1. SESO DEL IES LAS CUMBRES. GRAZALEMA MATEMÁTICAS 2º ESO
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POTENCIAS Y RAÍCES CUADRADAS
EJERCICIOS RESUELTOS
Potencias
1.- Calcula el valor de las siguientes potencias:
a) 2 3=8
b)  −2  4=24 =16
c) −24 =−16
d) 2 2 =4
e)  −2 5 =−25 =−32
f) −25 =−32
g)  −3 3=−33 =−27
h) −33=−27
i) 34 =81
2
j) −3  =32 =9
k) −32 =−9
l) 35 =243
m) 53 =125
4
n)  −5  =54 =625
ñ) −5 4 =−625
o) 52 =25
p)  −5 5=−55 =−3. 125
q) −55 =3 . 125
r) −10 3 =−10 3=−1 .000
s) −10 3=−1 . 000
t) 10 4=10 . 000

2. u)  −10 2 =102 =100
v) −10 2 =−100
w) 105 =100 . 000
x)  −10 12=1012=1 . 000 .000 . 000 . 000
y) −10 8=−100.000.000
2.- Halla las potencias sucesivas de – 1 y explica qué observas.
−10=1
1
−1 =−1
−12=1
−13=−1
−14=1
−15=−1
················································································································································
Exponente par ⇒ Potencia positiva Exponente impar ⇒ Potencia negativa
3.- Escribe cada número como potencia, de formas distintas:
a) 4
{ }
2
4= 2 2
−2
b) 16
{ }
24
4
16= −2
42
−42
c) 25
{ }
2
25= 5 2
−5
d) 121
{ }
2
121= 11 2
−11

3. e) 9
{ }
2
9= 3 2
−3
f) 81
{ }
34
4
81= −3
2
9
−92
g) – 8
{ }
3
−8= −2
−23
h) – 27
{ }
3
−27= −3
−33
4.- Indica si son verdaderas o falsas las siguientes expresiones:
a) −32−22
−32−22 ⇒ 3222 ⇒94 Verdadero
b) 80−40
80−40 ⇒ 11  Falso
c) 34 4 3
4 3
3 4 ⇒8164  Falso
d) −33−23
−33−23 ⇒−33−2 3 ⇒−27−8 Falso
e) 62 −62
62 −62 ⇒ 6262 ⇒ 3636 Falso
f) 13−13
3 3 3 3
1 −1 ⇒ 1 −1 ⇒1−1 Verdadero

4. 5.- Calcula las siguientes potencias de base fracciones:

2
7
a)
9

2
7 7 2 49
= 2=
9 9 81
 
2
6
b) -
5
 
2 2
6 6 36
- = 2=
5 5 25

3
3
c)
4

3
3 33 27
= 3=
4 4 64
 
3
2
d) -
3
 
3 2
2 2 4
- =- 2 =-
3 3 9

5
1
e)
2

5
1 15 1
= 5=
2 2 32
 
4
1
f) -
2
 
4 4
1 1 1
- = 4=
2 2 16
 
6
5
g)
11
 
6
5 56
= 6
11 11

5.  
2
5
h) -
7
 
2
5 5 2 25
- = 2=
7 7 49
 
4
1
i) − -
6
   
4
1 14 1
−- =− 4 =- 4
6 6 6
 
3
4
j) − -
5
   
3
4 43 4 3 64
−- =− - 3 = 3 =
5 5 5 125
6.- Calcula las siguientes potencias de base números decimales:
a) 0,32
2
0,3 =0,09
b) 0,012
2
0,01 =0,0001
c) 0,43
3
0,4 =0,064
d) 1,12
2
1,1 =1,21
e) −1,41
−1,41=−1,4
f) −0,14
4 4
−0,1 =0,1 =0,0001
g) −0,15
5 5
−0,1 =−0,1 =−0,00001

6. h) −11,050
0
−11,05 =1
i) 0,12
2
0,1 =0,01
j) 0,53
3
0,5 =,125
k) −0,053
3 3
−0,05 =−0,05 =−0,000125
l) −0,92
−0,92 =0,92=0,81
m) 0,34
4
0,3 =0,0081
n) −0,00016
6 6
−0,0001 =0,0001 =0,000000000000000000000001
ñ) 0,00023
3
0,0002 =0,000000000008
o) −0,025
5 5
−0,02 =−0,02 =0,0000000032
Operaciones con potencias de la misma base
7.- Calcula:
a) 2 4 · 2 6
4 6 10
2 · 2 =2
b) 62 · 64
2 4 6
6 · 6 =6
c) −30 ·−35
−30 ·−35=−35=−35

7. d) −2·−27
7 8 8
−2·−2 =−2 =2
e) −23 ·−22 · −2
3 2 6 6
−2 ·−2 · −2=−2 =2 =64
f) 32 ·3 0 · 3· 33
2 0 3 6
3 · 3 · 3 ·3 =3
g) −52 ·−52 ·−5
2 2 5 5
−5 ·−5 ·−5=−5 =−5
h) −62 ·−64
2 4 6 6
−6 ·−6 =−6 =6
i) −73 ·−7 ·−76
−73 ·−7 ·−76=−710=710
j) −34 ·−36 ·3
−34 ·−36 ·3=34 · 36 · 3=311

3 2
3 3
k) ·
8 8
 
3 2 5
3 3 3 35
· = = 5
8 8 8 8
l)    
1 1 1
· ·
2 2 2
     
3
1 1 1 1 13 1
· · = = 3=
2 2 2 2 2 8
m)    
-
3
2
3
· - · -
2
3
2
     
3
3 3 3 3 33 27
- · - · - =- =- 3 =-
2 2 2 2 2 8

8.   
2 4
5 5
n) - · -
2 2
    
2 4 6
5 5 5 56
- · - =- = 6
2 2 2 2
8.- Calcula:
a) 110 :12
10 2 8
1 :1 =1 =1
b) 4 5 : 45
5 5 0
4 : 4 =4 =1
c) −34 :−32
4 2 2 2
−3 :−3 =−3 =3 =9
d) 97 :92
7 2 5
9 :9 =9
e) −58 :−53
8 3 5 5
−5 :−5 =−5 =−5
f) −48 :−47
−48 :−47=−41=−4
g) −915 :−99
−915 :−99=−96=96
h) −87 :8 2
−87 :8 2=−87 :−82=−85=−85
 
10 8
5 5
i) :
3 3
  
10 8 2
5 5 5 5 2 25
: = = 2=
3 3 3 3 9

9.   
8 5
2 2
j) - : -
3 3
    
8 5 3
2 2 2 23 8
- : - =- =- 3 =-
3 3 3 3 27

6 6
4 4
k) :
3 3
 
6 6 0
4 4 4
: = =1
3 3 3
  
2
1 1
l) - : -
2 2
   
2 1
1 1 1 1
- : - =- =-
2 2 2 2
9.- Calcula:
5
a) [ −34 ]
5
[ −34 ] =−320=3 20
2
b)  45 
2
 45  =410
12
c) [  −5  0 ]
[ −5 0 ]
12
=−50=1
3
d) [ −92 ]
3
[ −92 ] =−96=96
2
e)  107 
2
 107  =1014=100.000.000.000.000
f) [ −10  2 ]
7
[ −10 2 ] =−1014=1014=100.000.000.000.000
7

