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Resumen—En el presente texto se desarrolla el pronóstico de la
curva cero cupón de un año por medio del modelo Vasicek y...
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La aplicabilidad del modelo de tasa de interés de Vasicek para
opciones call y put en los títulos de renta fija colombia...
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Donde )(tr es la tasa instantánea del tipo de interés y tdW un
movimiento browniano estándar. El modelo de Vasicek (1977...
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 Estimar los parámetros del proceso continuo
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ecuación diferencial.
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Ilustración 1. (Pereda, 2009). Ejemplo de la estimación de la curva
cero cupón por medio del modelo Nelson Y Siegel.
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 Sus incrementos son independientes. Si 0 ≤ t1 ≤ . . .
≤ tn, entonces 𝑊𝑡1, 𝑊𝑡2, … 𝑊𝑡𝑛 − 𝑊𝑡𝑛−1 son
variables aleatorias ...
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de la Superintendencia de Valores (llamada Superintendencia
financiera a partir del 2005 en el decreto 4327 del 2005); e...
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Tabla 1. Prueba de raíz unitaria, Eviews 7.
Como se muestra en el Tabla 1, esta serie de tiempo tiene raíz
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Y la varianza incondicional está dada por
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Por otro lado, se graficó, la tasa real, el Simulación 1(Línea
Roja) y el Simulación 2 (Línea Negra), para poder determ...
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disminuir el riesgo de mercado, y así tener una buena
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Vasicek & CIR Model - Paper Final Grado

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Vasicek & CIR Model - Paper Final Grado

  1. 1. 1 Resumen—En el presente texto se desarrolla el pronóstico de la curva cero cupón de un año por medio del modelo Vasicek y el modelo Cox Ingersoll Ross bajo la plataforma Matlab y el programa estadístico E-views, así se identifica cuál de las dos metodologías es más acertada tanto matemática como gráficamente, adicionalmente se pretende evidenciar la importancia que puede tener un pronóstico acertado sobre diferentes variables financieras de este tipo. Palabras clave— Curva de rendimiento, Matlab, Modelo Cox Ingersoll Ross (CIR), Modelo Vasicek, curva cero cupón, tasa fija, movimiento browniano, tasa de interés, riesgo, desviación estándar. . Abstract— In this text we develope the one year Zero cupon yield curve forecast, working on Vasicek model and Cox Ingersoll Ross Model. Those models were worked on matlab and the statistical software E-views. On the next pages we are able to show which is the best metodology argued by mathematical expressions and through graphs. Additionally, we explain how important could be to get an accurate forecast on differents unknown finances variables. Key Words—Yield curve, Matlab, Cox Ingersoll Ross (CIR) model, Vasicek model, zero coupon yield curve, fixed income, brownian motion, interest rate, risk, standard deviation. 1. INTRODUCCIÓN ¿Cuál es el mejor método de pronóstico de las tasas Cero Cupón a un año, entre el modelo Vasicek y el modelo CIR? La curva cero cupón es de las más usadas en el mercado de capitales como referencia de mercado de renta fija, por medio de ella se estiman valoraciones de títulos tanto líquidos como ilíquidos, adicionalmente, toma una marcada importancia dado que facilita el desarrollo, la formulación matemática y el cálculo de valoración de otro tipo de instrumentos. Pronosticar la curva cero cupón de una manera acertada da la posibilidad de poder estimar el precio de títulos de renta fija y así trazar estrategias de inversión más acertadas, aunque no es una curva replicable exactamente en el mercado su influencia sobre el 1 Ingeniero Financiero, Pertenece al Grupo Riesgo de Mercado con MATLAB 2 Ingeniero Financiero, Pertenece al Grupo Riesgo de Mercado con MATLAB 3 Ingeniero Financiero, Pertenece al Grupo Riesgo de Mercado con MATLAB 4 Magister in Stochastic Enginerring, Economista, Finanzas y Comercio Exterior. mismo está dada a que marca el rendimiento mínimo que debe tener las inversiones en cierta periodicidad. En un mercado de capitales que ha venido evolucionando durante los últimos años como en el caso Colombiano, donde la emisión de títulos de deuda privada es una constante en el mercado, una proyección aproximada de la tasa cero cupón permite generar perspectivas directas de las tasas de negociación. Adicionalmente ofrece expectativas de indicadores macroeconómicos (tasas de interés) que afectan la evolución del mercado y directamente con ello la rentabilidad de este tipo de títulos. A partir de la tasa cero cupón se pueden hacer comparaciones del estado de la economía colombiana respecto a otras economías, así inversionistas apoyados en indicadores macroeconómicos de cada país, análisis de calificaciones