1. República Bolivariana de Venezuela
Universidad Politécnica Territorial “Andrés Eloy blanco”
Ministerio del P.P para la Educación Universitaria, Ciencia y Tecnología
Barquisimeto –Edo. Lara.
Integrante: Darwin Marin
Materia: Matemática
Sección: 0202
Pnf: Contaduría Publica
Barquisimeto –Edo. Lara.

2. En matemáticas, un conjunto es una colección de
elementos con características similares considerada
en sí misma como un objeto. Los elementos de un
conjunto, pueden ser las
siguientes: personas, números, colores, letras,
figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro)
pertenece al conjunto si está definido como incluido
de algún modo dentro de él.
Los diversos polígonos en la imagen constituyen
un conjunto. Algunos de los elementos del
conjunto, además de ser polígonos son regulares.
La colección de estos últimos —los polígonos
regulares en la imagen— es otro conjunto, en
particular, un subconjunto del primero.
También un conjunto lo forman unos
elementos de la misma naturaleza, es decir,
elementos diferenciados entre sí pero que
poseen en común ciertas propiedades o
características, y que pueden tener entre
ellos, o con los elementos de otros conjuntos,
ciertas relaciones.

3. Las operaciones con conjuntos también
conocidas como álgebra de conjuntos, nos
permiten realizar operaciones sobre
los conjuntos para obtener otro conjunto. De
las operaciones con conjuntos veremos las
siguientes unión, intersección, diferencia,
diferencia simétrica y complemento.
‒ Unión o reunión de conjuntos.
Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos
para formar otro conjunto que contendrá a todos los
elementos que queremos unir pero sin que se repitan. Es
decir dado un conjunto A y un conjunto B, la unión de los
conjuntos A y B será otro conjunto formado por todos los
elementos de A, con todos los elementos de B sin repetir
ningún elemento. El símbolo que se usa para indicar la
operación de unión es el siguiente: ∪. Cuando usamos
diagramas de Venn, para representar la unió de conjuntos,
se sombrean los conjuntos que se unen o se forma uno
nuevo. Luego se escribe por fuera la operación de unión.

4. Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de
estos conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando
diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
También se puede graficar del siguiente modo:

5. Ejemplo 2.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la unión de estos
conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría
lo siguiente:
Ejemplo 3.
Dados dos conjuntos F={x/x estudiantes que juegan
fútbol} y B={x/x estudiantes que juegan básquet}, la
unión será F∪B={x/x estudiantes que juegan fútbol o
básquet}. Usando diagramas de Venn se tendría lo
siguiente:

6. Ejemplo 4.
Dados los dos conjuntos A={3, 5, 6, 7} y B={5,6}, en donde B está incluido en A, la
unión será AUB={3,5,6,7}. Usando diagramas de Venn se tendría
‒ Intersección de conjuntos.
Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo
con los elementos comunes involucrados en la operación.
Es decir dados dos conjuntos A y B, la de intersección de
los conjuntos A y B, estará formado por los elementos de
A y los elementos de B que sean comunes, los elementos
no comunes A y B, será excluidos. El símbolo que se usa
para indicar la operación de intersección es el siguiente:
∩.

7. Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la
intersección de estos conjuntos será A∩B={4,5}. Usando
diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Ejemplo 2.
Dados dos conjuntos A={x/x estudiantes que juegan
fútbol} y B={x/x estudiantes que juegan básquet}, la
intersección será F∩B={x/x estudiantes que juegan
fútbol y básquet}. Usando diagramas de Venn se tendría
lo siguiente:

8. En matemáticas, el conjunto de los números reales (denotado por ℜ ) incluye tanto a los números
racionales, (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales;​ y en otro
enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes​ (1970) no se pueden
expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras
decimales aperiódicas, tales como √5, π, o el número real log2, cuya trascendencia fue
enunciada por Euler en el siglo XVIII.
Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque
carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas
pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.
Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho
aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el
momento prescindían del rigor y fundamento lógico, tan
exigente en los enfoques teóricos de la actualidad, y se usaban
expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una
definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y
problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear
una base rigurosa para la matemática, la cual consistió
de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente
técnicas) del concepto de número real. En una sección
posterior se describirán dos de las definiciones precisas más
usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de
Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind.

