Α.Θεωρία 1) Νόμοι Κατηγορηματικής Λογικής 1.1) Νόμοι Κατηγορηματικής Λογικής 1.2) Ταυτολογία-Αντίφαση 1.3) Μετονομασία μεταβλητών ποσοδεικτών 2) Κανονικές Μορφές 2.1) Κανονική Διαζευκτική Μορφή 2.2) Κανονική Συζευκτική Μορφή 2.3) Clausal Form 2.4) Πρόταση Horn 3) Μετατροπή wff σε ΣΚΜ 3.1) Μεγάλη Άσκηση Σ.Κ.Μ. 3.2) Γρήγορη Σ.Κ.Μ. Β.Μεθοδολογία 1) Τυπική Απάντηση ΣΚΜ 2) Προτάσεις Horn (και μικρές παραλλαγές) Ασκήσεις

1. ΠΛΗ31
ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΓΝΩΣΗ
Μάθηµα 2.2:
Κατηγορηµατική Λογική – Νόµοι Κ.Λ. και Κανονικές Μορφές
∆ηµήτρης Ψούνης

2. Α.Θεωρία
1. Νόµοι Κατηγορηµατικής Λογικής
1. Νόµοι Κατηγορηµατικής Λογικής
2. Ταυτολογία-Αντίφαση
3. Μετονοµασία µεταβλητών ποσοδεικτών
2. Κανονικές Μορφές
1. Κανονική ∆ιαζευκτική Μορφή
2. Κανονική Συζευκτική Μορφή
3. Clausal Form
4. Πρόταση Horn
3. Μετατροπή wff σε Σ.Κ.Μ
1. Μεγάλη Άσκηση Σ.Κ.Μ.
2. Γρήγορη Σ.Κ.Μ.
Β.Μεθοδολογία
1. Παρουσίαση Απάντησης ΣΚΜ
1. Τυπική Απάντηση ΣΚΜ
2. Προτάσεις Horn (και µικρές παραλλαγές)
Ασκήσεις
2∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ31, Μάθηµα 2.2: Νοµοι Κατηγορηµατικής Λογικής και Κανονικές Μορφές wff
Περιεχόµενα Μαθήµατος

3. Α. Θεωρία
1. Νόµοι Κατηγορηµατικής Λογικής
Οι νόµοι της Κατηγορηµατικής Λογικής είναι οι ακόλουθοι:
3∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ31, Μάθηµα 2.2: Νοµοι Κατηγορηµατικής Λογικής και Κανονικές Μορφές wff
Όνοµα Νόµου ∆ιατύπωση Σχόλια
1 ∆ιπλή Άρνηση ∆ιπλή άρνηση απαλείφεται
2 Αντικατάσταση Συνεπαγωγή γίνεται OR
3 De Morgan OR γινεται AND και
αντίστροφα
4 Επιµερισµού
5 Αντιµετάθεσης
6 Προσεταιρισµού
7 Αναίρεσης ή αντιθετικότητας
8 Ισοδυναµίας µε
ποσοδείκτες
Άρνηση και Ποσοδείκτες
Β∨Α≡Β∧Α
Β∧Α≡Β∨Α
~~)(~
~~)(~
)()()(
)()()(
Γ∨Α∧Β∨Α≡Γ∧Β∨Α
Γ∧Α∨Β∧Α≡Γ∨Β∧Α
Α∨Β≡Β∨Α
Α∧Β≡Β∧Α
Γ∨Β∨Α≡Γ∨Β∨Α
Γ∧Β∧Α≡Γ∧Β∧Α
)()(
)()(
Α≡Α)(~~
Β∨Α≡Β⇒Α ~
Α⇒≡Β⇒Α ~~ B
Α∃≡Α∀
Α∀≡Α∃
~~
~~
xx
xx
Β∀∧Α∀≡Β∧Α∀
Β∃∨Α∃≡Β∨Α∃
xxx
xxx
}{
}{

