SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 44
Descargar para leer sin conexión
La Derivada de una Función Real y sus
Aplicaciones
Demetrio Ccesa Rayme
La derivada
Pendiente y Razones
La derivada
¿Cómo determinas la pendiente de la recta tangente a la
gráfica de la función y=x2 en x=1 ó x=2 ó en cualquier
otro punto?
¡Primeras Ideas!
Empecemos por
la pendiente de la
recta secante a la
gráfica de una
función y = f(x)
en x=xo.        






x
y
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h
0
h
hx +
)( 0 hxf +
6
x
y
0x
)( 0xf)( 0xf
x0
Tangente!!!
En el límite, cuando h  0, la recta secante se
confunde con la recta tangente en x0, y podemos decir
que:
Pendiente de la recta secante
Note que:
   0 0
SL
f x h f x
m
h
+ 

   0 0
0 0
lim limT SL L
h h
f x h f x
m m
h 
+ 
 
Pendiente de la recta tangente
Razón de Cambio
Recuerde que el cociente
se llama razón de cambio
promedio de y respecto a x.
Del gráfico ¿cuál es la razón de
cambio promedio de y al emplear
i) De x = 1 a x = 4 operarios?
ii) De 1 a 3?
iii) De 1 a 2?
01
01 )()(
xx
xfxf
x
y





Número de docenas de
pantalones producidos
diariamente.
Número de
operarios.
5.5
1.5
*
x0 h x1
f(x1)
f(x0) *
Razón de cambio instantánea
se llama razón de cambio instantánea
de y con respecto a x en x = x0.
h
xfhxf
x
y )()( 00 +



Note que si x1 = x0 + h
h
xfhxf
x
y
hx
)()(
limlim 00
00
+




entonces
La derivada de la función f respecto de la variable x, en
x0 se denota por f ´(x0) y se define por:
La Derivada en un valor xo
Se dice que f (x) es derivable en x0 si existe f ´(x0). Al
proceso de calcular la derivada se le denomina derivación.
 
   0 0
0
0
lim
h
f x h f x
f x
h
+ 
 
)()(´ oo xf
dx
d
xf Notación:
La derivada de
una función f en
x0 es:
Pendiente de la recta
tangente a la gráfica de la
función f en x0
La razón de cambio
instantánea de la función f
en x0
   0 0
0
lim
h
f x h f x
h
+ 
La derivada de la función f respecto de x se denota por f ´
se define por:
f ´(x) =
La f en cualquier x
Se dice que f (x) es derivable en x si existe f ´(x)
h
xfhxf
lím
h
)()(
0
+

y
dx
d
yxf
dx
d
xf  ´)()(´Notación
1. Usando la definición, determine las expresiones de
la derivada de las siguientes funciones:
a) f (x) = x b) f (x) = x2
c) f (x) = x -1
Ejemplo
2. Obtenga la ecuación de la recta tangente a las gráficas
de las funciones en x = 2:
a) f (x) = x2
b) f (x) = x -1
Si una función f es derivable en el punto P(x0; f(x0)),
entonces la gráfica de y = f (x) tiene una tangente no
vertical en P y en todos los puntos “cercanos” a P.
Derivabilidad y continuidad
Esto indica que una función f es continua en cualquier
punto donde sea derivable, ya que una gráfica no puede
tener un “hueco” o “vacío” en ningún punto donde pueda
dibujarse una recta tangente.
Es importante saber que: una función continua no
necesariamente es derivable en todos los puntos.
1/3
La gráfica de la curva
presenta una línea tangente vertical
en 0
y x
x


2/3
La gráfica de la curva
presenta una cúspide en 0
y x
x


La gráfica de la curva
presenta un punto ánguloso
cuando 0
y x
x


Se muestra la gráfica de tres funciones continuas en x=0,
pero a pesar de ello, no son derivables en x = 0
       





x
y
Para la función f(x) = x2, ¿alrededor de qué punto (1; 1) o
(2; 4), la gráfica cambia con mayor rapidez?
       





x
y
       





x
y
Ejemplo
Ejemplo
Dado el gráfico de la función f.
Ordene de menor a mayor los siguientes valores: f ´(1),
f ´(2), f ´(4) y f ´(5,8)
18
4. Si f(x) = mx + b, entonces f´(x) = m
3. Sea f(x) = xn, entonces:
  1
 n
nxxf
n
1. Sea f(x) = k, entonces:
  0 xf
k
D (c) = 0x
2. Sea f(x) = x, entonces:
  1 xf
Fórmulas de derivación
Reglas de Derivación
Si f y g son funciones diferenciables y c es una constate,
entonces:
5.
6.
 ( ) ( )
d
c f x c f x
dx
  
  )´()´()()( xgxfxgxf
dx
d

7.
8.
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
d
f x g x f x g x g x f x
dx
    + 
 
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
d f x f x g x g x f x
dx g x g x
     
 
 
9. Si y , entonces la regla
de la cadena se define por:
 n
xgxf )()( 
  )()()(
1
xgxgnxf
n
 
n
10. Si f y g son funciones derivables y 
y  son constantes se tiene que:
        xgxfxgxf +

+ 
La función
Exponencial
y=ex
1 e
e
1
y = ex
y = ln x
x
y La función
Logaritmo natural
y= Ln(x)
Definición:
Si x es cualquier número real, entonces
Ln y = x si y sólo si ex = y
Derivada de funciones exponenciales
i)
ii)
Derivada de funciones logarítmicas
i)
ii)
x
xfxxf
1
)(;ln)( 
   
