Math week 16_kyriazhs_protopapas

1. 1
Εφαρµόζοντας το θεώρηµα µέσης τιµής του διαφορικού
λογισµού σε διάστηµα µε µεταβλητό άκρο
Κυριαζής Χρήστος
M.Sc. Μαθηµατικός
2o ΓΕΛ Αγίας Βαρβάρας
E-mail address: chriskyriazis@gmail.com
Πρωτοπαπάς Ελευθέριος
Ph.D., M.Sc. Μαθηµατικός
7o ΓΕΛ Περιστερίου
E-mail address: lprotopapas@hotmail.com
Περίληψη
Ένα από τα βασικά θεωρήµατα του απειροστικού λογισµού είναι το
θεώρηµα µέσης τιµής του διαφορικού λογισµού (Θ.Μ.Τ.). Οι εφαρµογές
του είναι πολλές, είτε στην εξέλιξη της θεωρίας είτε στην επίλυση
ασκήσεων. Η εύρεση της µονοτονίας µιας συνάρτησης, η επίλυση
διαφορικών εξισώσεων και το θεώρηµα µέσης τιµής του ολοκληρωτικού
λογισµού είναι µερικές από τις θεµελιώδεις εφαρµογές του Θ.Μ.Τ. στον
απειροστικό λογισµό. Στην παρούσα εργασία θα µελετήσουµε πως
εφαρµόζεται το Θ.Μ.Τ. σε ασκήσεις, όπου το διάστηµα εφαρµογής του έχει
µεταβλητό άκρο, έχοντας υπόψη µας κυρίως τη δευτεροβάθµια εκπαίδευση,
αλλά δεν θα περιορισθούµε εκεί. Παράλληλα θα αναδείξουµε την
ιδιαιτερότητα του ξ του θεωρήµατος.
Λέξεις-κλειδιά: Θεώρηµα µέσης τιµής διαφορικού λογισµού,
Θ.Μ.Τ., µεταβλητό άκρο διαστήµατος, ενδιάµεσο σηµείο.
Abstract
One of the basic theorems of Calculus is the mean value theorem. Its
applications are many, either in the development of the theory either in the
solution of exercises. Finding the monotony of a function, solving
differential equations and the mean value theorem on integrals are some of
the fundamental applications of the mean value theorem in Calculus. In the
present work we study how the mean value theorem is applied in intervals
with variable border, mainly in the secondary education. Furthermore we
demonstrate the particularity of the theorem’s ξ.

2. 2
Εισαγωγή
Ο Απειροστικός Λογισµός γεννήθηκε γύρω στο 1600, καθώς τότε
εντατικοποιήθηκε η εξέταση του υλικού κόσµου. Η επινόηση και η ραγδαία
ανάπτυξη του απειροστικού λογισµού, άνοιξε νέους δρόµους στα
µαθηµατικά και στις θετικές επιστήµες. Εφαρµογές του Απειροστικού
Λογισµού υπάρχουν στη θεωρία της βαρύτητας, της θερµότητας, του
φωτός, του ήχου, του ηλεκτρισµού, του µαγνητισµού, στη ροή του νερού,
στο σχεδιασµό αεροπλάνων κ.τ.λ. Πρακτικά κάθε ανάπτυξη στην επιστήµη
και στα µαθηµατικά στηρίχθηκε στον απειροστικό λογισµό από το 1600 και
µετά (Sawyer 1993).
Σηµαντικό ρόλο στην ανάπτυξη του απειροστικού λογισµού είχαν τα
θεωρήµατα ύπαρξης. Κάποια από αυτά αποτελούν µέρος της εξεταστέας
ύλης των µαθητών της Γ΄ Λυκείου για την εισαγωγή τους στα ανώτερα και
ανώτατα εκπαιδευτικά ιδρύµατα. Εξαιρετικά µεγάλο φάσµα ασκήσεων και
εφαρµογών έχει το θεώρηµα µέσης τιµής του διαφορικού λογισµού, το
οποίο για συντοµία θα συµβολίζουµε µε Θ.Μ.Τ.
Το θεώρηµα της Μέσης Τιµής του ∆ιαφορικού Λογισµού οφείλεται
στον Joseph Louis Compte Lagrange (1736-1813). Ο Lagrange δηµοσίευσε
το θεώρηµα το 1797 στο βιβλίο του «Theorie des Fonctions Analytiques»
(Ρασσιάς 2004).
Το Θ.Μ.Τ. αναφέρει (Νεγρεπόντης, Γιωτόπουλος & Γιαννακούλιας
1999, Brand 1984) ότι αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ ]a,b και
παραγωγίσιµη στο ( )a,b τότε υπάρχει τουλάχιστον ένας αριθµός ( )ξ a,b∈
τέτοιος ώστε να ισχύει η σχέση:
f(b) f(a)
f '(ξ) =
b a
−
−
. (1)
Το ξ θα το καλούµε ενδιάµεσο σηµείο της f στο διάστηµα (α, β).
Η όµορφη γεωµετρική του ερµηνεία (Σχήµα 1) είναι πως αν ισχύουν
οι προϋποθέσεις του, τότε µπορεί να βρεθεί εφαπτοµένη της γραφικής
παράστασης της συνάρτησης µε τετµηµένη του σηµείου επαφής στο ( )a,b ,
η οποία θα είναι παράλληλη στην ευθεία που ορίζεται από τα σηµεία
( ) ( )A a,f(a) , B b,f(b) .

