สรุปเลข ม.4 เรื่องเซต

1. เซต
เซต เปนคําที่ไมมีนิยาม โดยปกติเราใชเซตแทนสิ่งที่เรากําลังสนใจอยูเพื่อบงบอกกลุมของสมาชิกตาง ๆ เชน
เรากําลังสนใจกลุมของนักเรียนกลุมหนึ่ง นี่ก็คือ เซต ๆ หนึ่ง แตถาเราตองการบงชี้ใหละเอียดลงไปอีก วาเปนนักเรียนกลุมหนึ่งในชั้น
ม.501 ก็จะถือเปนอีกเซตหนึ่ง แลวถาตองการบงละเอียดไปอีกวา เปนนักเรียนหอง 501 ที่ชอบเรียนวิชาฟสิกส ซึ่งปรากฏวาเปน นาย
ก และ นางสาว ข เทานั้น ที่ชอบเรียนวิชาฟสิกส ก็จะทําใหเซตที่เราตองการพิจารณา มีสมาชิก (element) เพียง 2 ตัว คือ นาย ก และ
นางสาว ข เป็นตน
สัญลักษณตาง ๆ ที่ใชในเซต
A, B, C, …. แทน เซต A, B, C, ….
{ } หรือ ∅ (Phi) แทน เซตวาง
| เปนเครื่องหมาย แทน “โดยที่”
∈ เปนสัญลักษณ แทน “เปนสมาชิกของ”
∉ เปนสัญลักษณ แทน “ไมเปนสมาชิกของ”
⊂ เปนสัญลักษณ แทน “เปนสับเซตของ”
⊄ เปนสัญลักษณ แทน “ไมเปนสับเซตของ”
P(A) เปนสัญลักษณ แทน “เปนเพาเวอรเซตของ A”
U เปนสัญลักษณ แทน “เอกภพสัมพัทธ”
∪ เปนสัญลักษณ แทน “ยูเนียน”
∩ เปนสัญลักษณ แทน “อินเตอรเซกชัน”
A′ เปนสัญลักษณ แทน “คอมพลีเมนตของเซต A”
A - B เปนสัญลักษณ แทน “ผลตางระหวางเซต A และเซต B”
R เปนสัญลักษณ แทน เซตของจํานวนจริง
+
R เปนสัญลักษณ แทน เซตของจํานวนจริงบวก
−
R เปนสัญลักษณ แทน เซตของจํานวนจริงลบ
I เปนสัญลักษณ แทน เซตของจํานวนเต็ม
+
I เปนสัญลักษณ แทน เซตของจํานวนเต็มบวก
−
I เปนสัญลักษณ แทน เซตของจํานวนเต็มลบ
N เปนสัญลักษณ แทน เซตของจํานวนนับ
Q เปนสัญลักษณ แทน เซตของจํานวนตรรกยะ
+
Q เปนสัญลักษณ แทน เซตของจํานวนตรรกยะบวก
−
Q เปนสัญลักษณ แทน เซตของจํานวนตรรกยะลบ
Q′ เปนสัญลักษณ แทน เซตของจํานวนอตรรกยะ
P เปนสัญลักษณ แทน เซตของจํานวนเฉพาะ
www.tutorferry.com/

2. 1
สมาชิก (element)
สัญลักษณแทน การเปนสมาชิกของ คือ ∈ และ ∉ แทนไมเปนสมาชิก
เชน x ∈ A อานวา “x เปนสมาชิกของ A” และ x ∉ B อานวา “x ไมเปนสมาชิกของ B”
การดูวา ? เปนสมาชิกของ A บางใหตัดปกกานอกทิ้ง
ตัวอยางที่ จงบอกสมาชิกของเซตที่กําหนดให
(1) A = { 1, { 1 }, 2, 3, 4 }
(2) B = { { 2 }, 3, 4 }
∴ จะไดวา A มีสมาชิก 5 ตัว คือ 1, { 1 }, 2, 3 และ 4
และ B มีสมาชิก 3 ตัว คือ { 2 }, 3 และ 4
เอกภพสัมพัทธ (Relative Universe)
เอกภพสัมพัทธ คือ เซตที่ใหญที่สุดที่เรากําลังพิจารณาอยู เราเขียนเอกภพสัมพัทธ โดยใชสัญลักษณ “U” แทน
เชน
ให U เปนเซตของจํานวนเต็มบวก
A = { 1, 2, 3, 4, 5, …. }
B = { 2, 4, 6, 8, …. }
C = { 1, 3, 5, 7, 9, …. }
แสดงวาทั้งเซต A, B และ C ตางอยูในเอกภพสัมพัทธ
วิธีการเขียนเซตเขียนได 2 แบบ คือ
(1) การเขียนแบบแจกแจงสมาชิก
เปนวิธีการเขียนเซต โดยจะเขียนสมาชิกทั้งหมดลงในเครื่องหมายปกกา โดยจะใชเครื่องหมายจุลภาค
“,” คั่นระหวางสมาชิกแตละตัว และใชสัญลักษณ “…” ในการบอกวายังมีสมาชิกตอไปอีก โดยจะตองรูวาสมาชิก
ตัวถัดไปเปนอะไรอยางชัดเจน เชน {1, 2, 3, …}
ขอตกลง
- การเขียนเซตในแบบแจกแจงสมาชิก จะเขียนสมาชิกแตละตัวเพียงครั้งเดียวเทานั้น นั่นคือ
สมาชิกแตละตัวที่เขียนแบบแจกแจงสมาชิกจะตองไมซ้ํากัน ตัวอยางเขน {3, 5, 3, 5} จะหมายถึง
เซตที่มีสมาชิกเพียง 2 ตัว คือ {3, 5}
- การเขียนเซตในแบบแจกแจงสมาชิกนั้น สามารถสลับที่สมาชิกแตละตัวได เชน {a, b} = {b, a}
www.tutorferry.com/