 xgexfexf xgxg
 )(;)(
   )(
)(
1
)(;ln)( xg
xg
xfxgxf 
xx
exfexf  )(;)(
Derivadas de funciones Exp y Ln
LA DERIVADA
EN EL
ANALISIS DE
FUNCIONES
(OPTIMIZACIÓN)
TEOREMA
f ’(c) = 0
Si c es un punto de extremo local de f,
entonces
PUNTOS CRITICOS
Definición:
Un número c del dominio de f se
llama número crítico o punto crítico
de f si f ’(c) = 0.
1. Hallar todos los puntos críticos de f en
[a, b]
2. Hallar f(c) para cada punto crítico c
3. Calcular f(a) y f(b)
4. El mayor de los números hallados en 2 y 3
es el máximo absoluto de f en[a,b] y el
menor el mínimo.
Procedimiento para determinar los máximos o
mínimos de una función continua f en [a, b]
TEOREMA
Sea f continua en [a, b] y derivable en
(a, b), entonces:
Si f ’(x) 0 en (a, b) entonces
f es estrictamente CRECIENTE
en [a,b]
>
Criterio de la primera derivada
Si c es un punto crítico de f y f es derivable
alrededor de c, entonces:
i) Si f ´ cambia de + a - en la vecindad de c
entonces c es un punto de MÁXIMO local de f
ii) Si f ´ cambia de - a + en la vecindad c
entonces c es un punto de MÍNIMO local de f
TEOREMA
Sea f derivable en el intervalo (a, b),
que contiene a c, tal que existe f ’’(c),
entonces:
Si f ’’(c) 0 la gráfica de f es
cóncava hacia
en x = carriba
>
+
TEOREMA
Sea f derivable en el intervalo (a, b),
que contiene a c, tal que existe f ’’(c),
entonces:
Si f ’’(c) 0 la gráfica de f es
cóncava hacia
en x = cabajo
<
-
Criterio de la segunda derivada
Sea c un punto crítico de f en el cual
f ’(c) = 0, entonces:
Si f ’’(c) > 0, c es un punto de
mínimo local
Si f ’’(c) < 0, c es un punto de
máximo local
Punto de inflexión
La gráfica de f tiene en el punto
(c, f(c)) un punto de inflexión si:
1 f es continua en c
2 La gráfica tiene tangente en
el punto
sentido en c
3 La concavidad cambia de
PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR
Los PUNTOS DE INFLEXION
i) Determinar los puntos donde f ’’ es
cero
ii) Verificar si cada uno de estos
puntos es de inflexión. Esto es:
• Si f es continua
• Si la derivada existe o tiene
límite infinito (tang. vertical)
• Si f ’’ cambia de signo
Razón de cambio porcentual
Análisis Marginal.
De dos empresas competidoras A y B se conocen sus funciones
utilidad respectivas UA(q) y UB(q), donde UA(20) = UB(10).
Si se tiene dól/unid y dól/unid
¡Reflexión!
¿Qué empresa fue más eficiente en la obtención de sus
utilidades?
2
)20(

dq
Ud A
2
)10(

dq
Ud B
Si consideramos el cociente
( )
( )
f x
f x

tenemos un medio para comparar la razón de cambio de
f consigo misma. Esta razón se llama razón de cambio
relativa de f.
Si multiplicamos las razones de cambio relativas por
100 obtenemos las razones de cambio porcentuales.
( )
100
( )
f x
f x


Razón de cambio porcentual
Ejemplo
Se estima que dentro de t años, la circulación de un
periódico local será:
C(t) = 100t2 + 400t + 5000 unidades
a. ¿A qué razón cambiará la circulación dentro
de 5 años?
b. ¿Cuál es la razón de cambio porcentual de la
circulación dentro de 5 años?
Si el nivel de producción de un fábrica es de 10
unidades, ¿cómo podríamos determinar en
forma aproximada el costo de producción de la
undécima unidad sin tener que producirla?
¡Reflexión!
x0
x1
f (x0)
f (x1)
f
f (x)
M
N
Del gráfico se puede afirmar que f  MN
Aproximación por incrementos
x

Ejemplo:
Estime el cambio de f (x) = x3, cuando x varía de 2 a 2,1
Entonces, f  MN= = f´(x)x
Luego, podemos decir que: f  f´(x)x
x
x
MN


.
Ejemplo
Suponga que el costo total C, en soles, de fabricar q
unidades de cierto artículo es C(q) = 10 + 5q + 3q2. Si
el nivel actual de producción es 30 unidades, estime
cómo cambiará el costo total si se producen 29,5
unidades.
Consideremos la función Costo total C(q)
11 12
C(11)
C(12)
Creal Caproximado
C(q)
La pendiente de la recta
tangente en q = 11 es la
derivada del costo total en
q = 11
Esta pendiente es numéricamente
igual al cociente
aproximado
aproximado
C
C

1112
De los párrafos anteriores se puede deducir que
C´(11) = Costo aproximado de la unidad 12
A este costo aproximado se le conoce como el costo
marginal de producir la doceava unidad o el costo
marginal de producir 11 unidades.
En general podemos decir que :
C´(q) = C aproximado de la unidad “q+1 ”
Costo marginal
La función costo marginal CM es la derivada C´(q).
Las unidades del costo marginal son las del costo por
artículo. Se interpreta a C´(q) como el costo aproximado
de producir un artículo adicional a q unidades.
El ingreso marginal IM es la derivada del ingreso I(q)
respecto a q. Esto es:
La utilidad marginal UM es la derivada de la utilidad
U(q) respecto a q. Esto es:
dI
IM
dq

dU
UM
dq


Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Calculo Concavidad
Calculo ConcavidadCalculo Concavidad
Calculo Concavidad
Elba Garcia
 
Aplicación de la derivada
Aplicación de la derivadaAplicación de la derivada
Aplicación de la derivada
vanieves
 
Optimización monotonía-curvatura
Optimización monotonía-curvaturaOptimización monotonía-curvatura
Optimización monotonía-curvatura
ANAALONSOSAN
 
Ejercicios resueltos derivadas
Ejercicios resueltos derivadasEjercicios resueltos derivadas
Ejercicios resueltos derivadas
Hugo Pomboza
 
Funciones 2
Funciones 2Funciones 2
Funciones 2
Edyro
 

La actualidad más candente (20)

Extremos de un intervalo, funciones crecientes y decrecientes y el criterio d...
Extremos de un intervalo, funciones crecientes y decrecientes y el criterio d...Extremos de un intervalo, funciones crecientes y decrecientes y el criterio d...
Extremos de un intervalo, funciones crecientes y decrecientes y el criterio d...
 
