1.
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
Áreas de Regiones Planas
Demetrio Ccesa Rayme

2.
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
2
Problema
Encuentre el área de la región dada en forma constructiva
  2 2 2
, / 2x y IR x y x x     
Pasos:
1.Graficamos la región.
2.Encontramos los puntos de
intersección.
3.Escogemos un rectángulo típico
de aproximación.
4.Planteamos el diferencial de
área.
5.Calculamos la integral.

3.
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
3
Región regular con respecto al eje x
Una región regular R con respecto al eje X es aquélla
que puede describirse como:
Se caracteriza porque cada curva y=f(x) e y=g(x) está
descrita por una sóla regla de correspondencia en el intervalo
[a,b].
R
y = f(x)
y = g(x)
X
Y
ba
      xfyxgb,x/aRIyx,R 2


4.
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
4
Regiones regulares
Una región regular R con respecto al eje Y es aquélla
que puede describirse como:
Región regular con respecto al eje Y:
Se caracteriza porque cada curva x=h(y) y x=i(y) está
descrita por una sóla regla de correspondencia en el intervalo
[c,d].
      yhxyid,y/cRIyx,R 2

x = h(y)
X
Y
d
c
R
x = i (y)

5.
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
5
Área entre curvas
elemento diferencial de área:
Si la región es regular con respecto al eje X:
R
y = f(x)
y = g(x)
X
Y
ba x
 
b
a
dxg(x)f(x)A(R) ][
   dARA
área de la región:
diferencial de área:
dA=[f(x)-g(x)]dx
dx
f(x)-g(x)

6.
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
6
Ejercicios
1. Determine el área de la región acotada por
y = 0, y = cos x, x = 0; x = p.
2. Calcule el área de la región acotada por las
curvas y = sen x, y = cos x , x = 0, x = p/2
3. Hallar el área de la región que se muestra
en la figura.

7.
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
7
Área entre curvas
elemento diferencial de área:
Si la región es regular con respecto al eje Y:
diferencial de área:
dA=[h(y)-i(y)]dy
      
d
c
dyyiyhRA ][
   dARA
área de la región:
x = h(y)
X
Y
d
c
R
x = i (y)
y dy
h(y)-i(y)

8.
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
8
Problemas de Aplicación
4. Encuentre el área de la región dada en
forma constructiva  








 1
2
6
/,
2
2
yy
y
RyxR

9.
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
9
Problemas de Aplicación
5. Encontrar el área entre las curvas y - x = 3;
x 1y2
6. Plantee las integrales que permiten calcular el
área entre las curvas; y = ln x ; y = ex ; y = 0.5;
y = 1