Συνδυαστική Προτασιακή Λογική Κατηγορηματική Λογική Θεωρία Γράφων

1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 2 1
ΠΛΗ20 – ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ2
ΣΩΣΤΑ / ΛΑΘΟΣ (30% του βαθµού)
(1) Έστω Α σύνολο µε n στοιχεία
1. Τα υποσύνολα του Α µε k στοιχεία είναι περισσότερα από τα υποσύνολα του Α µε n k− στοιχεία.
2. Ο αριθµός των τρόπων τοποθέτησης των στοιχείων του Α σε m διακεκριµένες υποδοχές είναι ( )1n m
n
+ −
3. Αν το n είναι περιττός, ο αριθµός των υποσυνόλων του Α είναι επίσης περιττός.
4. Ο αριθµός των τρόπων να διατάξουµε τα στοιχεία του Α είναι n!.
(2) Ρίχνουµε ένα ζάρι δύο φορές χωρίς να έχει σηµασία η σειρά εµφάνισης των αποτελεσµάτων. Ποιες από τις
παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιες όχι;
1. Τα διαφορετικά αποτελέσµατα είναι 36.
2. Τα διαφορετικά αποτελέσµατα είναι 21.
3. Η πιθανότητα το άθροισµα των αποτελεσµάτων να είναι 9 είναι 1/9
4. H πιθανότητα να έρθει πέντε και έξι είναι 1/36
(3) Πρόκειται να εκλέξουµε µια r-µελη επιτροπή από ένα σύνολο n ανδρών και m γυναικών
1. Αν τα µετέχοντα άτοµα έχουν σηµασία, οι επιλογές είναι ( )n m
r
+
2. Αν r n m≤ ≤ , τα µετέχοντα άτοµα δεν έχουν σηµασία και αυτό που µετρά είναι πόσοι άνδρες και πόσες
γυναίκες µετέχουν, οι επιλογές είναι r
3. Αν r n m≤ ≤ , τα µετέχοντα άτοµα δεν έχουν σηµασία και αυτό που µετρά είναι πόσοι άνδρες και πόσες
γυναίκες µετέχουν, οι επιλογές είναι όσες ο συντελεστής του r
x στην παράσταση 2 2
(1 )r
x x x+ + + +L
4. Αν n r m< ≤ , τα µετέχοντα άτοµα δεν έχουν σηµασία και αυτό που µετρά είναι πόσοι άνδρες και πόσες
γυναίκες µετέχουν, οι επιλογές είναι 1n +

2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 2 2
(4) Έστω f αντίφαση και g ταυτολογία. Τότε πάντα ισχύει ότι:
1. f g∨ είναι αντίφαση
2. f g∧ είναι αντίφαση
3. g f→ είναι αντίφαση
4. g¬ |− f
(5) Θεωρούµε µία πρωτοβάθµια γλώσσα µε ένα διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο P που ερµηνεύεται στο
σύνολο των φυσικών αριθµών ΙΝ µε το P(x, y) να δηλώνει ότι x ≤ y. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις
αληθεύουν σε αυτή την ερµηνεία και ποιες όχι;
1. ∃y ∀x P(x, y)
2. ∃x ∀y P(x, y)
3. ∀x ∀y (¬P(x, y) ∨ ¬P(y, x))
4. ∀x ∃y (x ≠ y ∧ P(x, y))
(6) Έστω Α ο πίνακας γειτνίασης και Π ο πίνακας πρόσπτωσης ενός µη κατευθυντικού (µη κατευθυνόµενου)
απλού γραφήµατος.
1. Το άθροισµα των στοιχείων της i-οστης γραµµής του Α είναι ίσο µε το άθροισµα των στοιχείων της i-οστης
γραµµής του Π.
2. Ο αριθµός των άσσων του Π είναι άρτιος.
3. ∆ύο ισόµορφα γραφήµατα έχουν ίσους πίνακες γειτνίασης.
4. Είναι δυνατόν να υπάρχει στήλη στον Α µόνο µε άσσους.