10. 2
g) [ −25 ] ·−23
2
[ −25 ] ·−23=−210 · −23=−213=−213
5
h) [ −46 ] :−46
5
[ −46 ] :−46 =−430 :−46=−424=424
[  ]
5 2
2
i)
3
[  ]  
5 2 10
2 2 210
= = 10
3 3 3
[  ]
2 3
2
j) -
5
[  ]  
2 3 6
2 2 26
- =- = 6
5 5 5
[  ]
3 5
4
k) -
3
[  ]  
3 5 15
4 4 415
- =- =- 15
3 3 3
[    ]
3 4
2
l) 1
2
[    ]
3 4

2 24
1 1 124 1
= = =
2 2 224 224
10.- Determina el valor de las letras:
a) −45 ·−4 x =−47
−45 ·−4 x =−47 ⇒5x=7 ⇒ x=7−5⇒ x=2
b) −612 : [  −6 4 ] =−64
x
−612 : [ −6  ] =−64 ⇒−612 :−64 x =−64 ⇒ 12−4 x=4 ⇒−4 x=4−12 ⇒
4 x
−8
−4 x=−8⇒ x= ⇒ x =2
−4

11. c) −73 ·−7 x =−78
3 x 8
−7 ·−7 =−7 ⇒ 3x =8⇒ x=8−3⇒ x=5
5
d)  3 x  =310
 3 x  =310 ⇒ 5 x=10 ⇒ x= 10 ⇒ x =2
5
5
e) −24 :−23=−2 x
−24 :−23=−2 x ⇒ x=4−3 ⇒ x=1
x
f) [ −3  3 ] :−311=−3
12
[ −3 3 ]
x
11
:−3 =−3 ⇒ 3 x−11=1⇒ 3 x=111⇒ 3 x=12⇒ x= ⇒ x=4
3
g) [  −9  x ] : 9 12=1
3
[ −9  x ] :912=1 ⇒−93 x :−912=−90 ⇒3 x−12=0 ⇒ 3 x=012⇒
3
12
3 x=12 ⇒ x= ⇒ x =4
3
x
h)  52  · −52=−58
x 6
 52  · −52=−58 ⇒ 52 x · 52=58 ⇒ 2 x 2=8⇒ 2 x=8−2 ⇒ 2 x=6 ⇒ x = ⇒ x=3
2
Cambio de base en potencias
11.- Expresa en base 2:
a) 1285=27 5=235
128 2
64 2
32 2
16 2
8 2
4 2
2 2
1

12. b) 324 = 25 4=2 20
32 2
16 2
8 2
4 2
2 2
1
c) 83=23  3=29
8 2
4 2
2 2
1
d) 1.0243=210 3=2 30
1.024 2
512 2
256 2
128 2
64 2
32 2
16 2
8 2
4 2
2 2
1
12.- Expresa en base 3:
a) 812=34 2=38
81 3
27 3
9 3
3 3
1

13. b) 27 7=3 37=3 21
27 3
9 3
3 3
1
c) 2433=35  3 =315
243 3
81 3
27 3
9 3
3 3
1
d) 2.187 2=372 =314
2.187 3
729 3
243 3
81 3
27 3
9 3
3 3
1
13.- Expresa en base 5:
a) 1253=53 3=59
125 5
25 5
5 5
1
b) 257 =52 7=514
25 5
5 5
1

14. c) 62510=54 10=5 40
625 5
125 5
25 5
5 5
1
d) 3.1257=557=535
3.125 5
625 5
125 5
25 5
5 5
1
14.- Resuelve las siguientes operaciones con potencias:
a) 162 · 25
162 · 25=2 42 · 25=28 · 25 =213
b) 27 2 · 33
27 2 · 33=33 2 · 33=36 ·33 =39
c) 52 · 252
52 · 252=5 2 ·52 2=5 2 · 54=56
d) 165 : 23
165 : 23=2 4 5 :23=220 :23 =217
e) 812 :32
812 :32=34 2 : 32=38 :32=3 6
f) 2 3 · 162 ·32
2 3 · 162 · 32=23 ·2 4 2 · 25=23 · 28 · 25=216
g) 25 2 · 1252 : 52
25 2 · 1252 :5 2=5 22 ·53 2 :52 =54 ·56 :52=510 :52=58

15. h) 9 4 :3 2 · 27 2
9 4 :3 2 · 27 2=3 24 :32 ·33 2=38 :32 ·36 =36 · 36=312
15.- Resuelve las siguientes operaciones, utilizando potencias:
a) 9 ·−33 ·−3
9 ·−33 ·−3=32 · −33 ·−3=−32 · −33 ·−3=−36=36
b) −2 ·16
−2 ·16=−2 · 24=−2· −24 =−25=−25
c) −125 · 25
3 2 3 2 5 5
−125 · 25=−5 ·5 =−5 ·−5 =−5 =−5
d) 49 2 · −343: [ −7 3 ]
2
49 2 · −343: [  −7  ] = 7 2  · −7 3:−76=74 ·−73 :−76=−74 ·−73 :−76 =
3 2 2
7 6 1
= −7 :−7 =−7 =−7
3
e) 322 :  22  · 1.024
3 2 3
322 :  22  ·1.024= 2 5  :  22  · 210=210 : 26 · 2 10=2 4 · 210=214
[ 3
f) 92 ·  3 2  :81 ]
[ 3
] 2
92 ·  3 2  :81 = 32  · [ 36 :34 ] =34 · 32 =36
16.- Determina el valor de las letras:
a) −32:−2x =4
−32:−2x =4 ⇒−2 5 :−2x =22 ⇒−25 :−2 x =−22 ⇒ 5− x=2 ⇒
−3
⇒−x=2−5 ⇒−x=−3 ⇒ x= ⇒ x=3
−1
b) −27· −3 x =−243
−27 ·−3 x =−243⇒−33 ·−3x =−35 ⇒−33 ·−3x =−35 ⇒3 x=5 ⇒ x=5−3 ⇒ x=2

x
1 1
c) =
4 64
   
x x x 3
1 1 1 13 1 1
= ⇒ = 3⇒ = ⇒ x=3
4 64 4 4 4 4

16. 
x
2 16
d) =
5 625
   
x x x 4
2 16 2 24 2 2
= ⇒ = 4⇒ = ⇒ x=4
5 625 5 5 5 5
Potencias de operaciones
17.- Expresa como una única potencia:
a) 35 · −75
5 5 5 5 5
3 · −7 =[ 3 ·−7 ] =−21 =−21
b) −154 :54
4
−154 :54=[ −15:5 ] =−34=3 4=81
c) −82 · −42 · 32
2
−82 · −42 · 32 =[ −8 ·−4· 3 ] =962
d) 69 :−39
9
69 :−39=[ 6 :−3 ] =−29=−2 9
e) −56 · −106 · 46
6
−56 · −106 · 46=[ −5· −10· 4 ] =200 6
4
f) −158 :  3 2 
4
−158 :  3 2  =−158 : 38=[  −15  :3 ] =−58=58
8
g) −25 · 35
5
−25 · 35=[ −2· 3 ] =−65=−65
h) −103 · −23 ·5 3
3 3 3 3 3
−10 · −2 ·5 =[ −10·−2· 5 ] =100 =1.000.000
4 2
i) [ −403 ] : [ −206 ]
4 2
[ −403 ] : [ −206 ] =−4012 :−2012=[ −40:−20 ]12=212

