DOCUMENTO

1. MATEMÁTICA BÁSICA
Sesión Nro. 02
Inecuaciones polinómicas y racionales
Departamento de Ciencias

2. RESPONDA LAS SIGUIENTES PREGUNTAS:
• ¿Qué tipos de inecuaciones conoce?
• ¿Qué es una inecuación polinomial?
• ¿Qué es una inecuación racional ?
• ¿Cuál de las cajas mostradas anteriormente tiene mayor volumen?
• ¿Cómo desarrollarías las relaciones para el volumen mostradas en
la diapositiva anterior?

3. EL MEJOR SUELDO
Una empresa dedicada a la venta de
automóviles, ofrece dos opciones de
pago a sus trabajadores según las
ventas del mes. Las opciones están
expresadas por los siguientes
polinomios
y ,donde x
representa las ventas mensuales.
Juan, un estudiante de la UPN, desea
saber cuántos vehículos debe vender
para que su mejor sueldo sea la
segunda opción.
4
1 10 1500S x 
𝑆2 𝑥 = 270𝑥2 + 140𝑥 + 300

4. LOGRO DE SESIÓN
Al finalizar la sesión el estudiante
resuelve ejercicios de inecuaciones
polinómicas y racionales así como
problemas del contexto real
relacionados a la ingeniería,
haciendo uso de la teoría de
inecuaciones polinómicas y
racionales.

5. 1. INECUACIONES POLINÓMICAS.
2. INECUACIONES RACIONALES.
3. APLICACIÓN
4. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
CONTENIDOS

6. Ejemplos:
𝒙 𝟑
− 𝟒𝒙 𝟐
+ 𝒙 + 𝟔 < 𝟎
𝒙 𝟓 + 𝟑𝒙 𝟒 − 𝟓𝒙 𝟑 − 𝟏𝟓𝒙 𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟏𝟐 > 𝟎
1. INECUACIONES POLINÓMICAS
Una inecuación polinómica es aquella que se
reduce a una de las siguientes formas:
𝑃𝑛 𝑥 > 0, 𝑃𝑛 𝑥 ≥ 0, 𝑃𝑛 𝑥 < 0, 𝑃𝑛 ≤ 0
Un polinomio de grado 𝑛 es de la forma
𝑃𝑛 𝑥 = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
+ 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0

7. Consiste en:
 Reducir la inecuación dada a una expresión equivalente a 𝑃𝑛 𝑥 > 0, 𝑃𝑛 𝑥 ≥ 0,
𝑃𝑛 𝑥 < 0 ó 𝑃𝑛(𝑥) ≤ 0.
 Factorice 𝑃𝑛(𝑥).
 Determine los puntos críticos, valores de 𝑥 donde 𝑃𝑛 𝑥 = 0.
 Halle el signo de 𝑃𝑛(𝑥), en cada uno de los intervalos definidos en el punto
anterior.
 Indique el conjunto solución, teniendo en cuenta si los intervalos son abiertos o
cerrados
1.1 MÉTODO DE SOLUCIÓN

8. 1) Resolver:
Solución:
𝑥3
− 4𝑥2
− 4𝑥 + 16 ≥ 0
𝑥3
− 4𝑥2
− 4𝑥 + 16 ≥ 0
Factorizando (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)(𝑥 − 4) ≥ 0
Puntos críticos 𝑥 = −2, 𝑥 = 2, 𝑥 = 4
-2 2 4
+- + -
𝐶. 𝑆. = −2,2 ∪ 4, )∞
EJEMPLOS

9. 2) Resolver:
𝑥4 − 16 ≤ 0
Solución: 𝑥4
− 16 ≤ 0
Factorizando 𝑥 − 2 𝑥 + 2 𝑥2 + 4 ≤ 0
Puntos críticos 𝑥 = −2, 𝑥 = 2
-2 2
- ++
𝐶. 𝑆. = −2,2
EJEMPLOS

