Cap2 altimetría

Pontificia Universidad Católica de Chile.
Facultad de Ingeniería / Escuela de Construcción Civil.
Línea de Investigación: Tecnologías y Procedimientos Constructivos.
CAPITULO 2: ALTIMETRÍA
Topografía en los Proyectos de Construcción
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“CAPITULO 2: ALTIMETRÍA”
2.1.- Nivelación Geométrica. ...........................................................................................................................3
2.2.- Nivelación Trigonométrica.................................................................................................................... 46
2.2.1 Nivelación Trigonométrica Corta. .................................................................................................... 51
2.2.2 Nivelación Trigonométrica Larga.................................................................................................... 58
2.3.-Ejercicios Propuestos............................................................................................................................ 63
2.3.1- Nivelación Geométrica. .................................................................................................................. 63
2.3.2.- Nivelación Trigonométrica............................................................................................................. 64
2.4.-Preguntas de Contenidos...................................................................................................................... 66
2.4.1.- Responda si es Verdadera o Falsa, cada una de las siguientes aseveraciones: ........................ 66
2.4.2.- Preguntas de selección múltiple. .................................................................................................. 67

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La determinación de alturas es de gran importancia en los proyectos de construcción, ya que además de
conocer las cotas del terreno natural como antecedente para el proyecto, nos permite determinar, verificar
y/o rectificar las alturas de los distintos elementos significativos que conforman el proyecto.
Cuando se realiza una nivelación, es necesario determinar qué es lo que se desea medir, generalmente se
habla de medir puntos, los cuales se denominan como “A”, “B”, “P”,”Q” o como se desee nombrarlos, pero lo
esencial es que estos puntos determinan estados o situaciones altimétricas respecto de elementos de
construcción. Estos elementos pueden ser por ejemplo:
a) El sello de fundación de un edificio.
b) El radier de una casa.
c) La cota superior e inferior de la losa de una vivienda.
d) La altura piso cielo de los recintos de un edificio.
e) Las cotas de los puntos del eje de un canal de regadío.
f) La pendiente y bombeo de la calzada de una vía.
g) La altura de la cepa de un puente.
h) La profundidad mínima en un terminal marítimo o un puerto.
i) El desnivel o pendiente de la rampa de acceso a los subterráneos de un edificio.
j) La altura de un faro, torre de alta tensión o de un edificio y su verticalidad.
k) Alturas de corte y terraplén en un proyecto vial.
l) Las alturas de los puntos relevantes del perímetro de una sección tipo en un túnel.
m) Otros.
Por ejemplo cuando deseamos determinar la pendiente de la calzada de una vía (calle) se realizan
sucesivas mediciones entre puntos (los cuales se pueden denominar de la “A” a la “Z”).
Como se mencionó en el Capitulo N°1, la altimetría es el área de la topografía que trata los métodos
necesarios para obtener la posición “altimétrica” de puntos en terreno. Donde la posición altimétrica
corresponde a las elevaciones, alturas o cotas, o sea la distancia vertical entre estos puntos y un plano
horizontal de referencia.
La nivelación consiste, de manera genérica, en aplicar los procedimientos y utilizar los instrumentos
necesarios, que permitan determinar estas posiciones altimétricas y diferencias entre éstas y, en algunas
situaciones, obtener los datos necesarios para elaborar los planos topográficos altimétricos, en los diversos
proyectos de construcción. Entre estos proyectos, podemos mencionar edificaciones, urbanizaciones, obras
viales, obras de drenaje, obras ferroviarias, obras portuarias, canales, puentes, túneles, entre otros.
La altimetría se obtiene mediante nivelaciones directas o indirectas, entre las cuales se distinguen
principalmente 3 procedimientos:
a) Nivelación Geométrica: Corresponde a una nivelación directa, la cual utiliza un nivel topográfico para
realizar las mediciones. La diferencia de alturas se obtienen directamente, a través de lecturas sobre la
mira (trazos geométricos) con la ayuda del nivel topográfico, que como ya se dijo anteriormente genera
un plano perfectamente horizontal. Por tal motivo es directa, por cuanto se mide directamente en
terreno la altura entre el punto medido y el plano horizontal que genera el instrumento. Y se denomina
geométrica, dado que se aplica la suma y resta de trazos geométricos (lecturas sobre la mira).
Esta nivelación realiza exclusivamente visuales horizontales y utiliza el milímetro [mm] como unidad de
trabajo.
Entre otras, se pueden distinguir 3 subcategorías de nivelación geométrica:
- Nivelación Simple
- Nivelación Compuesta

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- Nivelación Compuesta Cerrada, con 1 o 2 Puntos de Referencia (PR).
b) Nivelación Trigonométrica: Corresponde a una nivelación indirecta, ya que la altura respecto del
horizonte, como no se puede medir directamente se determina indirectamente. Esta altura se determina,
a través del ángulo vertical comprendido entre el origen vertical del instrumento y el punto medido y de
la distancia horizontal existente entre el instrumento (estación) y dicho punto medido, utilizando una
función trigonométrica, de ahí su nombre de Nivelación Trigonométrica. El instrumento utilizado para
medir ángulos, verticales y horizontales, y poder realizar este tipo de nivelación corresponde a un
Teodolito (segundos) o Taquímetro (minutos), según sea la precisión requerida para el proyecto; y para
medir las distancias horizontales el Distanciómetro (cm) (instrumento electrónico para medir distancias)
que se monta sobre el teodolito o se emplea el mismo instrumento utilizando la constante y el retículo
estadimétrico de éste (dm). Normalmente el uso de un teodolito o taquímetro requiere el empleo de la
trigonometría para la obtención de las cotas de los puntos medidos.
Como el instrumento mide ángulos, la unidad de trabajo utilizada generalmente son minutos o segundos
centesimales (gradianes) y como el distanciómetro mide distancias la unidad es el cm.
La medición de visuales verticales, de origen cenital u horizontal, se ve restringida por el propio diseño
del instrumento utilizado, disminuyendo levemente el rango de medición posible.
c) Nivelación Barométrica: También es indirecta. Basa su medición en la presión atmosférica, utilizando
como unidad de medida los milímetros de columna de mercurio [mm Hg], la cual según la posición
altimétrica va variando. Para efectuar las mediciones se utiliza un barómetro de mercurio (solo
determina los cambios de presión) o un hipsómetro, el que para calcular la altitud (en metros) de un
lugar sobre el nivel del mar, toma como base el punto de ebullición del agua. El hipsómetro basa su
funcionamiento en la correlación existente entre el punto de ebullición de los líquidos y la presión
atmosférica, al considerar que según aumenta la altitud, a la cual se encuentra el agua, la temperatura
de ebullición de esta va disminuyendo.
Desde el punto de vista de su aplicación en los proyectos de construcción, se descarta el uso de este
tipo de nivelación, producto que la variación de la presión atmosférica, no depende solamente de la
altura a la cual se encuentra, sino que también depende de la temperatura, humedad, la gravedad y de
la densidad del “gas”, por lo cual no es posible obtener 2 mediciones iguales en un mismo punto en 2
momentos diferentes, afectando de gran manera la precisión de las mediciones. Además, al tener una
precisión al metro, no entrega la información con la precisión necesaria para estos proyectos, no es
posible que la cota de una plataforma cualquiera en un proyecto, se materialice con una posible
variación de 1m.
2.1.- Nivelación Geométrica.
La Nivelación Geométrica corresponde a un procedimiento altimétrico directo, mediante el cual se determina
el desnivel o la cota de distintos puntos en terreno, mediante la comparación de los trazos geométricos
medidos (alturas) o de las diferencias de altura de cada punto, en base a visuales (planos) horizontales
generadas por un nivel topográfico.
La principal función del instrumento (nivel topográfico), es generar un plano perfectamente horizontal, al cual
se interceptan planos verticales producidos por miras (reglas de gran dimensión, generalmente hasta 4[m]
de longitud), para determinar directamente las alturas (distancias verticales) de los puntos que se están
midiendo, a través del hilo medio del retículo estadimétrico del anteojo del instrumento, que a su vez nos
permitirá determinar desniveles, cotas o altitud de estos puntos.

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Imagen 2.1.1:” Obtención de desniveles y traslado de cotas”
Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Nivel_topogr%C3%A1fico.
El nivel topográfico se encuentra conformado principalmente por el anteojo, la base nivelante y el trípode,
además para poder realizar las mediciones se requiere de mira y de una huincha o cinta para medir
distancias directamente (descritos en Capitulo 1). También puede dividirse el instrumento en parte óptica,
mecánica y geométrica.
La óptica (lentes o sistemas de lentes y aumentos) la conforma prácticamente el anteojo que a su vez está
constituido por el ocular, retículo y objetivo; la parte mecánica corresponde a todos los elementos de
manipulación del instrumento (tornillo de fijación, sistema de puntería, freno, tornillo de enfoque, tornillos
nivelantes, entre otros); y la parte geométrica (eje horizontal, de colimación, geométrico, vertical de rotación,
línea de fe, entre otros) que regula el montaje y su correcto funcionamiento.
El anteojo como ya se dijo corresponde a la parte óptica del instrumento, es la parte más significativa de él, a
través del cual se obtienen las visuales (imágenes) de los puntos que se necesitan medir.
Imagen 2.1.2: “Partes del Anteojo”
Fuente: http: //es.wikipedia.org/wiki/Monocular, editado por Camilo Guerrero.
La base nivelante cumple dos funciones, permite fijar el instrumento al trípode actuando como base de
soporte del instrumento por sobre el trípode y establecer el plano de trabajo perfectamente horizontal, su
principal función. Está compuesta principalmente por 4 elementos, los cuales se muestran y describen a
continuación:

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Imagen 2.1.3: “Elementos de la base nivelante”
Fuente: http://html.rincondelvago.com/000564391.jpg
A) Placa Base: Es aquella que permite fijar el instrumento al trípode, mediante un orificio roscado
ubicado en el centro de esta, en el cual se atornilla un dispositivo (tornillo de fijación) dispuesto en la
base del trípode. Se encuentra unida a los “tornillos nivelantes” mediante una placa elástica que les
permite movilidad respecto de la placa.
B) Tornillos nivelantes: son los que permiten dejar nivelado el instrumento, o sea apto para efectuar las
mediciones, al generar un plano horizontal, condición previa a cualquiera medición. La cantidad de
tornillos puede variar según la marca y modelos del instrumento, aunque generalmente son 3 (tres).
Para nivelar el instrumento se debe seguir un determinado procedimiento que generalmente consiste
en disponer el anteojo paralelo a cualesquiera de 2 tornillos nivelantes, girando hacia dentro o
afuera estos tornillos nivelantes hasta dejar la burbuja de la nivela esférica centrada o en el sentido
del 3 tornillo nivelante. Luego girar el anteojo en 90º para dejarlo en la dirección del 3 tornillo y girar
este tornillo nivelante en un sentido u otro hasta dejar la burbuja de la nivela esférica centrada.
Finalmente girar el anteojo en 180º para verificar si la burbuja permanece centrada, si se ha
desplazada del centro debe repetirse el procedimiento descrito.
C) Nivela de burbuja esférica: también se le conoce como ojo de buey o de pescado, permite controlar
la horizontalidad de la placa base y por ende del instrumento cuando esta posicionado. Este
elemento se utiliza para determinar si un giro del instrumento sobre la base del trípode, se realiza
sobre un solo plano horizontal, lo cual es de gran importancia al momento de establecer la posición
instrumental.
D) Tornillo de fijación de la base: es un botón o tornillo que fija o libera la base nivelante del resto del
instrumento, en condiciones normales de trabajo debe estar siempre en posición fijo. Al liberar el
instrumento de la base, permite que esta misma base sirva para instalar otro tipo de instrumento en
la misma posición.
El trípode corresponde al elemento sobre el cual se monta el instrumento propiamente tal, la placa nivelante
y el anteojo, para poder determinar las diferencias altimétricas entre puntos medidos. Además permite fijar
el instrumento en un punto en terreno, denominado estación o posición instrumental, que debe quedar lo
suficientemente enterrado o fijo en el lugar elegido, para evitar cualquier desplazamiento horizontal o vertical
cuando el instrumento gire a los distintos puntos que se necesitan medir de esa posición instrumental y el
operador circule alrededor de él o por las vibraciones de la maquinaria de construcción que opera a su
alrededor. Para esto las 3 patas del trípode disponen de unas punteras reforzadas en sus extremos que
permiten enterrar las patas al terreno.
También las patas son extensibles y regulables para facilitar que la base del trípode quede lo más horizontal
posible, especialmente en terrenos de alta pendiente donde cada pata debe quedar a una altura distinta, y
de esta forma ayudar a la nivelación del instrumento y para dejarlo a una altura adecuada a la altura del
operador, puesto que la altura del instrumento debe ser tal que el ocular del anteojo quede a la altura de los
ojos del operador para que opere sin ninguna dificultad, evitando cansancio y posibles errores en la
medición.