Calculo Concavidad
Calculo ConcavidadCalculo Concavidad
Calculo Concavidad
 
CRITERIOS DE LA PRIMERA Y LA SEGUNDA DERIVADA
CRITERIOS DE LA PRIMERA Y LA SEGUNDA DERIVADACRITERIOS DE LA PRIMERA Y LA SEGUNDA DERIVADA
CRITERIOS DE LA PRIMERA Y LA SEGUNDA DERIVADA
 
Aplicacion de las derivadas
Aplicacion de las derivadas Aplicacion de las derivadas
Aplicacion de las derivadas
 
1 problemaslimitescontderiv
1 problemaslimitescontderiv1 problemaslimitescontderiv
1 problemaslimitescontderiv
 
LA DERIVADA
LA DERIVADALA DERIVADA
LA DERIVADA
 
Aplicación de la derivada
Aplicación de la derivadaAplicación de la derivada
Aplicación de la derivada
 
Calculo I Aplicaciones De La Derivada
Calculo I Aplicaciones De La DerivadaCalculo I Aplicaciones De La Derivada
Calculo I Aplicaciones De La Derivada
 
Optimización monotonía-curvatura
Optimización monotonía-curvaturaOptimización monotonía-curvatura
Optimización monotonía-curvatura
 
Ejercicios resueltos derivadas
Ejercicios resueltos derivadasEjercicios resueltos derivadas
Ejercicios resueltos derivadas
 
Integral definida
Integral definidaIntegral definida
Integral definida
 
Regla de derivación
Regla de derivaciónRegla de derivación
Regla de derivación
 
Concavidad y puntos de inflexion
Concavidad y puntos de inflexionConcavidad y puntos de inflexion
Concavidad y puntos de inflexion
 
Unidad 4 (la derivada)Profesor Hugo Payahuala
Unidad 4 (la derivada)Profesor Hugo PayahualaUnidad 4 (la derivada)Profesor Hugo Payahuala
Unidad 4 (la derivada)Profesor Hugo Payahuala
 
Capítulo 5. Variación de funciones
Capítulo 5. Variación de funcionesCapítulo 5. Variación de funciones
Capítulo 5. Variación de funciones
 
Funciones 2
Funciones 2Funciones 2
Funciones 2
 
Aplicaciones derivadas
Aplicaciones derivadasAplicaciones derivadas
Aplicaciones derivadas
 
Taller 4 limites y asintotas
Taller 4 limites y asintotasTaller 4 limites y asintotas
Taller 4 limites y asintotas
 
Funciones
FuncionesFunciones
Funciones
 
Capítulo 3. Límites y Continuidad
Capítulo 3. Límites y ContinuidadCapítulo 3. Límites y Continuidad
Capítulo 3. Límites y Continuidad
 

Similar a Introducción al Calculo Diferencial de una Función Real ccesa007

Revista horacio
Revista horacioRevista horacio
Revista horacio
HORACIO920
 
Aplicar derivadas en el cálculo de velocidad y aceleración de un objeto que s...
Aplicar derivadas en el cálculo de velocidad y aceleración de un objeto que s...Aplicar derivadas en el cálculo de velocidad y aceleración de un objeto que s...
Aplicar derivadas en el cálculo de velocidad y aceleración de un objeto que s...
dinorkis
 
Cálculo dif - Taller de derivadas II
Cálculo dif  - Taller de derivadas IICálculo dif  - Taller de derivadas II
Cálculo dif - Taller de derivadas II
ManuelCannon
 

Similar a Introducción al Calculo Diferencial de una Función Real ccesa007 (20)

Derivadas. teoremas
Derivadas. teoremasDerivadas. teoremas
Derivadas. teoremas
 
aplicaciones de la derivada.ppt
aplicaciones de la derivada.pptaplicaciones de la derivada.ppt
aplicaciones de la derivada.ppt
 
Unidad 4 Calculo Diferencial
Unidad 4 Calculo DiferencialUnidad 4 Calculo Diferencial
Unidad 4 Calculo Diferencial
 
Suma de funciones
Suma de funcionesSuma de funciones
Suma de funciones
 
Derivadas
DerivadasDerivadas
Derivadas
 
Derivada de una función
Derivada de una funciónDerivada de una función
Derivada de una función
 
La derivada y sus funciones
La derivada y sus funcionesLa derivada y sus funciones
La derivada y sus funciones
 
Derivada swester.doc
Derivada swester.docDerivada swester.doc
Derivada swester.doc
 
Revista horacio
Revista horacioRevista horacio
Revista horacio
 
Aplicar derivadas en el cálculo de velocidad y aceleración de un objeto que s...
Aplicar derivadas en el cálculo de velocidad y aceleración de un objeto que s...Aplicar derivadas en el cálculo de velocidad y aceleración de un objeto que s...
Aplicar derivadas en el cálculo de velocidad y aceleración de un objeto que s...
 
Derivada de una funcion2015
Derivada de una funcion2015Derivada de una funcion2015
Derivada de una funcion2015
 
Derivadas. aplicaciones
Derivadas. aplicacionesDerivadas. aplicaciones
Derivadas. aplicaciones
 
La derivada por_definicion (1)
La derivada por_definicion (1)La derivada por_definicion (1)
La derivada por_definicion (1)
 
La derivada por_definicion
La derivada por_definicionLa derivada por_definicion
La derivada por_definicion
 
Aplicaciones de la primera y segunda derivada en las graficas de funciones
Aplicaciones de la primera y segunda derivada  en las graficas de funcionesAplicaciones de la primera y segunda derivada  en las graficas de funciones
Aplicaciones de la primera y segunda derivada en las graficas de funciones
 
Cálculo dif - Taller de derivadas II
Cálculo dif  - Taller de derivadas IICálculo dif  - Taller de derivadas II
Cálculo dif - Taller de derivadas II
 
Cálculo Integral para Empresariales
Cálculo Integral para EmpresarialesCálculo Integral para Empresariales
Cálculo Integral para Empresariales
 