3. 2
(2) การเขียนแบบบอกเงื่อนไข
วิธีการนี้ เปนวิธีการเขียนเซต โดยจะเขียนตัวแปรแทนสมาชิก และกําหนดเงื่อนไขในรูปของตัวแปรนั้น
เพื่อบอกวา สิ่งใดเปนสมาชิกของเซต แลวใชวงเล็บปกกาครอม
ขอตกลง
เมื่อเอกภพสัมพัทธ คือ เซตของจํานวนจริง อาจตกลงไมเขียนเอกภพสัมพัทธ เชน { x | 2
x = 1 } จะหมายถึง
{ x ∈ R | 2
x = 1 }นั่นเอง
ตัวอยางที่ จงเขียนเซตเหลานี้ทั้งแบบแจกแจงสมาชิก และแบบบอกเงื่อนไข
(1) เซตของจํานวนนับที่นอยกวา 6
(2) เซตของจํานวนเต็มคี่บวก
(3) เซตของจํานวนเต็มลบที่นอยกวา –5 แตมากกวา –30
(4) เซตของจํานวนจริงที่มีคาตั้งแต 0 ถึง 1
(5) เซตของจํานวนเต็มที่อยูระหวาง 2 กับ 3
(6) เซตของพยัญชนะในคําวา “วิชิต”
(7) เซตของสระในภาษาอังกฤษ
วิธีทํา
∈
∈ และ
∈
∈ -
∈ และ
แบบแจกแจงสมาชิก แบบบอกเงื่อนไข
1. 6 { 1, 2, 3, 4, 5 } { x | x N x < 6 }เซตของจํานวนนับที่นอยกวา และ หรือ
{ x N x < 6 }
2. { 1, 3, 5, 7, … } { x | x = 2n – 1, n N }เซตของจํานวนเต็มคี่บวก
3. –5 –30 { -6, -7, -8, …, -29 } { x | x I | -30 < x < -5 }เซตของจํานวนเต็มลบที่นอยกวา แตมากกวา
4. 0 1 -เซตของจํานวนจริงที่มีคาตั้งแต ถึง { x | x R 0 x 1 }∈ ≤ ≤และ หรือ
{ x R 0 x 1 }∈ ≤ ≤และ หรือ
{ x | 0 x 1 }และ หรือ≤ ≤
5. 2 3 { }, { x | x I 2 < x < 3 }เซตของจํานวนเต็มที่อยูระหวาง กับ และ หรือ∅ ∈
{ x I 2 < x < 3 }
6. ” ” { , , } { x | x “ ” }เซตของพยัญชนะในคําวา วิชิต ว ช ต เปนพยัญชนะในคําวา วิชิต
7. { a, e, i, o, u } { x | x }เซตของสระในภาษาอังกฤษ เปนสระในภาษาอังกฤษ
www.tutorferry.com/

4. เซตวาง (Empty Set) เซตจํากัด (Finite Set) และ เซตอนันต (Infinite Set)
(1) เซตวาง (Empty Set)
เขียนแทนดวยสัญลักษณ {} หรือ ∅ เปนตัวอักษรกรีก อานวา “phi (ไฟ)”
คือ เซตที่ไมมีสมาชิกเลย ตัวอยางเชน
A = { x | x เปนจํานวนเต็มบวกที่มีคานอยกวา 0 }
B = { x | x เปนจํานวนจริงซึ่ง x - x = 1 }
C = { x ∈ R | 2
x < 0}
D = { x ∈ R | x + 5 = x – 3 }
E = { x ∈ I | 2x – 5 = 0 }
(2) เซตจํากัด (Finite Set)
คือ เซตที่สามารถบอกจํานวนสมาชิกที่แตกตางกันในเซตนั้น วามีจํานวนเทาใด ที่มากกวาหรือเทากับ 0 ตัว
หรือกลาวอีกนัยหนึ่ง ก็คือ เปนเซตที่มีสมาชิกจํานวนแนนอน รวมทั้งเซตวางที่ไมมีสมาชิกเลยดวย เชน
A = { x | x เปนจํานวนเต็มบวกที่มีคานอยกวา 20 }
B = { x | x เปนจํานวนจริงซึ่ง x - 1 = 1 }
C = { x | x เปนพยัญชนะในคําวา “บานรักเรียน” }
D = { x ∈ I | 2
x = 10 }
(3) เซตอนันต (Infinite Set)
คือ เซตที่ไมใชเซตจํากัด หรือกลาวอีกนัยหนึ่ง คือ เซตที่มีจํานวนสมาชิกมากมายจนนับไมถวน หรือ
ไมสามารถบอกจํานวนสมาชิกที่แตกตางในเซตนั้นวามีจํานวนเทาใดได เชน
A = {x | x เปนเซตของจํานวนจริง}
B = เซตของจํานวนเต็มบวก
C = {x | x ∈ I | x ≥ 7}
www.tutorferry.com/

5. การเทากันของเซต (Equality of Sets)
เซต A เทากับเซต B ก็ตอเมื่อ เซตทั้งสองมีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว กลาวคือ สมาชิกทุกตัวของเซต A เปนสมาชิกของเซต
และสมาชิกทุกตัวของเซต B เปนสมาชิกของเซต A ซึ่งสามารถเขียนแทนดวย
และถา A และ B เปนเซตที่ไมเทากัน เราจะเขียนวา A ≠ B
หรือ กลาวอีกนัยหนึ่ง ไดวา A จะไมเทากับ B ก็ตอเมื่อ มีสมาชิกอยางนอย 1 ตัวของเซต A ที่ไมใชสมาชิกของเซต B หรือ
มีสมาชิกอยางนอย 1 ตัวของเซต B ที่ไมใชสมาชิกของเซต A
ตัวอยางที่ 1.3 จงบอกวาเซตที่กําหนดใหตอไปนี้เทากันหรือไม
(1) A = { 2, 4, 6, 8, 10 } และ B = { 4, 2, 10, 8, 6 }
(2) C = { x | x เปนจํานวนเต็มลบที่มากกวา –4 } และ D = { -1, -2, -3 }
(3) E = { ∅, 1, {2} } และ F = { ∅, {1}, {2} }
วิธีทํา
(1) A และ B มีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว แสดงวา A = B
(2) C และ D ก็มีสมาชิกเหมือนกันทุกตัวแสดงวา C = D ดวย
(3) E และ F มีสมาชิกไมเหมือนกันทุกตัว โดย 1 ∈ E แต 1 ∉ F
∴ E ≠ F
A = B
www.tutorferry.com/

6. 4
สับเซต
เซต A เปนสับเซตของเซต B ก็ตอเมื่อสมาชิกทุกตัวของเซต A เปนสมาชิกของเซต B ซึ่งสามารถเขียนแทนไดดวย
ขอตกลง
(1) เซตทุกเซตจะเปนสับเซตของตัวเอง หาก A เปนเซตใด ๆ แลว A ⊂ A
(2) เซตวางเปนสับเซตของเซตทุกเซต หาก A เปนเซตใด ๆ แลว ∅ ⊂ A
(3) สับเซตแท ถา A เปนสับเซตแทของ B ก็ตอเมื่อ A ⊂ B และ A ≠ B
(4) ถา A ⊂ B และ B ⊂ C แลว A ⊂ C เมื่อ A, B และ C เปนเซตใด ๆ
(5) A ⊂ B และ B ⊂ A ก็ตอเมื่อ A = B
(6) ถา A มีสมาชิก n(A) แลว จํานวนสับเซตของ A จะมี )(2 An ตัว
∴ จํานวนสับเซตแทของเซต A เทากับ 12 )(
−An
เซต
(7) ถา BA⊂ แต BA ≠ จะไดวา A เล็กกวา B
เรียกวา A เปนสับเซตแทของ B
ถา BA⊂ และ BA = เรียกวา A เปนสับเซตไมแทของ B
ในหนังสือบางเลม จะใชสัญลักษณ “⊆ ” แทนสับเซต และใชสัญลักษณ “⊂ ” แทนสับเซตแท (Proper Subset)
แตในหนังสือเลมนี้ จะใชสัญลักษณ “⊂ ” แทนสับเซต ในกรณีที่เปนสับเซตแท ก็จะเขียนวา “สับเซตแท”
(8) ถา A ⊂ B แลว B’ ⊂ A’
(9) วิธีการดูวาเซต A เปนสับเซตของเซต B หรือไม
ดูจากการตัดปกกานอกสุดทิ้ง แลวดูวาหนาตาสมาชิกของเซตที่นอยกวา
เหมือนกับอีกเซตที่มากกวาหรือไม ถาจํานวนสมาชิกนอยกวา และแตละตัวหนาตาเหมือนกัน
ก็แสดงวาเปนสับเซต
ตัวอยางที่ ถา A = { 1, 2 } และ B = { 1, 2, 3, 4 } จะไดวา
A มีจํานวนสมาชิกนอยกวา B เมื่อตัดปกกานอกสุดทิ้งแลว จะไดวา A มี 1 และ 2 เปนสมาชิก ซึ่ง B เมื่อตัดปกกานอกสุดทิ้ง
จะมี 1 2 3 และ 4 เปนสมาชิก ซึ่งหนาตา 1 และ 2 ของเซต A เหมือนกับ 1 2 ในเซต B แตมีจํานวนสมาชิกนอยกวา จะไดวา A ⊂ B
ตัวอยางที่ 1.5 กําหนดให A = { 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 0, 1, 2 }, C = { 3, 4, 5 } และ D = { 1, 5 }
แสดงวา C ⊂ A, D ⊂ A และ B ⊄ A
A ⊂ B
www.tutorferry.com/