4. Α. Θεωρία
1. Νόµοι Κατηγορηµατικής Λογικής
1.Ταυτολογία-Αντίφαση
Οι νόµοι της κατηγορηµατικής λογικής είναι ισοδυναµίες (φ ≡ ).
Αυτό σηµαίνει ότι αν εφαρµόσουµε έναν νόµο της κατηγορηµατικής λογικής προκειµένου
να τροποποιήσουµε την µορφή µιας πρότασης, προκύπτει ένας νέος τύπος που έχει την
ίδια τιµή αλήθειας µε την αρχική πρόταση.
Ορίζουµε επίσης:
4∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ31, Μάθηµα 2.2: Νοµοι Κατηγορηµατικής Λογικής και Κανονικές Μορφές wff
Ταυτολογία είναι οποιαδήποτε παράσταση κατηγορηµατικής λογικής είναι πάντα αληθής
Αντίφαση είναι οποιαδήποτε παράσταση είναι πάντα ψευδής.
Παράδειγµα: Οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναµες:
∀ ∃ , (εφαρµόζω νόµο διπλής άρνησης)
≡ ∀ ∃ , (εφαρµόζω νόµο άρνησης ποσοδείκτη)
≡ ∃ ∃ , (εφαρµόζω νόµο άρνησης ποσοδείκτη)
≡ ∃ ∀ ,

5. A. Θεωρία
1. Νόµοι Κατηγορηµατικής Λογικής
2.Μετονοµασία Μεταβλητής
Έχουµε το δικαίωµα να µετονοµάσουµε την µεταβλητή ενός ποσοδείκτη,
αρκεί να µετονοµάσουµε και όλες τις εµφανίσεις της στο πεδίο εφαρµογής
της µεταβλητής.
Για παράδειγµα αν έχουµε την παράσταση:
Μπορεί να γραφεί ως:
Και περαιτέρω:
5∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ31, Μάθηµα 2.2: Νοµοι Κατηγορηµατικής Λογικής και Κανονικές Μορφές wff
∀ ~ ∨ ∃ , ∧ ~
∀ ~ ∨ ∃ , ∧ ~
∀ ~ ∨ ∃ , ∧ ~

6. A. Θεωρία
2. Κανονικές Μορφές Προτάσεων
Αποδεικνύεται ότι κάθε wff τύπος µπορεί να µετατραπεί σε µία από τις
παραπάνω κανονικές µορφές προτάσεων
6∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ31, Μάθηµα 2.2: Νοµοι Κατηγορηµατικής Λογικής και Κανονικές Μορφές wff
Ορισµός:
• Οι κανονικές µορφές προτάσεων είναι τυποποιηµένες µορφές στις οποίες µπορεί να
µετατραπεί (µε ισοδύναµο νόηµα) κάθε καλοσχηµατισµένη πρόταση κατηγορηµατικής λογικής
(wff).
• Θα µάθουµε 3 κανονικές µορφές προτάσεων:
Την Συζευκτική Κανονική Μορφή (ΣΚΜ)
Την ∆ιαζευκτική Κανονική Μορφή (∆ΚΜ)
Την clausal form (CF)
• Και θα δούµε τον τρόπο για να µετατρέπουµε οποιονδήποτε τύπο κατηγορηµατικής λογικής σε
συζευκτική κανονική µορφή.

7. A. Θεωρία
2. Κανονικές Μορφές Προτάσεων
1. Συζευκτική Κανονική Μορφή
7∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ31, Μάθηµα 2.2: Νοµοι Κατηγορηµατικής Λογικής και Κανονικές Μορφές wff
Ορισµός:
Ένας τύπος είναι σε Συζευκτική Κανονική Μορφή (ΣΚΜ), αν είναι της µορφής:
∧ ∧ ⋯ ∧
όπου κάθε είναι της µορφής:
∨ ∨ ⋯ ∨
Και κάθε !" είναι κυριολέκτηµα (literal) δηλαδή ατοµική πρόταση ή άρνηση ατοµικής πρότασης
Παραδείγµατα:
Π.χ. οι προτάσεις:
#$% &'# ∨ ($) %& &'#, ($# ∧ #$% *'* ∨ ~($) %& ($#, *'*
και
+ $ ∨ , ∨ ~ - ∧ - ∨ ~ - ∨ + -
είναι σε Συζευκτική Κανονική Μορφή (ΣΚΜ)

