Μαθηματικά Προσανατολισμού Β' Λυκείου

1. Μαθηματικά Προσανατολισμού
Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης
Αναλυτική θεωρία – Λυμένα παραδείγματα
Ερωτήσεις κατανόησης
Ασκήσεις – Επαναληπτικά διαγωνίσματα

2. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 1
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
Κεφάλαιο 1ο
: Διανύσματα
 Ενότητα I: Η έννοια του διανύσματος σελ. 4
 Στοιχεία διανύσματος σελ. 4
 Πράξεις με διανύσματα σελ. 9
 Λυμένα παραδείγματα σελ. 15
 Ενότητα ΙΙ: Συντεταγμένες στο επίπεδο σελ. 20
 Συντεταγμένες διανύσματος σελ. 21
 Μέτρο διανύσματος σελ. 25
 Λυμένα παραδείγματα σελ. 27
 Ενότητα ΙΙΙ: Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων σελ. 33
 Αναλυτική έκφραση εσωτερικού γινομένου σελ. 34
 Προβολή διανύσματος σε διάνυσμα σελ. 35
 Λυμένα παραδείγματα σελ. 36
 Ερωτήσεις κατανόησης 1ου
κεφαλαίου σελ. 45
 Ασκήσεις σελ. 50
 Φύλλο εργασίας σελ. 58
 Το θέμα σελ. 61
Κεφάλαιο 2ο
: Ευθεία
 Ενότητα Ι: Εξίσωση ευθείας σελ. 62
 Εξίσωση γραμμής σελ. 62
 Συνθήκες παραλληλίας-καθετότητας ευθειών σελ. 64
 Μορφές εξίσωσης ευθείας σελ. 65
 Λυμένα παραδείγματα σελ. 68
 Ενότητα ΙΙ: Γενική μορφή εξίσωσης ευθείας σελ. 78
 Διάνυσμα παράλληλο ή κάθετο σ’ ευθεία σελ. 79
 Γωνία δύο μη-παραλλήλων ευθειών σελ. 79
 Λυμένα παραδείγματα σελ. 81
 Ενότητα ΙΙΙ: Απόσταση σημείου από ευθεία-Εμβαδόν τριγώνου σελ. 85
 Λυμένα παραδείγματα σελ. 88
 Ερωτήσεις κατανόησης 2ου
κεφαλαίου σελ. 95
 Ασκήσεις σελ. 97
 Φύλλο εργασίας σελ. 104

3. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 2
 Το θέμα σελ. 107
Κεφάλαιο 3ο
: Κωνικές τομές
 Ενότητα Ι: Ο κύκλος σελ.108
 Εξίσωση κύκλου σελ. 108
 Παραμετρικές εξισώσεις κύκλου σελ. 108
 Εφαπτομένη κύκλου σελ. 109
 Η εξίσωση 2 2
0x y x y        σελ. 110
 Λυμένα παραδείγματα σελ. 112
 Ενότητα ΙΙ: Η παραβολή σελ. 128
 Εξίσωση παραβολής σελ. 128
 Ιδιότητες παραβολής σελ. 130
 Εφαπτομένη παραβολής σελ. 131
 Ανακλαστική ιδιότητα παραβολής σελ. 133
 Λυμένα παραδείγματα σελ. 135
 Ενότητα ΙΙΙ: Η έλλειψη σελ. 146
 Εξίσωση έλλειψης σελ. 146
 Ιδιότητες έλλειψης σελ. 149
 Εκκεντρότητα έλλειψης σελ. 151
 Παραμετρικές εξισώσεις έλλειψης σελ. 153
 Εφαπτομένη έλλειψης σελ. 153
 Ανακλαστική ιδιότητα έλλειψης σελ. 154
 Λυμένα παραδείγματα σελ. 156
 Ενότητα ΙV: Η υπερβολή σελ. 172
 Εξίσωση υπερβολής σελ. 172
 Ιδιότητες υπερβολής σελ. 175
 Ασύμπτωτες υπερβολής σελ. 177
 Εκκεντρότητα υπερβολής σελ. 179
 Εφαπτομένη υπερβολής σελ. 181
 Ανακλαστική ιδιότητα υπερβολής σελ. 182
 Λυμένα παραδείγματα σελ. 183
 Ενότητα V: Η εξίσωση 2 2
0x y x y          σελ. 198
 Μεταφορά αξόνων σελ. 198
 Η εξίσωση 2 2
0x y x y          σελ. 199

4. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 3
 Σχετική θέση ευθεία και κωνικής σελ. 199
 Λυμένα παραδείγματα σελ. 201
 Ερωτήσεις κατανόησης 3ου
κεφαλαίου σελ. 208
 Ασκήσεις σελ. 213
 Γενικές επαναληπτικές ασκήσεις σελ. 234
 Φύλλο εργασίας σελ. 241
 Το θέμα σελ. 243
Κεφάλαιο 4ο
: Θεωρία αριθμών
 Ενότητα Ι: Η μαθηματική επαγωγή σελ. 244
 Λυμένα παραδείγματα σελ. 249
 Το θέμα σελ. 256
Βιβλιογραφία σελ. 257

5. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 4
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο
: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
ΕΝΟΤΗΤΑ Ι: Η έννοια του διανύσματος
Διάνυσμα ονομάζεται κάθε προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή είναι ένα
ευθύγραμμο τμήμα με διατεταγμένα άκρα. Το πρώτο άκρο ονομάζεται αρχή ή σημείο
εφαρμογής και το δεύτερο άκρο τέλος ή πέρας του διανύσματος. Το διάνυσμα με αρχή το
σημείο Α και τέλος το σημείο Β συμβολίζεται με  , έτσι ώστε να διακρίνεται απ’ το
ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ.
 Αν η αρχή και το τέλος ενός διανύσματος συμπίπτουν, τότε το διάνυσμα ονομάζεται
μηδενικό και συμβολίζεται με 0 . Π.χ το διάνυσμα  είναι το μηδενικό διάνυσμα.
Δηλαδή 0  .
Για το συμβολισμό ενός διανύσματος συχνά χρησιμοποιούμε τα μικρά γράμματα του
ελληνικού ή του λατινικού αλφαβήτου, όπως: , , , ,u v w  ….
Στοιχεία διανύσματος
 Μέτρο ενός διανύσματος  ονομάζεται η απόσταση των άκρων του, δηλαδή το μήκος
του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ και συμβολίζεται με  . Άρα  =d(Α,Β)=(ΑΒ).
Για κάθε μη-μηδενικό διάνυσμα  είναι  >0, ενώ για το μηδενικό διάνυσμα 
ισχύει ότι  =0. Συνεπώς ισχύει ότι   0, για κάθε διάνυσμα  .
Αν  =1, τότε το διάνυσμα  ονομάζεται μοναδιαίο.
 Φορέας ενός μη-μηδενικού διανύσματος  λέγεται η ευθεία που ορίζεται απ’ τα
σημεία Α και Β, δηλαδή η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται το διάνυσμα.
u 
Α Β

6. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 5
Ως φορέα του μηδενικού διανύσματος  μπορούμε να θεωρήσουμε οποιαδήποτε ευθεία
διέρχεται απ’ το σημείο Α.
Αν ο φορέας ενός διανύσματος u είναι παράλληλος προς μια ευθεία (ε) ή ταυτίζεται μ’ αυτή,
τότε λέμε ότι το διάνυσμα u είναι παράλληλο στην ευθεία (ε) και γράφουμε u //(ε).
Συγγραμμικά διανύσματα
Δύο μη-μηδενικά διανύσματα  και  ονομάζονται παράλληλα ή συγγραμμικά όταν
έχουν κοινό φορέα ή παράλληλους φορείς. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα διανύσματα
έχουν την ίδια διεύθυνση και γράφουμε / / .
.
ε3
ε1
ε2
Α
Α Β
ε1
Δ Γ ε2
Α
Β
ε
Α
Β
Γ
Δ
ε

7. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 6
 Δύο μη-μηδενικά διανύσματα  και  λέγονται ομόρροπα όταν:
α) έχουν τον ίδιο φορέα και μία απ’ τις ημιευθείες ΑΒ και ΓΔ περιέχει την άλλη
. .
β) έχουν παράλληλους φορείς και η ευθεία ΑΓ που ενώνει τις δύο αρχές αφήνει τα πέρατα Β
και Δ των δύο διανυσμάτων στο ίδιο ημιεπίπεδο.
ε
Α. Β
Γ. Δ
Για να δηλώσουμε ότι τα διανύσματα  και  είναι ομόρροπα γράφουμε    .
Τα ομόρροπα διανύσματα έχουν την ίδια διεύθυνση και την ίδια φορά, έχουν δηλαδή την ίδια
κατεύθυνση.
 Δύο μη-μηδενικά διανύσματα  και  θα λέγονται αντίρροπα όταν έχουν τον ίδιο
φορέα ή παράλληλους φορείς και δεν είναι ομόρροπα.
ε
Για να δηλώσουμε ότι τα διανύσματα  και  είναι αντίρροπα γράφουμε    .
Α Β
ΓΔ
Α Β Γ Δ
ε
Α Β ΓΔ
ε

8. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 7
Τα αντίρροπα διανύσματα έχουν την ίδια διεύθυνση κι αντίθετη φορά, έχουν δηλαδή
αντίθετες κατευθύνσεις.
Δεχόμαστε ότι το μηδενικό διάνυσμα είναι ομόρροπο κι αντίρροπο προς οποιοδήποτε
διάνυσμα.
Ισότητα διανυσμάτων
Έστω τα διανύσματα , 0   . Θα λέμε ότι τα διανύσματα  και  είναι ίσα μεταξύ τους
και θα γράφουμε  =  , αν και μόνο αν τα διανύσματα είναι ομόρροπα κι έχουν ίσα μέτρα.
Ισχύει δηλαδή ότι:  = 
 

 
 
 


.
Η ισότητα δύο διανυσμάτων  και  δίνει την εικόνα ενός παραλληλογράμμου.
/ /
( ) ( )

 

    
   
ΑΒΔΓ παραλληλόγραμμο.
Απ’ την ισότητα    προκύπτουν οι ισοδυναμίες:
1.       
2.       
3.       
Επίσης ισχύουν τα εξής:
Α Β
Γ Δ

9. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 8
1.       (τα σημεία Β και Γ ταυτίζονται)
2. 0      (τα σημεία Α και Β ταυτίζονται)
3. Μ μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ    
Αντίθετα διανύσματα
Έστω τα διανύσματα , 0   . Θα λέμε ότι τα διανύσματα  και  είναι αντίθετα μεταξύ
τους και θα γράφουμε    , αν και μόνο αν τα διανύσματα είναι αντίρροπα κι έχουν ίσα
μέτρα.
Ισχύει δηλαδή ότι:
 
  
 
 
   


.
Το αντίθετο διάνυσμα του  είναι προφανώς το -  , είναι όμως και το  . Άρα ισχύει
ότι: -  =  .
Το αντίθετο του μηδενικού διανύσματος είναι το ίδιο το μηδενικό διάνυσμα. Δηλαδή: -0 0 .
Γωνία δύο διανυσμάτων
Έστω ,  δύο μη-μηδενικά διανύσματα και τα σημεία Ο, Α, Β του επιπέδου τέτοια, ώστε:
  και   . Ονομάζουμε γωνία των διανυσμάτων  και  την κυρτή γωνία

, η οποία είναι ανεξάρτητη της εκλογής του σημείου Ο καθώς και της σειράς που
θεωρούμε τα διανύσματα  και  . Η γωνία

 συμβολίζεται με  , 

ή  , 

, ενώ
πολλές φορές χρησιμοποιούμε για το συμβολισμό της ένα μικρό γράμμα του ελληνικού
αλφαβήτου π.χ φ, θ, ω.
Ο
Α
Β
θ

 


10. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 9
Έστω λοιπόν θ= , 

. Τότε ισχύουν τα εξής:
1. 0θπ
2.   θ=0
3.   θ=π
Τα διανύσματα  και  θα ονομάζονται κάθετα ή ορθογώνια και θα γράφουμε   , αν
και μόνο αν θ=
2

. Άρα    θ=
2

.
Αν 0  ή 0  , τότε ως γωνία των διανυσμάτων  και  μπορούμε να θεωρήσουμε
οποιαδήποτε γωνία θ με 0θπ.
Το μηδενικό διάνυσμα θεωρείται κάθετο σε οποιοδήποτε διάνυσμα.
ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
1. Πρόσθεση διανυσμάτων
Διαδοχικά διανύσματα
Έστω τα διανύσματα  και  και σημεία Ο, Α, Β τέτοια, ώστε   και   .
Ισχύει ότι:        . Το διάνυσμα  είναι ανεξάρτητο της επιλογής του
σημείου Ο κι ονομάζεται άθροισμα ή συνισταμένη των διαδοχικών διανυσμάτων  και
.
.
.
Ο
Α Β
 


 

11. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 10
Σύμφωνα με τα παραπάνω, για οποιαδήποτε σημεία Α, Β, Γ ισχύει ότι:     
(διανυσματική σχέση του Chasles).
Γενικότερα ισχύει, για οποιαδήποτε σημεία Α1, Α2,….., Αν (ν3), ότι:
1 2 2 3 1 1......               (γενικευμένη διανυσματική σχέση του Chasles).
Κανόνας του παραλληλογράμμου
Έστω τα διανύσματα  και  και σημεία Ο, Α, Β τέτοια, ώστε   και   .
Σχεδιάζουμε το παραλληλόγραμμο με πλευρές ΟΑ κι ΟΒ. Η διαγώνιος ΟΓ του
παραλληλογράμμου ΟΑΓΒ αντιστοιχεί στο άθροισμα των διανυσμάτων  και  .
Ιδιότητες πρόσθεσης διανυσμάτων
Για οποιαδήποτε διανύσματα ,  και  ισχύουν:
1.       (αντιμεταθετική)
2.              (προσεταιριστική)
3. 0  
4.   0   
Απ’ τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι το άθροισμα πολλών διανυσμάτων δε μεταβάλλεται αν
αλλάξουμε τη σειρά των προσθετέων ή αντικαταστήσουμε δύο ή περισσότερους προσθετέους
με το άθροισμά τους.


Ο
Α
Β
Γ

 

12. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 11
2. Αφαίρεση διανυσμάτων
Έστω τα διανύσματα  και  . Το διάνυσμα     ονομάζουμε διαφορά του
διανύσματος  απ’ το διάνυσμα  και το συμβολίζουμε με   .
Δηλαδή   =     .
Έστω σημεία Ο, Α, Β τέτοια, ώστε   και   . Έστω επίσης σημείο Γ τέτοιο,
ώστε    και Δ η τέταρτη κορυφή του παραλληλογράμμου με πλευρές τις ΟΑ και ΟΓ.
Απ’ το παραλληλόγραμμο ΟΒΑΔ προκύπτει ότι       . Δηλαδή προκύπτει ότι:
      .
Άλλες ιδιότητες
1. x x       
2. x x       
3.     
4.                   


Ο Α
Β
Γ Δ


  
 

13. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 12
Μέτρο αθροίσματος-διαφοράς διανυσμάτων
Για οποιαδήποτε διανύσματα  και  ισχύει ότι:           .
Ειδικότερα ισχύουν:           και           .
Αν στη θέση του διανύσματος  θέσω το  έχω:             
           .
Ειδικότερα ισχύουν:           και           .
Παρατήρηση
Για οποιαδήποτε διανύσματα 1 2, ,...,    ισχύει ότι:
1 2 1 2... ...             .
Διανυσματική ακτίνα-Σημείο αναφοράς
Έστω Ο ένα σταθερό σημείο του χώρου. Σε κάθε σημείο Μ του επιπέδου αντιστοιχίζεται
μοναδικό διάνυσμα με αρχή το σημείο Ο, το.
Αντίστροφα, κάθε διάνυσμα  ορίζει με το πέρας του τη θέση ενός και μόνο σημείου Μ
του χώρου.
Το διάνυσμα  ονομάζεται διανυσματική ακτίνα ή διάνυσμα θέσης του σημείου Μ.
Το σταθερό σημείο Ο ονομάζεται σημείο αναφοράς ή αρχή των διανυσματικών ακτίνων.
Ως γνωστό ισχύει ότι:     οπότε    , δηλαδή το διάνυσμα 
γράφεται ως διαφορά της διανυσματικής ακτίνας του τέλους μείον τη διανυσματική ακτίνα
της αρχής του.
.
Άρα ισχύει ότι: ,      κτλ.
Ως σημείο αναφοράς μπορεί να θεωρηθεί οποιοδήποτε σημείο του χώρου.
Α
Ο Β

14. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 13
3. Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα
Έστω το διάνυσμα 0  και ο πραγματικός αριθμός λ 0. Ονομάζουμε γινόμενο του λ με
το  και συμβολίζουμε με   ή  το διάνυσμα το οποίο:
 είναι ομόρροπο του  αν λ>0
 είναι αντίρροπο του  αν λ<0
 έχει μέτρο      
Στην περίπτωση που είναι 0  ή λ=0, τότε ορίζουμε ότι 0  
Προσοχή
Το σύμβολο   δεν έχει νόημα και δεν χρησιμοποιείται.
Βασικές ιδιότητες
Για οποιαδήποτε διανύσματα  και  και για κάθε λ, μ , ισχύουν:
1.         (αριθμητικός κοινός παράγοντας)
2.         (διανυσματικός κοινός παράγοντας)
3.       
4. 1 
Απ’ τις παραπάνω ιδιότητες προκύπτουν και οι εξής
1. 0 0 0ή     
2.              
 3
2

15. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 14
3.  1    
4.        
5. Αν   και λ  0, τότε   (διαγραφή αριθμητικού παράγοντα)
6. Αν   και 0  , τότε λ=μ (διαγραφή διανυσματικού παράγοντα)
Γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων
Ένα διάνυσμα v θα λέμε ότι είναι γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων 1 2, ,...,   
αν και μόνο αν υπάρχουν λ1, λ2, …, λν τέτοια, ώστε: 1 1 2 2 ...v           .
Π.χ αν 2 3 6v      , τότε το διάνυσμα v αποτελεί γραμμικό συνδυασμό των
διανυσμάτων ,  και  .
Συνθήκη παραλληλίας διανυσμάτων
Έστω τα διανύσματα ,  , με 0  . Τότε ισχύει η ισοδυναμία: / / ,       .
Ο πραγματικός αριθμός λ είναι μοναδικός σε κάθε περίπτωση.
Χρήσιμη πρόταση
Αν ,  μη-συγγραμμικά διανύσματα και λ, μ  , τότε ισχύει η ισοδυναμία:
0 0        .
Απόδειξη
Αν λ=μ=0, τότε η πρόταση είναι προφανής.
Έστω 0   και λ 0. Τότε / /

     

      . Άτοπο, διότι τα
διανύσματα  και  δεν είναι συγγραμμικά. Όμοια αν μ  0. Άρα λ=μ=0.
Διανυσματική ακτίνα μέσου τμήματος
Έστω διάνυσμα και σημείο αναφοράς Ο. Έστω Μ το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος
ΑΒ. Τότε έχουμε:     και    . Με πρόσθεση κατά μέλη
έχουμε: 2 2
2
 
               ,αφού
0   ως αντίθετα διανύσματα.

16. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 15
Λυμένα παραδείγματα
1. Θεωρούμε τρίγωνο

 και τα διανύσματα    και   . Να δειχθεί
ότι το σημείο Γ είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΜΝ.
Λύση
Επειδή    ΑΒΓΜ παραλληλόγραμμο    (1)
Επειδή    ΑΒΝΓ παραλληλόγραμμο    (2)
Απ’ τις σχέσεις (1) και (2) έχουμε:   , άρα Γ μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΜΝ.
2. Θεωρούμε τα διαφορετικά μεταξύ τους και ανά δύο μη-συνευθειακά σημεία Α, Β, Γ,
και Δ. Να δειχθεί ότι για οποιοδήποτε σημείο Μ του επιπέδου ισχύει η ισοδυναμία:
ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο    .
Λύση
ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο         
   .
Δ Γ
Ο
Α
Β
Μ
Μ
Α Β
Ν
Β Γ
Α Μ

17. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 16
3. Θεωρούμε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και στις πλευρές του ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ σημεία
Κ, Λ, Μ, Ν αντίστοιχα τέτοια, ώστε:    και   . Να δειχθεί ότι τα
ευθύγραμμα τμήματα ΚΜ και ΝΛ έχουν κοινό μέσο.
Λύση
Επειδή    και   , έχουμε:          
    ΜΝΚΛ παραλληλόγραμμο, άρα οι διαγώνιοί του ΚΜ και ΝΛ
διχοτομούνται.
4. Αν για τα σημεία Α, Β, Γ, Δ και Μ ισχύει ότι        , να δείξετε ότι
τα σημεία Α και Μ ταυτίζονται.
Λύση
Έστω σημείο αναφοράς Ο. Τότε:
            
                     Α, Μ ταυτίζονται.
5. Δίνεται τρίγωνο

 .
α) Να προσδιοριστεί η θέση σημείου Κ του επιπέδου, αν ισχύει 0  .
β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου, για τα οποία το διάνυσμα
     είναι παράλληλο στο διάνυσμα  .
Λύση
α) Είναι 0 0             , οπότε η θέση
του σημείου Κ είναι η τέταρτη κορυφή του παραλληλογράμμου ΑΒΓΚ, όπου Α, Β, Γ οι
κορυφές του τριγώνου

 .
Α Κ Β
Γ
Λ
Δ Μ
Ν

18. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 17
β) Παίρνοντας ως σημείο αναφοράς το Κ έχουμε:
                     
   0     
Άρα / / / /     , οπότε ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος των
σημείων Μ του επιπέδου είναι η ευθεία (ε), που διέρχεται απ’ το σημείο Κ κι είναι
παράλληλη στη ΒΓ.
6. Σε τρίγωνο

 να δειχθεί η ισοδυναμία: Μ=μέσο ΒΓ  1
2
      .
(Βασική άσκηση)
Λύση
 1
2
2
                   
                     Μ=μέσο ΒΓ.
7. Αν ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ είναι διάμεσοι τριγώνου

 , να δειχθεί ότι:
α) 0  
β)    , για οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου.
(Βασική άσκηση)
Λύση
Α
Β Γ
Κ ε
Α
Β Γ
Δ
Ε
Ζ
Ο

19. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 18
α) Από Άσκηση 6 έχουμε:
     1 1 1
2 2 2
                 
1
2
             1
0 0
2
   .
β)      1 1 1
2 2 2
                 
   1 1
2 2 2
2 2
                  
1
2
 2             .
8. Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ και Μ, για τα οποία ισχύει: 2 3 0   .
Να δειχθεί ότι τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά.
Λύση
   2 3 0 2 2 0 2 0            
2 0 2 / /           κι επειδή τα διανύσματα  και 
έχουν κοινό άκρο το Γ, τότε τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά.
9. Δίνονται τα διανύσματα 3 6      , 2 6      και
3 9 4      , όπου , ,   μη-μηδενικά διανύσματα του επιπέδου. Να δείξετε ότι
τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά.
Λύση
   2 6 3 6 2 6 3 6                          
3 5     (1)
   3 9 4 3 6 3 9 4 3 6                          

20. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 19
 2 6 10 2 3 5           (2)
Από (1) και (2) είναι: 2 / /      κι επειδή τα διανύσματα  κι  έχουν
κοινό άκρο το Α, τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά.
10. Δίνονται τα σημεία Α, Β και Γ. Να δείξετε ότι για οποιοδήποτε σημείο Μ του
επιπέδου, το διάνυσμα 4 7 3u     είναι σταθερό (δηλαδή δεν εξαρτάται απ’
τη θέση του σημείου Μ).
Λύση
   4 7 3 4 4 3 3 4 3u              
4 3  
Το διάνυσμα 4 3  είναι ανεξάρτητο του σημείου Μ, άρα το διάνυσμα u είναι
σταθερό.

21. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 20
ΕΝΟΤΗΤΑ II: Συντεταγμένες στο επίπεδο
Άξονας-Τετμημένη σημείου
Έστω ευθεία x΄x πάνω στην οποία έχουμε ορίσει τυχαίο σημείο Ο. Επί της ημιευθείας Οx
ορίζουμε σημείο Ι τέτοιο, ώστε  =1. Τότε έχουμε ορίσει έναν άξονα με αρχή το σημείο Ο
και μοναδιαίο διάνυσμα το i  . Τον άξονα αυτό συμβολίζουμε με xΌx ή x΄x.
 Η ευθεία x΄x ονομάζεται φορέας του άξονα xΌx.
 Η ημιευθεία Οx ονομάζεται θετικός ημιάξονας ενώ η ημιευθεία Οx΄ αρνητικός
ημιάξονας.
Έστω Μ ένα σημείο του άξονα x΄x. Επειδή / /i τότε, ως γνωστό, θα υπάρχει μοναδικός
πραγματικός αριθμός x τέτοιος, ώστε x i   .
Αντίστροφα, για κάθε πραγματικό αριθμό x, υπάρχει μοναδικό σημείο Μ του άξονα τέτοιο,
ώστε x i   .
Ο πραγματικός αριθμός x ονομάζεται τετμημένη του σημείου Μ
Καρτεσιανό επίπεδο-Συντεταγμένες σημείου
Πάνω σ’ ένα επίπεδο σχεδιάζουμε δύο κάθετους άξονες x΄x και y΄y, με κοινή αρχή το σημείο
Ο και μοναδιαία διανύσματα τα i και j αντίστοιχα. Τότε λέμε ότι έχουμε ένα
ορθοκανονικό σύστημα αξόνων στο επίπεδο ή ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο ή
ένα καρτεσιανό επίπεδο και το συμβολίζουμε με Οxy.
M(x, y)
M1
M2
Ο
y
y΄
xx΄ i
j
ix΄ x
Ο Ι M(x)

22. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 21
Έστω τυχαίο σημείο Μ του επιπέδου και Μ1, Μ2 οι προβολές του Μ στους άξονες x΄x και y΄y
αντίστοιχα. Αν x είναι η τετμημένη του Μ1 ως προς τον άξονα x΄x και y η τετμημένη του Μ2
ως προς τον άξονα y΄y, τότε ο x λέγεται τετμημένη του Μ και ο y τεταγμένη του Μ. Η
τετμημένη και η τεταγμένη αποτελούν τις συντεταγμένες του Μ. Έτσι σε κάθε σημείο Μ του
επιπέδου αντιστοιχεί ένα ζεύγος συντεταγμένων (x, y).
Αντίστροφα, σε κάθε ζεύγος πραγματικών αριθμών (x, y) αντιστοιχεί μοναδικό σημείο του
επιπέδου, το οποίο βρίσκεται ως εξής: πάνω στους άξονες x΄x και y΄y παίρνουμε σημεία
Μ1(x) και Μ2(y) αντίστοιχα, απ’ τα οποία φέρνουμε παράλληλες στους άξονες y΄y και x΄x
αντίστοιχα. Το σημείο τομής τους Μ είναι το ζητούμενο.
Ένα σημείο Μ με συντεταγμένες (x, y) συμβολίζεται με Μ(x, y) ή απλά με (x, y).
 Ο άξονας x΄x ονομάζεται άξονας των τετμημένων.
 Ο άξονας y΄y ονομάζεται άξονας των τεταγμένων.
 Κάθε σημείο Α του άξονα x΄x έχει συντεταγμένες της μορφής (x, 0).
 Κάθε σημείο Β του άξονα y΄y έχει συντεταγμένες της μορφής (0, y).
Συντεταγμένες διανύσματος
Έστω Οxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και  ένα διάνυσμα του επιπέδου. Με
αρχή το σημείο Ο σχεδιάζουμε το διάνυσμα   . Αν Α1, Α2 οι προβολές του Α στους
άξονες x΄x και y΄y αντίστοιχα, έχουμε: 1 2    (1).

