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Solucionarioexamen mep

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Solucionarioexamen mep

  1. 1. Solucionario Examen del MEP Setiembre, 2014 1. Si los n´umeros son n, n + 1, n + 2 tenemos que la suma de los cuadrados de los dos menores (n2 + (n + 1)2) equivale al mayor aumentado en 20 (n + 2 + 20). As´ı 2n2 +2n+1 = n2 +(n+1)2 = n+2+20 = n+22 ⇒ 2n2 +n−21 = 0 ⇒ n = 3 o n = −7/2 Como n es entero n = 3, entonces n + 1 = 4, n + 2 = 5 o sea los n´umeros son 3,4,5. Respuesta B 4 2. ´Area es largo por ancho, largo l, ancho a. Entonces 28 = l · a, y largo excede en 4,5 a la medida del ancho (l = a + 4, 5). Sustituyendo 28 = l·a = (a+4,5)a = a2 +4,5a ⇒ a2 +4, 5a−28 = 0 ⇒ a = −8o a = 3, 5 como a es positivo (longitud) a = 3, 5. Respuesta A) 3,5 3. x = edad de Jos´e, a la edad de Jos´e se le suma el cuadrado de la misma (+x2) y al disminuirle 58 se obtiene 124, entonces x + x2 − 58 = 124 Vemos que II no representa la edad de Jos´e, luego x + x2 − 58 = 124 ⇒ x2 + x − 182 ⇒ x = 13 o x = −14 ⇒ Jos´e no tiene m´as de 15 a˜nos. Respuesta B. 4. Si x es el n´umero, x2 = 3x + 54 ⇒ x2 − 3x − 54 = 0 ⇒ x = −6 o x = 9 como x es negativo, x = −6 Respuesta A) 6 5. Si los n´umeros naturales son a y b, entonces a−b = 9, a2+b2 = 725 cambiando a por 9+b en la segunda ecuaci´on (b + 9)2 + b2 = 725 ⇒ 2b2 + 18b + 81 = 725 ⇒ 2b2 + 18b − 644 = 0 ⇒ b = −23 o b = 14, b es natural entonces b = 14, a = 23. 1
  2. 2. Respuesta C) 14 6. El ´area est´a en funci´on del radio, por lo que depende del radio y el radio no depende de otro parametro, por lo que es independiente. Respuesta A) Ambas 7. Basta ver que g(0) = −1 /∈ R+. Si x /∈ Z, f(x) /∈ Z+, por ejemplo f(1/2) = 11/2 /∈ Z+ . Respuesta B) Ninguna 8. Por cada hora trabajada gana 4500, entonces en h horas gana 4500 · h. En 80 horas habr´a ganado 80 · 4500 = 360000 > 350000. Respuesta A) Ambas 9. Se puede ver que el cero tiene dos preim´agenes, se ve que el valor de f en 0 es 1, por lo que uno est´a en el ´ambito de f. Respuesta A) Ambas 10. Se necesita que el n´umero dentro de la raiz no sea negativo, o sea −3 − x ≥ 0 ⇔ −3 ≥ x ⇔ x ∈ [−∞, −3]. Respuesta C) ] − ∞, −3] 11. A la derecha f crece hasta infinito, a´si que su ambito no es [−1, 1]. Se ve que f empieza en -2 y se extiende indefinidamente a la derecha, su ambieto si es [−2, ∞[. Respuesta D) Solo la II 12. Simplemente el denominador de f no se debe anular, se necesita x+3 = 0 o sea x = −3. Respuesta C) R − {−3} 2
  3. 3. 13. Como la funci´on es decreciente, el m debe ser negativo. El b representa la intersecci´on de la recta con el eje y(f(0) = b) se ve que se intersecan en el semiplano superior y as´ı b es positivo. Respuesta C) Solo la I. 14. Tenemos los puntos en la grafica (0,300) y (200,400), si nuestra gr´afica es y = mx + b entonces m = 400−300 200−0 = 1 2 y b = 300 la intersecci´on con el eje y, luego evaluando en 1000, y(1000) = 1 21000 + 300 = 800. Respuesta B) 800 15. Como (-1,5) pertenece al g´afico significa que −m − 2 = f(−1) = 5 ⇒ m = −7 Respuesta B) -7 16. Se ve que el dominio de la funci´on va desde −∞ a 0, as´ı que 1 no est´a en el dominio Los puntos (-1,1) y (0,2) est´an en la recta, as´ı que la ecuaci´on de la recta es y = mx+b, con m = 2−1 0−(−1) = 1, as´ı que y(−3) = −3 + 2 = −1, o sea (-3,-1) es parte del gr´afico de f. Respuesta D) Solo la II 17. Tenemos que sin producir hay un costo de 104 000, o sea que (0,104 000) est´a en la g´argica de este costo, y adem´a al producir 1000 boligrafos el costo es 364 000, o sea que (1000,364 000) est´a en la grafica. Entonces C(x) = mx + b, con b = 104000 donde se interseca con el eje y, y m = 364000−104000 1000−0 = 260. Respuesta B) C(x) = 260x + 104000 18. Despues de tres a˜nos su precio es 9000 dolares, o sea 9000 = P(3) = p1(1 − 0, 2 · 3) = p1(1 − 0, 6) = p1 · 0, 4 ⇒ p1 = 9000/0, 4 = 22500. Respuesta D) 22500 19. Si la cantidad de personas es x, entonces g(x) = 1080, o sea 8x − 600 = 1080 ⇒ 8x = 1680 ⇒ x = 210 Respuesta B) 210 3
