1. Ejercicios de derivadas e integrales
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Departament d’Estad´ ıstica i Investigaci´ Operativa
o
Universitat de Val`ncia
e

3. Derivadas
Reglas de derivaci´n
o
d
Suma [f (x) + g(x)] = f (x) + g (x)
dx
d
[kf (x)] = kf (x)
dx
Producto
d
[f (x)g(x)] = f (x)g(x) + f (x)g (x)
dx
d f (x) f (x)g(x) − f (x)g (x)
Cociente =
dx g(x) g(x)2
d
{f [g(x)]} = f [g(x)]g (x)
dx
Regla de la cadena
d
{f (g[h(x)])} = f (g[h(x)])g [h(x)]h (x)
dx
d k d
(x ) = kxk−1 [f (x)k ] = kf (x)k−1 f (x)
dx dx
d √ d 1/2 1 d f (x)
Potencia ( x) = (x ) = √ [ f (x)] =
dx dx 2 x dx 2 f (x)
d 1 d −1 1 d 1 f (x)
= (x ) = − 2 =−
dx x dx x dx f (x) f (x)2

4. 2
Reglas de derivaci´n (continuaci´n)
o o
d d
(sin x) = cos x [sin f (x)] = cos f (x)f (x)
dx dx
d d
Trigonom´tricas
e (cos x) = − sin x [cos f (x)] = − sin f (x)f (x)
dx dx
d d
(tan x) = 1 + tan2 x [tan f (x)] = [1 + tan2 f (x)]f (x)
dx dx
d 1 d f (x)
(arcsin x) = √ [arcsin f (x)] =
dx 1 − x2 dx 1 − f (x)2
d −1 d −f (x)
Funciones de arco (arc cos x) = √ [arc cos f (x)] =
dx 1 − x2 dx 1 − f (x)2
d 1 d f (x)
(arctan x) = [arctan f (x)] =
dx 1 + x2 dx 1 + f (x)2
d x d f (x)
(e ) = ex (e ) = ef (x) f (x)
dx dx
Exponenciales
d x d f (x)
(a ) = ax ln a (a ) = af (x) ln af (x)
dx dx
d 1 d f (x)
(ln x) = (ln f (x)) =
dx x dx f (x)
Logar´
ıtmicas
d 1 1 d f (x) 1
(lg x) = (lg f (x)) =
dx a x ln a dx a f (x) ln a

5. 3
Ejercicios de derivadas
1. Determinar las tangentes de los ´ngulos que forman con el eje positivo de las x las l´
a ıneas
tangentes a la curva y = x3 cuando x = 1/2 y x = −1, construir la gr´fica y representar
a
las l´
ıneas tangentes.
Soluci´n.- a) 3/4, b) 3.
o
2. Determinar las tangentes de los ´ngulos que forman con el eje positivo de las x las l´
a ıneas
tangentes a la curva y = 1/x cuando x = 1/2 y x = 1, construir la gr´fica y representar
a
las l´
ıneas tangentes.
Soluci´n.- a) -4, b) -1.
o
3. Hallar la derivada de la funci´n y = x4 + 3x2 − 6.
o
Soluci´n.- y = 4x3 + 6x.
o
4. Hallar la derivada de la funci´n y = 6x3 − x2 .
o
Soluci´n.- y = 18x2 − 2x.
o
x5 x2
5. Hallar la derivada de la funci´n y =
o a+b − a−b .
5x4 2x
Soluci´n.- y =
o a+b − a−b .
x3 −x2 +1
6. Hallar la derivada de la funci´n y =
o 5 .
3x2 −2x
Soluci´n.- y =
o 5 .
x2
7. Hallar la derivada de la funci´n y = 2ax3 −
o b + c.
2 2x
Soluci´n.- y = 6ax −
o b .
7 5
8. Hallar la derivada de la funci´n y = 6x 2 + 4x 2 + 2x.
o
5 3
Soluci´n.- y = 21x 2 + 10x 2 + 2.
o
√ √ 1
9. Hallar la derivada de la funci´n y =
o 3x + 3
x + x.
√
3 1 1
Soluci´n.- y =
o √
2 x
+ √
3 2 − x2 .
3 x
(x+1)3
10. Hallar la derivada de la funci´n y =
o 3 .
x2
3(x+1)2 (x−1)
Soluci´n.- y =
o 5 .
2x 2
√
3 √
11. Hallar la derivada de la funci´n y =
o x2 − 2 x + 5.
1
2 √ 1
Soluci´n.- y =
o 3 3x − √ .
x
√
3
ax2 b √x .
12. Hallar la derivada de la funci´n y =
o √3
x
+ √
x x
− x
2 5 7
Soluci´n.- y = 5 ax 3 − 2 bx− 2 + 1 x− 6 .
o 3
3
6
13. Hallar la derivada de la funci´n y = (1 + 4x3 )(1 + 2x2 ).
o
Soluci´n.- y = 4x(1 + 3x + 10x3 ).
o
14. Hallar la derivada de la funci´n y = x(2x − 1)(3x + 2).
o
Soluci´n.- y = 2(9x2 + x − 1).
o