3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 2 3
(7) Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν;
1. Κάθε γράφηµα µε n κορυφές και n-1 ακµές είναι συνδεόµενο
2. Σε κάθε δένδρο µε τουλάχιστον 3 κορυφές, τα φύλλα αποτελούν σύνολο ανεξαρτησίας.
3. Υπάρχει πλήρες γράφηµα που είναι διχοτοµίσιµο.
4. Το συµπλήρωµα κάθε γραφήµατος είναι συνδεόµενο.
(8) Στις παρακάτω προτάσεις το Τ είναι δενδρο n ≥ 3 κορυφών
1. Αν ο µέγιστος βαθµός του Τ είναι ∆, τότε το Τ έχει τουλάχιστον ∆ φύλλα.
2. Κάθε ζευγάρι κορυφών του Τ ενώνονται µε ένα µοναδικό µονοπάτι.
3. Το συµπληρωµατικό του Τ είναι πάντα συνεκτικό γράφηµα.
4. Τα φύλλα του Τ αποτελούν σύνολο ανεξαρτησίας.
(9) Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιες όχι;
1. Ο αλγόριθµος διάσχισης κατά βάθος παράγει το ίδιο δένδρο, όταν εφαρµόζεται στο γράφηµα Kn και στο
γράφηµα Cn
2. Ο αλγόριθµος διάσχισης κατά πλάτος παράγει το ίδιο δένδρο, όταν εφαρµόζεται στο γράφηµα Kn και στο
γράφηµα Cn
3. Οι αλγόριθµοι διάσχισης κατά βάθος και κατά πλάτος παράγουν το ίδιο δένδρο όταν εφαρµόζεται στο Κn
4. Ο αλγόριθµος διάσχισης κατά πλάτος µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τον υπολογισµό του συντοµότερου
µονοπατιού από µία κορυφή s σε µία κορυφή t όταν όλες οι ακµές του γραφήµατος έχουν το ίδιο βάρος.
(10) Θεωρούµε απλά µη κατευθυντικά γραφήµατα. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν;
1. Ένα συνδεόµενο επίπεδο γράφηµα είναι δένδρο αν και µόνο αν έχει µόνο µία όψη.
2. Όλα τα δένδρα µε τουλάχιστον 2 κορυφές περιέχουν τουλάχιστον δύο φύλλα.
3. Όλα τα δένδρα µε τουλάχιστον 2 κορυφές έχουν το ίδιο χρωµατικό αριθµό.
4. Όλα τα δένδρα µε τουλάχιστον 2 κορυφές έχουν άρτιο πλήθος φύλλων.

4. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 2 4
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (70% του βαθµού)
Άσκηση 1 (Μονάδες 25)
(Ερώτηµα 1)
Πόσα είναι τα υπογραφήµατα του Κ100 που είναι ισόµορφα (α) µε το Κ3,3 (β) µε το Κ5,4 (γ) µε το Κ2,2,2 δηλαδή το
πλήρες τριµερές γράφηµα µε κάθε µερίδιο κορυφών να έχει 2 κορυφές;
(Ερώτηµα 2)
Πόσα είναι τα υπογραφήµατα του Κ100 που είναι ισόµορφα (α) µε το γράφηµα Α (β) µε το γράφηµα Β;
(Ερώτηµα 3)
Πόσα είναι τα διαφορετικά πλήρη διµερή υπογραφήµατα Κn,n του K2n, αν θεωρήσουµε ότι τα δύο σύνολα
ανεξαρτησίας του Kn,n είναι διακεκριµένα;
(Ερώτηµα 4)
Θέλουµε να υπολογίσουµε το πλήθος των διαφορετικών πλήρων διµερών υπογραφηµάτων του K2n, τα οποία
έχουν 2n κορυφές, θεωρώντας ότι τα δύο σύνολα ανεξαρτησίας τους είναι διακεκριµένα (ας τα ονοµάσουµε Α
και Β), και ότι κάθε σύνολο ανεξαρτησίας πρέπει να περιέχει τουλάχιστον 2 κορυφές. Αφού εξηγήσετε πως ένα
τέτοιο υπογράφηµα προκύπτει δίνοντας κατάλληλα τις ετικέτες Α ή Β στις κορυφές του K2n, στη συνέχεια να
διατυπώσετε τη γεννήτρια συνάρτηση, και να προσδιορίσετε τον όρο του οποίου ο συντελεστής δίνει τη λύση σε
αυτό πρόβληµα.

5. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 2 5
Άσκηση 2 (Μονάδες 35)
(Ερώτηµα 1)
Συµπληρώστε τα κενά στην παρακάτω τυπική απόδειξη και δώστε και την εκφώνηση της άσκησης:
1. Υπόθεση
2. Υπόθεση
3. → (¬η → ) ΑΣ1, όπου θέσαµε στη θέση του φ
τον τύπο και όπου ψ τον τύπο ¬η.
4. ¬η → ¬θ MP 2, 3
5. ( → ) → (( → ) → ) ΑΣ3, όπου θέσαµε στη θέση του φ
τον τύπο και όπου ψ τον τύπο
6. ( → ) → MP 4, 5
7. MP 1, 6
(Ερώτηµα 2)
Να βρείτε την κανονική ποσοδεικτική µορφή του τύπου: ∀ , → ∀ ,
(Ερώτηµα 3)
Θεωρούµε µια πρωτοβάθµια γλώσσα µε ένα διµελές κατηγόρηµα P. Ερµηνεύουµε τη γλώσσα αυτή σε απλά µη
κατευθυνόµενα γραφήµατα ώστε οι µεταβλητές να ερµηνεύονται ως κορυφές του γραφήµατος και το σύµβολο P
µε τη σχέση που αποτελείται από όλα τα ζευγάρια κορυφών (a,b) που συνδέονται µε ακµή. Σε αυτήν την
γλώσσα να γράψετε µία πρόταση που να εκφραζει την ακόλουθη ιδιότητα:
A. Ορίστε µια συντοµογραφία φ να αληθεύει αν το γράφηµα δεν έχει κύκλο µήκους 3
B. Ορίστε τη συντοµογραφία Κ(x) να αληθεύει αν η κορυφή x έχει βαθµό τουλάχιστον 3
C. Ορίστε τη συντοµογραφία ψ να αληθεύει αν το γράφηµα δεν έχει κύκλο µήκους 3 και κάθε κορυφη έχει
βαθµό τουλάχιστον 3.

6. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 2 6
Άσκηση 3 (Μονάδες 20)
Έστω απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα , . Συµβολίζουµε µε τον χρωµατικό αριθµό του , και
συµβολίζουµε µε το γράφηµα που αποµένει αν αφαιρέσουµε από το την κορυφή και όλες τις ακµές που
προσπίπτουν σε αυτή.
1. Να κατασκευάσετε γράφηµα , τέτοιο ώστε για κάθε κορυφή ∈ :
2. Να δείξετε ότι σε κάθε µη συνδεόµενο γράφηµα υπάρχει κορυφή τέτοια ώστε

7. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 2 7
Άσκηση 4 (Μονάδες 20)
1. Θεωρείστε µια επίπεδη αποτύπωση ενός γραφήµατος και έστω C ένας κύκλος ο οποίος περιλαµβάνει
ακριβώς 2 όψεις της αποτύπωσης. ∆είξτε ότι αν κάθε µία από τις όψεις είναι άρτιος κύκλος, τότε και ο C
είναι άρτιος κύκλος.
2. ∆είξτε ότι ένα απλό επίπεδο γράφηµα είναι διχρωµατίσιµο αν κάθε εσωτερική του όψη είναι άρτιος
κύκλος.