Chapitre 1 :Introduction aux langages formels          Prof. A. Dargham         Facult´ des Sciences, Oujda               ...
Sommaire du chapitre 1     Alphabets, mots et langages     Op´rations sur les mots        e     Mono¨ıdes     Op´rations s...
Alphabets, mots et langages  Aphabets  D´finition 1.1   e  Un alphabet est un ensemble fini de symboles (ou lettres).  Exemp...
Alphabets, mots et langages  Mots  D´finition 1.3   e      Un mot sur l’alphabet A est une suite finie et ordonn´e,         ...
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Alphabets, mots et langages  Mot vide  D´finition 1.5   e      Sur tout alphabet A, on d´fini un mot, appel´ mot vide       ...
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Alphabets, mots et langages  Longueur d’un mot  D´finition 1.6   e      La longueur d’un mot w sur un alphabet A est le    ...
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Alphabets, mots et langages  Notations  Notations 1.8  Soient A un alphabet, u et w des mots sur A.       |w | = 0 ⇔ w = ε...
Alphabets, mots et langages  Langages  D´finition 1.9   e  Un langage L sur un alphabet A est un ensemble (vide, fini  ou in...
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Alphabets, mots et langages  Langages  D´finition 1.11   e      On note A∗ l’ensemble de tous les mots sur un alphabet     ...
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Op´rations sur les mots  e  Concat´nation ou produit        e  D´finition 1.12    e  Soit un alphabet A et u = u1 u2 ...un ...
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Op´rations sur les mots  e  Propri´t´s de la concat´nation        e e              e  Proposition 1.14    1 La concat´nati...
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Op´rations sur les mots  e  Sous-mots  D´finition 1.29    e  Soit A un alphabet. Un sous-mot u d’un mot w est une suite  ex...
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Op´rations sur les langages  e  Op´rations langagi`res    e               e                   ∗   1 Miroir : L ⊆ A : L = {...
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Ce chapitre est une introduction aux langages formels. Il aborde les notions de mots, alphabets, langages, opérations sur les mots et opérations sur les langages.

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Introduction aux langages formels

  1. 1. Chapitre 1 :Introduction aux langages formels Prof. A. Dargham Facult´ des Sciences, Oujda e Fili`re SMI- S4 e Universit´ Mohamed Premier e Septembre, 2012
  2. 2. Sommaire du chapitre 1 Alphabets, mots et langages Op´rations sur les mots e Mono¨ıdes Op´rations sur les langages e Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  3. 3. Alphabets, mots et langages Aphabets D´finition 1.1 e Un alphabet est un ensemble fini de symboles (ou lettres). Exemples 1.2 A = {0, 1} A = {a, b, c, ..., x, y , z} A = {if , else, a, b} A = {←, →, ↑, ↓} Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  4. 4. Alphabets, mots et langages Mots D´finition 1.3 e Un mot sur l’alphabet A est une suite finie et ordonn´e, e ´ventuellement vide, d’´l´ments de l’alphabet. e ee Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  5. 5. Alphabets, mots et langages Mots D´finition 1.3 e Un mot sur l’alphabet A est une suite finie et ordonn´e, e ´ventuellement vide, d’´l´ments de l’alphabet. e ee C’est une concat´nation de symboles. e Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  6. 6. Alphabets, mots et langages Mots D´finition 1.3 e Un mot sur l’alphabet A est une suite finie et ordonn´e, e ´ventuellement vide, d’´l´ments de l’alphabet. e ee C’est une concat´nation de symboles. e Exemples 1.4 A = {0, 1}. 