Análise de faltas trifásicas simétricas em sistemas de potência

UNIVERSIDADE CATÓLICA DE PELOTAS
CENTRO POLITÉCNICO
ENGENHARIA ELÉTRICA
NOTAS DE AULA
PROF. LUCIANO VITORIA BARBOZA

SUMÁRIO
Capítulo 1. Faltas Trifásicas Simétricas ................................................................ 1
1.1. Introdução .............................................................................................................. 1
1.2. Transitórios em Circuitos RL Série ........................................................................ 1
1.3. Correntes de Curto-Circuito e Reatâncias das Máquinas Síncronas ....................... 4
1.4. Tensões Internas de Máquinas com Carga sob Condições Transitórias .................. 6
1.5. Matriz Impedância de Barra para Cálculo de Faltas .............................................. 8
1.6. MVA de Curto-Circuito ....................................................................................... 12
1.7. Seleção de Disjuntores e Tipos de Corrente de Curto-Circuito ............................ 13
1.7.1. Procedimento Simplificado de Cálculo ............................................................ 14
1.8. Lista de Exercícios ............................................................................................... 16
Capítulo 2. Componentes Simétricos ................................................................... 21
2.1. Introdução ............................................................................................................ 21
2.2. Fasores Assimétricos a partir dos Componentes Simétricos ................................. 21
2.3. Operadores ........................................................................................................... 23
2.4. Componentes Simétricos de Fasores Assimétricos ................................................ 24
2.5. Defasagem dos Componentes Simétricos em Bancos de Transformadores Y−∆ ... 26
2.6. Potência em função dos Componentes Simétricos ................................................ 29
2.7. Impedâncias de Seqüência e Circuitos de Seqüência ............................................. 31
2.8. Redes de Seqüência para Geradores em Vazio ..................................................... 32
2.9. Impedâncias de Seqüência para Linhas de Transmissão ....................................... 34
2.10. Impedâncias de Seqüência para Cargas Estáticas ............................................... 35
2.11. Impedâncias de Seqüência para Transformadores Trifásicos .............................. 38
2.12. Lista de Exercícios .............................................................................................. 42
Capítulo 3. Faltas Assimétricas ........................................................................... 47
3.1. Introdução ............................................................................................................ 47
3.2. Faltas em Geradores em Vazio ............................................................................. 47
Sistemas de Potência II iii

Sumário Prof. Luciano V. Barboza
3.2.1. Falta entre Fase e Terra ................................................................................. 48
3.2.2. Falta entre Fase e Fase ................................................................................... 50
3.2.3. Falta entre Duas Fases e Terra ....................................................................... 52
3.3. Faltas Assimétricas em Sistemas de Potência ........................................................ 53
3.3.1. Falta entre Fase e Terra ................................................................................. 55
3.3.2. Falta entre Fase e Fase ................................................................................... 55
3.3.3. Falta entre Duas Fases e Terra ....................................................................... 56
3.4. Interpretação das Redes de Seqüência Interconectadas ........................................ 57
3.5. Análise de Faltas Assimétricas usando a Matriz Impedância de Barra ................ 60
3.6. Lista de Exercícios ............................................................................................... 61
Capítulo 4. Estabilidade de Sistemas de Potência ................................................ 65
4.1. Aspectos Gerais .................................................................................................... 65
4.2. O Problema da Estabilidade ................................................................................ 65
4.3. Dinâmica do Rotor e Equação de Oscilação ......................................................... 67
4.4. Equação Potência-Ângulo .................................................................................... 71
4.5. Critério da Igualdade de Área para a Estabilidade .............................................. 75
4.6. Aplicações Adicionais ao Critério da Igualdade de Áreas ..................................... 81
4.7. Estudos de Estabilidade para Sistemas Multimáquinas: Estudo Clássico ............. 83
4.8. Solução da Curva de Oscilação ............................................................................ 87
4.9. Fatores que Afetam a Estabilidade Transitória .................................................... 89
4.10. Lista de Exercícios .............................................................................................. 92
Bibliografia ......................................................................................................... 95
Sistemas de Potência II iv

1. FALTAS TRIFÁSICAS SIMÉTRICAS
1.1. Introdução
Quando ocorre uma falta em um sistema de potência, a corrente que circula é determi-
nada pelas forças eletromotrizes internas das máquinas no sistema, por suas impedâncias e
pelas impedâncias existentes no sistema entre as máquinas e a falta. As correntes que cir-
culam em uma máquina síncrona imediatamente após a ocorrência de uma falta, após
alguns ciclos e o valor em regime permanente diferem consideravelmente devido ao efeito
da corrente de armadura sobre o fluxo que gera a tensão da máquina. Este capítulo estuda
o cálculo da corrente de falta em diferentes instantes de tempo e explica as mudanças na
reatância e na tensão interna da máquina síncrona à medida que a corrente varia desde seu
valor inicial até o seu valor em regime permanente.
1.2. Transitórios em Circuitos RL Série
A seleção de um disjuntor em um sistema elétrico depende não apenas da corrente que
ele tem que suportar em regime normal de operação, mas também da corrente máxima
momentânea que o percorre durante uma falta e da corrente a interromper sob a tensão da
linha na qual se encontra.
Para se compreender o cálculo da corrente inicial quando um gerador síncrono é curto-
circuitado, considere o que acontece quando uma tensão CA é aplicada a um circuito con-
tendo valores constantes de resistência e indutância, conforme a Figura 1.1. Observe que o
ângulo determina o módulo da tensão quando o circuito é fechado.α
Figura 1.1. Aplicação de uma tensão CA a um circuito RL série.
A equação para a rede da Figura 1.1 é
Sistemas de Potência II 1

Faltas Trifásicas Simétricas Prof. Luciano V. Barboza
cos( )max
di
Ri L V t
dt
ω α+ = + (1.1)
A solução desta equação é
( ) cos( ) cos( )
R
t
L
maxi t I t eω α θ α θ
−⎡ ⎤
⎢ ⎥= + − − −⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
(1.2)
onde 2 2
, , ( ) e arctan .max
max
V L
I Z R j L Z Z R L
Z R
ω
ω θ ω θ= = + = ∠ = + =
O primeiro termo na equação X(1.2)X varia sinusoidalmente com o tempo. O segundo ter-
mo é não-periódico e decai exponencialmente com uma constante de tempo .L
Rτ = Este
termo não-periódico é chamado componente CC da corrente. O termo sinusoidal é o valor
em regime permanente da corrente em um circuito RL. Se o valor do termo em regime
permanente não é zero quando a componente CC aparece na solução de modo a sa-
tisfazer a condição de corrente nula no instante imediatamente anterior ao fechamento da
chave S. Observe que a componente CC não existe se o fechamento ocorrer em um ponto
da onda de tensão onde
0,t =
2 ou .πα θ α θ− = − = − 2
π Se o fechamento ocorre em um ins-
tante de tempo em que a componente CC possui seu valor inicial máximo e
igual ao valor máximo da componente sinusoidal. As Figuras 1.2 (a) e (b) mostram a cor-
rente em função do tempo para
0,α θ− =
2 e ,πα θ α θ π− = − = respectivamente. A componente
CC pode ter qualquer valor entre zero e maxV
Z dependendo do valor instantâneo da tensão
quando o circuito é fechado e também do fator de potência da rede. No instante da aplica-
ção da tensão, as componentes CC e de regime permanente têm a mesma amplitude, po-
rém são de sinais opostos de modo a expressar o valor nulo da corrente em 0.t =