  4. 4. 20. Vemos que (0,3) y (1,0) estan en d, por lo que d = −3x+3 con k es paralela a d, entonces k = −3x + b pero como el punto (2,3) est´a en k se tiene que 3 = −3 · 2 + b, as´ı b = 9 luego, la intersecci´on con el eje y es el punto (0, b). Respuesta B) (0, 9) 21. Vemos que los puntos (0, −4), (3, 0) est´an sobre l1, a´si que l1 = 4 3x − 4 como l2 es perpendicular a l1 se tiene que l2 = −3 4x + b y como (2, 1) est´a sobre l2 se tiene que 1 = −3 42 + b ⇒ b = 5 2 luego el punto de intersecci´on de l2 con el eje y es (0, b). Respuesta B) (0, 5 2). 22. Por producir y vender una corbata se genera 5000 - 1000 = 4000, luego si x es la cantidad de corbatas vendidas, la cantidad que gana la empresa ser´a P(x) = 4000x − 800000 es una funci´on creciente y se ve que interseca el eje x es (200,0) que es cuando no hay perdida ni ganancia, al vender una corbata m´as ya se obtiene alguna ganancia. Respuesta C) 201 23. Vemos que la segunda ecuaci´on es la primera multiplicada por 4, as´ı el sistema es equivalente a x − 2y = 5 que tiene una cantidad infinita de soluciones, por lo tanto es tanto consistente como dependiente. Respuesta A) Ambas 24. Un funci´on cuadratica es c´oncava hacia abajo si obtiene su m´aximo en el v´ertice, de lo contrario, si no es c´oncava hacia abajo es c´oncava hacia arriba y obtiene su m´ınimo en el v´ertice, como en el v´ertice (2,9) est´a sobre el punto (0,3) la funci´on no alcanza m´ınimo en el vertice, o sea que alcanza un m´aximo y por lo tanto es c´oncava hacia abajo. Por ser c´oncava hacia abajo, la funci´on es creciente desde −∞ a 2 (la coordenada del vertice) y decreciente de 2 a +∞ (incluye de 3 a +∞) Respuesta A) Ambas 25. Como su coeficiente principal es negativo, f es c´oncava hacia abajo, crece desde −∞ a la coordenada x vertice que es −b 4a en este caso 4, y luego decrece. A´si alcanza su punto m´aximo en x = 4 y el m´ınimo en alg´un extremo del intervalo, se tiene que f(0) = 0, f(4) = 16 y f(6) = 12, vemos que su m´ınimo es 0 y su m´aximo es 16. Respuesta B) [0, 16] 4
  5. 5. 26. La funci´on es c´oncava hacia arriba, y su m´ımino lo alcanza en 0, ya que x2 ≥ 0 entonces el su vertice est´a en (0, f(0)) = (0, 0). el discriminante de la cuadr´atica es 0, as´ı que solo interseca el eje x una vez. Respuesta A) Ambas 27. Usando la formula el eje de sim´etria est´a en x = − b 2a = 9. Respuesta D) Solo la II 28. En el v´ertice de est´a cuadr´atica, que es concava hacia abajo, se alcanza el m´aximo, este vertice esta en x = − 400 −2 = 200 luego el m´aximo es f(200) = 40000 Respuesta C) 40 000 29. A los 0 segundos la piedra esta´a a la misma altura que el edificio, por lo que la altura del edificio es h(0) = 30. El discriminante de la cuadr´atica es ∆ = 998, como la funci´on es c´oncava hacia abajo su m´aximo (la altura m´axima que alcanza la piedra) es − ∆ 4a = 998 19, 6 < 55. Respuesta C) Solo la I 30. La cuadr´atica es c´oncava hacia abajo por lo que su coeficiente principal es negativo. La cuadr´atica interseca el eje x dos veces as´ı que su discriminante es