10001 et 11 sont deux mots sur A. A = {a, b, c, ..., x, y , z}. ”smi ” et ”tlc” sont deux mots sur A. A = {if , else, a, b}. if a else b est un mot sur A. A = {←, →, ↑, ↓}. ←←→↓↑← est un mot sur A. Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  7. 7. Alphabets, mots et langages Mot vide D´finition 1.5 e Sur tout alphabet A, on d´fini un mot, appel´ mot vide e e correspondant ` une s´quence vide de symboles de A. a e Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  8. 8. Alphabets, mots et langages Mot vide D´finition 1.5 e Sur tout alphabet A, on d´fini un mot, appel´ mot vide e e correspondant ` une s´quence vide de symboles de A. a e Ce mot est unique pour tout les alphabets, et on le note par ε. Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  9. 9. Alphabets, mots et langages Longueur d’un mot D´finition 1.6 e La longueur d’un mot w sur un alphabet A est le nombre de symboles constituant ce mot. On la note par |w |. Le mot vide ε est de longueur 0. Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  10. 10. Alphabets, mots et langages Longueur d’un mot D´finition 1.6 e La longueur d’un mot w sur un alphabet A est le nombre de symboles constituant ce mot. On la note par |w |. Le mot vide ε est de longueur 0. Exemples 1.7 Sur A = {0, 1} : |10001| = 5 et |11| = 2. Sur A = {if , else, a, b}. |if a else b| = 4. Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  11. 11. Alphabets, mots et langages Notations Notations 1.8 Soient A un alphabet, u et w des mots sur A. |w | = 0 ⇔ w = ε. Si |w | = n ≥ 1, on note par wi le i eme symbole de w , et l’on ´crit w = w1 w2 ...wn . e On note par |w |u le nombre d’occurrences du mot u dans le mot w : c’est le nombre de fois o` le mot u apparaˆ u ıt dans w comme facteur. Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  12. 12. Alphabets, mots et langages Langages D´finition 1.9 e Un langage L sur un alphabet A est un ensemble (vide, fini ou infini) de mots sur A. Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  13. 13. Alphabets, mots et langages Langages D´finition 1.9 e Un langage L sur un alphabet A est un ensemble (vide, fini ou infini) de mots sur A. Exemples 1.10 A = {0, 1} : L = {0, 00, 10, 000, 010, 100, ...} est un langage sur A. A = {a, b}. Le langage des mots sur A de longueur inf´rieure ` 3 est L = {a, b, aa, ab, ba, bb}. e a Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  14. 14. Alphabets, mots et langages Langages D´finition 1.11 e On note A∗ l’ensemble de tous les mots sur un alphabet A. Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  15. 15. Alphabets, mots et langages Langages D´finition 1.11 e On note A∗ l’ensemble de tous les mots sur un alphabet A. C’est aussi un langage sur A (appel´ langage universel e sur A). Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  16. 16. Alphabets, mots et langages Langages D´finition 1.11 e On note A∗ l’ensemble de tous les mots sur un alphabet A. C’est aussi un langage sur A (appel´ langage universel e sur A). Un ensemble L est alors un langage sur A, si et seulement si L ⊆ A∗ . Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  17. 17. Op´rations sur les mots e Concat´nation ou produit e D´finition 1.12 e Soit un alphabet A et u = u1 u2 ...un et v = v1 v2 ...vm deux mots sur A de longueurs respectives n et m. La concat´nation de u et de v consiste ` ”coller” le mot v e a juste apr`s le mot u. On obtient un mot de longueur n + m, e not´ u.v ou tout simplement uv : uv = u1 u2 ...un v1 v2 ...vm . e Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  18. 