7. 7
6ตัวอยางที่ ให A = { 1, { 1 }, 2, 3, 4 } จงพิจารณาวา { 1 }, { { 1 } }, { { 1 }, 2 } เปนสับเซตของ A หรือไม
วิธีทํา การดูวา ? เปนสับเซตของ A บาง ใหตัดปกกาทิ้ง แลวดูวา เปนสมาชิกของ A หรือไม ถาเปน
ก็เปนสับเซตของ A จะได {1} ⊂ A, { { 1 } } ⊂ A, { { 1 }, 2 } ⊂ A
เพาเวอรเซตของเซต A หรือ P(A)
เพาเวอรเซตของเซต A คือ เซตที่ประกอบดวยสมาชิกที่เปนเซตซึ่งเปนสับเซตของ A
โดย P(A) = {x | x ⊂ A}
ขอตกลง (1) ∅ ∈ P(A) และ ∅ ⊂ ทุกเซต
(2) เมื่อ A เปนเซตจํากัด หากเซต A มีสมาชิก n ตัว เพาเวอรเซตของ A จะมีสมาชิก = 2n
ตัว
คุณสมบัติเกี่ยวกับเพาเวอรเซต
กําหนด A, B เปนเซตใด ๆ
(1) P(A) ≠ ∅
(2) P(∅) = { ∅ }
(3) ∅ ∈ P(A)
(4) A ∈ P(A)
(5) { A } ⊂ P(A)
(6) x ∈ P(A) ก็ตอเมื่อ x ⊂ P(A)
(7) ∅ ⊂ P(A)
(8) {∅} ⊂ P(A)
(9) ถา A มีสมาชิก n ตัว สมาชิกของ P(A) มี 2n
เซต
(10) ถา A ⊂ B แลว P(A) ⊂ P(B) และถา P(A) ⊂ P(B) แลว A ⊂ B เชนกัน
(11) P(A) ∩ P(B) = P(A ∩ B)
ตัวอยางที่ กําหนดให A = { 1, 2, 3 }, B = { 1, 5 } จงแสดงใหเห็นจริงวา P(A) ∩ P(B) = P(A ∩ B)
วิธีทํา A ∩ B = { 1 }
∴ P(A ∩ B) = {∅, {1}}
P(A) = { ∅, { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 1, 2 }, { 1, 3 }, { 2, 3 }, { 1, 2, 3 } }
P(B) = { ∅, { 1 }, { 5 }, { 1, 5 } }
∴ P(A) ∩ P(B) = { ∅, { 1 } }
ดังนั้นจะเห็นวา P(A) ∩ P(B) = P(A ∩ B) จริง
(12) P(A) ∪ P(B) ⊂ P(A ∪ B) แลวถา A ⊂ B แลว P(A) ∪ P(B) = P(A ∪ B)
www.tutorferry.com/

8. 11
10
9
8ตัวอยางที่ กําหนดให A = { a, b } และ B = { b, c } จงแสดงใหเห็นจริงวา P(A) ∪ P(B) ⊂ P(A ∪ B)
วิธีทํา P(A) = { ∅, { a }, { b }, { a, b } }
P(B) = { ∅, { b }, { c }, { b, c } }
∴ P(A) ∪ P(B) = { ∅, { a }, { b }, { c }, { a, b }, { b, c } }
A ∪ B = { a, b, c }
∴ P(A ∪ B) = { ∅, { a }, { b }, { c }, { a, b }, { b, c }, { a, c }, { a, b, c } }
ดังนั้น จะเห็นไดวา P(A) ∪ P(B) ⊂ P(A ∪ B) จริง
ตัวอยางที่ กําหนดให A = { a } และ B = { a, b } จงแสดงใหเห็นจริงวา P(A) ∪ P(B) = P(A ∪ B)
วิธีทํา P(A) = { ∅, { a } }
P(B) = { ∅, { a }, { b }, { a, b } }
∴ P(A) ∪ P(B) = { ∅, { a }, { b }, { a, b } }
A ∪ B = {a, b}
∴ P(A ∪ B) = { ∅, { a }, { b }, { a, b } }
ดังนั้น จะเห็นไดวา P(A) ∪ P(B) = P(A ∪ B) จริง ในกรณีที่ A ⊂ B
(13) P(A – B) = P(A ∩ B’)
= P(A) ∩ P(B’)
≠ P(A) ∩ [P(B)]’
≠ P(A) - P(B)
(14) n[P(A) – P(B)] = n[P(A)] – n[P(A) ∩ P(B)]
ตัวอยางที่ กําหนดให A = {1, 2, 3}
P(A) = {{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, ∅}
จะเห็นไดวา เซต A มีสมาชิก 3 ตัว เพาเวอรเซตของเซต A จะมีสมาชิก = 23
= 8 ตัว
ตัวอยางที่ กําหนดให A = { 1, 2, 3, 4 } แลวจงหา P(A)
P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {2, 3, 4}, {1, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}}
จะเห็นไดวา เซต A มีสมาชิก 4 ตัว เพาเวอรเซตของเซต A จะมีจํานวนสมาชิก = 24
= 16 ตัว
www.tutorferry.com/