crediticias, situación política y fiscal podrían dar mayor rendimiento a sus inversiones ampliando el entendimiento y análisis de un correcto balance riesgo/ retorno sobre las inversiones de renta fija en diferentes países. En el presente texto se pretende principalmente pronosticar la tas cero cupón a un año por medio del modelo Vasicek que es una derivación del modelo Black and Scholes aplicado para las tasas de interés sobre activos de renta fija y el modelo Cox Ingersoll Ross. Por medio de Matlab se realiza la demostración matemática de los modelos nombrados anteriormente y se determina cual es el modelo más acertado en el pronóstico de la tasa cero cupón llevando a cabo un back testing de los pronósticos frente la tasa observada publicada en el caso colombiano por el Banco de la República. 2. MARCO REFERENCIAL Las investigaciones que se analizaron para este documento son: 1. Los modelos de valoración de opciones sobre títulos de renta fija: aplicación al mercado colombiano. Este proyecto investigativo con el planteamiento de Vasicek resalta que fue de los primeros modelos de estructura a plazo, es un modelo de tasa corta unifactorial de equilibrio el cual asume que la tasa de interés sigue un proceso de distribución normal incluyendo una reversión a su nivel medio. Autores: Gómez Fandiño Carlos Eduardo1 , Escala Ortiz Fabio Herley2 , Barrantes Diago María Fernanda3 Tutor: Martínez Patiño Manuel Andrés 4 Pronóstico de la curva cero cupón de un año en el mercado colombiano por medio del modelo Vasicek y el Modelo Cox Ingersoll Ross.(Nov 2015)
  2. 2. 2 La aplicabilidad del modelo de tasa de interés de Vasicek para opciones call y put en los títulos de renta fija colombianos efectuando estimaciones econométricas autorregresivas y de volatilidad. Los parámetros de entrada se estiman por procedimientos econométricos, la velocidad de reversión a la media a y la tasa de largo plazo b se estiman por el proceso AR(1); y para la volatilidad σ se realizó por GARCH(1,1), también tomando algunos valores empíricos en a y en b, este último siendo una variable constante. El punto de partida es marcado por el trabajo de Itô (1951), utilizando la ecuación estocástica: )()()()( tZttttP   (1) Ecuación 1 (Herrera Cardona & Cardenas Giraldo, 2013) P(t) es el precio, µ(t) es la media, σ(t) la volatilidad y Z(t) es un movimiento Browniano. En este teorema se realizan una extrapolación en las tasas de interés. Para estos modelos se pueden referenciar los modelos de Vasicek (1977) y Cox, Ingersoll & Ross (1985). . El modelo de Vasicek describe la dinámica de una tasa corta de interés, satisfaciendo el proceso de Itô: ztrbar  )( (2) Ecuación 2 (Herrera Cardona & Cardenas Giraldo, 2013). Dinámica de las tasas de interés. Dónde: a: velocidad de reversión a la media, es decir, la rapidez con que la tasa de interés de corto plazo tiende a regresar a su valor de largo plazo, b, una vez que se ha desviado de este. b : nivel medio de reversión de r o tasa promedio de interés a largo plazo. z : proceso de Wiener estándar con media 0 y desviación estándar 1. σ : volatilidad de los cambios de la tasa de interés de corto plazo. dt : intervalo de tiempo que tiende a cero (0). dz : es un proceso browniano. Los resultados que obtuvieron a partir de los parámetros estimados econométricamente no arrojaron resultados estadísticamente satisfactorios ya que los valores de las opciones no permitieron realizar del todo análisis objetivos pero cuando hicieron ajustes manualmente basados en criterios empíricos, las cifras fueron más satisfactorias. (Herrera Cardona & Cardenas Giraldo, 2013) 2. An equilibrium characterization of the term structure. Esta investigación aporta una forma general de la estructura temporal de tasas de interés, donde tienen en cuenta los siguientes supuestos: A. Tasas de interés en el mercado spot; B. El precio de un bono a descuento depende sólo del tipo de cambio spot sobre su plazo C. El mercado es eficiente. Con estos supuestos se muestra por medio de un argumento de arbitraje que la tasa de retorno esperada de cualquier bono por encima del tipo de cambio spot es proporcional a su desviación estándar. Se ha dedicado muchos estudios a las condiciones de equilibrio en mercados de capitales y los precios de los bienes de capital, pero pocos resultados son directamente aplicables a la descripción de la estructura de tipos de interés. Los estudios más representativos y en los cuales hay excepciones son las obras de Roll (1970, 1971), Merton (1973, 1974), y Long (1974). El desarrollo del modelo se basó en un arbitraje similar al planteado por Black & Scholes (1973) para la valoración de opciones. Dado que no existe una sola variable de estado, los rendimientos de los bonos de diferentes vencimientos están correlacionados y se necesita un estimado de vencimientos para cumplir con sus objetivos de inversión. Lo anterior se estructuró con las ecuaciones de plazo: dztrdttrfdr ),(),(  (3) ))(,,(),( trstPstP  (4) Ecuación 3 (Wells Fargo Bank and University of California, Berkeley, CA, U.S.A. , 1977) Se determina que en el modelo general en primer lugar el precio del mercado de riesgo ),( rtq es una constante, independiente del tiempo transcurrido y del tipo de cambio del en el spot. En segundo lugar el tipo de cambio del spot )(tr sigue el proceso de Ornstein-Uhlenbeck. (Wells Fargo Bank and University of California, Berkeley, CA, U.S.A. , 1977). 