S04_ s1- MATERIAL CAF2_solucionario.pptx
S04_ s1- MATERIAL CAF2_solucionario.pptxS04_ s1- MATERIAL CAF2_solucionario.pptx
S04_ s1- MATERIAL CAF2_solucionario.pptx
 
Teoría de funciones ii
Teoría de funciones iiTeoría de funciones ii
Teoría de funciones ii
 
Diapositiva semana 7
Diapositiva semana 7Diapositiva semana 7
Diapositiva semana 7
 

Más de Demetrio Ccesa Rayme

Ediciones Previas Proyecto Curricular Institucional PCIE-111-SJA Ccesa.docx
Ediciones Previas Proyecto Curricular Institucional PCIE-111-SJA  Ccesa.docxEdiciones Previas Proyecto Curricular Institucional PCIE-111-SJA  Ccesa.docx
Ediciones Previas Proyecto Curricular Institucional PCIE-111-SJA Ccesa.docx
Demetrio Ccesa Rayme
 
Ediciones Previas Plan Anual de Trabajo 111-SJA Version2 Ccesa007.pdf
Ediciones Previas Plan Anual de Trabajo 111-SJA  Version2   Ccesa007.pdfEdiciones Previas Plan Anual de Trabajo 111-SJA  Version2   Ccesa007.pdf
Ediciones Previas Plan Anual de Trabajo 111-SJA Version2 Ccesa007.pdf
Demetrio Ccesa Rayme
 
Planificacion Anual 2do Grado Educacion Primaria 2024 Ccesa007.pdf
Planificacion Anual 2do Grado Educacion Primaria   2024   Ccesa007.pdfPlanificacion Anual 2do Grado Educacion Primaria   2024   Ccesa007.pdf
Planificacion Anual 2do Grado Educacion Primaria 2024 Ccesa007.pdf
Demetrio Ccesa Rayme
 
Planificacion Anual 4to Grado Educacion Primaria 2024 Ccesa007.pdf
Planificacion Anual 4to Grado Educacion Primaria   2024   Ccesa007.pdfPlanificacion Anual 4to Grado Educacion Primaria   2024   Ccesa007.pdf
Planificacion Anual 4to Grado Educacion Primaria 2024 Ccesa007.pdf
Demetrio Ccesa Rayme
 
Resolucion de Problemas en Educacion Inicial 5 años ED-2024 Ccesa007.pdf
Resolucion de Problemas en Educacion Inicial 5 años ED-2024 Ccesa007.pdfResolucion de Problemas en Educacion Inicial 5 años ED-2024 Ccesa007.pdf
Resolucion de Problemas en Educacion Inicial 5 años ED-2024 Ccesa007.pdf
Demetrio Ccesa Rayme
 
El Aprendizaje en la Inteligencia Artificial IA4 Ccesa007.pdf
El Aprendizaje en la Inteligencia Artificial IA4  Ccesa007.pdfEl Aprendizaje en la Inteligencia Artificial IA4  Ccesa007.pdf
El Aprendizaje en la Inteligencia Artificial IA4 Ccesa007.pdf
Demetrio Ccesa Rayme
 
Carpeta Pedagogica del Nivel de Educacion Inicial CP2 Ccesa007.pdf
Carpeta Pedagogica del Nivel de Educacion Inicial CP2  Ccesa007.pdfCarpeta Pedagogica del Nivel de Educacion Inicial CP2  Ccesa007.pdf
Carpeta Pedagogica del Nivel de Educacion Inicial CP2 Ccesa007.pdf
Demetrio Ccesa Rayme
 
El Impacto de la Inteligencia Artificial en el Aprendizaje Ccesa007.pdf
El Impacto de la Inteligencia Artificial en el Aprendizaje Ccesa007.pdfEl Impacto de la Inteligencia Artificial en el Aprendizaje Ccesa007.pdf
El Impacto de la Inteligencia Artificial en el Aprendizaje Ccesa007.pdf
Demetrio Ccesa Rayme
 
Docencia en la Era de la Inteligencia Artificial UB4 Ccesa007.pdf
Docencia en la Era de la Inteligencia Artificial UB4  Ccesa007.pdfDocencia en la Era de la Inteligencia Artificial UB4  Ccesa007.pdf
Docencia en la Era de la Inteligencia Artificial UB4 Ccesa007.pdf
Demetrio Ccesa Rayme
 
Experiencia Evaluacion Diagnostica Educacion Inicial 3 Años MAQ Ccesa007.pdf
Experiencia Evaluacion Diagnostica Educacion Inicial 3 Años  MAQ  Ccesa007.pdfExperiencia Evaluacion Diagnostica Educacion Inicial 3 Años  MAQ  Ccesa007.pdf
Experiencia Evaluacion Diagnostica Educacion Inicial 3 Años MAQ Ccesa007.pdf
Demetrio Ccesa Rayme
 

Más de Demetrio Ccesa Rayme (20)

La Evaluacion Formativa SM6 Ccesa007.pdf
La Evaluacion Formativa SM6  Ccesa007.pdfLa Evaluacion Formativa SM6  Ccesa007.pdf
La Evaluacion Formativa SM6 Ccesa007.pdf
 
Educacion Basada en Evidencias SM5 Ccesa007.pdf
Educacion Basada en Evidencias  SM5  Ccesa007.pdfEducacion Basada en Evidencias  SM5  Ccesa007.pdf
Educacion Basada en Evidencias SM5 Ccesa007.pdf
 
Ediciones Previas Proyecto Curricular Institucional PCIE-111-SJA Ccesa.docx
Ediciones Previas Proyecto Curricular Institucional PCIE-111-SJA  Ccesa.docxEdiciones Previas Proyecto Curricular Institucional PCIE-111-SJA  Ccesa.docx
Ediciones Previas Proyecto Curricular Institucional PCIE-111-SJA Ccesa.docx
 
Ediciones Previas Plan Anual de Trabajo 111-SJA Version2 Ccesa007.pdf
Ediciones Previas Plan Anual de Trabajo 111-SJA  Version2   Ccesa007.pdfEdiciones Previas Plan Anual de Trabajo 111-SJA  Version2   Ccesa007.pdf
Ediciones Previas Plan Anual de Trabajo 111-SJA Version2 Ccesa007.pdf
 