9. La desigualdad matemática es aquella proposición que relaciona dos expresiones algebraicas
cuyos valores son distintos. Se trata de una proposición de relación entre dos elementos
diferentes, ya sea por desigualdad mayor, menor, mayor o igual, o bien menor o igual.
Cada una de las distintas tipologías de desigualdad debe ser expresada con diferente signo
desigual que ≠, mayor que >, menor que <, menor o igual que ≤, así como mayor o igual que
≥, resultando ambas expresiones de valores distintos y tendrá una reacción a operaciones
matemáticas diferente según su naturaleza.
Por lo tanto, si queremos explicar cuál es la finalidad de este concepto con el menor número
de palabras posibles diremos que; el objetivo de la desigualdad matemática es mostrar que dos
sujetos matemáticos expresan valores diferentes.

10. Ejemplos
Las desigualdades matemáticas están formadas, en la mayoría de ocasiones, por dos miembros
o componentes. Un miembro se encontrará a la izquierda del símbolo y el otro a la derecha.
Un ejemplo sería expresar: 4x – 2 > 9. Lo leeríamos diciendo que “cuatro veces nuestra
incógnita menos dos es superior a nueve”. Siendo el elemento 4x-2 el elemento A y 9 el
elemento B. La resolución nos mostraría que (en números naturales) la desigualdad se cumple
si x es igual o superior a 3 (x≥3).
Tipología de desigualdades
Existen dos tipos distintos de
desigualdades dependiendo de su nivel de
aceptación. Ninguna de ellas no incluye la
desigualdad general (≠). Son las siguientes:
Desigualdades estrictas: son aquellas que
no aceptan la igualdad entre elementos. De
este modo, entenderemos como
desigualdades de este tipo el “mayor que”
(>) o “menor que” (<).
Desigualdades amplias o no estrictas: todas aquellas
en las que no se especifica si uno de los elementos es
mayor/menor o igual. Por lo tanto, estamos hablando
de “menor o igual que” (≤), o bien “mayor o igual
que” (≥).

11. Propiedades
Para operar con desigualdades debemos conocer todas sus propiedades:
•Si los miembros de la expresión son multiplicados por el mismo valor, no cambia el signo de
la desigualdad: 4x – 2 > 9 = 3(4x-2) > 3·9
•Si los miembros de la expresión son divididos por el mismo valor, no cambia el signo de la
desigualdad: 4x – 2 > 9 = (4x-2)/3 > 9/3
•Si los miembros de la expresión son sumados o restados por el mismo valor, no cambia el
signo de la desigualdad: 4x – 2 > 9 = 4x-2 -3 > 9 - 3 / 4x – 2 > 9 = 4x-2 +3 > 9+3
Y también debes saber aquellas propiedades en las que la desigualdad sí que cambia de
sentido:
•Si los miembros de la expresión son multiplicados por un valor negativo, sí cambia de
sentido: 4x – 2 > 9 = -3(4x-2) < -3·9
•Si los miembros de la expresión son divididos por un
valor negativo, sí cambia de sentido:
4x – 2 > 9 = (4x-2) / -3 < 9/-3

12. En matemáticas, el valor absoluto o módulo de un número real X denotado por |X|, es el
valor no negativo de X sin importar el signo, sea este positivo o negativo.​ Así, 3 es el valor
absoluto de +3 y de -3.
El valor absoluto está vinculado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes
contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede
generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos
ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.
Grafica de la función
Valor Absoluto

13. Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto
con una variable dentro.
Desigualdades de valor absoluto (<):
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desiguales de valor absoluto, hay
dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor
absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor
absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos
dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números
reales a y b , si | a | < b , entonces a < b Y a > - b .

