios, halla lo dos factores
cuyo producto resulte lo que corresponde en
cada caso.
a) ( )( ) = x6
- 4/9
b) ( )( ) = x6
y4
- 1
c) ( )( ) = x4
- 9
d) ( )( ) = x10
- 25/9
=(x2
+
2
3
)(x3
– 2
3
)
=(x5
+
5
3
)(x5
– 5
3
)
= 27 –
27
2
x + 9
4
x2
– x3
8
= (x3
y2
+ 1)(x3
y2
– 1)
= (x2
+ 3)(x2
– 3)
= 0,008 + 0,6x2
+ 0,12 + x3
= (0,5)6
+ 6(0,5)5
·x + ... + x6
= 125x9
+ 1
= x3
+ 8y3
+ 1 + 6x2
y + 3x2
+ 12y2
x
+ 12y2
+ 3x + 6y + 12xy
= x2
+ 8x - 20 - x2
- x + 20
= 7x
= x2
+ 4x - 12 – x2
– 7x – 12
= – 3x – 24
= x6
+ 27y6
+ 8 + 9x4
y2
+ 6x4
+ 27y4
x2
+ 54y4
+ 12x2
+ 36y2
+ 36x2
y2
= 8pm2
= 14 + 6y10
= – 4x2
y4
= 8a3
+ 27b3
= x2
- 7x + 12
= x2
+ 10x + 24
= –3x2
+ 16x – 5
= 2x2
- x - 6
100y2
+ 16x2
+ 4 – 80xy + 40y – 16x
– 18x4
+ 3x2
y6
+ 18y6
+ 108x2
+ 108y3
– 36x2
y3
(x3
+ 5)
2x3
3x - 4
2x4
– 3
= x8
- 8(x)7
· 3 + ... + 38
= x3
+ 18x2
+ 108x + 216

117
POLINOMIOS
ACTIVIDADES
PARA LA CASA
1 Aplica productos notables y halle el resultado
de:
3 Halla el binomio que da origen a cada trinomio
cuadrado perfecto:
a) ( )2
= x2
- 10x + 25
b) ( )2
= x2
- 26x + 169
c) 2 2 1
( ) x x
4
= − +
5 Escribe el producto de los binomios siguientes.
a) (x + 2)(x – 2)
b) (3y + 5)(3y – 5)
c) ( )( )3 x 2 2 3x+ − =
7 En los siguientes ejercicios, halla los dos factores
cuyo producto resulte lo que corresponde en
cada caso.
a) ( )( ) = x12
- 144
b) ( )( ) = 49 - 4x2
c) ( )( ) = 4y2
- x8
2 Aplica productos notables, halle el resultado de:
4 Aplica la fórmula del binomio de Newton, halle
el resultado de:
a) ( )4
x 2+ =
b)
10
1
x
y
 
− = 
 
6 Aplica productos notables para hallar el resulatdo
de:
a) (x2
+ 3x + 2)2
b) (7x + 2x2
+ 1)2
8 Aplica las identidades de Legendre para hallar el
resultado de:
a) (4x + 5)2
+(4x – 5)2
b) ( 3 x + 12y)2
- ( 3 x - 12y)2
a) ( )3
x 3+ =
b)
3
1
x
2
 
+ = 
 
c) ( )
3
3 y 2− =
a) (x + 3)2
b) (x + 7)2
c)
2
1
2x
4
 
+ = 
 
(x – 5)2
= x2
– 4
= (x6
+ 12)(x6
– 12)
= 32x2
+ 50
= 4 36xy
= 24xy
= (7 + 2x)(7 – 2x)
= (2y + x4
)(2y - x4
)
= 9y2
– 25 x4
+ 9x2
+ 4 + 6x3
+ 4x2
+12x
49x2
+ 4x4
+ 1 + 28x3
+ 14x + 4x24 - 3x3
= x2
+ 6x + 9 = x3
+ 9x2
+ 27x + 27
= x4
– 4(x3
)(2) + ... + 16
= y - 6 y2
+ 12 y - 8
= x2
+ 14x + 49
= 4x2
+ x +
1
16
= x3
+
3
2
x2
+
3
4
x +
1
8
= x10
– 10(x9
)(
1
y
)... +
1
y10(x – 13)2
(x –
1
2
)2

118
APLICO MIS
APRENDIZAJES
1. D
2. B
3. A
4. B
5. B
6. D
7. E
8. B
9. C
10. D
11. C
12. B
13. B
14. B
15. D
Clave de
Respuestas
1 Reduce: (x + 2)[(x + 2)2
- 4x + (x - 2)2
] - 16
A) x3
B) 8 C) 16
D) 2x3
E) x3
+8
2 Reduce: (x + 3)3
– 9(x + 1)(x + 2) – 9
A) x2
B) x3
C) x
D) x – 1 E) 2x3
3 Simplifica: T =
a3
+ b3
(a+b)2
- 3ab
– a
A) b B) a C) ab
D) 1 E) a+b
4 Si x2
+ y2
= 36 ∧ xy = 18 el valor de (x + y)2
2
es:
A) 48 B) 36 C) 27
D) 24 E) 26
5 Si a + b = 5 ∧ ab = 2, calcula el valor de: “ a - b”
A) 17 B) 17 C) 13
D) 13 E) 10
6 Calcula el valor de: R = ( 3 + 5 – 3 – 5 )
2
A) 1 B) 2 C) 3 5
D) 2 5 E) 4
7 Calcula el valor de:
M = ( x + y + x – y )
2
; para: x = 3 ; y = 5
A) 15 B) 16 C) 26
D) 14 E) 10
8 Simplifica: E = 1 + (x4
– 1
2x2 )
2
A) x 2x 1
2x
4 2
2
+ − B) x 1
2x
4
2
+ C)
x 1
2
2
+
D)
x
2
1
2x
2+ E) x 1
2
2
−
9 Resuelve:
E = (x – 1)(x + 2) + (x – 3)(x + 6) – 2(x + 1)2
A) –20 B) –18 C) –22
D) –21 E) –19
10 Con la condición: a + b + c = 0, calcula el equiva-
lente de: M = (a2
– b2
)
2
c2
– 4ab
A) a2
+ b2
B) bc C) ab
D) c2
E) ac
11 Si: x
1
x
3+ = , calcula el valor de: " x
1
x
"−
A) 7 B) 9 C) ± 5
D) ± 3 E) ±2
12 Si a – b = 3 ∧ ab = 2, halla el valor de: “a4
+ b4
”
A) 160 B) 161 C) 162
D) 163 E) N.A.
13 Simplifica: A =
(x + y)
4
– (x – y)
4
2x2
+ 2y2
A) xy B) 4xy C) x2
D) y2
E) x – y
14 Resuelve:
F = (a – b)3
+ (a + b)3
+ 3(a – b)2
(a + b) + 3(a + b)2
(a – b)
A) 8b3
B) 8a3
C) 4b3
D) 4a3
E) Cero
15 Si: a(x + b) + b(x + a) = 26 + x; halla el valor de
R =
1
a
+
1
b
.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 1/13 E) 1/26

119
POLINOMIOS
APLICO MIS
APRENDIZAJES
1. C
2. B
3. D
4. D
5. C
6. C
7. B
8. C
9. A
10. C
11. B
12. C
13. E
14. B
Clave de
Respuestas
1 Calcula: (x + 1)3
+ (x - 1)3
- 6x
A) 2x B) 2x2
C) 2x3
D) 6x E) x3
2 Reduce:
A = (1 + 3 + 6 + 2 )(1 + 6 - 3 - 2 )
A) 1 B) 2 C) 6
D) 3 E) 3
3 Calcula: A = (3 2 +2)2
+ (3 2 - 2)2
A) 40 B) 41 C) 43
D) 44 E) 46
4 Calcula:
M = [(a2
+ 3) - a] [(a2
+ 3) + a]
A) a4
+ a2
+ 9 B) a4
+ a2
- 9 C) a4
- 2a2
+9
D) a4
+ 5a2
+ 9 E) 2a4
+ a2
+ 9
5 Si: x +
1
x
= 4, calcula el valor de: M = x3
+
1
x3
A) 26 B) 25 C) 52
D) 68 E) 54
6 Si x3
– y3
= m ∧ x – y = n, halla el valor de “xy”.
A) m n
3n
3
− B)
m n
3
3
−
C) m n
3n
3
−
D)
m n
n
2 3
−
E)
m n
3n
3
+
7 Simplifica: R = (x + a)(x - a)(x2
+ a2
)(x4
+ a4
) + a8
A) x4
B) x8
C) x6
D) x16
E) Cero
8 Si a – b = b – c = 3, calcula el valor de:
T =
(a – b)
2
+ (b – c)
2
+ (a – c)
2
18
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
9 Resuelve:
(x2
+ 5x + 5)2
– (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4).
A) 1 B) 2 C) 3
D) x – 1 E) x + 1
10 Calcula el valor de: E = ( 5+ 24 – 5– 24)
2
A) 49 B) 6 C) 8
D) 18 E) N.A.
11 Si a b 5+ = y ab = 3, entonces: (a – b)2
; es:
A) 5 B) –7 C) –9
D) 12 E) 10
12 Dada la expresión: (a + 2b)2
+ (a – 2b)2
= 8ab.
Calcula el valor de : M =
2ab – b2
a2
A) 1 B) 2 C) 3/4
D) 2/4 E) 1/4
13 Si
a
b
+
b
a
= 62, entonces el valor de:
P = (a + b
ab
)
1/3
es:
A) 3 B)
ab
2
C)
a+b
2
D) ab E) 2
14 Si se cumple que:
(x + 1)5
+ x + 2= (x2
+ Mx + 3)(x3
+ 2x2
+ x + 1),
calcula el valor de “M”.
A) 2 B) 3 C) -3 D) 4 E) 5

120
APLICO MIS
APRENDIZAJES
1. D
2. C
3. E
4. D
5. B
6. B
7. E
8. B
9. B
10. C
11. D
12. C
13. B
14. A
15. E
16. D
17. B
18. C
Clave de
Respuestas
1 Calcula el equivalente de:
E = (x2
+
1
x2 )– 4(x +
1
x
)+ 6
A)
(x+1)2
x
B)
(x–1)2
x3
C)
x
x – 1
D)
(x–1)2
x
E)
(x – 2)2
x
2 Si
a
b
+
b
a
= 2, calcula el valor de: K =
2a+5b
9a – 2b
+
3b+a
b+a
A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 7
3 Resuelve:
E = (a + 3b + c)2
+ (a + 2b + c)2
– 2(a + b + c)(a + 4b + c)
A) 3a2
B) 4b2
C) 2c2
D) 6abc E) 5b2
4 Si
a
b
+
b
a
= 4, calcula el valor de: R =
(a-b)4
+ 4a2
b2
16a2
b2
A) 1 B) 2 C) 4 D) 1/2 E) 1/4
5 Si a2
+ b2
= 2b(a + b); a y b ≠ 0 calcula el valor de:
(a
b
+
b
a
+ 2)(a
b
+
b
a
– 2)
A) 2 B) 4 C) 1 D) 0 E) 9
6 Reduce:R= (x+1)(x+2)(x – 4)(x – 5) + 9 + 3x + 7
A) x B) x2
C) x2
– 3x
D) –x E) x2
– 3x + 7
7 Reduce: E = (a+1)2
(a2
+2a–1) – (a–1)2
(a2
–2a–1)3
A) 0 B) a+1 C) a – 1 D) 3a E) 2a
8 Si P = (a+b+c+d)(a – c+b – d)
Q = (a – b+c+d)(a – b – d – c)
Calcula el valor de K =
P - Q
4
A) 1 B) ab C) cd D) a2
+b2
E) abcd
9 Si a + b + c + d = 0, calcula el valor de:
R =
(a + b)2
+ (b + c)2
+ (c + a)2
a2
+ b2
+ c2
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
10 Simplifica:
E = (a + b + c + d)3
– (b + c + d)3
– 3a(b + c + d)(a + b + c + d)
A) b3
B) a2
C) a3
D) c3
E) d3
11 Simplifica:
S = (a + b +x)2
+ (a + b – x)2
+(x + a – b)2
+ (x – a + b)2
– 4(a2
+ b2
+ x2
)
A) 1 B) a C) b D) 0 E) 8ab
12 Resuelve:
Q = (x + 3)(x + 2)(x + 5)(x + 4) – (x2
+ 7x + 11)2
A) 1 B) 2 C) –1 D) –2 E) x2
13 Si se cumple que: 3
x
1
y
12
x 3y
+ =
+
, calcula el valor
de: M
x 6y
x
x
y
=
+
+
A) 3 B) 6 C) 9 D) 12 E) 8
14 Simplifica:
E = (x – 2)(x + 3)(x – 4)(x + 1) – x2
(x – 1)2
+ 14x(x – 1) – 24
A) Cero B) 1 C) –1 D) 2 E) –2
15 Calcula el valor numérico de:
M = (x + y + z + w)2
+ (x + y – z + w)2
– (x – y + z + w)2
– (x – y – z – w)2
; para: xy – zw = 9
A) 18 B) 54 C) 27 D) 36 E) 72
16 Reduce: E = (x2
+ 8x + 11)2
– (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7)
A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 20
17 Calculaelvalorde:M= 1 + 80(3
4
+ 1)(3
8
+ 1)(3
16
+ 1)
32
A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 9
18 Simplifica:
E = x4
+ 1 – (x+1)
3
(x–1)
3
(x2
–1)
5
(x2
+1)
8
(x4
–1)
210
A) 4 B) x C) 2 D) x4
E) 0