8. A. Θεωρία
2. Κανονικές Μορφές Προτάσεων
2. ∆ιαζευκτική Κανονική Μορφή
8∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ31, Μάθηµα 2.2: Νοµοι Κατηγορηµατικής Λογικής και Κανονικές Μορφές wff
Ορισµός:
Ένας τύπος είναι σε ∆ιαζευκτική Κανονική Μορφή (∆ΚΜ), αν είναι της µορφής:
∨ ∨ ⋯ ∨
όπου κάθε είναι της µορφής:
∧ ∧ ⋯ ∧
Και κάθε !" είναι κυριολέκτηµα (literal) δηλαδή ατοµική πρόταση ή άρνηση ατοµικής πρότασης
Παραδείγµατα:
Π.χ. οι προτάσεις:
#$% &'# ∧ ($) %& &'#, ($# ∨ #$% *'* ∧ ~($) %& ($#, *'*
και
+ $ ∧ , ∧ ~ - ∨ - ∧ ~ - ∧ + -
είναι σε ∆ιαζευκτική Κανονική Μορφή (∆ΚΜ)

9. Α. Θεωρία
2. Κανονικές Μορφές Προτάσεων
3. Clausal Form
9∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ31, Μάθηµα 2.2: Νοµοι Κατηγορηµατικής Λογικής και Κανονικές Μορφές wff
Ορισµός:
Ένας τύπος είναι σε clausal form αν είναι της µορφής:
./ ∧ .0 ∧ ⋯ ∧ .1 ⇒ / ∨ 0 ∨ ⋯ ∨ 3
όπου τα Β (καλούνται υποθέσεις) και τα Α (καλούνται συµπεράσµατα) είναι ατοµικές προτάσεις
(δηλαδή κατηγορήµατα χωρίς αρνήσεις)
Ειδικές Περιπτώσεις:
Αν n=0: ./ ∧ .0 ∧ ⋯ ∧ .1 ⇒
(υποθέσεις χωρίς συµπέρασµα) Λέµε ότι η πρόταση είναι ασυνεπής
Αν m=0: ⇒ / ∨ 0 ∨ ⋯ ∨ 3
(συµπεράσµατα που ισχύουν ανεξάρτητα από υποθέσεις) Λέµε ότι η πρόταση είναι πάντα
αληθής δηλαδή ταυτολογία
Αν n=m=0: ⇒ που θα συµβολίζεται και µε ⎕ και είναι πάντα αναληθής, δηλαδή αντίφαση
Παρατήρηση:
Η C.F. είναι ειδική περίπτωση της ΣΚΜ αφού π.χ.:
./ ∧ .0 ⇒ / ∨ 0 ≡ ~ ./ ∧ .0 ∨ / ∨ 0 ≡ ~./ ∨ ~.0 ∨ / ∨ 0 ≡ ~./ ∨ ~.0 ∨ / ∨ 0