3. 3
Σχήµα 1: Γεωµετρική ερµηνεία Θ.Μ.Τ.
Παρατηρούµε ότι το Θ.Μ.Τ. δεν καθορίζει την ακριβή θέση του
σηµείου ξ, παρά µόνο εξασφαλίζεται η ύπαρξή του ανάµεσα στα άκρα
εφαρµογής του Θ.Μ.Τ. Για µερικές συναρτήσεις η θέση των σηµείων αυτών
προσδιορίζεται, ενώ σε πολλές περιπτώσεις ο προσδιορισµός των σηµείων
αυτών είναι εξαιρετικά δύσκολος. Η πραγµατική χρησιµότητα του Θ.Μ.Τ
συνίσταται στο ότι µέσω αυτού µπορούµε να εξάγουµε πολλά
συµπεράσµατα από τη γνώση και µόνο της ύπαρξης ενός τουλάχιστον από
αυτά τα σηµεία (Apostol 1962).
Μια άλλη προσέγγιση του Θ.Μ.Τ. είναι ότι αν x x(t)= µε t [a,b]∈
είναι η συνάρτηση θέσης ενός κινητού, τότε υπάρχει τουλάχιστον µια
χρονική στιγµή ( )0t a,b∈ όπου η στιγµιαία ταχύτητα ισούται µε την µέση
ταχύτητα του κινητού, δηλαδή
0 0
x(b) x(a)
x'(t ) = u(t )
b a
−
=
−
. (2)
∆εν είναι λίγες οι φορές που το Θ.Μ.Τ. είναι αναγκαίο για την
επίλυση ενός θέµατος στις πανελλήνιες εξετάσεις. Ενδεικτικά αναφέρουµε
το τέταρτο θέµα των εξετάσεων του 2004, όπου το ζητούµενο απαιτούσε
επαναλαµβανόµενες εφαρµογές του Θ.Μ.Τ. ώστε να «κυνηγήσουν» οι
υποψήφιοι το ζητούµενο ξ.