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Imagen 2.1.4: “Nivel Topográfico instalado”
Fuente: Obtenido y editado por Camilo Guerrero.
El ocular como ya se dijo forma parte del anteojo, corresponde a un sistema de lentes, por el cual se observa
la imagen del objeto que se forma al interior del anteojo, a través del ojo del operador. Además es el
encargado de ampliar (aumentar) la imagen para realizar la medición en forma fácil y correcta. Para esto es
necesario previamente enfocar el objeto observado, de forma de verlo claro y nítido.
Esta operación debe seguir el siguiente procedimiento, primero enfocar el retículo del anteojo, idealmente
sobre un fondo blanco (pared) que permita al operador observar claramente las distintas líneas o marcas del
retículo, a través del ojo del operador que usará para efectuar las mediciones, por cuanto casi siempre los
ojos tienen distintas dioptrías, mediante el giro del tornillo de enfoque del ocular que se encuentra en la
periferia de éste, girándolo hacia la derecha o izquierda dependiendo de las características física del ojo del
operador.
Una vez que el retículo se vea correctamente por el operador, se apunta el objeto (mira) a medir con la
colaboración de la mirilla del anteojo y se frena, luego se posiciona en la parte central del retículo con la
ayuda del tornillo tangencial horizontal, que permite pequeños desplazamientos horizontales una vez que el
instrumento esté frenado en una determinada posición. Finalmente girando el tornillo de enfoque del anteojo
hacia un lado u otro, que generalmente se encuentra al lado derecho y en su parte central de éste, se
enfoca el objeto observado de manera de verlo claro y nítido para poder realizar las mediciones al mm sobre
la mira, exento de errores.
Esta operación de enfoque consiste en ajustar la distancia entre el centro del objetivo y la imagen que se
forma en el interior del anteojo, que por conocimiento de la óptica es distinta en función de la distancia
existente entre instrumento y punto observado, como la distancia a los puntos es variable la imagen en el
interior también cambiará, se formará en distintos planos verticales. Por lo tanto al mover el tornillo de
enfoque lo que hace físicamente es desplazar el sistema ocular - retículo al plano donde se ha formado la
imagen del objeto que se observa, la que debe verse claramente ya que se había regulado previamente el
retículo, o sea el retículo se desplaza al plano de la imagen para que coincida imagen - retículo.
Si no se sigue este procedimiento, se comete el error de paralaje, que consiste en que la imagen observada
al interior del anteojo no se forma en el plano del retículo, que es lo correcto, sino en un plano paralelo a
éste, en la práctica se traduce en algunos mm de variación en la lectura sobre la mira.
El retículo, otro elemento importante del anteojo, es una lámina de cristal que tiene grabado un trazo
horizontal (hilo medio o axial) y uno vertical perfectamente perpendicular al anterior, los cuales al

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intersectarse representan el centro óptico del objetivo, a veces parte de la horizontal tiene una doble línea
que permite encuadrar de mejor manera elementos que se encuentran muy distantes.
Además sobre el trazo vertical se observan 2 marcas horizontales, de menor longitud y equidistantes del
centro óptico, denominadas hilos estadimétricos superior e inferior, donde la separación entre ellos está en
función de la distancia focal del objetivo del anteojo. La distancia focal dividida por esta separación,
generalmente, tiene una relación igual a 100, corresponde a lo que se denomina constante estadimétrica del
instrumento (K), que nos permite determinar la distancia horizontal entre instrumento y punto observado, en
forma indirecta.
Imagen 2.1.5: “Retículo estadimétrico”
Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/56/Mire%2Bstadimeter-28oct2008.svg?uselang=es
El objetivo es el elemento que permite formar la imagen del objeto observado al interior del anteojo, y como
ya se mencionó en el plano del retículo, está conformado por varias lentes generalmente yuxtapuestas. La
imagen que se forma es real y muy pequeña, razón por la cual los aumentos del ocular son de importancia
para poder ampliar esta imagen y poder realizar las mediciones con baja probabilidad de error.
Algunos instrumentos también disponen de un limbo horizontal, especie de transportador que permite medir
ángulos horizontales al grado, este permite determinar el ángulo horizontal comprendido entre puntos
medidos desde la posición instrumental elegida, que conjuntamente con la distancia horizontal que permite
determinar el retículo estadimétrico entre el instrumento y el punto medido, y con la aplicación del teorema
del coseno, es posible cuantificar indirectamente la distancia horizontal entre puntos medidos.
Imagen 2.1.6: “Esquema de nivelación”
Fuente: http://topografiadocente.over-blog.es/article-nivelacion-geometrica-ii-84267515.html
La parte mecánica del instrumento corresponde a todos aquellos elementos que se requieren para la
correcta manipulación del nivel:
a) Tornillo de enfoque, permite ajustar la nitidez de la imagen obtenida según la distancia a la cual se
encuentra el punto observado.
b) Tornillo tangencial, permite realizar pequeños giros en el sentido horizontal del instrumento con
mayor precisión.

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c) Tornillos nivelantes, como se mencionó anteriormente, son los encargados de nivelar el instrumento
para generar un plano perfectamente horizontal y dejar vertical el eje de giro del instrumento
respecto del horizonte.
d) Base nivelante, como se describió anteriormente es el elemento mediante el cual se nivela el
instrumento y posiciona sobre el trípode.
e) Mirilla de puntería, elemento que permite ubicar con mayor rapidez la mira ubicada en un punto
cualquiera y a una cierta distancia.
f) Nivela esférica, permite nivelar el instrumento topográfico y verificar la correcta horizontalidad de
éste.
g) Tornillo de enfoque del ocular, ayuda al enfoque correcto de las líneas del retículo.
h) Limbo horizontal, elemento que permite definir la dirección origen (de referencia) en el plano
horizontal en la cual se está observando y permite determinar el ángulo horizontal comprendido
entre puntos medidos.
i) Tornillo de fijación del trípode, permite fijar el instrumento al trípode por sobre la base de éste.
j) Tornillo para plomada mecánica, permite materializar el eje vertical de rotación del instrumento y
posicionar el instrumento sobre un punto previamente establecido (estación).
Imagen 2.1.7: “Elementos de manipulación”
Fuente: Presentación “Topografía: Nivelación Geométrica” del Profesor José Francisco Benavides Núñez; editado por Camilo Guerrero.
Imagen 2.1.8: “Elementos de manipulación (2)”

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La parte geométrica, corresponde a aquellos elementos que regulan el correcto montaje y rigen el buen
funcionamiento del instrumento, corresponde a:
a) Eje vertical de rotación del anteojo: corresponde al eje respecto del cual gira el instrumento, paralelo
a la línea de la gravedad.
b) Eje de colimación o puntería: corresponde a la visual que pasa por la intersección de los hilos
principales (centro) del retículo y el centro del objetivo.
c) Eje geométrico: corresponde a la línea imaginaria que pasa por el centro del ocular y del objetivo,
generalmente coincidente con el eje de colimación.
d) Línea de fe: es la línea imaginaria que pasa tangente a la nivela de burbuja esférica y paralelo al eje
de colimación cuando el instrumento se encuentra nivelado.
e) Hilo axial: corresponde al hilo medio u horizontal del retículo.
f) Constante estadimétrica (K).
Dependiendo de la forma de medición utilizada al realizar una nivelación, fundamentalmente del número de
estaciones o posiciones instrumentales a emplear, la nivelación geométrica se puede clasificar como:
1. Nivelación simple.
2. Nivelación compuesta.
1. Nivelación simple: Es aquella en que la cota o el desnivel existente entre 2 o más puntos se determina
desde una sola posición instrumental, sin que se modifique el plano horizontal de trabajo originado por
el instrumento desde esa única posición.
Para efectuar una nivelación simple debe cumplirse con una serie de condiciones básicas:
a) A lo menos se deben medir 2 puntos, pudiendo existir más puntos entre ellos.
b) No pueden haber puntos ubicados a más de 80 metros (distancia horizontal) del instrumento, para
evitar posibles errores de lecturas en la mira, debido a la imposibilidad de leer correctamente al mm
a esta distancia y para no corregir la medición por efecto de la curvatura terrestre. Para distancias
menores a ésta, el error de esfericidad terrestre incide en menos de 0,5 mm, por lo tanto se
desprecia.
c) No deben haber objetos en la dirección entre el instrumento y los puntos observados, que eviten la
visibilidad a estos, es decir no deben haber objetos que interfieran en la lectura de cualquier punto a
medir.
Imagen 2.1.9: “Nivelación perímetro piscina UC”
Fuente: Google Maps, editado por Camilo Guerrero.