3. Modelización del tipo de interés a corto plazo con modelos TAR. En este estudio se investiga el comportamiento dinámico no- lineal a corto plazo en el mercado español, donde indican que la mayoría de los modelos univariantes, como es por ejemplo Vasicek (1977) no son capaces de capturar patrones de volatilidad reales ni la estructura de dependencia entre los tipos de interés a diferentes plazos. Por esta razón el estudio se basó en los modelos TAR introducidos por Tong (1990) los cuales han sido utilizados favorablemente para capturar el comportamiento heterocedástico de los tipos de interés sin incluir factores extras. Los modelos descritos se centraron únicamente en modelos de un factor: tttt dWrdtrdr )()(   (5) Ecuación 4 (Vidiella Anguera & Alegre Escolano)
  3. 3. 3 Donde )(tr es la tasa instantánea del tipo de interés y tdW un movimiento browniano estándar. El modelo de Vasicek (1977) reemplaza el término pendiente )( tr por )( tr  y el término asociado a la varianza se deja independiente de tr . El modelo Vasicek tiene una ventaja y es su simplicidad en el proceso de estimación ya que es como un proceso lineal. Pero tiene el inconveniente que puede producir escenarios con tipos de interés negativos frecuentemente. En cambio los modelos TAR tienen un proceso estocástico }{ tY donde se dice que sigue un proceso discreto self-exciting threshold autoregressive, SETAR ),...,( 1 jKK con J regímenes si satisface la relación. Este trabajo es la constatación empírica de que al utilizar modelos sencillos sobre los diferentes niveles de los datos se pueden modelar mejor las tasas de interés a corto plazo, generando ventajas al utilizarlos como modelos de predicción y valoración. (Vidiella Anguera & Alegre Escolano). 3. En el modelo estocástico de Vasicek para la predicción de tipos de interés. Este estudio se plantea debido a las variaciones de los tipos de interés ofrecidos por los bancos y otras entidades financieras las cuales afectan directamente a los mercados bursátiles, cuando los tipos de interés suben se producen bajas en las cotizaciones de las acciones en la bolsa, y por eso busca justificar la importancia de estudio de modelos apropiados para modelar la evolución de los tipos de interés. El modelo es representado por la ecuación: )()(,()(,()( tdWtrtdttrttdr   (6) Ecuación 5 (Tamarit Ramos, 2013). Donde el modelo de Vasicek asume que el comportamiento de los tipos de interés tiene un comportamiento regresivo hacia un valor fijo, el asume que el comportamiento de los tipos de interés tiene un comportamiento regresivo hacia un valor fijo. Adicionas este trabajo desarrolla la fórmula de Itô la cual constituye una versión estocástica de la regla de la cadena para procesos estocásticos )(tX que son solución de una ecuación diferencial estocástica de la siguiente forma: )())(,())(,()( tdWtXtgdttXtftdX  (7) Ecuación 6 (Tamarit Ramos, 2013). Las propiedades estadísticas que se utilizan en la solución del modelo de Vasicek son:  La media  La varianza  La covarianza  Distribución normal Al aplicar el modelo estocástico de Vasicek para modelar el tipo de interés interbancario a corto plazo y realizar sus predicciones probabilidad, demuestran que el modelo de Vasicek es satisfactorio para esta modelización. Esto con relación a otros modelos utilizados en los diferentes estudios, Vasicek permitió proporcionar estimaciones puntuales. (Tamarit Ramos, 2013) 4. La estructura temporal de los tipos de interés en España. El modelo de Cox, Ingersoll y Ross. Con relación al modelo CIR el estudio de la estructura temporal de los tipos de interés en España. El modelo de Cox, Ingersoll y Ross de Paz Rico, se trata de estimar la estructura temporal de los tipos de interés, durante un tiempo establecido, aplicando el modelo intertemporal estocástico en tiempo continuo y de equilibrio general de valoración de Cox, Ingersoll & Ross utilizando los precios de la deuda pública, este se desarrolla ya que el análisis y la obtención de una estructura de los tipos de interés es uno de los temas que más investigación ha abarcado en los últimos años, esta gran cantidad de investigaciones se deben a la importancia que tiene la obtención de las ETTI (estructura temporal de los tipos de interés) en sus aplicaciones en la economía. Se plantean metodologías de varios autores como Merton(1973), Vasicek (1977), Dothan (1978), Brennan y Schwartz (1979, 1980) en estos no se especifican condiciones suficientes y el riesgo es especificado exógenamente, donde los precios de los bonos dependen de muchas variables económicas, las cuales siguen procesos estocásticos. Además se plantean metodologías de modelos de equilibrio general de (Cox, Ingersoll y Ross (1985), Longstaff (1989), Longtaff y Schwartz (1992), Platten (1994). El modelo CIR se resume de la forma en el cual existe un número finito de procesos productivos con rendimientos estocásticos constantes que producen un solo bien que se destina a consumir o a invertir. Y existen un número finito de agentes, con preferencias logarítmicas los cuales seleccionan un plan de consumo e inversión que sean óptimos. El modelo de CIR que plantea supone que la dinámica del tipo de interés es dado por la siguiente ecuación estocástica: rdzdtrkdr  )( (8) Ecuación 7 (Rico, 1998) Dado el tipo de interés en un periodo de tiempo, representa el precio del bono a descuento que vence en cierto tiempo se deja bajo la expresión: rTtB eTtATtrP ),( ),(),,(   (9) Ecuación 8 (Rico, 1998) Rico realiza la estimación de la estructura temporal de los tipos de interés bajo los parámetros del modelo CIR donde existen tres métodos:
  4. 4. 4  Estimar los parámetros del proceso continuo ),,( k mediante una aproximación discreta de la ecuación diferencial.  Utilizar un panel de observaciones y estimar simultáneamente los parámetros ),,,( k al aplicar el método de los modelos generalizados, esto ya que los modelos de equilibrio implican que el tipo de interés instantáneo libre de riesgo tiene distribución estacionaria.  Y el último método consiste en la estimación de corte transversal de los parámetros del modelo aplicando métodos no lineales. Para esto Brown y Dybving (1986) hacen el supuesto que el precio de un bono en un momento de tiempo determinado se desvía del precio teórico en un error de media cero: tPBPB   )()(* (10) Ecuación 9 (Rico, 1998). La estimación de la ETTI por el modelo CIR realizado con datos temporales y de corte transversal demuestra que en el periodo tomado para el estudio existe un cambio estructural en la dinámica de las tasas de interés de corto plazo afectando así su valor de largo plazo y su volatilidad. La estimación puede ser adecuada si el objetivo del modelo es obtener sus determinantes pero NO si el objetivo es estimar el precio de un activo financiero en un momento determinado de tiempo. Es un modelo complejo respecto al cálculo lo cual lo hace poco atractivo con relación a otros modelos más sencillos de estimar y los cuales presentan también un elevado grado de ajuste. (Rico, 1998). Para tener una comprensión total del tema expuesto a continuación se deben tener claros temas conceptuales como los siguientes: La curva cero cupón es un vector de tasas de interés (rendimientos) de bonos sin cupones a diferentes plazos de vencimientos. Estas son tomadas de los precios de los bonos soberanos con cupones, emitidos por el gobierno por medio de modelos financieros. La curva cero cupón hace posible valorizar títulos de deuda sin precio, en el caso colombiano es muy útil por medio de la curva cero cupón para estimación de precio de bonos corporativos. Esta curva está compuesta por puntos de maduración de un bono cero cupón para la apropiada tasa de maduración, la metodología usualmente empleada para determinar la curva cero cupón es “Bootstrapping”. La estimación de la curva cero cupón se basa bajo el supuesto de asumir la relación que hay entre las tasas de interés y el tiempo de maduración. La tasa forward de un bono cero cupón está relacionada a un facto de descuento: 𝑑 𝑡,𝑚 = exp(−𝑆𝑡,𝑚 𝑚)𝑦 𝑆𝑡,𝑚 = −1 𝑚 log 𝑑 𝑡,𝑚 (11) Ecuación 10 (Bank for International Settlements, 2005). Por qué tasas de interés Spot dependen del horizonte de tiempo es natural definir las tasas como 𝑓𝑡,𝑚 como la tasa espontanea (tasa en la cual la diferencia entre el tiempo de asentamiento y el tiempo de maduración) se acerca a 0. Los bonos cero cupón son raramente observados en el mercado financiero de manera directa, por lo que se han desarrollado diferentes métodos para extraer la tasa cero cupón de los precios de títulos libre de riesgos emitidos por el gobierno. Estos métodos pueden ser divididos entre categorizados entre métodos paramétricos y la estimación con Spines cúbicos (Bank for International Settlements, 2005). Hay diferentes métodos para estimar la curva cero cupón como el de Nelson y Siegel o el modelo Svensson. El primero fue creado por Nelson Y Siegel en el año 1987. Por medio de una función continua describe la trayectoria de las tasas, atendiendo a la función: 𝑓 = (𝑚, 𝑏) = 𝛽0 + 𝛽1 exp (− 𝑚 𝑇1 ) + 𝛽2 𝑚 𝑇1 exp(− 𝑚 𝑇1 ) (12) Ecuación 11 (Pereda, 2009). Donde exp(x) denota la función 𝑒 𝑥 y los parametros son b=(𝛽0, 𝛽1, 𝛽2, 𝑇1) dada la siguente relación entre la tasa Spot y la tasa forward instantánea. 𝑖(𝑡, 𝑡 + 𝑚) = 1 𝑚 ∫ 𝑓(𝑡, 𝑡 + 𝑠)𝑑𝑠 𝑚 𝑠=0 (13) Ecuación 12 (Pereda, 2009). La forma de la curva bajo este modelo está determinada por el valor de sus parámetros: 𝛽0. Determina la tasa a largo plazo 𝛽1. Indica que tan lejos se encuentra la tasa del periodo inicial respecto a la tasa de largo plazo. 𝛽2. Indica si la curva presenta forma de joroba (positivo) o forma de U (negativo) 𝑇1. Indica la posición de la “joroba“, “U“ y la velocidad a la que las tasas de corto y mediano plazo convergen a su tasa de largo plazo (Pereda, 2009). Así la curva Spot cero cupón tomará las diferentes formas de acuerdo el valor de sus parámetros, como se muestra a continuación:
  5. 5. 5 Ilustración 1. (Pereda, 2009). Ejemplo de la estimación de la curva cero cupón por medio del modelo Nelson Y Siegel. Por otro lado el modelos Svennson es una versión basada en el modelo de Nelson & Siegel, este modelo integra dos parámetros adicionales. 𝛽3 𝑦 𝑇3. Según Svensson con este nuevo término el nuevo termino genera una mayor flexibilidad a la curva que permite adaptar meor la curva a las observaciones del mercado. La forma funcional que define la tasa es la siguiente: 𝑓𝑚(𝛽) = 𝛽0 + 𝛽1 exp (− 𝑚 𝑇1 ) + 𝛽2 𝑚 𝑇1 exp (− 𝑚 𝑇1 ) + 𝛽3 𝑚 𝑇2 exp (− 𝑚 𝑇2 ) (14) Ecuación 13 (Dotras, 2005) Para los parámetros (𝛽0, 𝛽1, 𝛽2 𝑦 𝑇1) Es la misma que en el modelo Nelson & Siegel. 𝑇2. Debe ser positivo, como T1, esta relacionado con la posición de la segunda curvatura. 𝛽2. Permite una primera curvatura en el corto plazo. 𝛽3. Analogamente a 𝛽2 determina la magnitud y la direccion de la segunda curvatura (Dotras, 2005). Las formas que tomaría esta curva spot bajo el modelo Svensson con diferentes valores en sus parámetros es la siguiente: Ilustración 2. (Pereda, 2009). Ejemplo de la estimación de la curva cero cupón por medio del modelo Svensson. Modelos de pronósticos sobre diferentes tipos de variables económicas y financieras han tomado históricamente como referencia de movimientos aleatorios el movimiento Browniano, descubierto en el año 1826 por el botánico Roberto Brown observó en la naturaleza ciertos movimientos contantes como por ejemplo el polen de ciertas hierbas en una solución de agua o la aleatoriedad de los movimientos de partículas que flotan en el aire. Estos movimientos fueron catalogados como movimientos aleatorios y completamente irregulares. El movimiento Browniano había sido objeto de investigación por diferentes científicos antes de los hallazgos hechos por Brown y después de éstos fue altamente criticado por otros científicos en Europa. Norbert Weiner continuó la investigación de Brown, de allí dedujo que la aleatoriedad de los movimientos no podía atribuirse a fuerzas externas sino a movimientos internos de los fluidos (Universidade da Coruña, 2015). Matemáticamente el movimiento Browniano fue explicado por Norbert Weiner mediante el teorema de Límite Central aproximadamente para el año 1918 de la siguiente manera. Dicho así el movimiento Browniano o proceso de Wiener en (Ω, F, P) es un proceso Aleatorio, W = (Wt){t≥0} tal que.  Sus trayectorias son continuas
  6. 6. 6  Sus incrementos son independientes. Si 0 ≤ t1 ≤ . . . ≤ tn, entonces 𝑊𝑡1, 𝑊𝑡2, … 𝑊𝑡𝑛 − 𝑊𝑡𝑛−1 son variables aleatorias independientes.  W0 = 0, 𝑊𝑡 − 𝑊𝑠 es una variable gaussiana, con media cero y varianza t − s, es decir 𝑊𝑡 − 𝑊𝑠 ∼ N (0, t − s). X es una gaussiana o Normal (X ∼ N (µ, 𝜎2 )) cuando su distribución de probabilidad es: Φ(x) =∫ 1 √2πσ 𝑥 −∞ 𝑒 (𝑢−𝜇)2 2σ2 𝑑𝑢 (15) Ecuación 14 (Mordecki, 2013) La densidad es la campana de Gauss. (Mordecki, 2013) φ(x) = 1 √2πσ 𝑒 − (𝑥−𝜇)2 2σ2 (16) Ecuación 15 (Mordecki, 2013) El movimiento Browniano es usado en diferente que tienen movimientos aleatorios, por supuesto la economía y las finanzas no son la excepción a ello dada la aleatoriedad de ciertas variables presentes como los precios en el mercado de capitales, la inflación, las tasas de interés entro otras, como objetivo de estos modelos es la predicción y control de modelos para la toma de decisiones de inversión (Lavenda). El modelo Vasicek es uno de los modelos que contemplan los movimientos aleatorios (movimiento Browniano) en sus supuestos. Éste modelo de pronósticos de tasas de interés es una derivación del modelo Black and Scholes, se diferencia con este por su posibilidad de trabajar sobre tasas de interés ya que las dinámicas de tasas de interés es diferente a la de activos tradicionales como las acciones. La principal ventaja del modelo Vasicek es la linealidad de su proceso, esto lo hace más simple de calcular (Haugh, 2010). El modelo Vasicek se satisface por el proceso de Ito dado de la siguiente manera: 𝑑𝑟 = 𝑎(𝑏 − 𝑟)𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊 (17) Ecuación 16 (Herrera Cardona, Cardenas Giraldo, & Salcedo Garcìa). Dónde: 𝑎: Velocidad de reversión a la media (Rapidez con la que la tasa de interés de corto plazo tarda en regresar a su valor de largo plazo) b: nivel medio de reversión de r o tasa promedio de interés a largo plazo. 𝜎: Volatilidad r: Ultima tasa obtenida dt: Intervalo de tiempo que tiende a cero. dW: Proceso Browniano Las tasas de corto plazo se componen por una tendencia dada por [a(b-r)dt] y del componente estocástico 𝜎𝑑𝑧 El precio en el tiempo T de un bono cero cupon está dado por: 𝑃(𝑡, 𝑇) = 𝐴(𝑡, 𝑇)𝑒−𝐵 (𝑡,𝑇)𝑟(𝑡) (18) Ecuación 17 (Herrera Cardona, Cardenas Giraldo, & Salcedo Garcìa) Siendo r(T) la tasa de corto plazo en el tiempo T 𝐵(𝑡, 𝑇) = 1−𝑒 𝑚(𝑇−𝑡) 𝛼 (19) 𝐴(𝑡, 𝑇) = 𝑒 (𝑏 − 𝑙𝜎2 𝑙𝛼2) (𝐵(𝑡, 𝑇)) − (𝑇 − 𝑡) − 𝑙𝜎2 𝐵(𝑡−𝑇)2 4𝜎 (20) Ecuación 18 (Herrera Cardona, Cardenas Giraldo, & Salcedo Garcìa) Dónde: . 