18. Op´rations sur les mots e Concat´nation ou produit e D´finition 1.12 e Soit un alphabet A et u = u1 u2 ...un et v = v1 v2 ...vm deux mots sur A de longueurs respectives n et m. La concat´nation de u et de v consiste ` ”coller” le mot v e a juste apr`s le mot u. On obtient un mot de longueur n + m, e not´ u.v ou tout simplement uv : uv = u1 u2 ...un v1 v2 ...vm . e Exemples 1.13 A = {0, 1}, u = 101 et v = 001. Alors uv = 101001 et vu = 001101 Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  19. 19. Op´rations sur les mots e Propri´t´s de la concat´nation e e e Proposition 1.14 1 La concat´nation est associative : e ∀u, v , w ∈ A∗ : (uw )w = u(vw ) = uvw Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  20. 20. Op´rations sur les mots e Propri´t´s de la concat´nation e e e Proposition 1.14 1 La concat´nation est associative : e ∀u, v , w ∈ A∗ : (uw )w = u(vw ) = uvw 2 Le mot vide ε est l’´l´ment neutre de la concat´nation : ee e ∀u ∈ A∗ : uε = εu = u Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  21. 21. Op´rations sur les mots e Propri´t´s de la concat´nation e e e Proposition 1.14 1 La concat´nation est associative : e ∀u, v , w ∈ A∗ : (uw )w = u(vw ) = uvw 2 Le mot vide ε est l’´l´ment neutre de la concat´nation : ee e ∀u ∈ A∗ : uε = εu = u 3 La concat´nation n’est pas commutative. e Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  22. 22. Op´rations sur les mots e Propri´t´s de la concat´nation e e e Proposition 1.14 1 La concat´nation est associative : e ∀u, v , w ∈ A∗ : (uw )w = u(vw ) = uvw 2 Le mot vide ε est l’´l´ment neutre de la concat´nation : ee e ∀u ∈ A∗ : uε = εu = u 3 La concat´nation n’est pas commutative. e ∗ 4 ∀u, v ∈ A : |uv | = |vu| = |u| + |v |. Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  23. 23. Op´rations sur les mots e Puissance D´finition 1.15 e Soient A un alphabet, n un nombre entier et w un mot sur A. On d´finit la puissance neme du mot w par : e ε si n = 0; wn = w n−1 w si n ≥ 1. Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  24. 24. Op´rations sur les mots e Puissance Exemples 1.16 Soit A = {a, b} et w = bab. w0 = ε. w1 = w 0 w = w = bab. w2 = w 1 w = ww = babbab. w3 = w 2 w = www = babbabbab. Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  25. 25. Op´rations sur les mots e Propri´t´s de la puissance e e ∀w ∈ A∗ : w 0 = ε. ∀w ∈ A∗ , ∀n, m ≥ 0 : (w n )m = w nm . ∀w ∈ A∗ , ∀n, m ≥ 0 : w n w m = w n+m . ∀w ∈ A∗ , ∀n ≥ 0 : |w n | = n|w |. Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  26. 26. Op´rations sur les mots e Egalit´ de deux mots e D´finition 1.17 e Deux mots u et v sur un mˆme alphabet A sont ´gaux e e (u = v ), si et seulement si : ils ont la mˆme longueur : |u| = |v | (disons un entier n). e l’ordre des symboles dans u est identique ` celle dans v . a Autrement dis, u = v si et seulement si ui = vi , pour tout i allant de 1 ` n o` n = |u| = |v |. a u Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  27. 27. Op´rations sur les mots e Miroir D´finition 1.18 e Soit A un alphebt et w un mot sur A. Le miroir de w , not´ w est le mot obtenu en inversant l’ordre des e symboles dans w . Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  28. 28. Op´rations sur les mots e Miroir D´finition 1.18 e Soit A un alphebt et w un mot sur A. Le miroir de w , not´ w est le mot obtenu en inversant l’ordre des e symboles dans w . Voici une d´finition r´cursive du miroir d’un mot : e e ε si w = ε; w= au si w = ua, u ∈ A∗ , a ∈ A. Exemples 1.19 Soit w = ababca sur A = {a, b, c}. Alors w = acbaba. Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  29. 