Dokumen tersebut membahas tentang integral dan aplikasinya, meliputi:
1. Definisi integral dan anti turunan
2. Metode penghitungan integral dengan substitusi, integral parsial, dan integral tertentu
3. Penerapan integral untuk menghitung luas daerah dan isi benda putar
"Mitos dan Kemenangan: Zeus Slot dan Dunia Yunani"
Integral
1. INTEGRAL
1. ANTI TURUNAN
Definisi
Contoh :
1. F(x) = cos x anti turunan dari f (x) = −sin x sebab F’
(x) = −sin x
2. a(x) = 2x2
anti turunan dari f (x) = 4x sebab a’
(x) = 4x
3. v(x) =
1
3
x3
anti turunan dari g(x) = x2
sebab v’
(x) = x2
Definisi
Definisi
Bentuk ∫f (x) dx dinamakan integral tak tentu dari fungsi y = f (x)
Lambang “ ∫” dinamakan “ integral ” yaitu merupakan operasi “anti differensial”
Dalil 1
Irvan Dedy, S.Pd Page 1 of 8 SMA Dwiwarna
Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I. Fungsi F yang memenuhi F’
(x) = f (x)
pada I dinamakan anti turunan atau fungsi primitif dari fungsi f pada I.
Anti diferensial dari fungsi f pada selang terbuka I adalah bentuk yang paling
umum dari anti turunan atau fungsi primitif dari f pada selang tersebut. Jika F'(x)
= f(x) pada selang terbuka I, maka anti diferensial dari fungsi f pada I adalah y
= F(x) + C, C konstanta.
Misalkan y = F(x) + C adalah anti turunan dari y = f (x) maka : f (x)dx∫ = F(x) + C
1. a∫ dx = ax + C 5. ∫
x
1 dx = ln x + C
2. nxa∫ dx =
1nx
1+n
a + + C ; n ≠ −1 6. ∫
xe dx = x
e + C
3. sin x∫ dx = − cos x + C 7. sec 2 x∫ dx = tg x + C
4. cos x∫ dx = sin x + C 8. cos ec x2
∫ dx = − ctg x +
C
2. Dalil 2
Contoh :
1. Hitung ( )∫ +− dx5x3x2
Jawab :
2(x 3x 5) dx− +∫ = 2x dx 3 x dx 5 dx− ∫ + ∫∫ = 3 231x x
3 2
− + 5x + C
2. Tentukan ∫ +−+ dx)2xxexcosx(sin
Jawab :
x(sin x cos x e + 2x) dx− −∫ = xsin x dx + cos x dx e dx+ 2x dx∫ −∫ ∫∫
= x 2
cos x sin x-e x C− + + +
3. Tentukan ( x x)( x 1) dx− −∫
Jawab :
( x x)( x dx− −∫ 1) = ∫ +−− dx)xxxx(x
=
∫ +−∫+− dx)x22
3
x2
1
(-x=dx)x2xxx(-
= C2xx2x
5
2xx
3
2-=C2x2
5
x
5
22
3
x
3
2 ++−++−−
4. Tentukan dx
xx
2x+2x3x +−∫
Jawab :
dx
2
3
x
22
1
x+2x3x +−∫ = dx)2
3
2x+
x
1+2
1
2x2
3
x(
−−
−∫ =
C+2
1-
4xxln+2
1
4x2
5
x
5
2 −−
= C
x
4xlnx4x2x
5
2 +−+−
5. Tentukan ∫ − 2x)x( dx
Jawab :
∫ − 2x)x( dx = ∫ +− )2xx2xx( dx = ∫ +− dxxx2x 22/3
= Cx
3
1
x
5
4
x
2
1 32/52
++−
= Cx
3
1
xx
5
4
x
2
1 322
++−
Irvan Dedy, S.Pd Page 2 of 8 SMA Dwiwarna
1. [f(x) g(x)]±∫ dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx
2. k. f(x)∫ dx = k. ∫f (x) dx ; k suatu konstanta.
3. 6. Gradien garis singgung pada grafik y = (x) di setiap titik (x , y) dinyatakan
oleh bentuk dy/dx = 2x − 5. Bila grafik y = f (x) melalui titik A (1 , 7),
tentukan persamaan fungsi y = f (x) !