Programacion Anual Matemática4 MPG 2024 Ccesa007.pdf
Programacion Anual Matemática4    MPG 2024  Ccesa007.pdfProgramacion Anual Matemática4    MPG 2024  Ccesa007.pdf
Programacion Anual Matemática4 MPG 2024 Ccesa007.pdf
 
Programacion Anual Matemática5 MPG 2024 Ccesa007.pdf
Programacion Anual Matemática5    MPG 2024  Ccesa007.pdfProgramacion Anual Matemática5    MPG 2024  Ccesa007.pdf
Programacion Anual Matemática5 MPG 2024 Ccesa007.pdf
 
Planificacion Anual 2do Grado Educacion Primaria 2024 Ccesa007.pdf
Planificacion Anual 2do Grado Educacion Primaria   2024   Ccesa007.pdfPlanificacion Anual 2do Grado Educacion Primaria   2024   Ccesa007.pdf
Planificacion Anual 2do Grado Educacion Primaria 2024 Ccesa007.pdf
 
Planificacion Anual 4to Grado Educacion Primaria 2024 Ccesa007.pdf
Planificacion Anual 4to Grado Educacion Primaria   2024   Ccesa007.pdfPlanificacion Anual 4to Grado Educacion Primaria   2024   Ccesa007.pdf
Planificacion Anual 4to Grado Educacion Primaria 2024 Ccesa007.pdf
 
Neurociencias para Educadores NE24 Ccesa007.pdf
Neurociencias para Educadores  NE24  Ccesa007.pdfNeurociencias para Educadores  NE24  Ccesa007.pdf
Neurociencias para Educadores NE24 Ccesa007.pdf
 
Resolucion de Problemas en Educacion Inicial 5 años ED-2024 Ccesa007.pdf
Resolucion de Problemas en Educacion Inicial 5 años ED-2024 Ccesa007.pdfResolucion de Problemas en Educacion Inicial 5 años ED-2024 Ccesa007.pdf
Resolucion de Problemas en Educacion Inicial 5 años ED-2024 Ccesa007.pdf
 
El Aprendizaje en la Inteligencia Artificial IA4 Ccesa007.pdf
El Aprendizaje en la Inteligencia Artificial IA4  Ccesa007.pdfEl Aprendizaje en la Inteligencia Artificial IA4  Ccesa007.pdf
El Aprendizaje en la Inteligencia Artificial IA4 Ccesa007.pdf
 
Geometria 5to Educacion Primaria EDU Ccesa007.pdf
Geometria  5to Educacion Primaria EDU  Ccesa007.pdfGeometria  5to Educacion Primaria EDU  Ccesa007.pdf
Geometria 5to Educacion Primaria EDU Ccesa007.pdf
 
Geometria 2do Educacion Primaria EDU Ccesa007.pdf
Geometria  2do Educacion Primaria EDU Ccesa007.pdfGeometria  2do Educacion Primaria EDU Ccesa007.pdf
Geometria 2do Educacion Primaria EDU Ccesa007.pdf
 
Estadistica y Geometria 1ro Primaria EDU Ccesa007.pdf
Estadistica y Geometria 1ro Primaria EDU Ccesa007.pdfEstadistica y Geometria 1ro Primaria EDU Ccesa007.pdf
Estadistica y Geometria 1ro Primaria EDU Ccesa007.pdf
 
Razonamiento Matematico 2do Primaria EDU Ccesa007.pdf
Razonamiento Matematico 2do Primaria EDU Ccesa007.pdfRazonamiento Matematico 2do Primaria EDU Ccesa007.pdf
Razonamiento Matematico 2do Primaria EDU Ccesa007.pdf
 
Razonamiento Matematico 1ro Primaria EDU Ccesa007.pdf
Razonamiento Matematico 1ro Primaria  EDU Ccesa007.pdfRazonamiento Matematico 1ro Primaria  EDU Ccesa007.pdf
Razonamiento Matematico 1ro Primaria EDU Ccesa007.pdf
 
Carpeta Pedagogica del Nivel de Educacion Inicial CP2 Ccesa007.pdf
Carpeta Pedagogica del Nivel de Educacion Inicial CP2  Ccesa007.pdfCarpeta Pedagogica del Nivel de Educacion Inicial CP2  Ccesa007.pdf
Carpeta Pedagogica del Nivel de Educacion Inicial CP2 Ccesa007.pdf
 
El Impacto de la Inteligencia Artificial en el Aprendizaje Ccesa007.pdf
El Impacto de la Inteligencia Artificial en el Aprendizaje Ccesa007.pdfEl Impacto de la Inteligencia Artificial en el Aprendizaje Ccesa007.pdf
El Impacto de la Inteligencia Artificial en el Aprendizaje Ccesa007.pdf
 
Docencia en la Era de la Inteligencia Artificial UB4 Ccesa007.pdf
Docencia en la Era de la Inteligencia Artificial UB4  Ccesa007.pdfDocencia en la Era de la Inteligencia Artificial UB4  Ccesa007.pdf
Docencia en la Era de la Inteligencia Artificial UB4 Ccesa007.pdf
 
Experiencia Evaluacion Diagnostica Educacion Inicial 3 Años MAQ Ccesa007.pdf
Experiencia Evaluacion Diagnostica Educacion Inicial 3 Años  MAQ  Ccesa007.pdfExperiencia Evaluacion Diagnostica Educacion Inicial 3 Años  MAQ  Ccesa007.pdf
Experiencia Evaluacion Diagnostica Educacion Inicial 3 Años MAQ Ccesa007.pdf
 

Último

RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA 2024 - ACTUALIZADA.pptx
RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA 2024 - ACTUALIZADA.pptxRESULTADOS DE LA EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA 2024 - ACTUALIZADA.pptx
RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA 2024 - ACTUALIZADA.pptx
pvtablets2023
 