121
POLINOMIOS
RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓN Pag. 118
1 (x + 2)[(x + 2)2
- 4x + (x - 2)2
] - 16
(x + 2)[x2
+ 4x + 4 - 4x + x2
- 4x + 4] - 16
(x + 2)[2x2
- 4x + 8] - 16
2(x + 2)[x2
- 2x + 4] - 16
2(x3
- 2x2
+ 4x + 2x2
- 4x + 8) - 16
2(x3
+ 8) - 16
2x3
+ 16 - 16 = 2x3
Rpta. D
2 (x + 3)3
– 9(x + 1)(x + 2) – 9
x3
+ 9x2
+ 27x + 27 - 9(x2
+ 3x + 2) - 9
x3
+ 9x2
+ 27x + 27 - 9x2
- 27x - 18 - 9 = x3
Rpta. B
3 T =
a3
+ b3
(a+b)2
- 3ab
– a
=
a3
+ b3
- a((a + b)2
- 3ab)
a2
+ 2ab +b2
- 3ab
=
a3
+ b3
- a(a2
+ 2ab +b2
- 3ab)
(a2
- ab + b2
)
=
a3
+ b3
- a(a2
- ab + b2
)
a2
- ab + b2
=
b3
- a2
b - ab2
a2
- ab + b2
=
b3
+ a2
b - ab2
a2
- ab + b2
=
b(a2
- ab + b2
)
a2
- ab + b2
= b
Rpta. A
4 x2
+ y2
= 36 ∧ xy = 18
Piden: (x + y)2
2
x2
+ 2xy + y2
2
= 36 + 2(18)
2
= 72
2
= 36 Rpta. B
5 a + b = 5 ∧ ab = 2
a2
+ b2
= 21
Piden a – b
(a - b)2
= a2
+ b2
- 2ab
(a - b)2
= 21 - 2(2)
(a - b)2
= 17
a - b = 17 Rpta: B
6 R = ( 3 + 5 – 3 – 5 )
2
= ( 3 + 5
2
)– ( (3 + 5)(3 – 5))+( 3 + 5 )
2
= 3 + 5 - 2 9 - 5 + 3 - 5
= 6 - 2 4
= 6 - 4
= 2 Rpta: B
7 M = ( x + y + x – y )
2
= ( x + y
2
)+ 2 (x + y)(x – y) + ( x – y
2
)
= x + y + 2 x2
– y +x – y
= 2x + 2 x2
– y
Piden para x = 3 ^ y = 5
M = 2(3) + 2 9 – 5
M = 6 + 2 4
M = 10 Rpta. E
8 E = 1 + (x4
– 1
2x2 )
2
E = 1 +
x8
– 2x4
+ 1
4x4
E =
4x4
+ x8
– 2x4
+ 1
4x4
E =
x8
+ 2x4
+ 1
4x4

122
E = ( x4
+ 1
2x2 )
2
E =
x4
+ 1
2x2
Rpta. B
9 E = (x – 1)(x + 2) + (x – 3)(x + 6) – 2(x + 1)2
= x2
+ x – 2 + x2
+ 3x – 18 – 2(x2
+ 2x + 1)
= 2x2
+ 4x – 20 – 2x2
– 4x – 2
= –22 Rpta. C
10 Si a + b + c = 0
M = (a2
– b2
)
2
c2
– 4ab
=
((a + b)(a – b))
2
(–a – b)2
– 4ab
=
(a + b)
2
(a – b)
2
a2
+ 2ab + b2
– 4ab
=
(a + b)
2
(a – b)
2
(a – b)2
= (a + b)2
= (–c)2
= c2
Rpta. D
11 Si: x
1
x
3+ =
(x -
1
x )
2
= 9
x2
+
1
x2 + 2 = 9
x2
-
1
x2 = 7
Piden: x -
1
x
⇒ (x -
1
x )
2
= x2
+
1
x2 - 2
(x -
1
x )
2
= 7 - 2
(x -
1
x )
2
= 5
x -
1
x
= ± 5 Rpta: C
12 Si a – b = 3 ∧ ab = 2
(a - b)2
= 9
a2
+ b2
= 13
Piden: (a2
+ b2
)2
= 169
a4
+ b4
+ 2(ab)2
= 169
a4
+ b4
+ 2(2)2
= 169
a4
+ b4
= 161 Rpta: B
13 A =
(x + y)
4
– (x – y)
4
2x2
+ 2y2
=
(x2
+ 2xy + y2
)
2
– (x2
– 2xy + y2
)
2
2x2
+ 2y2
=
(x2
+2xy+y2
+x2
–2xy+y2
)(x2
+2xy+y2
– x2
+2xy-y2
)
2x2
+ 2y2
=
(2x2
+ 2y2
)(4xy)
2x2
+ 2y2
= 4xy Rpta: B
14 F = (a – b)3
+ (a + b)3
+ 3(a – b)2
(a + b) + 3(a + b)2
(a – b)
= (a – b)3
+ (a + b)3
+ 3(a – b)(a + b) + (a – b + a + b)
= (a – b)3
+ (a + b)3
+ 3(a – b)(a + b) (2a)
=a3
–3a2
b+3ab2
–b2
+a3
+3a2
b+3ab2
+b3
+6a(a2
–b2
)
= 2a3
+ 6ab2
+ 6a3
- 6ab2
= 8a3
Rpta: B
15 Si: a(x + b) + b(x + a) = 26 + x
ax + ab + bx + ab = 26 + x
x(a + b) + 2ab = 26 + x
⇒ a + b = 1 ^ ab= 13
Piden: R =
1
a
+
1
b
R =
a + b
ab
R =
1
13
Rpta: D

123
POLINOMIOS
1 (x + 1)3
+ (x - 1)3
- 6x
= x3
+ 3x3
+ 3x + 1 + x3
- 3x2
+ 3x – 1 – 6x
= 2x3
+ 6x - 6x
= 2x3
Rpta: C
2 A = (1 + 3 + 6 + 2 )(1 + 6 - 3 - 2 )
A = ((1 + 6 )+ ( 2 + 3 ))((1 + 6 ) - ( 3 + 2 ))
A = (1 + 6 )2
- ( 2 + 3 )2
A = (1 + 2 6 + 6)- (2 + 2 6 + 3)
A = 7 + 2 6 - 5 - 2 6
A = 2 Rpta: B
3 A = (3 2 +2)2
+ (3 2 - 2)2
A = (18 + 12 2 +4) + (18 –12 2 - 4)
A = 36 + 8
A = 44 Rpta: D
4 M = [(a2
+ 3) - a] [(a2
+ 3) + a]
M = (a2
+ 3)2
- a2
M = a4
+ 6a2
+ 9 - a2
M = a4
+ 5a2
+ 9 Rpta: D
5 Si: x +
1
x
= 4
⇒ (x +
1
x )
3
= 64
x3
+
1
x3 + 3x(1
x )(x +
1
x )= 64
x3
+
1
x3 +3(4) = 64
x3
+
1
x3 = 52 Rpta: C
6 x3
– y3
= m ∧ x – y = n
(x – y)3
= n3
x3
– y3
– 3xy(x – y) = n3
m – 3xyn = n3
m – n3
= 3xyn
xy =
m – n3
3n
Rpta: C
7 R = (x + a)(x - a)(x2
+ a2
)(x4
+ a4
) + a8
R = (x2
- a2
)(x2
+ a2
)(x4
+ a4
) + a8
R = (x4
- a4
)(x4
+ a4
) + a8
R = x8
Rpta: B
8 Si a – b = b – c = 3
T =
(a – b)
2
+ (b – c)
2
+ (a – c)
2
18
T =
3
2
+ 3
2
+ 6
2
18
T =
54
18
T = 3 Rpta: C
9 (x2
+ 5x + 5)2
– (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)
= (x2
+ 5x + 5)2
– (x2
+ 3x + 2)(x2
+ 7x + 12)
= x4
+ 10x3
+ 35x2
+ 50x + 25 - (x4
+10x3
+ 35x2
+50x +24)
= 1 Rpta: A
10 E = ( 5+ 24 – 5– 24)
2
= 5 24 – 2 (5+ 24) (5– 24) + 5 – 24
= 10 – 2 25– 24
= 10 – 2 (1)
= 8 Rpta: C
Comunicación Matemática pag 119

124
11 Si a b 5+ = ^ ab = 3
(a + b)2
= 5
a2
+ b2
+ 2ab = 5
a2
+ b2
= –1
Piden (a - b)2
= a2
+ b2
– 2ab
= – 1 – 2(3)
= – 7 Rpta: B
12 Si: (a + 2b)2
+ (a – 2b)2
= 8ab.
a2
+ 4ab + 4b2
+ a2
- 4ab + 4b2
= 8ab
2a2
+ 8b2
= 8ab
a2
+ 4b2
= 4ab
a2
- 4ab + 4b2
= 0
(a - 2b)2
= 0
a = 2b
Piden:M =
2ab – b2
a2
M =
2(2b)b – b2
(2b)2
=
3b2
4b2
M =
3
4
Rpta: C
13 Si A =
a
b
+
b
a
= 62
⇒
a2
+ b2
ab
= 62
a2
+ b2
= 62ab
a2
+ 2ab + b2
= 64ab
(a + b)2
= 64ab
a + b = 8 ab
Piden: P = (a + b
ab )
1/3
=
(8 ab
ab
)
1/3
= (8)1/3
= 2 Rpta: E
14 (x + 1)5
+ x + 2 =(x2
+ Mx + 3)(x3
+ 2x2
+ x + 1)
Para x = 1
(1+1)5
+ 1 + 2 = (12
+ M(1)+ 3)(13
+ 2(1)2
+ 1 + 1)
35 = (M +4)(5)
7 = M + 4
M = 3 Rpta: B
1 E = (x2
+
1
x2 )– 4(x +
1
x
)+ 6
Si: x +
1
x
= a
⇒ (x +
1
x
)
2
= a2
= x2
+ 2 +
1
x2
= a2
= x2
+
1
x2
= a2
- 2
⇒ E = (a2
– 2) – 4a + 6
E = a2
– 4a + 4
E = (a – 2)2
E = a – 2
⇒= x +
1
x
– 2
=
x2
+ 1 – 2x
x
=
(x - 1)2
x
Rpta: D
2 Si
a
b
+
b
a
= 2
⇒ a2
+ b2
= 2ab
a2
- 2ab + b2
= 0
(a - b)2
= 0
a = b
Piden: K =
2a+5a
9a – 2b
+
3b+a
b+a
=
2a + 5a
9a – 2a
+
3a + a
a + a
=
7a
7a
+
4a
2a
= 1 + 2 = 3 Rpta: C
3 E = (a + 3b + c)2
+ (a + 2b + c)2
– 2(a + b + c)(a + 4b + c)
⇒ a + b + c = x
(x + 2b)2
+ (x + b)2
– 2(x)(x + 3b)
= x2
+ 4bx + 4b2
+ x2
+ 2bx + x2
– 2x2
– 6xb
= 4b2
+ b2
= 5b2
Rpta: E
Resolución de problemas pag 120