Jawab :
dy
dx
= 2x − 5 ⇔ dy = (2x - 5) dx
⇔ dy = (2x − 5) dx ⇔ y = ∫ −5)dx2x( = x2
− 5x + C
Grafik melalui titik A(1 , 7), jadi 7 = 12
− 5(1) + C didapat C = 11
Akibatnya persamaan y = f (x) adalah y = f (x) = x2
− 5x + 11
2. INTEGRAL DENGAN SUBSTITUSI
Misalkan u = u (x) dan y = f (u) masing-masing anti turunan dari u'(x) dan f ' (u),
maka :
Bentuk integral di atas, dikenal dengan bentuk integral dengan subtitusi.
Dalil 3
Contoh :
1. ( ) ( ) ( )11 12 111 1 1
3x 6 dx . . 3x 6 C . 3x 6 C
3 12 36
+ = + + = + +
∫
2. ( ) ( )1 / 4 5 / 44 1 4
5x 2dx 5x 2 dx . . 5x 2 C
5 5
− = − = − +
∫ ∫
3. 1sin(2t )dt cos(2t )
2
− π = − − π
∫
4.
sinx d(1 cosx)
dx 2 1 cosx C
1 cos x 1 cos x
−
= = − +
− −∫ ∫
5. 4 2 2 2 2
tan xdx tan x tan xdx tan x(sec x 1)dx= = −
∫ ∫ ∫
= 2 2 2
tan x sec xdx tan xdx−
∫ ∫ = 2 2
tan xd(tanx) (sec x 1)dx− −
∫ ∫
= 31
tan x tanx x C
3
− + +
Irvan Dedy, S.Pd Page 3 of 8 SMA Dwiwarna
1. ( ) ( )n n 11 1
ax b dx . . ax b C
a n 1
+
+ = + +
+∫ 5. ax b ax b1
e dx e
a
+ +
=
∫
2. ( )
1
sin(ax b)dx cos ax b C
a
+ = − + +
∫
3. ( )
1
cos(ax b)dx sin ax b C
a
+ = + +
∫
4.
1 1
dx .ln(ax b) C
ax b a
= + +
+∫
∫ += C)u(fdu)u('f
4. 3. INTEGRAL PARSIAL
Misalkan u = u(x) dan v = v(x) fungsi-fungsi yang differensiabel pada daerahnya,
maka
dinamakan bentuk integral parsial.
Contoh :
1. Tentukan ∫ dxxx sin
Jawab :
Misalkan u = x dan dv = sin x dx, maka didapat du=dx dan v = −cos x
∫ dxxx sin = − x cos x − ∫ − dxx)cos( = …….. dst.
2. Tentukan ∫ +1x
xdx
dengan rumus integrasi parsial
Jawab :
Misalkan u = x dan dv =
1x
dx
+
maka du = dx dan v = 2 1x +
∫ +1x
xdx
=2x 1x + − ∫ =+ dx1x2 ……… dst.
4. INTEGRAL TERTENTU
Definisi
Bentuk integral di atas disebut integral tertentu dari y = f(x)
a dan b disebut batas integral dengan a merupakan batas bawah dan b merupakan
batas atas.