6. 4
15. Hallar la derivada de la funci´n y = (2x − 1)(x2 − 6x + 3).
o
Soluci´n.- y = 6x2 − 26x + 12.
o
2x4
16. Hallar la derivada de la funci´n y =
o b2 −x2 .
4x3 (2b2 −x2 )
Soluci´n.- y =
o (b2 −x2 )2 .
a−x
17. Hallar la derivada de la funci´n y =
o a+x .
2a
Soluci´n.- y = − (a+x)2 .
o
t3
18. Hallar la derivada de la funci´n f (t) =
o 1+t2 .
t2 (3+t2
Soluci´n.- f (t) =
o (1+t2 )2 .
(s+4)2
19. Hallar la derivada de la funci´n f (s) =
o s+3 .
(s+2)(s+4)
Soluci´n.- f (s) =
o (s+3)2 .
x3 +1
20. Hallar la derivada de la funci´n y =
o x2 −x−2 .
x4 −2x3 −6x2 −2x+1
Soluci´n.- y =
o (x2 −x−2)2 .
21. Hallar la derivada de la funci´n y = (2x2 − 3)2 .
o
Soluci´n.- y = 8x(2x2 − 3).
o
22. Hallar la derivada de la funci´n y = (x2 + a2 )5 .
o
Soluci´n.- y = 10x(x2 + a2 )4 .
o
√
23. Hallar la derivada de la funci´n y =
o x2 + a2 .
Soluci´n.- y =
o √ x .
x2 +a2
√
24. Hallar la derivada de la funci´n y = (a + x) a − x.
o
a−3x
Soluci´n.- y =
o √
2 a−x
.
1+x
25. Hallar la derivada de la funci´n y =
o 1−x .
1
Soluci´n.- y =
o √
(1−x) 1−x2
.
2x2 −1
26. Hallar la derivada de la funci´n y =
o √
x 1+x2
.
1+4x2
Soluci´n.- y =
o 3 .
x2 (1+x2 ) 2
√
3
27. Hallar la derivada de la funci´n y =
o x2 + x + 1.
2x+1
Soluci´n.- y = √
o 3
.
3 (x2 +x+1)2
√
28. Hallar la derivada de la funci´n y = (1 +
o 3
x)3 .
2
1
Soluci´n.- y = 1 +
o √
3
x
.