10. Α. Θεωρία
2. Κανονικές Μορφές Προτάσεων
4. Πρόταση Horn
10∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ31, Μάθηµα 2.2: Νοµοι Κατηγορηµατικής Λογικής και Κανονικές Μορφές wff
Ορισµός:
• Mία Πρόταση Horn είναι ένας τύπος σε clausal form µε το πολύ ένα συµπέρασµα.
Παρατήρηση:
• Οι προτάσεις Horn παίζουν σηµαντικό ρόλο τόσο στην Prolog όσο και γενικότερα στον
αυτοµατοποιηµένο συµπερασµό.
• Αποτυπώνουν µαθηµατικά την έννοια του κανόνα.
∆ύο Σηµαντικές Ειδικές Περιπτώσεις:
• Περίπτωση 1: Ακριβώς ένα θετικό κατηγόρηµα µε παρουσία υποθέσεων:
• Μορφή: ./ ∧ .0 ∧ ⋯ ∧ .1 ⇒ 5
• Αποτυπώνει την συλλογιστική: «Αν ισχύουν τα , , … , 7 τότε ισχύει το Α»
• Ισοδύναµα υπό τις υποθέσεις , , … , 7 έπεται το συµπέρασµα Α.
• Μία τέτοια πρόταση καλείται και κανόνας
• Περίπτωση 2: Ακριβώς ένα θετικό κατηγόρηµα χωρίς υποθέσεις:
• Μορφή: ⇒ 5
• Αποτυπώνει την συλλογιστική: «Ισχύει το Α»
• Ισοδύναµα ισχύει το Α άνευ υποθέσεων (ισχύει αναντίρρητα).
• Μία τέτοια πρόταση καλείται και γεγονός
Τα δύο αυτά στοιχεία αποτελούν τα θεµέλια της γλώσσα Prolog.

11. Α. Θεωρία
3. Μετατροπή wff σε ΣΚΜ
11∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ31, Μάθηµα 2.2: Νοµοι Κατηγορηµατικής Λογικής και Κανονικές Μορφές wff
Ορισµός:
• Ένας καλοσχηµατισµένος τύπος ΚΛ (wff) µπορεί να µετατραπεί σε Συζευκτική Κανονική Μορφή
µέσω ενός αλγορίθµου που αποτελείται από τα εξής βήµατα:
1. Εξάλειψη των Συνεπαγωγών
2. Αρνήσεις µόνο στις Ατοµικές Προτάσεις
3. Εξάλειψη των Υπαρξιακών Ποσοδεικτών
4. Επονόµαση Μεταβλητών Καθολικών Ποσοδεικτών
5. Μετακίνηση των Καθολικών Ποσοδεικτών στα αριστερά
6. Μετακίνηση των διαζεύξεων στο επίπεδο των Κυριολεκτηµάτων
7. Απάλειψη του Καθολικού Ποσοδείκτη και του AND

12. Α. Θεωρία
3. Μετατροπή wff σε ΣΚΜ
1. Εξάλειψη των Συνεπαγωγών
12∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ31, Μάθηµα 2.2: Νοµοι Κατηγορηµατικής Λογικής και Κανονικές Μορφές wff
1ο βήµα: Εξάλειψη των συνεπαγωγών
Στο 1ο βήµα διώχνουµε τυχόν συνεπαγωγές που υπάρχουν εφαρµόζοντας τον νόµο µετατροπής
της συνεπαγωγής σε OR:
⇒ 9 ≡ ~ ∨ .
Παράδειγµα:
Να µετατραπεί σε ΚΣΜ η πρόταση:
∀ ⇒ ∃ : , ∧ ~ ∧ ~∃ : , ∧ : , ∧ ∀ ~ ⇒ ~; ,
Λύση:
Μετατρέπουµε την «αριστερή» συνεπαγωγή σε OR:
∀ ~ ∨ ∃ : , ∧ ~ ∧ ~∃ : , ∧ : , ∧ ∀ ~ ⇒ ~; ,
Μετατρέπουµε την «δεξιά» συνεπαγωγή σε OR:
∀ ~ ∨ ∃ : , ∧ ~ ∧ ~∃ : , ∧ : , ∧ ∀ ∨ ~; ,