(a) (b)
Figura 1.2. Corrente como função do tempo no circuito da Figura 1.1 para: 2(a) e (b) .πα θ α θ π− = − =
A tensão é aplicada em 0.t =
Por outro lado, um gerador síncrono consiste basicamente em um campo magnético gi-
rante que gera uma tensão no enrolamento de armadura que possui resistência e reatância.
A corrente que circula quando um gerador é curto-circuitado é semelhante àquela que cir-
cula quando uma tensão alternada é aplicada subitamente à associação série de um resistor
e um indutor. Entretanto, existem diferenças importantes porque a corrente na armadura
afeta o campo girante.
O efeito de um curto-circuito nos terminais de um gerador a vazio pode ser analisado a
partir de um oscilograma da corrente em uma das fases quando este curto-circuito ocorre.
Como as tensões de fase estão defasadas entre si de 120°, o curto-circuito ocorre em dife-
rentes pontos da onda de tensão em cada fase. Por essa razão, a componente CC em cada
fase é diferente. Se a componente CC da corrente for eliminada, a curva das correntes de
fase será aquela mostrada na Figura 1.3.
t0
b
c
a
i
Figura 1.3. Oscilograma da corrente em um gerador síncrono a vazio em curto-circuito.
A componente CC da corrente foi desprezada.

Comparando as Figuras 1.2(a) e 1.3, percebe-se a diferença entre a aplicação de uma
tensão alternada a um circuito RL série e a aplicação de um curto-circuito a uma máquina
síncrona. Não há componente CC em nenhuma dessas figuras. Numa máquina síncrona, o
fluxo no entreferro é muito maior no instante em que ocorre o curto-circuito do que alguns
ciclos após. A redução do fluxo é causada pela força magnetomotriz da corrente de arma-
dura, que é chamada reação da armadura. Quando ocorre um curto-circuito nos terminais
de uma máquina síncrona, é necessário transcorrer um tempo para reduzir o fluxo no entre-
ferro. À medida que o fluxo diminui, a corrente da armadura diminui porque a tensão ge-
rada pelo fluxo do entreferro determina a corrente que fluirá através da resistência e da
reatância de dispersão do enrolamento da armadura.
1.3. Correntes de Curto-Circuito e Reatâncias das Máquinas Síncronas
As reatâncias das máquinas síncronas tratadas em estudos de falta são as reatâncias do
eixo direto. Como a resistência normalmente é pequena, a corrente durante uma falta está
sempre atrasada com um grande ângulo em relação à tensão.
Na Figura 1.3, a distância “0a” é o valor máximo da corrente de curto-circuito em regi-
me permanente. Este valor de corrente dividido por 2 é o valor eficaz da corrente de cur-
to-circuito em regime permanente. A tensão em vazio do gerador dividida pela corrente em
regime permanente é chamada de reatância síncrona do gerador ou reatância síncrona do
eixo direto, ou seja,
0
2
G
d
E E
X
a I
= = G
(1.3)
Se a envoltória da onda de corrente for retrocedida até o tempo zero e alguns dos pri-
meiros ciclos forem desprezados (onde o decréscimo é muito rápido), a intersecção será a
distância “0b”. O valor eficaz desta intersecção é conhecido como corrente transitória.
Assim, pode-se definir uma outra reatância para a máquina, chamada de reatância transi-
tória ou reatância transitória do eixo direto

0
2
G
d
E E
X
b I
′ = =
′
G
(1.4)
O valor eficaz da corrente determinado pela intersecção da envoltória da corrente com o
tempo zero é chamado corrente subtransitória. Na Figura 1.3, a corrente subtransitória
equivale à distância “0c” dividida por 2. A corrente subtransitória muitas vezes é deno-
minada de corrente eficaz simétrica inicial, que é uma denominação mais adequada por
desprezar a componente CC e tomar o valor eficaz da componente CA da corrente imedia-
tamente após a ocorrência da falta.
0
2
G
d
E E
X
c I
′′ = =
′′
G
(1.5)
A corrente subtransitória é muito maior do que a corrente em regime permanente I
porque a diminuição do fluxo no entreferro causada pela corrente da armadura não pode
ocorrer imediatamente.
I ′′
As equações X(1.3)X a X(1.5)X permitem determinar a corrente de falta em um gerador quan-
do as suas reatâncias são conhecidas. Se o gerador estiver sem carga quando ocorrer a fal-
ta, a máquina é representada pela tensão em vazio em relação ao neutro em série com a
reatância apropriada. A resistência pode ser considerada se desejar-se uma precisão maior.
Exemplo 1.1: Dois geradores estão ligados em paralelo ao lado de baixa tensão de um
transformador trifásico ∆−Y, como está mostrado na Figura 1.4. O gerador 1 tem para va-
lores nominais 50 MVA e 13,8 kV. O gerador 2 é de 25 MVA e 13,8 kV. Cada gerador tem
uma reatância subtransitória de 25%. O transformador apresenta como valores nominais
75 MVA e 13,8∆ / 69Y kV, com uma reatância de 10%. Antes da falta, a tensão no lado
de alta tensão do transformador é 66 kV. O transformador está em vazio e não há corrente
circulando entre os geradores. Calcule a corrente subtransitória em cada gerador quando
ocorre um curto-circuito trifásico no lado de alta tensão do transformador.

Figura 1.4. Diagrama unifilar do Exemplo 1.1.
1.4. Tensões Internas de Máquinas com Carga sob Condições Transitórias
Considere um gerador com carga quando ocorre uma falta no sistema. A Figura 1.5(a) é
o circuito equivalente de um gerador que alimenta uma carga trifásica equilibrada. A im-
pedância externa é mostrada entre os terminais do gerador e o ponto P onde a falta ocorre.
A corrente que circula antes da ocorrência da falta no ponto P é a tensão no ponto de
falta é
,LI
fV e a tensão nos terminais do gerador é Sabe-se que o circuito equivalente de
um gerador síncrono consiste de sua tensão em vazio em série com a sua reatância síncrona
Se ocorrer uma falta trifásica no ponto P do sistema, um curto-circuito do ponto P
até a referência não satisfaz as condições para cálculo da corrente subtransitória, uma vez
que a reatância do gerador deve ser para a corrente subtransitória ou para a
corrente transitória
.tV
.Xsinc
dX′′ ,I ′′ dX′
.I ′
(a) Circuito equivalente em regime permanente
dX ′′
gE′′
I ′′
(b) Circuito para cálculo da corrente subtransitória
Figura 1.5. Circuitos equivalentes para um gerador alimentando uma carga trifásica equilibrada.
A ocorrência de uma falta trifásica em P é simulada pelo fechamento da chave S.
O circuito mostrado na Figura 1.5(b) corrige este erro. A tensão em série com
fornece a corrente em regime permanente quando a chave S está aberta, e fornece a
corrente subtransitória no curto-circuito quando a chave S está fechada. Para determi-
gE′′ dX′′
LI
I ′′