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En la imagen anterior se puede apreciar la imposibilidad de realizar una nivelación simple, producto
que los puntos 5 y 6 del perímetro de la piscina temperada no pueden ser vistos desde la posición
instrumental E.
d) La pendiente debe ser tal que permita el emplazamiento del instrumento en una posición que
puedan leerse simultáneamente las lecturas de mira en todos los puntos necesarios del proyecto, de
esa única posición instrumental. Esto implica que mientras mayor sea el desnivel existente entre
puntos a nivelar, limitará las posibilidades de encontrar una posición instrumental con estas
condiciones, puesto que las longitudes máximas, habituales, de la mira son de 4m.
Imagen 2.1.10: “Chequeo de pendiente del talud de Terraplén”
Fuente: Elaborado por Camilo Guerrero.
En la imagen anterior, se observa que no es posible realizar una nivelación simple, para verificar el
talud de Terraplén, producto que el “∆H” existente es muy grande, por lo tanto debería realizarse
más de una posición instrumental para poder realizar el procedimiento.
e) La distancia entre la estación y los puntos a medir, deben ser aproximadamente iguales, de modo
que las condiciones de medición entre puntos sean lo más semejantes posible y no influya en la
medición.
El error de colimación se produce cuando el instrumento no origina un plano perfectamente
horizontal sino uno inclinado, o sea existe una desviación respecto del horizonte, no se produce
perpendicularidad entre el eje vertical de rotación del instrumento y el plano horizontal que genera
éste. Este error es directamente proporcional a la distancia, por consiguiente a igualdad de
distancias los errores son de la misma magnitud, por lo tanto se contrarrestan y no influyen en la
medición.
Imagen 2.1.11: “Distancias Semejantes al nivelar”

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Para la obtención de los desniveles o las cotas de los diferentes puntos del terreno que requiere el proyecto,
se realizan una serie de mediciones que corresponden a lecturas de mira sobre esos puntos, obteniéndose
datos numéricos de 4 dígitos con unidades al mm, las cuales se dividen en 3 categorías de lecturas:
a) Lectura Atrás: generalmente el primer punto medido, en el sentido contrario al avance de la
nivelación, o sea la lectura más atrás de la nivelación, de ahí su nombre de lectura atrás. Siempre
presente en una nivelación geométrica.
b) Lectura Adelante: usualmente el último punto medido, en el sentido del avance de la nivelación, o
sea la lectura más adelante de la nivelación. Al igual que la lectura atrás siempre debe existir una
lectura adelante, toda lectura atrás debe tener su correspondiente lectura adelante.
c) Lectura Intermedia: corresponde a todas las lecturas efectuadas a los puntos intermedios entre atrás
y adelante. Pueden existir o no y su número puede ser ilimitado.
Al realizarse una medición, la mira debe interceptar de manera perpendicular al plano horizontal originado
por el nivel, para esto el alarife (ayudante del topógrafo) observa un nivel de burbuja esférico u otro
dispositivo nivelador que la mira dispone en su cara posterior. En caso que no exista dicho elemento, el
alarife debe bascular la mira, moviéndola hacia adelante y hacia atrás en la dirección del instrumento, de
manera que la medida correcta a registrar por el operador corresponderá a la de menor valor observado.
Imagen 2.1.12: “Esquema nivelación simple”
Fuente: http://www.slideshare.net/topografiaunefm/practica-2-nivelacion-altimetria-7854156
Las mediciones realizadas en terreno se deben anotar en un registro (hoja), el cual generalmente contiene la
siguiente información (columnas):
1. Puntos: corresponde a la identificación de los puntos medidos en terreno.
2. Distancias: tanto parcial entre puntos como acumulada a partir del origen.
3. Distancia Parcial: corresponde a la distancia horizontal existente entre punto y punto medido.

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4. Distancia Acumulada: corresponde a la distancia parcial acumulada desde el origen o sea el primer
punto medido hasta el punto a medir.
5. Lecturas: corresponde a las lecturas atrás, intermedia y adelante realizadas.
6. Diferencias o desniveles: corresponde a la diferencia de nivel existente entre puntos medidos, si el
cálculo es por diferencias.
7. Cotas: tanto instrumental como de los puntos medidos.
8. Cota instrumental: corresponde a la cota o altura del plano horizontal generado por el instrumento
topográfico, si el cálculo es por cota instrumental.
9. Cota de los puntos: correspondiente a la cota de cada punto medido.
10. Corrección o compensación: en el caso de utilizarse un método de verificación o de control se debe
incorporar la corrección a realizar a cada punto medido.
11. Cota Compensada: son las cotas definitivas una vez realizada la compensación o corrección
requerida.
Si se considera como punto de referencia la cota del punto 1(imagen 2.1.9), con cota 50,000[m], se obtienen
los siguientes registros:
“Registro Tipo de Nivelación Geométrica por cota instrumental”
Punto
D.
Parcial
[m]
D. Acum.
[m]
L.
atrás
[m]
L.
Intermedia
[m]
L.
Adelante
[m]
Cota
Instrumental
[m]
Cota
[m]
Comp.
[mm]
Cota
Comp.
[m]
1 --------- -------- 1,799 51,799 50,000
2 22 22 0,930 51,799 50,869
3 23 45 1,759 51,799 50,040
4 18 63 0,702 51,799 51,097
5 27 90 0,200 51,799 51,599
“Registro Tipo de Nivelación Geométrica por diferencia”
Punto
D.
Parcial
[m]
D. Acum.
[m]
L.
atrás
[m]
L.
Intermedia
[m]
L.
Adelante
[m]
Diferencia
[m]
Cota
[m]
Comp.
[mm]
Cota
Comp.
[m]
1 --------- -------- 1,799 50,000
2 22 22 0,930 0,869 50,869
3 23 45 1,759 -0,829 50,040
4 18 63 0,702 1,057 51,097
5 27 90 0,200 0,502 51,599
Luego la cota de cada punto viene dada por:

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Donde CX corresponde a la cota del punto a determinar, Lx a la lectura efectuada, intermedia o adelante, en
dicho punto, CPR a la cota del punto de referencia o conocido y LPR a la lectura atrás realizada en dicho
punto de referencia.
También se observa gráficamente que los desniveles existentes entre puntos medidos se pueden determinar
a través de la siguiente expresión:
Si se agrupa: CPR + LPR = Cota Instrumental
LPR – LX = Desnivel
Por lo tanto CX = C instrumental – LX = CPR + HPR-X
Sus valores numéricos corresponden a:
O ha:
La existencia de desniveles en un proyecto indica que existe una serie de pendientes, según el sentido de
observación. Como se mencionó en el “Capitulo 1.3” la pendiente indica una variación de altura cada cierta
distancia horizontal y generalmente se expresa como porcentaje o tanto por ciento. Ésta puede tener
diferencias de alturas positivas, negativas o ser cero.
Se denomina “gradiente” cuando la diferencia de altura desde un punto “A” a un punto “B” es positiva, o sea
la lectura en A es mayor que la lectura en B y se denomina “pendiente” cuando la diferencia de altura desde
el punto “A” al punto “B” es negativa, o sea la lectura en A es menor que la lectura en B. Para el caso en que
la diferencia de altura entre 2 puntos es 0[m], se dice que la distancia entre estos puntos es horizontal.
Imagen 2.1.13: “pendiente y gradiente”

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Para el caso de la Imagen 2.1.9, si se desea determinar la pendiente o gradiente entre los puntos 4 y 5, y se
mide en terreno la distancia horizontal entre dichos puntos, la cual corresponde a 22[m], se obtiene la
siguiente pendiente:
Por lo tanto se dice que desde el punto 4 al punto 5 hay una gradiente de un 2,28%.
Gracias a las características del retículo estadimétrico y a la constante estadimétrica del instrumento
topográfico, existe la posibilidad de determinar de manera indirecta la distancia horizontal existente entre el
instrumento y un punto “P” cualquiera. La constante estadimétrica “K” en la mayoría de los casos
corresponde al valor 100. La expresión general para efectuar este cálculo es la siguiente:
Dhi-p = (Lsp – Lip) x K x cos2α [m]
= G x cos2 α; como α y cos nos queda finalmente que
= G [m]
Para el cálculo de la distancia se debe considerar los siguientes parámetros:
a) Constante estadimétrica “K”: dependiente del instrumento, en la mayoría de los casos corresponde
al valor 100.
b) Estadía “E”: corresponde a la diferencia entre la lectura superior e inferior en el retículo, (Ls - Li).
c) Generador “G”: corresponde al producto entre la estadía y la constante estadimétrica, G = E x K.
d) Ángulo (vertical) respecto de la horizontal “α”: corresponde su uso al realizar nivelaciones
trigonométricas, en el caso de la nivelación geométrica dicho ángulo es 0
g
.
A continuación se ejemplifica algunos casos en lo cuales se requiere de una nivelación simple en la
construcción:
a) Cuando se requiere verificar o recibir la cota del sello de fundación en una edificación, que
corresponden a zapatas aisladas de 80[cm] x 80[cm] distanciadas a 1,5 [m], en que dicho sello debe
encontrarse a la cota 98,750 [m] ±0,005 [m], y que el PR se encuentra ubicado en la cota 100,00 [m].
Para poder determinar la correcta cota del sello de fundación, en cada una de las zapatas, podrían
realizarse mediciones por ejemplo hacia el PR, al centro del sello de la zapata y en los 4 vértices de
ésta, tal como se muestra en la imagen 2.1.14.
Imagen 2.1.14: “Medición Sello de Fundación”

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Luego se elabora el registro de la nivelación realizada, de la siguiente manera:
Punto L. atrás [m]
L. intermedia
[m]
L. adelante
[m]
Cota
Instrumental[m]
Cota
Punto[m]
PR 1,342 100,000
1 2,593
2 2,592
3 2,591
4 2,593
5 2,594
Luego la cota instrumental corresponde a:
Por lo tanto la cota de cada punto será:
De este modo se obtienen los siguientes resultados:
Punto L. atrás [m]
L. intermedia
[m]
L. adelante
[m]
Cota
Instrumental[m]
Cota
Punto[m]
PR 1,342 101,342 100,000
1 2,593 101,342 98,749
2 2,592 101,342 98,750
3 2,591 101,342 98,751
4 2,593 101,342 98,749
5 2,594 101,342 98,748
Como la tolerancia establecida es ±0,005 [m], la cota del sello de fundación cumple con lo especificado y se
puede recibir. Se debe destacar que en estos casos, además de recibir desde un punto de vista topográfico
el sello de fundación de la vivienda, se debe realizar la inspección y recepción desde el punto de vista de la
mecánica de suelos. La relevancia de la mecánica de suelos es que de no aceptarse desde este ámbito, la
cota del sello de fundación se debe volver a preparar, lo cual implica posibles variaciones en su profundidad
y por ende una nueva inspección topográfica de este.
b) Cuando se debe verificar la flecha de la losa cielo del 1º piso (doble altura) de un edificio, como parte de
las funciones del ITO de la obra. Dicha losa, tiene una longitud de 8,00[m] y una profundidad de 4 [m],
donde el ingeniero estructural admite una flecha máxima de 10 [mm].
Para efectuar esta verificación se podrían definir 3 perfiles transversales, separados cada 2 [m], los que
a su vez están formados por 5 puntos cada 2 [m], de esta forma se logra una medición formada por un
cuadriculado de 2 [m], la mira se ubica con la graduación 4,000 [m] tocando el canto inferior de la losa.

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Imagen 2.1.15: “Esquema Flecha de una losa”.
Para cada perfil, se puede determinar la flecha o contra flecha en cada punto medido en base a la diferencia
de altura respecto de los puntos extremos de la losa, los que pueden considerarse como exento de
deformación. Si la losa fuera horizontal, la lectura en todos los puntos medidos debiera ser la misma. Para
esta situación, mientras mayor sea el valor obtenido, en comparación a los extremos, mayor será la flecha; al
contrario, si los valores obtenidos en la zona interior sean menores a los obtenidos en los extremos nos
indicará que existirá contra flecha.
Si las lecturas obtenidas en terreno, en uno de los perfiles, fueran las siguientes:
Luego la flecha en cada punto es igual a:
En base a los resultados obtenidos, la losa cielo del primer piso cumple con la tolerancia establecida y puede
ser recibida.
Punto Lectura [m]
L1 0,871
L2 0,873
L3 0,876
L4 0,872
L5 0,871

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Luego, si se tiene como cota conocida el nivel de piso y se realiza una lectura en el punto de cota conocida,
con los siguientes resultados:
CNIVEL PISO = 104,234 [m]
LNIVEL PISO = 1,345 [m]
La flecha se podría determinar en base a las cotas de cada punto medido en el cielo, de la siguiente manera:
En este caso, es mas sencillo apreciar la horizontalidad de la losa, distinguiéndose claramente que los
puntos extremos están a la misma altura y la flecha mayor corresponde al punto 3 en el cual la diferencia es
de 5[mm] respecto a lo extremos.
c) Cuando se requiere realizar una excavación con pendiente, por ejemplo, la excavación para la
construcción de una piscina, siempre se debe verificar la pendiente requerida y la profundidad de
excavación. A continuación se ejemplifica el procedimiento a seguir.
1- Se debe ubicar el instrumento y realizar una serie de mediciones dentro de la piscina y fuera de
ésta. De la siguiente manera:
Imagen 2.1.16: “Croquis en planta de excavación de piscina”
En los puntos 1 al 8 se realiza una medición tanto en el fondo de la excavación como inmediatamente en la
parte superior del terreno, para así poder verificar la altura de la piscina en su contorno y la pendiente de
ésta.

