2. . . .
Álgebra
2
Expresiones algebraicas I
1. Calcule el valor de
1
2
1
4
1
125
1
2
1
3 1
1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
− −
−
A) 13 B) 9 C) 8 5
D) 1/9 E) 1/13
2. Si 2x
equivale a 3, simplifique
2 2 2
2 2 14
1 3
1
3
1 3
−
−
−
+ +
+ +
+ +
x x x
x x
A) 1/2 B) 1/9 C) 1/5
D) 1 E) 1/6
3. Si x es un número real que verifica
4 2 3 4
2
80
1 1
2
· ·x x
x
+ −
−
+
=
calcule el valor de x.
A) 2 B) 3/2 C) 4
D) 5/2 E) 5
4. Reduzca la expresión
12 15 20
3 4 5
1
n n n
n n n
n n
+ +
+ +
∈ { }
− − − −
+
;
A) 30 B) 12 C) 60
D) 20 E) 120
5. Si se cumple que
a = −5 23
indique la alternativa correcta.
A) a3
=125
B) a3
–15a2
+75a–125=0
C) a3
–15a2
+75a–123=0
D) a3
+15a2
–75a–123=0
E) a2
+a+1=2
6. Si se cumple que
2a–b=7
2b–c=–4
2c–a=–3
indique la alternativa correcta.
A) a3
+b3
+c3
=–3abc
B) a2
+b2
+c2
=2(ab+ac+bc)
C) a2
+b2
+c2
=ab+ac+bc
D) a3
+b3
+c3
=3abc
E) a3
+b3
+c3
=abc
7. Si se cumple que
a
b
b
a
2
2
2
2
47+ =
calcule el valor de E
a
b
b
a
= +
A) 4 B) 3 C) 5
D) 7 E) 7
8. Si se cumple que
x x x x2 2
4 2 1 5− +( ) − +( )+ =
indique el valor de x x2
3− +
A) 5 B) 5 C) 2
D) 2 E) 3
Expresiones algebraicas II
9. Dada la expresión f(x–1)=x3
–3x2
+3x–1
reduzca la expresión E=f(x+2)+f(x–2)+f(–2x)
A) –6x(x2
–4) B) 6x(x2
–4) C) x(x2
–4)
D) –6(x2
–4) E) –3x(x2
–4)
10. Se cumple que P
x x
x x
x( ) =
− −
− −
2
2
3 10
4 5
¿a que es igual P
x
1⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
?
A)
2 1
1
x
x
−
+
B)
x
x
1
2 1
C)
2 1
1
x
x
D)
x
x
2
1
E)
x
x
1
2
3. Álgebra
3
11. Dada expresión
f
m
m
m
mm
m
2 2 2
4
2
2
1 1
+⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
+
+
+
obtener la expresión f en variable 6x.
A) 3x2
+3x–3
B)
6 1
6
6
2
x
x
x
C) 9x2
+3x–2
D) (6x)4
+(6x)3
+(6x)2
E) 36x2
+6x
12. Al efectuar la división
mx nx nx x
x x
4 3 2
2
36 21
3 5 7
+ + − −
+ +
se obtiene como residuo al polinomio
R(x)=3x–35. Calcule el valor numérico de m+n.
A) 81 B) 63 C) 36
D) 27 E) 11
13. Al dividir P(x) entre x4
+x2
+1 se obtiene como
residuo x2
+x+6. Halle el resto de dividir P(x)
entre x2
+x+1.
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
14. LuegodedividirelpolinomioP(x)=x3
+4x2
+ax+b
por (x–1) y (x–3) se obtiene como resto 2 y 66
respectivamente. Determine el resto luego de
dividir el polinomio P(x) por (x+1).
A) 3 B) 9 C) –6
D) –3 E) –9
15. Determine el valor numérico de la expresión
P=211
+210
+29
+28
+...+2+1
A) 4096
B) 1023
C) 1024
D) 4095
E) 2047
16. Si el término central del cociente notable
generado por
x y
x y
n m
a2
es x6
y9
, indique el valor
de n+m+a.