17. 
7 7
9 6
j) :
5 5
     
7 7 7 7 7
9 6 9 6 45 3 37
: = : = = = 7
5 5 5 5 30 2 2
18.- Eleva los productos a las potencias:
3
a) [ −2 ·3 ·−5 ]
[ −2 ·3 ·−5 ] =−23 · 33 ·−53=−23 · 33 ·  −53 
3
3
b) [ −23 ·3 2 ·−52 ]
3 3 3 3
[ −23 ·3 2 ·−52 ] =[ −23 ] ·  3 2  · [ −52 ] =−29 ·3 6 ·−56 =−29 · 36 ·5 6=−29 ·156
[     ]
2 3 4
1 3 5
c) · - ·
2 4 3
[      ] [  ] [   ]              
2 3 4 2 4 3 4 4 8 12 4 8 12 4
1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 3 5
· - · = · - · = · - · = · ·
2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3
[   ]
3 2 2
1 3 3
d) - · · -
2 5 2
[    ] [  ]   [   ]            
3 2 2 3 2 2 2 2 6 2 4 6 2 4
1 3 3 1 3 3 1 3 3 1 3 3
- · · - = - · · - =- · · - = · ·
2 5 2 2 5 2 2 5 2 2 5 2
19.- Expresa como una única potencia:
a) −125 · 64· −27
3
−125 · 64 ·−27=−53 · 43 ·−33=−53 · 43 ·−33=[ −5· 4 · −3 ] =603
b) −1.000 :−8
3
−1.000 :−8=−103 :−2 3=−103 :−23=[ −10:−2 ] =53=125
c) −216 :8· −53
3 3
−216 :8· −53=−63 : 23 · −53=−63 : 23 · −53=[ −6: 2 ·−5 ] =[ −3·−5 ] =153
d) −64 :−43
3
−64 :−43=−4 3 :−43=−43 :−43= [ −4:−4 ] =13=1

18. e) −43 :−4· 4 2
2
−43 :−4· 4 2=−43 :−4·−4 2 =−42 ·−42= [ −4· −4 ] =162
f) 2 13 :[−2 ·−25 · 27 ]
2 13 :[−2 ·−25 · 27 ]=213 :[−26 · 27 ]=213 :  26 · 27 =213 : 213= 2: 213=113 =1
20.- Determina el valor de las letras:
a) −24 ·−34= x 4
4
−24 ·−34= x 4 ⇒ [ −2· −3 ] = x 4 ⇒−2· −3=x ⇒ x =6
b) −186 :−96 =2 x
6
−186 :−96 =2 x ⇔ [ −18:−9 ] =2 x ⇒ 26 =2 x ⇒ x=6
c) x 3 :53=−253
x 3 :53=−253 ⇒ x :53=−253 ⇒ x : 5=−25⇒ x=−25· 5⇒ x=−125
d) 72 · x 2=−422
−42
72 · x 2=−422 ⇒7 · x 2=−422 ⇒7 · x=−42 ⇒ x= ⇒ x=−6
7
e) −69 ·−39 ·−2x =−369
9
−69 ·−39 ·−2x =−369 ⇒ [ −6· −3 ] · −2 x =−369 ⇒ 189 · −2x =−369 ⇒
9
⇒−2x =−369 :189 ⇒−2x =[ −36 :18 ] ⇒−2x =−29 ⇒ x=9
f) 25 ·−85=−16 x
5
2 5 ·−85=−16 x ⇒ [ 2 ·−8 ] =−16 x ⇒−165=−16 x ⇒ x=5
g) −9 x :3 4=−34
x 4 4 x 4 4 x 4 x 4
−9 :3 =−3 ⇒−9 =−3 · 3 ⇒−9 =[ −3· 3 ] ⇒−9 =−9 ⇒ x =4
h) −30 x : −5 x =62
x
−30 x :−5 x =62 ⇒ [ −30 :−5 ] =6 2 ⇒ 6 x =62 ⇒ x =2
i) 144 : x 4 =74
14
144 : x 4=7 4 ⇒14 : x 4=7 4 ⇒ 14 : x=7 ⇒14=7 x ⇒ x= ⇒ x=2
7

19. j) 4 9 · x 9=−169
−16
4 9 · x 9=−169 ⇒4 · x 9 =−169 ⇒ 4 x=−16 ⇒ x = ⇒ x=−4
4
3
k)  x3  :7 =−1
9
3
 x3  9 9 9
:7 =−1 ⇒ x :7 =−1 ⇒ x : 7 =−1 ⇒ x :7=−1 ⇒ x=−1 · 7⇒ x=−7
9 9
Operaciones combinadas con potencias de exponente natural
21.- Expresa como una única potencia:
a) 4 9 : 44 : 43 · 4 7
9 4 3 7 5 3 7 2 7 9
4 : 4 : 4 · 4 =4 :4 · 4 =4 · 4 =4
b) −77 : [−76 :−72 ] ·−75
−77 : [−76 :−72 ] ·−75=−77 :−74 ·−75=−73 ·−75=−78=78
c) 712 : 76 :7 4 · 75 :76
12 6 4 5 6 6 4 5 6 2 5 6 7 6
7 : 7 : 7 ·7 :7 =7 :7 · 7 :7 =7 · 7 :7 =7 :7 =7
d) −211 : [−26 · −23 ] ·−23 ·−22
−211 : [−26 · −23 ] ·−23 ·−22=−211 :−29 ·−23 ·−22=−22 · −23 ·−22 =
=−27=−2 7
e)  513 :59  :  510 :5 8 · 57 :55
 513 :59  :  510 :58  · 57 :55=54 :52 ·57 :55=52 · 57 :55=59 :55=5 4
2
f) 4 18 :  47  · 45
2
4 18 :  47  · 45=418 : 414 · 45=4 4 · 4 5=4 9
2 5
g)  610  :  6 4 
2 5
 610  :  6 4  =6 20 :6 20=60=1
3 2
k) 1531 :  158  ·15 4 :  153 
3 2
1531 :  158  ·15 4 :  15 3 =1531 :15 24 ·15 4 :156 =157 · 154 :156=1511 :156 =155

20. 4
l) [ −4 2 ] : [−49 :−43 ] ·−42
[ −4 2 ] : [−4 9 :−43 ] ·−42=−48 :−46 · −42=−42 ·−42 =−44 =4 4
4
m) −157 : [ 35 ·−55 ]
−157 : [ 35 ·−55 ]=−157 :−155=−152 =152