7. 5
29. Hallar la derivada de la funci´n y = sin2 x.
o
Soluci´n.- y = sin 2x.
o
30. Hallar la derivada de la funci´n y = 2 sin x + cos 3x.
o
Soluci´n.- y = 2 cos x − 3 sin 3x.
o
31. Hallar la derivada de la funci´n y = tan(ax + b).
o
a
Soluci´n.- y =
o cos2 (ax+b) .
sin x
32. Hallar la derivada de la funci´n y =
o 1+cos x .
1
Soluci´n.- y =
o 1+cos x .
33. Hallar la derivada de la funci´n y = sin 2x cos 3x.
o
Soluci´n.- y = 2 cos 2x cos 3x − 3 sin 2x sin 3x.
o
34. Hallar la derivada de la funci´n y = cot2 5x.
o
Soluci´n.- y = −10 cot 5x csc2 5x.
o
35. Hallar la derivada de la funci´n f (t) = t sin t + cos t.
o
Soluci´n.- f (t) = t cos t.
o
36. Hallar la derivada de la funci´n f (t) = sin3 t cos t.
o
Soluci´n.- f (t) = sin2 t(3 cos2 t − sin2 t).
o
√
37. Hallar la derivada de la funci´n y = a cos 2x.
o
Soluci´n.- y = − √sin 2x .
o a
cos 2x
1
38. Hallar la derivada de la funci´n y =
o 2 tan2 x.
Soluci´n.- y = tan x sec2 x.
o
39. Hallar la derivada de la funci´n y = ln cos x.
o
Soluci´n.- y = − tan x.
o
40. Hallar la derivada de la funci´n y = ln tan x.
o
2
Soluci´n.- y =
o sin 2x .
41. Hallar la derivada de la funci´n y = ln sin2 x.
o
Soluci´n.- y = 2 cot x.
o
tan x−1
42. Hallar la derivada de la funci´n y =
o sec x .
Soluci´n.- y = sin x + cos x.
o
1+sin x
43. Hallar la derivada de la funci´n y = ln
o 1−sin x .
1
Soluci´n.- y =
o cos x .
44. Hallar la derivada de la funci´n f (x) = sin(ln x).
o
cos(ln x)
Soluci´n.- f (x) =
o x .

8. 6
45. Hallar la derivada de la funci´n f (x) = tan(ln x).
o
sec2 (ln x)
Soluci´n.- f (x) =
o x .
46. Hallar la derivada de la funci´n f (x) = sin(cos x).
o
Soluci´n.- f (x) = − sin x cos(cos x).
o
1+x
47. Hallar la derivada de la funci´n y = ln 1−x .
o
2
Soluci´n.- y =
o 1−x2 .
48. Hallar la derivada de la funci´n y = log3 (x2 − sin x).
o
2x−cos x
Soluci´n.- y =
o (x2 −sin x) ln 3 .
2
1+x
49. Hallar la derivada de la funci´n y = ln 1−x2 .
o
4x
Soluci´n.- y =
o 1−x4 .
50. Hallar la derivada de la funci´n y = ln(x2 + x).
o
2x+1
Soluci´n.- y =
o x2 +x .
51. Hallar la derivada de la funci´n y = ln(x3 − 2x + 5).
o
3x2 −2
Soluci´n.- y =
o x3 −2x+5 .
52. Hallar la derivada de la funci´n y = x ln x.
o
Soluci´n.- y = ln x + 1.
o
53. Hallar la derivada de la funci´n y = ln3 x.
o
3 ln2 x
Soluci´n.- y =
o x .
√
54. Hallar la derivada de la funci´n y = ln(x +
o 1 + x2 ).
Soluci´n.- y =
o √ 1 .
1+x2
55. Hallar la derivada de la funci´n y = ln(ln x).
o
1
Soluci´n.- y =
o x ln x .
56. Hallar la derivada de la funci´n y = e(4x+5) .
o
Soluci´n.- y = 4e(4x+5) .
o
2
57. Hallar la derivada de la funci´n y = ax .
o
2
Soluci´n.- y = 2xax ln a.
o
2
58. Hallar la derivada de la funci´n y = 7(x
o +2x)
.
2
(x +2x)
Soluci´n.- y = 2(x + 1)7
o ln 7.
59. Hallar la derivada de la funci´n y = ex (1 − x2 ).
o
Soluci´n.- y = ex (1 − 2x − x2 ).
o
ex −1
60. Hallar la derivada de la funci´n y =
o ex +1 .
2ex
Soluci´n.- y =
o (ex +1)2 .