125
POLINOMIOS
4 Si
a
b
+
b
a
= 4
a2
+ b2
= 4ab
a2
- 2ab + b2
=2ab
(a - b)2
= 2ab
(a -b)4
= 4a2
b2
R =
(a-b)4
+ 4a2
b2
16a2
b2
R =
4a2
b2
+ 4a2
b2
16a2
b2
R =
1
2
Rpta: D
5 Si a2
+ b2
= 2b(a + b)
⇒ a2
+ b2
= 2ab + 2b2
a2
– 2ab + b2
= 2b2
(a – b)2
= 2b2
a – b = 2 b
a = b( 2 + 1)

a
b
= 2 +1 ^
b
a
= 2 -1
Piden: (a
b
+
b
a
+ 2)(a
b
+
b
a
– 2)
⇒ ( 2 + 1 + 2 – 1 + 2)( 2 + 1 + 2 – 1 – 2)
= (2 2 + 2)(2 2 – 2)
= (2 2 )2
– 22
= 8 – 4 = 4
Rpta: B
6 R = (x+1)(x+2)(x – 4)(x – 5) + 9 + 3x + 7
R = (x2
+3x+2)(x2
–9x+20)+ 9 +3x+7
R = x4
–6x3
–5x2
+42x+40+9+3x+7
R = x4
–6x3
–9x2
–14x4
+42x+49+3x+7
R = (x2
- 3x)2
- 14(x2
- 3x) + 72
+ 3x + 7
R = ((x2
- 3x) 7)2
+ 3x + 7
R = x2
- 3x - 7 + 3x + 7
R = x2
Rpta: B
7 E = (a+1)2
(a2
+2a–1) – (a–1)2
(a2
–2a–1)3
E= (a2
+2a+1) (a2
+2a–1) – (a2
– 2a +1)(a2
– 2a – 1)3
E = (a2
+ 2a)2
– 1 – ((a2
- 2a)2
– 1)3
E = (a2
+ 2a)2
– 1 – (a2
– 2a)2
+ 13
E = (a2
+ 2a)2
– (a2
– 2a)23
E = (2a2
)(4a)3
E = 8a33
E = 2a Rpta: E
8 Si P = (a+b+c+d)(a – c+b – d)
P = [(a+b)+(c+d)][(a – c)+(b – d)]
P = (a + b)2
– (c + d)2
Q = (a – b+c+d)(a – b – d – c)
Q = [(a – b)+(c+d)][(a – b) – (d + c)]
Q = (a – b)2
– (c + d)2
Piden: K =
P - Q
4
=
(a + b)2
– (c + d)2
– (a – b)2
– (c + d)2
4
=
(a + b)2
– (a – b)2
4
K=
4ab
4
= ab Rpta: B
9 Si a + b + c + d = 0
⇒ a + b = – c
a + c = – b
b + c = – a
Piden: R =
(a + b)2
+ (b + c)2
+ (c + a)2
a2
+ b2
+ c2
R =
(–c)2
+ (–a)2
+ (–b)2
a2
+ b2
+ c2
R =
c2
+ a2
+ b2
a2
+ b2
+ c2
R = 1 Rpta: B
10 E = (a + b + c + d)3
– (b + c + d)3
– 3a(b + c + d)(a + b + c + d)
Si: b + c + d = x
E = (a + x)3
– x3
- 3a(x)(a + x)
= a3
+ 3a2
x + 3ax2
+ x3
– x3
– 3a2
x – 3ax2
= a3
Rpta: C

126
11
S = (a + b + x)2
+ (a + b – x)2
+(x + a – b)2
+ (x – a + b)2
– 4(a2
+ b2
+ x2
)
[(a + b) + x]2
+ [(a + b) – x]2
+[x + (a – b)]2
+ [x – (a - b)]2
– 4(a2
+ b2
+ x2
)
S = 2[(a + b) + x2
]+2[x2
+ (a – b)2
] + 4x2
– 4(a2
+ b2
+ x2
)
S = 2[2(a2
+ b2
)]+ 4x2
– 4(a2
+ b2
+ x2
)
S = 4(a2
+ b2
) + 4x2
– 4(a2
+ b2
+ x2
)
S =4(a2
+ b2
+ x2
) – 4(a2
+ b2
+ x2
)
S = 0 Rpta: D
12 Q = (x + 3)(x + 2)(x + 5)(x + 4) – (x2
+ 7x + 11)2
Q = (x + 3)(x + 4)(x + 2)(x + 5) – (x2
+ 7x + 11)2
Q = (x2
+ 7x + 12) (x2
+ 7x + 10) – (x2
+ 7x + 11)2
⇒ Q = (n + 12)(n + 10) - (n + 11)2

Q = n2
+ 22n + 120 - n2
- 22n - 121
Q = – 1 Rpta: C
13 Si 3
x
1
y
12
x 3y
+ =
+
3y + x
xy
=
12
x + 3y
(3y + x)2
= 12xy
9y2
+ 6xy + x2
= 12xy
9y2
- 6xy + x2
= 0
(3y - x)2
= 0
⇒ 3y = x
Piden:
3y + 6y
3y
+
x
y
M =
9y
3y
+ 3
M = 3 + 3
M = 6 Rpta: B
14 E = (x – 2)(x + 3)(x – 4)(x + 1) – x2
(x – 1)2
+ 14x(x – 1) – 24
E = (x – 2)(x + 1)(x + 3)(x – 4) – (x2
– x)2
+ 14x(x2
– x) – 24
E = (x2
– x – 2)(x2
– x – 12) – (x2
– x) + 14(x2
– x) – 24
Si: x2
– x = m ⇒ E = (m - 2)(m - 12) - m2
+ 14m - 24
⇒ m2
– 14m + 24 – m2
+ 14m – 24
E = 0 Rpta: A
15 M = (x + y + z - w)2
+ (x + y – z + w)2
– (x – y + z + w)2
– (x – y – z – w)2
⇒ M = [(x + y)+(z - w)]2
+ [(x + y) – (z – w)]2
– [(x–y)+(z+w)]2
+ [(x – y) – (z + w)]2
M = [2(x + y)2
+ 2(z- w)2
] - [2(x – y)2
+ 2(z+ w)2
]
M = 2(x + y)2
- 2(x - y)2
+2(z – w)2
- 2 (z + w)2
M = 2 [4xy] - 2[4zw]
M = 8xy - 8zw
M = 8(xy - zw)
Si: xy - zw = 9
M = 8(9)
M = 72 Rpta: E
16 E = (x2
+ 8x + 11)2
– (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7)
E = (x2
+ 8x + 11)2
– (x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5)
E = (x2
+ 8x + 11)2
– (x2
+ 8x + 7)(x2
+ 8x + 15)
Si: x2
+ 8x = m
⇒ E =(m+ 11)2
– (m + 7)(m + 15)
E = m2
+ 22m + 121 – m2
– 22m + 105
E = 16 Rpta: D
17 M = 1 + 80(3
4
+ 1)(3
8
+ 1)(3
16
+ 1)
32
M = 1 + (3
4
- 1)(3
4
+ 1)(3
8
+ 1)(3
16
+ 1)
32
M = 1 + (3
8
- 1)(3
8
+ 1)(3
16
+ 1)
32
M = 1 + (3
16
- 1)(3
16
+ 1)
32
M = 1 + 3
32
– 1
32
M = 3
3232
M = 3 Rpta: B
18 E = x4
+ 1 – (x+1)
3
(x–1)
3
(x2
–1)
5
(x2
+1)
8
(x4
–1)
210
E = x4
+ 1 – [(x+1)(x–1)]
3
(x2
–1)
5
(x2
+1)
8
(x4
–1)
210
E = x4
+ 1 – (x2
-1)
3
(x2
–1)
5
(x2
+1)
8
(x4
–1)
210
E = x4
+ 1 – (x2
-1)
8
(x2
+1)
8
(x4
–1)
210
E = x4
+ 1 – [(x2
–1)(x2
+1)]
8
(x4
–1)
210
E = x4
+ 1 – (x4
–1)
8
(x4
–1)
210
E = x4
+ 1 – (x4
–1)
1010
E = x4
+ 1 – x4
+ 1
E = 2 Rpta: C

127
POLINOMIOS
Razonamiento y demostración
entrelosdemas”
1 Reduce:
(x – 2)2
+ 4(x – 1)
A) 2x B) x2
C) x2
–1
D) x2
– 4x E) x2
–1
3 Si: a – b = 6 y ab = 7
Calcula el valor de: a3
– b3
A) 342 B) 432 C) 64
D) 50 E) 48
4 Simplifica:
M = (a + b)3
– b3
– 3ab(a + b)
A) 0 B) b3
C) a3
+ b3
D) ab E) a3
2 Si: x + y = 7 ∧ xy = 10 calcula el valor de:
x3
+ y3
A) 343 B) 210 C) 180
D) 140 E) 133
x2
– 4x + 4 + 4x – 4
= x2
Piden: (x + y)3
= 73
x3
+ y3
+ 3xy(x + y) = 343
x3
+ y3
+ 3(10)(7) = 343
x3
+y3
=133
Rpta: B
Rpta: E
Piden: (a – b)3
= 63
a3
– b3
– 3ab(a – b) = 216
a3
– b3
– 126 = 216
a3
– b3
=342
M = a3
+ b3
+ 3ab(a + b) - b3
- 3ab(a + b)
M = a3
Rpta: A Rpta: E

128
entrelosdemas”
1 Si: x +
1
x
= 8, calcula el valor de:
A = x2
+
1
x2
A) 64 B) 62 C) 32
D) 24 E) 16
2 Si: x2
+ x = 2
Calcula el valor de:
M = (x – 1)(x + 2)
A) 7 B) 2 C) 1
D) 0 E) –1
3 Si: x + y = 5 ; xy = 2 ; x > y.
Calcula el valor de: y – x
A) –21 B) 3 C) 17
D) – 17 E) 21
4 Calcula el valor de:
E = ( 103
– 23
)( 1003
+ 203
+ 43
)
A) 1 B) 2 C) 8
D) 10 E) 11
⇒ Si: (x +
1
x
)2
= (8)2
x2
+ 2 +
1
x2
= 64
Piden: x2
+
1
x2
= 62
M = X2
+ X - 2
M = 2 – 2
M = 0
Rpta: B Rpta: D
⇒ (x + y)2
= 52
x2
+2xy + y2
= 25
x2
+ 2(2) + y2
= 25
x2
+ y2
= 21
Piden: (y - x)2
= y2
- 2yx + x2
(y - x)2
= x2
+ y2
- 2xy
(y - x)2
= 21 - 2(2)
y - x = 17
Rpta: C
Rpta: C
E = 10003
+ 2003
+ 403
– 2003
– 403
– 83
E = 10 – 2
E = 8