4. 4
Στην παρούσα εργασία σκοπεύουµε να αναδείξουµε την ισχύ και την
ιδιαιτερότητα του θεωρήµατος όταν εφαρµόζεται σε µεταβλητό διάστηµα,
οπότε το ενδιάµεσο σηµείο ξ του Θ.Μ.Τ. έχει εξάρτηση από τη µεταβλητή
της συνάρτησης.
Το ενδιάµεσο σηµείο ως κέντρο του διαστήµατος
Ας θεωρήσουµε τη συνάρτηση g µε [ ]2
g(t) = t , µε t 1,2∈ (Sahoo &
Riedel 1998). Οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. ικανοποιούνται στο [ ]1,x µε
( )x 1,2∈ , οπότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ( )xξ 1,x∈ ώστε:
2
x
x 1
2ξ = = x +1
x 1
−
−
. (3)
Τότε χρησιµοποιώντας την (3), έχουµε ότι:
x
x 1 x 1
x +1
1
ξ 1 12lim lim
x 1 x 1 2+ +
→ →
−
−
= =
− −
.
(4)
Οµοίως για τη η συνάρτηση h µε t
h(t) = e και [ ]t 0,2∈ , βρίσκουµε
ότι υπάρχει ( ) ( )xξ 0,x 0,2∈ ⊆ για το οποίο ισχύει (Sahoo & Riedel 1998):
x
x
e 1
ξ = ln
x
 −
 
 
. (5)
Χρησιµοποιώντας την (5) και τον κανόνα του De L’ Hospital
βρίσκουµε:
+ +
x
x
x 0 x 0
e 1
ln
xξ 0 1
lim = lim =
x 0 x 2→ →
 −
 
−  
−
.
(6)
Παρατηρούµε λοιπόν πως στις προηγούµενες δύο περιπτώσεις, όταν
το x τείνει προς το αριστερό άκρο του διαστήµατος εφαρµογής του
Θ.Μ.Τ., τότε το ενδιάµεσο σηµείο xξ πλησιάζει το µέσο του διαστήµατος
που ορίζουν το αριστερό άκρο και το x . Το παραπάνω συµπέρασµα
γενικεύεται όταν η συνάρτηση ικανοποιεί συγκεκριµένες προϋποθέσεις
(Sahoo & Riedel 1998).
Πρόταση (Jacobson 1982): Έστω µια συνάρτηση f συνεχής και
παραγωγίσιµη στο [ ]a,b που είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο άκρο a µε
f ''(a) 0.≠ Αν xξ είναι το ενδιάµεσο σηµείο της f στο (a, x), τότε ισχύει:

5. 5
x
x a
ξ a 1
lim
x a 2+
→
−
=
−
. (7)
Απόδειξη
Έστω η συνάρτηση g µε
( )
( )
2
f(x) f(a) f '(a) x a
g(x) =
x a
− − −
−
µε x (a,b]∈ .
Τότε για τον υπολογισµό του ορίου της συνάρτησης g όταν το x τείνει
στο a από δεξιά, ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος του De
L’ Hospital, οπότε ισχύει:
+ + +
x a x a x a
f '(x) f '(a) 1 f '(x) f '(a)
lim g(x) = lim lim
2(x a) 2 x a→ → →
− −
=
− −
,
και αφού η f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο a, βρίσκουµε:
+
x a
f ''(a)
lim g(x) =
2→
. (8)
Όµως η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο
[ ] [ ]a,x a,b⊆ , οπότε υπάρχει ( )xξ a,x∈ τέτοιος ώστε:
x
f(x) f(a)
f '(ξ ) =
x a
−
−
. (9)
Εποµένως η συνάρτηση g λόγω της (9) γίνεται:
( )
x x
2
f '(ξ )(x a) f '(a)(x a) f '(ξ ) f '(a)
g(x) = =
x ax a
− − − −
−−
, (10)
οπότε:
( )+ + +
x x x
x a x a x a
x
f '(ξ ) f '(a) ξ a ξ a
lim g(x) = lim = f '' a lim
ξ a x a x a→ → →
 − − −
 
− − − 
. (11)
Από τις (8) και (11) αποδεικνύεται ότι ισχύει η σχέση (7).
Χρήση του Θ.Μ.Τ. στην εύρεση ορίων στο άπειρο
Είναι γνωστό ότι το Θ.Μ.Τ. µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τον
υπολογισµό διαφόρων ορίων στο άπειρο. Οι συναρτήσεις f, g µε τύπους
f(x) 2 x 5x= ηµ + ,
2
x
g(x) x ln x x
2
= − + έχουν όριο το +∞ όταν το x τείνει
στο +∞ . Οι παραπάνω συναρτήσεις είναι υποπεριπτώσεις της ακόλουθης
πρότασης.
Πρόταση: Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ( , )α +∞ και
ισχύει f '(x) 1≥ για κάθε ( , )α +∞ , τότε ισχύει ότι
x +
lim f(x) = +
→ ∞
∞ .