nar a corrente através de é Portanto,,gE′′ dX′′ .LI
(1.6)g t dE V jX I′′ ′′= + L
L
′
g
t
L
L
e esta equação define a tensão interna subtransitória. Analogamente, a corrente transitória
pode ser obtida a partir da tensão interna transitória que pode ser determinada
como
I ′ gE′
(1.7)g t dE V jX I′ = +
As tensões internas são determinadas a partir da corrente em regime perma-
nente e ambas são iguais à tensão em vazio apenas quando for nula, isto é,
quando são iguais.
egE E′′ ′
LI gE LI
egE V
Observe que em série com representa o gerador antes da ocorrência da falta e
imediatamente após a falta apenas se a corrente anterior à falta for Por outro lado,
em série com a reatância síncrona é o circuito equivalente da máquina em regime
permanente para qualquer carga. Para um valor diferente de no circuito da Figura
1.5(a), permaneceria o mesmo, porém seria necessário um novo valor para
gE′′ dX′′
.LI gE
sincX
LI
gE .gE′′
Os motores síncronos possuem reatâncias semelhantes às dos geradores. Quando um mo-
tor é curto-circuitado, ele não recebe mais energia da rede, porém seu campo permanece
energizado e a inércia do seu rotor com sua carga conectada conserva sua rotação por um
determinado período de tempo. A tensão interna do motor síncrono faz com que ele forneça
corrente para o sistema, agindo como se fosse um gerador. Portanto, as tensões internas
transitória e subtransitória para um motor síncrono são
(1.8)
m t d
m t d
E V jX I
E V jX I
′′ ′′= −
′ ′= −
Exemplo 1.2: Um gerador e um motor síncrono possuem valores nominais de 30 MVA e
13,2 kV e ambos têm reatâncias subtransitórias de 20%. A linha de conexão entre eles

apresenta uma reatância de 10% na base dos valores nominais das máquinas. O motor está
consumindo 20 MW com fator de potência 0,8cap com uma tensão de 12,8 kV em seus
terminais, quando ocorre uma falta trifásica nos seus terminais. Determinar a corrente sub-
transitória no gerador, no motor e na falta. Utilize as tensões internas das máquinas.
Exemplo 1.3: Resolva o Exemplo 1.2 utilizando o teorema de Thèvenin.
1.5. Matriz Impedância de Barra para Cálculo de Faltas
Nesta seção será realizado o estudo de faltas trifásicas em redes generalizadas. O estudo
será baseado no sistema elétrico mostrado na Figura 1.6(a) e os resultados podem ser gene-
ralizados para qualquer tipo de rede. A Figura 1.6(b) é o diagrama de reatâncias deste sis-
tema e para estudar uma falta trifásica na barra 4, pode-se utilizar o mesmo procedimento
da seção anterior e designar fV como a tensão na barra 4 antes da falta.
(a) Diagrama unifilar
1
43
2
XT1
XT3
XT2
X14
X24
X34
X13
X23
Vf
1GE′′
1GX′′
2GE′′
2GX′′
ME′′
MX′′
(b) Diagrama de reatâncias
Figura 1.6. Diagramas de um sistema elétrico hipotético.
Uma falta trifásica na barra 4 é simulada pela rede mostrada na Figura 1.7 onde as ten-
sões ef fV −V simulam o curto-circuito. Apenas a tensão fV neste ramo não causa cor-
rente no ramo. Com ef fV −V em série, o ramo constitui um curto-circuito, e a corrente
no ramo é .fI ′′ Se forem curto-circuitadas, as tensões e correntes serão1 2, , eG G ME E E V′′ ′′ ′′ f

aquelas devido apenas a .fV− Assim, a única corrente que entra em um nó vinda de uma
fonte é a devido a fV− e igual a fI ′′− na barra 4 ( fI ′′ saindo da barra 4) uma vez que não
há corrente neste ramo até a inserção de .fV−
2GE′′
2GX′′
1GE′′
1GX′′
ME′′
MX′′
fI ′′
fV−
Figura 1.7. Falta na barra 4 da rede da Figura 1.6 simulada por em série.efV − fV
As equações nodais na forma matricial para a rede com fV− como única fonte são
111 13 14
22 23 24 2
31 32 33 34 3
41 42 43 44
0 0
0 0
0
f f
VY Y Y
Y Y Y V
Y Y Y Y V
I Y Y Y Y V
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢= ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥′′− ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(1.9)
onde 11
1 1 13
1 1
( )G T
Y
14
1
j X X jX jX
= +
′′ +
+ 13 31
13
1
Y Y
jX
= = − 14 41
14
1
Y Y
jX
= = −
22
3 23
1 1
( )M T
Y
24
1
j X X jX jX
= +
′′ +
+ 23 32
23
1
Y Y
jX
= = − 24 42
24
1
Y Y
jX
= = −
33
2 2 13 23 34
1 1 1
( )G T
Y
1
j X X jX jX jX
= + +
′′ +
+ 34 43
34
1
Y Y
jX
= = −
44
14 24 34
1 1 1
Y
jX jX jX
= + +

e o sobrescrito indica que as tensões são devido apenas a .fV− O sinal foi escolhido
para indicar a mudança nas tensões devido à falta.
Invertendo a matriz admitância de barra da equação X(1.9)X, obtém-se a matriz impedân-
cia de barra e as tensões nodais devido a fV− são dadas por
1
2
3
0
0
0barra
ff
V
V
V
IV
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥′′−⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
Z (1.10)
Da equação X(1.10)X, tem-se que
44
f
f
V
I
Z
′′ = (1.11)
3414 24
1 14 2 24 3 34
44 44 44
f f f f f
ZZ Z
V Z I V V Z I V V Z I
Z Z Z
′′ ′′ ′′= − = − = − = − = − = − fV
f
(1.12)
Quando a tensão é curto-circuitada na rede da Figura 1.7 e es-
tão no circuito, as correntes e tensões são as que existiam antes da falta. Pelo princípio da
superposição, estas tensões anteriores à falta adicionadas aos valores das tensões da equa-
ção X(1.12)X resultam nas tensões existentes após a ocorrência da falta. Normalmente, consi-
dera-se a rede sem carga antes da falta. Neste caso, nenhuma corrente circula antes da fal-
ta e todas as tensões são iguais a
fV− 1 2, , eG G ME E E V′′ ′′ ′′
.fV Assim,

14 14
1 1 14
44 44
24 24
2 2 24
44 44
34 34
3 3 34
44 44
4
1
1
1
0
f f f f f f
f f f f f f
f f f f f
f f
Z Z
V V V V Z I V V V
Z Z
Z Z
V V V V Z I V V V
Z Z
Z Z
V V V V Z I V V V
Z Z
V V V
⎛ ⎞⎟⎜′′ ⎟= + = − = − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
⎛ ⎞⎟⎜′′ ⎟= + = − = − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
⎛ ⎞⎟⎜′′ ⎟= + = − = − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
= − =
f
(1.13)
Estas tensões existem quando a corrente subtransitória circula e foi formada para
uma rede que possui valores subtransitórios para as reatâncias das máquinas síncronas.
barraZ
Generalizando as relações anteriores, pode-se afirmar que, para uma falta na barra k,
tem-se
f
f
kk
V
I
Z
= (1.14)
e a tensão na barra n após a falta é
1 nk
n
kk
Z
V
Z
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
fV (1.15)
As correntes em qualquer parte do circuito da Figura 1.7 podem ser determinadas atra-
vés das tensões e das impedâncias. Por exemplo,
1
13
13
V V
I
jX
−
′′ = 3 1 1
1
1 1( )
G
G
G T
E V
I
j X X
′′ −
′′ =
′′ +
(1.16)