Irvan Dedy, S.Pd Page 4 of 8 SMA Dwiwarna
∫ ∫−= vduuvudv
Misalkan y = F(x) anti turunan dari y = f(x) dan masing-masing terdefinisi
pada daerah :
a ≤ x ≤ b, maka
b
a
f(x) dx
∫ = F(x)
a
b
= F(b) – F(a)
5. Dalil 4
Contoh :
1. Hitung
2
2
0
(x x) dx−
∫
Jawab :
2
2
0
(x x) dx−
∫ = 1/3 x3
– ½ x2
0
2
=
1 1 1 1 8 2
( 8 4) ( 0 0) 2
3 2 3 2 3 3
− − − = − =
2. Hitung
0
cos (2t ) dt
π
− π
∫
Jawab :
0
cos (2t ) dt
π
− π
∫ = ½ .sin (2t −π)
0
π
= ½ [sin (2π − π) – sin (0 − π)]
= ½ [sin π – sin (− π)] = 0
3. Hitung
1
2
2
0
(3x 4) dx+
∫
Jawab : ∫ +
2
0
dx)4x3( 2
3
= 3
1 2
5
)43(5
2
+x
0
2
= ])40()46[( 2
5
2
5
15
2
+−+
= )3210100(])410[ 15
2
15
2 2
5
2
5
−=−
5. LUAS DAERAH
Misalkan y = f(x) berharga positif pada daerah a ≤ x ≤ b dan kontinu pada daerah
tersebut, maka luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = f(x) dengan sumbu x dari x
= a ke x = b adalah
Irvan Dedy, S.Pd Page 5 of 8 SMA Dwiwarna
1. Bila f(a) terdefinisi, maka ∫ =
a
a
0dx)x(f
2. ∫ ∫−=
b
a
a
b
dxxfdxxf )()(
3. ∫ ∫ ∫=+
b
a
c
b
c
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
f
a b x
y
0
6. Bila y = f(x) berharga negatif pada daerah a ≤ x ≤ b maka luas daerah yang dibatasi
oleh y = f(x) dengan semubu x dari x = a ke x = b adalah
Misalkan f(x) ≥ g (x) pada daerah a ≤ x ≤ b maka luas daerah yang dibatasi oleh
grafik y = f(x) dan y = g(x) adalah
1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = −x2
+ 2x dengan sumbu x
Jawab : L = ∫
2
0
dxy
= ∫ +=+−
2
0
23
3
12
xxdx)x2x(
0
2
= (− 3
1
. 8 + 4) – 0 =
3
4
2. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = x2
dengan garis y = x + 8
Jawab :
y = x2
……... (1)
y = x + 6 ……… (2)
Dari (1) dan (2) didapat
x2
= x + 6
x2
– x – 6 = 0
x1 = 3 ; x2 = −2
Irvan Dedy, S.Pd Page 6 of 8 SMA Dwiwarna
L = ∫
b
a
dxxf )(
L = − ∫
b
a
dxxf )(
L = ∫ −
b
a
dx])x(g)x(f[
x
y
a b
f
0
a b x
g
f
y
L
0 2 X
Y
3-2 0
y = x + 6
y = x
2
7. Luas daerah, L =
3
2
3
3
12
2
12
x)(x6xdx)x6x( −−+=−+∫
= ( 2
9
+ 18 – 9) − (2 – 12 + 3
8
) = 4 ½ + 51/3 = 21 2
1
6. ISI BENDA PUTAR
Misalkan y = f(x) terdefinisi dan integrabel pada daerah a ≤ x ≤ b, bila daerah yang
dibatasi oleh y = f(x) dan sumbu x dari x = a ke x = b diputar mengelilingi sumbu x,
maka isi benda putar yang terjadi adalah :
Contoh :
1. Tentukan isi benda putar bila daerah yang dibatasi oleh grafik y = x2
dari x = 0
ke x =1 diputar mengeliling sumbu x
Jawab :
Isi benda putar yang terjadi
I = π ∫∫ ===
1
0
5
15
5
14
1
0
2
0
1
πππ xdxxdxy
2. Tentukan isi benda putar bila daerah yang dibatasi oleh grafik y = x2
dan garis
y = x + 2 diputar mengeliling sumbu x
Jawab :
Batas integral
+=
=
2xy
xy 2
⇔ x2
= x + 2
x2
– x – 2 = 0 didapat x1 = −1 dan x2 = 2. Isi benda putar yang terjadi :
Irvan Dedy, S.Pd Page 7 of 8 SMA Dwiwarna
I = π
∫∫ = dxxfdxy 22
)]([π
X
Y
a b
X
Y
0 I
2-1 0
y=x+2
y= x2
X
Y
8. I= π ∫ ∫
− −
−++=−+
2
1
2
1
42222
dx]x)4x4x[(dx)x()2x( π
=
2
1
5
5
123
)xx4x2x
3
1
( −−++π = π
15
174
LATIHAN SOAL
1. ∫ +− dx)1x)(1x(
2. dx
x
xx2x 2
∫
−+
3. ∫ − dx)1x( 2
4. ∫ − θθθ d)sin(cos 22
5. ∫ + dxx21x 35
6. ∫ +3
xcos1
xdxsin
7. Hitung luas daerah tertutup D yang dibatasi oleh parabola f(x) = 4x − x2
, garis x=1
dan sumbu X.
8. Tunjukkan bahwa 3
3
1
dxxsec12
3
1 3/
0
ππ
π
≤+≤ ∫
Irvan Dedy, S.Pd Page 8 of 8 SMA Dwiwarna