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Se denomina 1’- 8’ a las lecturas en los puntos 1 a 8 en la parte superior de la piscina, al realizar la medición
se obtienen los siguientes resultados:
Punto Lectura [m] Punto Lectura [m]
1 2,435 1' 1,235
2 2,738 2' 1,237
3 3,035 3' 1,234
4 3,036 4' 1,236
5 3,034 5' 1,235
6 2,731 6' 1,233
7 2,434 7' 1,234
8 2,438 8' 1,236
9 2,738
Para este caso, se consideran las siguientes especificaciones de proyecto:
1-Tolerancia cotas de terreno (superior) = ± 0,010 [m].
2-Altura de excavación mínima : 1,200 [m] ± 0,005 [m].
3-Pendiente sello de excavación : -10% ± 0,5% (sentido Oeste-Este).
Luego en base a las mediciones realizadas y las especificaciones de proyecto se determina el cumplimiento
de éstas.
Se puede apreciar que se cumple con la condición n°1, ya que la diferencia de cota entre los puntos 1’ a 8’
es menor a 0,010[m].
Como por la especificación N°2, H mín. = 1,200[m], se verifica dicha condición respecto a los puntos 1-1’, 7-7’
y 8-8’.
Se observa que cumple con la especificación N°2. Luego se procede a verificar el cumplimiento de las
pendientes.
Como la piscina tiene una longitud de excavación de 6 metros y la pendiente corresponde a un 10% ± 0,5%,
el máximo ∆H máximo y mínimo entre un extremo y otro debe ser:
Para los puntos intermedios el delta máximo y mínimo respecto de los puntos extremos se divide en 2
quedando:

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Luego se determina la diferencia entre los puntos 1, 7 y 8 respecto de los puntos co-lineales a estos en el
sentido Oeste-Este:
Tramo Desnivel [m]
1-2 0,303
2-3 0,297
1-3 0,600
8-9 0,300
9-4 0,298
8-4 0,598
7-6 0,297
6-5 0,303
7-5 0,600
Se puede apreciar que todos los valores cumplen con lo especificado
d) Cuando se requiera verificar la rectitud de un plano inclinado, como por ejemplo la parte inferior de la
viga de una escala, se procede a realizar una serie de mediciones a los extremos y al centro de la
escala (ver imagen 2.1.14). En este caso en particular, las especificaciones de proyecto establecen una
pendiente de 35º + 1º. Determinar la pendiente y el error existente en valor angular [º] y lineal [mm] del
punto 2 respecto del punto 3.
Las miras fueron ubicadas con la graduación 4,000 [m] apoyada sobre la viga de la escala.
Imagen 2.1.17: “Croquis en elevación de la escalera”
Para verificar la pendiente existente, primero se analizan los extremos de la escalera y luego el punto medio
determinando las pendientes existentes:
Pendiente L1-L3:
Pendiente L2-L3:
Punto Lectura [m]
L1 1,875
L2 2,554
L3 3,275

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Por trigonometría se sabe que:
tan a ctan ( )
Por lo tanto:
a ctan ( )
a ctan ( )
Ambos valores cumplen con lo especificado de 35º + 1º.
Luego el error angular existente en el punto 2 corresponde a la diferencia entre la pendiente real entre el
punto 1 y 3 y la obtenida hasta el punto 2 y el error lineal a la diferencia entre la lectura teórica (si no hubiese
flecha en el segmento formado entre los puntos 1 y 3) y la lectura real en el punto 2.
m mm
e) Cuando se requiere verificar el cumplimiento de la normativa vigente respecto de las plataformas de
acceso y alturas libres de un estacionamiento cubierto. La O.G.U.C. establece los siguiente:
“Artículo 4.11.1. Los edificios de estacionamiento deberán cumplir con todas las disposiciones de esta
Ordenanza que les sean aplicables.
El acceso de los vehículos a los diferentes pisos se efectuará por medio de montacargas o por una
rampa con pendiente máxima de 20%.
La altura libre para cada piso no deberá ser inferior a 2,20 [m].”
Para este efecto se pueden realizar las siguientes mediciones al eje de la plataforma de acceso:
Imagen 2.1.18: “Perfil Plataforma Acceso”

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Esta nivelación tiene como punto de referencia el punto “PR” con cota 100,000 [m], además se conoce que
la cota del cielo del estacionamiento coincide con la cota del “PR”. La información obtenida de terreno es la
siguiente:
Punto
Distancia
Parcial[m]
Lectura [m]
PR - 1,279
1 4 2,075
2 4 2,871
3 4 3,667
Como se mencionó anteriormente:
En este caso la cota instrumental corresponde a:
Por lo tanto las cotas de cada punto serán:
Punto
Distancia
Parcial [m]
Lectura [m]
Cota
Instrumental
[m]
Cota [m]
PR - 1,279 101,279 100,000
1 4 2,075 99,204
2 4 2,872 98,407
3 4 3,667 97,612
Realizando un análisis de los resultados obtenidos, se puede apreciar que se cumple con la altura mínima
de 2,20 [m] de acceso a estacionamiento, ya que la altura obtenida es:
Luego la pendiente obtenida corresponde a:
Por ende, se cumple con lo establecido por la Ordenanza General de Urbanismo y Construcción.
Cuando se requiere verificar la profundidad de una zanja con pendiente constante, donde no se cuenta con
niveles topográficos para esto, se procede a utilizar niveletas y crucetas. Este método de verificación consta
de ubicar crucetas a una altura “a” (aproximadamente 50 [cm]) sobre la cota de terreno, distanciadas a una

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distancia “d” (entre 5 [m] y 20 [m]) y unidas con una lienza. Luego se construye una cruceta, la cual debe
tener una altura “h” equivalente a la altura “a” que tiene le punto mas alto de la cruceta más la profundidad
de excavación requerida por proyecto.
Imagen 2.1.19: “Niveletas y crucetas”
Fuente: http://www7.uc.cl/sw_educ/construccion/urbanizacion/media/glosario/niveleta.jpg, editado por Camilo Guerrero.
A continuación la manera de verificar la profundidad es la siguiente, como se muestra en la imagen 2.1.19,
se procede a ubicar la cruceta por debajo de la lienza que une ambas niveletas, para luego avanzar con esta
desde una niveleta hacia otra. Si la lienza sube producto de chocar con la cruceta o no queda en contacto
con esta, quiere decir que la profundidad de excavación no corresponde, luego si la lienza solo toca a la
cruceta pero sin cambiar su altura, quiere decir que es correcta la profundidad de excavación el en tramo
analizado.
Si en una parte del tramo entre niveletas la lienza sube producto del contacto con la cruceta quiere decir que
falta profundidad de excavación y si esta misma no queda en contacto con la cruceta, quiere decir que existe
sobre excavación y se debe proceder a rellenar dicha zona
2. Nivelación compuesta: corresponde a una serie, cadena o sucesión de nivelaciones simples, las
cuales se encuentran enlazadas entre sí producto de la medición a un punto en común, a través de 2
lecturas: adelante y atrás respectivamente, desde 2 estaciones diferentes.
Imagen 2.1.20: “Perfil nivelación compuesta”
Fuente: http://www.entradas.zonaingenieria.com/2012/05/la-nivelacion-geometrica-y-su.html
Aquel punto común a 2 estaciones distintas se denomina punto de cambio o de enlace (PC). Una de las
características de este punto es que, a través de la lectura adelante de la posición instrumental anterior
permite determinar su cota, por lo tanto como ya se conoce esta cota pasa a ser el punto de cota conocida

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(PR) de la siguiente nivelación simple (nueva posición instrumental) conectándose a través de la lectura
atrás desde esta nueva estación. Esto se puede repetir tanta veces, de manera sucesiva, como sea
necesario hasta llegar al último punto que se necesita medir.
Imagen 2.1.21: “Nivelación compuesta en planta”
En la imagen 2.1.21 se puede apreciar que el punto 3 y el punto 6 son puntos de cambio entre estaciones.
Generalmente una nivelación compuesta es necesaria efectuarla cuando se presenta a lo menos uno de las
siguientes situaciones:
a) La pendiente entre puntos a medir es demasiado pronunciada, siendo ésta mayor que la longitud de la
mira utilizada, imposibilitando encontrar una posición instrumental que permita medir,
simultáneamente, las miras dispuestas en los puntos extremos o más desfavorables.
b) Cuando no hay visibilidad a los puntos del terreno que se requieren medir desde una sola posición
instrumental, ya sea por accidentes naturales o artificiales como por ejemplo árboles o construcciones
existentes. No se debe intentar acomodar la mira para que un punto alcance a ser visible desde una
cierta distancia, levantándola o sosteniéndola a una determinada altura, porque pierde su verticalidad,
la mira siempre debe representar la normal en el punto (estar vertical) y cortar perpendicular al plano
horizontal que genera el instrumento.
c) Si se tienen superficies de trabajo demasiado extensas, donde la distancia entre puntos a nivelar sea
mayor a la permitida o la recomendada por las exigencias del proyecto. Recordar que la distancia
máxima entre el instrumento y punto, no debe sobrepasar los 80 (m) para evitar el error por
esfericidad terrestre o su corrección. Y además la probabilidad de error en las lecturas sobre la mira
aumenta según aumenta la distancia entre el instrumento y los puntos a medir.
Imagen 2.1.22: “Determinación de la cota de un punto “P” ”

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De la imagen anterior se puede deducir que, si conocemos la cota del “PR”, la cota del punto “P” viene dada
por:
∑ ∑
Las mediciones tomadas en terreno se deben registrar en forma ordenada y sistemática para evitar errores,
por tal motivo es necesario disponer de un formulario u hoja de registro que contenga una serie de columnas
o celdas para anotar la información recogida en terreno y registrar los futuros cálculos. Además, en esta hoja
se debe identificar el proyecto al cual corresponde la nivelación realizada, la fecha del registro, el nombre del
operador y un espacio para observación y/o croquis de la nivelación realizada.
Punto
D. Parcial
[m]
D. Acum.
[m]
L. atrás
[m]
L.
Intermedia
[m]
L.
Adelante
[m]
Cota
Instrumental
[m]
Cota [m]
Comp.
[mm]
Cota
Comp. [m]
A - - 1,832 201,832 200,000
B 75 75 2,143 201,832 199,689
C 40 115 1,248 3,728 199,352 198,104
D 30 145 1,986 199,352 197,366
E 35 180 1,579 3,418 197,513 195,934
F 40 220 2,056 197,513 195,457
G 30 250 3,692 197,513 193,821
El cuadro anterior corresponde a un registro de nivelación compuesta, calculado por cota instrumental, en el
cual se identifican 3 nivelaciones simples, por cuanto existen 3 lecturas atrás con sus correspondientes 3
lecturas adelantes y en consecuencia deberán haber 3 estaciones o posiciones instrumentales. La primera
comprende los puntos A-B-C, la segunda contiene los puntos C-D-E y la ultima estación contiene a los
puntos E-F-G, donde C y E son además puntos de cambio.
Como se mencionó anteriormente la cota instrumental corresponde a la altura o cota a la que se encuentra
el plano generado por el instrumento, ésta se determina en función de la cota del punto de referencia, y para
el caso ejemplificado en el registro anterior, se obtiene de la siguiente manera:
CINSTR I = CA + LATA = 200,000 + 1,832 = 201,832 [m]
CB = CINSTR I – LINTB = 201,832 – 2,143 = 199,689 [m]
CC = CINSTR I – LAD C = 201,832 – 3,728 = 198,104 [m]
CINSTR II = CC + LATC = 198,104 + 1,248 = 199,352 [m]
CD = CINSTR II – LINTD = 199,352 – 1,986 = 197,366 [m]
CE = CINSTR II – LAD E = 199,352 – 3,418 = 195,934 [m]
CINSTR III = CE + LATE = 195,934 + 1,579 = 197,513 [m]
CF = CINSTR III – LINT F = 197,513 – 2,056 = 195,457 [m]
CG = CINSTR III – LADG = 197,513 – 3,692 = 193,821 [m]