1.6. MVA de Curto-Circuito
As concessionárias de energia elétrica fornecem os dados para os usuários que devem de-
terminar a corrente de falta de modo a especificar os disjuntores em algum ponto de uma
planta industrial ou de um sistema de potência. Normalmente, esses dados incluem os
MVA de curto-circuito, onde
3
MVA de curto-circuito 3 10SCkV I −
= × × ×nominal (1.17)
Desprezando as resistências e capacitâncias em derivação, o circuito equivalente monofá-
sico de Thèvenin que representa o sistema consiste em uma fem igual à tensão de linha
nominal dividida por 3 em série com uma reatância indutiva de
1000
3
TH
SC
kV
X
I
×
=
nominal
Ω (1.18)
Resolvendo a equação X(1.17)X para e substituindo na equação X(1.18)X, tem-seSCI
2
( )
MVA de curto-circuito
TH
kV
X = nominal
Ω (1.19)
Transformando a equação X(1.19)X para pu, obtém-se
2
2
( )
( )
pu
MVA
base
TH
base
kV
kV
X =
nominal
(1.20)
Se é igual a convertendo para pu, obtém-sebasekV ,kVnominal
MVA
= p
base base
TH
SC
I
X
I
= u (1.21)

Exemplo 1.4 : Determine a matriz impedância de barra para a rede da Figura 1.8. Os ge-
radores nas barras 1 e 3 possuem valores nominais de 270 e 225 MVA, respectivamente. As
reatâncias subtransitórias dos geradores mais as reatâncias dos transformadores que os co-
nectam às barras do sistema são iguais a 0,3 pu cada, usando como base os valores nomi-
nais dos geradores. As relações de transformação dos transformadores são tais que a tensão
base em cada circuito do gerador é igual à tensão nominal do gerador. Incluir as reatâncias
dos geradores e transformadores na matriz. Calcule a corrente subtransitória para uma fal-
ta trifásica na barra 4 e as correntes que chegam à barra em falta vindas das barras 3 e 5.
A corrente antes da falta pode ser desprezada e todas as tensões são consideradas 1,0 pu
antes da ocorrência da falta. A base do sistema é 100 MVA.
Figura 1.8. Diagrama unifilar do Exemplo 1.4.
1.7. Seleção de Disjuntores e Tipos de Corrente de Curto-Circuito
A corrente subtransitória é a corrente eficaz simétrica inicial e não inclui o componente
CC. A inclusão deste componente resulta em um valor eficaz da corrente imediatamente
após a falta maior do que a corrente subtransitória. Para disjuntores a óleo acima de 5 kV,
a corrente subtransitória multiplicada por 1,6 é considerada como sendo o valor eficaz da
corrente cuja força disruptiva o disjuntor deve suportar durante o primeiro ciclo após a
ocorrência da falta. Esta corrente é chamada corrente momentânea.
A capacidade nominal de interrupção de um disjuntor é especificada em MVA. Os MVA
de interrupção são iguais a 3 vezes a tensão da barra à qual o disjuntor está ligado mul-

tiplicado pela corrente que o disjuntor deve ser capaz de interromper quando os seus con-
tatos se separam. Esta corrente é menor do que a corrente momentânea e depende da velo-
cidade do disjuntor, tal como 8, 5, 3 ou 1,5 ciclos, que é a medida do tempo que transcorre
a partir da ocorrência da falta até a extinção do arco.
A corrente que o disjuntor deve interromper é assimétrica, pois contém o componente
CC. A corrente nominal de interrupção para disjuntores é chamada corrente simétrica de
capacidade de interrupção requerida ou corrente nominal simétrica de curto-circuito. A
determinação dessa corrente pode ser realizada utilizando o procedimento simplificado des-
crito a seguir.
1.7.1. Procedimento Simplificado de Cálculo
Este método conhecido como método E/X despreza todas as resistências, todas as cargas
estáticas, todas as correntes anteriores à falta e todos os motores de indução abaixo de
50 HP. No cálculo da corrente nominal simétrica de curto-circuito, para os geradores são
utilizadas as reatâncias subtransitórias e para os motores síncronos utilizam-se as reatân-
cias subtransitórias multiplicadas por 1,5. Note que, se não houver motores representados
no sistema, a corrente nominal simétrica de curto-circuito é igual à corrente subtransitória.
Exemplo 1.5: Um gerador de 25 MVA e 13,8 kV com é conectado através de
um transformador a uma barra que alimenta quatro motores idênticos, como mostra a Fi-
gura 1.9. A reatância subtransitória de cada motor é 20% na base de 5 MVA e 6,9 kV.
Os valores nominais do transformador trifásico são 25 MVA e 13,8/6,9 kV, com uma rea-
tância de dispersão de 10%. A tensão na barra dos motores é 6,9 kV quando ocorre uma
falta trifásica no ponto P. Para a falta especificada, calcule:
15%dX′′ =
dX′′
a) a corrente subtransitória na falta;
b) a corrente subtransitória no disjuntor A;
c) a corrente nominal simétrica de curto-circuito na falta e no disjuntor A.

A
P
G
Figura 1.9. Diagrama unifilar para o Exemplo 1.5.

1.8. Lista de Exercícios
1.1. Uma tensão alternada sinusoidal de 60 Hz com valor eficaz de 100 V é aplicada a um
circuito RL série pelo fechamento de uma chave. A resistência é 15 Ω e a indutância é
0,12 H.
a) Determine o valor do componente CC da corrente no fechamento da chave para
um valor da tensão neste instante de 50 V.
b) Qual é o valor instantâneo da tensão que produz o máximo componente CC da
corrente no fechamento da chave?
c) Qual é o valor instantâneo da tensão que resulta na ausência de componente CC
da corrente no fechamento da chave?
d) Se a chave for fechada quando a tensão instantânea for zero, determine os valores
da corrente instantânea após transcorridos 0,5, 1,5 e 5,5 ciclos.
1.2. Um gerador conectado a um transformador por um disjuntor apresenta valores nomi-
nais de 100 MVA e 18 kV com reatâncias de O
transformador trifásico tem valores nominais de 100 MVA e 240Y / 18∆ kV e
O gerador está funcionando em vazio e sob tensão nominal quando ocorre
um curto-circuito trifásico no lado AT do transformador. Calcule, em Ampères:
19%, 26% e 130%.d d dX X X′′ ′= = =
10%.X =
a) a corrente eficaz simétrica inicial no disjuntor;
b) a corrente de curto-circuito permanente no disjuntor;
c) a corrente eficaz simétrica inicial nos enrolamentos do lado AT;
d) a corrente eficaz simétrica inicial na linha no lado AT.
1.3. Os valores nominais de um gerador de 60 Hz são 500 MVA e 20 kV, com
Ele alimenta uma resistência pura de 400 MW sob 20 kV. Esta carga é
ligada diretamente aos terminais do gerador. Curto-circuitando simultaneamente as
três fases da carga, calcule a corrente eficaz simétrica inicial no gerador em pu numa
base de 500 MVA e 20 kV.
0,2 pu.dX′′ =