29. Op´rations sur les mots e Propri´t´s du miroir e e Proposition 1.20 w = w (le miroir est une op´ration involutive). e uv = v u. |w | = |w |. Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  30. 30. Op´rations sur les mots e Palindromes D´finition 1.21 e Un mot w sur un alphabet A est un palindrome si w est identique ` son miroir, c’est-`-dire, si w = w . a a Exemples 1.22 1001, 10101 sont des palindromes sur A = {0, 1}. radra, ´t´, non et ici sont des palindromes Fran¸ais. e e c Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  31. 31. Op´rations sur les mots e Facteurs D´finition 1.23 e Soit A un alphabet. On dit qu’un mot u est un facteur d’un mot w si, w = xuy pour certains mots x ∈ A∗ et y ∈ A∗ . Exemples 1.24 Soit w = abca sur A = {a, b, c}. Les facteurs de w sont : ε, a, b, c, ab, bc, ca, abc, bca, abca = w . Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  32. 32. Op´rations sur les mots e Pr´fixes e D´finition 1.25 e Soit A un alphabet. On dit qu’un mot u est un pr´fixe ou e facteur gauche d’un mot w si, w = uv pour un certain mot v ∈ A∗ . Exemples 1.26 Soit w = abca sur A = {a, b, c}. Les pr´fixes de w sont : e ε, a, ab, abc, abca = w . Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  33. 33. Op´rations sur les mots e Suffixes D´finition 1.27 e Soit A un alphabet. On dit qu’un mot u est un suffixe ou facteur droit d’un mot w si, w = vu pour un certain mot v ∈ A∗ . Exemples 1.28 Soit w = abca sur A = {a, b, c}. Les suffixes de w sont : ε, a, ca, bca, abca = w . Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  34. 34. Op´rations sur les mots e Sous-mots D´finition 1.29 e Soit A un alphabet. Un sous-mot u d’un mot w est une suite extraite de w . Autrement dis, on obtient le mot u en supprimant un certain nombre (´ventuellement nul) de e symboles de w . Exemples 1.30 Soit w = abca sur A = {a, b, c}. Les sous-mots de w sont : ε, a, b, c, aa, ab, ac, ba, bc, ca, aba, abc, aca, abca = w . Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  35. 35. Op´rations sur les mots e Facteur, pr´fixe, suffixe et sous-mot propre e D´finition 1.31 e Soit A un alphabet. Un facteur (resp. pr´fixe, suffixe ou e sous-mot) propre d’un mot w est un facteur (resp. pr´fixe, e suffixe ou sous-mot) u tel que u = ε et u = w . On note par : Fact(w ) : l’ensemble des facteurs de w . Pref (w ) : l’ensemble des pr´fixes de w . e Suff (w ) : l’ensemble des suffixes de w . SMots(w ) : l’ensemble des sous-mots de w . Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  36. 36. Mono¨ ıdes Mono¨ ıdes Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  37. 37. Mono¨ ıdes Mono¨ ıdes D´finition 1.32 e Un mono¨ est un ensemble E muni d’une loi de ıde composition interne qui soit : Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  38. 38. Mono¨ ıdes Mono¨ ıdes D´finition 1.32 e Un mono¨ est un ensemble E muni d’une loi de ıde composition interne qui soit : associative. Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  39. 39. Mono¨ ıdes Mono¨ ıdes D´finition 1.32 e Un mono¨ est un ensemble E muni d’une loi de ıde composition interne qui soit : associative. et possedant un ´l´ment neutre. ee Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  40. 40. Mono¨ ıdes Mono¨ ıdes D´finition 1.32 e Un mono¨ est un ensemble E muni d’une loi de ıde composition interne qui soit : associative. et possedant un ´l´ment neutre. ee Exemples 1.33 (IN, +, 0) est un mono¨ ıde. Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  41. 41. Mono¨ ıdes Mono¨ ıdes D´finition 1.32 e Un mono¨ est un ensemble E muni d’une loi de ıde composition interne qui soit : associative. et possedant un ´l´ment neutre. ee Exemples 1.33 (IN, +, 0) est un mono¨ ıde. (IN, ×, 1) est un mono¨ ıde. Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  42. 42. Mono¨ ıdes Mono¨ ıdes D´finition 1.32 e Un mono¨ est un ensemble E muni d’une loi de ıde composition interne qui soit : associative. et possedant un ´l´ment neutre. ee Exemples 1.33 (IN, +, 0) est un mono¨ ıde. (IN, ×, 1) est un mono¨ ıde. (A∗ , ., ε) le langage universel sur A muni de la concat´nation est un mono¨ e ıde. Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  43. 43. Mono¨ ıdes Sous-mono¨ ıdes Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  44. 44. Mono¨ ıdes Sous-mono¨ ıdes D´finition 1.34 e Un sous-mono¨ d’un mono¨ (E , ) est une partie ıde ıde X ⊆ E , qui munie de la mˆme loi de composition sur E , est e un mono¨ıde. Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  45. 45. Mono¨ ıdes Sous-mono¨ ıdes D´finition 1.34 e Un sous-mono¨ d’un mono¨ (E , ) est une partie ıde ıde X ⊆ E , qui munie de la mˆme loi de composition sur E , est e un mono¨ıde. Proposition 1.35 (X , ) est un sous-mono¨ de (E , ıde , e) si et seulement si : Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  46. 46. Mono¨ ıdes Sous-mono¨ ıdes D´finition 1.34 e Un sous-mono¨ d’un mono¨ (E , ) est une partie ıde ıde X ⊆ E , qui munie de la mˆme loi de composition sur E , est e un mono¨ıde. Proposition 1.35 (X , ) est un sous-mono¨ de (E , ıde , e) si et seulement si : X ⊆ E. Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  47. 47. Mono¨ ıdes Sous-mono¨ ıdes D´finition 1.34 e Un sous-mono¨ d’un mono¨ (E , ) est une partie ıde ıde X ⊆ E , qui munie de la mˆme loi de composition sur E , est e un mono¨ıde. Proposition 1.35 (X , ) est un sous-mono¨ de (E , ıde , e) si et seulement si : X ⊆ E. e ∈ X. Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  48. 48. Mono¨ ıdes Sous-mono¨ ıdes D´finition 1.34 e Un sous-mono¨ d’un mono¨ (E , ) est une partie ıde ıde X ⊆ E , qui munie de la mˆme loi de composition sur E , est e un mono¨ıde. Proposition 1.35 (X , ) est un sous-mono¨ de (E , , e) si et seulement si : ıde X ⊆ E. e ∈ X. X est stable pour la loi : x y ∈ X , ∀x, y ∈ X . Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  49. 49. Mono¨ ıdes Ensembles de g´n´rateurs e e Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  50. 50. Mono¨ ıdes Ensembles de g´n´rateurs e e D´finition 1.36 e Une partie F ⊆ E d’un d’un mono¨ (E , ) est un ensemble ıde de g´n´rateurs de (E , ), si tout ´l´ment de E {e} e e ee s’exprime sous forme d’une d´composition d’´l´ments de E . e ee Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  51. 51. Mono¨ ıdes Ensembles de g´n´rateurs e e D´finition 1.36 e Une partie F ⊆ E d’un d’un mono¨ (E , ) est un ensemble ıde de g´n´rateurs de (E , ), si tout ´l´ment de E {e} e e ee s’exprime sous forme d’une d´composition d’´l´ments de E . e ee Exemples 1.37 Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  52. 52. Mono¨ ıdes Ensembles de g´n´rateurs e e D´finition 1.36 e Une partie F ⊆ E d’un d’un mono¨ (E , ) est un ensemble ıde de g´n´rateurs de (E , ), si tout ´l´ment de E {e} e e ee s’exprime sous forme d’une d´composition d’´l´ments de E . e ee Exemples 1.37 {1} est un ensemble de g´n´rateurs de (IN, +). e e Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  53. 53. Mono¨ ıdes Ensembles de g´n´rateurs e e D´finition 1.36 e Une partie F ⊆ E d’un d’un mono¨ (E , ) est un ensemble ıde de g´n´rateurs de (E , ), si tout ´l´ment de E {e} e e ee s’exprime sous forme d’une d´composition d’´l´ments de E . e ee Exemples 1.37 {1} est un ensemble de g´n´rateurs de (IN, +). e e L’ensemble des nombres premiers est un ensemble de g´n´rateurs de (IN, ×). e e Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  54. 