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Imagen 2.1.23: “Croquis en planta y elevación”
Como se dijo en la sección anterior (nivelación simple) este cálculo también se puede realizar por diferencia,
o sea:
Punto
D. Parcial
[m]
D. Acum.
[m]
L. atrás
[m]
L.
Intermedia
[m]
L.
Adelante
[m]
Diferencia
[m]
Cota [m]
Comp.
[mm]
Cota
Punto [m]
A - - 1,832 200,000
B 75 75 2,143 -0,311 199,689
C 40 115 1,248 3,728 -1,585 198,104
D 30 145 1,986 -0,738 197,366
E 35 180 1,579 3,418 -1,432 195,934
F 40 220 2,056 -0,477 195,457
G 30 250 3,692 -1,636 193,821
HA-B = LA – LB = 1,832 - 2,143 = – 0,311[m]
HB-C =3,728 – 2,143 = - 1,585 [m]
HC-D = 1,986 – 1,248= - 0,738 [m]
HD-E = 3,418 – 1,986= - 1,432 [m]
HE-F = 2,056 – 1,579 = - 0,477 [m]
HF-G = 2,056 – 3,692 = - 1,636 [m]
CA =200,000
CB = CA + HA-B = 200,000 – 0,311= 199,689 [m]
CC = CB + HB-C = 199,689 – 1,585 = 198,104 [m]
CD = CC + HC-D = 198,104 – 0,738 = 197,366 [m]
CE = CD + HD-E = 197,366 – 1,432 = 195,934 [m]
CF = CE + HE-F = 195,934 – 0,477 = 195,457 [m]
CG = CF + HF-G = 195,457 – 1,636 = 193,821 [m]
Se puede apreciar que los resultados obtenidos son iguales en ambos métodos, esto es debido a que son
los mismos datos y la única diferencia entre ambos métodos es el orden en que se “suman” los factores en
cada nivelación.

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Una manera práctica de verificar los cálculos realizados por muy simple que sean, es comparar el ∆hAG
determinado por la diferencia de sumatorias de lecturas atrás menos sumatoria de lecturas adelantes y la
determinada por la diferencia entre cota de llegada menos la cota de partida. Ambos valores deben ser
iguales, por cuanto determinan el desnivel existente entre los puntos extremos, si no lo son nos indicará que
hemos cometido algún error de cálculo.
En nuestro ejemplo:
h AG = CG – CA ∑LAT – ∑LAD
193,821– 200,000 = 4,659 – 10,838
- 6,179 [m] = -6,179 [m]
Como los valores coinciden, los cálculos se han realizado correctamente.
A continuación se ejemplifica algunos casos en los cuales se requiere de una nivelación compuesta en la
construcción:
a) Cuando se requiere determinar el volumen de agua contenido en un estanque cilíndrico como el
que se muestra en la siguiente imagen:
2.1.24:“Esquema estanque de Agua”
La información obtenida de las especificaciones de proyecto y de las mediciones en terreno es la siguiente:
Espesor del estanque = 150 [mm].
Radio externo del estanque = 2,20 [m].
Altura espejo de agua-borde superior del estanque (revancha) = 30 [cm].
Cota PR = 100,000 [m].
Nota: La mira en el punto 1 fue colocada con la graduación 4,0 [m] en la base
exterior del estanque.
Punto Lectura (m)
L1 0,235
L2 0,276
L3 3,625
L4 0,181
L5 3,949
L6 0,352
L pr 2,028

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Una manera de calcular lo solicitado podría ser la siguiente:
Determinar las cotas de los puntos medidos:
CEI = 100,000 + 2,028 = 102,028 [m]
CFONDO DEL ESTANQUE= CEI +(4 – 0,235)+0,15= 105,943 [m]
C2 = CEI - L2 = 102,028 - 0,276 = 101,752 [m]
CEII = C2 + L3 = 101,752 + 3,625 = 105,377 [m]
C3 = CEII – L4 = 105,377 – 0,181 = 105,196 [m]
CEIII = C3 + L5 = 105,196 + 3,949 = 109,145 [m]
C4 = CEIII – L6 = 109,145 – 0,352 = 108,793 [m]
CSUPERFICIE DE AGUA= C4 – 0,300 = 108,793 – 0,300 = 108,493 [m]
Punto
L.
atrás
[m]
L.
Intermedia
[m]
L.
Adelante
[m]
Cota
Instrumental
[m] Cota [m]
PR 2,028 102,028 100,000
1 0,235 102,028 105,793
2 3,625 0,276 105,377 101,752
3 3,949 0,181 109,145 105,196
4 0,352 109,145 108,793
Nota: en punto 1 se determina la cota del punto por sobre la
lectura realizada, por lo tanto se debe sumar 4 [m] y restar la
lectura L1.
Por lo tanto:
Altura de Agua= 108,493 - 105,943 = 2,55 [m]
Luego el radio útil del estanque corresponde a su radio menos su espesor y por consiguiente solo queda
determinar el volumen de agua que puede contener el estanque.
RÚTIL ESTANQUE = 2,200 – 0,150 = 2,050 [m]
Á ea basal Estanque π x (RÚTIL)2= π x 13,20 [m2]
Volumen agua = Área basal Estanque x Altura de agua = 13,20 [m2] x 2,55 [m]= 33,67[m3]
b) Si se requiere realizar el control de una pavimentación en un sector de la carretera, en base a los
siguientes antecedentes:
a. Se han estacado 7 puntos del eje del camino, con una gradiente proyectada de un 2% para
los puntos del 1 al 5 y una pendiente de un 1,5% para los puntos del 5 al 7.
b. Distancia Horizontal entre puntos del 1 al 5 es de 40 [m] y del 5 al 7 es 50 [m].
c. Punto 7 se encuentra 22 [cm] por sobre el PR (cota=100,000 [m]).
d. Se han realizado las siguientes lecturas consideradas correctas (coincidentes con lo
especificado para el proyecto) L4= 0,904 [m] y LPR=2,505 [m].
e. Además, se debe verificar los puntos de la nivelación cumplen con lo especificado

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Imagen 2.1.25: “Croquis en elevación”
Además, se posee el siguiente registro:
Punto D. Parcial [m] D. Acum. [m] L. atrás [m] L. Intermedia [m] L. Adelante [m]
1 --------- -260 3,302
2 40 -220 2,504
3 40 -180 1,704
4 40 -140 0,904 (OK)
5 40 -100 0,785 0,104
6 50 -50 1,539
7 50 --------- LPR-0,220[m] (OK)
Como se conoce las lecturas correctas de 2 puntos y además se conoce la pendiente de cada uno de los
tramos se puede determinar la lectura que teóricamente se debe ver en cada punto.
Primero se debe calcular la variación de altura que existirá entre cada punto para cada uno de los tramos:
Para continuar de debe sumar o restar el delta correspondiente a la lectura de referencia que se posee en
cada tramo de la siguiente manera:
Á
Luego se debe determinar las cotas de cada punto según las cotas teóricas y las cotas obtenidas en terreno,
de lo cual se obtiene los siguientes registros:

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Si se sabe que el PR posee cota 100,000 [m] y el punto 7 se encuentra 22[cm] por sobre este, se sabe que
la cota real del punto 7 es 100,220 [m] luego, se utiliza dicha cota para el calculo de las costa de cada punto.
Punto L. atrás [m]
L.
Intermedia
[m]
L. Adelante
[m]
Cota
Instrumental
[m]
Cotas
Terreno
[m]
1 3,302 101,824 98,522
2 2,504 101,824 99,320
3 1,704 101,824 100,120
4 0,904 101,824 100,920
5 0,785 0,104 102,505 101,720
6 1,539 102,505 100,966
7 2,285 102,505 100,220
Del mismo modo de determinan las cotas teóricas, pero utilizando las lecturas teóricas ya calculadas,
obteniendo el siguiente registro:
Punto L. atrás [m]
L.
Intermedia
[m]
L. Adelante
[m]
Cota
Instrumental
[m]
Cotas
Teóricas
[m]
1 3,304 101,824 98,520
2 2,504 101,824 99,320
3 1,704 101,824 100,120
4 0,904 101,824 100,92
5 0,785 0,104 102,505 101,720
6 1,535 102,505 100,970
7 2,285 102,505 100,220
Al comparar los resultados obtenidos se puede apreciar que los puntos 1 y 6 no poseen cotas coincidentes
comparar los valores teóricos y lo medido en terreno, donde:

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Todos los procedimientos de medición, requieren de mecanismos de control que permitan determinar la
magnitud de los errores e imperfecciones, con el propósito de compararlos con un valor máximo permitido o
tolerancia, que dependerá de las exigencias del proyecto.
El propósito de los sistemas de control es poder obtener resultados lo más cercano a los reales y que estén
dentro de los límites aceptados por el proyecto, considerando la variabilidad de la medición al realizarla.
Dependiendo del procedimiento que se emplee para realizar la medición y de las condiciones externas
mientras se realizan las mediciones, será el sistema de control utilizado.
Los sistemas de control en una nivelación geométrica podemos dividirlos en 4 tipos:
1. Nivelación Cerrada: corresponde a aquella nivelación, simple o compuesta, que se desarrolla entre 2
puntos de cota conocida (2 PRs) o en forma de un circuito cerrado con 1 punto de cota conocida (PR),
de ahí su nombre. Cuando se forma un circuito cerrado, la nivelación parte en un punto y se cierra en
este mismo punto, generalmente, el punto de cota conocida (PR de la nivelación).
Imagen 2.1.26: “Croquis en planta de circuito cerrado de nivelación”
En el caso de la situación de la imagen anterior, el procedimiento de cálculo es el siguiente:
a.- Determinar el error de la nivelación, que se puede cuantificar de la siguiente forma:
E o ∑LAT – ∑LAD
Error = C llegada – C partida
Para esta situación, como el primer y último punto es el mismo, el desnivel entre ellos debe ser =
0, si es distinto de 0 nos indicará el error cometido en toda la trayectoria de la nivelación. Cómo
ya se había dicho anteriormente, en la sección nivelación simple, el desnivel entre estos puntos
es igual a la diferencia de sumatorias de lecturas atrás y adelante del circuito.
Además, el desnivel entre estos puntos es igual a la Cota de llegada menos Cota de partida y
como se trata del mismo punto, ambas cotas deben ser iguales, si no lo son nos indicará el error.
b.- Definir por las condiciones del proyecto o por las exigencias especificadas del proyecto la
tolerancia a aplicar.
Para los proyectos se establece una tolerancia, que corresponde al margen de error aceptable en
las mediciones, que a su vez nos permite validar la nivelación realizada. Lo estricto de la