𝑡 𝑅 𝑇 = 1 𝑇−1 [𝐵(𝑡, 𝑇)𝑟(𝑡) − 𝐿𝑛[𝐴(𝑡, 𝑇)]] (21) Ecuación 19 (Herrera Cardona, Cardenas Giraldo, & Salcedo Garcìa) Esta última ecuación sugiere que la curva de rendimientos completa puede ser obtenida como una función r(t), una vez especificados os tres parámetros del proceso (velocidad de reversión, tasa media y volatilidad). Así la estructura generar de la curva puede presentar pendiente positiva, negativa o forma de joroba (Herrera Cardona, Cardenas Giraldo, & Salcedo Garcìa). Otro modelo sobre el que se pueden pronosticar tasas de interés es el modelo Cox Ingersoll Ross de ahora en adelantar denominado CIR. En el modelo CIR los valores estimados nunca alcanzaran valores negativos, este establece una sensibilidad de la varianza de los tipos de interés. El modelo CIR mantiene una distribución normal, (Haugh, 2010). El modelo CIR asume que la tasa de interés de corto plazo satisface la siguiente ecuación. 𝑑𝑟𝑡 = 𝛼(𝜇 − 𝑟𝑡)𝑑𝑡 + 𝜎√ 𝑟𝑡 𝑑𝑊𝑡; 𝑟0 > 0 (22) 𝑑 = 4𝛼 𝜎2 > 0 (23) Ecuación 20 (Analytical Finance) 𝛼 𝑦 𝜇: Son constantes positivas 𝑑𝑊𝑡: Es el proceso de Weiner del movimiento Browniano. 𝛼: Velocidad de reversión a la media (Rapidéz con la que la tasa de interés de corto plazo tarda en regresar a su valor de largo plazo) 𝜇: Nivel medio de reversión de r o tasa promedio de interés a largo plazo. 𝜎√ 𝑟𝑡: Factor de desviación estándar, no permite tener tasas de interés negativas (Analytical Finance) 3. MARCO LEGAL El pronóstico de las Tasas Cero Cupón no se encuentra contemplado en el marco de Basilea, no obstante esta investigación se basa en la Resolución número 0240 de 2005
  7. 7. 7 de la Superintendencia de Valores (llamada Superintendencia financiera a partir del 2005 en el decreto 4327 del 2005); en la cual se relacionan las Tasa Cero Cupón resaltando los siguientes puntos: De acuerdo a los Anexos de la Resolución se encuentra: “Método de Estimación de la Curva Cero Cupón para Títulos TES tasa fija en pesos (CEC en pesos) y la Curva Cero Cupón para Títulos TES en UVR (CEC en UVR). En este documento se presenta el método de estimación de las curvas cero cupón para títulos TES en pesos y UVR calculadas por La Bolsa de Valores de Colombia S.A. En el trabajo de determinación de una adecuada metodología de estimación de la curva cero cupón para los títulos TES, participaron diferentes investigadores del Banco de la República, la Superintendencia de Valores de Colombia, la Superintendencia Bancaria, Crédito Publico y la Bolsa de Valores de Colombia S.A. La metodología propuesta para la estimación de las curvas es la desarrollada por Nelson y Siegel (1987). Esta metodología presenta numerosas e importantes ventajas sobre otras metodologías evaluadas, como son: - Mínima discrecionalidad en su estimación - Buen ajuste - Reducida fluctuación - Parsimonia - Bajos requerimientos de información - Estimación de tasas para el corto y el largo plazo, incluso fuera de la muestra. 2. Procedimiento de cálculo Este método fue desarrollado por Nelson y Siegel (1987) con la intención de minimizar el número de parámetros que se desea estimar suponiendo que la tasa forward instantánea es la solución a una ecuación diferencial de segundo orden con raíces iguales y repetidas. De esta forma, la tasa forward instantánea con maduración en t tiene la siguiente expresión: 𝑓(𝑡) = 𝛽0 + 𝛽1 exp(−𝑡/𝜏) + 𝛽2. 𝑡 𝜏 . exp(−𝑡/𝜏) (24) Donde (β0 β1 β2 τ) son los parámetros para estimar en el modelo. Dependiendo del valor de los parámetros, la ecuación anterior puede tomar las diferentes formas que más comúnmente toma la estructura de tasas. Entre las formas que pueden tomar las curvas se encuentran curvas monótonas crecientes, en formas de S o en forma de U invertida. Integrando la ecuación que relaciona la tasa spot y la tasa forward que se presentó anteriormente se obtiene la siguiente expresión para la tasa spot (s(t)): s(t) = β0 + (β1 + β2) [1 − exp(− t τ ) t τ ] − β2 exp(−t/ τ) (25) Este método se lleva a cabo minimizando la suma de los errores cuadráticos entre los precios observados y estimados de los precios de la siguiente forma: argβ.τmin ∑ (POi − PEi 2M i=1 (26) El proceso de estimación se lleva a cabo empleando un método de máxima verosimilitud. La tasa spot estimada es una tasa continua que se tiene que convertir a una tasa compuesta anual de forma discreta: sd(t) = exp(s(t)) − 1 ” (27) (Superintendencia de Valores de Colombia, 2005) 4. DESARROLLO DEL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN 4.1 Descripción de la información Para este trabajo de investigación se utilizó series donde muestran el comportamiento de las tasas de interés de los TES cero cupón de un año, que data desde el 4 de enero del 2010 hasta 4 de septiembre del 2015 con frecuencia diaria procedente del Banco de la Republica de Colombia. (Colombia, 2015) 4.2 Análisis descriptivo En el gráfico 1 podemos observar gráficamente que la serie de tiempo no es estacionaria, sin embargo se le aplicaron pruebas de raíz unitaria para verificar si estadísticamente es o no estacionaria, La tabla 1 presenta las pruebas de raíz unitaria que se obtiene desde la herramienta econométrica Eviews 7. Ilustración 3.Tasas TES cero cupón 1 año, Frecuencia Diaria. Eviews 7.