Ο
Α
Α1
Α2
xx΄
y
y΄

i
j

23. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 22
Αν (x, y) οι συντεταγμένες του σημείου Α, τότε ισχύει 1 x i   και 2 y i   .
Επομένως η σχέση (1) γράφεται: x i y j x i y j          .
Αποδείχθηκε λοιπόν ότι το διάνυσμα  αποτελεί γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων i
και j .
Πρόταση
Κάθε διάνυσμα  του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή x i y j     .
Απόδειξη
Έστω διάνυσμα  του επιπέδου τέτοιο, ώστε x i y j     . Έστω επίσης ότι ισχύει και
' '
x i y j     . Τότε θα είναι: ' ' ' '
x i y j x i y j x i x i y j y j               
   ' '
x x i y y j      .
Αν ' '
0x x x x    , οπότε
'
'
/ /
y y
i j i j
x x

  

. Άτοπο, διότι i j , συνεπώς x=x΄.
Τότε έχουμε  
0
' ' '
0 0
j
y y j y y y y

        .
Άρα κάθε διάνυσμα  του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή
x i y j     .
Τα διανύσματα x i και y j λέγονται συνιστώσες του διανύσματος  κατά τη διεύθυνση
των i και j αντίστοιχα.
 Οι αριθμοί x, y λέγονται συντεταγμένες του διανύσματος  στο σύστημα Οxy.
 Ο αριθμός x λέγεται τετμημένη του διανύσματος  .
 Ο αριθμός y λέγεται τεταγμένη του διανύσματος  .
 Κάθε διάνυσμα x i y j     θα συμβολίζεται  ,x y  .
 Είναι  1,0i  και  0,1j  .

24. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 23
Ισότητα διανυσμάτων
Έστω τα διανύσματα  1 1,x y  και  2 2,x y  . Ισχύει η ισοδυναμία:
1 2x x    και 1 2y y .
Συνεπώς αν  ,x y  , τότε: 0 0x    και 0y  .
Συντεταγμένες γραμμικού συνδυασμού διανυσμάτων
Έστω τα διανύσματα  1 1,x y  και  2 2,x y  . Τότε ισχύουν τα εξής:
      1 1 2 2 1 2 1 2, , ,x y x y x x y y      
    1 1 1 1, ,x y x y      
          1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2, , , , ,x y x y x y x y x x y y                      
Συντεταγμένες μέσου ευθυγράμμου τμήματος
Ας θεωρήσουμε δύο σημεία Α(x1, y1) και Β(x2, y2) του καρτεσιανού επιπέδου κι ας
υποθέσουμε ότι το σημείο Μ(x, y) είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ.
Α(x1, y1)
Μ(x, y)
Β(x2, y2)
O xx΄
y΄
y

25. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 24
Είναι :
           1 1 2 2 1 2 1 2
1 1 1
, , , , ,
2 2 2
x y x y x y x y x x y y              
  1 2 1 2
, ,
2 2
x x y y
x y
  
   
 
.
Επομένως 1 2
2
x x
x

 και 1 2
2
y y
y

 .
Συντεταγμένες διανύσματος με γνωστά άκρα
Ας θεωρήσουμε δύο σημεία Α(x1, y1) και Β(x2, y2) του καρτεσιανού επιπέδου κι ας
υποθέσουμε ότι (x, y) είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος  .
Τότε είναι:      2 2 1 1, , ,x y x y x y              
   2 1 2 1 2 1, ,x y x x y y x x x       και 2 1y y y  .
Άρα  2 1 2 1,x x y y    , δηλαδή:
 τετμημένη  =τετμημένη του Β-τετμημένη του Α
 τεταγμένη  = τεταγμένη του Β-τεταγμένη του Α.
Α(x1, y1)
Β(x2, y2)
O x
y
x΄
y΄

26. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 25
Μέτρο διανύσματος
Έστω ( , )x y  ένα διάνυσμα του καρτεσιανού επιπέδου και σημείο Α με διανυσματική
ακτίνα   . Αν Α1 κι Α2 είναι οι προβολές του Α στους άξονες x΄x και y΄y αντίστοιχα,
τότε θα ισχύει: (ΟΑ1)= x και (ΟΑ2)= y .
y
A2 Α(x, y)
x΄ Ο A1 x
y
Έτσι θα έχουμε:        
2 2 22 2 2 2 2 2
1 1 1 2 x y x y              , οπότε:
2 2
x y   .
Ας θεωρήσουμε δύο σημεία Α(x1, y1) και Β(x2, y2) του καρτεσιανού επιπέδου. Τότε ως
γνωστό είναι  2 1 2 1,x x y y    . Επειδή η απόσταση (ΑΒ) των σημείων Α και Β
ισούται με το μέτρο του διανύσματος  , θα ισχύει: (ΑΒ)=    
2 2
2 1 2 1x x y y   .
Επομένως η απόσταση των σημείων Α(x1, y1) και Β(x2, y2) είναι ίση με:
(ΑΒ)=    
2 2
2 1 2 1x x y y   .
Συνθήκη παραλληλίας διανυσμάτων
Έστω τα διανύσματα  1 1,x y  και  2 2,x y  του καρτεσιανού επιπέδου. Ονομάζουμε
ορίζουσα των διανυσμάτων  και  και συμβολίζουμε με det ,  , τον αριθμό x1y2-x2y1.
Δηλαδή   1 1
1 2 2 1
2 2
det , x y x y
x y
x y
     .
Ισχύει τότε η ισοδυναμία:  / / det , 0     .

27. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 26
Προφανώς / /  det , 0    .
Πρόταση
Έστω ( , )x y  ένα διάνυσμα του καρτεσιανού επιπέδου. Τότε:
i) '
/ / 0x x y   , ii) '
/ / 0y y x  
Απόδειξη
i)  '
/ / / / det , 0 0 0 1 0 0 0
1 0
x y
x x i i x y y y                
ii)  '
/ / / / det , 0 0 1 0 0 0
0 1
x y
y y j j x y x             
Συντελεστής διεύθυνσης διανύσματος
Έστω ( , )x y  ένα μη-μηδενικό διάνυσμα του καρτεσιανού επιπέδου και σημείο Α του
επιπέδου τέτοιο, ώστε   . Τη γωνία φ, που διαγράφει ο ημιάξονας Οx κατά τη θετική
φορά μέχρι να συμπέσει με την ημιευθεία ΟΑ, ονομάζουμε γωνία που σχηματίζει το
διάνυσμα  με τον άξονα x΄x. Είναι φανερό ότι: 0φ<2π.
Έστω x  0, δηλαδή / / '
y y . Τότε ισχύει: εφφ=
y
x
. Το πηλίκο
y
x
, x  0, ονομάζουμε
συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος  και το συμβολίζουμε με 
 ή απλώς λ.