54. Mono¨ ıdes Ensembles de g´n´rateurs ind´pendants e e e Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  55. 55. Mono¨ ıdes Ensembles de g´n´rateurs ind´pendants e e e D´finition 1.38 e Si F ⊆ E est un ensemble de g´n´rateurs de (E , ) et si e e chaque ´l´ment x = e poss`de une d´composition unique ee e e dans E , alors F est dis un ensemble de g´n´rateurs e e ind´pendants de E . e Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  56. 56. Mono¨ ıdes Ensembles de g´n´rateurs ind´pendants e e e D´finition 1.38 e Si F ⊆ E est un ensemble de g´n´rateurs de (E , ) et si e e chaque ´l´ment x = e poss`de une d´composition unique ee e e dans E , alors F est dis un ensemble de g´n´rateurs e e ind´pendants de E . e Exemples 1.39 Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  57. 57. Mono¨ ıdes Ensembles de g´n´rateurs ind´pendants e e e D´finition 1.38 e Si F ⊆ E est un ensemble de g´n´rateurs de (E , ) et si e e chaque ´l´ment x = e poss`de une d´composition unique ee e e dans E , alors F est dis un ensemble de g´n´rateurs e e ind´pendants de E . e Exemples 1.39 {1} est un ensemble de g´n´rateurs ind´pendants de e e e (IN, +). Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  58. 58. Mono¨ ıdes Ensembles de g´n´rateurs ind´pendants e e e D´finition 1.38 e Si F ⊆ E est un ensemble de g´n´rateurs de (E , ) et si e e chaque ´l´ment x = e poss`de une d´composition unique ee e e dans E , alors F est dis un ensemble de g´n´rateurs e e ind´pendants de E . e Exemples 1.39 {1} est un ensemble de g´n´rateurs ind´pendants de e e e (IN, +). L’ensemble des nombres premiers n’est pas un ensemble de g´n´rateurs ind´pendants de (IN, ×). e e e Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  59. 59. Mono¨ ıdes Mono¨ ıdes libres Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  60. 60. Mono¨ ıdes Mono¨ ıdes libres D´finition 1.40 e Un mono¨ libre E est un mono¨ poss´dant un ensemble ıde ıde e de g´n´rateurs ind´pendants. e e e Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  61. 61. Mono¨ ıdes Mono¨ ıdes libres D´finition 1.40 e Un mono¨ libre E est un mono¨ poss´dant un ensemble ıde ıde e de g´n´rateurs ind´pendants. e e e Exemples 1.41 Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  62. 62. Mono¨ ıdes Mono¨ ıdes libres D´finition 1.40 e Un mono¨ libre E est un mono¨ poss´dant un ensemble ıde ıde e de g´n´rateurs ind´pendants. e e e Exemples 1.41 Si A est un alphabet non vide, alors A∗ est un mono¨ ıde libre. En effet, A est un ensemble de g´n´rateurs e e ind´pendants de A∗ . e Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  63. 63. Op´rations sur les langages e Op´rations ensemblistes e Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  64. 64. Op´rations sur les langages e Op´rations ensemblistes e D´finition 1.42 e Union : L, M ⊆ A∗ : L ∪ M = {w ∈ A∗ | w ∈ L ou w ∈ M} (not´ L + M en th´orie des langages). e e Proposition 1.43 Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  65. 65. Op´rations sur les langages e Op´rations ensemblistes e D´finition 1.42 e Union : L, M ⊆ A∗ : L ∪ M = {w ∈ A∗ | w ∈ L ou w ∈ M} (not´ L + M en th´orie des langages). e e Proposition 1.43 L’union est associative. Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  66. 66. Op´rations sur les langages e Op´rations ensemblistes e D´finition 1.42 e Union : L, M ⊆ A∗ : L ∪ M = {w ∈ A∗ | w ∈ L ou w ∈ M} (not´ L + M en th´orie des langages). e e Proposition 1.43 L’union est associative. L’union est commutative. Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  67. 