9. 12ตัวอยางที่ กําหนดให A = { 1, 2, 3, 4 } และ B = { 1, { 1, 2 }, { 2, 4 } } จงหาจํานวนสมาชิกของ P(A) – B วามีจํานวนเทาใด
วิธีทํา การที่จะทําโจทยลักษณะนี้ มี 2 วิธี คือ
(1) วิธีธรรมดา
P(A) มีสมาชิกที่เปนสับเซตของเซต A ทั้งหมด )(
2 An
= 4
2 = 16 ตัว
ซึ่งก็คือ ∅, { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 4 }, { 1, 2 }, { 1, 3 }, { 1, 4 }, { 2, 3 }, { 2, 4 }, { 3, 4 }, { 1, 2, 3 },
{ 1, 2, 4 }, { 2, 3, 4 }, { 1, 3, 4 }, { 1, 2, 3, 4 }
จากนั้น ตองมาตัดตัวซ้ํากับ B จํานวน 2 ตัว ซึ่งก็คือ { 1, 2 }, { 2, 4 }
∴ จํานวนสมาชิกของ P(A) – B = 16 – 2 = 14 ตัว
(2) วิธีลัด
โจทยประเภทนี้เคยออกขอสอบเอ็นทรานสแลว ซึ่งหากใชวิธีทางตรง
จะตองเสียเวลาในการเขียนสมาชิกทั้งหมดของ P(A) กอน แลวจึงมาตัดสมาชิกที่ซ้ํากับสมาชิกในเซต B ทิ้งไป
ซึ่งทําใหเสียเวลาในการทําขอสอบอยางมาก (อาจทําใหทําขอสอบไมทันได) ดังนั้น จึงมีวิธีลัด
ทําใหเราประหยัดเวลาในการทําได แตกอนอื่นตองเขาใจ หลักที่วา
(1) เพาเวอรเซตจะมีสมาชิกเปนเซตกอน
(2) เซตลบกัน คือ การนําสมาชิกตัวตั้งมาทั้งหมดและตัดตัวซ้ํากับตัวลบทิ้งไป
P(A) มีจํานวนสมาชิกทั้งหมด )(
2 An
= 4
2 = 16 ตัว
ซึ่งใน 16 ตัวนี้ลวนแตเปนเซตซึ่งเปนสับเซตของเซต A
จากโจทย ใหเราหา P(A) – B จะไดวา นําสมาชิกของ P(A) เปนตัวตั้ง ตัดตัวซ้ํากับ สมาชิกของเซต B ทิ้งไป ดังนั้น
ใน 16 ตัวนี้ จะมีตัวซ้ํากับ B กี่ตัว ก็ใหตัดทิ้งไป
วิธีการดูอยางเร็ววา P(A) ไปซ้ํากับ B กี่ตัวอะไรบาง โดยดูที่ B = { 1, { 1, 2 }, { 2, 4 } }
โดยดูจากการตัดปกกานอกทิ้งไป จะไดสมาชิกของ B มี 3 ตัว 1, { 1, 2 } และ { 2, 4 }
- 1 ไมเปนเซต
แสดงวา ไมมีทางไปซ้ํากับ สมาชิกใน P(A) ได เนื่องจากสมาชิกใน P(A) ตองเปนเซต เทานั้น
- { 1, 2 } ใหดูโดยตัดปกกานอกทิ้ง จะได 1 กับ 2 ซึ่งเปนสมาชิกของเซต A
แสดงวา { 1, 2 } ซ้ํากับสมาชิกของ P(A)
- { 2, 4 } ใหดูโดยตัดปกกานอกทิ้ง จะได 2 กับ 4 ซึ่งเปนสมาชิกของเซต A
แสดงวา { 2, 4 } ซ้ํากับสมาชิกของ P(A)
จะไดวา จํานวนสมาชิกของ P(A) ซ้ํากับ สมาชิกของ B จํานวน 2 ตัว ซึ่งก็คือ { 1, 2 }, { 2, 4 }
∴ จํานวนสมาชิกของ P(A) – B = 16 – 2 = 14 ตัว
www.tutorferry.com/

10. แผนภาพของเวนน-ออยเลอร (Venn-Euler Diagram)
เปนแผนภาพที่ใชเขียนแทนเซต เพื่อใหมีความเขาใจเกี่ยวกับเซตไดงายขึ้น โดยนักคณิตศาสตร 2 ทาน คือ จอหน เวนน
(John Venn) ค.ค.1834-1883 และ เลียวนารด ออยเลอร (Leonnard Euler) ค.ศ.1707-1873 จึงเรียกแผนภาพดังกลาวเพื่อเปนเกียรติ วา
“แผนภาพของเวนน-ออยเลอร”
แผนภาพเวนน-ออยเลอร นิยมแทนเอกภพสัมพัทธ (U) ดวย สี่เหลี่ยมมุมฉาก และแทนเซตตาง ๆ ซึ่งเปนสับเซตของ U
ดวยวงกลม หรือ รูปเหลี่ยมที่มีพื้นที่จํากัด
รูปแบบความสัมพันธระหวางเซตเมื่อเขียนลงบนแผนภาพเวนน-ออยเลอร
เซตที่ไมมีสมาชิกรวมกันเลย (disjoint sets)
เซตที่มีสมาชิกรวมกัน ( intersecting sets)
ความสัมพันธที่ A ทั้งหมดเปนสมาชิกใน B และ B ทั้งหมดเปนสมาชิกใน A
เมื่อกําหนดเอกภพสัมพัทธ
เอกภพสัมพัทธ
A B
A B
สมาชิกใน A
ที่ไมมีใน B
สมาชิกใน B
ที่ไมมีใน A
สมาชิกรวมกัน 2 เซต
B
A
A
B
A B
U
www.tutorferry.com/

11. 14
13ตัวอยางที่ กําหนดให U แทน เซตของจํานวนจริง
A = {1, 3, 5, 7, …}
B = {2, 4, 6, 8, …}
C = {-1, -2, -3, -4, …}
จะเขียนแผนภาพของเวนน-ออยเลอรได ดังนี้
ตัวอยางที่ กําหนดให U แทนเซตของจํานวนจริง
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {2, 4, 6, 8, 10}
จะเขียนแผนภาพของเวนน-ออยเลอรได ดังนี้
U
0
A
B
C
U
1
3 5
2 6
4 8
10
www.tutorferry.com/

12. 15
การกระทําทางเซต (Operation on Set)
การกระทําทางเซต
คือ การนําเซต 2 เซตมากระทํากัน เพื่อใหเปนเซตใหม ในระดับชั้นมัธยมศึกษาตอนปลาย มี 4 แบบ คือ
(1) คอมพลีเมนต (2) ยูเนียน
(3) อินเตอรเซกชั่น (4) ผลตาง
ก. คอมพลีเมนต (Complement)
คอมพลีเมนตของเซต A ซึ่งเปนสับเซตของเอกภพสัมพัทธ U คือ เซตที่ประกอบดวยสมาชิกซึ่งเปนสมาชิกของ U
แตไมเปนสมาชิกของ A ซึ่งสามารถเขียนแทนดวย A′ และเขียนแบบบอกเงื่อนไขได คือ A′ = {x | x ∈ U และ x ∉A}
ตัวอยางที่ กําหนดให U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {1, 3, 5}
B = {4, 6}
ดังนั้น A′ = {2, 4, 6}และ B′ = {1, 2, 3, 5}
ข. ยูเนียน (Union)
ยูเนียนของเซต A และเซต B คือ เซตที่ประกอบดวยสมาชิกที่เปนสมาชิกของเซต A หรือของเซต B หรือของทั้ง 2
เซต ซึ่งสามารถเขียนแทนดวย
เขียน A ∪ B แบบบอกเงื่อนไขไดคือ A ∪ B = {x ∈ U | x ∈ A ∨ x ∈ B}
คุณสมบัติเกี่ยวกับยูเนียน
กําหนด A, B และ C เปนเซตใด ๆ
(1) A ∪ B = B ∪ A คุณสมบัติการสลับที่
(2) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) คุณสมบัติการจัดหมู
(3) ถา A ∪ B = A ∪ C แลว ไมจริงที่วา B = C เชน A = U ไมมีคุณสมบัติการตัดออก
(4) A ∪ A = A
(5) A ∪ ∅ = A = ∅ ∪ A
(6) A ∪ U = U = U ∪ A
(7) ถา A ⊂ B แลว A ∪ B = B
A ∪ B
www.tutorferry.com/