positivo. Respuesta B) Ninguna 31. Para que una funci´on sea invertible (y en particular f−1 lo es), debe ocurrir que sea sobreyectiva; y esto a su vez significa que su codominio es igual a su ´ambito; y ambos son iguales al dominio de f; luego la primera proposici´on es verdadera. La segunda tambi´en ser´ıa verdadera pues debe ocurrir que f−1 sea una funci´on biyectiva, osea que su dominio y codominio tienen la misma cantidad de elementos. Por tanto la respuesta correcta es la A. 32. Vea que la intersecci´on de f con el eje y es b; osea 2. Y la intersecci´on con el eje x es −b m ; qu en este caso dar´ıa 6. Por tanto la funci´on pasa por los puntos (0, 2) y (6, 0), osea que la respuesta correcta es la B. (Note que esta respuesta viene mala en la hoja de 5
  6. 6. respuestas). 33. La primera afirmaci´on es falsa, puesto que (0, 2) ∈ Gf−1 (con esto nos referimos a la gr´afica) implicar´ıa que (2, 0) ∈ Gf , dicho de otra manera, (0, 2) est´a en la gr´afica de f−1 es equivalente a que (2, 0) est´e en la gr´afica de f, y esto a su vez equivale a que f(2) = 0; pero vea que f(2) = −22 +2 = −2 = 0; por tanto la primera es falsa. Por otro lado, la segunda afirmaci´on s´ı es correcta, pues el ´ambito de una inversa es el dominio de la funci´on original. La respuesta ser´ıa entonces la opci´on D. A continuaci´on enunciamos resultados con respecto las funciones exponenciales. Si f(x) = ax, entonces: Si a > 1, f es creciente. Si a < 1, f es decreciente. a > 1 equivale a que la imagen del intervalo ] − ∞, 0[ es ]0, 1[ y que la imagen de ]0, ∞[ es ]1, ∞[. a < 1 equivale a que la imagen del intervalo ] − ∞, 0[ es ]1, ∞[ y que la imagen de ]0, ∞[ es ]0, 1[. 34. Para la primera parte, de las relaciones anteriores, una funci´on exponencial es creciente s´olo si su base es mayor a uno. En este caso la base es 1 5, que es menor a uno, luego f decrece. Por otro lado, si el ´ambito es (0, 1] y f decrece, el dominio es [0, +∞); osea que la segunda es verdadera y por tanto la respuesta correcta es la D. 35. Por las mismas f´ormulas del ejemplo anterior, se tiene que si el dominio de f es ]−∞, 0] con codominio [0, 1[; entonces f debe ser creciente y por tanto a > 1, que satisface la primera condici´on. Por otro lado, vea que, como −1 > −2, entonces como f es creciente; se debe tener que f(−1) > f(−2); que contradice la segunda afirmaci´on. Por tanto la respuesta correcta es la C. 36. Para la primera afirmaci´on, vea que f es decreciente pues su base es menor a uno. Luego, en +∞ la funci´on es as´ıntota a 0; y en −1 vale 4; como −1 va abierto en el dominio, 4 va abierto en el ´ambito y se obtiene que el codominio es ]0, 4[; osea que la afirmaci´on es verdadera. Con respecto a la segunda, vea que f(0) = 1, as´ı que esta es falsa. La opci´on 6
  7. 7. correcta ser´ıa por tanto la C. 37. Como a < 1, entonces la funci´on exponencial es decreciente y entonces obtiene valores entre 0 y 1 para cualquier n´umero positivo (por las f´ormulas anteriores). En particular se cumple la primera proposici´on: como 5 > 0, entonces 0 < f(5) < 1.Haciendo el ra- zonamiento contrario, si x < 0 es un valor negativo, la funci´on es mayor a uno en ese punto. Luego ambas son verdaderas y la respuesta correcta es la A. A continuaci´on enunciamos resultados con respecto las funciones logar´ıtmicas. Si f(x) = logb x, entonces: Si a > 1, f es creciente. Si a < 1, f es decreciente. a > 1 equivale a que la imagen del intervalo ]0, 1[ es ] − ∞, 0[ y que la imagen de ]1, ∞[ es ]0, ∞[. a < 1 equivale a que la imagen del intervalo ]1, ∞[ es ] − ∞, 0[ y que la imagen de ]0, 1[ es ]0, ∞[. 