2 3 4
3 3 3
ñ) · ·
5 5 5
 
2 3 4 9 9
3 3 3 3 3
· · = = 9
5 5 5 5 5

5 3 6 2
3 3 3 3
o) · : ·
8 8 8 8
   
5 3 6 2 8 6 2 2 2 4
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 34
· : · = : · = · = = 4
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
[  ] [     ] [   ]
9 5 28 4 2 9
3 3 3 3
p) : : :
7 7 7 7
[  ] [     ] [   ]            
9 5 28 4 2 9 45 24 18 21 18 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 33
: : : = : : = : = = 3
7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7
[   ] [     ] [  ]
3 20 28 14 5 3
3 3 3 3
q) : · :
4 4 4 4
[  ] [    ] [   ]            
3 20 28 14 5 3 60 42 15 18 15 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 33 27
: · : = : : = : = = 3=
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 64
    
7 5 6 4
4 4 4 4
r) - · - : - · -
3 3 3 3
              
7 5 6 4 12 6 4 6 4 10 10
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
- · - : - · - =- : - · - =- · - =- = 10
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
[  ] [    ] [   ]
9 5 28 4 2 10
5 5 5 5
s) - : - : - : -
7 7 7 7
[  ] [    ] [   ]          
9 5 28 4 2 10 45 24 20 20 20
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
- : - : - : - =- : - : - =- : - =-
7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

21. 22.- Calcula:
a) 37· 4−−23−6
37· 4−−23 −6=318−−8−6=3288−6=39−6=33
b) −1027 :3 2 · 5−2
2
−1027 :3 · 5−2=−1027 :9· 5−2=−103· 5−2=−1015−2=15−12=3
c) 47−52−−42−18 :3  :2
47−52−−42−18 :3  :2=422−−16−6: 2=44−−22 :2=4411=19
2
d) 32− [ 1− 12−32  ] · 6 :3
2 2
32− [ 1− 12−3  ] · 6 :3=32−[ 1−12−9 ] · 6 :3=32−[ 1−3 ] · 6 :3 =
2 2
= 32−1−32 · 6 :3=32−−22 · 6 :3=32−4 · 6 :3=32−24 : 3=32−8=24
e) −53· 4−25
−53 · 4−25=−512−32=12−37=−25
2
f) 34 ·  82−5 ·12 
2
34 ·  82−5 ·12  =34 ·  64−60  =34 · 4 2=34 · 16=364=67
2
g) 62 −24 :6 :2
2
6 −24 :6 :2=36−4 : 2=36−2=34
4
h)  32  : [−2−−52 ] : 32
4
 32  : [−2−−52 ] : 32=38 : [ −2−25 ] :3 2=38 :−2−25:3=38 ·−27 :32=3 8 :−33 :3 2 =
= −38 :−33 :−32=−35 :−32=−33=−33=−27
2
i) [  82 −1  : 32 ] 5 · [ 34−17 ]
2
[  82 −1  : 32 ] 5· [ 34−17]= [ 64−1 :9 ]25 ·34−17=63 :925 · 17=7 285 =
= 4985=134
j) 102 −4 ·5 2−53
2 2 3
10 −4 ·5 −5 =100−4· 25−125=100−100−125=100−225=−125
k) −57 · 47 :−107
7 7 7 7 7 7
−5 · 4 :−10 =[ −5· 4 :−10 ] =[ −20 :−10 ] =2

22. 2
l) −93 ·9 2 : [  −9 2 ]
−93 ·9 2 : [ −9  ] =−93 ·−92 :−94=−95 :−94=−9
2 2
2
m) [−32:−23 ] · 4
2 2 2
[−32:−23 ] · 4=[−2 5 :−23 ]2 · 2 2=[ −25 :−23 ] ·−22=[ −22 ] ·−22 =
= −24 ·−22=−26=26=64
Potencias de exponente entero
23.- Calcula:
a) 3−3
−3 1 1
3 = =
33 27

−2
3
b)
7
 
−2 2 2
3 7 7 49
= = 2=
7 3 3 9
c) −7−2
1 1 1
−7−2= = 2=
−7 7 49
2
d) 7−2
1 1
7−2 = =
7 2 49
e) 1−11
−11 1 1
1 = = =1
111 1
f) −1−7
1 1 1
−1−7= = 7= =−1
7
−1 −1 −1
g) −1−6
1 1 1
−1−6= = 6 = =1
−1 1 1
6

23. h) −7−3
1 1 1
−7−3= 3
= 3 =- 3
−7 −7 7

−5
2
i)
5
 
−5 5
2 5 55
= = 5
5 2 2
 
−3
3
j) -
2
   
−3 3 3
3 2 2 8
- =- =- 3 =-
2 3 3 27
 
−2
3
k) -
2
   
−2 2
3 2 22 4
- =- = 2=
2 3 3 9
 
−3
3
l)
−4
   
−3 3 3
3 4 4 64
=- =- 3 =-
−4 3 3 27

−2
1
m)
3
 
−2 2
1 3 32 9
= = 2 = =9
3 1 1 1

−3
1
n)
5

−3
1
=53=125
5

−1
5
ñ)
3

−1
5 3
=
3 5

24. 24.- Expresa en base dos:
a) 0,59

9
1
=2−9
9
0,5 =
2
b) 0,253

3
1 −3
0,253= =4−3= 2 2  =2−6
4
c) 0,5−4

−4
1
0,5−4 = =24
2
d) 0,25−6

−6
1 6
0,25−6= =4 6= 22  =212
4
Operaciones combinadas con potencias de exponente entero
25.- Calcula:
−6
a) 11−4 :116 ·  11−2 
−6
11−4 :116 ·  11−2  =11−4−6 · 1112 =11−10 · 1112=11−1012=112=121

3 4
2 2
b) :
5 5
  
3 4 3−4 −1
2 2 2 2 5
: = = =
5 5 5 5 2
 
−2 −1
1 1
c) ·
7 7
 
−2 −1
1 1
1 · =72 · 7=7 3
7 7
    
−2 −1 −2−1 −2−1 −3
1 1 1 1 1
2 · = = = =73
7 7 7 7 7
−2
d) [  −4  2 ]
1 1
[ −4 2 ]
−2 −4
= −4  = 4
= 4
−4 4

25. [  ]
0 −9
3
e)
4
[  ]  
0 −9 0
3 3
= =1
4 4
 
−1 −3
2 2
f) ·
3 3
   
−1 −3 3 4 4
2 2 3 3 3 3 81
1 · = · = = 4=
3 3 2 2 2 2 16
     
−1 −3 −1−3 −1−3 −4 4 4
2 2 2 2 2 3 3 81
2 · = = = = = 4=
3 3 3 3 3 2 2 16
g) 6−3 :6−2

3 2
−3 1 1 1
−2
1 6 :6 = : =
6 6 6
1
2 6−3 :6−2=6−3−−2 =6−32=6−1=
6
h) −2−2 ·−2−3
1 1 1 1 1 1
1 −2−2 ·−2−3= · = = 5 =- 5 =-
2 3 5
−2 −2 −2 −2 2 32
−2 −3 −2−3 −2−3 −5 1 1 1 1
2 −2 ·−2 =−2 =−2 =−2 = = 5 =- 5 =-
5
−2 −2 2 32
i) 4−3 : 4−1
−3 −1 −3−−1 −31 −2 1 1
1 4 : 4 =4 =4 =4 = =
4 16
2
−3 −1 1 1 4 1 1
2 4 :4 = : = 3= 2 =
4 4 4 4 16
3
j) −72 :−74
2 4 2−4 −2 1 1 1
−7 :−7 =−7 =−7 = = 2=
−7 7 49
2
k) 4 3 : 44
1
4 3 : 44 =4 3−4=4−1=
4