6. 6
Απόδειξη
Έστω 0x ( , )∈ α +∞ . Η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του
Θ.Μ.Τ. στο [ ]0x ,x για κάθε 0x > x , οπότε υπάρχει ( )x 0ξ x ,x∈ έτσι ώστε:
0
x
0
f(x) f(x )
f '(ξ ) =
x x
−
−
. (12)
Αφού f '(x) 1≥ για κάθε 0x (x , ) ( , )∈ +∞ ⊆ α +∞ , η (12) δίνει:
0 0f(x) x x f(x )≥ − + , για κάθε 0x (x , )∈ +∞ , (13)
οπότε ισχύει
x +
lim f(x) = +
→ ∞
∞ , (14)
δεδοµένου ότι
( )0 0
x +
lim x x f(x ) = +
→ ∞
− + ∞ . (15)
Η πρόταση αυτή µας δίνει τη δυνατότητα να υπολογίσουµε το όριο µιας
συνάρτησης στο άπειρο, όταν ξέρουµε πληροφορία για την παράγωγο, µε τη
βοήθεια του Θ.Μ.Τ. Μπορεί να συµβαίνει το αντίστροφο; Μπορούµε να
βρούµε το όριο της παραγώγου, όταν έχουµε πληροφορία για τη
συνάρτηση, µε τη βοήθεια του Θ.Μ.Τ.;
Πρόταση (Μυταρέλλης 1996): Έστω f παραγωγίσιµη συνάρτηση στο
σύνολο των πραγµατικών αριθµών, η οποία στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω.
Αν η fC έχει ασύµπτωτη την ευθεία y = λx +β , µε λ,β∈R , τότε ισχύει ότι
x +
lim f '(x) = λ
→ ∞
.
Απόδειξη
Η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στα
[ ]x 1,x− και [ ]x,x +1 για τυχαίο x ∈R , οπότε υπάρχουν ( )1xξ x 1,x∈ −
και ( )2xξ x,x +1∈ τέτοια ώστε:
1xf(x) f(x 1) = f '(ξ )− − (16)
και
2xf(x +1) f(x) = f '(ξ )− . (17)
Η συνάρτηση f είναι κοίλη στο R , οπότε η f ' είναι γνησίως
φθίνουσα στο R και αφού 1x 2xx 1< ξ < x < ξ < x +1− προκύπτει:
1x 2xf '(ξ ) > f '(x) > f '(ξ ) (18)
ή ισοδύναµα λόγω των (16) και (17)
f(x) f(x 1) > f '(x) > f(x +1) f(x)− − − . (19)
Επίσης:

7. 7
( ) ( )f(x) f(x 1) = f(x) λx +β f(x 1) λ(x 1) +β + λ − − − − − − −  , (20)
άρα παίρνοντας όριο στο +∞ και χρησιµοποιώντας ότι η fC έχει
ασύµπτωτη την ευθεία y = λx +β στο +∞ , βρίσκουµε ότι:
[ ]x +
lim f(x) f(x 1) = λ
→ ∞
− − . (21)
Με όµοιο τρόπο βρίσκουµε ότι:
[ ]x +
lim f(x +1) f(x) λ
→ ∞
− = , (22)
οπότε από τις (19), (21), (22) προκύπτει ότι:
x +
lim f '(x) = λ
→ ∞
. (23)
Είναι φανερό ότι η προηγούµενη πρόταση ισχύει και στην περίπτωση
όπου η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω.
Αξίζει να σηµειώσουµε ότι η συνθήκη για την κοίλη (ή την κυρτή)
συνάρτηση είναι καίριας σηµασίας, αφού η έλλειψή της και ο µεταβλητός
χαρακτήρας των ενδιάµεσων σηµείων του Θ.Μ.Τ. θα µας οδηγήσουν σε
λανθασµένο συµπέρασµα. Προς επιβεβαίωση ας δούµε το επόµενο
παράδειγµα.
Θεωρούµε τη συνάρτηση f µε
2
ηµ x
f(x) = ,x 0
x
≠ . Τότε:
x +
lim f(x) = 0
→ ∞
, (24)
αφού για x 0≠ έχουµε:
1 1 1
f(x) f(x)
x x x
≤ ⇔ − ≤ ≤ . (25)
Η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στα
[ ]x 1,x− και [ ]x,x +1 για τυχαίο x > 0 , οπότε υπάρχουν ( )1xξ x 1,x∈ −
και ( )2xξ x,x +1∈ τέτοια ώστε να ισχύουν οι (16) και (17).
Αν x → +∞ προκύπτει ότι xξ → +∞ και αφού λόγω της (24) ισχύει
x x
lim f(x 1) lim f(x) 0
→+∞ →+∞
− = = , έχουµε λόγω της (16) ότι:
1x
x
lim f '(ξ ) 0
→+∞
= . (26)
Όµως µπορούµε να διαπιστώσουµε πως το όριο της παραγώγου δεν
υπάρχει στο +∞ αφού
2
2
xηµ2x ηµ x
f '(x) = , x 0
x
−
≠ (27)
και αν θεωρήσουµε τις ακολουθίες

8. 8
na = 2nπ και n
π
b = 2nπ + ,n
2
∈N , (28)
λαµβάνουµε διαφορετικές τιµές για το όριο, καθώς το n τείνει στο
άπειρο!!!
Αυτό συµβαίνει γιατί ναι µεν όταν το x → +∞ , τότε και xξ → +∞
όµως το xξ είναι ένα ειδικής φύσεως σηµείο, όπως θα φανεί και παρακάτω.
Μια ακόµη ενδιαφέρουσα πρόταση για την εύρεση ορίου διαφοράς
δύο συναρτήσεων µέσω Θ.Μ.Τ. και δεδοµένου του ορίου της παραγώγου
δίνεται ακολούθως.
Πρόταση (Γιαννόπουλος 2009): Αν για την παραγωγίσιµη συνάρτηση
( )f : 0,+∞ → R , ισχύει
x
lim f '(x) 0
→+∞
= , τότε [ ]x
lim f(x +1) f(x) 0
→+∞
− = .
Απόδειξη
Έστω ε 0> . Τότε, αφού
x
lim f '(x) 0
→+∞
= , από τον ορισµό του ορίου
έχουµε ότι υπάρχει M 0> τέτοιο ώστε για κάθε y > M έπεται ότι
f '(y) ε< .
Θεωρούµε x M 0> > και εφαρµόζουµε για την f το Θ.Μ.Τ. στο
διάστηµα [ ]x,x +1 , οπότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ( )xξ x,x +1∈ τέτοιο,
ώστε:
x
f(x +1) f(x)
f '(ξ ) f(x +1) f(x)
x +1 x
−
= = −
−
. (29)
Όµως,
x0 < M < x < ξ x +1< , (30)
άρα ισχύει
xf '(ξ ) < ε f(x +1) f(x) ε⇔ − < . (31)
Αυτό σηµαίνει πως [ ]x
lim f(x +1) f(x) 0
→+∞
− = .
Μονοτονία και Θ.Μ.Τ.
Το θεώρηµα µέσης τιµής µπορεί να χρησιµεύσει στην απόδειξη της
µονοτονίας συναρτήσεων. Ας υποθέσουµε ότι αναζητούµε τη µονοτονία της
συνάρτησης f µε
x
1
f(x) = 1+
x
 
 
 
και fx A (0, )∈ = +∞ .
Θεωρούµε τη συνάρτηση h µε τύπο h(t) = lnt, t > 0 και εφαρµόζουµε
το Θ.Μ.Τ στο διάστηµα [ ]x,x +1 όπου x 0> και λαµβάνουµε:

9. 9
( )x
x
1
ln(x +1) lnx = , µε ξ x,x +1
ξ
− ∈ . (32)
Όµως:
x
x
1 1
0 < x < ξ < x +1 >
ξ x +1
⇒ (33)
και αφού για x 0> ισχύει
( )
x '
1
f '(x) = f(x) ln 1+ = f(x) x ln(x +1) lnx '
x
1 1
= f(x) ln(x +1) lnx + x
x +1 x
1
= f(x) ln(x +1) lnx ,
x +1
  
 −       
  
− −  
  
 
− − 
 
βρίσκουµε λόγω των (32), (33) ότι:
x
1 1
f '(x) = f(x) > 0
ξ x +1
 
− 
 
, (34)
αφού f(x) > 0 στο fA , οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα (Σχήµα 2).
Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο µπορούµε να αποδείξουµε ότι η g µε
x+1
1
g(x) = 1+
x
 
 
 
είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, )+∞ (Σχήµα 2).
Σχήµα 2:Γραφικές παραστάσεις των f, g

10. 10
Ένα «παράδοξο» αποτέλεσµα από τη χρήση του Θ.Μ.Τ.
Ας δούµε ένα ακόµα περίεργο αποτέλεσµα που έχει ως πηγή τη φύση
του ενδιάµεσου σηµείου του Θ.Μ.Τ. (Καζαντζής 1994, Ντούγιας 2007).
∆ίνεται η συνάρτηση f µε
2 1
x , x 0
f(x) x
0, x
ηµ
0

≠
= 
 =
.
Η συνάρτηση f είναι συνεχής για κάθε x 0≠ ως γινόµενο συνεχών
συναρτήσεων, ενώ για το µηδέν ισχύει:
x 0
limf(x) = 0 = f(0)
→
, (35)
αφού για x 0≠ ισχύει
2 2 2
f(x) x x f(x) x≤ ⇔ − ≤ ≤ . (36)
Επιπλέον η f είναι παραγωγίσιµη για κάθε x 0≠ µε
1 1
f '(x) = 2xηµ συν
x x
− , (37)
ενώ στο µηδέν έχουµε:
2
x 0 x 0 x 0
1
x ηµ
f(x) f(0) 1xf '(0) = lim lim lim xηµ 0
x 0 x x→ → →
−  
= = = −  
, (38)
ως γινόµενο µηδενικής επί φραγµένης συνάρτησης.
Εργαζόµενοι στο [ ]0,x µε x 0> , ισχύουν οι προϋποθέσεις του
Θ.Μ.Τ. και έτσι υπάρχει τουλάχιστον ένα ( )xξ 0,x∈ τέτοιο ώστε:
2
x
1
x η
xf (ξ )
µ
=
x
′ (39)
ή
x
x x
1 1 1
2ξ συν = x
ξ
µ ηµ
ξ x
η − (40)
ή
x
x x
η
1 1 1
συν = 2ξ xηµ
ξ ξ x
µ − . (41)
Όµως
x0 < ξ x< , (42)
άρα ισχύει ότι

11. 11
xx 0 ξ 0→ ⇒ → , (43)
οπότε
x
x 0
x
1 1
lim 2ξ xηµ 0µ
ξ x
η
→
 
− = 
 
. (44)
Εποµένως λόγω της σχέσης (41) προκύπτει ότι
x 0
x
1
lim 0
ξ
συν
→
 
= 
 
. (45)
Όµως γνωρίζουµε πως το όριο της συνάρτησης µε τύπο
1
συν
x
καθώς
το x τείνει στο 0 δεν υπάρχει. Προς επιβεβαίωση του παραπάνω µπορούµε
να πάρουµε τις ακολουθίες
ν ν
1 1
α = και β = , ν
π2νπ 2νπ +
2
∗
∈N ,
(46)
από τις οποίες λαµβάνουµε διαφορετικές τιµές για το όριο καθώς το ν
τείνει στο άπειρο!!!
Το εσφαλµένο συµπέρασµα οφείλεται στο γεγονός ότι ναι µεν το όριο
της
x
1
συν
ξ
υπάρχει (εξάλλου αποδείξαµε ότι κάνει 0), αλλά αυτό δεν
συνεπάγεται την ύπαρξη του ορίου
1
συν
x
, αφού το xξ δεν παίρνει όλες τις
ενδιάµεσες τιµές σε µια περιοχή του µηδενός όταν το x 0→ , δηλαδή το xξ
τείνει στο µηδέν µέσω συγκεκριµένων τιµών (δεν είναι ελεύθερο). Με άλλα
λόγια υπάρχει µια τουλάχιστον ακολουθία τιµών xξ για την οποία
x 0
x
1
lim 0
ξ
συν
→
 