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tolerancia depende plenamente del objetivo del proyecto que se está materializando y el nivel de
precisión de este.
 Por ejemplo, en una nivelación corriente, una de la más frecuente en la edificación se
establece:
√
Donde “Dkm” corresponde a la distancia horizontal total del circuito, expresada en
kilómetros.
 Para el trabajo topográfico de vialidad (MOP), en una nivelación de precisión,
generalmente, se establece:
t = √
 Para el montaje de máquinas las exigencias aún son mayores, nivelación de
maquinarias, donde la tolerancia puede fluctuar entre:
t = √
c.- Comparar el error obtenido con la tolerancia exigida .
Si el error obtenido en la nivelación supera el valor determinado por la tolerancia, se considera
la medición como inaceptable, o sea se debe repetir nuevamente la medición. Cuando el error
es menor o igual a la tolerancia exigida, o sea se encuentra dentro del rango establecido por la
tolerancia, se debe compensar y distribuir el error según algún criterio.
d.- Compensar o distribuir el error obtenido, si está dentro de tolerancia.
La compensación o corrección del error detectado se puede efectuar en función a 3 criterios
distintos. Todos estos criterios consideran que en la nivelación geométrica los errores son
acumulativos, o sea los últimos puntos medidos deben tener mayor compensación que los
primeros:
 Distancia acumulada. En la medida que el punto a compensar se aleja del origen esta
compensación es mayor en función de su distancia horizontal acumulada. Se determina
un error unitario por (ml) de nivelación ejecutada.
 Número de puntos medidos. En la medida que el punto a compensar se encuentre más
distante del inicio tendrá una mayor compensación. Existe un error unitario por punto
medido. Este criterio se podría aplicar cuando se esté nivelando sobre la nieve, es
posible que cada vez que se gire el instrumento para leer un nuevo punto, el instrumento
se asiente por la presión ejercida.
 Número de estaciones del circuito. En la medida que el punto a compensar se encuentre
en una posición instrumental o eslabón (nivelación simple) más distante del inicio tendrá
una mayor compensación. Existe un error unitario por estación, por lo tanto todos los
puntos leídos desde una misma posición instrumental tienen una misma compensación.
El más utilizado es en función de la distancia parcial acumulada. En la compensación es
importante determinar el signo del error, por cuánto éste puede tener signo positivo o negativo.
Siempre la compensación es de signo contrario al del error. Y la compensación se debe
expresar siempre al mm, excepto cuando se trata de nivelaciones de precisión donde la unidad
de la compensación debe ser equivalente a la unidad de las mediciones, o sea 0,1 o 0,01 [mm]
dependiendo del tipo de instrumento utilizado.

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Los cálculos a realizar se describen a continuación:
[ ]
[ ]
[ ]
Donde:
: Error unitario.
: Error total de la nivelación.
: Distancia total del recorrido del circuito en [m].
: Compensación de un punto “j”.
: Compensación unitaria.
: Distancia parcial acumulada al punto “j” en [m].
: Número total de estaciones del circuito.
: Número total de puntos del circuito
: Número de estaciones hasta la estación que contiene al punto “j”.
: Número de puntos hasta el punto “j”.
Por ejemplo, en el caso de la imagen 2.1.26, si además del croquis mostrado, se tuviese la siguiente
información:
Punto
Dist
Parcial
[m]
D.
Acumulada
[m]
L.
Atrás
[m]
L.
Intermedia
[m]
L.
Adelante
[m]
Cota
Instrumental
[m]
Cota
[m]
Comp
[mm]
Cota
Punto
[m]
1 --- -145 1,325 101,442 100,117
5 60 -85 1,731 101,442 99,711
6 25 -60 2,380 1,923 101,899 99,519
4 40 -20 2,321 101,899 99,578
3 20 --- 1,558 1,899 101,558 100,000 0 100,000
2 10 10 1,375 101,558 100,183
1 15 25 1,444 101,558 100,114
E o ∑LAT – ∑LAD -5,266=-0,003 [m]
ó
C llegada – C partida=100,114-100,117=-0,003 [m]
± 0,015√ =± 0,02√ =± 0,006[m]= ±6 [mm]
Luego la compensación se puede determinar de 3 maneras diferentes:
[ ] [ ]

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[ ]
[ ]
Si ingresamos dichos valores en 3 registros diferentes se obtiene:
Compensación por Distancias Compensación por N° de Puntos Compensación por N° de Estaciones
Punto
Cota
[m]
Comp
[mm]
Cota
Punto
[m]
Punto
Cota
[m]
Comp
[mm]
Cota
Punto
[m]
Punto Cota [m]
Comp
[mm]
Cota
Punto [m]
1 100,117 -3 100,114 1 100,117 -2 100,115 1 100,117 -2 100,115
5 99,711 -2 99,709 5 99,711 -1 99,710 5 99,711 -2 99,709
6 99,519 -1 99,518 6 99,519 -1 99,518 6 99,519 -1 99,518
4 99,578 0 99,578 4 99,578 0 99,578 4 99,578 -1 99,577
3 100,000 --- 100,000 3 100,000 --- 100,000 3 100,000 --- 100,000
2 100,183 0 100,183 2 100,183 0 100,183 2 100,183 1 100,184
1 100,114 0 100,114 1 100,114 1 100,115 1 100,114 1 100,115
Se puede apreciar que los valores de las cotas compensadas no son completamente coincidentes según el
tipo de compensación utilizado, pero, siempre se cumple que los valores de partida y de llevada en cada
registro, finalmente son coincidentes.
Cuando la nivelación se “cierra” producto de que los puntos extremos de ésta son de cota conocida se tiene
el siguiente caso:
Imagen 2.1.27: “Nivelación con punto de partida y fin de cota conocida”
Fuente: Editado por Camilo Guerrero.

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En esta situación el error viene determinado de la siguiente forma:
h PR1-PR2 ∑LAT – ∑LAD
h’PR1-PR2 = C PR2 – C PR1
E o h PR1-PR2 - h’PR1-PR2
Si se establece que la cota de PR_1 = 100,000[m] y la se PR_2 = 99,300[m], con una tolerancia de
±0,01√ [m].
Punto
Dist.
Parcial
[m]
Dist.
Acumulada
[m]
L. Atrás
[m]
L. Intermedia
[m]
L.
Adelante
[m] Cota [m]
Comp.
[mm]
Cota
comp.
PR_1 0 0 1,578 100 0 100,000
1 80 80 0,914 2,258 99,32 -1 99,319
2 60 140 0,359 99,875 -1 99,874
3 56 196 0,486 99,748 -1 99,747
4 19 215 3,193 1,319 98,915 -2 98,913
PR_2 70 285 2,806 99,302 -2 99,300
Suma L. At.= 5,685 Suma L. Ad.= 6,383 error= 0,002 [m]
Tolerancia= +- 0,0053 [m]
T = ± 0,01√ = √ = ± 0,01x 0,534 = ± 0,0053[m]
En el caso anterior el error se obtiene en base a la diferencia existente entre la cota de llegada calculada de
PR_2 y la cota de PR_2 dada como dato. Además se puede determinar comparando la diferencia de altura
existente de manera teórica entre PR_1 y PR_2 y el determinado por las Lecturas atrás y adelante
realizadas.
h PR1-PR2 ∑LAT – ∑LAD = 5,685 – 6,383 = - 0,698[m]
h’PR1-PR2 = C PR2 – C PR1= 99,300-100,000 = - 0,700 [m]
E o h PR1-PR2 - h’PR1-PR2 = - 0,698 – (- 0,700) = 0,002 [m]
Además:
Error = C cálculo PR_2 - C PR_2 = 99,302 – 99,300 = 0,002 [m]
Una nivelación puede estar conformada por una serie de pequeños circuitos de nivelaciones cerradas, los
cuales en su conjunto forman una sola nivelación de gran magnitud, esto se realiza con el fin de disminuir los
errores en la medición. En general, no es conveniente tener circuitos mayores a 1.000 m, o sea 500m de ida
y otros 500m de vuelta, para evitar repetir un tramo importante de la nivelación en la eventualidad que el
error nos obligue a repetir las mediciones.
En la nivelación, todo punto que posea una lectura atrás y una adelante puede ser el comienzo o fin de un
circuito.
Al realizar el cálculo de cotas, de cada circuito, se debe procurar no sobrepasar la tolerancia y verificar
además que siempre se está trabajando (procesando) con un sólo circuito a la vez.
Una manera de verificar el número de circuitos, que puede tener una nivelación geométrica, es observar la
columna de los puntos en la hoja de registro. Si un mismo punto es registrado dos veces en la nivelación nos
indicará que éste conforma un circuito cerrado. Por lo tanto, dependiendo del número de puntos registrado
dos veces, en la hoja de nivelación, nos indicará el número de circuitos de nivelación cerrada que ha
dispuesto, consciente o inconscientemente el Topógrafo del proyecto, en la medición de los puntos que
conforman la nivelación realizada. En el ejemplo ilustrado a continuación, los puntos que cumplen con esta
condición son: 1, 3, y 5, o sea 3 son las nivelaciones cerradas.

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Imagen 2.1.28: “Circuito cerrado de nivelación”
Donde:
 Circuito i: conformado por los puntos 1 – 3 - 2 – 1
 Circuito ii: conformado por los puntos 3 – 4 – 5 – 3
 Circuito iii: conformado por los puntos 5 – 6 - 8 - 7 – 5

Cada circuito tendrá un error propio, que debe compensarse según un criterio independientemente de los
otros circuitos.
Los errores de cada circuito corresponderán a lo siguiente:
 Circuito i: Ei = (1,232 + 1,804) – (1,933 + 1,105) = 0,002[m]
 Circuito ii: E2 = (1,933 + 1,502 + 1,023) – (1,255 + 0,853 + 2,347) = 0,003[m]
 Circuito iii: E3 = (0,853 + 3,724) – (2,809 + 1,765) = 0,003[m]
Punto
Dist
Parcial [m]
D. Acumulada
[m]
L. Atrás
[m]
L. Intermedia
[m]
L. Adelante
[m]
Cota
[m]
Comp
[mm]
Cota
Punto [m]
1 1,232
3 1,933
4 1,502 1,255
5 0,853
6 2,925
8 3,724 2,809
7 3,001
5 1,023 1,765
3 1,804 2,347
2 1,259
1 1,105

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Otra manera de verificar el número de circuitos, es representar en planta un esquema de la nivelación con
todas las mediciones realizadas. De esta forma se podrá observar gráficamente el número de circuitos, al
detectar los puntos que cierran un circuito, o sea puntos leídos 2 veces de distintas posiciones
instrumentales no consecutivas.
En la imagen 2.1.28 se puede apreciar una nivelación cerrada conformada por 3 circuitos diferentes, el
primero entre los puntos 1 y 3, el segundo entre los puntos 3 y 5 y el último entre los puntos 5 y 8.
Cada uno de estos circuitos debe anotarse en forma separada, en hojas de registro distintas. Para nuestro
ejemplo, corresponderá a lo siguiente:
Registro Circuito i:
Punto
Dist.
Parcial [m]
D. Acumulada
[m]
L. Atrás
[m]
L. Intermedia
[m]
L. Adelante
[m]
Cota
[m]
Comp.
[mm]
Cota
Punto [m]
1 1,232
3 1,804 1,933
2 1,259
1 1,105
Registro Circuito ii:
Punto
Dist.
Parcial [m]
D. Acumulada
[m]
L. Atrás
[m]
L. Intermedia
[m]
L. Adelante
[m]
Cota
[m]
Comp.
[mm]
Cota
Punto [m]
3 1,933
4 1,502 1,255
5 1,023 0,853
3 2,347
Registro Circuito iii:
Punto
Dist.
Parcial [m]
D. Acumulada
[m]
L. Atrás
[m]
L. Intermedia
[m]
L. Adelante
[m]
Cota
[m]
Comp.
[mm]
Cota
Punto [m]
5 0,853
6 2,925
8 3,724 2,809
7 3,001
5 1,765
Dependiendo donde se encuentra el PR de la nivelación, el procedimiento para calcular las cotas de los
puntos compensados se puede efectuar de diferentes formas.
A continuación se explican 3 procedimientos para el cálculo de estas cotas compensadas, cuando el PR se
encuentra entre medio de los puntos de la nivelación, o sea no es el primer o último punto de ella.