26. 
−2
1
l) :3
3

−2
1
: 3=32 :3=3
3
 
−5 3
5 2
m) ·
2 5
   
−5 3 5 3 8
5 2 2 2 2 28
· = · = = 8
2 5 5 5 5 5

4 −2
2 3
n) :
3 2
  
4 −2 4 2 2 2
2 3 2 2 2 2 4
: = : = = 2=
3 2 3 3 3 3 9
 
−1 2
4 3 4
ñ) · ·
3 4 3
   
−1 2 2 4
4 3 4 4 4 4 4 44
· · = · · = = 4
3 4 3 3 3 3 3 3
 
−3 5 3
1 1 1
o) : ·
8 8 8
       
−3 5 3 −3−5 3 −8 3 −83 −5
1 1 1 1 1 1 1 1 1
: · = · = · = = =85
8 8 8 8 8 8 8 8 8
p) −4−2 : [ −46 · −4−3 ] ·−45 · −4−4
−4−2 : [ −46 · −4−3 ] ·−45 · −4−4=−4−2 :−43 ·−4 5 ·−4−4 =
=−4 −2 −3 ·−45 · −4−4=−4−5 ·−45 ·−4−4=−4−55 · −4−4 =
1 1
=−4 0 ·−4−4=−4−4 = 4
= 4
−4 4
[  ]     [  ]
2 3 −5 4 −2 6
5 5 5 5
q) : : :
7 7 7 7
[  ]     [  ]              
2 3 −5 4 −2 6 6 −5 4 −12 6−−5  4 −12
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
: : : = : : : = : : =
7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7
       
6 5 4 −12 11 4 −12 7 −12 7−−12 712 19 19
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
= : : = : : = : = = = = 19
7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

27. Notación científica
26.- Expresa en notación científica:
a) 12.000.000.000.000
12.000.000.000.000=1,2 ·10 13
b) 7.000.000.000.000.000.000.000
21
7.000.000.000.000.000.000.000=7 ·10
c) 254.000.000
254.000.000=2,54 · 108
d) 0,00000078
−7
0,00000078=7,8· 10
e) 24,5
24,5=2,45 ·10
f) 0,015
0,015=1,5 · 10−2
g) 99
99=9,9· 10
h) 150.000.000
8
150.000.000=1,5 · 10
i) 311
311=3,11 · 102
j) 6,024
6,024=6,024
k) 0,0001
−4
0,0001=1 · 10
l) 482,6
482,6=4,826· 102

28. m) 0,000232
0,000232=2,32 ·10−4
n) 427.200
5
427.200=4,272· 10
ñ) 0,328
0,328=3,28· 10−1
o) 289,5
2
289,5=2,895 ·10
27.- Expresa en notación decimal:
a) 8· 108
8
8· 10 =800.000.000
b) 3,12 ·10 5
5
3,12 ·10 =312.000
c) 4,18 · 10−6
−6
4,18 · 10 =0,00000418
d) 1,001· 103
3
1,001· 10 =1.001
e) 3,8 ·10−2
−2
3,8 ·10 =0,038
f) 3,28 ·10
3,28 ·10=32,8
g) 2,525 ·10 7
7
2,525 · 10 =25.250.000
h) 3,248· 103
3
3,248 ·10 =3.248

29. i) 1· 10−5
−5
1· 10 =0,00001
j) 5,525· 102
2
5,525· 10 =552,5
k) 3,48 ·10−6
−6
3,48 ·10 =0,00000348
l) 6,324 ·10 4
4
6,324 ·10 =63.240
m) 2,18 ·10−4
−4
2,18 ·10 =0,000218
n) 1,1111· 102
2
1,1111· 10 =111,11
ñ) 9,9 ·10−18
−18
9,9 ·10 =0,0000000000000000099
o) 9,6589 ·10−12
−12
9,6589 ·10 =0,0000000000096589
Cuadrados perfectos y raíces cuadradas
28.- Determina si son cuadrados perfectos:
a) 64
82=64⇒ 64 ; número cuadrado perfecto
b) 70
82=647081=9 2 ⇒ 70 ; número no cuadrado perfecto
c) 100
2
10 =100⇒ 100 ; número cuadrado perfecto
d) 225
2
15 =225⇒ 225 ; número cuadrado perfecto

30. e) 111
2 2
10 =100111121=11 ⇒111 ; número no cuadrado perfecto
f) 24
2 2
4 =162425=5 ⇒ 24 ; número no cuadrado perfecto
g) 16
4 2=16 ⇒16 ; número cuadrado perfecto
h) 50
2 2
7 =495064=8 ⇒50 ; número no cuadrado perfecto
i) 169
132=169 ⇒169 ; número cuadrado perfecto
j) 84
2 2
9 =8184100=10 ⇒ 84 ; número no cuadrado perfecto
k) 144
122 =144⇒ 144 ; número cuadrado perfecto
l) 120
2 2
10 =100120121=11 ⇒120 ; número no cuadrado perfecto
29.- Escribe todos los cuadrados perfectos que hay entre 200 y 300.
200225=152256=16 2289=172300
30.- Escribe como suma de dos cuadrados perfectos los siguientes números:
a) 17
17=116=12 4 2
b) 29
29=425=2 252
c) 41
2 2
41=1625=4 5
2 2
d) 109 109=9100=3 10

31. 31.- Calcula la raíz cuadrada y el resto de los siguientes números:
a) 7
2 2=479=32 ⇒  7=2 r=7−2 2=7−4=3
b) 39
6 =363949=7 ⇒  39=6
2 2 2
r =39−6 =39−36=3
c) 13
32=91316=42 ⇒  13=3 r =13−3 2=13−9=4
d) 55
7 =495564=8 ⇒  55=7
2 2 2
r =55−7 =55−49=6
e) 110
102 =100110121=112 ⇒  110=10 r=110−10 2=110−100=10
f) 10
3 =91016=4 ⇒  10=3
2 2 2
r=10−3 =10−9=1
g) 75
8 =647581=9 ⇒  75=8
2 2 2
r=75−8 =75−64=11
h) 92
9 =8192100=10 ⇒  92=9
2 2 2
r =92−9 =92−81=11
i) 140
11 =121140144=12 ⇒  140=11
2 2 2
r =140−11 =140−121=19
j) 67
8 =646781=9 ⇒  67=8
2 2 2
r=67−8 =67−64=3
k) 109
102 =100109121=112 ⇒  109=10 r=109−102=109−100=9
l) 124
11 =121124144=12 ⇒  124=11
2 2 2
r =124−11 =124−121=3