9. 7
61. Hallar la derivada de la funci´n y = esin x .
o
Soluci´n.- y = esin x cos x.
o
62. Hallar la derivada de la funci´n y = atan nx .
o
Soluci´n.- y = natan nx sec2 nx ln a.
o
63. Hallar la derivada de la funci´n y = ecos x sin x.
o
Soluci´n.- y = ecos x (cos x − sin2 x).
o
64. Hallar la derivada de la funci´n y = ex ln(sin x).
o
Soluci´n.- y = ex (cot x + ln(sin x)).
o
1
65. Hallar la derivada de la funci´n y = x x .
o
1 1−ln x
Soluci´n.- y = x x
o x2 .
66. Hallar la derivada de la funci´n y = xln x .
o
Soluci´n.- y = xln x−1 ln x2 .
o
67. Hallar la derivada de la funci´n y = xx .
o
Soluci´n.- y = xx (1 + ln x).
o
x
68. Hallar la derivada de la funci´n y = ex .
o
x
Soluci´n.- y = ex (1 + ln x)xx .
o

10. 8

11. Integrales
Tabla de integrales inmediatas
xp+1 f (x)p+1
xp dx = +C (p = −1) f (x)p f (x)dx = +C (p = −1)
p+1 p+1
1 f (x)
dx = ln |x| + C dx = ln |f (x)| + C
x f (x)
sin xdx = − cos x + C f (x) sin f (x)dx = − cos f (x) + C
cos xdx = sin x + C f (x) cos f (x)dx = sin f (x) + C
1 f (x)
dx = tan x + C dx = tan f (x) + C
cos2 x cos2 f (x)
1 f (x)
dx = − cot x + C dx = − cot f (x) + C
sin2 x sin2 f (x)
1 f (x)
dx = arctan x + C dx = arctan f (x) + C
1 + x2 1 + f (x)2
1 f (x)
√ dx = arcsin x + C dx = arcsin f (x) + C
1 − x2 1 − f (x)2

12. 10
Tabla de integrales inmediatas (continuaci´n)
o
−1 −f (x)
√ dx = arc cos x + C dx = arc cos f (x) + C
1 − x2 1 − f (x)2
ex dx = ex + C f (x)ef (x) dx = ef (x) + C
ax af (x)
ax dx = +C f (x)af (x) dx = +C
ln a ln a
Ejercicios de integrales indefinidas
1. Calcular la integral x5 dx.
x6
Soluci´n.-
o + C.
6
√
2. Calcular la integral (x + x)dx.
√
x2 2x x
Soluci´n.-
o + + C.
2 3
√
3 x x
3. Calcular la integral √ − dx.
x 4
√ 1 √
Soluci´n.- 6 x − x2 x + C.
o
10
x2
4. Calcular la integral √ dx.
x
2 2√
Soluci´n.-
o x x + C.
5
1 4
5. Calcular la integral + √ + 2 dx.
x2 x x
1 8
Soluci´n.- −
o − √ + 2x + C.
x x
1
6. Calcular la integral √ dx.
4
x
4√ 3
4
Soluci´n.-
o x + C.
3

13. 11
7. Calcular la integral e5x dx.
1
Soluci´n.- e5x + C.
o
5
8. Calcular la integral cos 5xdx.
sin 5x
Soluci´n.-
o + C.
5
9. Calcular la integral sin axdx.
cos ax
Soluci´n.- −
o + C.
a
ln x
10. Calcular la integral dx.
x
1 2
Soluci´n.-
o ln x + C.
2
1
11. Calcular la integral dx.
sin2 3x
cot 3x
Soluci´n.- −
o + C.
3
1
12. Calcular la integral dx.
cos2 7x
tan 7x
Soluci´n.-
o + C.
7
1
13. Calcular la integral dx.
3x − 7
1
Soluci´n.-
o ln |3x − 7| + C.
3
1
14. Calcular la integral dx.
1−x
Soluci´n.- − ln |1 − x| + C.
o
1
15. Calcular la integral dx.
5 − 2x
1
Soluci´n.- − ln |5 − 2x| + C.
o
2
16. Calcular la integral tan 2xdx.
1
Soluci´n.- − ln | cos 2x| + C.
o
2
17. Calcular la integral sin2 x cos xdx.
sin3 x
Soluci´n.-
o + C.
3
18. Calcular la integral cos3 x sin xdx.
cos4 x
Soluci´n.- −
o + C.
4