A(x, y)
φ
x΄ x
y
y΄
Ο

28. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 27
Δηλαδή:
y
x
   εφφ, x  0.
 Αν '
/ /x x , δηλαδή αν y=0, τότε λ=0.
 Αν '
/ /y y , δηλαδή αν x=0, τότε δεν ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης λ.
Έστω τα διανύσματα  1 1,x y  και  2 2,x y  του καρτεσιανού επιπέδου, τα οποία δεν
είναι παράλληλα στον άξονα y΄y, δηλαδή x1, x2  0. Αν λ1, λ2 οι συντελεστές διεύθυνσης των
διανυσμάτων  και  αντίστοιχα, τότε ισχύει η ισοδυναμία:
1 1 1 2
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2
2 2 1 2
/ / 0 0
x y y y
x y x y x y x y
x y x x
              .
Λυμένα παραδείγματα
1. Θεωρούμε τα διανύσματα    3,1 , 5,1   και  1,1   . Να βρεθεί το
διάνυσμα 2v      .
Λύση
               2 2 3,1 5,1 1,1 6,2 5,1 1,1 6 5 1,2 1 1 0,2v                   
2. Σ’ ένα επίπεδο θεωρούμε τα σημεία Α(3, 4), Β(-1, -2) και Γ(0, -5). Να βρεθούν οι
συντεταγμένες των σημείων Μ και Ν με :
2   και
1 3
2
2 2
       .
Λύση
Είναι:    3,4 , 1, 2      και  0, 5   .
           2 2 3,4 1, 2 0, 5 6,8 1, 2 0, 5                   
   6 1 0,8 2 5 5,1       Μ(5, 1)

29. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 28
       
1 3 1 3 3 3
2 3,4 1, 2 2 0, 5 ,2 , 3 0, 10
2 2 2 2 2 2
   
                      
   
 
3 3
0,2 3 10 3, 5
2 2
 
        
 
N(3, -5)
3. Δίνεται το διάνυσμα  2 2
4 3, 6         . Να βρείτε για ποιες τιμές του
πραγματικού αριθμού λ ισχύει: i) 0  , ii) 0  .
Λύση
i)  
   
   
2
2 2
2
4 3 0 1 3 0
0 4 3, 6 0
6 0 2 3 0
   
      
   
       
 
          
       
1 0 3 0 1 3
3
2 0 3 0 2 3
ή ή
ή ή
   
  
   
      
 
    
       
ii) 0 3   
4. Δίνονται τα διανύσματα  2
5, 1       και  2 2
4 , 6        . Να
βρείτε τα κ, λ, μ αν ισχύει   .
Λύση
   
2 2
2 2 2
2
5 4
5, 1 4 , 6
1 6
    
         
 
     

          
   
   
2 22 2 2 2
2 2 2
2 4 5 0 2 1 4 4 0 1 2 0
7 7 7
         
  
     
               
 
     
        
 
222
1 2 1 2 1 2
5 52 1
        
  
 
         
  
    
       
.

30. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 29
5. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Α(-2, 1), Β(1, 4) και Κ(2, -3), όπου Κ το κέντρο
του. Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Γ και Δ.
Λύση
Κ μέσο του ΑΓ  
2
2
2 4 62
6, 7
1 1 6 7
3
2
x
x x
y y y
  

 
  
 
     
  
       
          

Κ μέσο του ΒΔ  
1
2
1 4 32
3, 10
4 4 6 10
3
2
x
x x
y y y
  

 
  

    
  
       
          

6. Δίνονται τα σημεία Α(1, 2), Β(-3, 1) και Γ(2, -2).
α) Να δειχθεί ότι τα σημεία Α, Β και Γ αποτελούν κορυφές τριγώνου.
β) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του βαρύκεντρου G του τριγώνου.
Λύση
α) Πρέπει / /  , δηλαδή  det , 0   .
   3 1,1 2 4, 1        και    2 1, 2 2 1, 4      
   
4 1
det , 16 1 17 0
1 4
 
       

, άρα τα σημεία Α, Β και Γ
αποτελούν κορυφές τριγώνου.
β)
Έστω Μ το μέσο της πλευράς ΒΓ του τριγώνου. Τότε ως γνωστό είναι ΑG=
2
3
AM,
οπότε:
Α(-2, 1) Β(1, 4)
Κ(2, -3)
Γ(xΓ, yΓ)Δ(xΔ, yΔ)
Α(1, 2)
G
Γ(2, -2)ΜΒ(-3, 1)

31. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 30
   2 2 1 1
3 3 2 3
G            (1)
Αν G(xG, yG), τότε  1, 2G GG x y    , οπότε η (1) γίνεται:
       
1 1
1 1 5
1, 2 4, 1 1, 4 3, 5 1, 5
3 3 3 2
3
G
G G
G
x
x y
y
  
 
                       
1 1 0
5 1
2
3 3
G G
G G
x x
y y
    
 
  
      
, άρα G(0,
1
3
 ).
Γενικά, αν Α(xΑ, yΑ), B(xΒ, yΒ) και Γ(xΓ, yΓ) κορυφές τριγώνου και G(xG, yG) το
βαρύκεντρό του, τότε:
3
G
x x x
x    
 και
3
G
y y y
y    
 .
7. Να αναλυθεί το διάνυσμα  1, 2   σε δύο συνιστώσες παράλληλες στα
διανύσματα  3,4  και  2, 3   .
Λύση
Έστω u  και v  , λ,μ οι δύο συνιστώσες του διανύσματος  . Τότε:
     1, 2 3,4 2, 3u v               
   
1
3 2 1 17
1, 2 3 2 ,4 3 .....
4 3 2 10
17

 
   
 


   
        
    

.
Άρα
1 10
17 17
     .
8. Να βρεθούν οι τιμές του μ για τις οποίες τα σημεία Α(1, 0), Β(-μ2
, 3) και
Γ(-5μ, 9) είναι συνευθειακά.
Λύση
Πρέπει / /  , δηλαδή  det , 0   .
Όμως  2
1,3    και  5 1,9    .

32. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 31
     
2
2
2 2 2
1 3
det , 0 0 9 1 3 5 1 0
5 1 9
9 9 15 3 0 9 15 6 0 3 5 2 0

 

     
 
            
 
               
2
1
3
ή    .
9. Θεωρούμε τα διανύσματα  , 6   και  6, 9    . Να υπολογιστεί η τιμή
του λ, ώστε τα διανύσματα  και  να είναι αντίρροπα.
Λύση
Πρέπει αρχικά να είναι / /   
6
det , 0 0
6 9

 


    
 
  2
9 36 0 9 36 0 3 12ή                 .
 Για λ=3 έχουμε:  3, 6   και  6,12   .
Άρα 2       .
 Για λ=-12 έχουμε:  12, 6    και  6, 3    .
Άρα 2      .
Συνεπώς για λ=3 τα διανύσματα  και  είναι αντίρροπα.
Προσοχή!
Εδώ η συνθήκη  det , 0   δεν αρκεί ώστε τα διανύσματα  και  να είναι αντίρροπα.
10. Έστω το διάνυσμα  1,2   . Να βρεθεί το διάνυσμα που είναι αντίρροπο του 
κι έχει μέτρο διπλάσιο του  .
Λύση
Έστω διάνυσμα / /v  , με 2v  . Τότε:
, 0 , 0
2 2
v v
v
   
  
     
  
   

33. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 32
, 0 , 0 , 0 2
22 2 2
v v v v      
    
             
      
        
.
Άρα    2 2 1,2 2, 4v        .
11. Να βρεθεί το μέτρο του διανύσματος  , αν    2 2, 3 2,1     .
Λύση
         2 2, 3 2,1 2 2, 3 2 , 2 2 2 , 3                    
3
1 ,
2

 
 
   
 
 
.
Άρα  
2 2
2 2 23 6 9
1 1 2
2 4
  
    
   
         
 
 
2
4 
2
4 8 4   
2 2
6 9 14 13 0 1 13.ή              
12. Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα  3, 3   και
 3, 3    με τον άξονα x΄x.
Λύση
Είναι
3 3
3 3 6 6
 
      
 
            
 
5
6

   κι επειδή 0 2   , θα είναι
5
6

  ή
5 11
6 6
 
    .
Το διάνυσμα  έχει αρνητική τετμημένη και θετική τεταγμένη, άρα το πέρας του βρίσκεται
στο 2ο
τεταρτημόριο, συνεπώς
5
6

  .
Όμοια για το  είναι
7
6

  .

34. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 33
ΕΝΟΤΗΤΑ III: Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων
Ορισμός
Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη-μηδενικών διανυσμάτων  ,  και συμβολίζουμε
με   ή  τον πραγματικό αριθμό         , όπου  ,  

 η γωνία
των διανυσμάτων  και  .
 Αν 0  ή 0  , τότε ορίζουμε ότι 0   .
Προσοχή!
Το αντίστροφο δεν ισχύει. Δηλαδή αν 0    0 0ή   .
Συνέπειες του ορισμού
       (Αντιμεταθετική ιδιότητα)
          
           
 0      
Με 0  , 0  και  ,  

 ισχύουν:
 0 0
2

      
 0
2

     
 0
2

       
Εσωτερικό τετράγωνο
Το εσωτερικό γινόμενο   ονομάζεται εσωτερικό τετράγωνο του  ή απλώς
τετράγωνο του  και συμβολίζεται με
2
 .

35. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 34
Είναι:
22
0            .
Άρα
22
  .
Για τα μοναδιαία διανύσματα i και j του καρτεσιανού επιπέδου ισχύουν:
 0i j j i   

2 2
1i j 
Παρατηρήσεις
 Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι αριθμός κι όχι διάνυσμα.
 Αν          
 Δεν ισχύει πάντα ο νόμος της διαγραφής στο εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων.
Δηλαδή:           .
 Δεν ισχύει πάντοτε η προσεταιριστική ιδιότητα. Δηλαδή:             
 Οι δυνάμεις
3 4
, ,...  δεν ορίζονται.
 Ισχύουν οι ταυτότητες:  
2 2 2
2        ,  
2 2 2
2        ,
   
2 2
          .
 Δεν ισχύουν οι ταυτότητες με περιττό εκθέτη.
Αναλυτική έκφραση εσωτερικού γινομένου
Έστω  1 1,x y  και  2 2,x y  δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου. Τότε
ισχύει: 1 2 1 2x x y y    .
Δηλαδή το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων
των ομώνυμων συντεταγμένων τους.
Ιδιότητες
              
              (Επιμεριστική ιδιότητα)

36. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 35
 1 
        , όταν , / /  '
y y
Συνημίτονο γωνίας δύο διανυσμάτων
Έστω  1 1,x y  και  2 2,x y  δύο μη-μηδενικά διανύσματα του καρτεσιανού
επιπέδου και  ,  

 . Τότε ισχύει:
 

 



(1).
Επειδή 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2, ,x x y y x y x y          , η σχέση (1) γίνεται:
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
x x y y
x y x y



  
.
Προβολή διανύσματος σε διάνυσμα
Σ’ ένα επίπεδο θεωρούμε τα διανύσματα ,  με 0  . Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε
τα διανύσματα   και   . Αν Μ είναι η προβολή του σημείου Β στο φορέα του
διανύσματος  , τότε το διάνυσμα  λέγεται προβολή του  στο  και συμβολίζεται
με 
  . Δηλαδή 
   .
Αποδεικνύεται ότι η προβολή του  στο  είναι ανεξάρτητη απ’ την επιλογή του σημείου
Ο.
Είναι :
  0
                  

    .
 
Β
Ο Μ Α

37. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 36
Άρα 
       .
Όμοια αποδεικνύεται ότι: 
       .
Είναι: / /
   , οπότε 
     και / /
   , οπότε 
    
Λυμένα παραδείγματα
1. Αν 1, 2   και   2
,
3

 

 , να υπολογιστούν:
i)   , ii)
3
2
2
 
 
  
 
, iii)  
2
  , iv)  2  
Λύση
i)   2 1
, 1 2 2 1
3 2

       

 
            
 
ii)      
3 3
2 2 3 1 3
2 2
   
  
              
   
iii)    
2 2 22 2 2 2
2 2 1 1 2 2 1 2 4 3                     
iv)  
22 2
2 2 1 2 1 2 2 1 8 9                      
2. Έστω τα διανύσματα  1,3  και  2, 1    . Να υπολογιστούν:
i)   , ii)
2 2
  , iii)  
2
2  , iv)  
2
 
Λύση
i)        1,3 2, 1 1 2 3 1 2 3 5                
ii)    
222 22 2 2 22 2
1 3 2 1 10 5 5              
iii)            2 1,3 2 2, 1 1,3 4, 2 1 4,3 2 3,1              

38. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 37
Άρα    
22 2 2 2
2 2 3 1 10          .
3. Έστω τα διανύσματα ,  με
1
2,
2
   και  ,
3

 

 . Να βρεθούν τα
μέτρα των διανυσμάτων 2v    και 3u    .
(Βασική άσκηση)
Λύση
Είναι:  
22 2 2
2 2 2 4 4v                  
2
2 1 1 1 1 1 65 65
4 2 4 2 14 4 16
2 3 2 2 4 4 4 2


 
               
 
Όμοια:  
22 2 2
3 3 3 6 9u                  
2
2 1 1 1 1 9 13 13
2 6 2 9 4 6 9 1
2 3 2 2 4 4 4 2


 
                
 
4. Έστω τα διανύσματα ,  με 3, 1   και  ,
6

 

 . Να βρεθεί η γωνία
των διανυσμάτων v    και w    .
(Βασική άσκηση)
Λύση
Έστω  ,v w

 . Τότε:
   
2 2
2 2
v w
v w
      

           
    
   
         
(1)
Όμως  
22 22 2
2 3 2 3 1
6

                      

39. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 38
3
3 2 3 1 3 3 1 7
2
         .
Όμοια  
22 22 2
2 3 2 3 1
6

                      
3
3 2 3 1 3 3 1 1
2
         .
Οπότε η σχέση (1) γίνεται:
2
2
3 1 3 1 2 2 7
41
77 1 7 7
 
 
    

.
5. Αν ,  διανύσματα του επιπέδου, να δειχθεί ότι:
i)       , ii)  
2 2 2
      . Πότε ισχύουν οι ισότητες;
(Βασική άσκηση)
Λύση
i) Έστω  ,  

 .Τότε:                   , διότι
1 1 1      .
Η ισότητα ισχύει όταν 1 1 0 / /ή              .
ii) Όμοια:    
22 2 2 2 2
2
                   , διότι
2 2 2
1 1 1 1 1             .
Η ισότητα ισχύει όταν 2
1 1 0 / /ή               .
6. Για δύο διανύσματα  και  ισχύουν: 3, 4   και    8 2 9      .
Να δειχθεί ότι:   .
Λύση
       
2 2
8 2 9 8 2 9 0 16 72 2 9 0                        
2 2
16 3 70 9 4 0 144       70 144  0 70 0 0         

40. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 39
7. Αν 1, 2, 2     και 0     , να υπολογιστεί η τιμή της
παράστασης 2 3      .
Λύση
Είναι:
   
   
   
2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
2
0 2
2
        
            
        
             
                 
  
           
2
2 2
2
2 2
2
2 2
3
1 2 2 2 22 5 2 2 3
5
2 2 2 1 2 6 1 2 5
2
2 3 4 2 12 2 1 2 1
2

  
   
 


               
               
   
         

.
Άρα
3 5 1 3
2 3 2 3
2 2 2 2
  
 
             
 
3
5
2
  5 .
8. Δίνονται τα διανύσματα  3,1  και  1,2  . Ν’ αναλυθεί το διάνυσμα  σε
δύο κάθετες συνιστώσες, εκ των οποίων η μία να είναι παράλληλη στο διάνυσμα  .
(Βασική άσκηση)
Λύση
Έστω σημείο Ο τέτοιο ώστε   και   . Έστω ευθεία   , η οποία διέρχεται
απ’ το σημείο Ο. Απ’ το πέρας Β του  φέρνουμε τις 1   και 2   κι έστω
1 1  και 2 2  .
ε
Ο


Β
Β1
Β2

1
2

41. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 40
Είναι:  1 1 3 ,
            .
Έχουμε:
       
1 2 1 2 1 2
3,1 1,2 3,1 3 ,
        
         
         
    
         
9. Για δύο διανύσματα  και  να δειχθούν οι ισοδυναμίες:
i)           , ii)           .
Λύση
i)    
2 22 2 2
2                         
2

2
2  
2

2
2     2 2            
ii)    
22 2 2 2
2                        
2 2 2 2 2
2 2             
2
2    
2

2
2   
2 2              .
10. Να βρεθεί η προβολή του διανύσματος  πάνω στο διάνυσμα  , αν
1
, 2
2
   και  ,
4

  

  .
Λύση
Ισχύει ότι / / 
         , οπότε:
2
21 1 2 1
2 2
2 4 2 2 2

            
 
                  
 
2 1
2
4 4
      .
Άρα 2
    .

42. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 41
11. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με    2, 1    και
4

   . Να
υπολογιστεί το συνημίτονο της οξείας γωνίας των διαγωνίων του.
Λύση
Έστω φ η γωνία των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ του παραλληλογράμμου. Τότε:
   
         
   
            
2 2
    

     
(1).
Είναι:
22 2 2
2 2, 1 1      και
2
1 2 2 1,
4 2

      
3 2
2 1 2 1
4 2


 
          
 
.
3
4 4
 
 
   
 
          
 
 
22 2 2
2              
2
2 2
2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 5
4 2

             
 
22 2 2
2                 
2
23 2
2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1
4 2


 
                
 
Α Β
ΓΔ
Ο φ

43. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 42
Η σχέση (1) γίνεται:
 2 1 1 1 2 1 1 5
55 1 5 5

      
     

.
Άρα το συνημίτονο της οξείας γωνίας των διαγωνίων του παραλληλογράμμου είναι
5
5
.
12. Θεωρούμε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ κι ονομάζουμε Ε και Ζ τις προβολές του Γ στις
πλευρές ΑΒ κι ΑΔ αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι:
2
     .
Λύση
Είναι 
   και 
   , οπότε:
 
2
               .
13. Θεωρούμε τρίγωνο

 με    3 3, 2 3     και
3

  . Αν Δ είναι
το μέσο της πλευράς ΑΓ, να υπολογιστούν:
i) το μήκος της διαμέσου ΑΔ, ii) η γωνία 

  .
Λύση
i)
 
22
2 2 2 2
        
     
ω
Α Ε Β
Ζ
ΓΔ
Α
Β Δ Γ

44. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 43
     
2 2
2 2 3 3 2 3 3 2 3 2 3
2 3
2 2

      
    