129
POLINOMIOS
entrelosdemas”
1 Si: a2
+ b2
+ c2
= 8
Simplifica:
E = (a + b – c)2
+ (a – b + c)2
+ c2
A) 4 B) 8 C) 16
D) 32 E) 64
2 Reduce:
P =
(x + y)3
– (x + y)(x2
– xy + y2
)
3(x + y)
A) xy B) x+y C) x3
– y3
D) 1 E) x/y
3 Reduce:
M = (x + 1)(x2
+ x + 1)(x – 1)(x2
– x + 1) + 1
A) x3
B) x4
C) x6
D) x9
E) x10
4 Si se cumple: a3
+ b3
= 1
Calcula el valor de:
(a6
– b6
) – (a9
+ b9
)
A) (a+b)3
B) ab C) a3
b3
D) ab E) – (a+b)3
Rpta: C
Rpta: C
Rpta: C
Rpta: A
E = a2
+ b2
+ c2
+ 2ab - 2ac - 2bc + a2
+ b2
+
c2
- 2ab + 2ac - 2bc + 4bc
E = 2(a2
+ b2
+ c2
) - 4bc + 4bc
E = 2(8)
E = 16
P =
(x + y)[(x + y)2
– (x2
– xy + y2
)]
3(x + y)
P =
(x + y)2
– (x2
– xy + y2
)
3
P =
(x + y)2
– (x2
– xy + y2
)
3
P =
x2
+ 2xy +y2
– x2
+ xy - y2
)
3
P =
3xy
3
P = xy
M = (x +1)(x–1)(x2
+x+1)(x2
–x+1)+1
M = (x2
- 1)[(x2
+ 1)2
– x2
]+ 1
M = (x2
- 1)(x4
+ x2
+ 1) + 1
M = x6
+ x4
+ x2
- x4
- x2
- 1 + 1
M = x6
Piden: (a6
– b6
) – (a9
+ b9
)
⇒ (a6
+ b6
) – (a3
+ b3
)(a6
- a3
b3
+ b6
)
a6
+ b6
– (1)(a6
- a3
b3
+ b6
)
a6
+ b6
– a6
+ a3
b3
– b6
a3
b3

130
1 Cada una de las siguientes divisiones son exactas, calcula el polinomio cociente de cada una:
2 Calcula el cociente y residuo en cada división:
3 En cada caso calcula el cociente y residuo:
ACTIVIDADES
PARA LA CLASE
a) 4 3 23 1 2
x 2x x x 20
4 3 3
 
 
 
− + − − entre 2 4
x x 8
3
 
 
 
− − b)
15
2
10
9
x3
+ + x2
- x entre 23 1
2 3
4
x x
5
 
− 
 
+
a) (42x2n+2
–2x2n+4
+x2n+3
+24x2n+5
)÷(7xn+1
+6xn+2
)
a) (28x4
– 5x3
+ 22x2
– 7x +10) : (4x2
– 3x + 2)
Q(x) = 7x2
+ 4x + 5 Q(x) = 2x2
+ 5x + 7
b) (4x4
– 5x2
– 20x + 21) : (2x2
– 5x + 3)
b) (10xa
+ 12xa+2
– 25xa -1
– 7xa+1
) ÷ (4x2
– 5x)
28x4
– 5x3
+ 22x2
– 7x + 10
16x3
+ 8x2
– 7x
20x2
– 15x + 10
–(28x4
– 21x3
+ 14x2
)
–(16x3
– 12x2
+ 8x)
–(20x2
+15x + 10)
– – 0
4x2
– 3x + 2
7x2
+ 4x + 5
4x4
– 5x2
– 20x + 21
10x3
– 11x2
– 20x
14x2
– 35x + 21
–(4x4
– 10x3
+ 6x2
)
–(10x3
– 25x2
+ 15x)
–(14x2
– 35x + 21)
– – 0
2x2
– 5x + 3
2x2
+ 5x + 7
Q(x) = 4xn+3
– 5xn+2
+ 6n+1
Q(x) = 3x9
+2xa-1
+5xa-2
Q(x) = 3
4
x2
– x + 5
R(x) = 0 R(x) = 0
R(x) = –2x + 20
3
4
x4
– 2x3
+ 1
3
x2
– 2
3
x – 20
–x3
+ 19
3
x2
– 2
3
x
5x2
– 26
3
x – 20
–
3
4
x4
+ x3
+ 6x2
+x3
– 4
3
x2
– 8x
–5x2
+ 20
3
x + 40
–2x + 20
x2
– 4
3
x – 8
3
4
x2
– x + 5
15
2
x3
+ x2
– x + 10
9
5x2
–
8
3
x +
10
9
0
–
15
2
x3
+ 4x2
–
5
3
x
–5x2
+
8
3
x –
10
9
3
2
x2
– 4
5
x + 1
3
5x + 10
3
24x2n+5
– 2x2n+4
+ x2n+3
+ 42x2n+2
–30x2n+4
+ x2n+3
–24x2n+5
–28x2n+4
36x2n+3
+ 42x2n+2
– 0
7xn+1
+ 6xn+2
4xn+3
– 5xn+2
+ 6n+1
+30x2n+4
+ 35x2n+3
–36x2n+3
– 42x2n+2
12xa+2
– 7xa+1
+ 10xa
– 25xa -1
8xa+1
+ 10xa
20xa
– 25xa+1
–12xa+2
+ 15xa+1
–8xa+1
+ 10xa
–20xa
+25xa+1
– 0
4x2
– 5x
3x9
+2xa-1
+5xa-2

131
POLINOMIOS
4 Uitiliza la regla de Ruffini, halla el cociente y el resto en cada caso:
5 Aplica el método de Horner, halla el cociente y residuo de cada división:
a) (6x5
– 3x4
+7x3
+x2
– 10x+3) ÷ (2x+1) b) (x5
- 6x4
+ 13x + 26x2
+ 20)÷(x - 4)
a) (4x4
– 6x2
+ 5x3
+ 11x + 16) ÷ (x2
- 2x + 3) b) (5y5
+ 17y4
– 21y – 46 + 50y2
) ÷ (4y2
– 2y + y3
– 3)
6 Utiliza el teorema del resto, halla el residuo de
las siguientes divisiones.
a) (x8
– 4x7
+ 2x3
– 3) ÷ (x + 1) ; x = -1
b) (x6
– x3
b3
+ xb5
) ÷ (x + b) ; x = -b
7 Determina el valor de “n” para que el polinomio:
x6
– 5x3
– 4x2
+n sea divisible por (x – 2)
8 Calcula el valor de “z” para que el polinomio:
– x3
– 5x2
+ x + z sea divisible por (x + 4).
9 ¿Cuál es el valor de “k” para que el polinomio:
(x + 3y)7
+ (2x)3
y4
+ 7ky7
sea divisible por (x + 2y)?
x = –
1
2
x = – 4
1 –6 0 26 13 20
1 –2 –8 –6 –11 –24
4 –8 -32 –24 -444
⇒ Q(x) = 6x4
– 6x3
+ 10x2
- 4x –8 ⇒ Q(x) = x4
– 2x3
– 8x2
- 6x – 11
⇒ Q(x) = 4x2
+ 13x + 8 ⇒ Q(x) = 5x2
– 3x +22
⇒ R(x) = 0
⇒ R(x) = 0 ⇒ R(x) = 0
R(x) = 7 R(x) = – 24
R(x) = – 13x – 8 R(x) = –29x2
+ 14x + 20
R(x) =(–1)8
– 4(–1)7
+ 2(–1)3
– 3
x = 2
x = – 4 x = – 2y
(2)6
– 5(2)3
– 4(2)2
+ n = 0
64 – 40 – 16 + n = 0
n = –8
– (– 4)3
– 5(– 4)2
+ (– 4) + z= 0
64 – 80 – 4 + z = 0
z = 20
(–2y + 3y)7
+ (2 (–2y))3
y4
+ 7ky7
= 0
y7
– 64y7
+ 7ky7
= 0
– 63y7
+ 7ky7
= 0
k = –9
R(x) =(–b)6
– (–b)3
b3
+ (–b)b5
R(x) =b6
+ b6
– b6
R(x) =b6
R(x) =–2 + 4 – 2 – 3 = –3
4 5 -6 11 16
4 13 8 -13 -8
8 122
1
-3
26 -39
16 -24
6 –3 +7 +1 –10 +3
6 –6 10 -4 –8 7
–3 3 -5 2 4
–
1
2
12 -6 -9
5 17 0 50 -21 46
5 -3 22 -29 14 20
-20 10 15-4
1
3 -88 44 66
2

132
ACTIVIDADES
PARA LA CASA
1 Calcula el cociente y el residuo de la división:
a) (25x3
– 10x2
+ 12x – 9) ÷ (5x – 3)
3 Utiliza la regla de Ruffini, halla el resto y el co-
ciente.
(y4
+6y2
– 3y3
– 8y – 20) ÷ (y – 3)
2 Calcula el cociente y el residuo de la división:
a) (8x4
– 30x2
– 13x + 8) entre (1 – 5x + 2x2
)
4 Aplica el método de Horner, halla el cociente y
residuo.
(7x3
– 20x2
– 25x + 15) ÷ (x2
– 5x + 1)
5 Utiliza el teorema del resto, halla el residuo de
las siguientes divisiones.
a) (3x5
– 4x4
+ 2x – 10) ÷ (x – 2)
b) (2x3
– 5x2
– 2x – 3) ÷ (x – 3)
6 ¿Qué valor deberá tener “a” para que el polino-
mio: (x8
+ ay8
)y – ( 2 x3
)9
sea divisible por (x + y)?
25x3
– 10x2
+ 12x – 9
5x2
+ 12x
15x – 9
–25x3
+ 15x2
–5x3
+ 3x
–15x + 9
– –
5x - 3
5x2
+ x + 3
Q(x) = 5x2
+ x + 3
Q(x) = x3
+ 6x2
+ 10
Q(x) = 4x + 15
Q(x) = 4x2
+ 10x + 8
R(x) = 0
R(x) = −10
y = 3
R(x) = 43x
R(x) = 17x
8x4
+ 30x2
– 13x + 8
20x3
– 34x2
– 13x
16x2
– 23x + 8
–(8x4
– 20x³ + 4x2
)
–(20x3
– 50x2
+10x)
–(16x2
– 40x + 8)
17x
2x2
- 5x + 1
4x2
+ 10x + 8
1 -3 6 -8 -20
1 0 6 10 -10
3 0 18 303
7 -20 -25 15
7 15 43 0
35 -75
1
-1 75 -15
R(x) = 3(2)5
- 4(2)4
- 2(2) -10
R(x) = 96 - 64 - 4 - 10
R(x) = 18
R(x) = 2(3)3
- 5(3)2
- 2(3) - 3
R(x) = 54 - 45 - 6 - 3
R(x) = 0
x = − y
⇒ R(x) = 0
[(−y)8
+ ay8
]y − 23
(−y)9
= 0
y9
+ ay9
+ 8y9
= 0
y9
(1 + a + 8) = 0
9 + a = 0
a = -9