14. 12
√
19. Calcular la integral x x2 + 1dx.
1
Soluci´n.-
o (x2 + 1)3 + C.
3
x
20. Calcular la integral √ dx.
2x2 + 3
1
Soluci´n.-
o 2x2 + 3 + C.
2
cos x
21. Calcular la integral dx.
sin2 x
1
Soluci´n.- −
o + C.
sin x
sin x
22. Calcular la integral dx.
cos3 x
1
Soluci´n.-
o + C.
2 cos2 x
tan x
23. Calcular la integral dx.
cos2 x
tan2 x
Soluci´n.-
o + C.
2
cot x
24. Calcular la integral dx.
sin2 x
cot2 x
Soluci´n.- −
o + C.
2
ln(x + 1)
25. Calcular la integral dx.
x+1
ln2 (x + 1)
Soluci´n.-
o + C.
2
cos x
26. Calcular la integral √ dx.
2 sin x + 1
√
Soluci´n.- 2 sin x + 1 + C.
o
sin 2x
27. Calcular la integral dx.
(1 + cos 2x)2
1
Soluci´n.-
o + C.
2(1 + cos 2x)
sin 2x
28. Calcular la integral dx.
1 + sin2 x
Soluci´n.- 2 1 + sin2 x + C.
o
√
tan x + 1
29. Calcular la integral dx.
cos2 x
2
Soluci´n.-
o (tan x + 1)3 + C.
3

15. 13
ln2 x
30. Calcular la integral dx.
x
ln3 x
Soluci´n.-
o + C.
3
arcsin x
31. Calcular la integral √ dx.
1 − x2
arcsin2 x
Soluci´n.-
o + C.
2
x
32. Calcular la integral dx.
x2 + 1
1
Soluci´n.- ln(x2 + 1) + C.
o
2
x+1
33. Calcular la integral dx.
x2 + 2x + 3
1
Soluci´n.-
o ln(x2 + 2x + 3) + C.
2
34. Calcular la integral e2x dx.
1
Soluci´n.- e2x + C.
o
2
x
35. Calcular la integral e 2 dx.
x
Soluci´n.- 2e 2 + C.
o
36. Calcular la integral esin x cos xdx.
Soluci´n.- esin x + C.
o
37. Calcular la integral 3x ex dx.
3x e x
Soluci´n.-
o + C.
ln 3 + 1
38. Calcular la integral e−3x dx.
1
Soluci´n.- − e−3x + C.
o
3
2
39. Calcular la integral ex +4x+3 (x + 2)dx.
1 2
Soluci´n.- ex +4x+3 + C.
o
2
1
40. Calcular la integral dx.
1 + 2x2
1 √
Soluci´n.- √ arctan( 2x) + C.
o
2
1
41. Calcular la integral √ dx.
1 − 3x2
1 √
Soluci´n.- √ arcsin( 3x) + C.
o
3

16. 14
1
42. Calcular la integral √ dx.
9 − x2
x
Soluci´n.- arcsin
o + C.
3
1
43. Calcular la integral dx.
4 + x2
1 x
Soluci´n.- arctan + C.
o
2 2

