DENSIDAD DE FLUJO ELÉCTRICO LEY DE GAUSS APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS DIVERGENCIA PRIMERA ECUACIÓN DE MAXWELL [ELECTROSTÁTICA] OPERADOR VECTORIAL Y EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA

1. CAMPOS ELECTROMAGN ÉTICOS TEMA 3 DENSIDAD DE FLUJO EL ÉCTRICO, LEY DE GAUSS Y DIVERGENCIA Ingeniería en Redes y Telecomunicaciones Prof. Máximo Domínguez Ciclo Sep – Dic 2009 San Cristóbal, RD

11. LEY DE GAUSS 9 Enunciado de la Ley de Gauss: “ El flujo eléctrico que pasa a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga total encerrada por esa superficie” En la figura se muestra la densidad de flujo eléctrico D s en P debido a la carga Q. El flujo total que pasa a través de ∆S es D s. ∆ S. La superficie cerrada, real o imaginaria puede ser denominada -> Superficie Gaussiana . Recuerde que el elemento de superficie tiene un carácter vectorial, y tiene dirección normal a un plano (para evitar ambigüedades se elige la normal hacia fuera del plano).

12. LEY DE GAUSS (CONT.) 10 Enunciado de la Ley de Gauss (Cont.): Por tanto, el flujo a través de ∆S que resulta es: El flujo total que pasa a través de la superficie cerrada se obtiene sumando las contribuciones diferenciales que cruzan cada elemento de superficie ∆S, por tanto la carga superficial es : La carga encerrada pueden componerla varias cargas puntuales, esto es: > Una l ínea de carga > Una carga superficial Por tanto, para : > Una distribución de carga volumétrica Ley de Gauss

13. LEY DE GAUSS (CONT.) 11 RAZONANDO A continuación se comprueban los resultados del experimento de Faraday mediante la aplicación de la Ley de Gauss. Colocamos una carga puntual Q en el origen de un sistema de coordenadas esféricas, y elegimos como superficie cerrada una esfera de radio a. Observe que la densidad de flujo eléctrico D es normal en todos los puntos de la superficie esférica y siempre tiene una magnitud constante en dichos puntos. El flujo eléctrico total a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga encerrada.

17. LEY DE GAUSS (CONT.) 15 Ejemplo Anillo Halo

18. LEY DE GAUSS (CONT.) 16 Ejemplo Anillo Halo (Cont.)

23. APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS: DISTRIBUCIONES DE CARGAS SIMÉTRICAS (CONT.) 21 2do. Ejemplo : Superficie Gaussiana Cilíndrica para una Distribución de Carga Lineal Uniforme. Considerando que ρ L está distribuida a lo largo del eje z desde -∞ hasta + ∞. La Superficie Gaussina para una línea de carga finita y uniforme es un cilindro circular recto de longitud L y radio ρ . D es constante en magnitud y es perpendicular a la superficie cilíndrica en cada uno de sus puntos; D es paralelo a las tapas de dicho cilindro.

24. APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS: DISTRIBUCIONES DE CARGAS SIMÉTRICAS (CONT.) 22 2do. Ejemplo : Superficie Gaussiana Cilíndrica para una Distribución de Carga Lineal Uniforme (Cont.) Una superficie cilíndrica es la única superficie para la cual D ρ es normal en todas partes, y pueden encerrarla superficies planas normales el eje z. Aplicando la Ley de Gauss, se verifica:

25. APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS: DISTRIBUCIONES DE CARGAS SIMÉTRICAS (CONT.) 23 3er. Ejemplo : Superficie Gaussiana Cable Coaxial Dos conductores cilíndricos coaxiales que forman un cable coaxial proporcionan una densidad de flujo eléctrico uniforme dentro de los cilindros dada por: El cable interior es de radio a y el exterior es de radio b, los dos de longitud infinita y distribución de carga ρ s en la superficie exterior del conductor interno.

26. APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS: DISTRIBUCIONES DE CARGAS SIMÉTRICAS (CONT.) 24 3er. Ejemplo : Superficie Gaussiana Cable Coaxial (Cont.) Un cilindro circular de longitud L, y radio ρ elegido en Superficie Gaussiana donde a < ρ <b, resulta en: La carga total y la densidad en esta longitud L del conductor interior ser á: En la superficie interior del cilindro exterior, se verifica una carga total: Encontrando que: Si ρ > b, la carga total encerrada ser ía cero por haber cargas iguales y opuestas en cada cilindro del conductor. Por tanto:

27. APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS: DISTRIBUCIONES DE CARGAS SIMÉTRICAS (CONT.) 25 3er. Ejemplo : Superficie Gaussiana Cable Coaxial (Cont.) Si ρ < a, el resultado es similar al verificado cuando ρ > b. Por tanto, el cable coaxial o condensador no tienen campo externo [conductor externo es un blindaje], y tampoco hay campo en conductor central. Si la longitud L del cable coaxial es finita y se cumple que está abierto en los extremos y que es mayor que el radio b, se forma un dispositivo llamado Condensador Coaxial .

41. GRACIAS POR SU ATENCIÓN