  8. 8. 8 Tabla 1. Prueba de raíz unitaria, Eviews 7. Como se muestra en el Tabla 1, esta serie de tiempo tiene raíz unitaria, aceptamos la hipótesis nula lo cual se concluye que la serie no es estacionaria; observando los valores críticos del test del 1%, 5%, y 10%, estos son mayores al test estadístico aumentado de Dickey-Fuller y la probabilidad es mayor al 5%; si queremos mejorar el problema de raíz unitaria debemos de aplicar primeras diferencias de la seria y verificar nuevamente si el modelo es estacionario en primeras diferencias, sin embargo para la estimación de los parámetros de los modelos de Vasicek y Cox-Ingersoll-Ross (CIR), se deberá correr un modelo de regresión lineal simple para poder obtener las estimaciones de los parámetros a, b, y , es decir que no es necesario aplicar primeras diferencias. De igual manera presentamos el histograma de la regresión realizada, como se muestra en la gráfica 2. Esta muestra una distribución leptocúrtica, donde los datos se agrupan más en el centro mostrándose apuntada y con colas menos anchas que la normal, no cumple con una distribución normal. Ilustración 4. Histograma, Eviews 7. 4.3 Descripción metodológica Con la información obtenida del Banco de la Republica y luego de haber analizado la serie de tiempo, realizamos una regresión lineal simple con ayuda de la herramienta estadística Eviews 7. 𝑟𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑟𝑡−1 + 𝜀𝑡 (28) Tabla 2. Regresión lineal simple, Eviews 7. De igual manera es importante verificar si existen o no auto correlaciones de los errores de la regresión lineal hecha, por medio de la herramienta Eviews se obtiene la tabla 3, lo cual muestra que son estadísticamente significativos es decir que los errores tienen autocorrelación. Sin embargo nosotros hacemos un supuesto de que en este modelo, los errores no tienen autocorrelación y continuamos con la estimación de los parámetros del modelo lo cual es calcular a, b y yasí poder estimar las tasas cortas por el modelo Vasicek y CIR. Tabla 3. Correlograma de los residuos, Eviews 7. Obtenemos en la tabla 2, =0,000393 y =0,991407, con esta información podremos estimar los valores de las variables a, b, y  4.4 Modelación 4.4.1 Estimación de Parámetros del modelo Vasicek: 𝑑𝑟𝑡 = 𝑎(𝑏 − 𝑟𝑡)𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊𝑡 (29)
  9. 9. 9 ab y a Y la varianza incondicional está dada por 𝑉𝑎𝑟[𝑟𝑡] = 𝜎/(1 − 𝛽1 2 ) (30) Entonces tenemos que, a= 0.0086; b= 0.0457; = 0.014. 4.4.2 Estimación de parámetros del modelo CIR con Método generalizado de momentos (MGM): 𝑑𝑟𝑡 = 𝑎(𝑏 − 𝑟𝑡)𝑑𝑡 + 𝜎√ 𝑟𝑡 𝑑𝑊𝑡 , 𝜀𝑡~ (0, 𝜎2 ), ∑ 𝜀𝑡 𝑛 𝑡=1 = 0, (31) ∑ 𝜀𝑡 𝜀𝑡−1 𝑛 𝑡=1 = 0, (32) ∑ (𝜀𝑡 2 − 𝑟𝑡 𝜎2 )𝑛 𝑡=1 = 0, (33) La varianza para el modelo CIR no es incondicional como el modelo Vasicek, en este caso el cálculo de la varianza se obtiene con los datos históricos. ab y a , Entonces tenemos que, a= 0.0086; b= 0.0457; = 0.0054. (Martínez, 2008) 4.5 Análisis de resultados El modelo de Vasicek presento tasas negativas al momento de realizar el Simulación las tasas de los TES, lo cual pensamos que el modelo Vasicek no es óptimo para pronosticar tasas de los TES cero cupón de 1 año. Sin embargo al pronosticar las tasas por el modelo de CIR, el comportamiento de estas fueron positivas debido a que el modelo CIR incorpora dentro de la ecuación la raíz de rt. Se realizó dos tipos de Simulación con un rezago de 100 periodos (el número de rezagos fue escogido arbitrariamente, sin embargo no existe un mínimo o máximo de rezagos). El primero (Simulación 1) contempló la tasa real de hace 100 días y con esta se proyectó los 100 días siguientes; y el segundo (Simulación 2) se contempló la misma tasa de hace 100 días, pero la diferencia en relación al primer Simulación, es que proyecta la tasa real de cada cinco días hasta llegar al rezago 100. A pesar de que el modelo de Vasicek presento tasa negativas, el ejercicio se realizó con ambos modelos, a continuación se muestran las simulaciones Monte Carlo de cada modelo. Ilustración 5. Simulación tasas TES cero cupón 1 año por Modelo Vasicek. Matlab. Ilustración 6. Simulación tasas TES cero cupón 1 año por Modelo CIR. Matlab. En el gráfico 3, se puede apreciar gráficamente que de las simulaciones realizadas se presentaron tasas negativas por el modelo Vasicek, muestras que en el CIR (Gráfico 4), estas simulaciones nunca fueron negativas. Ilustración 7.Tasa real, Simulación 1, Modelo Vasicek. Matlab. Ilustración 8.Tasa real, Simulación 1, Modelo CIR. Matlab.
  10. 10. 10 Por otro lado, se graficó, la tasa real, el Simulación 1(Línea Roja) y el Simulación 2 (Línea Negra), para poder determinar gráficamente que tanto el Simulación 1 y 2 se desvían de la tasa real, como se muestra en la ilustración 7 y 8. Respeto a la Ilustración 7, lo cual muestra las estimaciones de las tasas por el modelo Vasicek, encontramos alta volatilidad para el Simulación 1, debido a las tasas negativas que se presentan en el modelo, es aquí donde podemos descartar el modelo Vasicek para las estimaciones de tasas de interés de corto plazo de los TES cero cupón de un año del mercado Colombiano. Sin embargo cuando queremos estimar las tasas por el modelo CIR, encontramos que la mejor estimación es cuando hacemos el Simulación 2, debido que este presenta menos desviación frente a la tasas real, sin embargo no ocurre lo mismo cuando realizamos el Simulación 1, ya que muestra una deviación considerable respecto a la tasa real de los TES de un año. Ilustración 9.Bloxplot Simulación1. Modelo CIR. Matlab. Ilustración 10.Bloxplot Simulación2. Modelo CIR. Matlab. Finalmente, consideramos que el mejor modelo que estima las tasas de interés de los TES cero cupo de 1 año es el Cox Ingersoll Ross, sin