32. Algoritmo de la raíz cuadrada
32.- Calcula:
a)  520
22
5 20
–4 42 · 2 = 84
120
– 84  520=22 ; r =36
2
r= 36 Comprobación: 22 36=48436=520
b)  6.321
79
63 21
– 49 149 · 9 = 1.341
1421
– 1341  6.321=79 r =100
r= 100 Comprobación: 792 =6.241100=6.341
c)  15.361
123
1 53 61
–1 22 · 2 = 44
053
– 44 243 · 3 = 729
0961
– 729  15.361=123 ; r =232
r= 232 Comprobación: 1232=15.129232=15.361
d)  375.484
612
37 54 84
– 36 121 · 1 = 121
0154
– 121 1222 · 2 = 2.444
03384  375.484=612 ; r =940
– 2444 Comprobación:
2
r= 0940 612 940=374.544940=375.484

33. e)  324
18
3 24
–1 28 · 8 = 224
224
– 224  324=18 ; r =0 ⇒raìz cuadrada exacta
r= 000 Comprobación: 182=324
f)  7.275
85
72 75
– 64 165 · 5 = 825
0875
– 825  7.275=85 ; r=50
r= 050 Comprobación: 852=7.22550=7.275
g)  83.083
288
8 30 83
–4 48 · 8 = 384
430
– 384 568 · 8 = 4.544
04683  83.083=288 ; r=139
– 4544 Comprobación:
r= 0139 288 2139=82.944139=83.083
h)  715.517
845
71 55 17
– 64 164 · 4 = 656
0755
– 656 1685 · 5 = 8.425
09917  715.517=845 ; r=1.492
– 8425 Comprobación:
r= 1492 84521.492=714.0251.492=715.517

34. i)  468.864
684
46 88 64
– 36 128 · 8 = 1.024
1088
– 1024 1364 · 4 = 5.456
006464  468.864=684 ; r=1.008
– 5456 Comprobación:
r= 1008 6842 1.008=467.8561.008=468.864
j)  62.413
249
6 24 13
–4 44 · 4 = 176
224
– 176 489 · 9 = 4.401
04813  62.413=249 ; r =412
– 4401 Comprobación:
r= 0412 249 2412=62.001412=62.413
33.- Determina el número de cifras que puede tener el radicando cuando la raíz cuadrada tiene:
a) 1 cifra
raíz cuadrada ; 1 cifra ⇒ radicando ; 1 ó 2 cifras Ejemplos: 8, 24
b) 2 cifras
raíz cuadrada ; 2 cifras ⇒ radicando ; 3 ó 4 cifras Ejemplos: 518, 6.124
c) 3 cifras
raíz cuadrada ; 3 cifras ⇒ radicando ; 5 ó 6 cifras Ejemplos: 42.325, 715.124
d) 4 cifras
raíz cuadrada ; 4 cifras ⇒ radicando ; 7 ó 8 cifras Ejemplos: 3.422.123, 24.615.724
34.- Sin resolver, determina el número de cifras de los siguientes números:
a) 957
radicando ; 3 cifras ⇒ raíz cuadrada ; 2 cifras

35. b) 5.843
radicando ; 4 cifras ⇒ raíz cuadrada; 2 cifras
c) 18.302
radicando ; 5 cifras ⇒ raíz cuadrada ; 3 cifras
d) 508.270
radicando ; 6 cifras ⇒ raíz cuadrada ; 3 cifras
Raíces cuadradas de números decimales
35.- Calcula:
a)  4.215 ; aproximando a las décimas
64,9
42 15
– 36 124 · 4 = 496
0615
– 496 1289 · 9 = 11.601
11900
– 11601
r= 00299 r =299 :100=2,99
Comprobación :
64,92 2,99=4.212,012,99=4.215
b)  39 ; aproximando a las centésimas
6,24
39
– 36 122 · 2 = 244
0300
– 244 1244 · 4 = 4.976
05600
– 4976
r= 0624 r =624 :10.000=0,0624
Comprobación :
6,24 20,0624=38,93760,0624=39

36. c)  137,05
11,7
1 37, 05
–1 21 · 1 = 21
037
– 21 227 · 7 = 1.589
1605
– 1589
r= 0016 r =16 :100=0,16
Comprobación :
11,720,16=136,890,16=137,05
d)  976,37
31,2
9 76, 37
–9 61 · 1 = 61
076
– 61 622 · 2 = 1.244
1537
– 1244
r= 0293 r =293 :100=2,93
Comprobación :
31,22 2,93=973,442,93=976,37
e)  78,134
8,83
78, 13 40
– 64 168 · 8 = 1.344
1413
– 1344 1763 · 3 = 5.289
006940
– 5289
r= 1651 r =1.651 :10.000=0,1651
Comprobación :
8,8320,1651=77,96890,1651=78,134

37. f)  2,3748
1,54
2, 37 48
–1 25 · 5 = 125
137
– 125 304 · 4 = 1.216
01248
– 1216
r= 0032 r =32 :10.000=0,0032
Comprobación :
1,542 0,0032=2,37160,0032=2,3748
g)  214,8
14,6
2 14, 80
–1 24 · 4 = 96
114
– 96 286 · 6 = 1.716
01880
– 1716
r= 0164 r =164 :100=1,64
Comprobación :
14,62 1,64=213,161,64=214,8
h)  21,315
4,61
21, 31 50
– 16 86 · 6 = 516
0531
– 516 921 · 1 = 921
01550
– 921
r= 0629 r =629 :10.000=0,0629
Comprobación :
4,61 20,0629=21,25210,0629=21,315

38. i)  0,37852
0,615
0, 37 85 20
– 36 121 · 1 = 121
0185
– 121 1225 · 5 = 6.125
06420
– 6125
r= 0295 r =295 :100.000=0,000295
Comprobación :
0,6152 0,000295=0,3782250,000295=0,37852
j)  3,0405
1,74
3, 04 05
–1 27 · 7 = 189
204
– 189 344 · 4 = 1.376
01505
– 1376
r= 0129 r =129 :10.000=0,0129
Comprobación :
1,742 0,0129=3,02760,0129=3,0405
k)  26,321
5,13
26, 32 10
– 25 101 · 1 = 101
0132
– 101 1023 · 3 = 3.069
03110
– 3069
r= 0041 r =41:10.000=0,0041
Comprobación :
5,1320,0041=26,31690,0041=26,321

39. l)  1,34523
1,159
1, 34 52 30
–1 21 · 1 = 21
034
– 21 225 · 5 = 1.125
1352
– 1125 2.309 · 9 = 20.781
022730
– 20781
r= 01949 r =1.949 :100.000=0,001949
Comprobación :
1,15920,001949=1,3432810,001949=1,34523
Raíces cuadradas de operaciones
36.- Escribe como potencia de una raíz y calcula:
a)  363
 363=   36  =6 3
3
b)  647
7 7
 647 =  64  =8 7= 2 3  =2 21
c)  35 · 
625
3
 
625 625
 
2
=  3 4 · 625=  3 4 · 54 =  3· 5  =  152  =   152  =152
2
 35 · 3
= 35 ·
3
4
d)  323 :  23
3 3
 323 :  23=  323 : 23= 32 :23= 163=  16  =4 3= 22  =26=64
e)  74
 74 =  72  = 7 2  =72=49
2 2
f)  813
3 3
 813=  81  =93= 3 2  =36