133
POLINOMIOS
ACTIVIDADES
PARA LA CLASE
1 Utiliza la regla de los cocientes notables, calcula el cociente de:
2 Aplica la regla de los cocientes notables, halla el cociente de:
a)
z2
- 9
z + 3
= z − 3

b)
2
16x 1
4x 1
−
−
= 4x + 1
c)
2
81y 9
9y 3
−
+
= 9y − 3
d)
2
144 25x
12 5x
−
−
= 12 + 5x
e)
2
169y 36
13y 6
−
−
= 13y + 6
f) ( )2 6
3
2a 3 4x
2a 3 2x
− −
− +
= (2a − 3) − 2x3
g)
8 6
4 3
0,16a 0,09b
0,4a 0,3b
−
−
= 0,4a4
+ 0,3b3
h) 1,44x6m
– 1,69y10m
1,2x3m
+ 1,2y5m
= 1,2x3m
− 1,3y5m
a)
6
2
8 x
2 x
+
+
⇒
23
+ (x2
)
3
2 + x2
= 22
− x2
(2) + (x2
)2
= 4 − 2x2
+ x4
b)
9
3
x 125
x 5
+
+
⇒
(33
)3
+ 53
x3
+ 5
= (x3
)
2
− 5(x3
) + 52
= x6
− 5x3
+ 25
c)
9 3
3
8p 27q
2p 3q
+
+
⇒
(2p3
)
3
+ (3q)3
2p3
+ 3q
= (2p3
)
2
− (2p3
)(3q) + (3q)2
= 4p6
− 6p3
q + 9q2
d)
0,125x18
+ 0,064y9
0,5x6
+ 0,4y3
⇒
(0,5x6
)3
+ (0,4y3
)3
0,5x6
+ 0,4y3
= (0,5x6
)
2
− (0,4y3
)(0,5x6
) + (0,4y3
)
2
= 0,25x12
− 0,2x6
y3
+ 0,16y6
e)
−
−
6 9
2 3
0,008y 0,001x
0,2y 0,1x
⇒
(0,2y2
)
3
− (0,1x3
)
3
0,2y2
− 0,1x3
= (0,2y2
)
2
+ (0,2y2
)(0,1x3
) + (0,1x3
)
2
= 0,04y4
+ 0,02x3
y2
+ 0,01x6
f)
( )3 12
4
2x a 8x
2x a 2x
+ −
+ −
⇒
(2x+a)3
− (2x4
)
3
(2x + a) − 2x4
= (2x + a)2
+ (2x + a)(2x4
) + (2x4
)
2

134
7 ¿Cuántos y términos posee el cociente notable:

2m 16
4 m
x – y
x – y
# Términos:
m2
4
=
16
m
m3
= 64
m = 4
8 Simplifica la expresión:
E =
 +
 
 + + 
5 5 4 4
x y x – y
– x
x y x y
E=(x4
−xy3
+x2
y2
−x3
y+y4
)−x(x3
−xy2
+x2
y−y3
)
E = x4
- xy3
+ x2
y2
- x3
y + y4
- x4
+ x2
y2
- x3
y + xy3
E = 2x2
y2
- 2x3
y + y4
3 Halla el quinto término de: −
−
6
x 729
x 3
.
Y señale también cuántos términos tiene el
desarrollo del cociente notable:
⇒
x6
− 33
x − 3
; n = 6
T5
= x6 - 5
(35 - 1
)
T5
= 81x
# Términos : 6
4 Halla el sexto término de: x 128
x 2
7
−
−
.
Señale también el número de términos que tiene
el cociente notable:
x7
− 27
x − 2
; n = 7
T6
= x7- 6
(36 - 1
)
T6
= 32x
# Términos : 7
5 Calcula el valor de “a” en:
2a 2 7a 1
2a 4 a 2
x y
x y
+ −
− +
−
−
para que
sea un cociente notable.
⇒
2a + 2
2a − 4
;
7a − 1
a + 2
2a2
+ 6a + 4 = 14a2
− 30a + 4
36a = 12a2
a = 3
6 Calcula el cuarto término del desarrollo de:

+
+
3
3
x 1
x 1
3
+
+
3
3
x 1
x 1
; n = 3
T4
= (x
1
3
)
3 -4
T4
= x
-3
Rpta. x
-3
Rpta. 2x2
y2
– 2x3
y + y4
Rpta. 32x
Rpta. 3
Rpta. 4
Rpta. 81x

135
POLINOMIOS
ACTIVIDADES
PARA LA CASA
1 Utiliza la regla de los cocientes notables, calcula el cociente de:
2 Aplica la regla de los cocientes notables, halla el cociente de:
3 Desarrolla:
3
x x 32
x 2
+
+
⇒
x
5
+ 25
x + 2
= x 4
− 2 x
3
+ 22
x
2
− 23
x + 24
= x2
− 2x x + 4x − 8 x + 16
4 Indicaeldesarrollode:
2
x –1
x –1
⇒
x
4
− 1 4
x − 1
= x 3
+ 1( x 2
) + 12
( x ) + 13
= x x + x + x + 1
c)
2
100a 49
10a 7
−
−
= 10a + 7
d)
2
169y 36
13y 6
−
−
= 13y + 6
c)
27 21
9 7
z w
z w
−
−
⇒
(z9
)
3
− (w7
)
3
z9
− w7
= (z9
)2
+ (z9
)(w7
) + (w7
)
2
= z18
+ z9
w7
+ w14
d) 125x6m
+ 64y12m
5x2m
- 4y4m
⇒
(5x2m
)
3
+ (4y4m
)
3
5x2m
− 4y4m
= (5x2m
)2
- (5x2m
)(4y4m
) + (4y4m
)
2
= 25x4m
- 20x2m
y4m
+ 16y8m
a)
2
y 64
y 8
−
+
= y + 8
b)
2
x 25
x 5
−
−
= x +5
a)
3
y 64
y 4
+
+
= y2
− 4y + 16
b)
12
4
1000a 1
10a 1
−
−
⇒
(10a4
)
3
- 13
10a4
- 1
= (10a4
)
3
+ (10a4
)(1) + 12
= 100a8
+ 10a4
+ 1
Rpta. x2
- 2x x + 4x - 8 x + 16 Rpta. x x + x + x + 1

136
Razonamiento y demostración
entrelosdemas”
APLICO MIS
APRENDIZAJES
"Recuerda tienes que ser persistente, no tienes
que detenerte hasta lograr tu cometido."
1 Divide: (4x 3x 2)3
+ − entre (2x 3x 2)2
− + y dar
como respuesta la suma del cociente y el residuo.
A) 8x – 8 B) 10x + 3 C) 2x + 3
D) 10x – 5 E) 10x – 8
2 Señala el cociente de la división:
(2x x 3 7x) : (2x+3)4 3
− − +
A) x 2x 3x 13 2
− + − B) x x 3x 33 2
+ − +
C) x x x 53 2
− + − D) x 2x x 13 2
+ + +
E) x 3x 3x 33 2
+ − +
3 ¿Cuánto vale “k” si la división: 3x x 3x k
3x 2x 1
3 2
2
− − +
+ −es exacta?
A) 1 B) 2 C) –2 D) 3 E) –1
4 Resuelve la división: (6x 2y xy):(y 2x)2 2
− − + ,
señala el cociente.
A) 3y – 2x B) 3x – 2y C) 3x + 2y
D) 3y + 2x E) 2x – 3y
5 Calcula la división:[(x 2) 1:(x 1)3
− + − ], señalando
el cociente:
A) x 7x 52
+ − B) x 7x 52
− + C) x 5x 72
+ +
D) x 5x 9
2
− + E) x 5x 72
− +
6 Calcula (a + b) en: P(x) 6x 11x 2x ax b5 4 2
= + − + + ,
sabiendo que es divisible por (3x x 3)2
+ − .
A) –7 B) –9 C) –11
D) –8 E) –10
7 Identifica el residuo de dividir: 12x 5x 6x 73 2
+ − +
entre (x 1)− .
A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) 0
8 ¿Para qué valor de “n” el polinomio:
P(x) 2x 5x nx 64 3
= − + + será divisible por (x+1)?
A) 10 B) 14 C) 15 D) 9 E) 13
9 ¿Cuántos términos admite el desarrollo del cociente
notable: x a
x a
25n 25n 25
n n 1
−
−
+
+
.
A) 30 B) 28 C) 32 D) 25 E) 20
10 Calcula el valor de “m”, si la siguiente expresión es
un cociente notable:
xm+54
+ y357
x4
+ y17
A) 30 B) 40 C) 45 D) 48 E) 50
11 x x x 112 8 4
+ + + es el cociente de:
A)
x 1
x 1
16
2
−
+
B)
x 1
x 1
16
−
−
C)
x 1
x 1
16
4
−
−
D)
x 1
x 1
12
4
−
−
E)
x 1
x 1
16
2
−
−
12 ¿Cuántos términos admite el desarrollo del cociente
notable:
a y
a y
10n 8 9n
n n 1
+
−
−
+
?
A) 15 B) 14 C) 132 D) 12 E) 11
13 El grado absoluto del término de lugar 6 del
siguiente cociente notable: x y
x y
3n 9 3n
3 2
+
+
+
es:
A) 9 B) 10 C) 18 D) 19 E) 21
14 Si xm-96
y14
es el octavo término de desarrollo del
cociente notable: xm
– y24
xp
– yq
, calcula: m + p + q.
A) 164 B) 142 C) 158 D) 185 E) 153
15 Calcula número de términos fraccionarios del
desarrollo. x45
– x-30
x3
– x-2
A) 15 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6
1. D
2. A
3. A
4. B
5. E
6. A
7. B
8. E
9. D
10. A
11. C
12. D
13. D
14. C
15. E
Clave de
Respuestas

137
POLINOMIOS
APLICO MIS
APRENDIZAJES
1 Calcula el residuo de dividir P/Q, siendo:
P x 2x 2 y Q= 2x x 23 2 2
= − + − +
A) x - 2 B) − −
7
4
(x 2) C)
7
2
(x 2)+
D) − −
7
2
(x 2) E) 2 - x
2 ¿Por cuánto se multiplica a: (5x x 1)2
− + para
obtener (25x 4x 1) ?3
+ +
A) 5x – 1 B) 5x + 1 C) 5x – 2
D) 5x + 2 E) 5x – 3
3 Calcula el menor coeficiente del cociente obteni-
do al dividir: (32x 1) entre (2x+1)5
− .
A) 1 B) –4 C) –16 D) –8 E) 2
4 Calcula el resto en: (3x 7x 1) : (x+1)3 2
− − .
A) –11 B) –9 C) –8 D) –7 E) –6
5 Dada la división: 14 2x 6x
(x x ) (1 x)
7 14
7
+ +
+ − +
.
¿Qué proposición será verdadera?.
I. El resto no es 22.
II. El máximo grado del resto es 6.
III. El cociente es de grado mayor que 7.
A) I B) II C) III
D) II y III E) Ninguna es verdadera
6 Calcula el resto de:
(9x2
- 6x + 2)8
- 38
x8
+ 1
3x - 2
A) 0 B) 1 C) –1 D) 2 E) –2
7 Determina la suma de cifras del residuo obtenido
en la división: (2x 3) 4x 1 : (2x 1)5 2
+ − + +
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
8 Indica el valor de verdad en cada caso:
I. Si (x3
+ 9x + 2)÷(x – 1), entonces: R(x) = 12
II. Si (x3
+ 10x + 3)÷(x2
– 1), entonces: R(x) = 11x.
III. Si (x2
+7x +31) ÷(x2
+x +90), entonces:R(x) = 6x – 59.
En cada proposición: R(x) es el residuo.
A) VFV B) VVF C) VFF
D) FVV E) FFF
9 Calcula el número de términos del desarrollo de:
−
−
15
3
x 32
x 2
A) 4 B) 5 C) 3 D) 6 E) 7
10 Indica el valor de verdad.
I. x y
x y
3 3
−
+
, es un cociente notable exacto
II. x y
x y
31 31
−
+
, es un cociente notable no exacto
III. x y
x y
5 n
+
+
, es un cociente notable si n = 5
A) VVV B) FVV C) VVF
D) FFV E) FFF
11 Halla el séptimo término del cociente notable:

x y
x y
33 363
3 33
−
− .
A) x y12 198
B) -x y12 191
C) x y10 33
D) -x y12 98
E) x y15 39
12 Determina el grado del término central del desa-
rrollo de:
x y
x y
11 22
2
−
−
A) 11 B) 15 C) 14 D) 12 E) 10
1. B
2. B
3. D
4. A
5. E
6. B
7. B
8. A
9. B
10. B
11. A
12. B
Clave de
Respuestas