1.4. Um gerador é conectado através de um transformador a um motor síncrono. Reduzi-
das a uma mesma base, as reatâncias subtransitórias do gerador e do motor são
0,15 pu e 0,35 pu, respectivamente, e a reatância de dispersão do transformador é
0,10 pu. Ocorre uma falta trifásica nos terminais do motor quando a tensão nos ter-
minais do gerador é 0,9 pu e a corrente de saída do gerador é 1,0 pu com um fator de
potência 0,8cap. Calcule a corrente subtransitória em pu no ponto de falta, no gera-
dor e no motor. Use a tensão nos terminais do gerador como fasor de referência e
obtenha a solução:
a) calculando as tensões internas das máquinas;
b) usando o teorema de Thèvenin.
1.5. Dois motores síncronos com reatâncias subtransitórias de 0,80 e 0,25 pu, respectiva-
mente, numa base de 480 V e 2 MVA, estão conectados a uma barra. Esta barra está
conectada, através de uma linha de transmissão com reatância de 0,023 Ω, a uma
barra de um sistema de potência. Nesta barra, os MVA de curto-circuito do sistema
de potência são 9,6 MVA para uma tensão nominal de 480 V. Para uma tensão na
barra do motor igual a 440 V, despreze a corrente de carga e calcule a corrente eficaz
simétrica inicial numa falta trifásica na barra do motor.
1.6. A matriz impedância de barra para uma rede de 4 barras, com valores em pu, é
0,15 0,08 0,04 0,07
0,08 0,15 0,06 0,09
0,04 0,06 0,13 0,05
0,07 0,09 0,05 0,12
barra j
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Z
Os geradores estão conectados às barras 1 e 2 e suas reatâncias subtransitórias foram
incluídas na matriz Desprezando a corrente anterior à falta, calcule a corrente
subtransitória em pu no ponto de falta para uma falta trifásica na barra 4. Considere
a tensão no ponto de falta igual a 1,0 pu antes da ocorrência da falta. Calcule tam-
bém a corrente subtransitória em pu no gerador 2, cuja reatância subtransitória é
0,2 pu.
.barraZ

1.7. Para a rede mostrada na Figura 1.10, calcule a corrente subtransitória em pu no ge-
rador 1, na linha 1−2 e a tensão nas barras 1 e 3 para uma falta trifásica na barra 2.
Considere que nenhuma corrente circula anteriormente à falta e que a tensão na bar-
ra 2 antes da falta era 1,0 pu. Resolva usando a matriz impedância de barra.
1
2
3
G1 G2
j0,5j0,2 j0,4
0,2X ′′ = 0,25X ′′ =
Figura 1.10. Rede para o Problema 1.7 (valores em pu).
1.8. Para uma falta trifásica na barra 1 da rede sem carga da Figura 1.11 (todas as ten-
sões nodais são iguais a 1,0 pu), calcule a corrente subtransitória na falta, as tensões
nas barras 2, 3 e 4 e a corrente no gerador ligado à barra 3.
1GE′′
2GE′′
ME′′
Figura 1.11. Rede para o Problema 1.8 (valores em pu).
1.9. Calcule a corrente subtransitória em pu numa falta trifásica na barra 5 na rede da
Figura 1.12. Despreze a corrente anterior à falta e considere todas as tensões nodais
iguais a 1,0 pu antes da ocorrência da falta. Calcule também a corrente nas linhas
1−5 e 3−5.

Figura 1.12. Diagrama de reatâncias para o Problema 1.9 (valores em pu).
1.10. Um gerador de 625 kVA e 2,4 kV com é ligado a uma barra através de
um disjuntor, como mostrado na Figura 1.13. À mesma barra, através de disjuntores,
estão ligados três motores síncronos com valores nominais de 250 HP e 2,4 kV, com
fator de potência unitário, 90% de rendimento e Os motores estão fun-
cionando a plena carga, com fator de potência unitário e tensão nominal, com a carga
igualmente dividida entre as máquinas. Utilize como base para o sistema 625 kVA e
2,4 kV.
0,2 pudX′′ =
0,2 pu.dX′′ =
a) Calcule a corrente nominal simétrica de curto-circuito em Ampères que deve ser
interrompida pelo disjuntor A e B para uma falta trifásica no ponto P. Despreze a
corrente anterior à falta.
b) Repita o item (a) para uma falta trifásica no ponto Q e para uma falta trifásica no
ponto R.
Figura 1.13. Diagrama unifilar para o Problema 1.10.

2. COMPONENTES SIMÉTRICOS
2.1. Introdução
Em 1918, uma das mais poderosas ferramentas para tratar com circuitos polifásicos de-
sequilibrados foi apresentada por C. O. Fortescue. Desde então, o método de componentes
simétricos tornou-se de grande importância e as faltas assimétricas são todas estudadas por
esta abordagem.
2.2. Fasores Assimétricos a partir dos Componentes Simétricos
De acordo com a teoria de Fortescue, três fasores desequilibrados de um sistema trifásico
podem ser decompostos em três sistemas equilibrados de fasores denominados componentes
simétricos dos fasores originais. Estes conjuntos equilibrados são conhecidos como:
• Componentes de seqüência positiva: consistem de três fasores iguais em módulo, 120°
defasados entre si e tendo seqüência de fases idêntica à dos fasores originais. Utiliza-se
o subíndice “1” para designar este conjunto de fasores.
• Componentes de seqüência negativa: consistem de três fasores iguais em módulo, 120°
defasados entre si e tendo seqüência de fases oposta à dos fasores originais. Utiliza-se
o subíndice “2” para designar este conjunto de fasores.
• Componentes de seqüência zero: consistem em três fasores iguais em módulo e com o
mesmo ângulo de fase. Utiliza-se o subíndice “0” para designar este conjunto de faso-
res.
A Figura 2.1 mostra os conjuntos de componentes simétricos para um conjunto genérico
de três correntes desequilibradas.

Componentes Simétricos Prof. Luciano V. Barboza
Componentes de seqüência
positiva
Componentes de seqüência
negativa
Componentes de seqüência zero
Figura 2.1. Três conjuntos de fasores equilibrados que são componentes de três fasores desequilibrados.
Cada um dos fasores desequilibrados originais corresponde à soma de seus componentes
simétricos, ou seja,
(2.1)1 2A A A AI I I I= + + 0
0
0
(2.2)1 2B B B BI I I I= + +
(2.3)1 2C C C CI I I I= + +
A síntese de um conjunto de três fasores desequilibrados a partir de três conjuntos de
componentes simétricos (Figura 2.1) é mostrada na Figura 2.2.
Figura 2.2. Adição gráfica dos componentes simétricos da Figura 2.1.

2.3. Operadores
O resultado da multiplicação de dois números complexos é o produto de seus módulos e
a soma de seus ângulos. Se o número complexo que expressa um fasor for multiplicado por
um número complexo de módulo unitário e ângulo o número complexo resultante repre-
senta um fasor igual ao fasor original defasado de um ângulo
,θ
.θ
O número complexo de módulo unitário e ângulo é chamado operador e faz com que o
fasor, sobre o qual atua, gire de um ângulo
θ
.θ
Um operador conhecido é o operador j, que causa uma rotação de 90° no sentido anti-
horário. Duas aplicações sucessivas do operador j causam uma rotação de 180° no sentido
anti-horário. Assim, o operador j pode matematicamente ser expresso como
1,0 90j = ∠ °
°
°
(2.4)
Um outro operador útil é o operador a, que causa uma rotação de 120° no sentido anti-
horário sobre o fasor no qual é aplicado. Dessa forma, tem-se que
(2.5)1,0 120a = ∠
Se o operador a for aplicado duas vezes sucessivas a um fasor, este irá girar de 240° no
sentido anti-horário. Três aplicações sucessivas de a causam uma rotação de 360° no senti-
do anti-horário. Matematicamente, tem-se
(2.6)
2
2 3
1,0 120 1,0 120 1,0 120
1,0 120 1,0 120 1,0 0
a a a
a a a
× = = ∠ °× ∠ ° = ∠ −
× = = ∠ − °× ∠ ° = ∠ °
A Figura 2.3 mostra os fasores representando as várias potências do operador a.