A) 35 B) 40 C) 42
D) 39 E) 38
Ecuaciones polinomiales I
17. Determine el valor de x en la ecuación
(1+x)+(2+x)+(3+x)+...(2n+x)=4n2
A) 2n–1 B)
2
2
2
n n
C)
n
n
2
1
D)
2 1
2
n
E)
2 1
2
n
18. Al resolver la ecuación lineal de variable x
(a–3)x3
–(b–2)x2
+(c–ab)x+abc=0) se obtuvo
CS={5}.
Calcule el valor numérico de
11c
a b
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
19. Si 3a 5b; a,b +
resuelva la ecuación en x.
1
2
2
3
1
3
3
5
8
30
x a
a
x b
b
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ −
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
A) {0} B)
ab
b a2 5 3−( )
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
C) {1}
D)
ab
b a5 3−{ } E)
5 3b a
ab
−
{ }
20. Sea z un número complejo tal que
z–2z=3–12i
determine ||z|z|.
A) 5 5 B) 5 C) 25
D) 125 E) 3 5
4. . . .
Álgebra
4
21. Sea el polinomio
P(x)=1+x+x2
+x3
+...+x2011
; i = −1
indique el valor de M, donde
M=2P(i)+P(–i) – P
i
1⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
– P
i
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
A) 1 B) i C) –i
D) –1 E) 0
22. Indique el número de factores primos del po-
linomio en z.
P(x)=(x2
+2x–3)2
–4x2
–8x+7
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
23. Determine el producto de los términos inde-
pendiente de los factores primos del polinomio
P(x)=x3
–19x–30.
A) 30 B) 24 C) –24
D) –120 E) –30
24. Dado el polinomio P(x)=x2
+5x+3, determine
el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las si-
guientes proposiciones.
I. P(x) es primo en z.
II. P(x) es factorizable en .
III. P(x) tiene 2 factores primos en .
A) VFV B) VFF C) FVV
D) VVV E) VVF
Ecuaciones polinomiales II
25. Halle la ecuación cuadrática cuyas raíces son
m
m
m
m
m
3 3 3 3
0
− − + −
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
≠; ;
A) x x m2
2 3 0+ − =
B) x x m2
2 3 0− − =
C) x x m2
2 3 0− + =
D) 2 3 02
x x m+ − =
E) 2 3 02
x x m− + =
26. Dada la ecuación cuadrática
x2
+(k+2)x+k+10=0
determine la variación de k de modo que las
raíces de la ecuación sean reales positivas.
A) –10; –2
B) –10: –6 6; +
C) –10; –6 –2; +
D) –10; –6
E) –2; + {–10}
27. Dada la ecuación ax2
+bx+3=0 en variable x,
cuyo solución tiene la forma CS={ }; .
Determine las proposiciones verdaderas.
I. Si a=0 b < 0 +
II. Si a 0 b2
=12a
III. Si a > 0 b < 0 la ecuación tiene raíces
positivas.
A) solo II
B) I II
C) todas
D) solo I
E) I III
28. Dada la ecuación cúbica
x3
+5x2
+4x–4=0
cuyo conjunto solución tiene la forma
CS={–2; a; b}, calcule el valor numérico de
a3
+b3
.
A) –45 B) 18 C) –18
D) 27 E) –9
29. Sea la ecuación cúbica
x3
–mx2
+nx–15=0, {m; n}
donde una de sus raíces es el número complejo
no real (2+i), indique el valor m+n.
A) 0 B) 20 C) –24
D) 30 E) 24
5. Álgebra
5
30. Determine el conjunto solución de la ecuación
fraccionaria
2 1
2 1
7
2 1
x
x
x
x x x
−
+
−
−
=
+( ) −( )
A) {–6; 1}
B) {–6; –1}
C) {–5; 1}
D) {6; –1}
E) {–5; –1}
31. Dado el sistema de ecuaciones
k x y
x k y
+( ) + =
+ +( ) =
⎧
⎨
⎩⎪
2 2 7
4 3 10
si para que el sistema sea compatible determi-
nada k {a; b}. Determine ab.