embargo de los Simulación realizados (dos pruebas) consideramos que el mejor es el segundo, puesto que es el que menos desviación tiene frente a la tasas real. Es por ello que se realizó una última prueba para poder confirmar nuestra afirmación. Se realizó una gráfica donde muestre el Simulación 2 en Boxplot (cajas) y la tasa real como línea, lo que esperamos es que la línea azul pase por la mitad del Boxplot (Linea Roja) tantas veces sea posible, lo cual nos estaría diciendo que el modelo no presenta mucha desviación respecto a la tasa real. En la ilustración 10 se muestra gráficamente dicha prueba. Con esta última prueba se puede ver gráficamente que los primero 46 periodos el Simulación no presento mucha desviación frente a la tasas real, sin embargo después del periodo 46, los datos comenzaron a desviarse considerablemente, estando por encima de la tasas real, sin embargo a partir de periodo 78 comenzó un alza en la tasas real y la media del Simulación 2 estuvo muy por debajo de la tasa real (periodo de alta volatilidad) como se puede ver en la ilustración 10. Por otro lado quisimos mostrar gráficamente cual es la desviación de la tasas real frente al Simulación 1 realizado para el modelo CIR; podemos ver en la ilustración 9, que el modelo Simulación 1 para el CIR no fue muy optimo, debido a las altas desviaciones que se presentaron. 4.6 Utilidad y aplicación financiera de los resultados El modelo tiene su aplicación, en cualquier institución financiera, como en áreas de riesgos y de inversión, es importante y de aclarar que para este trabajo, se realizó una demostración matemática. Sin embargo, los modelos trabajados, podrían llegar a estimar las tasas futuras de los TES cero cupón de 1 año, lo cual servirá para anteponerse al mercado y realizar operaciones en donde sus portafolios presenten rentabilidades positivas. 5. CONCLUSIONES El modelo Vasicek presenta tasas negativas al momento de estimar las tasas de interés de los TES cero cupón de 1 año lo cual en los resultados daban tasas que tocaba sumarles un componente imaginario, lo cual tendríamos que descartar dicho modelo al momento de estimar estas tasas de interés. Sin embargo el modelo Cox Ingersoll Ross (CIR), no mostro el mismo comportamiento de tasas negativas debido al componente de la raíz de rt. De igual manera, modelamos dos posibles comportamientos de tasas las cuales llamamos Simulación 1 y Simulación 2 desde el modelo CIR, y llegamos a la conclusión que el Simulación 2 presente mejor estimación de tasas cortas y no presenta tanta desviación respecto a la tasas real en los primeros 50 periodos, sin embargo luego del periodo 50, la tasas real presento periodos de alta volatilidad, lo que hizo que tuviéramos desviaciones considerables en los últimos 30 periodos como se muestra en la Ilustración 10. 6. RECOMENDACIONES Se recomienda seguir en la investigación para encontrar la mejor estimación de las tasas de interés de los TES, con modelos como de Ho y Lee, Hull y White, Longstaff, Brennan y Schwartz, Black, Derman y Toy y poder así determinar matemática y estadísticamente que modelo, podríamos
  11. 11. 11 implementar en el mercado financiero colombiano, para poder disminuir el riesgo de mercado, y así tener una buena estimación y/o predicción de las tasas de interés. 7. REFERENCIAS Analytical Finance. (s.f.). Cox Ingersoll Ross Model. Recuperado el 12 de 10 de 2015, de http://janroman.dhis.org/finance/Books%20Notes%2 0Thesises%20etc/Shrive%20Finance/chap31.pdf Bank for International Settlements. (2005). Zero-coupon yield curves:. Colombia, B. d. (2015). Banco de la República de Colombia - TES. Obtenido de Banco de la República de colombia: http://www.banrep.gov.co/es/tes Dotras, E. R. (2005). Comparación de curvas de tipos de interés. Efectos de la integración financiera. Barcelona. Haugh, M. (2010). Term Structure Models, Continuous time ShortRate Model. En Term Structure Models. Herrera Cardona, Cardenas Giraldo, & Salcedo Garcìa. (s.f.). Estimación de la estructura a plazos. Cali. Herrera Cardona, L. G., & Cardenas Giraldo, D. (2013). Modelos de valoración de opciones sobre títulos de renta fija: aplicación al mercado colombiano. Estudios Gerenciales, Vol. 29, No. 126. Lavenda, B. H. (s.f.). Laboratorio Nacional de Investigación y Servicios de Resonancia Magnética en Sólidos. Obtenido de http://www.lanais.famaf.unc.edu.ar/QuantumSimposi um2005/MB.pdf Martínez, F. V. (2008). Riesgos Financieros y económicos. México D.F.: Cengage Learning. Mordecki, E. (2013). Modelos Matemáticos en finanzas:Valuacion de opciones. Recuperado el 2015, de Centro de Matematica. Facultad de Ciencias: http://www.cmat.edu.uy/ Pereda, J. (2009). Estimación de la Curva de Rendimiento Cupón Cero. Banco Central de Reserva del Peru., Lima. Rico, P. (1998). LA ESTRUCTURA TEMPORAL DE LOS TIPOS DE INTERÉS EN ESPAÑA. EL MODELO DE COX, INGERSOLL Y ROSS. Obtenido de http://www.ivie.es. Superintendencia de Valores de Colombia. (14 de Abril de 2005). www.superfinanciera.gov.co. Obtenido de https://www.superfinanciera.gov.co/SFCant/boletin/r e024005.doc Tamarit Ramos, S. (05 de 2013). El modelo estocástico de Vasicek para la predicción de tipos de interés. Obtenido de https://riunet.upv.es. Universidade da Coruña. (2015). http://www.udc.es/. Obtenido de http://sabia.tic.udc.es/gc/Contenidos%20adicionales/t rabajos/Imagenyvideo/fractales/movimiento_brownia no.htm#introduccion. Vidiella Anguera, A., & Alegre Escolano, A. (s.f.). www.fundacionmapfre.org. Wells Fargo Bank and University of California, Berkeley, CA, U.S.A. . (1977). AN EQUILIBRIUM CHARACTERIZATION OF THE TERM STRUCTURE. Journal of Financial Economics 5 , 177 - 188.

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