1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 3 1
ΠΛΗ20 – ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3
Συνδυαστική (Γεννήτριες Συναρτήσεις)
Ο∆ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ
Επαναλάβετε τα µαθήµατα:
• Συνδυαστική – Μάθηµα 5: Απλές Γεννήτριες Συναρτήσεις
• Συνδυαστική – Μάθηµα 6: Εκθετικές Γεννήτριες Συναρτήσεις
Άριστη Γνώση στις κατηγορίες Ασκήσεων του Μαθήµατος 5
Ο∆ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΧΡΟΝΟ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ:
Έπειτα προχωρήστε στην επίλυση των ασκήσεων. Οι γεννήτριες συναρτήσεις είναι µάλλον η πιο
εύκολη µονάδα των τελικών εξετάσεων.
Κάθε οµάδα ερωτήσεων (Σ/Λ) πρέπει να έχει απαντηθεί εντός 7 και όλες οι ασκήσεις εντός του
συνιστώµενου χρόνου. Έπειτα συµβουλευτείτε τις αντίστοιχες ηχογραφήσεις για να δείτε
ολοκλήρωµένα τις λύσεις των ασκήσεων.
Συνιστώµενοι Χρόνοι για την επανάληψη:
Χρόνος Μελέτης των Μαθηµάτων: 1.00’
Χρόνος Απάντησης Ερωτήσεων : 28’
Χρόνος Απάντησης Ασκήσεων: 2.00’
Ηχογραφήσεις Ασκήσεων: 2.00’
2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 3 2
Ερωτήσεις
Ερωτήσεις 1
Ένα παιχνίδι παίζεται µε 6 παίκτες, καθένας από τους οποίους επιλέγει έναν αριθµό από το 1 έως το
10. Οι διαφορετικοί τρόποι επιλογής των αριθµών είναι:
1. Όσοι ο συντελεστής του 10
10!x στην παράσταση 6
( 1)x
e −
2. Όσοι ο συντελεστής του 6
6!x στην παράσταση 10x
e
3. 4·105
, αν τουλάχιστον ένας παίκτης έχει τον αριθµό 10
4. 106
– 105
, αν τουλάχιστον ένας παίκτης έχει τον αριθµό 10
Ερωτήσεις 2
Θεωρούµε τις διανοµές k διακεκριµένων αντικειµένων σε n διακεκριµένες υποδοχές όταν έχει σηµασία
η σειρά µε την οποία τα αντικείµενα εµφανίζονται στις υποδοχές. Το πλήθος των διαφορετικών
διανοµών είναι ίσο µε:
1.
1
!
+ −
n k
k
k
2. Τον συντελεστή του xn
στην παράσταση (1 + x + x2
+ x3
+ x4
+ …)k
3. Τον συντελεστή του / !k
x k στην παράσταση (1 + x + x2
+ x3
+ x4
+ …)n
4. Τον συντελεστή του / !k
x k στην παράσταση
2 3 4
1
2! 3! 4!
n
x x x
x
+ + + + +
L
Ερωτήσεις 3
Ο αριθµός των διαφορετικών συµβολοσειρών µήκους 12 που σχηµατίζονται από 4 Α, 5 Β, και 3 Γ είναι
ίσος µε
1. 12! / (4! 5! 3!), όταν δεν υπάρχουν περιορισµοί.
2. 10! / (4! 5! 3!), όταν η συµβολοσειρά πρέπει να αρχίζει µε Α και να τελειώνει µε Β.
3. Το συντελεστή του x12
/12! στη γεννήτρια συνάρτηση
!3!5!4
354
xxx
⋅⋅ , όταν δεν υπάρχουν περιορισµοί.
4. 10!/(4!5!3!), όταν τα 3 Γ πρέπει να εµφανίζονται διαδοχικά (χωρίς να υπάρχουν άλλοι περιορισµοί).
Ερωτήσεις 4
Θεωρουµε τον αριθµό των διαφορετικών τρόπων να τοποθετήσουµε 4 διακεκριµένα αντικείµενα σε 2
διακεκριµένες υποδοχές ώστε η πρώτη υποδοχή να πάρει τουλάχιστον 2 αντικείµενα, όταν δεν
ενδιαφέρει η σειρά εµφάνισης των αντικειµένων στις υποδοχές. Αυτός ο αριθµός είναι ίσος µε:
1. Το συντελεστή του x4
στη γεννήτρια συνάρτηση ( x2
+ x3
+ x4
)( 1 + x + x2
+ x3
+ x4
).