38. La primera afirmaci´on es verdadera por las proposiciones de arriba. La segunda es ver- dadera tambi´en por el mismo motivo por tanto la respuesta correcta es la A. (N´otese que se pueden intercambiar los intervalos de abiertos a cerrados en estas hip´otesis siempre que se respete el orden establecido, en este caso por ejemplo recordando que la imagen de 1 es cero, as´ı que o ambos van cerrados o ambos van abiertos; la ´ultima afirmaci´on de las f´ormulas que se mencionan arriba se traduce entonces como: a < 1 equivale a que la imagen del intervalo [1, ∞[ es ] − ∞, 0] y que la imagen de ]0, 1] es [0, ∞[). 39. Como a < 1, la funci´on es decreciente, luego, como 3 > 2, obtenemos que f(3) < f(2), as´ı que la primera afirmaci´on es verdadera. Con respecto a la segunda, la cuarta regla que damos atr´as implica que la imagen de los elementos mayores a uno es negativa, osea que x > 1 implica que f(x) < 0, que es contrario a lo que aparece en la hip´otesis. Por tanto solo la primera es correcta y la respuesta correcta es C. 40. Que f(x1) > f(x2) con x1 < x2 implica que f invierte el orden en las desigualdades, osea que f es decreciente. Luego 0 < b < 1, que confirma la primera opci´on. Por otro 7
  8. 8. lado, la cuarta afirmaci´on que damos arriba implica que, como 0 < b < 1, entonces la imagen de ]1, ∞[ es ] − ∞, 0[; lo que contradice la segunda parte del problema. Luego s´olo la 1 es verdadera y por lo tanto la respuesta correcta es la C. 41. La primera ecuaci´on logw 128 = 7 implica que w7 = 128 por tanto w = 128 1 7 = 2. La segunda ecuaci´on se transforma entonces en log4 x = −2 osea x = 4−2 = 1 16. Finalmente la respuesta correcta es la D. 42. La pregunta viene incompleta. Los c´alculos que se pueden realizar vienen a continuaci´on. Tenemos que: 2 logw 2 = 1 2 logw 2 = 1 4 2 = w 1 4 24 = w 16 = w. De la segunda ecuaci´on: 8log2(x) = 16 23 log2(x) = 24 3 log2(x) = 4 log2(x) = 4 3 x = 2 4 3 43. Observemos que: logw(81) = 4 81 = w4 3 = w Por otro lado, de la segunda ecuaci´on 8
  9. 9. log1 2 (x) = 3 x = 1 2 3 x = 1 8 Y por tanto la respuesta correcta seria la opci´on B. 44. Como AB = 20, y O es el centro de la circunferencia, se tiene que OA = 10 y esta es la medida del radio del c´ırculo. Por otro lado, vea que OD es tambi´en un radio, por tanto OD = 10. Como el tri´angulo ODA tiene un ´angulo de 60, obtenemos que debe ser un tri´angulo equil´atero; por tri´angulos especiales, se tiene que la distancia del punto medio de AD a O es la altura de ADO desde O, y por tanto este mide 10 √ 3 y la respuesta correcta es la D. 45. Como el di´ametro de C2 es la cuarta parte del di´ametro de C1, este debe medir 28, como el di´ametro es el doble del radio, este radio buscado debe ser de 14. Que ser´ıa la opci´on A. 46. Como el di´ametro de la rueda es de 120, entonces el radio mide 60. Luego la distancia m´ınima pedida debe ser la diferencia entre los dos radios, que resulta 60 − 10 = 50. La respuesta correcta ser´ıa entonces la A. 47. La distancia entre dos centros debe ser entonces la distancia entre las circunferencias m´as la suma de los dos radios que son la distancia desde el centro de dichos c´ırculos a sus circunferencias. La respuesta ser´ıa entonces 20 + 4 + 4 = 28. Que ser´ıa la opci´on C. 48. Veamos primero que la distancia entre la circunferencia m´as grande y la que est´a interior a esta es el di´ametro de las circunferencias peque˜nas, que debe medir 10. Por tanto, co- mo el radio de la circunferencia mayor es de 24, se tiene que el radio de la circunferencia interior es de 14; finalmente la distancia entre el centro de la circunferencia y el centro de las circunferencias peque˜nas es la suma de sus radios, es decir 14 + 5 = 19. Por tanto la respuesta correcta es la A. 9