13. Α. Θεωρία
3. Μετατροπή wff σε ΣΚΜ
2. Εξάλειψη των Συνεπαγωγών
13∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ31, Μάθηµα 2.2: Νοµοι Κατηγορηµατικής Λογικής και Κανονικές Μορφές wff
2ο βήµα: Αρνήσεις µόνο στις ατοµικές προτάσεις
Στο 2ο βήµα µεταφέρουµε τις αρνήσεις που υπάρχουν στο επίπεδο των ατοµικών προτάσεων. Θα
φανούν χρήσιµοι οι νόµοι ισοδυναµίας µε ποσοδείκτες και οι νόµοι De Morgan:
(…συνέχεια…)
∀ ~ ∨ ∃ : , ∧ ~ ∧ ~∃ : , ∧ : , ∧ ∀ ∨ ~; ,
Εφαρµόζω νόµο ισοδυναµίας µε ποσοδείκτες:
∀ ~ ∨ ∃ : , ∧ ~ ∧ ∀ ~ : , ∧ : , ∧ ∀ ∨ ~; ,
Εφαρµόζω νόµο De Morgan:
∀ ~ ∨ ∃ : , ∧ ~ ∧ ∀ ~: , ∨ ~: , ∧ ∀ ∨ ~; ,
~∀ … ≡ ∃ ~ …
~∃ … ≡ ∀ ~ …
~ Α ∧ Β ≡ ~Α ∨ ~Β
~ Α ∨ Β ≡ ~Α ∧ ~Β

14. Α. Θεωρία
3. Μετατροπή wff σε ΣΚΜ
3. Εξάλειψη των Υπαρξιακών Ποσοδεικτών (Σκολεµοποίηση)
14∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ31, Μάθηµα 2.2: Νοµοι Κατηγορηµατικής Λογικής και Κανονικές Μορφές wff
3ο βήµα: Εξάλειψη Υπαρξιακών Ποσοδεικτών (Σκολεµοποίηση)
Αν ο υπαρξιακός ποσοδείκτης δεν είναι στο πεδίο εφαρµογής κάποιου καθολικού ποσοδείκτη, τότε
αντικαθιστούµε την µεταβλητή του υπαρξιακού ποσοδείκτη µε κάποια σταθερά
Παραδείγµατα:
• ∃ + ≡ +
• ∃ ∃ + , ≡ + ,
• ∃ ∀ + , ≡ ∀ + ,
Αν ο υπαρξιακός ποσοδείκτης είναι στο πεδίο εφαρµογής κάποιου καθολικού ποσοδείκτη, τότε
αντικαθιστούµε µεταβλητή µε µία συνάρτηση εφαρµοζόµενη στην µεταβλητή του καθολικού
ποσοδείκτη
Παραδείγµατα:
• ∀ ∃ ($) %& , ≡ ∀ ($) %& >?@ABC ,
• ∀ ∃ + , ≡ ∀ + D ,
• ∀ ∀ ∃ + , ≡ ∀ ∀ + D , ,
• ∀ ∀ ∃ ∀ ∃ + , , ≡ ∀ ∀ ∀ ∃ + D , , , ≡ ∀ ∀ ∀ + D , , E , , ,

15. Α. Θεωρία
3. Μετατροπή wff σε ΣΚΜ
3. Εξάλειψη των Υπαρξιακών Ποσοδεικτών (Σκολεµοποίηση)
15∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ31, Μάθηµα 2.2: Νοµοι Κατηγορηµατικής Λογικής και Κανονικές Μορφές wff
(…συνέχεια…)
∀ ~ ∨ ∃ : , ∧ ~ ∧ ∀ ~: , ∨ ~: , ∧ ∀ ∨ ~; ,
Εξαλείφουµε τους υπαρξιακούς ποσοδείκτες:
∀ ~ ∨ : , D ∧ ~ D ∧ ∀ ~: , ∨ ~: , ∧ ∀ ∨ ~; ,