TALLER DE DEMOCRACIA Y GOBIERNO ESCOLAR-COMPETENCIAS N°3.docx
TALLER DE DEMOCRACIA Y GOBIERNO ESCOLAR-COMPETENCIAS N°3.docxTALLER DE DEMOCRACIA Y GOBIERNO ESCOLAR-COMPETENCIAS N°3.docx
TALLER DE DEMOCRACIA Y GOBIERNO ESCOLAR-COMPETENCIAS N°3.docx
NadiaMartnez11
 
2 REGLAMENTO RM 0912-2024 DE MODALIDADES DE GRADUACIÓN_.pptx
2 REGLAMENTO RM 0912-2024 DE MODALIDADES DE GRADUACIÓN_.pptx2 REGLAMENTO RM 0912-2024 DE MODALIDADES DE GRADUACIÓN_.pptx
2 REGLAMENTO RM 0912-2024 DE MODALIDADES DE GRADUACIÓN_.pptx
RigoTito
 
Proyecto de aprendizaje dia de la madre MINT.pdf
Proyecto de aprendizaje dia de la madre MINT.pdfProyecto de aprendizaje dia de la madre MINT.pdf
Proyecto de aprendizaje dia de la madre MINT.pdf
patriciaines1993
 

Último (20)

BIOMETANO SÍ, PERO NO ASÍ. LA NUEVA BURBUJA ENERGÉTICA
BIOMETANO SÍ, PERO NO ASÍ. LA NUEVA BURBUJA ENERGÉTICABIOMETANO SÍ, PERO NO ASÍ. LA NUEVA BURBUJA ENERGÉTICA
BIOMETANO SÍ, PERO NO ASÍ. LA NUEVA BURBUJA ENERGÉTICA
 
PINTURA DEL RENACIMIENTO EN ESPAÑA (SIGLO XVI).ppt
PINTURA DEL RENACIMIENTO EN ESPAÑA (SIGLO XVI).pptPINTURA DEL RENACIMIENTO EN ESPAÑA (SIGLO XVI).ppt
PINTURA DEL RENACIMIENTO EN ESPAÑA (SIGLO XVI).ppt
 
RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA 2024 - ACTUALIZADA.pptx
RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA 2024 - ACTUALIZADA.pptxRESULTADOS DE LA EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA 2024 - ACTUALIZADA.pptx
RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA 2024 - ACTUALIZADA.pptx
 
PLAN DE REFUERZO ESCOLAR MERC 2024-2.docx
PLAN DE REFUERZO ESCOLAR MERC 2024-2.docxPLAN DE REFUERZO ESCOLAR MERC 2024-2.docx
PLAN DE REFUERZO ESCOLAR MERC 2024-2.docx
 
TALLER DE DEMOCRACIA Y GOBIERNO ESCOLAR-COMPETENCIAS N°3.docx
TALLER DE DEMOCRACIA Y GOBIERNO ESCOLAR-COMPETENCIAS N°3.docxTALLER DE DEMOCRACIA Y GOBIERNO ESCOLAR-COMPETENCIAS N°3.docx
TALLER DE DEMOCRACIA Y GOBIERNO ESCOLAR-COMPETENCIAS N°3.docx
 
Factores que intervienen en la Administración por Valores.pdf
Factores que intervienen en la Administración por Valores.pdfFactores que intervienen en la Administración por Valores.pdf
Factores que intervienen en la Administración por Valores.pdf
 
Plan-de-la-Patria-2019-2025- TERCER PLAN SOCIALISTA DE LA NACIÓN.pdf
Plan-de-la-Patria-2019-2025- TERCER PLAN SOCIALISTA DE LA NACIÓN.pdfPlan-de-la-Patria-2019-2025- TERCER PLAN SOCIALISTA DE LA NACIÓN.pdf
Plan-de-la-Patria-2019-2025- TERCER PLAN SOCIALISTA DE LA NACIÓN.pdf
 
2 REGLAMENTO RM 0912-2024 DE MODALIDADES DE GRADUACIÓN_.pptx
2 REGLAMENTO RM 0912-2024 DE MODALIDADES DE GRADUACIÓN_.pptx2 REGLAMENTO RM 0912-2024 DE MODALIDADES DE GRADUACIÓN_.pptx
2 REGLAMENTO RM 0912-2024 DE MODALIDADES DE GRADUACIÓN_.pptx
 
Power Point E. S.: Los dos testigos.pptx
Power Point E. S.: Los dos testigos.pptxPower Point E. S.: Los dos testigos.pptx
Power Point E. S.: Los dos testigos.pptx
 
activ4-bloque4 transversal doctorado.pdf
activ4-bloque4 transversal doctorado.pdfactiv4-bloque4 transversal doctorado.pdf
activ4-bloque4 transversal doctorado.pdf
 
Procedimientos para la planificación en los Centros Educativos tipo V ( multi...
Procedimientos para la planificación en los Centros Educativos tipo V ( multi...Procedimientos para la planificación en los Centros Educativos tipo V ( multi...
Procedimientos para la planificación en los Centros Educativos tipo V ( multi...
 
La Sostenibilidad Corporativa. Administración Ambiental
La Sostenibilidad Corporativa. Administración AmbientalLa Sostenibilidad Corporativa. Administración Ambiental
La Sostenibilidad Corporativa. Administración Ambiental
 
CONCURSO NACIONAL JOSE MARIA ARGUEDAS.pptx
CONCURSO NACIONAL JOSE MARIA ARGUEDAS.pptxCONCURSO NACIONAL JOSE MARIA ARGUEDAS.pptx
CONCURSO NACIONAL JOSE MARIA ARGUEDAS.pptx
 
origen y desarrollo del ensayo literario
origen y desarrollo del ensayo literarioorigen y desarrollo del ensayo literario
origen y desarrollo del ensayo literario
 
INSTRUCCION PREPARATORIA DE TIRO .pptx
INSTRUCCION PREPARATORIA DE TIRO   .pptxINSTRUCCION PREPARATORIA DE TIRO   .pptx
INSTRUCCION PREPARATORIA DE TIRO .pptx
 
