Distribuciones Discretas, Denis Cañas

1. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DISCRETAS
INSTITUTO UNIVERSITARIO
POLITÉCNICO
SANTIAGO MARIÑO
EXTENSIÓN – MATURÍN
Integrante:
Denís cañas c.i: 15.815.002
Aula virtual esc - 45

2. VARIABLE ALEATORIA
Una variable se dice que es aleatoria, si los posibles valores que puede tomar son determinados por el azar.
En otras palabras se sabe qué valores puede tomar la variable pero no se tiene certeza de su ocurrencia,
sólo se sabe que puede ocurrir con una cierta probabilidad. Por ejemplo, en una epidemia de un
determinado virus, se sabe que una persona cualesquiera puede enfermar o no (eventos), pero no se sabe
cuál de los dos eventos va a ocurrir. Solamente se puede decir que existe una probabilidad de que la
persona enferme.
Ejemplo:
Supongamos que se lanzan dos monedas al aire.
El espacio maestral, esto es el conjunto de resultados elementales posibles asociado al experimento es:
Donde (c representa "sale cara" y x, "sale cruz"). Podemos asignar entonces a cada suceso elemental del
experimento el número de caras obtenidas. De este modo se definiría la variable aleatoria X como la función
Dada por:
El recorrido o rango de esta función, RX, es el conjunto

3. CLASIFICACIÓN DE LAS VARIABLES ALEATORIAS.
A continuación se describen algunas de las variables aleatorias, estas se clasifican se clasifican en:
Discretas: Son aquellas que resultan de contar el número de casos en los que el evento de interés ocurre,
por ejemplo: numero de hijos de una familia, número de veces que llega una paciente al servicio de
emergencia, etc.
Se denomina distribución de variable discreta a aquella cuya función de probabilidad sólo toma valores
positivos en un conjunto de valores X de finito o infinito numerable. A dicha función se le llama función de
masa de probabilidad. En este caso la distribución de probabilidad es la suma de la función de masa, por lo
que tenemos entonces que:
Esta expresión representa la suma de todas las probabilidades desde hasta el valor.

4. Distribuciones de variable discreta más importantes
Las distribuciones de variable discreta más importantes son las siguientes:
-Distribución Binomial: Es una distribución de probabilidad discreta que cuenta el número de éxitos en una
secuencia de n ensayos de Bernouli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre
los ensayos. Existen muchas situaciones en las que se presenta una experiencia binomial. Cada uno de los
experimentos es independiente de los restantes (la probabilidad del resultado de un experimento no depende del
resultado del resto). El resultado de cada experimento ha de admitir sólo dos categorías (a las que se denomina éxito
y fracaso). Las probabilidades de ambas posibilidades han de ser constantes en todos los experimentos (se denotan
como p y q o p y 1-p).
Se designa por X a la variable que mide el número de éxitos que se han producido en los n experimentos.
Cuando se dan estas circunstancias, se dice que la variable X sigue una distribución de probabilidad binomial, y se
denota B(n,p).
Su función de probabilidad es
Donde
Siendo
Las combinaciones de en (elementos tomados de en ).

5. Ejemplo:
Supongamos que se lanza un dado (con 6 caras) 50 veces y queremos conocer la probabilidad de que el número 3 salga
20 veces. En este caso tenemos una X ~ B (50, 1/6) y la probabilidad sería P(X=20):
- Distribución Binomial Negativa: Es una distribución de probabilidad discreta que incluye a la distribución de Pascal.
El número de experimentos de bernouli de parámetro independientes realizados hasta la consecución del k-ésimo éxito
es una variable aleatoria que tiene una distribución binomial negativa con parámetros k y .
La distribución geométrica es el caso concreto de la binomial negativa cuando k = 1.
Ejemplo:
Si la probabilidad de que un niño expuesto a una enfermedad contagiosa la contraiga es 0,40. ¿Cuál es la probabilidad
de que el décimo niño expuesto a la enfermedad sea el tercero en contraerla? En este caso, X es el número de niños
expuestos la enfermedad.
La solución es:
En un proceso de manufactura se sabe que un promedio de 1 en cada 10 productos es defectuoso, ¿cual es la
probabilidad que el quinto (5) artículo examinado sea el primero (1) en estar defectuoso?. La solución es: X= artículos
defectuosos P= 1/10 = 0,1 q= 1- 0,1 = 0,9 x= 5 ensayos K= 1 b*(5;1,0.1)=(5-11-1)(0.1)^1*(0.9)^5-1= b*(5;1,0.1)= 6.6% de
probabilidad que el quinto elemento extraído sea el primero en estar defectuoso.

6. -Distribución de Poisson: Es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de
ocurrencia media, la probabilidad de que ocurra un determinado número de eventos durante cierto período de tiempo
concretamente, se especializa en la probabilidad de ocurrencia de sucesos con probabilidades muy pequeñas, o
sucesos "raros".
La distribución de Poisson se aplica a varios fenómenos discretos de la naturaleza (esto es, aquellos fenómenos que
ocurren 0, 1, 2, 3,... veces durante un periodo definido de tiempo o en un área determinada) cuando la probabilidad de
ocurrencia del fenómeno es constante en el tiempo o el espacio. Ejemplos de estos eventos que pueden ser
modelados por la distribución de Poisson incluyen:
• El número de autos que pasan a través de un cierto punto en una ruta (suficientemente distantes de los semáforos)
durante un periodo definido de tiempo.
• El número de errores de ortografía que uno comete al escribir una única página.
• El número de llamadas telefónicas en una central telefónica por minuto, entre otros.
Ejemplo:
Si el 2% de los libros encuadernados en cierto taller tiene encuadernación defectuosa, para obtener la probabilidad de
que 5 de 400 libros encuadernados en este taller tengan encuadernaciones defectuosas usamos la distribución de
Poisson. En este caso concreto, k es 5 y, λ, el valor esperado de libros defectuosos es el 2% de 400, es decir, 8. Por lo
tanto, la probabilidad buscada es:

7. -Distribución de Bernoulli: Es una distribución de probabilidad discreta que toma valor 1 para la probabilidad de éxito (P)
y valor 0 para la probabilidad de fracaso (q = 1 - P). Si es una variable aleatoria que mide el "número de éxitos", y se
realiza un único experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso), se dice que la variable aleatoria se distribuye
como una Bernoulli de parámetro .
Si X es una variable aleatoria que mide el "número de éxitos", y se realiza un único experimento con dos posibles
resultados (éxito o fracaso), se dice que la variable aleatoria X se distribuye como una Bernoulli de parámetro P.
La fórmula será:
Su función de probabilidad viene definida por:
Ejemplo:
"Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cruz".
Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: el éxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso
(q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5. La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen en un
lanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles: 0 (ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz). Por tanto, la v.a.
X se distribuirá como una Bernoulli, ya que cumple todos los requisitos.

8. -Distribución Geométrica: es cualquiera de las dos distribución de probabilidad discretas siguientes: La distribución de
probabilidad del número X del ensayo de Bernoulli necesaria para obtener un éxito, contenido en el conjunto {1,2,3,...} o la
distribución de probabilidad del número Y = X − 1 de fallos antes del primer éxito, contenido en el conjunto {0,1,2,3…}. cual
de éstas es la que uno llama "la" distribución geométrica, es una cuestión de convención y conveniencia.
-Distribución hipergeométrica: es una distribución discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo.
-Distribución Rademacher: Toma el valor 1 con probabilidad ½ y el valor -1 con probabilidad ½.
-Distribución Uniforme Discreta: Donde todos los elementos de un conjunto finito son equiprobables.
GRACIAS POR SU ATENCIÓN