40. g)  42
 4 2=  4  =4
2
h) 2 4 2
  2  =   2  =2 =16
2
4 2 4 4
i)  3 
2 3
  3  =  3  =3 =27
3
2 3 2 3
j)  25 · 34
 25 · 34= 5 2 · 32 · 3 2=  5· 3 ·3 2= 45 2=  45  =45
2
k)  26 · 49
 26 · 49= 22 · 22 · 22 · 72= 56 2=  56  =56
2
l)  1003 : 64
 1003 :64= 100 3 : 43=  100 : 4 3= 25 3=  25  =5 3=125
3
37.- Calcula:
a)  900
 900= 9· 100= 9·  100=3· 10=30
b)  3.600
 3.600= 36· 100= 36 ·  100=6 ·10=60
c)  10.000
 10.000= 100 · 100= 100 ·  100=10 · 10=100
d)  64 ·9
 64 · 9= 64 ·  9=8 · 3=24
e)  121· 16
 121· 16= 121 ·  16=11 · 4=44
f)  81· 100 · 25
 81· 100 · 25= 81 · 100 ·  25=9· 10 ·5=450

41. g)  225 ·196
 225 ·196= 225 ·  196=15 ·14=210
h)  40 ·  10
 40 ·  10=  40 ·10= 400= 4 · 100= 4 · 100=2· 10=20
i)  256 :  16
 256 :  16= 256 :16= 16=4
j)  25 · 36:9
 25 · 36: 9= 25 ·  36 :  9=5 · 6: 3=30 :3=10
k)  100 :4 · 49
 100 :4 · 49= 100 :  4 ·  49=10: 2 ·7=5 ·7=35
l)  8.100
 8.100= 81 · 100=9 · 10=90
m)  441
 441= 32 ·7 2= 32 ·  72=3 · 7=21
441 3
147 3
49 7
7 7
1
n)  1.225
 1.225= 52 · 72= 5 2 ·  72=5· 7=35
1.225 5
245 5
49 7
7 7
1

42. ñ)  4.356
 4.356= 2 2 · 32 ·11 2= 2 2 ·  32 · 112 =2 · 3· 11=66
4.356 2
2.178 2
1.089 3
363 3
121 11
11 11
1
o)  100 · 49
 100 · 49= 100 ·  49=10 ·7=70
p)  9 ·16 · 144
 9 ·16 · 144= 9 ·  16·  144=3· 4· 12=144
q)  256 :64
 256 :64= 256 :  64=16 :8=2
r)  400 : 25
 400 : 25= 400:  25=20: 5=4
2
s)   24  :  64
  24  :  64=  2 4 2 :  26 = 28 :  26=  28 : 26=  22 =2
2
38.- Determina el valor de las letras:
a)  25 ·  4=  x
 25 ·  4= x ⇒  25 · 4=  x ⇒ 100= x ⇒ x=100
b)  4 ·  x= 36
36
 4 ·  x= 36 ⇒  4 x= 36 ⇒ 4 x =36⇒ x= ⇒ x=9
4
c)  x= 64 :  16
 x= 64 : 16 ⇒  x= 64 :16⇒  x=  4 ⇒ x =4

43. 3
d)  8:   x  =1
 8:   x  =1⇒  8=  x  ⇒  23= x 3 ⇒ x=2
3 3
39.- Calcula:
a)
9
16
 9 9 3
= =
16  16 4
b)
 1
4
 1 1 1
= =
4 4 2
c)
 81
49
 81  81 9
= =
49  49 7
d)
 50
2
 50
2
= 25=5
e)
 36
100
 36
=
 36 = 6 = 3
100 100 10 5
f)
144
81
 144 144 12 4
81
= = =
81 9 3
g)
 9
64
 9
=
9 =3
64 64 8

44. h)
 36
144
 36
=
 36 = 6 = 1
144 144 12 2
i)
 49
100
 49
=
 49 = 7
100 100 10
j)
 25
4
 25  25 5
4
= =
4 2
Operaciones combinadas con potencias y raíces
40.- Calcula:
a) 6 9: 3 81
6  9: 3 81=63 :39=619=16
b) 23 ·  18−32−12
23 ·  18−32−12 =23·  18−9−1=23 ·  9−1=23· 3−1=29−1=11−1=10
2
c) −25[ 3· −21 :  49  ]
2
−25 [ 3· −21 :  49  ] =−25 [ 3· −21: 7  ] =−25[ 3· −3  ] =−25−92 =
2 2
=−2581=56
d) 2 3 49 · 32
2  49 · 3 =87 ·9=863=71
3 2
e)  100−36:  16− 251
 100−36: 16− 251= 64 :  16−  251=8: 4−51=2−51=3−5=−2
f) −4·  942 −−63 :12
−4·  94 2−−63 :12=−4 ·  916−−216:12=−4·  2518=−4 ·518 =
=−2018=−2

45. g) 2 3 81:3
2  81:3=89 :3=83=11
3
h) 3 ·  5 2−4  :  49
3 ·  5 2−4  :  49=3· 25−4:7=3· 21:7=63 :7=9
i) 4 2 :823 −12: −57 · 3− 4
4 : 82 −12:  −57 · 3−  4=16 : 88−12 : −521−2=28−12 :  16−2 =
2 3
= 28−12 : 4−2=28−3−2=10−5=5
Resolución de problemas
41.- Razona si son ciertas estas igualdades:
a) −63 ·−63=−66
−63 ·−63=−633=−66 Verdadero
b) −63 ·−63=36 3
3
−63 ·−63=36 3 ⇒ [ −6·−6 ] =363 Verdadero
c) [  −9  4 ] =−93 
3 4
{ }
3
[ −9 4 ] =−912=912 ⇒ [ −9 4 ] 3=−93 4 Verdadero
4 4
−9 3  = 93  =912
42.- Las siguientes expresiones representan el número 25.800.000. ¿Cuál está escrita en notación
científica?
a) 25,8 ·10 6 b) 2,58 ·10 7
c) 258 ·10 5 d) 0,258 ·108
2,58 ·10 7
43.- Razona si son ciertas estas afirmaciones:
a) La raíz cuadrada exacta de un cuadrado perfecto es él mismo.
 64=8≠64  Falsa
b) El resto de una raíz cuadrada exacta es cero.
 64=8 r =64−82=64−64=0Verdadera
44.- Encuentra un número cuyo cuadrado sea 256.
x 2 =256 ⇔  256=x ⇒ x=16

46. 45.- Calcula un número tal que su raíz cuadrada entera es 16 y el resto 9.
 x=16 r =9 ⇒ x =1629=2569=264
46.- La raíz cuadrada exacta de un número es 21. ¿Cuál es el número?
 x=21⇔ x=21 2 ⇒ x=441
47.- ¿Existe la raíz cuadrada de un número entero negativo?
{ }
12=1 ⇒ ∃ −1
−12=1
{ }
22 =4 ⇒∃ −4
−22 =4
{
32=9 ⇒∃  −9
−32=9 }