Sesión de clase: Fe contra todo pronóstico
Sesión de clase: Fe contra todo pronósticoSesión de clase: Fe contra todo pronóstico
Sesión de clase: Fe contra todo pronóstico
 
Proyecto de aprendizaje dia de la madre MINT.pdf
Proyecto de aprendizaje dia de la madre MINT.pdfProyecto de aprendizaje dia de la madre MINT.pdf
Proyecto de aprendizaje dia de la madre MINT.pdf
 
Prueba de evaluación Geografía e Historia Comunidad de Madrid 2º de la ESO
Prueba de evaluación Geografía e Historia Comunidad de Madrid 2º de la ESOPrueba de evaluación Geografía e Historia Comunidad de Madrid 2º de la ESO
Prueba de evaluación Geografía e Historia Comunidad de Madrid 2º de la ESO
 
Prueba de evaluación Geografía e Historia Comunidad de Madrid 4ºESO
Prueba de evaluación Geografía e Historia Comunidad de Madrid 4ºESOPrueba de evaluación Geografía e Historia Comunidad de Madrid 4ºESO
Prueba de evaluación Geografía e Historia Comunidad de Madrid 4ºESO
 
FUERZA Y MOVIMIENTO ciencias cuarto basico.ppt
FUERZA Y MOVIMIENTO ciencias cuarto basico.pptFUERZA Y MOVIMIENTO ciencias cuarto basico.ppt
FUERZA Y MOVIMIENTO ciencias cuarto basico.ppt
 