2. Το συντελεστή του x4
/ 4! στη γεννήτρια συνάρτηση ex
(ex
– 1 – x).
3. Τον αριθµό των υποσυνόλων µε τουλάχιστον 2 στοιχεία ενός συνόλου µε 4 στοιχεία.
4. Τον αριθµό των δυαδικών συµβολοσειρών µήκους 4 που περιέχουν τουλάχιστον ένα 1 και τουλ.
ένα 0.
3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 3 3
Ασκήσεις
Άσκηση 1
Έχουµε 10 µπάλες των 5 κιλών, 10 µπάλες των 2 κιλών και απεριόριστες µπάλες του 1 κιλού. Να
γραφούν γεννήτριες συναρτήσεις που να υπολογίζουν τα ακόλουθα:
1. Τους διαφορετικούς τρόπους µε τους οποίους µπορούµε να επιλέξουµε n µπάλες.
2. Τους διαφορετικούς τρόπους µε τους οποίους µπορούµε να επιλέξουµε µπάλες που το
συνολικό τους βάρος είναι n.
Άσκηση 2
Στις επόµενες εκλογές, σε ένα ορεινό χωρίο της ακριτικής ελλάδας συµµετέχουν τα κόµµατα Α,Β,Γ,∆.
Εγγεγραµένοι στο εκλογικό τµήµα είναι 100 άτοµα.
Σύµφωνα µε τις δηµοσκοπήσεις αναµένεται το κόµµα ∆ να µην λάβει περισσότερες από 10 ψήφους, το
κόµµα Α θα λάβει περισσότερες ψήφους από το κόµµα Β και το κόµµα Γ θα λάβει περισσότερες από
τις µισές ψήφους.
Κατασκευάστε γεννήτρια συνάρτηση και υποδείξτε το συντελεστή του όρου που υπολογίζει το πλήθος
των διαφορετικών αποτελεσµάτων που ικανοποιούν τις δηµοσκοπήσεις.
Άσκηση 3
Υπολογίστε τις διαφορετικές ρίψεις 10 ζαριών µε χρήση γεννήτριών συναρτήσεων.
1. Αν τα ζάρια είναι διακεκριµένα
2. Αν τα ζάρια είναι µη διακεκριµένα.
Άσκηση 4
Ένας προπονητής ποδοσφαίρου έχει 12 όµοιες µπάλες και θέλει να τις µοιράσει σε τρεις οµάδες ώστε
κάθε οµάδα να πάρει τουλάχιστον µία µπάλα. Γράψτε γεννήτρια συνάρτησή και προσδιορίστε τη
δύναµη, ο συντελεστής της οποίας θα δώσει την απάντηση στο πρόβληµα:
1. Χωρίς άλλους περιορισµούς
2. Αν η 1η
οµάδα πρέπει να πάρει περισσότερες µπάλες από την 2η
οµάδα και η 3η
οµάδα πρέπει
να πάρει το πολύ τόσες µπάλες όσες και η 2η
οµάδα.
Άσκηση 5
Να δείξετε µε την χρήση γεννητριών συναρτήσεων ότι ο αριθµός των τρόπων να διανεµηθούν n ίδια
αντικείµενα σε m διακεκριµένες υποδοχές (m≤n) ώστε καµία υποδοχή να µην µείνει κενή είναι ίσος µε
τον αριθµό των τρόπων να διανεµηθούν n ίδια αντικείµενα σε m+1 διακεκριµένες υποδοχές (m≤n)
ώστε η πρώτη υποδοχή να πάρει (ακριβώς) m αντικείµενα και χωρίς να υπάρχουν περιορισµοί για τις
υπόλοιπες υποδοχές.
Άσκηση 6
Σχηµατίστε τη γεννήτρια συνάρτηση και προσδιορίστε τον όρο του οποίου ο συντελεστής δίνει τους
τρόπους µε τους οποίους 40 διακεκριµένοι µαθητές µπορούν να µεταφερθούν από 3 διαφορετικά
σχολικά λεωφορεία αν στο πρώτο λεωφορείο πρέπει να µπουν τουλάχιστον 5 µαθητές, στο δεύτερο
ζυγός αριθµός µαθητών και στο τρίτο µονός αριθµός µαθητών.