13. 16
(8) ถา A ∪ B = B แลว A ⊂ B
(9) A ⊂ A ∪ B และ B ⊂ A ∪ B
แปลวา การที่ A ยูเนียนกับ B แลว จะไดเซตที่ใหญกวา หรือเทากับ แตละเซตเดิม นั่นเอง
(10) ถา A ∪ B = ∅ แลว A = ∅ และ B = ∅
ตัวอยางที่ กําหนดให U แทนเซตของจํานวนจริง A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 3, 5, 7, 9}
ดังนั้น A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}
ซึ่งสามารถเขียนดวยแผนภาพของเวนน-ออยเลอรได ดังนี้
ค. อินเตอรเซกชัน (Intersection)
อินเตอรเซกชันของเซต A และเซต B คือเซตที่ประกอบดวยสมาชิกซึ่งเปนสมาชิกของทั้งเซต A และเซต B
ซึ่งสามารถเขียนแทนไดดวย
เขียนแทน A ∩ B แบบบอกเงื่อนไขไดคือ A ∩ B = {x ∈ U | x ∈ A ∧ x ∈ B}
คุณสมบัติเกี่ยวกับการอินเตอรเซกชัน
กําหนด A, B และ C เปนเซตใด ๆ
(1) A ∩ B = B ∩ A คุณสมบัติการสลับที่
(2) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) คุณสมบัติการจัดหมู
(3) A ∩ A = A
(4) A ∩ ∅ = ∅ = ∅ ∩ A
(5) A ∩ U = A = U ∩ A
ดังนั้น U จึงเป็นเอกลักษณทาง อินเตอรเซกชั่น นั่นเอง
(6) ถา A ⊂ B แลว A ∩ B = A
U
A B
2
4
1 7
3 5 9
A ∩ B
www.tutorferry.com/

14. 17
(7) ถา A ∩ B = A แลว A ⊂ B
(8) ถา A ∩ B = ∅ แลว ไมจําเปนที่ A = ∅ หรือ B = ∅
แปลวา A กับ B อาจจะไมมีสมาชิกรวมกันเลยก็ได
(9) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
(10) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
(11) ถา A ∩ B = A ∪ B แลว A = B
(12) A ∩ B ⊂ A และ A ∩ B ⊂ B
แปลวา A ∩ B ไมมีทางไดเซตที่ใหญกวา A หรือ B เต็มที่ก็ไดเทากับเซตใดเซตหนึ่งเทานั้น
(13) ถา A ⊂ C แลว A ∪ B ⊂ C ∪ B
ถา A ⊂ C แลว A ∩ B ⊂ C ∩ B
แตบทกลับไมเปนความจริง
(14) ถา A ∩ B เปนเซตอนันต แลว A และ B จะเปนเซตอนันตดวย
ตัวอยางที่ กําหนดให U แทนเซตของจํานวนจริง A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {1, 2, 4, 5, 7}
ดังนั้น A ∩ B = {2, 4}
ซึ่งสามารถเขียนดวยแผนภาพของเวนน-ออยเลอรได ดังนี้
ง. ผลตาง
ผลตางระหวางเซต A และเซต B หรือ คอมพลีเมนตของเซต B เมื่อเทียบกับเซต A
คือเซตที่ประกอบดวยสมาชิกของเซต A ซึ่งไมเปนสมาชิกของเซต B เขียนแทนดวย A – B
แปลวา เอา A เปนตัวตั้ง แลวตัดตัวซ้ํากับ B ทิ้งไป นั่นเอง แสดงวา A – B ตองเหลือสมาชิกนอยกวาหรือเทากับ A เดิม
ดังนั้น จะไดวา A – B ⊂ A
U
A B
2
4
www.tutorferry.com/

15. 18ตัวอยางที่ กําหนดให U แทนเซตของจํานวนจริง A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7, 8]
ดังนั้น A – B = {1, 2, 3}
B – A = {6, 7, 8}
หมายเหตุ ถา B – A = ∅ แลว จะไดวา B ⊂ A
คุณสมบัติของเซตเกี่ยวกับคอมพลีเมนตและผลตาง
กําหนด A, B และ C เปนเซตใด ๆ
(1) A – B = A ∩ B′
(2) (A′)′ = A
(3) ∅′ = U
(4) U ′ = ∅
(5) (เซตจํากัด)’ = เซตอนันต และ (เซตอนันต)’ = เซตจํากัด
เชน กําหนดให A = {x ∈ I | -8 < x < -1}
จะไดวา A = {-2, -3, -4, -5, -6, -7} ซึ่งเปนเซตจํากัด แลว
A’ = {x ∈ I | x ≤ -8 หรือ x ≥ -1} ซึ่งเปนเซตอนันต นั่นเอง
(6) A ∪ A′ = U = A′ ∪ A
(7) A ∩ A′ = ∅ = A′ ∩ A
(8) (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′
(9) (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′ “DE MORGAN’S LAW”
(10) A – (B ∪ C) = (A – B) ∩ (A – C)
(11) A– ( B ∩ C ) = (A – B) ∪ (A – C)
U
A B
1
2 3
www.tutorferry.com/

16. จำนวนสมาชิกของเซตจํากัด
ถา A เปนเซตจํากัด เขียนแทนสมาชิกของเซต A ดวย n(A)
เชน A = {a, b, c} และ B = {5, 6, 7, 8, 9} จะไดวา n(A) = 3 และ n(B) = 5
(1) จํานวนสมาชิกของเซตลบกัน
จาก 'BABA ∩=−
จะไดวา CBACBA −∩=∩∩ )('
)()'('' CBACBACBA ∪−=∪∩=∩∩
ACBACBCBA −∩=∩∩=∩∩ )(')('
หมายเหตุ n(A ∩ B’) = n(A – B)
= n(A) – n(A ∩ B)
(2) จํานวนสมาชิกโดยการใชสูตรและแผนภาพเวนนออยเลอร
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
n(A ∪ B ∪ C)
= n(A) + n(B) + n(C) – n(A∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
สูตรนี้มักจะใชตอนที่โจทยใหหาคาของจํานวนสมาชิกของเซตทียูเนียนหรืออินเตอรเซกกันและสูตรนี้จะชวยในการใสตัว
เลขตาง ๆ ในแผนภาพเวนนออยเลอรใหสมบูรณ เพื่อความสะดวกในการหาจํานวนสมาชิกตางๆ ที่โจทยกําหนดให
(3) จํานวนสมาชิกของเพาเวอรเซต
จํานวนสมาชิกของเพาเวอรเซตของเซต A คือ สองยกกําลังจํานวนสมาชิกของเซต A
)(
2))(( An
APn =
www.tutorferry.com/