Introducción al Calculo Diferencial de una Función Real ccesa007

  • 1. La Derivada de una Función Real y sus Aplicaciones Demetrio Ccesa Rayme
  • 2.
  • 3. La derivada Pendiente y Razones La derivada
  • 4. ¿Cómo determinas la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función y=x2 en x=1 ó x=2 ó en cualquier otro punto? ¡Primeras Ideas! Empecemos por la pendiente de la recta secante a la gráfica de una función y = f(x) en x=xo.               x y
  • 5. x y 0x )( 0xf )( 0 hxf + hx +0 h 0 h hx + )( 0 hxf +
  • 7. En el límite, cuando h  0, la recta secante se confunde con la recta tangente en x0, y podemos decir que: Pendiente de la recta secante Note que:    0 0 SL f x h f x m h +      0 0 0 0 lim limT SL L h h f x h f x m m h  +    Pendiente de la recta tangente
  • 8. Razón de Cambio Recuerde que el cociente se llama razón de cambio promedio de y respecto a x. Del gráfico ¿cuál es la razón de cambio promedio de y al emplear i) De x = 1 a x = 4 operarios? ii) De 1 a 3? iii) De 1 a 2? 01 01 )()( xx xfxf x y      Número de docenas de pantalones producidos diariamente. Número de operarios. 5.5 1.5 *
  • 9. x0 h x1 f(x1) f(x0) * Razón de cambio instantánea se llama razón de cambio instantánea de y con respecto a x en x = x0. h xfhxf x y )()( 00 +    Note que si x1 = x0 + h h xfhxf x y hx )()( limlim 00 00 +     entonces
  • 10. La derivada de la función f respecto de la variable x, en x0 se denota por f ´(x0) y se define por: La Derivada en un valor xo Se dice que f (x) es derivable en x0 si existe f ´(x0). Al proceso de calcular la derivada se le denomina derivación.      0 0 0 0 lim h f x h f x f x h +    )()(´ oo xf dx d xf Notación:
  • 11. La derivada de una función f en x0 es: Pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en x0 La razón de cambio instantánea de la función f en x0    0 0 0 lim h f x h f x h + 
  • 12. La derivada de la función f respecto de x se denota por f ´ se define por: f ´(x) = La f en cualquier x Se dice que f (x) es derivable en x si existe f ´(x) h xfhxf lím h )()( 0 +  y dx d yxf dx d xf  ´)()(´Notación
  • 13. 1. Usando la definición, determine las expresiones de la derivada de las siguientes funciones: a) f (x) = x b) f (x) = x2 c) f (x) = x -1 Ejemplo 2. Obtenga la ecuación de la recta tangente a las gráficas de las funciones en x = 2: a) f (x) = x2 b) f (x) = x -1
  • 14. Si una función f es derivable en el punto P(x0; f(x0)), entonces la gráfica de y = f (x) tiene una tangente no vertical en P y en todos los puntos “cercanos” a P. Derivabilidad y continuidad Esto indica que una función f es continua en cualquier punto donde sea derivable, ya que una gráfica no puede tener un “hueco” o “vacío” en ningún punto donde pueda dibujarse una recta tangente.
  • 15. Es importante saber que: una función continua no necesariamente es derivable en todos los puntos. 1/3 La gráfica de la curva presenta una línea tangente vertical en 0 y x x   2/3 La gráfica de la curva presenta una cúspide en 0 y x x   La gráfica de la curva presenta un punto ánguloso cuando 0 y x x   Se muestra la gráfica de tres funciones continuas en x=0, pero a pesar de ello, no son derivables en x = 0
  • 16.              x y Para la función f(x) = x2, ¿alrededor de qué punto (1; 1) o (2; 4), la gráfica cambia con mayor rapidez?              x y              x y Ejemplo
  • 17. Ejemplo Dado el gráfico de la función f. Ordene de menor a mayor los siguientes valores: f ´(1), f ´(2), f ´(4) y f ´(5,8)
  • 18. 18 4. Si f(x) = mx + b, entonces f´(x) = m 3. Sea f(x) = xn, entonces:   1  n nxxf n 1. Sea f(x) = k, entonces:   0 xf k D (c) = 0x 2. Sea f(x) = x, entonces:   1 xf Fórmulas de derivación
  • 19. Reglas de Derivación Si f y g son funciones diferenciables y c es una constate, entonces: 5. 6.  ( ) ( ) d c f x c f x dx      )´()´()()( xgxfxgxf dx d  7. 8.  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d f x g x f x g x g x f x dx     +    2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d f x f x g x g x f x dx g x g x          
  • 20. 9. Si y , entonces la regla de la cadena se define por:  n xgxf )()(    )()()( 1 xgxgnxf n   n 10. Si f y g son funciones derivables y  y  son constantes se tiene que:         xgxfxgxf +  + 
  • 21. La función Exponencial y=ex 1 e e 1 y = ex y = ln x x y La función Logaritmo natural y= Ln(x) Definición: Si x es cualquier número real, entonces Ln y = x si y sólo si ex = y
  • 22. Derivada de funciones exponenciales i) ii) Derivada de funciones logarítmicas i) ii) x xfxxf 1 )(;ln)(       xgexfexf xgxg  )(;)(    )( )( 1 )(;ln)( xg xg xfxgxf  xx exfexf  )(;)( Derivadas de funciones Exp y Ln
  • 23. LA DERIVADA EN EL ANALISIS DE FUNCIONES (OPTIMIZACIÓN)
  • 24. TEOREMA f ’(c) = 0 Si c es un punto de extremo local de f, entonces
  • 25. PUNTOS CRITICOS Definición: Un número c del dominio de f se llama número crítico o punto crítico de f si f ’(c) = 0.
  • 26. 1. Hallar todos los puntos críticos de f en [a, b] 2. Hallar f(c) para cada punto crítico c 3. Calcular f(a) y f(b) 4. El mayor de los números hallados en 2 y 3 es el máximo absoluto de f en[a,b] y el menor el mínimo. Procedimiento para determinar los máximos o mínimos de una función continua f en [a, b]
  • 27. TEOREMA Sea f continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces: Si f ’(x) 0 en (a, b) entonces f es estrictamente CRECIENTE en [a,b] >
  • 28. Criterio de la primera derivada Si c es un punto crítico de f y f es derivable alrededor de c, entonces: i) Si f ´ cambia de + a - en la vecindad de c entonces c es un punto de MÁXIMO local de f ii) Si f ´ cambia de - a + en la vecindad c entonces c es un punto de MÍNIMO local de f
  • 29. TEOREMA Sea f derivable en el intervalo (a, b), que contiene a c, tal que existe f ’’(c), entonces: Si f ’’(c) 0 la gráfica de f es cóncava hacia en x = carriba > +
  • 30. TEOREMA Sea f derivable en el intervalo (a, b), que contiene a c, tal que existe f ’’(c), entonces: Si f ’’(c) 0 la gráfica de f es cóncava hacia en x = cabajo < -
  • 31. Criterio de la segunda derivada Sea c un punto crítico de f en el cual f ’(c) = 0, entonces: Si f ’’(c) > 0, c es un punto de mínimo local Si f ’’(c) < 0, c es un punto de máximo local
  • 32. Punto de inflexión La gráfica de f tiene en el punto (c, f(c)) un punto de inflexión si: 1 f es continua en c 2 La gráfica tiene tangente en el punto sentido en c 3 La concavidad cambia de
  • 33. PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR Los PUNTOS DE INFLEXION i) Determinar los puntos donde f ’’ es cero ii) Verificar si cada uno de estos puntos es de inflexión. Esto es: • Si f es continua • Si la derivada existe o tiene límite infinito (tang. vertical) • Si f ’’ cambia de signo
  • 34. Razón de cambio porcentual Análisis Marginal.
  • 35. De dos empresas competidoras A y B se conocen sus funciones utilidad respectivas UA(q) y UB(q), donde UA(20) = UB(10). Si se tiene dól/unid y dól/unid ¡Reflexión! ¿Qué empresa fue más eficiente en la obtención de sus utilidades? 2 )20(  dq Ud A 2 )10(  dq Ud B
  • 36. Si consideramos el cociente ( ) ( ) f x f x  tenemos un medio para comparar la razón de cambio de f consigo misma. Esta razón se llama razón de cambio relativa de f. Si multiplicamos las razones de cambio relativas por 100 obtenemos las razones de cambio porcentuales. ( ) 100 ( ) f x f x   Razón de cambio porcentual
  • 37. Ejemplo Se estima que dentro de t años, la circulación de un periódico local será: C(t) = 100t2 + 400t + 5000 unidades a. ¿A qué razón cambiará la circulación dentro de 5 años? b. ¿Cuál es la razón de cambio porcentual de la circulación dentro de 5 años?
  • 38. Si el nivel de producción de un fábrica es de 10 unidades, ¿cómo podríamos determinar en forma aproximada el costo de producción de la undécima unidad sin tener que producirla? ¡Reflexión!
  • 39. x0 x1 f (x0) f (x1) f f (x) M N Del gráfico se puede afirmar que f  MN Aproximación por incrementos x 
  • 40. Ejemplo: Estime el cambio de f (x) = x3, cuando x varía de 2 a 2,1 Entonces, f  MN= = f´(x)x Luego, podemos decir que: f  f´(x)x x x MN   .
  • 41. Ejemplo Suponga que el costo total C, en soles, de fabricar q unidades de cierto artículo es C(q) = 10 + 5q + 3q2. Si el nivel actual de producción es 30 unidades, estime cómo cambiará el costo total si se producen 29,5 unidades.
  • 42. Consideremos la función Costo total C(q) 11 12 C(11) C(12) Creal Caproximado C(q) La pendiente de la recta tangente en q = 11 es la derivada del costo total en q = 11 Esta pendiente es numéricamente igual al cociente aproximado aproximado C C  1112
  • 43. De los párrafos anteriores se puede deducir que C´(11) = Costo aproximado de la unidad 12 A este costo aproximado se le conoce como el costo marginal de producir la doceava unidad o el costo marginal de producir 11 unidades. En general podemos decir que : C´(q) = C aproximado de la unidad “q+1 ” Costo marginal
  • 44. La función costo marginal CM es la derivada C´(q). Las unidades del costo marginal son las del costo por artículo. Se interpreta a C´(q) como el costo aproximado de producir un artículo adicional a q unidades. El ingreso marginal IM es la derivada del ingreso I(q) respecto a q. Esto es: La utilidad marginal UM es la derivada de la utilidad U(q) respecto a q. Esto es: dI IM dq  dU UM dq 