16. Α. Θεωρία
3. Μετατροπή wff σε ΣΚΜ
4. Επονόµαση Μεταβλητών Καθολικών Ποσοδεικτών
16∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ31, Μάθηµα 2.2: Νοµοι Κατηγορηµατικής Λογικής και Κανονικές Μορφές wff
4ο βήµα: Επονόµαση Μεταβλητών Καθολικών Ποσοδεικτών
Στο 4ο βήµα αλλάζουµε τα ονόµατα των µεταβλητών των καθολικών ποσοδεικτών, έτσι ώστε κάθε
καθολικός ποσοδείκτης να έχει ξεχωριστό όνοµα µεταβλητής
Προσοχή! Αλλάζουµε αντίστοιχα και τα ονόµατα των εµφανίσεων της µεταβλητής στο πεδίο
εφαρµογής του ποσοδείκτη
(…συνέχεια…)
∀ ~ ∨ : , D ∧ ~ D ∧ ∀ ~: , ∨ ~: , ∧ ∀ ∨ ~; ,
Μετονοµασία στην 2η εµφάνιση της y σε ποσοδείκτη:
∀ ~ ∨ : , D ∧ ~ D ∧ ∀ ~: , ∨ ~: , ∧ ∀ ∨ ~; ,

17. Α. Θεωρία
3. Μετατροπή wff σε ΣΚΜ
5. Μετακίνηση των καθολικών ποσοδεικτών αριστερά
17∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ31, Μάθηµα 2.2: Νοµοι Κατηγορηµατικής Λογικής και Κανονικές Μορφές wff
5ο βήµα: Μετακίνηση των καθολικών ποσοδεικτών αριστερά
Στο 5ο βήµα µετακινούµε τους καθολικούς ποσοδείκτες αριστερά
Επειδή κάθε όνοµα µεταβλητής έχει αλλάξει, χρησιµοποιώντας νόµους Κ.Λ. έχουµε δικαίωµα να
εξάγουµε αµέσως τους καθολικούς ποσοδείκτες µπροστά από όλη την πρόταση.
(…συνέχεια…)
∀ ~ ∨ : , D ∧ ~ D ∧ ∀ ~: , ∨ ~: , ∧ ∀ ∨ ~; ,
Μετακίνηση των καθολικών ποσοδεικτών αριστερά:
∀ ∀ ∀ ~ ∨ : , D ∧ ~ D ∧ ~: , ∨ ~: , ∧ ∨ ~; ,

18. Α. Θεωρία
3. Μετατροπή wff σε ΣΚΜ
6. Μετακίνηση των διαζεύξεων στο επίπεδο των κυριολεκτηµάτων
18∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ31, Μάθηµα 2.2: Νοµοι Κατηγορηµατικής Λογικής και Κανονικές Μορφές wff
6ο βήµα: Μετακίνηση των διαζεύξεων στο επίπεδο των κυριολεκτηµάτων
Στο 6ο βήµα µετακινούµε τα OR ώστε να συνδέουν µόνο κυριολεκτήµατα (ατοµικές προτάσεις ή
αρνήσεις ατοµικών προτάσεων)
Χρήσιµος θα φανεί ο νόµος επιµερισµού:
Α ∨ Β ∧ Γ G Α ∨ Β ∧ Α ∨ Γ
Καθώς και η γενίκευση του:
Α ∨ Β ∧ Γ ∧ Δ G Α ∨ Β ∧ Α ∨ Γ ∧ Α ∨ Δ
(…συνέχεια…)
∀ ∀ ∀ ~ ∨ : , D ∧ ~ D ∧ ~: , ∨ ~: , ∧ ∨ ~; ,
Α ∨ Β ∧ Γ ∧ Δ
Εφαρµόζω νόµο επιµερισµού:
∀ ∀ ∀ ~ ∨ : , D ∧ ~ D ∧ ~ ∨ ~: , ∨ ~: , ∧ ~ ∨ ∨ ~; ,
Α ∨ Β ∧ Γ
Εφαρµόζω νόµο επιµερισµού:
∀ ∀ ∀ ~ ∨ : , D ∧ ~ ∨ ~ D ∧ ~ ∨ ~: , ∨ ~: , ∧ ~ ∨ ∨ ~; ,
Και µε βάση το νόµο του προσεταιρισµού έχουµε τελικά:
∀ ∀ ∀ ~ ∨ : , D ∧ ~ ∨ ~ D ∧ ~ ∨ ~: , ∨ ~: , ∧ ~ ∨ ∨ ~; ,

