Gribbin, John. - Historia de la ciencia, 1543-2001 [EPL-FS] [2019].pdf
INFORME MATEMATICA III.docx
1. ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS
a.- Función Homogénea: Diremos que la función 𝒇(𝒙,𝒚) es homogénea de grado
𝒌, 𝒙 e 𝒚 , sí y solo si, cumple la condición siguiente:
Ejemplos: Determinar cuál de las funciones son homogéneas.
1.- 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝒚𝟐
− 𝒚𝒙𝟐
𝒕𝒈(
𝒙
𝒚
) es homogénea de grado 3 en 𝑥 e 𝑦.
2.- 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝒚 + 𝒙𝟐
es homogénea de grado 2 en 𝑥 e 𝑦.
3.- 𝒇(𝒙, 𝒚) = √𝒙𝟒 − 𝒚𝟒
𝟒
es homogénea de grado 1 en 𝑥 e 𝑦.
4.- 𝒇(𝒙, 𝒚) =
𝒙𝟐
+𝒚𝟐
𝒙𝒚
es homogénea de grado 0 en 𝑥 e 𝑦.
5.- 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝟓𝒙𝒚𝟐
+ 𝒚𝒔𝒆𝒏𝒙 no es homogénea.
6.- 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒆𝒙
no es homogénea.
b.- Definición:
Diremos que una ecuación diferencial de primer orden y primer grado de
la forma:
𝑴(𝒙,𝒚)𝒅𝒙 + 𝑵(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎
Es homogénea si 𝑴(𝒙,𝒚) y 𝑵(𝒙, 𝒚) son homogéneas del mismo grado en 𝒙 e
𝒚.
Ejemplo. Las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias son
homogéneas.
1.- (𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐)𝒅𝒙 + 𝒙𝒚𝒅𝒚 = 𝟎
2.- (𝒙𝟑
+ 𝒚𝟐
√𝒙𝟑 − 𝒚𝟑
𝟑
)𝒅𝒙 + 𝒙𝒚√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐𝒅𝒚 = 𝟎
3.- (𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
− 𝒙𝒚 𝒂𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏(
𝒚
𝒙
))𝒅𝒙 − 𝒙𝟐
𝒄𝒐𝒔 (
𝒚
𝒙
)𝒅𝒚 = 𝟎
4.- 𝒙
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒚 + 𝟑𝒙𝒆
𝒙
𝒚
𝒇(𝝀𝒙, 𝝀𝒚) = 𝝀𝒌
𝒇(𝒙,𝒚)
𝑴(𝒙,𝒚)𝒅𝒙 + 𝑵(𝒙,𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎
2. EJEMPLO DE ECUACIÓN HOMOGÉNEA DE 2 GRADOS
EJEMPLO DE ECUACIÓN HOMOGÉNEA DE 0 GRADOS