Figura 2.3. Diagrama fasorial com as várias potências do operador a.
2.4. Componentes Simétricos de Fasores Assimétricos
Cada componente simétrico das correntes pode ser expresso em termos do ope-
rador a e um componente simétrico da corrente De acordo com a Figura 2.1, pode-se
escrever
eBI IC
1
2A=
0
0A
0A
AI
.AI
(2.7)
2
1 1 1
2
2 2 2
0 0 0 0
B A C A
B A C
B A C A
I a I I aI
I aI I a I
I I I I
= =
=
= =
Substituindo as equações X(2.7)X nas equações X(2.1)X, X(2.2)X e X(2.3)X, obtêm-se
(2.8)1 2A A A AI I I I= + +
(2.9)2
1 2B A AI a I aI I= + +
(2.10)2
1 2C A AI aI a I I= + +
ou na forma matricial
0
2
1
2
2
1 1 1
1
1
A A
B
C A
I I
I a a
I Ia a
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(2.11)

Definindo
2
2
1 1 1
1
1
a a
a a
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥= ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
A (2.12)
tem-se que
1
2
1 1 1
1
1
3
1
a a
a a
− 2
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥= ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
A (2.13)
e pré-multiplicando ambos os lados da equação X(2.11)X por obtém-se1
,−
A
0
2
1
2
2
1 1 1
1
1
3
1
A A
A
A C
I I
I a a
I Ia a
⎡ ⎤
BI
⎡ ⎤⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
(2.14)
ou na forma de equações
0
1
( )
3
A A BI I I= + + CI (2.15)
2
1
1
( )
3
A A BI I aI a= + + CI (2.16)
2
2
1
( )
3
A A BI I a I a= + + CI
N
(2.17)
A partir dos componentes simétricos da corrente pode-se obter, através da equação
X(2.7)X, os componentes simétricos das correntes
,AI
e .B CI I
Em um sistema trifásico, tem-se
(2.18)A B CI I I I+ + =

portanto,
(2.19)03NI I= A
1
2
s 1
Na ausência de um caminho ao neutro em um sistema trifásico, é zero e as correntes
de linha não contêm componentes de seqüência zero. Assim, uma carga ligada em ∆ não
contém componentes de seqüência zero.
NI
A equação X(2.15)X mostra que não existem componentes de seqüência zero se a soma dos
fasores desequilibrados for zero. A soma dos fasores tensão de linha em um sistema trifásico
é sempre zero, portanto, os componentes de seqüência zero nunca estão presentes nas ten-
sões de linha, não importando a dimensão do desbalanceamento.
Exemplo 2.1: Um condutor de uma linha trifásica está aberto. A corrente que circula para
uma carga ligada em ∆ através da linha a é 10 A. Usando a corrente da linha a como refe-
rência e considerando que a linha c esteja aberta, calcular os componentes simétricos das
correntes de linha.
2.5. Defasagem dos Componentes Simétricos em Bancos de
Transformadores Y − ∆
No curso de Circuitos III, estudou-se a utilização da regra do ponto para transformado-
res. Para que as correntes do lado de alta e do lado de baixa tensão estejam em fase é ne-
cessário que o sentido da corrente em um enrolamento entre pelo ponto e no outro, saia.
A marcação padrão para transformadores monofásicos utiliza nos lados AT e
BT, respectivamente, ao invés dos pontos. As outras extremidades dos enrolamentos são
marcadas por A Figura 2.4 mostra a equivalência entre as duas regras. No trans-
formador mostrado, as correntes estão em fase. Assim, os terminais são
positivos no mesmo instante em relação a
1 eH X
2 e .H X
epI I 1 eH X
2 2e .H X

Figura 2.4. Diagrama esquemático de um transformador monofásico.
Os terminais de AT dos transformadores trifásicos são marcados com e os
de BT, com Em transformadores Y−Y e as marcações são tais que as
tensões e correntes nos terminais estão em fase com as tensões e correntes nos
terminais respectivamente. Entretanto, em transformadores
sempre há defasagem entre as grandezas do lado de AT e de BT.
1 2, eH H H3
3
,
.
1 2 3, e .X X X ,∆ − ∆
1 2, eH H H
1 2 3, e ,X X X Y e Y− ∆ ∆ −
A Figura 2.5 é o diagrama de ligação de um transformador A seqüência de fases
é direta (ABC). Os enrolamentos colocados em paralelo estão acoplados magneticamente,
pois estão montados sobre o mesmo núcleo. As fases do lado de AT são designadas por le-
tras maiúsculas e as do lado de BT, por letras minúsculas.
Y − ∆
Figura 2.5. Diagrama de ligações de um transformador trifásico.
As normas americanas para designar os terminais em um
transformador exigem que as grandezas de seqüência positiva do lado de AT este-
jam 30° adiantadas em relação às grandezas de seqüência positiva do lado de BT, indepen-
dentemente de estarem os enrolamentos de alta tensão em Y ou em Para as grandezas
de seqüência negativa, a defasagem deve ser de 30° em atraso. A Figura 2.6 mostra os dia-
gramas fasoriais para os componentes de seqüência das tensões nos dois lados do transfor-
mador.
1 1 2 2 3e , e e e ,H X H X H X3
Y ,− ∆
.∆

Seqüência positiva Seqüência negativa
Figura 2.6. Diagramas fasoriais dos componentes simétricos das tensões.
Observando os diagramas fasoriais da Figura 2.6, verifica-se que está 90° atrasada
em relação a e que está 90° adiantada em relação a Assim, as relações entre
os componentes simétricos das tensões nos dois lados do transformador é
1AV
1aV 2AV 2.aV
(2.20)1 1 2A a AV jV V j= − = 2aV
A Figura 2.7 mostra os diagramas fasoriais para os componentes de seqüência das cor-
rentes nos dois lados do transformador.
Seqüência positiva
Seqüência negativa
Figura 2.7. Diagramas fasoriais dos componentes simétricos das correntes.
Da Figura 2.7, verifica-se que está 90° atrasada em relação a e que está 90°
adiantada em relação a Assim, as relações entre os componentes simétricos das corren-
tes nos dois lados do transformador é
1AI 1aI 2AI
2.aI
(2.21)1 1 2A a AI jI I j= − = 2aI
A Figura 2.8(a) mostra as conexões das fases para os terminais de um transformador de