138
APLICO MIS
APRENDIZAJES
1 Calcula: “m” y “n” en: P(x) 2x 3x nx m3 2
= + − + ,
sabiendo que es divisible por: (2x x 1)2
− − ; señalar:
(m + n).
A) 1 B) 2 C) –3 D) 4 E) –5
2 Sea P(x) x 5x 3x 23 2
= + − + , halla el resto de
dividir P(x) entre (x x 1)2
− + y proporcionar el valor
numérico de dicho resto, para x = 2.
A) 0 B) 2 C) –2 D) 4 E) –4
3 Halla “a” y “b” en P(x) = 4x 2x ax b5 3
− + + ,
sabiendo que es divisible por: Q(x) 2x 2x 13 2
= − +
Indicar: “ab”.
A) 2 B) 6 C) –2 D) –6 E) 4
4 Halla “a”, sabiendo que el cociente de la división:
(12x 27x ax 8) : (2x+3)4 2
− + + es divisible por
(x - 1).
A) 5 B) 7 C) 6 D) –5 E) –7
5 Calcula el resto en: x 5x 9
x 5
351 350
− +
−
.
A) 10 B) 9 C) 0 D) 1 E) 5350
6 El polinomio: P(x,y)= (x + y)4n
- 8n
(x4n
+ y4n
) es
divisible por (x – y). Halla el valor de “n”.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
7 Luego de dividir: 8x 2x 5x 9x 7
2x x 3
4 3 2
2
+ − + −
+ −
, indi-
car el residuo obtenido.
A) 2x + 5 B) 5x + 2 C) 2x + 3
D) 3x – 12 E) 2x – 5
8 Halla el residuo al dividir:
(x 3x 6) : (x 1)200 3 2
+ + − .
A) 3x+13 B) 3x+11 C) 3x + 9
D) 3x+7 E) 3x+5
9 Calcula “k” en: P(x) (x a) x kan n n
= + − − , sabiendo
que es divisible por (x + 2a). Asumir “n” impar.
A) 2n B) 2n+1 C)2n
–1
D) 2n – 2 E) 2n + 2
10 Calcula el resto de dividir:
x (2x) x 8x x 16x 6
x 2
40 20 13 10 6 2
− + − + − −
−
.
A) 1 B) 2 C) 8 D) –2 E) –6
11 Si la división:
bx bx 91x 19a
x 5x 1
4 3
2
− + −
− +
es exacta,
calcula el valor de: (ab + 3).
A) 2 B) 1 C) –1 D) 3 E) –2
12 Si la división: 8x ax bx 7
2x 1
3 2
− + −
−
es exacta, y ade-
más el cociente no tiene término lineal, calcula
b/a.
A)
1
7
B) 2 C) 3
D)
1
2
E)
7
2
13 Si al dividir: bx ax ab
x 2
3
+ +
+
se obtuvo por cocien-
te: bx 6x 92
+ − , el resto es:

A) -9 B) 9 C) 18
D) 0 E) 12
14 Halla el residuo de la división:
(x + 3b)7
- (x7
- 11b7
)
x + 2b
.
A) -116b7
B) -119b7
C)118b7
D) 140b7
E) 150b7
15 Señalar el quinto término del desarrollo del co-
ciente notable:
x a
x a
p p 40
2 3
−
+
+
.
A) x70
a12
B) x60
a12
C) x48
a12
D) x80
a12
E) x54
a12
16 Halla el décimo término del desarrollo del co-

139
POLINOMIOS
ciente notable:
xp
– y4p - 60
x3
+ y9
A) x27
y90
B) x30
y81
C) -x30
y81
D) -x81
y30
E) x28
y82
17 ¿Cuántos términos tiene el desarrollo del cocien-
te notable:
a4m+12
– x4m-3
am-8
– xm-9
A) 12 B) 13 C) 14
D) 15 E) 16
18 Halla el valor numérico del término del lugar 29,
para x = –1, del desarrollo del cociente:
(x + 3)36
– x36
2x + 3
A) 28 B) 256 C) 128
D) 64 E) 32
19 ¿Cuántos términos racionales tiene el cociente
notable siguiente:
x17,5
– y8,75
x – y4
A) 9 B) 12 C) 15
D) 36 E) 21
20 Si el cociente:
x6n+1
– y5n
x2n-3
+ yn
es exacto, halla el valor
de “n” (n ∈ IN)
A) 2 B) 4 C) 6
D) 8 E) 10
21 Si el cociente, xn
– y675
x3
+ yn
es notable, halla el grado
absoluto del término central de su desarrollo.
A) 633 B) 336 C) 308
D) 624 E) 663
22 ¿Cuántos términos posee el cociente notable
originado por:
xa+8
+ ya2
-91
x2
+ y
A) 10 B) 11 C) 12 D) 9 E) 8
23 ¿Qué lugar ocupa el término de grado 69 en el
desarrollo del cociente notable
x y
x y
60 90
2 3
−
−
?
A) 10° B) 11° C) 12°
D) 13° E) 14°
24 Dado el siguiente cociente notable: x y
x y
6n 40
n-4 4
−
−
;
indique el octavo término de su desarrollo.
A) x y14 16
B) x y28 12
C) x y12 28
D) x y12 15
E) x y2 3
25 Halla el coeficiente del cuarto término del desa-
rrollo de:
32x 243y
2x 3y
5 5
+
+
A) -108 B) -27 C) -54
D) -81 E) -12
26 Calcula el cuarto término del desarrollo.
(1
x )18
– x12
(1
x )3
– x2
A) x2
B) 1 C)
1
x
D) -1 E) x4
27 Si: A =
x3 . (x5
)a
– (y5
)a . (y10
)3
xa-1
– ya+2
es un cociente
notable, halla el valor de “a”.
A) 2 B) 5 C) 6
D) 3 E) 7
1. A
2. A
3. A
4. C
5. B
6. A
7. A
8. D
9. C
10. E
11. A
12. E
13. B
14. D
15. A
16. C
17. D
18. C
19. A
20. B
21. B
22. D
23. C
24. C
25. C
26. B
27. D
Clave de
Respuestas

140
1
4x3
+ 0x2
+ 3x − 2
6x2
− x − 2
8x − 8
−4x3
+ 6x2
− 4x
−6x2
+ 9x − 6
2x2
− 3x + 2
2x + 3
⇒ Q(x) = 2x + 3
R(x) = 8x - 8
Piden Q(x) + R(x) = 2x + 3 + 8x - 8
Q(x) + R(x) = 10x - 5 Rpta: D
2 2x4
− x3
+ 0x2
+ 7x − 3
−4x3
+ 0x2
6x2
+ 7x
−2x4
− 3x3
+4x3
+ 6x2
−6x2
− 9x
−2x − 3
+2x + 3
0
2x + 3
x3
− 2x2
+ 3x − 1
Piden: Q(x) = x3
- 2x2
+ 3x - 1 Rpta: A
3

3x3
− x2
− 3x + k
−3x3
− 2x + k
k − 1
−3x3
− 2x2
+ x
+3x2
+ 2x − 1
3x2
+ 2x − 1
x − 1
⇒ k - 1 = 0 k = 1 Rpta: A
4

6x2
− xy − 2y2
-4xy - 2y2
0
−6x2
− 3xy
+4xy + 2y2
2x + y
3x − 2y
Piden Q(x) = 3x − 2y Rpta: B
5 D(x) = (x - 2)3
+ 1
D(x) = x3
- 6x2
+ 12x - 8 + 1
D(x) = x3
- 6x2
+ 12x - 7
⇒ x3
− 6x2
+ 12x − 7
5x2
+ 12x
7x − 7
−x3
+ x2
+5x2
− 5x
−7x + 7
0
x − 1
x2
− 5x + 7
Piden: Q(x) = x2
− 5x + 7 Rpta: E
6
6x5
+ 11x4
+ 0x3
− 2x2
+ ax + b
9x4
+ 6x3
− 2x2
3x3
+ 7x2
+ ax
6x2
+ (a + 3)x + b
(a + 1)x + (b + 6)
−6x5
− 2x4
+ 6x3
−9x4
− 3x3
+ 9x2
−3x3
− x2
+ 3x
−6x2
− 2x + 6
3x2
+ x − 3
2x3
+ 3x2
+ x + 2
⇒ (a + 1)x + (b + 6) = 0
a + 1 = 0 ∧ b + 6 = 0
a = −1 ∧ b = − 6
Piden a + b = −1 − 6 = −7
Rpta: A
7 12x3
+ 5x − 6x2
+7
x − 1
Teorema del resto:
⇒ x − 1 = 0 x = 1
⇒ R(x) = 12(1)3
+ 5(1) − 6(1)2
+ 7
R(x) = 12 + 5 − 6 + 7
R(x) = 18 Rpta: B
8 Px es divisible por (x + 1)
⇒ R(x) = 0
Teorema del resto:
⇒ x + 1 = 0 x = −1
⇒ P(−1) = 0
2(−1)4
− 5(−1)3
+ n(−1) + 6 = 0
2 + 5 − n + 6 = 0
n = 13
Rpta: E
Razonamiento y demostración pág. 136
9
x25n
− a25n + 25
xn
− an+1
=
(xn
)25
− (an+1
)25
(xn
) − (an+1
)
# Términos = 25 Rpta: D
10
xm+54
+ y357
x4
+ y17
es cociente notable.

⇒
m + 54
4
=
357
17
m + 54 = 4 . 21
m = 30 Rpta: A

141
POLINOMIOS
15 Q = x45
– x-30
x3
– x-2
=
(x3
)
15
– (x-2
)
15
(x3)
– (x-2
)
Tk
= (x3
)
15-k
. (x-2
)
k-1
GA(Tk
) = 3(15 - k) + (k - 1)(-2) = 47 - 5k
Para Tk
sea fraccionario.
GA(Tk
) = 47 - 5k < 0 ⇒ k> 9,4
Pero: k ≤ 15 ⇒ 9,4 > k ≤ 15
k = {10, 11, 12, 13, 14, 15} = 6 términos
Rpta: E
11 x x x 112 8 4
+ + + = (x4
)
3
+ (x4
)
2
+ x4
+ 1
⇒ Q =
(x4
)
4
- 1
x4
- 1
=
x16
- 1
x4
- 1
Rpta: C
12
a y
a y
10n 8 9n
n n 1
+
−
−
+
es cociente notable

⇒
10n + 8
n
=
9n
n − 1
(10n + 8)(n − 1) = 9n2
10n2
− 10n + 8n − 8 = 9n2
(n − 4)(n +2 ) = 0
n = 4
⇒
a48
− y36
a4
− y3
=
(a4
)
12
− (y3
)
12
a4
− y3
# Términos: 12 Rpta: D
13 x y
x y
3n 9 3n
3 2
+
+
+
es cociente notable
⇒
3n +9
3
=
3n
2
6n + 18 = 9n
n = 6
⇒
x27
+ y18
x3
+ y2
=
(x3
)
9
+ (y2
)
9
x3
+ y2
⇒ T6
= (−1)6+1
. (x3
)9-6
. (y2
)6-1
T6
= −x9
y10
Grado(T6
) = 9 + 10 = 19 Rpta: D
14 Del cociente notable:
n =
m
p
=
24
q
; T8
= (xp
)n-k
. (yq
)k-1