14. Ejemplo 1 :
Resuelva y grafique.
| x – 7| < 3
Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en
una desigualdad compuesta .
x – 7 < 3 Y x – 7 > –3
–3 < x – 7 < 3
Sume 7 en cada expresión.
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
4 < x <10
La gráfica se vería así:
Desigualdades de valor absoluto (>):
La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4.
Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es {x|x < -4 o >4 }
Cuando se resuelven desiguales de valor absoluto,
hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor
absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor
absoluto es negativa.

15. En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | > b ,
entonces a > b O a < - b .
Ejemplo 2 :
Resuelva y grafique.
|x+2| ≥ 4
Separe en dos desigualdades.
x+2 ≥ 4 o x+2 ≤ - 4
Reste 2 de cada lado en cada desigualdad.
x ≥ 2 o x ≤ - 6
La gráfica se vería así:

16. El plano cartesiano o Plano numérico está formado por dos rectas numéricas, una horizontal
y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o
de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan
recibe el nombre de origen.
El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se
representan por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando
un valor del eje de las "X" y uno de las "Y", respectivamente, esto indica que un punto se
puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa como:
P (x, y)

17. Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el
siguiente procedimiento:
1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la
derecha si son positivas o hacia a izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en
este caso el cero.
2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia
arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier
punto dadas sus coordenadas.

18. Ejemplos:
Localizar el punto A ( -4, 5 ) en el plano cartesiano. Este procedimiento también
se emplea cuando se requiere determinar las coordenadas de cualquier punto que
esté en el plano cartesiano.
Determinar las coordenadas del punto M.
Las coordenadas del punto M son (3,-5).

19. De lo anterior se concluye que:
Para determinar las coordenadas de un punto o localizarlo en el plano cartesiano, se
encuentran unidades correspondientes en el eje de las x hacia la derecha o hacia la izquierda
y luego las unidades del eje de las y hacia arriba o hacia abajo, según sean positivas o
negativas, respectivamente.
Doña Lupe nos ha dicho que su farmacia está dentro del centro de la ciudad .
Supongamos que deseamos saber la ubicación exacta de la farmacia de Doña Lupe Una
vez que ya estamos en el centro le preguntamos a un policía para que nos oriente. El policía
nos ha dicho que caminemos 5 cuadras hacía el este y 6 cuadras hacía el norte para llegar a la
farmacia. La cantidad de cuadras que tenemos que caminar las podemos entender como
coordenadas en un plano cartesiano.
Lo anterior lo podemos expresar en un plano cartesiano de la siguiente manera:
Para el problema planteado , el origen del plano será el punto de partida que es en donde le
preguntamos al policía sobre la ubicación de la farmacia.

20. Funciones lineales:
Esta clase de funciones tienen dos características esenciales:
Las variaciones entre dos valores de la variable independiente y la de sus correspondientes
de la variable dependiente son uniformes.
Todos los puntos de su gráfica están alineados.
Funciones de proporcionalidad directa:
Si en todos los pares de valores de una función de proporcionalidad directa dividimos la
ordenada por la abscisa, obtenemos siempre el mismo número. Ese valor se llama constante
de proporcionalidad, y se escribe habitualmente k.
Funciones de proporcionalidad inversa:
Si en todos los pares de valores de una función de proporcionalidad inversa multiplicamos
la ordenada por la abscisa, obtenemos siempre el mismo número, que es la constante de
proporcionalidad, y habitualmente se escribe k.
Distancia.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en
una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos
corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus
abscisas. Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0)
es 4 + 5 = 9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en
una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos
corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus
ordenadas.
Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del
sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por
la relación:

21. Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) en el sistema de
coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de
pitágoras.
Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A(7,5) y B (4,1)
d = 5 unidades

22. Comprobar un triángulo isósceles (distancia entre 2
puntos)
Ejemplo:
Demostrar que los puntos : A(3, 8); B(-11, 3) y C(-8, -2) son vértices de
un triángulo isósceles.
Como AB = AC es diferente de BC; el triángulo es isósceles.