No existe la raíz cuadrada de un número entero negativo
48.- El cubo de un cuadrado perfecto, ¿es otro cuadrado perfecto?
3 2
13=  12  = 13  =12 ⇒13 ; cuadrado perfecto
3 2
43= 22  = 2 3 =82 ⇒ 43 ; cuadrado perfecto
3 2
9 3= 32  = 33  =272 ⇒9 3 ; cuadrado perfecto
2 3 3 2
16 = 4  = 4  =64 ⇒16 ; cuadrado perfecto
3 2 3

3 2
 n2  = n 3  ⇒ cuadrado perfecto

El cubo de un cuadrado perfecto es otro cuadrado perfecto
49.- ¿En qué número terminan los cuadrados perfectos?
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0
1 1
2 4
3 9
4 6
5 5
6 6
7 9
8 4
9 1
Todo cuadrado perfecto termina en 0, 1, 4, 5, 6 ó 9

47. 50.- Razona si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:
a) La suma de dos cuadrados perfectos es otro cuadrado perfecto.
a 2b2≠ab 2 ⇒ no cuadrado perfecto ⇒ Falsa
b) El producto de dos cuadrados perfectos es otro cuadrado perfecto.
a 2 · b 2=a · b2 ⇒ cuadrado perfecto ⇒ Verdadera
51.- Encuentra todos los números comprendidos entre 1 y 10 que se pueden escribir como el
resultado de sumar las raíces cuadradas exactas de dos números enteros mayores que 0.
+ 1 4 9  16  25
1 2 3 4 5 6
4 3 4 5 6 7
9 4 5 6 7 8
 16 5 6 7 8 9
 25 6 7 8 9 10
2, 3, 4, 5, 7, 8, 9
52.- Si un folio lo doblamos por la mitad, obtenemos 2 partes iguales. Si lo volvemos a doblar,
obtenemos 4 partes iguales, y así sucesivamente. ¿Cuántas partes obtenemos si lo doblamos
10 veces?
21 =2 partes
2 2=4 partes
·· · ·· ·· · ·· ·· · ·· ·· · ·· ··
210 =1.024 partes
53.- Expresa en forma de potencia de base 10:
a) 1.000 kg
3
1.000 kg=10 kg
b) 0,001 mg
0,001 mg=10−3 mg
c) 10.000 m2
10.000 m2 =104 m2
d) 0,00001 cm2
2 −5 2
0,00001 cm =10 cm

48. e) 1.000.000 m
6
1.000.000 m=10 m
f) 0,0000001 cm
−7
0,0000001 cm=10 cm
g) 1 m3
3 0 3
1 m =10 m
h) 0,000000000001 g
−12
0,000000000001 g =10 g
54.- La capacidad de almacenamiento de un ordenador se mide en bytes y sus múltiplos. Sus
equivalencias se expresan en el sistema de numeración binario:
1 kilobyte=1 kb=210 bites
10
1 megabyte=1 Mb=2 kb
10
1 gigabyte=1 Gb=2 Mb
Calcula a cuántos bytes equivalen 1 Mb y 1 Gb.
1 Mb=210 kb=210 · 2 10 bytes=2 20 bytes=1.048.576 bytes
1 Gb=210 Mb=210 · 2 20 bytes=2 30 bytes=1.073.741.824 bytes
55.- Los alumnos de 2º ESO van a sembrar azucenas y tulipanes en el patio. Quieren colocarlos
formando cuadrados y tienen 8 bulbos de azucenas y 20 de tulipanes.
a) ¿Cuál es el máximo cuadrado que pueden formar con cada tipo de planta? ¿Cuántas les
sobran?
b) ¿Cuál es el mínimo número de bulbos que deben plantar para conseguir los cuadrados sin
que sobre ninguno?
Azucenas 22 =489=32
4 azucenas para formar el máximo cuadrado
8 azucenas−4 azucenas=4 azucenas sobran
9 azucenas como mínimo para formar un cuadrado sin que sobren
Tulipanes 4 2=162025=5 2
16 tulipanes para formar el máximo cuadrado
20 tulipanes−16 tulipanes=4 tulipanes sobran
25 tulipanes como mínimo para formar un cuadrado sin que sobren

49. 56.- El cociente de dos potencias de igual exponente es (– 6)4, y el divisor, (– 2)4. Calcula el
dividendo.
4
D :−24 =−64 ⇒ D=−64 · −24=[ −6·−2 ] =124
57.- ¿A qué número hay que elevar 100 para obtener 1012?
x 12
100 x =1012 ⇒  102  =10 x ⇒10 2 x =1012 ⇒2 x=12⇒ x= ⇒ x=6
2
58.- En un cultivo había 128 bacterias. Pasado un tiempo se han convertido en 1.024. Si se duplican
cada hora, ¿cuántas horas han pasado?
128=27 ⇒ 7 horas
1.024=210 ⇒ 10 horas
10 horas−7 horas=3 horas
59.- En una clase de Educación Vial, un grupo de 2º de ESO va a construir las señales informativas
que tengan forma cuadrada. Deben hacerlas de forma que su área sea de 355.216 mm2.
¿Cuántos cm debe medir el lado?
A=355.216 mm 2 : 100=3.552,16 cm 2
A=l · l ⇒ A=l ⇒ l = A= 3.552,16 cm =59,6 cm
2 2
60.- ¿Cuál es el menor número de años que deben transcurrir desde 2011 para que el año sea un
cuadrado perfecto? ¿Cuántos años del tercer milenio son cuadrados perfectos?
44 2=1.93620112.025=452
2.025−2.011=14 años deben transcurrir
45 2=2025 46 2=2116 472=2209 482=2304 49 2=2401 502 =2500 512=2601
2 2 2
52 =2704 53 =2809 54 =2916⇒ 10 años cuadrados perfectos
61.- Halla el número de CD que tiene Pablo sabiendo que es la menor cantidad que hay que restar a
8.561 para obtener un cuadrado perfecto.
 8.561=92 ⇒ 922=8.4648.561⇒ r =8561−8.464=97 CD
62.- Se quiere alambrar una parcela cuadrada de 1.225 m2 de superficie. ¿Cuántos metros de tela
metálica hay que comprar?
A=l ⇒ l = A=  1.225 m =35 m
2 2
Perímetro=4 l =4 · 35 m=140 m de tela metálica
63.- Se quiere construir un cuadrado con cuadraditos de 1 cm de lado. ¿Cuántos cm mide el lado del
cuadrado si se hace con 121 cuadraditos?
A=121 cuadraditos ⇒l= 121=11 cuadraditos=11 cm el lado del cuadrado

50. 64.- Un embalse tiene una capacidad de 3.160 hm3. ¿Qué cantidad de litros de agua puede contener?
3.160 hm3 ·1.000.000.000=3.160.000.000.000 dm3=3.160.000.000.000 l=3,16 ·1012 l
65.- Un año luz es la distancia que recorre la luz en un año. La velocidad de la luz en el vacío es de
300.000 km/s. Calcula a cuántos km equivale un año luz.
1 año=365 diás· 24=8.760 h· 60=525.600 min ·60=31.536.000 s
300.000 km/ s · 31.536.000 s=9.460.800.000.000 km≃9,5· 1012 km