17. 15
Integraci´n por partes
o
Recordemos la f´rmula de la deriva del producto de funciones
o
d
[u(x)v(x)] = u (x)v(x) + u(x)v (x),
dx
que expresada bajo forma de diferencial da lugar a
d[u(x)v(x)] = d[u(x)]v(x) + u(x)d[v(x)].
De donde se obtiene,
u(x)d[v(x)] = d[u(x)v(x)] − v(x)d[u(x)].
Integrando ahora ambos miembros tendremos
u(x)d[v(x)] = u(x)v(x) − v(x)d[u(x)],
que se escribe tambi´n en forma abreviada,
e
udv = uv − vdu. (1)
Esta expresi´n es conocida como la f´rmula de la integraci´n por partes y es de gran utilidad
o o o
para la resoluci´n de integrales. Se aplica a la resoluci´n de las integrales udv a partir de
o o
la integral vdu que se supone m´s sencilla. La aplicaci´n de (1) exige primero identificar
a o
adecuadamente en el integrando las funciones u(x) y v(x). Veamos un ejemplo
Ejemplo 1 Si queremos calcular la integral
x3 ln xdx,
observemos que la integral de x3 es inmediata y que la derivada de ln x es tambi´n muy sencilla.
e
As´ si asignamos
ı,
u = ln x y dv = x3 dx,
tendremos
dx x4
du = y v= + C1 ,
x 4
si integramos ahora
x4
x3 ln xdx = ln x d + C1
4
x4 x4 dx
= + C1 ln x − + C1
4 4 x
x4 x3 C1
= + C1 ln x − + dx
4 4 x
x4 x4
= ln x − + C.
4 16
Observemos que la primera constante de integraci´n C1 se cancela de la respuesta final (C1 ln x−
o
C1 ln x). Este es siempre el caso cuando integramos por partes, por ello, en la pr´ctica, nunca
a
incluimos una constante de integraci´n en v(x), simplemente tomaremos para v(x) cualquier
o
primitiva de dv(x).

18. 16
Algunos tipos de integrales que se resuelven por partes
xn ex dx u = xn dv = ex dx xn sin xdx u = xn dv = sin xdx
xn cos xdx u = xn dv = cos xdx xn ln xdx u = ln x dv = xn dx
arctan xdx u = arctan x dv = dx arcsin xdx u = arcsin x dv = dx
ln xdx u = ln x dv = dx
Ejercicios de integraci´n por partes
o
1. Calcular la integral xex dx.
Soluci´n.- xex − ex + C.
o
2. Calcular la integral ln xdx.
Soluci´n.- x ln x − x + C.
o
3. Calcular la integral x2 e3x dx.
x2 2x 2
Soluci´n.- e3x
o − + + C.
3 9 27
4. Calcular la integral x3 e−x dx.
Soluci´n.- −e−x x3 + 3x2 + 6x + 6 + C.
o
5. Calcular la integral x sin xdx.
Soluci´n.- −x cos x + sin x + C.
o
6. Calcular la integral x2 cos 2xdx.
x2 sin 2x x cos 2x 1
Soluci´n.-
o + − sin 2x + C.
2 2 4
7. Calcular la integral ex sin xdx.
−ex cos x + ex sin x
Soluci´n.-
o + C.
2
3
8. Calcular la integral x5 ex dx.
3
ex
Soluci´n.-
o (x3 − 1) + C.
3

19. 17
Ejercicios de integrales definidas y c´lculo de ´reas
a a
1
1. Calcular la integral definida 0
x4 dx.
1
Soluci´n.- .
o
5
1 x
2. Calcular la integral definida 0
e dx.
Soluci´n.- e − 1.
o
π
3. Calcular la integral definida 2
0
sin xdx.
Soluci´n.- 1.
o
1 1
4. Calcular la integral definida 0
dx.
1 + x2
π
Soluci´n.-
o .
4
5. Hallar el ´rea de la figura comprendida entre la curva y = 4 − x2 y el eje X.
a
2
Soluci´n.- 10 .
o
3
6. Hallar el ´rea de la figura comprendida entre las curvas y 2 = 9x e y = 3x.
a
1
Soluci´n.- .
o
2
7. Hallar el ´rea de la figura limitada por la hip´rbola equil´tera xy = a2 , el eje X y las
a e a
rectas x = a y x = 2a.
Soluci´n.- a2 ln 2.
o