17. สับเซตและเพาเวอรเซต
สับเซต (Subset)
นิยาม เซต A เปนสับเซตของเซต B ก็ตอเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เปนสมาชิกของเซต B
A เปนสับเซตของเซต B เขียนแทนดวย A ⊂ B
A ไมเปนสับเซตของเซต B เขียนแทนดวย A ⊄ B
ตัวอยาง 1
ถา A = { 1 } , B = { 0 , 1 , 2 } , C = { 3 , 4 , 5 , 6 } และ D = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }
จะได A ⊂ B , B ⊂ D และ A ⊂ D
แต A ⊄ C , B ⊄ C และ C ⊄ D
ตัวอยาง 2 กําหนดให A = { 1 , 2 , 3 } จงหาสับเซตทั้งหมด
จะไดสับเซตทั้งหมดของ A คือ { a } , { b } , { c } , { a , b } , { a , c } , { b , c } , { a , b , c } , φ
ถา A ⊂ B และ A ≠ B เชน A = { 1 } , B = { 1 , 2 } จะเรียก A วาเปนสับเซตแทของ เซต B
ถา A ⊂ B และ A = B เชน A = { a , b } , B = { a , b } จะเรียก A วาเปนสับเซตไมแทของ เซต B
ตัวอยาง 3 กําหนดให A = {1, 2} B = {2, 3} C = {1, 2, 3} D = {1, 2, 3, 4}
สรุปไดวา A ⊄ B, A ⊂ C, A ⊂ D
B ⊄ A, B ⊂ C, B ⊂ D
C ⊄ A, C ⊄ B, C ⊂ D
D ⊄ A, D ⊄ B, D ⊄ C
จากตัวอยาง 2 พบวามี n(A) = 3, จากการสังเกตพบวา มีจํานวนสับเซต 8 เซต ดังนั้นอาจสรุปไดดังตาราง
เซต จํานวนสมาชิก จํานวนสับเซต
{} 0 1 = ( 0
2 )
{1} 1 2 = ( 1
2 )
{1, 2} 2 4 = ( 2
2 )
{1, 2, 3} 3 8 = (23
)
{1, 2, 3, 4} 4 16 = ( 4
2 )
{1, 2, 3, 4, 5} 5 32 = ( 5
2 )
{1, 2, 3, …, n} n 2n
www.tutorferry.com/

18. ขอตกลงเกี่ยวกับสับเซต
• เซตทุกเซตเปนสับเซตของตัวเอง นั่นคือ ถา A เปนเซตใด ๆ แลว A ⊂ A
• เซตวางเปนสับเซตของเซตทุกเซต นั่นคือ ถา A เปนเซตใด ๆ แลว φ ⊂ A
เราทราบจํานวนสับเซตทั้งหมด วา เซตใดๆ มีจํานวนสับเซตเปน 2n
จากความรูเรื่องสับเซตแท เรา
พบวา เซตตัวมันเอง จะไมเปนสับเซตแท ดังนั้น เราสามารถหาจํานวนสับเซตแทไดโดยอาศัยสูตร 2n
- 1
เรื่องการหาจํานวนสมาชิกของซับเซต จะไดเรียนอีกครั้งหนึ่งในเรื่องคอมบินาทอริกในระดับสูงตอไป
สรุปสมบัติของสับเซต เมื่อให A, B และ C เปนเซตใดๆ ที
่
ไมใชเซตวาง จะไดวา
1. เซตทุกเซตเปนสับเซตของตัวมันเอง เชน .,, CCBBAA ⊂⊂⊂
2. เซตวางเปนสับเซตของทุก ๆ เซต เชน ., BA ⊂⊂ φφ
3. ถา φ⊂A แลว φ=A
4. ถา BA ⊂ และ CB ⊂ แลว CA ⊂ .
5. ถา BA = แลว BA ⊂ และ AB ⊂ .
6. ถา BA ⊂ และ AB ⊂ แลว BA = .
7. ถา A มีจํานวนสมาชิกเทากับ n แลว จะมีสับเซตจํานวน n
2
เพาเวอรเซต ( power set )
คือ เซตของสับเซตทั้งหมดของเซต A เมื่อ A เปนเซตจํากัด
เพาเวอรเซตของเซต A เขียนแทนดวย P(A)
ถา A = { a , b , c } เซตของสับเซตทั้งหมดของ A หรือ
เพาเวอรเซตของ A คือ P(A) = { { a } , { b } , { c } , { a , b } , { a , c } , { b , c } , { a , b , c } , φ }
ตัวอยาง ถา A = { 6 , 9 , {1} , {{2}} } จงหา P(A)
P(A) = { {6} , {9} , {{1}} , {{{2}}} , {6,9} , {6,{1}} , {6,{{2}}} , {9,{1}} , {9,{{2}}} , {{1},{{2}}} , {6,9,{1}}
, {6,9,{{2}}} , {6,{1},{{2}}} , {9,{1},{{2}}} , {6,9,{1},{{2}}} , φ }
ถา A เปนเซตจํากัดที่มีสมาชิก n ตัว แลว P(A) มีสมาชิก 2n
ตัว
หนังสือบางเลมใช 2A
แทน P(A)
ตัวอยาง
www.tutorferry.com/

19. สมบัติของเพาเวอรเซตที่ควรทราบ
กําหนดให A และ B เปนสับเซตของเอกภพสัมพัทธ U
1. φ ∈ P(A)
2. A ∈ P(A)
3. ถา A เปนเซตจํากัด และมีสมาชิก n ตัว แลว P(A) จะเปน เซตจํากัดที่มีสมาชิก 2n ตัว
4. ถา A เปนเซตอนันต แลว P(A) จะเปนเซตอนันต
5. ถา A ⊂ B แลว P(A) ⊂ P(B)
6. ถา P(A) ⊂ P(B) แลว A ⊂ B
7. P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B)
8. P(A) ∪ P(B) ⊂ P(A ∪ B)
www.tutorferry.com/