= 
 
!!!
Χρησιµοποιώντας τον εψιλοντικό ορισµό του ορίου, θα λέγαµε ότι για
κάθε ε 0> υπάρχει δ 0> ώστε
x x
x
1
ξ µε | ξ 0 | δ συν 0 ε
ξ
∀ − < ⇒ − < , (47)
αλλά από αυτό δεν έπεται ότι
1
x µε | x 0 | δ συν 0 ε
x
∀ − < ⇒ − < . (48)

12. 12
Τα xξ είναι κάποιοι από τους πραγµατικούς για τους οποίους ισχύει
x| ξ 0 | δ− < , αλλά όχι όλοι. Συγκεκριµένα είναι εκείνα τα ( )xξ 0,x∈ που
προκύπτουν ως λύσεις της (40).
Συµπεράσµατα
Το θεώρηµα µέσης τιµής του διαφορικού λογισµού είναι θεµελιώδες
στον Απειροστικό Λογισµό. Οι χρήσεις του πολλές και η χρησιµότητά του
αδιαµφισβήτητη. Όταν εφαρµόζεται σε διάστηµα µε µεταβλητό άκρο, το
ενδιάµεσο σηµείο έχει ιδιαίτερα χαρακτηριστικά. Κάποιες φορές είναι το
µέσο του διαστήµατος, άλλοτε χρησιµοποιείται για τον υπολογισµό ορίων
στο άπειρο και ενίοτε για την εύρεση της µονοτονίας µιας συνάρτησης.
Αναδείξαµε ότι το ενδιάµεσο σηµείο σε διάστηµα µε µεταβλητό άκρο δεν
παίρνει όλες τις τιµές του διαστήµατος καθώς το ένα άκρο τείνει στο άλλο,
αλλά κάποιες από αυτές δηµιουργώντας διάφορα παράδοξα. Η κατανόηση
αυτής της ιδιοµορφίας είναι αναγκαία για να εξηγήσει τα παράδοξα.
Βιβλιογραφία
Γιαννόπουλος, Α. (2009). Σηµειώσεις Απειροστικού Λογισµού. Τµήµα
Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών.
Καζαντζής, Ν. Θ. (1994). Παράγωγοι Συναρτήσεων. Σπηλιώτης.
Μυταρέλλης, Π. (1996). Μαθηµατική Παιδεία. Α΄ Εξάµηνο, Τεύχος 1,
Θεσσαλονίκη.
Νεγρεπόντης, Σ. – Γιωτόπουλος, Σ. – Γιαννακούλιας, Ε. (1999).
Απειροστικός Λογισµός τόµος ΙΙβ. Συµµετρία.
Ντούγιας, Σ. (2007). Απειροστικός Λογισµός I. Leader Books.
Ρασσιάς, Μ. Θ. (2004). Μαθηµατική Ανάλυση Ι, τεύχος Α΄. Σαββάλας.
Apostol, Τ. (1962). ∆ιαφορικός και Ολοκληρωτικός λογισµός, τόµος Ι.
Ατλαντίς.
Brand, L. (1984). Μαθηµατική Ανάλυση. Ελληνική Μαθηµατική
Εταιρεία.
Jacobson, B. (1982). On the mean value theorem for integrals. The
American Mathematical Monthly, vol. 89, no. 5, p. 300-301.
Sahoo, K. P. – Riedel, T. (1998). Mean value theorems and functional
equations. World Scientific.
Sawyer, W. W. (1993) Τι είναι ο Απειροστικός Λογισµός. Εκδόσεις
Τροχαλία.