Si k = 8 ∧ n =
24
q
⇒ T8
= xp(24
q
- 8) . y7q
= xm-96
. y14

7q = 14 ⇒ q = 2
P(
24
q
- 8) = m - 96
4p = m - 96
Si:
m
p
=
24
2
⇒ m = 12p
⇒ 4p = 12p - 96
p = 12 m = 144
Piden: m + p + q = 144 + 12 + 2
m + p + q = 158
Comunicación Matemática pág. 137
1

x3
– 2x2
+ 0x + 2
– 3
2
x2
– x + 2
– 7
4
x + 7
2
-x3
– 1
2
x2
– x
+ 3
2
x2
– 3
4
x + 3
2
2x2
– x + 2
1
2
x – 3
4
⇒ Rx = – 7
4
x + 7
2
= – 7
4
(x - 2) Rpta: B
2

25x3
+ 0x2
+ 4x + 1
5x2
− x + 1
−25x3
+ 5x2
− 5x
− (5x2
− x + 1)
0
5x2
− x + 1
5x + 1
⇒ Qx = 5x + 1 Rpta: B
3
32x5
+ 0x4
+ 0x3
+ 0x2
+ 0x - 1
-16x4
+ 0x3
8x3
+ 0x2
−4x2
+ 0x
2x − 1
−2
-32x5
- 16x4
+16x4
+ 8x3
−8x3
− 4x2
+4x2
+ 2x
−2x − 1
2x + 1
16x4
- 8x3
+ 4x2
- 2x + 1
⇒ Qx = 16x4
- 8x3
+ 4x2
- 2x + 1
Piden: Menor coef. = -8 Rpta: D

142
⇒ R(x) = x . x2
+ 10x + 3
R(x) = x+ 10x + 3
R(x) = 11x + 3 II. FALSO
III. Si x2
+ 7x + 31
6x - 59
-x2
- x - 90
x2
+ x + 90
1

R(x) = 6x - 59 III. VERDADERO
Rpta: A
9 x15
– 32
x3
– 2
= (x3
)15
– (2)5
x3
– 2
⇒ # Términos: 5
10 I. Teorema del resto: x = -y
R(x) = (-y)3
- y3
= -2y3

I. FALSO
II. Teorema del resto : x = -y
R(x) = (-y)31
- y31
= -2y31

II. VERDADERO
III. Teorema del resto: x = -y
R(x) = (-y)5
+ y5
= 0
III. VERDADERO
Rpta: B
11
x y
x y
33 363
3 33
−
−
=
(x3
)
11
- (y33
)
11
x3
- y33
⇒ Tk
= (x)n-k
. (y)k-1
T7
= (x3
)
11-7
- (y33
)
7-1
T7
= x12
- y198
Rpta: A
12
x y
x y
11 22
2
−
−
=
x11
- (y2
)
11
x - y2
⇒ Tk
= (x)n-k
. (y)k-1

k → central
n - k = k - 1 ⇒ k =n + 1
2
⇒ Tcentral
= x
n + 1
2
. (y2
)
n + 1
2
= x
11 - 1
2
. (y2
)
11 - 1
2
= x5
. y10

Piden: Grado (Tcentral) = 5 + 10 = 15
Rpta: B
4 Teorema del resto:
x + 1 = 0
x = -1
⇒ P(-1) = 3(-1)3
- 7(-1)2
- 1
P(-1) = -3 - 7 - 1
P(-1) = -11 Rpta: A
5 14 + 2x7
+ 6x14
(x - x7
) - (1 + x)

=
6x14
+ 2x7
+14
x7
- 1
6x14
+ 2x7
+ 14
8x7
+ 14
-6x14
+ 6x7
-8x7
+ 8
22
x7
- 1
6x7
+ 8
⇒ Qx = 6x7
+ 8
Rx = 22
I. Falso
II. Falso
III. Falso Rpta: E
3x - 2 ⇒ x =
2
3
⇒ P
(2
3 )= (9(2
3
)
2
- 6(2
3
) + 2)8
- 38
(2
3
)
8
+ 1

= (4 - 4 + 2)8
- 28
+ 1
= 28
- 28
+ 1
P
(2
3 )= 1 Rpta: B
2x + 1 ⇒ x = -
1
2
⇒ P
(-
1
2 )= (2
(-
1
2 )+ 3)5
- 4
(-
1
2 )
2
+ 1

= 25
- 1 + 1
= 32
Rx = 32
Piden ∑ cifras (Rx)= 3 + 2 = 5 Rpta: B
8 I. Si (x3
+ 9x + 2)÷(x – 1)
Teorema del resto: x = 1
⇒ P(-1) = (1)3
+ 9(1) + 2
R(x) = 12 I. VERDADERO
II. Si (x3
+ 10x + 3)÷(x2
– 1)
Teorema del resto: x2
= 1

143
POLINOMIOS
Resolución de Problemas pág.138
1 2x3
+ 3x2
– nx + m
4x2
+ x(1 – n) + m
(3–n)x +(m+2)
–(2x3
– x2
– x)
–(4x2
– 2x – 2)
2x2
– x – 1
x + 2
Si es divisible:
⇒ 3 - n = 0 ; m + 2= 0
n = 3 ; m = -2
Piden: m + n = - 2 + 3 = 1
Rpta: A
2 x3
+ 5x2
– 3x + 2
6x2
– 4x + 2
2x – 4 ≡ R(X)
–(x3
– x2
+ x)
–(6x2
– 6x + 6)
x2
– x + 1
x + 6

⇒ R(x) = 2x - 4
Piden R(2)= 2(2) - 4 = 0 Rpta: A
3 4x5
- 0x4
- 2x3
+ 0x2
+ ax + b
4x4
- 2x3
- 2x2
+ ax
2x3
- 2x2
+ x(a - 2) + b
4x5
- 4x4
+ 0x3
+ 2x2
-(4x4
- 4x3
+ 0x2
+ 2x)
-(2x3
- 2x2
+ 0x + 1)
(a - 2)x + (b - 1)
2x3
- 2x2
+ 0x + 1
2x2
+ 2x + 1
⇒ R(x) = (a - 2)x + (b - 1) = 0
a - 2 = 0 ^ b - 1 = 0
a = 2 ^ b = 1
Piden: ab = (2)(1) = 2
Rpta: A
4 12x4
+ 0x3
- 27x2
+ ax + 8
-18x3
- 27x2
ax + 8
-(12x4
+ 18x3
-(-18x3
- 27x2
)
-(ax +
3a
2 )
8 -
3a
2
2x + 3
6x3
- 9x2
+
a
2
Si Q(x) es divisible por. (x - 1)
⇒ Teorema del resto:
x - 1 = 0 ⇒ x = 1
Q(1) = 6(1)3
- 9(1)2
+
9
2
= 0
= 6 - 9 +
9
2
= 0
⇒ a = 6 Rpta: C
5 x351
- 5x350
+ 9
x - 5
Aplicando el teorema del resto:
x - 5 = 0 ⇒ x = 5
Para x = 5
⇒ (5)351
- 5(5)350
+ 9
5351
- 5351
+ 9
9 = residuo
Rpta: B
6 P(x,y)= (x + y)4n
- 8n
(x4n
+ y4n
) es divisible por (x – y).
x – y = 0 ⇒ x = y
⇒ (x + x)4n
– 8n
(x4n
+ x4n
) = 0
(2x)4n
– 8n
(2x4n
) = 0
x4n
(24n
– 23n+1
) =0
⇒ 24n
- 23n
+1 = 0
24n
= 23n+1
n = 1 Rpta: A
7
≡ R(X)
8x4
+ 2x3
– 5x2
+ 9x – 7
–2x3
+ 7x2
+ 9x
8x2
+ 6x – 7
–(8x4
+ 4x3
– 12x2
)
–(–2x3
– x2
+ 3x)
–(8x2
+ 4x – 12)
2x + 5
2x2
+ x – 3
4x2
– x + 4
Piden residuo: R(x) = 2x + 5 Rpta: A
8 x200
+ 3x3
+ 6
x2
- 1
x2
- 1 = 0 ⇒ x2
= 1
R(x) = x200
+ 3x3
+ 6
= (x2
)100
+ 3x(x2
) + 6
= 1100
+ 3x(1) + 6
= 1 + 3x + 6
R(x) = 3x + 7
Rpta: D

144
9 P(x) (x a) x kan n n
= + − −
Es divisible por (x + 2a) aplicando el teorema del
resto:
x + 2a = 0 ⇒ x = -2a
P(-2a) = 0
⇒ (-2a + a)n
- (-2a)n
- k.an
= 0
(-a)n
+ 2n
.an
- k.an
= 0
-an
+ 2n
.an
- k.an
= 0
(2n
- 1 - k)an
= 0
2n
- 1 - k = 0
k = 2n
- 1
Rpta: C
10 x (2x) x 8x x 16x 6
x 2
40 20 13 10 6 2
− + − + − −
−
.
x - 2 = 0 ⇒ x = 2
Residuo
= 240
- (2.2)20
+ 213
- 8(2)10
+ 26
- 16(2)2
- 6
= 240
- 240
+ 213
- 213
+ 26
- 26
- 6
Residuo = -6
Rpta: E
11
bx bx 91x 19a
x 5x 1
4 3
2
− + −
− +
es exacta
x2
- 5x + 1 = 0 ⇒ x2
= 5x - 1
Dividiendo(x2
= 5x - 1) = 0
bx4
- bx3
+ 91x - 19a = 0
b(x2
)2
- b(x2
)x + 91x - 19a = 0
b(5x - 1)2
- bx(5x -1) + 91x - 19a = 0
b(25x2
- 10x + 1) - 5bx2
+ bx + 91x - 19a = 0
20bx2
+ (91 - 9b)x + b - 19a = 0
(91 + 91b)x - 19b - 19a = 0
⇒
91 + 91b = 0
-19b - 19a = 0{ ⇒
91(b + 1) = 0
-19(a + b) = 0{
⇒
b + 1 = 0
a + b = 0{ ⇒
a = 1
b = -1{
Piden: ab + 3 = (1)(-1) + 3
= 2
Rpta: A
12 8x ax bx 7
2x 1
3 2
− + −
−
; es exacta
Dividiendo:
8x3
- ax2
+ bx - 7
(4 - a)x2
+ bx
(b - a
2
+ 2)x - 7
(b - a
2
+ 2)x + 1
2
(b - a
2
+ 2)
-(8x3
- 4x2
)
-(4 - a)x2
+ 1
2
(4 -a)x
( b
2
-
a
2
- 6)
2x - 1
4x2
+1
2
(4 - a)x + 1
2
(b - a
2
+ 2)
Término lineal: Q(x) = 0
⇒
1
2
(4 - a) = 0
a = 4
División exacta:
⇒ R(x) = 0 ⇒
b
2
-
a
4
- 6 = 0

b
2
-
4
4
- 6 = 0 ⇒ b = 14
Piden:
b
a
=
14
4
=
7
2
Rpta: E
13 bx ax ab
x 2
3
+ +
+
Dividendo por Ruffini:

b 0 a ab
-2 -2b 4b -2a -8b
b -2b a + 4b ab - 2a - 8b
⇒
Q(x) = bx2
- 2bx + (a + 4b)...(θ)
R(x) = ab - 2a - 8b ... (β){
Dato:
Q(x) = bx2
+ 6x - 9...(γ)
Comparando (θ) ^ (γ)
Q(x) = bx2
- 2bx + (a + 4b) = bx2
+ 6x - 9
⇒ -2b = 6 ^ a + 4(-3) = - 9
b = -3 ^ a = 3
Piden:
R(x) = ab - 2a - 8b
R(x) = 3(-3) - 2(3) - 8(-3)
R(x) = -9 - 6 + 24 = 9
R(x) = 9
Rpta: B