20. แนะนําหลักการคิดเล็กๆ นอยๆ
ขอสอบสมัยใหมชอบหาขอสอบมาใหนองๆ งงเลนๆ เชนการหาจํานวนสมาชิกของ P(A) – A หรือ A – P(A)
หรือ ( P(A) – A) ∪ (A – P(A)) จึงไดสรุปแนวคิดการหาคาดังกลาวใหดังนี้
การหาจํานวนสมาชิกของ P(A) – A
ขั้นที่ 1 หาจํานวนสมาชิกของ P(A) ซึ่งก็เทากับ n(A)2
ขั้นที่ 2 หาสมาชิกที่ซ้ํากันของ A และ P (A) นั่นคือหา n (P (A) ∩ A)
ขั้นที่ 3 เอาคาที่ไดจากขอ 1 ลบดวยคาที่ไดจากขอ 2
เพียงแคนี้ก็เสร็จแวว!!!!!
การหาจํานวนสมาชิกของ A – P (A)
ขั้นที่ 1 หาจํานวนสมาชิกของ A
ขั้นที่ 2 หาสมาชิกที่ซ้ํากันของ A และ P (A) นั่นคือหา n (P (A) ∩ A)
ขั้นที่ 3 เอาคาที่ไดจากขอ 1 ลบดวยคาที่ไดจากขอ 2
เพียงแคนี้ก็เสร็จแวว!!!!!
การหาจํานวนสมาชิกของ ( P(A) – A) ∪ (A – P(A))
ถาเราสมมติให B = P (A) นั่นก็คือเราหาจํานวนสมาชิกของ (A – B) ∪ (B – A)
นั่นคือเราก็หาจํานวนสมาชิกของ P (A) – A และ หาจํานวนสมาชิกของ A – P (A)
แลวนําคาที่ไดทั้ง 2 คานี้มาบวกกันไดเลย
www.tutorferry.com/

21. จงทําใหเปนผลสําเร็จ )'( ABA ∪∩
วิธีทํา: )'( ABA ∪∩ = '' ABA ∩∩
= ')'( BAA ∩∩
= 'B∩φ
= φ
ดังนั้น, )'( ABA ∪∩ = φ
จงทําใหเปนผลสําเร็จ )'()()( EBDCBA ∪∩∩∩∩
วิธีทํา: )'()()( EBDCBA ∪∩∩∩∩ = '')()( EBDCBA ∩∩∩∩∩
= '' EBDCBA ∩∩∩∩∩
= ')'( EADCBB ∩∩∩∩∩
= 'EADC ∩∩∩∩φ
= φ
ดังนั้น, )'()()( EBDCBA ∪∩∩∩∩ = φ
จงทําใหเปนผลสําเร็จ ))(()'( DCBBAA −∪∩∩∩
วิธีทํา: ))(()'( DCBBAA −∪∩∩∩ = ))((' DCBBAA −∪∩∩∩
= ))(()'( DCBBAA −∪∩∩∩
= ))(( DCBB −∪∩∩φ
= φ
ดังนั้น, ))(()'( DCBBAA −∪∩∩∩ = φ
จงทําใหเปนผลสําเร็จ
)'()'()''()''( CBACBACBACBA ∩∩∪∩∩∪∩∩∪∩∩
วิธีทํา: )'()'()''()''( CBACBACBACBA ∩∩∪∩∩∪∩∩∪∩∩
= )]'()''[()]'()''[( CBACBACBACBA ∩∩∪∩∩∪∩∩∪∩∩
= )]'('[)]'''([ CBCBACBCBA ∩∩∩∪∪∩∩∩∪
= )'()( φφ ∪∪∪ AA
= 'AA∪
= U
ดังนั้น, )'()'()''()''( CBACBACBACBA ∩∩∪∩∩∪∩∩∪∩∩ = U
ตัวอยาง
ตัวอยาง
ตัวอยาง
ตัวอยาง
www.tutorferry.com/

22. จงทําใหเปนผลสําเร็จ )'( BBA ∪−
วิธีทํา: )'( BBA ∪− = UA −
= 'UA ∩
= φ∩A
= φ
ดังนั้น, )'( BBA ∪− = φ
จงทําใหเปนผลสําเร็จ )()( DBCA ∪−∩
วิธีทํา: )()( DBCA ∪−∩ = )'()( DBCA ∪∩∩
= )''()( DBCA ∩∩∩
= '' DBCA ∩∩∩
= )'()'( DCBA ∩∩∩
= )()( DCBA −∩−
ดังนั้น, )()( DBCA ∪−∩ = )()( DCBA −∩−
ตัวอยาง
ตัวอยาง
จงทําใหเปนผลสําเร็จ ])[( ABCA ∪∩∩
วิธีทํา: ])[( ABCA ∪∩∩ = )]([ BCAA ∩∪∩
= A
ดังนั้น, ])[( ABCA ∪∩∩ = A
จงทําใหเปนผลสําเร็จ )()( CADBBA ∪∪∪∩∪
วิธีทํา: )()( CADBBA ∪∪∪∩∪ = )()( CDBABA ∪∪∪∩∪
= BA ∪
ดังนั้น, )()( CADBBA ∪∪∪∩∪ = BA ∪
จงทําใหเปนผลสําเร็จ CCBA ∪∩∪ ])[(
วิธีทํา: CCBA ∪∩∪ ])[( = )]([ BACC ∪∩∪
= C
ดังนั้น, CCBA ∪∩∪ ])[( = C
ตัวอยาง
ตัวอยาง
ตัวอยาง
www.tutorferry.com/

23. แบบฝกหัดเรื่อง เซต
1. ถา A ={∅ ,0,1,{0},{0,1}} และ P(A) เปนเพาเวอรเซตของ A แลวเซต P(A) –A มีสมาชิกกี่ตัว
1. 28 2. 29
3. 30 4. 31
2. กําหนดให A = {a,{a},{b},{b,c}} ขอใดตอไปนี้ถูก
1. (A-{b,c}) ∪ {b} = {a,b ,{a},{b},{b,c}} 2. (A-{b,c}) ∪ {b} = {a,{a},{b}}
3. (A-{a,{b}}) -{a} = {{b,c}} 4. (A-{a,{b}}) -{a} = {b,c}
3. ให { }7,6,5,4,3,2,1=S
P(S) = เพาเวอรเซตของ S
ถา X= {A∈P(S) ⎢1∈A และ 7∉A}
และ Y= {A∈X ⎢ผลบวกของสมาชิกใน Aไมเกิน 6}
แลวจํานวนสมาชิกของ และ (ตามลําดับ) เทากับขอใดตอไปนี้
1. 16 , 5 2. 16 , 6
3. 32 , 5 4. 32 , 6
4. ถา A ={0,1} และ B = {0,{1},{0,1}} แลวขอใดตอไปนี้เปนจริง
1. A ∈P(B) 2. {1}∈ P(A) ∩P(B)
3. จํานวนสมาชิกของ P(A∩B) = 2 4. จํานวนสมาชิกของ P(A∪B) = 8
5. ให A, B, C, D เปนเซตใดๆ (A∩C) - (B∪D) เทากับเซตในขอใดตอไปนี้
1. (A-B) ∩ (D-C) 2. (A-B) ∩ (C-D)
3. (A-B) ∪ (D-C) 4. (A-B) ∪ (C-D)
6. กําหนดให A,B,C เปนเซต
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 18,32,75,79,92 =−∩=∩∩=∪=∪=∪ CBAnCBAnCBnCAnBAn
( )( ) ( )( ) 2,6 =−∩=−∩ ACBnBCAn ดังนั้น ( )CBAn ∪∪ เทากับขอใดตอไปนี้
1. 93 2. 94
3. 95 4. 96
7. ถาเซต A มีสมาชิก 10 ตัวแลว จํานวนทั้งหมดของความสัมพันธจาก A×A ไป A เทากับขอใดตอไปนี้
1. 100
2 2. 1000
2
3. 2
100 4. 2
1000
www.tutorferry.com/