10. Una inecuación racional es aquella que se reduce a una
de las siguientes formas:
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
> 0,
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
≥ 0,
𝑃 𝑥
𝑄 𝑥
< 0,
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
≤ 0 , con 𝑄(𝑥) ≠ 0
donde 𝑃 𝑥 y 𝑄(𝑥) son polinomios de grado finito.
Ejemplos:
𝒙 𝟒 − 𝟐𝒙 𝟐 + 𝟏
𝒙 𝟑 − 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙
≤ 𝟎
𝟐𝒙 𝟓 − 𝟏𝟗𝒙 𝟒 + 𝟓𝟖𝒙 𝟑 − 𝟔𝟕𝒙 𝟐 + 𝟓𝟔𝒙 − 𝟒𝟖
𝒙 𝟑 − 𝟒𝒙 𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟐𝟒
> 𝟎
2. INECUACIONES RACIONALES

11. Consiste en:
 Reducir la inecuación dada a una expresión equivalente a
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
> 0,
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
≥ 0,
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
< 0 ó
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
≤ 0.
 Factorizar P 𝑥 y 𝑄(𝑥).
 Determine los puntos críticos de 𝑃(𝑥) y 𝑄(𝑥), valores de 𝑥 donde los
polinomios se anulan.
 Halle el signo de
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
, en cada uno de los intervalos definidos en el punto
anterior.
 Indique el conjunto solución, teniendo en cuenta si los intervalos son
abiertos o cerrados.
2.1 MÉTODO DE SOLUCIÓN

12. 1) Resolver:
Solución: 𝑥3
− 9𝑥
𝑥 + 5
≥ 0
Factorizando 𝑥(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
𝑥 + 5
≥ 0
Puntos críticos 𝑥 = −5, 𝑥 = −3, 𝑥 = 0, 𝑥 = 3
𝐶. 𝑆. = −∞, −5 ∪ −3, 0 ∪ 3, ∞
𝑥3
− 9𝑥
𝑥 + 5
≥ 0
-5 0 3
+- + -
-3
+
𝑥 ≠ −5
𝑥 ≠ −5
EJEMPLOS

13. 2) Resolver:
Solución:
Resolviendo y
multiplicando
por -1
Puntos críticos
-8/3 -2
- ++
𝐶. 𝑆. = −∞, −8/3 ∪ −2, ∞
𝑥
𝑥 + 2
< 4
𝑥
𝑥 + 2
− 4 < 0
3𝑥 + 8
𝑥 + 2
> 0
𝑥 = −8
3 , 𝑥 = −2
EJEMPLOS

14. 𝑺 𝟏 < 𝑺 𝟐
Por datos, se tiene opciones de
sueldo:
𝑆1 𝑥 𝑦 𝑆2 𝑥
Una empresa dedicada a la venta de automóviles, ofrece dos opciones de pago a
sus trabajadores según las ventas del mes. Las opciones están expresadas por los
siguientes polinomios 𝑆1 𝑥 = 10𝑥4 + 1500 y 𝑆2 𝑥 = 270𝑥2 + 140𝑥 + 300,
donde x representa las ventas mensuales. Juan, un estudiante de UPN, desea
saber cuántos vehículos debe vender para que su mejor sueldo sea la segunda
opción.
Solución: 10𝑥4
+ 1500 < 270𝑥2
+ 140𝑥 + 300
Juan desea la segunda opción,
que sea la mejor
10𝑥4
− 270𝑥2
− 140𝑥 + 1200 < 0
𝑥4
− 27𝑥2
− 14𝑥 + 120 < 0
Reducimos:
Factorizamos:
𝑥 − 5 𝑥 − 2 𝑥 + 3 𝑥 + 4 < 0
Puntos críticos:
𝑥 = −4, 𝑥 = −3, 𝑥 = 2, 𝑥 = 5
3. APLICACIÓN

15. Debe tenerse en cuenta que 𝑥, sólo toma valores
enteros positivos ya que están representando
cantidad de automóviles vendidos en un mes.
-4 2 5
+- + -
-3
+
𝐶. 𝑆. = −4, −3 ∪ 2,5
3. APLICACIÓN

16. 4. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1. Haeussler, Ernest; Richard Paul. Matemáticas
para administración y economía. 510 HAEU
2. Miller, Heeren, Hornsby. Matemática:
Razonamiento y aplicaciones.