  
  1
9 6 3 3 12 3 12 12
24 6 32
2
     

 
6 3 6 18 3 2
2 2 2

  .
ii) Είναι:
 
 
   
2
2
3 2 3 2 3 3 3 2 3 3
3 3
2

  
       
    
    
 
   
 
 2
3 33 3 3 3 2 3
3
3 2 3 3

     
 
  
1
3 3 2 3
2
3 2 3 3
 
    
 

3 3

3
3 2

3 1 2
23 2 2
   κι επειδή 0<ω<π, θα είναι
4

  .
14. Δίνεται τρίγωνο

 και το ύψος του ΑΔ. Να δειχθεί ότι:
2
     .
Λύση
Είναι 
   , οπότε:
            
2
      , διότι 
   .
15. Δίνεται κύκλος (Ο, R) και σημείο Μ του επιπέδου του. Αν μεταβλητή ευθεία που
διέρχεται απ’ το Μ τέμνει τον κύκλο στα σημεία Α και Β, να δείξετε ότι το γινόμενο
 είναι σταθερό και ίσο με δ2
-R2
, όπου δ=(ΟΜ). (Δύναμη σημείου ως προς
κύκλο).
Α
Β Δ Γ

45. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 44
Λύση
Φέρνουμε τη διάμετρο ΑΓ και τη ΒΓ. Τότε 90

  ως εγγεγραμμένη που βαίνει σε
ημικύκλιο. Έχουμε:
   
          
   
2 22 2 2 2
R                  .
16. Δίνεται τρίγωνο

 . Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου,
για τα οποία ισχύει: 0   .
Λύση
Έστω Κ το μέσο της πλευράς ΒΓ. Τότε έχουμε:
 0 0 2 0 0               
0      
Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι μια ευθεία (ε) κάθετη στη διάμεσο ΑΚ στο
σημείο Α.
Μ
Α
Β
Γ
Ο
ε
Α
Β Κ Γ

46. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 45
Ερωτήσεις κατανόησης 1ου
κεφαλαίου
1. Ένα μη-μηδενικό διάνυσμα είναι ορισμένο αν γνωρίζουμε:
α) τη διεύθυνσή του Σ Λ
β) το μέτρο του Σ Λ
γ) το μέτρο, τη διεύθυνση και τη φορά του Σ Λ
2. Δύο μη-μηδενικά διανύσματα είναι ίσα όταν:
α) έχουν ίσα μέτρα Σ Λ
β) είναι συγγραμμικά κι έχουν ίσα μέτρα Σ Λ
γ) είναι ομόρροπα κι έχουν ίσα μέτρα Σ Λ
3. Δύο μη-μηδενικά διανύσματα είναι αντίθετα όταν:
α) έχουν ίσα μέτρα Σ Λ
β) είναι αντίρροπα Σ Λ
γ) είναι αντίρροπα κι έχουν ίσα μέτρα Σ Λ
4. Έστω τα μη-μηδενικά διανύσματα  και  τέτοια ώστε
1
2
  . Τότε:
α)   Σ Λ
β) 2  Σ Λ
γ)  , 0 

  Σ Λ
5. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ο το κέντρο του.
α)    Σ Λ
β)    Σ Λ
γ)
1
2
   Σ Λ
Α Β
Ο
ΓΔ

47. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 46
δ) 2   Σ Λ
ε) 0   Σ Λ
στ) 0     Σ Λ
6. Θεωρούμε τέσσερα διαφορετικά σημεία Α, Β, Γ, Δ τέτοια, ώστε 3   . Τότε:
α) τα σημεία Α, Β, Γ, Δ είναι πάντα συνευθειακά Σ Λ
β)    Σ Λ
γ) ισχύει πάντα / /  Σ Λ
7. Ν’ αντιστοιχίσετε καθένα απ’ τα διανύσματα της πρώτης στήλης με το ίσο του
διάνυσμα της δεύτερης στήλης.
1    1 2  
2   2 0 
3    3  
4   4 2  
5   5  
8. Έστω ,  μη-μηδενικά διανύσματα του επιπέδου. Τότε:
α)       Σ Λ
β)           Σ Λ
γ)           Σ Λ
δ) αν 0   , πάντα ισχύει   Σ Λ
9. Θεωρούμε τα διανύσματα  21,6   και
7
, 1
2

 
  
 
. Τότε:
α) τα διανύσματα  και  δεν είναι συγγραμμικά Σ Λ
β) τα διανύσματα  και  είναι αντίρροπα Σ Λ
γ) η γωνία των διανυσμάτων είναι ίση με 180ο
Σ Λ

48. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 47
10. Θεωρούμε σημεία Α(1, 1), Β(-1, 1) και Μ τέτοια, ώστε: 2 0   .
Οι συντεταγμένες του σημείου Μ είναι:
Α. (0, 1) Β.
1
,0
2
 
 
 
Γ. (0, 1) Δ. (1, 0)
11. Έστω τα μη-μηδενικά διανύσματα  και  . Τότε:
α) / /  
     Σ Λ
β) αν
5
4
  , ισχύει  4,5  Σ Λ
γ) αν  0, 3   , ισχύει 0
  Σ Λ
δ)  det , 0   , για κάθε λ Σ Λ
ε)  det , 0      Σ Λ
12. Η απόσταση των σημείων Α(ημx, συνx) και Β(συνx, -ημx), x είναι:
Α. 1 Β. 2 Γ. 2 Δ.
1
2
13. Τα διανύσματα  2, 3x    και  1 ,2x   είναι συγγραμμικά όταν:
Α. x=2 Β. x=0 Γ. x=-1 Δ. x=1
14. Θεωρούμε τα σημεία Α(-3, 5), Β(1, -7) και Γ(-2, β). Το σημείο Γ ανήκει στην ευθεία
ΑΒ όταν:
Α. β=2 Β. β=4 Γ. β=-3 Δ. β=-4
15. Θεωρούμε τα σημεία Α(-5, 1) και Β(2, 3). Το συμμετρικό του Α ως προς το Β είναι
το σημείο:
Α. Α΄
3
,2
2
 
 
 
Β. Α΄(9, 7) Γ. Α΄(3, -2) Δ. Α΄ 2, 1
16. Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων  1 1,x y  και  2 2,x y  είναι ίσο
με:
Α. x1y1+x2y2 Β. x1y2-x2y1 Γ. x1x2-y1y2 Δ. x1x2+y1y2

49. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 48
17. Για τα μοναδιαία διανύσματα i και j των αξόνων ισχύει:
α)  det , 0i j  Σ Λ
β) 0i j  Σ Λ
γ) 1i j  Σ Λ
δ) 0i j  Σ Λ
18. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο  , με πλευρά α=5. Τότε:
α)
25
2
  Σ Λ
β) 0  Σ Λ
γ) 0  Σ Λ
19. Στο παρακάτω ορθογώνιο ΑΒΓΔ είναι: ΑΒ=8, ΒΓ=6, Ο το κέντρο του κι Ε το μέσο
της πλευράς ΑΒ.
α) 64  Σ Λ
β) 36  Σ Λ
γ)    Σ Λ
δ) 16  Σ Λ
20. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς α και Ο το κέντρο του.
Α Β
Ο
ΓΔ
Α Ε Β
Ο
ΓΔ

50. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 49
Να υπολογιστούν ως συνάρτηση του α τα εσωτερικά γινόμενα:
α)  δ) 
β)   ε) 
γ)  στ) 
21. Αν u v u w   και 0u  , τότε:
Α. v w  Β. v w Γ.  u v w  Δ.  u v w 
22. Ν’ αντιστοιχίσετε σε κάθε ζεύγος διανυσμάτων της πρώτης στήλης το είδος της
γωνίας που αναφέρεται στη δεύτερη στήλη:
α)    7,5 , 1,2u v   .οξεία
β)  
3
3,4 , 2,
2
u v
 
    
 
γ)    3,5 , 6,0u v  .ορθή
δ)    0, 1 , 5,4u v   
ε)    2,1 , 3, 2u v    .αμβλεία
στ)    , , ,u v     
23. Για τα διανύσματα του παρακάτω σχήματος, να δώσετε τη σωστή απάντηση:
Α.   
Β.   
Γ.   
Γ
Δ
ΒΕΑ

51. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 50
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Ενότητα Ι
1. Για τα σημεία Α, Β, Γ, Δ να δειχθεί ότι:
α)        , β)       
2. Θεωρούμε ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τα διανύσματα    και
   . Να δειχθεί ότι το Μ είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΕ.
3. Έστω τα σημεία Α, Β, Γ, Δ ανά τρία μη-συνευθειακά. Αν ισχύει
   , να δειχθεί ότι το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο.
4. Έστω τα σημεία Κ, Λ, Μ, Ν. Να συγκριθούν τα διανύσματα      και
    .
5. Δίνεται τρίγωνο

 και Ρ τυχαίο σημείο της πλευράς ΒΓ. Αν Μ είναι σημείο
τέτοιο, ώστε        , να δειχθεί ότι το τετράπλευρο ΑΒΜΓ είναι
παραλληλόγραμμο.
6. Δίνονται τρία σημεία Α, Β και Γ. Να βρεθούν τα σημεία Μ, για τα οποία ισχύει:
Α.        Β.       
Γ.        Δ. 0 
7. Δίνονται τα διανύσματα 2 3 , 5 3 , 6 5              , όπου
,  μη-μηδενικά διανύσματα του επιπέδου. Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β και Γ
είναι συνευθειακά.
8. Δίνονται τα σημεία Α, Β, Κ, Λ και Μ, για τα οποία ισχύει:
2 3 2        .
α) Να δείξετε ότι τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά.
β) Να βρείτε τη σχετική θέση των σημείων Κ, Λ και Μ.
9. Να δείξετε ότι τα διανύσματα
1 2
2
4 3
v      και
1 8 8
3 3 9
w      είναι
παράλληλα.
10. Αν τα διανύσματα , ,   είναι μη-συγγραμμικά ανά δύο και ισχύει  / /  
και  / /   , να δειχθεί ότι:  / /   .

52. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 51
11. Δίνονται τα σημεία Α, Β και Γ. Να δείξετε ότι για οποιοδήποτε σημείο Μ του
επιπέδου, το διάνυσμα  3 3v         είναι σταθερό, για κάθε
τιμή του κ .
12. Δίνεται τρίγωνο  και οι διάμεσοί του ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ. Αν επιπλέον υπάρχουν
κ, λ, μ 
 , ώστε 0      , να δείξετε ότι κ=λ=μ.
13. Αν για δύο διανύσματα  και  ισχύουν
2
2 2,
1 2
   

και
4 8    , να δείξετε ότι   .
14. Δύο κάθετες χορδές ΑΒ και ΓΔ κύκλου κέντρου Ο τέμνονται στο Ρ. Να δείξετε ότι:
α) 2  
β) 4   
γ) αν Κ, Λ τα μέσα των ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα, τότε το ΟΚΡΛ είναι
παραλληλόγραμμο.
15. Δίνεται τρίγωνο  . Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου,
για τα οποία ισχύει:  2 2 1       , λ .
16. Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ, Δ καθώς και τα Μ, Ν τέτοια, ώστε
       και       .
Να δειχθεί ότι:   . Αν το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο, τι
συμπεραίνετε για τα σημεία Μ και Ν;
17. Θεωρούμε κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας ρ=2. Για δύο σημεία του επιπέδου ισχύουν:
3
4
  και
5
4
  . Θεωρούμε το διάνυσμα    . Να δείξετε ότι
το σημείο Μ είναι εσωτερικό του κύκλου.
18. Δίνεται τρίγωνο  και τα σημεία Δ, Ε και Ζ τέτοια, ώστε:
1
,
4
      και
1
2
   .
α) Να εκφράσετε τα διανύσματα  και  ως γραμμικό συνδυασμό των  και
 .
β) Να δείξετε ότι τα σημεία Δ, Ε και Ζ είναι συνευθειακά.
γ) Αν Η το μέσο της ΖΕ, να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΗΓΔ είναι
παραλληλόγραμμο.

53. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 52
Ενότητα II
19. Δίνονται τα διανύσματα 2 , 3 5i i j     και  1,4  . Να βρεθούν τα
διανύσματα:
α) 2 4v       , β)
1
2
2
w v     
20. Δίνεται το διάνυσμα  2 2
3 2, 7 10         , λ . Να βρεθούν οι τιμές
του λ , για τις οποίες ισχύει:
α) 0  , β) 0  , γ) '
/ /x x , δ) '
/ /y y και 0  .
21. Έστω σημείο Α(3, -1). Να βρεθεί σημείο Β τέτοιο, ώστε:
α) το Β να είναι το συμμετρικό του Α ως προς το σημείο Μ
3
, 2
2
 
 
 
β) τα σημεία Α και Β να είναι άκρα διαμέτρου κύκλου κέντρου Κ 2, 2 .
22. Να βρεθούν οι κ, λ , ώστε τα σημεία Α(-κ+1, 2) και Β(-λ+2, λ) να είναι
συμμετρικά:
α) ως προς το σημείο Ο(0, 0)
β) τον άξονα y΄y
γ) την ευθεία y=x
23. Οι τετμημένες των σημείων Α και Β είναι ρίζες της εξίσωσης 2x2
-(λ2
-λ-2)x+2014=0.
Να προσδιοριστεί η τιμή του λ , ώστε το μέσο Μ του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ
να έχει τετμημένη ίση με
5
2
.
24. Δίνονται τα διανύσματα  1,2x   και  ,2 1x x   .
α) Να δείξετε ότι για κάθε x τα διανύσματα  και  δεν είναι συγγραμμικά.
β) Αν x= -3, να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα  με τον άξονα x΄x.
γ) Αν x= -1, να γράψετε το διάνυσμα 3i   ως γραμμικό συνδυασμό των και  .
δ) Αν x= -2, να βρεθεί διάνυσμα v αντίρροπο του  με 10v  .
25. Δίνονται τα διανύσματα  2 5, 1     και  4 1, 2 ,       .
Να προσδιοριστεί η τιμή του λ , ώστε   .
26. Οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσμάτων  και  με , / /  '
y y , είναι ρίζες
της εξίσωσης x2
-(2λ+3)x+4=0. Να προσδιοριστεί η τιμή του λ , ώστε τα
διανύσματα  και  να είναι παράλληλα.

54. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 53
27. Αν      3,1 , 1, 3 , 1, 1         και  0, 5  , να βρεθούν οι
γωνίες των διανυσμάτων με τον άξονα x΄x.
28. Δίνεται το διάνυσμα    0,3 1, 1     .
α) Να βρεθεί το μέτρο και οι συντεταγμένες του διανύσματος  .
β) Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα  με τον άξονα x΄x.
29. Έστω Α(λ, 2λ-3), Β(λ+1, 2λ-1), Γ(λ-1, 2λ-5), λ , σημεία του καρτεσιανού
επιπέδου.
α) Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά.
β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του συμμετρικού του Γ ως προς το μέσο Μ του ΑΒ.
30. Έστω τα διανύσματα  1 1,x y  και  2 2,x y  με  det , 0   .
Να δείξετε ότι:
α) αν 1 2 0x x  , τότε  
β) αν 1 2 0x x  , τότε   .
31. Δίνεται τρίγωνο  με κορυφές Α(5, 1), Β(2, -2), Γ(1, 3) και σημεία Δ, Ε τέτοια,
ώστε
1
3
   και
1
3
   . Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου
τομής των ευθειών ΒΕ και ΓΔ.
32. Δίνονται τα διανύσματα ,  και  , με:    3 2 2,9 , 2 10, 5         και
 1,3   .
α) Να βρεθούν οι συντεταγμένες των διανυσμάτων ,  και  .
β) Να γραφεί το διάνυσμα  ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων  και  .
γ) Να υπολογιστεί τη τιμή του λ , ώστε το διάνυσμα  ,6    να είναι
παράλληλο στο διάνυσμα v    .
33. Δίνονται τα διανύσματα ,  τέτοια, ώστε:  2 4,0   και  3, 3   .
α) Να δειχθεί ότι:  1, 3   και  2,2 3  .
β) Να βρεθούν οι γωνίες των διανυσμάτων  και  με τον άξονα x΄x.
γ) Να βρεθεί η γωνία των διανυσμάτων  και  .

55. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Στάμου Γιάννης Σελίδα 54
Ενότητα III
34. Αν 2, 2   και   3
,
4

 

 , να υπολογιστούν:
α)   , β)
3
2
2
 
 
   
 
, γ)
2
1
2
2
 
 
 
 
, δ)   1
3
3
   
 
    
 
35. Αν    1,3 , 2, 2     και
2
2,
3

 
  
 
, να υπολογιστούν:
α)      , β)    2      , γ)  
2
3   
36. Για τα μη-μηδενικά διανύσματα  και  , να δειχθούν οι ισοδυναμίες:
α)              , β)           ,
γ)
2 2 2
          , δ)
2 2 2
2 2          .
37. Αν  1
, 2 2, ,
2 4

   

   και 0     , να υπολογιστούν:
α) το  , β) η παράσταση       , γ) η γωνία  ,  

 .
38. Να βρεθούν οι γωνίες των διανυσμάτων:
α)  1,2  και  3, 1    , β)  2 3,1 2 3    και  2,1  ,
γ)  2, 2   και  2,1  , δ)
1
, 1
2

 
  
 
και
2
, 2
2

 
   
 
.
39. Αν τα διανύσματα  και  είναι κάθετα κι έχουν ίσα μέτρα, να δείξετε ότι τα
διανύσματα 3 2v    και 2 3u    είναι επίσης κάθετα κι έχουν ίσα μέτρα.
40. Δίνονται τα διανύσματα  και  τέτοια, ώστε: 1   και   2
,
3

 

 . Να
βρεθεί διάνυσμα x αν:  / /x   και  x   .
41. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, με 3, 2    και
6

  . Να
υπολογιστεί η οξεία γωνία των διαγωνίων του.