modo que a tensão de seqüência positiva em relação ao neutro está 30° adiantada em
relação à tensão de seqüência positiva em relação ao neutro Por outro lado, a Figura
2.8(b) mostra as conexões das fases para os terminais de um transformador de modo que a
tensão de seqüência positiva em relação ao neutro está 30° adiantada em relação à
tensão de seqüência positiva em relação ao neutro
1AV
1.bV
1AV
1.aV
(a)
A
c
b
a
C
B
H1
X3
X2
X1
H3
H2
(b)
Figura 2.8. Designações das linhas ligadas a um transformador trifásico Y ou Y− ∆ ∆ − .
Exemplo 2.2: Três resistores idênticos, com valor 1,0 pu cada, estão conectados em Y ao
lado Y de baixa tensão de um transformador As tensões na carga de resistores sãoY.∆ −
0,8 pu 1,2 pu 1,0 puab bc caV V V= = =
∗
Suponha que não haja ligação do neutro da carga com o neutro do secundário do transfor-
mador e que a ligação do transformador seja a da Figura 2.8(a). Calcular as tensões e cor-
rentes de linha, em pu, no lado Δ do transformador.
2.6. Potência em Função dos Componentes Simétricos
Se os componentes simétricos das tensões e das correntes são conhecidos, a potência em
um sistema trifásico pode ser calculada diretamente destas componentes. A potência total
em um sistema trifásico é
(2.22)A A B B C CS P jQ E I E I E I∗ ∗
= + = + +
onde são as tensões de fase e são as correntes de fase. Pode ou
não haver conexão ao neutro. Em notação matricial
, eA B CE E E , eA B CI I I

[ ]
T
A A
A B C B B B
C C
I E I
S E E E I E I
I E I
∗ ∗
A
C
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(2.23)
onde o conjugado de um vetor é o conjugado de cada um de seus componentes.
Recordando as equações X(2.11)X e X(2.12)X, pode-se escrever a equação X(2.23)X como
(2.24)[ ] [ ]
T
S E I
∗
= A A
onde
0 0
1
2 2
e
A A
A
A A
E I
E E I I
E I
1A
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥= ⎢ ⎥=
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
A
A
2
1
(2.25)
Da álgebra matricial, sabe-se que
(2.26)[ ]
T T T
E E=A
e, então,
(2.27)[ ]T T T T
S E I E I
∗ ∗ ∗
= =A A A A
Lembrando que e que são conjugados, tem-se queT
=A 2
ea a
[ ]
0
2
0 1 2
2 2
2
1 1 1 1 1 1
1 1
1 1
A
A A A A
A
I
S E E E a a a a I
a a a a I
∗
∗
∗
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(2.28)
e observando que

2 2
2 2
1 1 1 1 1 1 1 0 0
1 1 3 0 1 0
0 0 11 1
T
a a a a
a a a a
∗
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
A A (2.29)
obtém-se
[
0
0 1 2
2
3
A
A A A A
A
I
S E E E I
I
∗
∗
∗
] 1
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
(2.30)
Assim, finalmente, tem-se que
(2.31)0 0 1 1 2 23 3 3A A B B C C A A A A A AS P jQ E I E I E I E I E I E I∗ ∗ ∗ ∗ ∗
= + = + + = + + ∗
que é a potência trifásica calculada em função dos componentes simétricos das tensões e
das correntes.
2.7. Impedâncias de Seqüência e Circuitos de Seqüência
Em qualquer parte de um circuito, a queda de tensão causada pela corrente de uma de-
terminada seqüência depende da impedância do circuito para a corrente dessa seqüência. A
impedância de uma rede equilibrada para a corrente de uma seqüência pode ser diferente
da impedância para a corrente de outra seqüência.
A impedância de um circuito, quando estão circulando apenas correntes de seqüência
positiva, é chamada impedância de seqüência positiva. Analogamente, quando apenas
correntes de seqüência negativa estão presentes, a impedância é chamada impedância de
seqüência negativa. Quando estão presentes apenas correntes de seqüência zero, a
impedância é chamada impedância de seqüência zero.
A análise de uma falta assimétrica em um sistema simétrico consiste em determinar os
componentes simétricos das correntes desequilibradas que estão circulando. Uma vez que as
correntes componentes de uma seqüência causam queda de tensão somente da mesma se-

qüência e são independentes das correntes de outras seqüências, em um sistema equilibra-
do, consideram-se as correntes de qualquer seqüência circulando em um circuito indepen-
dente composto por impedâncias para as correntes apenas daquela seqüência. O circuito
monofásico equivalente, composto somente das impedâncias para a corrente daquela se-
qüência, é chamado circuito de seqüência para aquela seqüência.
2.8. Redes de Seqüência para Geradores em Vazio
Um gerador em vazio, aterrado através de uma impedância é mostrado na Figura
2.9. Quando ocorre uma falta nos terminais do gerador, as correntes circulam
nas linhas. Se a falta envolve a terra, a corrente que circula pelo neutro do gerador é
,nZ
, ea b cI I I
.nI
Figura 2.9. Diagrama de um gerador em vazio aterrado através de uma impedância.
As tensões geradas são somente de seqüência positiva, pois os geradores são projetados
para fornecer tensões trifásicas equilibradas. Portanto, a rede de seqüência positiva é com-
posta por uma fem em série com a impedância de seqüência positiva do gerador. As redes
de seqüência negativa e zero não contêm forças eletromotrizes, incluindo somente as impe-
dâncias do gerador para as correntes de seqüência negativa e zero, respectivamente. Os cir-
cuitos de seqüência para os geradores são mostrados na Figura 2.10. A fem gerada na rede
de seqüência positiva é a tensão nos terminais do gerador em vazio em relação ao neutro,
que é também igual às tensões atrás das reatâncias transitória ou subtransitória, pois o ge-
rador está em vazio. A barra de referência para as redes de seqüência positiva e negativa é

o neutro do gerador. Para a rede de seqüência zero, a barra de referência é o terra do sis-
tema.
Seqüência zero
Figura 2.10. Circuitos de seqüência para geradores em vazio
A corrente que circula na impedância entre o neutro do gerador e a terra é Pe-
la Figura 2.10, nota-se que a queda de tensão de seqüência zero é onde
é a impedância de seqüência zero por fase do gerador. A rede de seqüência zero que é
um circuito monofásico no qual se supõe que circule apenas a corrente de seqüência zero
deve, portanto, ter uma impedância de A impedância total de seqüência zero,
pela qual circula é, portanto,
nZ 03 aI .
0
.
0g
0 03 ,a n a gI Z I Z− −
0gZ
03 n gZ Z+
0aI
(2.32)0 3 nZ Z Z= +

Da Figura 2.10, pode-se deduzir as relações para os componentes de seqüência das
tensões na fase a
(2.33)1a aV E Z I= − 1 1a
2a
0a
2
(2.34)2 2aV Z I= −
(2.35)0 0aV Z I= −
onde é a tensão em vazio de seqüência positiva em relação ao neutro, são as
impedâncias de seqüência positiva e negativa do gerador e é definida pela equação
X(2.32)X.
aE 1 eZ Z
0Z
2.9. Impedâncias de Seqüência para Linhas de Transmissão
As impedâncias de seqüência positiva e negativa de circuitos lineares, simétricos e está-
ticos são idênticas porque a impedância de tais circuitos é independente da seqüência de fa-
ses, desde que as tensões aplicadas sejam equilibradas. Portanto, as impedâncias de se-
qüência positiva e negativa de uma linha de transmissão transposta são iguais.
Quando apenas a corrente de seqüência zero circula por uma linha de transmissão, ela é
a mesma em todas as fases. A corrente retorna pela terra, por cabos de cobertura ou por
ambos. Como as correntes de seqüência zero são iguais (módulo e ângulo) nas três fases, o
campo magnético devido a estas correntes é muito diferente daqueles produzidos pelas cor-
rentes de seqüência positiva e negativa. Esta diferença resulta em reatâncias indutivas de
seqüência zero para linhas de transmissão aéreas de 2 a 3,5 vezes maiores que as reatâncias
de seqüência positiva.
A Figura 2.11 apresenta as impedâncias de seqüência para linhas de transmissão trans-
postas.