A) –2 B) 2 C) 5
D) –5 E) 6
32. Se tiene el sistema lineal de orden 3
x y z
x y z
x y z
+ + =
− − =
+ + =
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
3 2 5
2 4
2 3 7
calcule el valor numérico de la expresión
(x+y+z)7x–z–15
A) 0 B) 4 C) 16
D) 64 E) 81
Desigualdades e inecuaciones I
33. Indique la variación de x2
+2xy+y2
si se sabe
que x 2; 5 ; y –2; 1].
A) 0; 36] B) 0; 36 C) [0; +
D) 0; 6 E) 0; 25
34. Sea S
x
x
x=
+
+
∈ < −{ }2 1
1
2/
determine la longitud de S.
A) 2 B) 0 C) 1
D) 3/2 E) 1/2
35. Sean x, y, z números reales positivos. Determine
el menor valor de la siguiente expresión
x y z
x y z
3 3
3
+ +( )
A) 9 B) 1 C) 3
D) 27 E) 6
36. Determine la variación de la función
f x
x
xx( ) = +
+
− ∀ ∈2
2
2
3
3
A) 2 2; + ∞⎡⎣
B) 2 2 6− + ∞⎡⎣ ;
C) [–3; +
D) − + ∞
⎡
⎣⎢
7
3
;
E) − + ∞⎡⎣ 2 2;
37. Dada la gráfica de la función cuadrática
f(x)=x2
–6x+k
1 4
determine la variación de los valores que puede
tomar k.
A) [5; 8 B) 5; 8 C) –6; 8
D) 1; 4 E) 4; 9
38. Dado los conjuntos
R={x /2x–1< x+3 3x+1}
S={y /–5 1–2y < y–2}
determine RS
A) B) 3; 4 C) –3; 4
D) 1; 3 E) 3; 4 {1}
6. . . .
Álgebra
6
39. Determine el conjunto solución de la inecuación
x
a
a
b
b
a
x
b
− − ≤ − +1 1
tal que {a; b} –
A) [a+b; +
B) – ; –(a+b)]
C) [–(a+b); +
D) a–b; +
E) – ; a+b]
40. Determine el complemento del conjunto solu-
ción de la inecuación
x3
–5x2
–9x+45 0
A) [–3; 3] [5; +
B) –3; 3 5; +
C) – ; –3 3; 5
D) – ; –3] [3; 5]
E) [–3; 3] [5; +
CLAVES
C
B
08 - B
A
10 - C
12 - E
13 - C
14 -
15 -
17 - D
19 -
C
21 - E
E
24 -
26 - D
C
28 -
30 - D
A
33 -
35 - 40 - C
01 -01 -01 - EEE
02 -02 -02 - EE
03 -03 -03 - CCC
04 -04 -04 - CC
05 -05 -05 - CCC
06 -06 - DD
07 -07 -07 - BB
08 -08 -08 - BBB
09 -09 -09 - AA
10 -10 -10 - CCC
11 -11 - CC
12 -12 - EE
13 -13 -13 - CCC
14 -14 - CCC
15 -15 -15 - DDD
16 -16 - EEE
17 -17 -17 - DDD
18 -18 -18 - DD
19 -19 -19 - BBB
20 -20 -20 - CCC
21 -21 - EE
22 -22 -22 - DDD
23 -23 -23 - EE
24 -24 -24 - DDD
25 -25 -25 - CC
26 -26 -26 - DD
27 -27 -27 - CCC
28 -28 - AAA
29 -29 -29 - EEE
30 -30 -30 - DDD
31 -31 - AA
32 -32 -32 - CCC
33 -33 -33 - BB
34 -34 -34 - CC
35 -35 -35 - DDD
36 -36 -36 - BBB
37 -37 -37 - BBB
38 -38 -38 - EE
39 -39 -39 - AAA
40 -40 -40 - CC