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Como ejemplo de estos procedimientos consideremos que el punto 2 corresponde al PR de la nivelación
cerrada, que tiene una cota = 101,000(m), una tolerancia T = ± 0,02√ y el siguiente registro:
Punto
D.
Parcial
[m]
D.
Acum.
[m]
L. atrás
[m]
L.
Intermedia
[m]
L. Adelante
[m]
1 --------- -65 2,281
3 31 -34 2,372
4 10 -24 1,198 1,468
2 24 --------- 2,046
1 17 17 2,015
1- El primer procedimiento corresponde a realizar los cálculos partiendo desde el PR hacia los extremos
del registro. En este caso las distancias acumuladas parten desde el PR hacia los extremos,
considerándose como distancia total del circuito la correspondiente a la suma de las distancias
acumuladas en cada extremo del registro de nivelación. Las distancias desde el PR hacia atrás deben
considerarse como negativas, por cuanto están a la izquierda del origen (PR).
Punto
D.
Parcial
[m]
D.
Acum.
[m]
L. atrás
[m]
L.
Intermedia
[m]
L.
Adelante
[m]
Cota
Instrumental
[m]
Cota
[m]
Comp.
[mm]
Cota
Comp.
[m]
1 --------- -65 2,281 103,316 101,035 -3 101,032
3 31 -34 2,372 103,046 100,944 -2 100,942
4 10 -24 1,198 1,468 103,046 101,848 -1 101,847
2 24 --------- 2,046 103,046 101,000 ------ 101,000
1 17 17 2,015 103,046 101,031 1 101,032
E o ∑LAT – ∑LAD= (1,468+2,015)-(2,281+1,198)=-0,004 [m]
Ó
± 0,02√ =± 0,02√ =0,0057[m]
Compensación puntos:
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
2- El segundo procedimiento corresponde a determinar las cotas partiendo por el primero punto del circuito
ubicado en el registro. En este caso para poder realizar el cálculo se da de manera referencial una cota
“X” al punto de partida, una vez determinadas las cotas se procede a compensarlas respecto de este
punto. En este caso las distancias acumuladas parten desde le inicio del registro y se van acumulando
hasta el final, siendo el recorrido total del circuito el correspondiente a la ultima distancia acumulada del
último punto medido.

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Luego se compara la cota real del punto de referencia con la que dio en los cálculos, obteniéndose un
valor positivo o negativo (delta) que se suma o resta respectivamente a todos los puntos del circuito de
la nivelación.
Punto
D.
Parcial
[m]
D.
Acum.
[m]
L.
atrás
[m]
L.
Intermedia
[m]
L.
Adelante
[m]
Cota
Instrumental
[m]
Cota [m]
Comp.
[mm]
Cota
Comp.
[m]
Delta
PR(+)
[m]
Cota
Comp.
Corregida
[m]
1 --------- 0 2,281 102,281 100 ----- 100,000 1,032 101,032
3 31 31 2,372 102,281 99,909 2 99,911 1,032 100,943
4 10 41 1,198 1,468 102,011 100,813 2 100,815 1,032 101,847
2 24 65 2,046 102,011 99,965 3 99,968 1,032 101,000
1 17 82 2,015 102,011 99,996 4 100,000 1,032 101,032
E o ∑LAT – ∑LAD = (1,468+2,015)-(2,281+1,198)=-0,004 [m]
Ó
La tolerancia, corresponde a la misma calculada en el método anterior.
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
En él registro se puede apreciar que el registro utilizado es el mismo que en el primer método, pero se
agregan las columnas delta PR y Cota Compensada Corregida, donde la primera corresponde a la
diferencia entre la cota calculada y la cota de PR establecida en el proyecto (101,000 [m]). En este
caso se establece como cota de partida la del punto 1 = 100,000 [m].
Además, los valores de Cota Compensada Corregida corresponden a los mismos establecidos en la
columna Cota compensada del registro tipo 1.
3- El tercer y último procedimiento corresponde a determinar las cotas partiendo del PR del proyecto en el
circuito, terminando en este mismo. Las distancias acumuladas tendrán como origen el PR y finalizará
en este mismo PR. En este caso el error corresponde a la diferencia entre la cota de llegada del PR y la
cota del PR del proyecto.

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Punto
D.
Parcial
[m]
D.
Acum.
[m]
L.
atrás
[m]
L.
Intermedia
[m]
L.
Adelante
[m]
Cota
Instrumental
[m]
Cota
[m]
Comp.
[mm]
Cota
Comp.
[m]
1 --------- 17 2,281 103,312 101,031 1 101,032
3 31 48 2,372 103,312 100,94 2 100,942
4 10 58 1,198 1,468 103,042 101,844 3 101,847
2 24
82
2,046
103,042 100,996 4 101,000
--------- 103,046 101,000 --------- 101,000
1 17 17 2,015 103,046 101,031 1 101,032
E o ∑LAT – ∑LAD = (1,468+2,015)-(2,281+1,198)=-0,004 [m]
Ó
La tolerancia, corresponde a la misma calculada en el método anterior.
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Como se puede apreciar, las cotas compensadas de los puntos medidos son las mismas obtenidas en
los otros 2 procedimientos, como era de esperar.
Esto se puede comprender de mejor manera al reordenar las lecturas y puntos en un nuevo registro, de
la siguiente manera:
Punto
D.
Parcial
[m]
D.
Acum.
[m]
L. atrás
[m]
L.
Intermedia
[m]
L. Adelante
[m]
Cota
Instrumental
[m]
Cota [m]
Comp.
[mm]
Cota
Comp. [m]
2 0 --------- 2,046 103,046 101,000 --------- 101,000
1 17 17 2,281 2,015 103,312 101,031 1 101,032
3 31 48 2,372 103,312 100,94 2 100,942
4 10 58 1,198 1,468 103,042 101,844 3 101,847
2 24 82 2,046 103,042 100,996 4 101,000
Los cálculos requeridos para determinar el error, la tolerancia y las compensaciones corresponden a los
mismos efectuados anteriormente.
En fin, cada uno de los procedimientos indicados anteriormente, corresponden al cálculo de cotas en base a
un “PR” determinado y en todos los casos se obtienen los mismos resultados.

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Por ejemplo, si se requiere realizar la nivelación cerrada de los puntos singulares de un predio, primero se
debe realizar la toma de lecturas y registrarlas, en conjunto con conocer la tolerancia que se establece
según sea el proyecto.
Si se tiene el caso de un predio con construcciones antiguas, el cual se nivelará para la futura construcción
de un edificio.
Se debe realizar el registro de la nivelación:
Punto
Lectura
atrás [m]
Lectura
intermedia[m]
Lectura
Adelante[m]
Distancia
Parcial [m]
1 1,715 0
2 2,026 8
3 1,289 20
4 1,283 3,221 13
5 3,012 1,473 6
1 1,323 47
Según lo establecido en las especificaciones de proyecto, se tendrá una tolerancia de (± 0,025√Dk) [m] y se
tiene como punto de referencia el punto 4 con cota 100,000 [m].
De manera más gráfica se tiene el siguiente caso:
Imagen 2.1.29: “croquis en planta de nivelación”

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A continuación se presenta el registro de nivelación por medio de los 3 métodos mencionados anteriormente.
1) Registro Tipo 1
Primero se calcula cada una de las cotas partiendo por la cota del PR, de lo cual resulta la siguiente tabla:
Punto
Lectura
atrás
Lectura
intermedia
Lectura
Adelante
Dist.
Parcial [m]
Dist.
Acum.
[m]
Cota
Instrumento
[m]
Cotas
[m]
1 1,715 0 41 103,221 101,506
2 2,026 8 33 103,221 101,195
3 1,289 20 13 103,221 101,932
4 1,283 3,221 13 - 103,221 100,000
5 3,012 1,473 6 6 101,283 99,810
1 1,323 47 53 102,822 101,499
Como se puede apreciar en este caso las distancias acumuladas parten desde el punto con cota conocida.
Luego se hace el cálculo del Error y de la Tolerancia:
Error :
-por lecturas= 𝛴LAT-𝛴LAD=6,01 – 6,017=0,007[m]= -7,000 [mm]
-por cotas= 101,499 [m]-101,506[m] = -0,007 [m]= -7,000 [mm]
Como ambos valores coinciden, se verifica el correcto cálculo hasta el momento.
Tolerancia:
√ √
La tolerancia es mayor al error obtenido, por lo tanto se puede compensar las cotas
Luego se determina la compensación unitaria, con ella la compensación en cada punto y la cota
compensada de cada punto.
[ ] [ ]
Punto
Lectura
atrás
Lectura
intermedia
Lectura
Adelante
Dist.
Parcial [m]
Dist.
Acum.
[m]
Cota
Instrumento
[m]
Cotas
[m]
Comp.
[mm]
Cotas
Comp.
[m]
1 1,715 0 - 41 103,221 101,506 -3 101,503
2 2,026 8 - 33 103,221 101,195 -2 101,193
3 1,289 20 - 13 103,221 101,932 -1 101,931
4 1,283 3,221 13 - 103,221 100,000 100,000
5 3,012 1,473 6 6 101,283 99,810 0 99,810
1 1,323 47 53 102,822 101,499 4 101,503
Como el error era negativo, al momento de compensar, para los puntos que se encuentran por sobre el PR
(punto 4) disminuyen su cota y aquellos puntos que se encuentran por debajo del PR aumentan su cota
respecto a la primera calculada.