67. Op´rations sur les langages e Op´rations ensemblistes e D´finition 1.42 e Union : L, M ⊆ A∗ : L ∪ M = {w ∈ A∗ | w ∈ L ou w ∈ M} (not´ L + M en th´orie des langages). e e Proposition 1.43 L’union est associative. L’union est commutative. L’union poss`de un ´l´ment neutre : ∅. e ee Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  68. 68. Op´rations sur les langages e Op´rations ensemblistes e D´finition 1.44 e Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  69. 69. Op´rations sur les langages e Op´rations ensemblistes e D´finition 1.44 e Intersection : L, M ⊆ A∗ : L ∩ M = {w ∈ A∗ | w ∈ L et w ∈ M}. Proposition 1.45 Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  70. 70. Op´rations sur les langages e Op´rations ensemblistes e D´finition 1.44 e Intersection : L, M ⊆ A∗ : L ∩ M = {w ∈ A∗ | w ∈ L et w ∈ M}. Proposition 1.45 L’intersection est associative. Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  71. 71. Op´rations sur les langages e Op´rations ensemblistes e D´finition 1.44 e Intersection : L, M ⊆ A∗ : L ∩ M = {w ∈ A∗ | w ∈ L et w ∈ M}. Proposition 1.45 L’intersection est associative. L’intersection est commutative. Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  72. 72. Op´rations sur les langages e Op´rations ensemblistes e D´finition 1.44 e Intersection : L, M ⊆ A∗ : L ∩ M = {w ∈ A∗ | w ∈ L et w ∈ M}. Proposition 1.45 L’intersection est associative. L’intersection est commutative. L’intersection poss`de un ´l´ment neutre : A∗ . e ee Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  73. 73. Op´rations sur les langages e Op´rations ensemblistes e Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  74. 74. Op´rations sur les langages e Op´rations ensemblistes e D´finition 1.46 e Compl´mentaire : L ⊆ A∗ : L = {w ∈ A∗ | w ∈ L}. e Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  75. 75. Op´rations sur les langages e Op´rations ensemblistes e D´finition 1.46 e Compl´mentaire : L ⊆ A∗ : L = {w ∈ A∗ | w ∈ L}. e D´finition 1.47 e Diff´rence : L, M ⊆ A∗ : LM = {w ∈ A∗ | w ∈ L et e w ∈ M}. Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  76. 76. Op´rations sur les langages e Op´rations langagi`res e e Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  77. 77. Op´rations sur les langages e Op´rations langagi`res e e 1 Concat´nation : e L, M ⊆ A∗ : L.M = LM = {w ∈ A∗ | w = uv , u ∈ L et v ∈ M}. Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  78. 78. Op´rations sur les langages e Op´rations langagi`res e e 1 Concat´nation : e L, M ⊆ A∗ : L.M = LM = {w ∈ A∗ | w = uv , u ∈ L et v ∈ M}. ∗ 2 Puissance : L ⊆ A et n ≥ 0 un entier. On d´finit la e puissance neme du langage L, not´ Ln , par : e Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  79. 79. Op´rations sur les langages e Op´rations langagi`res e e 1 Concat´nation : e L, M ⊆ A∗ : L.M = LM = {w ∈ A∗ | w = uv , u ∈ L et v ∈ M}. ∗ 2 Puissance : L ⊆ A et n ≥ 0 un entier. On d´finit la e puissance neme du langage L, not´ Ln , par : e {ε} si n = 0; Ln = n−1 L L si n ≥ 1. Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  80. 80. Op´rations sur les langages e Op´rations langagi`res e e 1 Concat´nation : e L, M ⊆ A∗ : L.M = LM = {w ∈ A∗ | w = uv , u ∈ L et v ∈ M}. ∗ 2 Puissance : L ⊆ A et n ≥ 0 un entier. On d´finit la e puissance neme du langage L, not´ Ln , par : e {ε} si n = 0; Ln = n−1 L L si n ≥ 1. Remarques 1.48 Ln repr´sente le langage de tous les mots obtenus en e concat´nant n mots pris dans L. e Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  81. 81. Op´rations sur les langages e Op´rations langagi`res e e Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  82. 82. Op´rations sur les langages e Op´rations langagi`res e e ∗ 1 Miroir : L ⊆ A : L = {w | w ∈ L}. Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  83. 83. Op´rations sur les langages e Op´rations langagi`res e e ∗ 1 Miroir : L ⊆ A : L = {w | w ∈ L}. ´ e ∗ 2 Etoile (ou Fermeture de Kleene) : not´e L et d´finie e par : L∗ = ∪∞ Ln = L0 ∪ L1 ∪ L2 ∪ ... = {ε} ∪ L ∪ L2 ∪ ... n=0 Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  84. 84. Op´rations sur les langages e Op´rations langagi`res e e ∗ 1 Miroir : L ⊆ A : L = {w | w ∈ L}. ´ e ∗ 2 Etoile (ou Fermeture de Kleene) : not´e L et d´finie e par : L∗ = ∪∞ Ln = L0 ∪ L1 ∪ L2 ∪ ... = {ε} ∪ L ∪ L2 ∪ ... n=0 3 ´ Etoile positive : not´´ L+ et d´finie par : ee e L+ = ∪∞ Ln = L1 ∪ L2 ∪ L3 ∪ ... = L ∪ L2 ∪ L3 ∪ ... n=1 Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  85. 85. Op´rations sur les langages e Quelques propri´t´s des op´rations sur les langages e e e Soit A un alphabet quelconque. 1 ∀L, M, N ⊆ A∗ : L(M + N) = LM + LN Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  86. 86. Op´rations sur les langages e Quelques propri´t´s des op´rations sur les langages e e e Soit A un alphabet quelconque. 1 ∀L, M, N ⊆ A∗ : L(M + N) = LM + LN 2 ∀L, M, N ⊆ A∗ : (M + N)L = ML + NL Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  87. 87. Op´rations sur les langages e Quelques propri´t´s des op´rations sur les langages e e e Soit A un alphabet quelconque. 1 ∀L, M, N ⊆ A∗ : L(M + N) = LM + LN 2 ∀L, M, N ⊆ A∗ : (M + N)L = ML + NL 3 ∀L, Mi ⊆ A∗ : L(∪∞ Mi ) = ∪∞ (LMi ) i=0 i=0 Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  88. 88. Op´rations sur les langages e Quelques propri´t´s des op´rations sur les langages e e e Soit A un alphabet quelconque. 1 ∀L, M, N ⊆ A∗ : L(M + N) = LM + LN 2 ∀L, M, N ⊆ A∗ : (M + N)L = ML + NL 3 ∀L, Mi ⊆ A∗ : L(∪∞ Mi ) = ∪∞ (LMi ) i=0 i=0 ∗ ∞ ∞ 4 ∀L, Mi ⊆ A : (∪i=0 Mi )L = ∪i=0 (Mi L) Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  89. 89. Op´rations sur les langages e Quelques propri´t´s des op´rations sur les langages e e e Soit A un alphabet quelconque. 1 ∀L, M, N ⊆ A∗ : L(M + N) = LM + LN 2 ∀L, M, N ⊆ A∗ : (M + N)L = ML + NL 3 ∀L, Mi ⊆ A∗ : L(∪∞ Mi ) = ∪∞ (LMi ) i=0 i=0 ∗ ∞ ∞ 4 ∀L, Mi ⊆ A : (∪i=0 Mi )L = ∪i=0 (Mi L) 5 ∀L, M, N ⊆ A∗ : L(M ∩ N) ⊆ LM ∩ LN Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  90. 90. Op´rations sur les langages e Quelques propri´t´s des op´rations sur les langages e e e Soit A un alphabet quelconque. 1 ∀L, M, N ⊆ A∗ : L(M + N) = LM + LN 2 ∀L, M, N ⊆ A∗ : (M + N)L = ML + NL 3 ∀L, Mi ⊆ A∗ : L(∪∞ Mi ) = ∪∞ (LMi ) i=0 i=0 ∗ ∞ ∞ 4 ∀L, Mi ⊆ A : (∪i=0 Mi )L = ∪i=0 (Mi L) 5 ∀L, M, N ⊆ A∗ : L(M ∩ N) ⊆ LM ∩ LN 6 ∀L ∈ A∗ : L+ = LL∗ = L∗ L Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  91. 91. Op´rations sur les langages e Quelques propri´t´s des op´rations sur les langages e e e Soit A un alphabet quelconque. 1 ∀L, M, N ⊆ A∗ : L(M + N) = LM + LN 2 ∀L, M, N ⊆ A∗ : (M + N)L = ML + NL 3 ∀L, Mi ⊆ A∗ : L(∪∞ Mi ) = ∪∞ (LMi ) i=0 i=0 ∗ ∞ ∞ 4 ∀L, Mi ⊆ A : (∪i=0 Mi )L = ∪i=0 (Mi L) 5 ∀L, M, N ⊆ A∗ : L(M ∩ N) ⊆ LM ∩ LN 6 ∀L ∈ A∗ : L+ = LL∗ = L∗ L 7 ∀L, M ∈ A∗ : (LM) = M L Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
  92. 92. Op´rations sur les langages e Quelques propri´t´s des op´rations sur les langages e e e Soit A un alphabet quelconque. 1 ∀L, M, N ⊆ A∗ : L(M + N) = LM + LN 2 ∀L, M, N ⊆ A∗ : (M + N)L = ML + NL 3 ∀L, Mi ⊆ A∗ : L(∪∞ Mi ) = ∪∞ (LMi ) i=0 i=0 ∗ ∞ ∞ 4 ∀L, Mi ⊆ A : (∪i=0 Mi )L = ∪i=0 (Mi L) 5 ∀L, M, N ⊆ A∗ : L(M ∩ N) ⊆ LM ∩ LN 6 ∀L ∈ A∗ : L+ = LL∗ = L∗ L 7 ∀L, M ∈ A∗ : (LM) = M L 8 ∀L ∈ A∗ : L = L Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels

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