19. Α. Θεωρία
3. Μετατροπή wff σε ΣΚΜ
7. Απάλειψη του καθολικού ποσοδείκτη και του AND
19∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ31, Μάθηµα 2.2: Νοµοι Κατηγορηµατικής Λογικής και Κανονικές Μορφές wff
7ο βήµα: Απάλειψη του καθολικού ποσοδείκτη και του AND
Στο 7ο βήµα διώχνουµε τους καθολικούς ποσοδείκτες και σπάµε τις προτάσεις µε βαση τους
συνδέσµους AND
Στις τελικές προτάσεις δεν πρέπει να έχουµε σε 2 προτάσεις τα ίδια ονόµατα µεταβλητών
(Αλλάζουµε τα ονόµατα σε προτάσεις που έχουν τα ίδια ονόµατα µεταβλητών).
(…συνέχεια…)
∀ ∀ ∀ ~ ∨ : , D ∧ ~ ∨ ~ D ∧ ~ ∨ ~: , ∨ ~: , ∧ ~ ∨ ∨ ~; ,
Απάλειψη ποσοδεικτών και AND. Μετονοµασία µεταβλητών που έχουν το ίδιο όνοµα σε προτάσεις:
1. ~ ∨ : , D
2. ~ ∨ ~ D
3. ~ M ∨ ~: M, ∨ ~: , M
4. ~ O ∨ ∨ ~; O,

20. 20∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ31, Μάθηµα 2.2: Νοµοι Κατηγορηµατικής Λογικής και Κανονικές Μορφές wff
Να βρεθεί η Σ.Κ.Μ του τύπου: ∀ ⇒ ∃ P , ∧ ~+ ∧ ∀ ~Q ⇒ ,
Απάντηση:
Βήµα 1: Εξάλειψη των συνεπαγωγών
∀ ⇒ ∃ P , ∧ ~+ ∧ ∀ ~Q ⇒ , (εξάλειψη συνεπαγωγών)
G ∀ ~ ∨ ∃ P , ∧ ~+ ∧ ∀ ~~Q ∨ , (εφ.ν.διπλής άρνησης)
G ∀ ~ ∨ ∃ P , ∧ ~+ ∧ ∀ Q ∨ ,
Βήµα 2: Αρνήσεις µόνο στις ατοµικές προτάσεις
∆εν Απαιτείται
Βήµα 3: Εξάλειψη Υπαρξιακών Ποσοδεικτών
G ∀ ~ ∨ P , D ∧ ~+ ∧ ∀ Q ∨ ,
Βήµα 4: Επονόµαση Μεταβλητών Καθολικών Ποσοδεικτών
∆εν απαιτείται
Βήµα 5: Μετακίνηση των ποσοδεικτών αριστερά
∀ ∀ ~ ∨ P , D ∧ ~+ ∧ Q ∨ ,
Β. Μεθοδολογία
1. Παρουσίαση Απάντησης ΣΚΜ
1. Μεγάλη Άσκηση Σ.Κ.Μ
Τυπική Απάντηση ΣΚΜ
• Στην περίπτωση που η άσκηση απαιτεί πολλά βήµατα η µορφή της απάντησης έγκειται στην
απαρίθµηση των βηµάτων του αλγορίθµου

21. 21∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ31, Μάθηµα 2.2: Νοµοι Κατηγορηµατικής Λογικής και Κανονικές Μορφές wff
Β. Μεθοδολογία
1. Παρουσίαση Απάντησης ΣΚΜ
1. Μεγάλη Άσκηση Σ.Κ.Μ
Απάντηση (συνέχεια):
Βήµα 6: Μετακίνηση των διαζεύξεων στο επίπεδο των κυριολεκτηµάτων
∀ ∀ ~ ∨ P , D ∧ ~+ ∧ Q ∨ , (νόµος επιµερισµού)
G ∀ ∀ ~ ∨ P , D ∧ ~+ ∧ ~ ∨ Q ∨ , (νόµος επιµερισµού)
G ∀ ∀ ~ ∨ P , D ∧ ~ ∨ ~+ ∧ ~ ∨ Q ∨ ,
G ∀ ∀ ~ ∨ P , D ∧ ~ ∨ ~+ ∧ ~ ∨ Q ∨ ,
Βήµα 7: Απάλειψη του καθολικού ποσοδείκτηκαι του AND
1. ~ ∨ P , D
2. ~ ∨ ~+
3. ~ M ∨ Q ∨ M,