23. Comprobar que es un triángulo rectángulo (distancia entre
2 puntos)
Ejemplo:
Demostrar que A(7,5), B(2,3) y C(6, -7) son vértices de un triángulo rectángulo.
El cuadrado de la hipotenusa (AC) es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos (AB y BC).

24. Probar que 3 puntos están alineados (distancia entre 2
puntos)
Puntos alineados sobre una recta
Puntos linealmente dependientes o alineados
Para comprobar si 3 puntos ABC están alineados y por tanto
están sobre una recta, podemos calcular la distancia entre dos
próximos, por ejemplo entre los puntos A y B. A continuación
calculamos la distancia entre B y C, si ambas distancias
sumadas determinan un número igual a la distancia entre los
extremos A y C, ello quiere decir que los tres puntos están
alineados.

25. Si las dos distancias no fueran iguales los 3 puntos formarían un triángulo, figura en la que
siempre la suma de las longitudes de dos lados es mayor que la longitud del otro lado.
Para calcular la distancia entre dos puntos cualesquiera, hacemos uso del teorema de
Pitágoras, en el que la hipotenusa al cuadrado es igual al cateto al cuadrado más el cateto al
cuadrado.
Otro método para comprobar si tres puntos están alineados
3 puntos están alineados o están sobre una recta si
sus vectores tienen la misma pendiente.
Se podría aducir que tienen igual pendiente pero no
están sobre la misma línea, pero éste no va a ser el
caso ya que los dos vectores van a involucrar a un
mismo punto, por ejemplo el del medio. Por tanto si
los dos vectores pasan por un mismo punto, sólo
deben tener la misma pendiente para que
efectivamente los tres puntos que generan esos dos
vectores estén alineados.
En el dibujo podemos ver tres puntos ABC,
construimos el vector BA, y el vector CB.
Como todo vector se construye por la diferencia de
las coordenadas de sus puntos, restamos la
coordenada en x y en y de ambos puntos.

26. Observamos que la diferencia entre A y B y la diferencia entre B y C determinan los
componentes de ambos vectores que son proporcionales, y como la pendiente de ambos es
el cociente entre la coordenada en y entre la coordenada en x, tenemos que el cociente es el
mismo para los dos, por lo que ambos tienen igual pendiente y por tanto los tres puntos son
coloniales, esto es, están sobre una misma línea.

27. Una superficie cónica esta engendrada por el giro de una recta , que llamamos generatriz, alrededor de otra
recta , eje, con el cual se corta en un punto , vértice.
• g = la generatriz
• e= el eje
• V = el vértice
Elementos de las cónicas
•Superficie - una superficie cónica de revolución está engendrada por la rotación de una recta alrededor de
otra recta fija, llamada eje, a la que corta de modo oblicuo.
•Generatriz - la generatriz es una cualquiera de las rectas oblicuas.
•Vértice - el vértice es el punto central donde se cortan las generatrices.
•Hojas - las hojas son las dos partes en las que el vértice divide a la superficie cónica de revolución.
•Sección - se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su
vértice. En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (a) y la inclinación del plano
respecto del eje del cono (β) , pueden obtenerse diferentes secciones cónicas.

28. La elipse es la sección producida en una superficie cónica de
revolución por un plano oblicuo al eje, que no sea paralelo a la
generatriz y que forme con el mismo un ángulo mayor que el que
forman eje y generatriz.
a < β < 90º
La elipse es una curva cerrada.
La circunferencia es la sección producida por
un plano perpendicular al eje.
β = 90º
La circunferencia es un caso particular
de elipse.

29. La parábola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por
un plano oblicuo al eje, siendo paralelo a la generatriz.
a = β
La parábola es una curva abierta que se prolonga hasta el infinito.
La hipérbola es la sección producida en una
superficie cónica de revolución por un plano
oblicuo al eje, formando con él un ángulo
menor al que forman eje y generatriz, por lo
que incide en las dos hojas de la superficie
cónica.
A > β
La hipérbola es una curva abierta que se
prolonga indefinidamente y consta de dos
ramas separadas.