145
POLINOMIOS
14 Residuo
(x + 3b)7
- (x7
- 11b7
)
x + 2b
⇒ x + 2b = 0 ⇒ x = -2b
R(x) = (x + 3b)7
- (x7
- 11b)7
R(x) = (-2b + 3b)7
- (-2b) - 11(-2b)
R(x) = b7
+ 128b7
+ 11b7
R(x) = 140b7
Rpta: D
15 Por ser cociente notable:

p
2
=
p + 40
3
⇒ p = 80
Q =
x80
- a120
x2
+ a3
=
(x2
)40
- (a3
)40
x2
+ a3
T5
= (-1)5+1
. (x2
)40-5
. (a3
)5-1
T5
= x70
.a12
Rpta: A
16 Por ser cociente notable

p
3
=
4p - 60
9
3p = 4p - 60
p = 60
⇒
x60
- y180
x3
+ y9
=
(x3
)20
- (a9
)20
x3
+ a9

T10
= (-1)10-1
. (x3
)80-10
. (y9
)10-1
T10
= -x30
.y81
Rpta: C
17
4m+12
m-8
=
4m-3
m-9
(4m + 12)(m - 9) = (4m - 3)(m - 8)
4m2
- 24m - 108 = 4m2
- 35m + 24
11m = 132 ⇒ m = 12
⇒
a60
- x45
a4
- x3
=
(a4
)15
- (x3
)15
a4
- x3
# términos = 15 Rpta: D
18 Q =
(x + 3)36
– x36
(x + 3) + (x)
⇒ T29
= (-1)29+1
. (x + 3)36 -29
(x)29-1
T29
= (x + 3)7
(x)28
Para x = -1
T29
(-1) = (-1 + 3)7
.(-1)28
= 27
= 128 Rpta: C
19 Tk = x
35-k
2
. y
k-1
4

Los términos son racionales cuando:

35 - k
2
y
k - 1
4
son enteros (k ≤ 35)
35 - k = 2° ^ k - 1 = 4°
⇒ k = 4° + 1
k = 0 + 1 = 1
k = 4 + 1 = 5
k = 8 + 1 = 9
k = 12 + 1 = 13
k = 16 + 1 = 17
k = 20 + 1 = 21
k = 24 + 1 = 25
k = 28 + 1 = 29
k = 32 + 1 = 33
Estos valores de "K" cumplen:
35 - k = 2°
∴hay 9 términos. Rpta: A

6n + 1
2n - 3
=
5n
n
6n + 1 = 10n - 15 ⇒ n = 4 Rpta: B

n
3
=
675
n
⇒ n2
= 52
. 34

n = 45

⇒ Q =
x45
+ y675
x3
+ y45
=
(x3
)15 +
(y45
)15
x3
+ y45

Tcentral
= -(x3
)
15-1
2
. (y45
)
15-1
2

Tcentral
= x21
. y315

G.A(Tcentral
) = 21 + 315 = 336
Rpta: B

146
22
a + 8
2
y
a2
- 91
1
a + 8 = 2a2
- 182
2a2
- a - 190 = 0
2a +19
a -10
(2a + 19)(a - 10) = 0 ⇒ a = 10
n =
a + 8
2
=
10 + 8
2
= 9
# términos = 9 Rpta: D
23 (x2
)30
- (y3
)30
x2
- y3
Tk = (x2
)30 - k
- (y3
)k-1
G.R(Tk) =
⇒ 2(30 - k) + 3(k -1)= 69
60 - 2k + 3r - 3 = 69
k = 12 Rpta: C
6n
n - 4
= 40
4
6n = 10n - 40
n = 10
⇒
x6(10)
- y40
x10-4
- y4
=
x6(10)
- (y4
)10
x6
- y4
TB
= (x6
)10-8
(y4
)8-1
= x12
y28
Rpta: C
25 (2x)5
+ (3y)5
2x + 3y
T4
= -(2x)5-4
(3y)4-1
= -2x . 33
y3
= -54xy3
∴Coeficiente: -54
Rpta: C
26
((1
x )3
)6
– (x2
)6
(1
x )3
– x2
; n = 6
⇒ T4
= ((1
x )3
)6-4
. (x2
)4-1
T4
=
1
x6
. x6
T4
= 1
Rpta: B
27 A =
x3 . (x5
)a
– (y5
)a . (y10
)3
xa-1
– ya+2
A =
x3+5a
– y5a + 30
xa-1
– ya+2
⇒
3 + 5a
a - 1
=
5a + 30
a + 2
(3 + 5a)(a + 2) = (5a + 30)(a - 1)
5a2
+ 13a + 6 = 5a2
+ 25a - 30
a = 3
Rpta: D

147
POLINOMIOS
entrelosdemas”
1 Resuelve la división:
4x4
+ 13x3
+ 28x2
+ 25x + 12
4x2
+ 5x + 6
Indica su cociente:
4x4
+ 13x3
+ 28x2
+ 25x + 12
8x3
+ 22x2
+ 25x
12x2
+ 13x + 12
− (4x4
+ 5x3
+ 6x2
)
−(8x3
+ 10x2
+ 12x)
− (12x2
+ 15x + 18)
−2x − 6
4x2
+5x+6
x2
+ 2x + 3
Rpta: B
A) x2
- 2x - 3 B) x2
+ 2x + 3 C) x2
- 1
D) x2
+ 2x E) x2
+ x - 3
2 Identifica el resto de:

x31
– 2x21
+ 4x13
+ 9
x + 1
Para hallara el resto:
x + 1 = 0
x = − 1
⇒ x31
− 2x21
+ 4x13
+ 9
(−1)31
− 2(−1)21
+ 4(−1)13
+ 9
−1 + 2 − 4 + 9
6
Rpta: C
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 10
3 Calcula el valor de “a” si la siguiente expresión
es un cociente notable:

x201
+ y3n+128
x3
+ yn
⇒
201
3
=
3n + 128
n
201n = 9n + 384
192n = 384
n = 2
Rpta: C
A) – 10 B) – 2 C) 2
D) 4 E) 10
4 ¿Cuántos términos tiene el siguiente cociente
notable:

x4n+8
+ y4n
x4
+ y2
⇒
4n + 8
4
=
4n
2
n + 2 = 2n
n = 2
# Términos:
4(2)
2
= 4
Rpta: D
A) 32 B) 16 C) 8
D) 4 E) 2

148
entrelosdemas”
1 Calcula el valor de “m” si la siguiente expresión
es un cociente notable:

xm+66
+ y351
x2
+ y9
⇒
m + 66
2
=
351
9
m + 66 = 2(39)
m + 66 = 78
m = 12
Rpta: E
A) 25 B) 22 C) 18
D) 16 E) 12
2 ¿Cuántos términos admite el desarrollo del co-
ciente notable?

x30n
+ y30n+30
xn
+ yn+1
⇒
30n
n
= 30
# Términos : 30
Rpta: E
A) 72 B) 65 C) 62
D) 60 E) 30
3 Dado la división:
5x3
+ 7x2
+ x – 1
x + 1
Son verdaderas:
I. Es una división exacta.
II. El resto es -1.
III. El cociente es 5x2
+ 2x - 1.
⇒ I. (V) III. (V)
II. (F) ∴ I y III Rpta: D
A) I B) I y II C) II y III
D) I y III E) todas
4 Colocar verdadero (v) o falso (F).
I. Para hallar el resto se iguala el divisor a cero.
II. El método de Ruffini se utiliza el divisor de
primer grado.
III. En el método de Horner el divisor de primer
grado unicamente.
I. (V)
II. (V)
III. (F)
Rpta: D
A) VFV B) FFV C) VVV
D) VVF E) FFF
5x3
+ 7x2
+ x − 1
2x2
+ x
−x − 1
− (5x3
+ 5x2
)
− (2x2
+ 2x)
− (−x − 1)
0
x + 1
5x2
+ 2x − 1

149
POLINOMIOS
entrelosdemas”
1 Si la división es exacta:
6x5
+ x4
– 11x2
+ mx + n
2x2
+ 3x – 1
Calcula “m + n”.
6x5
+ x4
+ 0x3
− 11x2
+ mx + n
–8x4
+3x3
−11x2
–(6x5
+ 9x4
− 3x3
)
15x3
− 15x2
2x2
+ 3x − 1
3x3
− 4x2
–(–8x4
– 12x3
+ 4x2
)
A) 5 B) 37 C) –21
D) –12 E) –20
2 Calcula el término independiente del cociente
de dividir:
P =
2x4
- 7x3
+ 10x2
- 4x - 3
2x2
- x + 3
2x4
− 7x3
+ 10x2
− 4x − 3
6x3
+ 7x2
− 4x
10x2
− 13x − 3
–(2x2
− x3
+ 3x2
)
–(6x3
− 3x2
+ 9x)
–(10x2
− 5x + 15)
−8x−18
2x2
− x + 3
x2
+ 3x + 5
Q(x) = x2
+ 3x + 5 ⇒ T. I = 5
Rpta: E
A) 1 B) 2 C) 4
D) 3 E) 5
3 Halla el décimo término del desarrollo del co-
ciente notable:
x
60
- y180
x
3
- y
9
⇒
(x3
)20
- (y9
)20
x
3
- y
9
T10
= (x3
)20 -10
. (y9
)10-1
T10
= (x3
)
10
. (y9
)
9
T10
= x30
. y 81
Rpta: D
A) x28
y82
B) – x81
y3
C) x27
y90
D) x30
y81
E) – x30
y81
4 ¿Cuántos términos posee el cociente notable
orignado por:

x
m+8
+ y
m2
- 91
x
2
+ y
# Términos:
m + 8
2
=
m2
− 91
1
m + 8 = 2m2
− 182
2m2
− m − 190 = 0
2m + 19
m −10
⇒ (2m + 19) (m − 10) = 0
2m + 19 = 0 ∨ m − 10 = 0
m = −
19
2
m = 10
Rpta: C
A) 8 B) 9 C) 10
D) 11 E) 12

150
COEVALUACIÓN
INSTRUCCIONES:
ASPECTOS A EVALUAR:
1. Su actitud de apoyo para la elaboración del trabajo.
2. Participó activamente en las diferentes actividades del grupo.
3. Cumplió con lo elaborado.
4. Fue tolerante ante las ideas de otros y tomaba en cuenta sus opiniones.
5. Sus aportes los realizó pensando en beneficio del equipo.
Nombre del evaluador: ………………………..............................................
Equipo: ……………….................................................................................
En la primera columna escribe el nombre de cada uno de tus compañeros de equipo
sin incluir el tuyo. Asígnales una puntuación de 0 a 20 en cada uno de los aspectos
a evaluar y si crees necesario puedes colocar un comentario.
Compañeros
Aspectos a evaluar
Comentarios
1 2 3 4 5
1.
2.
3.
4.
5.
6.
auTOEVALUACIÓN
Nombre del ALUMNO:…………………………...........................................
Equipo:…………………..............................................................................
INSTRUCCIONES: Luego de completar tus datos responde los aspectos que señalan tu desempeño en
tu equipo de trabajo marcando con un aspa (X) en la columna de SI o NO y luego
completa el recuadro realizando una reflexión sobre tu participación.
REFLEXIONO SOBRE MI DESEMPEÑO EN EL EQUIPO:
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
N° Aspectos a evaluar SI NO
1. ¿Mostré entusiasmo en la participación de la actividad?
2. ¿Participé de manera activa en las diferentes actividades propuestas por el equipo?
3. ¿Realicé aportaciones que ayudaron al buen desempeño de mi equipo?
4. ¿Fui tolerante ante las ideas de mis compañeros?
5. ¿Cumplí puntualmente con lo acordado por el equipo?

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