22. 22∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ31, Μάθηµα 2.2: Νοµοι Κατηγορηµατικής Λογικής και Κανονικές Μορφές wff
Β. Μεθοδολογία
1. Παρουσίαση Απάντησης ΣΚΜ
2. Προτάσεις Horn (και µικρές παραλλαγές)
Απάντηση:
Παράδειγµα 1: ∀ ⇒
Έχει Σ.Κ.Μ.: ~ ∨
Παράδειγµα 2: ∀ ∀ + ∧ ⇒ ,
Έχει Σ.Κ.Μ.: ~+ ∨ ~ ∨ ,
Μορφή Απάντησης για παραλλαγές πρότασης Horn
• Σε πολλές ασκήσεις θα προκύπτουν προτάσεις που θα είναι προτάσεις Horn (ή
µικρές παραλλαγές τους). Στην περίπτωση αυτή, µπορούµε να εξάγουµε άµεσα τη
Σ.Κ.Μ. Χρησιµοποιώντας άµεσα τον ακόλουθο εµπειρικό κανόνα:
∀ ∀ ∀ R ∧ R ∧ RM → R ~R ∨ ~R ∨ ~RM ∨ R
∀ ∀ ∀ R → ~R ∨
Κυριολεκτήµατα ΣΚΜ

23. Γ. Ασκήσεις
Εφαρµογή 1
23∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ31, Μάθηµα 2.2: Νοµοι Κατηγορηµατικής Λογικής και Κανονικές Μορφές wff
∆ίνεται το παρακάτω σύνολο λογικών προτάσεων:
(Q ∧ T) ⇒ R, (Q ∨ P) ⇒ R, S ⇒ (T ∨ P), Q, S, ¬T
Μετατρέψτε τις προτάσεις σε ΣΚΜ.

24. Γ. Ασκήσεις
Εφαρµογή 2
24∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ31, Μάθηµα 2.2: Νοµοι Κατηγορηµατικής Λογικής και Κανονικές Μορφές wff
Να βρεθεί η Σ.Κ.Μ. του παρακάτω τύπου:
( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )wuRwvRwvtRvutRut ,,,, ∧∃⇒¬∀∧¬∃∀

25. 25∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ31, Μάθηµα 2.2: Νοµοι Κατηγορηµατικής Λογικής και Κανονικές Μορφές wff
∆ίνονται οι παρακάτω προτάσεις σε φυσική γλώσσα:
Π1: Η Μαρία είναι γιατρός
Π2: Οι γιατροί πηγαίνουν στην δουλειά µε το αυτοκίνητο
Π3: Ο Γιάννης πηγαίνει στην δουλειά µε το λεωφορείο
Π4: Ο Μιχάλης είναι ζωγράφος
Π5: Ο Γιάννης συµπαθεί όποιον πηγαίνει στη δουλειά µε το αυτοκίνητο
Π6: Η Μαρία συµπαθεί όποιον την συµπαθεί
(α) Να διατυπωθούν οι παραπάνω προτάσεις φυσικής γλώσσας σε προτάσεις Κατηγορηµατικής Λογικής.
Σηµείωση: Χρησιµοποιείστε τα κατηγορήµατα γιατρός/1,πηγαίνει_στη_δουλειά/2, ζωγράφος/1 και συµπαθεί/2
Γ. Ασκήσεις
Εφαρµογή 3

26. 26∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ31, Μάθηµα 2.2: Νοµοι Κατηγορηµατικής Λογικής και Κανονικές Μορφές wff
(β) Να µετατραπούν οι παραπάνω προτάσεις Κατηγορηµατικής Λογικής σε ΣΚΜ