24. 8. ให A ={0,1,2,3}และ P(A) เปนเพาเวอรเซตของ A ถา r เปนความสัมพันธจาก Aไปยัง P(A) กําหนดโดย
r ={(a,B)⏐a≥ 2, a∉B และ a+1 ∉B}แลว r มีจํานวนสมาชิกกี่จํานวน
1. 12 2. 14
3. 16 4. 18
9. ขอใดตอไปนี้ไมใช สวนที่แรเงาในแผนภาพ
1. BA ′∪ 2. AB −
3. BA ∩′ 4. ( ) ABA −∪
10. ในการสํารวจความนิยมของคนจํานวน 100 คน ที่มีตอนายแดง นายดํา และนายเขียว โดยทุกคนตองแสดงความนิยมคน
ใดคนหนึ่งอยางนอยหนึ่งคน ปรากฏวานายแดง ไดรับคะแนนความนิยมมากกวา นายดําอยู 6 คะแนน และเขียน
แผนภาพไดดังรูป
แดง ดํา
20
23
เขียว
ตอไปนี้ขอใดผิด
1. นายดํา ไดคะแนนนิยมนอยที่สุด
2. ผลรวมของคะแนนนิยมของนายแดง นายดํา และนายเขียว คือ 199
3. ผูที่ลงคะแนนนิยมใหเฉพาะนายแดง เทานั้น มีจํานวน 10 คน
4. ผูที่ลงคะแนนนิยมใหนายดํา มีจํานวน 64 คน
22 11
9
www.tutorferry.com/

25. 11. จากการสํารวจผูฟงเพลงจํานวน 180 คน พบวา มีผูชอบฟงเพลงไทยสากล 95 คน เพลงไทยเดิม 92 คน เพลงลูกทุง 125
คน เพลงไทยสากลและเพลงไทยเดิม 52 คน เพลงไทยสากลและเพลงลูกทุง 43 คน เพลงไทยเดิมและเพลงลูกทุง 57 คน
และทั้ง 180 คนจะชอบฟงเพลงอยางนอยหนึ่งประเภทในสามประเภทดังกลาวขางตน จํานวนคนที่ชอบฟงเพลงไทย
สากลเพียงอยางเดียวเทากับขอใดตอไปนี้
1. 20 2. 25
3. 30 4. 35
12. ถา A เปนเซตอนันต B เปนเซตอนันตและ C เปนเซตจํากัดแลว เซตในขอใดเปนเซตอนันต
1. ( ) ( )CBCA ∩∪∩ 2. ( )CBA ∩∪
3. ( ) ( )ACDC −∪− 4. ( ) CBA ∩∪
13. จงพิจารณาวาขอใดถูก
1. ถาจํานวนสมาชิกของเซตใดเซตหนึ่งเทากับ n แลว จํานวนสับเซตแทของเซตนั้นเทากับ n
2
2. ถา A และ B เปนเซตใดๆ และ =∩ BA ∅ แลว ( )=∩ BAP ∅
3. จํานวนสมาชิกของเพาเวอรเซตเปนจํานวนคูเสมอ
4. ไมถูกตองทั้ง 1 , 2 และ 3
14. กําหนดให B={∅, 0 , 1} และ P(B) แทนเพาเวอรเซตของเซต B ขอใดตอไปนี้ผิด
1. ∅ ∈ P(B) แต 0∉P(B) 2. ∅ ⊂ P(B) แต 1 ⊄ P(B)
3. {∅} ∈P(B) และ {1} ∈ P(B) 4. {∅} ⊂ P(B) และ {0} ⊂ P(B)
15. ให I คือเซตของจํานวนเต็ม ถา A = {x∈I⏐x=2k , k∈I} และ B = {x∈I⏐ 0472 2
≤−− xx } แลวจํานวนสมาชิก
ของเพาเวอรเซตของ BA ∩ เทากับขอใดตอไปนี้
1. 4 2. 8
3. 16 4. 32
16. นักเรียนหองหนึ่งมี 48 คน ทําการสอบวิชาคณิตศาสตร ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย ปรากฏผลดังนี้
มีนักเรียนสอบไดวิชาคณิตศาสตร 20 คน
สอบไดวิชาภาษาอังกฤษ 15 คน
สอบไดวิชาภาษาไทย 25 คน
สอบไดวิชาคณิตศาสตรอยางเดียว 10 คน
สอบตกทั้ง 3 วิชา 3 คน
นักเรียนที่สอบไดทั้งวิชาภาษาไทยและภาษาอังกฤษมีกี่คน
1. 4 2. 5
3. 16 4. 25
www.tutorferry.com/

26. 17. กําหนดให { } { }2,1,5,4,3,2,1 == BA และ { }4,3,2=C แลว ( )( )CBAP ∩− มีจํานวนสมาชิกเทากับ
จํานวนสมาชิกในเซตใดตอไปนี้
1. {x∈Ι⎪ 2
x < 17} 2. {x∈Ι⎪-2<x≤ 2}
3. {x∈Ι⎪ 2
x = 4} 4. P ({1,2,3}∩ {1})
18. ถา A = {a, b, c, d, e, f} และ B = {a, b} แลวจํานวนเซต X ซึ่ง B⊂ X ⊂ A เทากับขอใดตอไปนี้
1. 4 2. 15
3. 16 4. 32
19. กําหนดใหจํานวนสมาชิกของ ( )BAP ∩ เทากับ 4 จํานวนสมาชิกของ ( )BAP ∪ เทากับ 64 ถาจํานวนสมาชิกของ
( )AP เทากับจํานวนสมาชิกของ ( )BP แลว จํานวนสมาชิกของ BA − คือขอใด
1. 2 2. 8
3. 16 4. 24
20. ในหมูบานแหงหนึ่งมี 504 ครอบครัว โดยที่แตละครอบครัวประกอบอาชีพตอไปนี้อยางนอย 1 อาชีพ คือทํานา ทําไร
เลี้ยงสัตว ถา 239 ครอบครัวไมทํานา 238 ครอบครัวไมทําไร 214 ครอบครัวไมเลี้ยงสัตว 122 ครอบครัวทํานาและทําไร
115 ครอบครัวทํานาและเลี้ยงสัตว ขอใดตอไปนี้ผิด
1. มีครอบครัวที่ประกอบอาชีพอยางนอย 2 อาชีพ จํานวน 267 ครอบครัว
2. มีครอบครัวที่ประกอบอาชีพอยางเดียว จํานวน 217 ครอบครัว
3. มีครอบครัวที่ทํานาเพียงอยางเดียว จําวน 78 ครอบครัว
4. ประกอบอาชีพทั้ง 3 อยาง จํานวน 50 ครอบครัว
www.tutorferry.com/