  10. 10. 49. Si dos circunferencias son tangentes interiormente, entonces la distancia entre sus centros es la diferencia de sus radios. En este caso dicha diferencia ser´ıa r2 −r1 = 3r1 −r1 = 2r1; pero la hip´otesis del problema dice que esta distancia es de 10; por lo tanto 2r1 = 10 y por tanto r1 = 5. Entonces r2 el radio de C2 ser´ıa r2 = 3r1 = 15 y por lo tanto su di´ametro es 30. Y la respuesta correcta ser´ıa la opci´on D (Observe que esta tambi´en viene mala en el solucionario). 50. Por f´ormula, si la apotema de un pol´ıgono es a y su ´angulo central n; entonces el lado viene dado por l = 2a sin n 2 ; luego l = 2×15 sin 72 2 = 30 sin(36) = 17,6335; finalmen- te la cantidad de madera es aproximadamente 17,6335 × 5 = 88,17 y el valor que m´as se asemeja a este es 90, la opci´on C (esta tambi´en viene equivocada en el solucionario). 51. Por tri´angulos especiales un tri´angulo rect´angulo is´osceles de hipotenusa 12 √ 2 tiene lado 12, que ser´ıa la respuesta. Osea, la opci´on B. 52. Si la circunferencia mide 12π, elradio mide 12π 2π = 6. Pero en un hex´agono regular (debi- do a las f´ormulas) el radio mide lo mismo que el lado, por tanto el lado mide 6 tambi´en y por tanto el per´ımetro es de 36, que ser´ıa la opci´on A. 53. La f´ormula para el radio de un tri´angulo equil´atero en t´erminos de su lado est´a dada por r = l √ 3 3 . Si l = 6, entonces r = 6× √ 3 3 = 2 √ 3. Por tanto el ´area que se puede abarcar (por la f´ormula para el ´area de un c´ırculo) ser´ıa: (2 √ 3)2π = 12π. Es decir, la opci´on A. 54. La f´ormula para el ´area lateral es AL = π × r × g. Por la hip´otesis, tenemos que g = 15. Para calcular r despejamos πr2 = 49π que nos da r = 7. Por tanto AL = rgπ = 7 × 15 × π = 105π. Que ser´ıa la opci´on B. 55. La f´ormula para el ´area total de un cubo nos da que A = 6l2 = 6 × 302 = 5400; que ser´ıa la opci´on C. 56. La pregunta es equivalente a calcular el ´area total de una esfera, cuya f´ormula viene dada por A = 4πr2. En este caso r = 1, pues el di´ametro de la esfera es 2, luego su ´area total ser´ıa 4π × 12 = 4π. Osea, opci´on B. 10
  11. 11. 57. La primera no puede ser verdadera pues sin(π) = 0; no es igual a −1. La segunda s´ı es verdadera pues en este momento, seg´un la gr´afica, la funci´on llega a valer 1. Por tanto la respuesta ser´ıa s´olo la segunda, osea, opci´on D. 58. Vea que todos los d´ıas la marea est´a igual a una hora dada, por tanto a las 6 de la tarde del Martes, la marea estar´a igual que a las 6 del Domingo, y seg´un el gr´afico esto es en −1, el nivel m´as bajo posible. Por tanto la primera afirmaci´on es verdadera. Con respecto a la segunda, vea que el Lunes, de 6am a 6 pm, la marea est´a bajando (s´olo hay que ver la gr´afica para notarlo). En particular de 8 a 12 tambi´en est´a bajando, osea que es verdadera. Por tanto ambas afirmaciones son verdaderas y la respuesta es la A. 59. La primera es verdadera, pues si el ´angulo aumenta dibuja un radio m´as grande en el papel. La segunda tambi´ene es verdadera pues la altura del comp´as es 1, y si el radio tambi´en es 1, se forma un tri´angulo especial, cuyo ´angulo ser´ıa de π 4 . Por tanto la res- puesta es que ambas; la opci´on A. 11

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