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2) Registro Tipo 2
Primero se determinan las cotas de los puntos, suponiendo que se tiene como cota conocida la del punto 1=
100,000 [m].
Punto
Lectura
atrás
Lectura
intermedia
Lectura
Adelante
Dist.
Parcial [m]
Dist.
Acumulada
[m]
Cota
Instrumento
Cotas [m]
1 1,715 0 - 101,715 100,000
2 2,026 8 8 101,715 99,689
3 1,289 20 28 101,715 100,426
4 1,283 3,221 13 41 99,777 98,494
5 3,012 1,473 6 47 101,316 98,304
1 1,323 47 94 101,316 99,993
Luego se determina el error existente, el cual es -7[mm] por diferencia de cotas, como el registro es el
mismo utilizado anteriormente el error en base a las lecturas es -7[mm], además al ser el mismo circuito ya
se sabe la tolerancia, la cual corresponde a ±8 [mm], por lo tanto se compensa de la siguiente manera:
- Se debe calcular la compensación para cada punto, partiendo desde el punto 1 con cota 100.
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
- Dichos valores se suman a las cotas de terminadas, luego se determina la diferencia entre la cota real del
punto 4 y la cota que se calculó y dicha diferencia se suma al valor de cada cota determinada.
Punto
Lectura
atrás
[m]
Lectura
intermedia
[m]
Lectura
Adelante
[m]
Dist
Parcial
[m]
Dist.
Acum
[m]
Cota
Inst. [m]
Cotas [m]
Comp.
[mm]
Cotas
Comp.
[m]
Delta
PR
Cota Real
[m]
1 1,715 0 - 101,715 100,000 - 100,000 1,503 101,503
2 2,026 8 8 101,715 99,689 1 99,690 1,503 101,193
3 1,289 20 28 101,715 100,426 2 100,428 1,503 101,931
4 1,283 3,221 13 41 99,777 98,494 3 98,497 1,503 100,000
5 3,012 1,473 6 47 101,316 98,304 4 98,308 1,503 99,810
1 1,323 47 94 101,316 99,993 7 100,000 1,503 101,503

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xdxd
3) Registro Tipo 3
Se inician los cálculos desde el PR y se sigue siempre hacia abajo determinando las cotas de cada
punto.
En base al calculo de cotas realizado, se puede ver que el error existente corresponde a -7 [mm], la
tolerancia y la compensación unitaria son los mismos que los considerados anteriormente.
Esto corresponde a hacer el siguiente cambio al registro:
Punto
Lectura
atrás
Lectura
intermedia
Lectura
Adelante
Dist. Parcial
[m]
Dist.
Acum. [m]
Cota
Instrumento
[m]
Cotas [m]
4 1,283 - 100
5 3,012 1,473 6 6 102,822 99,81
1 1,715 1,323 47 53 103,214 101,499
2 2,026 8 61 103,214 101,188
3 1,289 20 81 103,214 101,925
4 3,221 13 94 101,283 99,993
Luego el cálculo de compensaciones se hace en base a los valores dispuestos en el registro obteniéndose
los siguientes resultados:
Punto
Lectura
atrás
Lectura
intermedia
Lectura
Adelante
Dist. Parcial
[m]
Dist.
Acum. [m]
Cota
Instrumento
[m]
Cotas [m]
Comp.
[mm]
Cotas
Comp. [m]
1 1,715 0 53 103,214 101,499 4 101,503
2 2,026 8 61 103,214 101,188 5 101,193
3 1,289 20 81 103,214 101,925 6 101,931
1,283 3,221 13
94
101,283
99,993 7 100,000 OK
4 - 100,000 - 100,000 OK
5 3,012 1,473 6 6 102,822 99,81 0 99,810
1 1,323 47 53 102,822 101,499 4 101,503
De este modo se realiza el registro y calculo de cotas de 3 maneras diferentes y con resultados correctos.
Punto Lectura
atrás
Lectura
intermedia
Lectura
Adelante
Dist.
Parcial [m]
Dist.
Acum.
[m]
Cota
Instrumento
[m]
Cotas
[m]
1 1,715 0 53 103,214 101,499
2 2,026 8 61 103,214 101,188
3 1,289 20 81 103,214 101,925
1,283 3,221 13 94 101,283 99,993
4 - 100
5 3,012 1,473 6 6 102,822 99,81
1 1,323 47 53 102,822 101,499

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2. Nivelación por miras dobles: Este tipo de nivelación es usada generalmente en nivelaciones de
precisión, que utiliza un tipo de mira especial, generalmente de 3 (m), las cuales poseen 2 escalas de
graduaciones desfasadas, una a escala normal de 0 a 3(m) y otra de control desfasada una cierta
cantidad fraccionada de mm, por ejemplo 3.342(mm) originando una graduación de 3.342 a 6.342 (mm),
para que el operador no pueda sumar mentalmente la lectura obtenida de la 1ªgraduación el desfase de
3.342 (mm) entre las graduaciones, como se observa en la imagen 2.1.30.
Al medir, se realizan las lecturas en las dos posiciones en la mira, “L1” y “L2”. El método de
comprobación consiste en que la diferencia entre las lecturas L1 y L2, debe dar igual a la constante de
medición de la mira o sea el desfase de 3.342 (mm) siguiendo el ejemplo, en caso contrario se debe
volver a realizar la medición.
Imagen 2.1.30: “Esquema comprobación Miras Dobles”
Fuente: Presentación “Topografía: Nivelación Geométrica” del Profesor José Francisco Benavides Núñez;
editado por Camilo Guerrero.
Al realizar mediciones con este sistema de control se debe tener una distancia igual desde la posición
instrumental y hacia cada punto medido, a modo de evitar el error de colimación. Se puede decir que,
producto de realizar 2 lecturas a cada uno de los puntos medidos, este sistema se convierte en una
nivelación cerrada.
Imagen 2.1.31: “Esquema en planta de nivelación por miras dobles.”
3. Nivelación por doble estacionamiento: Se utilizan dos estaciones instrumentales para cada
nivelación simple, una que hace las veces de la nivelación de ida midiendo los puntos necesarios del
tramo, o sea L atrás, L intermedias y L adelante y la otra para la nivelación de vuelta cerrando el
circuito, con la correspondiente L atrás y L adelante a los puntos de cambio que respectivamente
correspondan.
Con este procedimiento es posible controlar los tramos de avance, entre puntos de cambio, como si
fueran una nivelación cerrada. El desnivel obtenido, entre tales puntos, debe ser el mismo entre una y
otra estación o se determina el error y se compensa con el procedimiento anteriormente descrito para
una nivelación cerrada. Como el error en los puntos intermedios es puntual no se arrastra, sólo se
controlan los puntos de cambio.

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Al realizarse el desplazamiento del instrumento, se debe tener cuidado en que este sea en sentido
perpendicular al eje del perfil, ubicándolo unos centímetros por detrás de la posición original o en algún
punto por delante de la posición original
Cuando ambos desniveles están dentro de los rangos de tolerancia, se tomara el promedio de
ellos como desnivel, de lo contrario habrá que realizar nuevamente la nivelación.
Imagen 2.1.32: “Nivelación por doble estacionamiento”
4. Nivelación Recíproca: Es un caso particular de nivelación el cual es utilizado cuando se requiere
tomar lecturas a lugares de difícil acceso y la presencia de accidentes geográficos no permite
mantener constante la distancia existente entre el instrumento y la mira. Es por es que en estos casos
se debe “extremar” la posición del instrumento con respecto a la de las miras, producto de estar muy
lejos de una y muy cerca de la otra, pudiendo ubicarse el instrumento entre las miras o por fuera de
estas.
Para estos casos el resultado del procedimiento corresponde al promedio de los ∆H calculados entre
ambos puntos para cada posición instrumental.
Imagen 2.1.33: “Esquema nivelación recíproca”
Fuente: Presentación “Topografía: Nivelación Geométrica” del Profesor José Francisco Benavides Núñez;
editado por Camilo Guerrero.
En el caso presentado en la imagen anterior el desnivel se obtiene de la siguiente manera:

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2.2.- Nivelación Trigonométrica.
La nivelación trigonométrica corresponde al procedimiento de medición de desniveles o cotas de puntos por
medio de lecturas a miras o visuales directas a dichos puntos a través de un Taquímetro o Teodolito, según
precisión. Las mediciones realizadas generalmente corresponden a los parámetros medidos por la
topografía, ángulos y distancias. Para obtener estos desniveles o cotas, es necesario determinar
indirectamente algunos parámetros que no pueden medirse en terreno, empleando expresiones con
funciones trigonométricas, razón por la cual se denomina trigonométrica e indirecta, a diferencia de la
geométrica que es directa. Al emplear estas funciones trigonométricas, la necesidad de efectuar cálculos con
ciertos supuestos y la magnitud de las distancias que generalmente se utilizan, esta nivelación trabaja al
(cm).
Imagen 2.2.1: “Teodolito”
Los ángulos medidos son horizontales y verticales, que nos permite determinar la posición planimétrica y
altimétrica respectivamente, de los puntos observados. Las distancias corresponden: a altura (distancia
vertical) entre el punto propiamente tal (señal que lo materializa) e hilo medio del retículo sobre la mira en
dicho punto, o sea Lm; al plano inclinado que genera el hilo medio del retículo, entre el instrumento y punto,
y la distancia horizontal entre éstos, que usualmente se determinan a través de un distanciómetro montado
sobre el instrumento o utilizando la constante estadimétrica, leyendo la lectura superior e inferior sobre la
mira.
Según las magnitudes de las distancias entre instrumento y puntos medidos, puede corresponder a una
nivelación trigonométrica corta para distancias menores a 250(m), evitando de esta forma las correcciones
por esfericidad terrestre, o larga para distancias mayores a ésta donde se debe corregir por curvatura
terrestre y refracción atmosférica.
De manera general se denomina goniómetros a los instrumentos que permiten mediciones angulares, los
cuales según la sensibilidad o unidad mínima a medir se subdividen en:
a) Taquímetro: con unidades al minuto: por ejemplo de 50c, 20c,10c, 5c, 2c,1c
b) Teodolito: con unidades al segundo: por ejemplo de 50cc, 20cc,10cc, 5cc, 2cc,1cc
El instrumento, ya sea taquímetro o teodolito, tiene como función principal la medición de ángulos
horizontales y verticales, además de manera indirecta puede medir distancias.
Estos a su vez, al igual que en nivel topográfico, puede destacarse 3 aspectos: óptico, geométrico y
mecánico.

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La parte óptica, consta de los mismos elementos que conforman el anteojo del nivel topográfico, objetivo,
retículo y ocular. Éstos, por la necesidad de observar puntos a mayor distancia, requieren mayor aumento en
el ocular.
La parte geométrica esta compuesta por:
g) Eje vertical de rotación del anteojo: corresponde al eje respecto del cual gira horizontalmente el
instrumento, paralelo a la línea de la gravedad.
h) Eje de colimación o puntería: corresponde a la visual que genera el centro del ocular con el centro
del objetivo y pasa por la intersección de los hilos principales del retículo.
i) Eje de inclinación del anteojo: corresponde al eje respecto del cual gira verticalmente el anteojo.
j) Línea de fe: Línea imaginaria que pasa tangente al nivel tubular cuando el instrumento se encuentra
nivelado.
k) Constante estadimétrica (K).
Imagen 2.2.2: “Parte Geométrica del Instrumento”
Fuente: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Theodolit_Schema.PNG, Editado por Camilo Guerrero.
El aspecto mecánico corresponde a todos los elementos de manipulación del instrumento, de los cuales
muchos se repiten respecto del nivel topográfico, a continuación se describen los no descrito anteriormente:
a) Marca central del instrumento: corresponde a la señal que se centra en el eje vertical de rotación e
indica la altura donde se emplaza el hilo horizontal del retículo, que a su vez permite determinar la
altura instrumental (i). Ésta se mide desde el punto sobre el cual se posiciona el instrumento,
estación (E), hasta dicha marca.
b) Pantalla: en el caso en que se trabaje con instrumento electrónico, éste posee una pantalla, en la
cual se pueden observar las lecturas realizadas: LLV, LLH, Lm, Ls, Li y Dh en ciertas situaciones. En
caso de instrumento óptico, no dispone esta pantalla, pero se tienen las líneas estadimétricas
graduadas en el retículo del instrumento para efectuar las mediciones correspondientes.
c) Freno de movimiento horizontal y vertical: corresponde a dispositivos utilizados para fijar la posición
del ocular, ya sea en el sentido horizontal, vertical o en ambos. Su principal objetivo es poder fijar el
anteojo del instrumento (retículo) en el centro del punto observado o para mantener ciertas lecturas
en el levantamiento topográfico, como por ejemplo Lm = i.
d) Nivela tubular: complementaria al nivel esférico, utilizado para lograr una nivelación precisa del
instrumento.
e) Plomada óptica: su principal función es hacer coincidir el eje vertical de rotación del instrumento con
el punto que representa la estación topográfica (posición instrumental).

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