1aE 1aE′
2aE 2aE′
Ia0
0aE
Z0
Barra de referência
0aE′
Seqüência zero
Figura 2.11. Impedâncias de seqüência para linhas de transmissão transpostas.
2.10. Impedâncias de Seqüência para Cargas Estáticas
A Figura 2.12 mostra uma carga estática conectada em Y. A impedância de cada fase é
fZ e a impedância de neutro é Da figura 2.12, têm-se que.nZ
( ) ( )a f a n n f a n a b c f n a n b nV Z I Z I Z I Z I I I Z Z I Z I Z I= + = + + + = + + + c (2.36)
Figura 2.12. Carga estática conectada em Y.
Equações análogas podem ser determinadas para Assim,e .bV Vc
( )b n a f n b nV Z I Z Z I Z I= + + + c (2.37)
( )c n a n b f nV Z I Z I Z Z I= + + + c (2.38)
Escrevendo na forma matricial, tem-se

(2.39)
a f n n n
b n f n n
c n n f n
V Z Z Z Z I
V Z Z Z Z
V Z Z Z Z
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤+⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
a
b
c
I
I
⎥
⎥
1
a
a
a
I
I
⎤
⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥
⎦
A
a
a
a
I
I
I
⎤
⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥
⎦
Escrevendo a equação X(2.39)X em função dos componentes simétricos das tensões e das
correntes, obtém-se
(2.40)
0 0
1
2 2
a f n n n
a n f n n
a n n f n
V Z Z Z Z I
V Z Z Z Z
V Z Z Z Z
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡+⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢
⎢⎢ ⎥ ⎢= +⎢⎢ ⎥ ⎢
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢+⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦
A
onde
2
2
1 1 1
1
1
a a
a a
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥= ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
A
Pré-multiplicando a equação X(2.40)X por obtém-se1
,−
A
0 0
1
1 1
2 2
a f n n n
a n f n n
a n n f n
V Z Z Z Z
V Z Z Z Z
V Z Z Z Z
−
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡+
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢
⎢⎢ ⎥ ⎢= +⎢⎢ ⎥ ⎢
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢+⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦
A A
1aI
(2.41)
ou
0 0
1
2 2
a a
a S
a a
V I
V
V I
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢= ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣
Z
⎦
n
A
(2.42)
onde
1
f n n n
S n f n n
n n f
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
−
⎡ ⎤+⎢ ⎥
⎢ ⎥= +⎢ ⎥
⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦
Z A (2.43)
A matriz impedância definida na equação X(2.43)X é chamada matriz de impedânciasSZ

de seqüência. Ela pode ser obtida por
0
2 2
1
2 2
2
1 1 1 1 1 1
1
1 1
3
1 1
f n n n
S n f n n
n n f n
Z Z Z Z Z
Z a a Z Z Z Z a
Z Z Z Z Za a a a
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Z a
0f
3 0 0
0
0 0
f n
S
f
Z Z
Z
Z
⎡ ⎤+⎢ ⎥
⎢ ⎥= ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
Z (2.44)
A partir das equações X(2.42)X e X(2.44)X, pode-se escrever que
0 0
1 1
2 2
( 3 )a f n
a f a
a f a
V Z Z I
V Z I
V Z I
= +
=
=
a
2
(2.45)
De onde se conclui que
0 13f n fZ Z Z Z Z Z Z= + = = f (2.46)
A Figura 2.13 mostra as impedâncias de seqüência para uma carga passiva conectada
em Y.
Seqüência zero
Figura 2.13. Impedâncias de seqüência para uma carga passiva conectada em Y.
Se a carga estiver conectada em não haverá correntes de seqüência zero circulando,∆

pela rede de seqüência zero devido à ausência do neutro. Se a impedância por fase for
transformando a carga para uma conexão equivalente em Y, tem-se
,Z∆
3
f
Z
Z ∆
= (2.47)
A Figura 2.14 mostra as impedâncias de seqüência de uma carga passiva ligada em .∆
1
3
f
Z
Z Z ∆
= =
2
3
f
Z
Z Z ∆
= =
0
3
f
Z
Z Z ∆
= =
Seqüência zero
Figura 2.14. Impedâncias de seqüência para uma carga passiva conectada em .∆
2.11. Impedâncias de Seqüência para Transformadores Trifásicos
Quando apenas correntes de seqüência positiva ou negativa circulam por um transfor-
mador, o seu comportamento é idêntico ao estudado no curso de Sistemas de Potência I, ou
seja, a oposição à circulação destas correntes é a própria impedância do transformador.
A Figura 2.15 mostra as redes de seqüência positiva e negativa para um transformador tri-
fásico.
TZ
Figura 2.15. Redes de seqüência para um transformador trifásico.

O valor da impedância de seqüência zero de transformadores trifásicos também é a im-
pedância de dispersão do transformador Porém, os circuitos de seqüência zero de
transformadores trifásicos requerem um estudo mais detalhado em função dos enrolamentos
do primário e do secundário poderem estar conectados em Cinco possibilidades
serão analisadas a seguir.
.TX
Y ou .∆
Banco Y−Y com apenas um neutro aterrado: se qualquer um dos neutros de um banco
Y−Y não estiver aterrado, a corrente de seqüência zero não pode circular em nenhum dos
enrolamentos. A ausência de caminho em um enrolamento impede a passagem da corrente
no outro. Assim, existe um circuito aberto para a corrente de seqüência zero entre as duas
partes do sistema ligadas pelo transformador.
Banco Y−Y ambos os neutro aterrados: neste caso, existe um caminho, através do trans-
formador, para as correntes de seqüência zero em ambos os enrolamentos. Como a corrente
de seqüência zero pode seguir um caminho completo por fora do transformador em ambos
os lados, ela também poderá circular em ambos os enrolamentos do transformador. Assim,
os dois lados do transformador são interligados pela impedância de seqüência zero do trans-
formador.
Banco Y aterrado: se o neutro de um banco estiver aterrado, as corren-
tes de seqüência zero possuem um caminho para a terra através da ligação Y porque as
correspondentes correntes induzidas podem circular no A corrente de seqüência zero,
que circula no ∆ para equilibrar a corrente de seqüência zero no Y, não pode circular nas
linhas ligadas ao O circuito equivalente oferece um caminho a partir do Y, através da
impedância de dispersão do transformador, até a barra de referência. Deve existir um cir-
cuito aberto entre a linha e a barra de referência no lado Se a ligação do neutro à terra
apresenta uma impedância o circuito equivalente de seqüência zero deve ter uma im-
pedância de em série com a impedância de dispersão do transformador para ligar a li-
nha no lado Y até a terra.
,Y ∆− Y − ∆
.∆
.∆
.∆
,nZ
3 nZ
Banco Y não-aterrado: um Y não-aterrado é o caso onde a impedância en-
tre o neutro e a terra, é infinita. Assim, a impedância 3 do caso anterior torna-se infini-
,Y ∆− ,nZ
nZ

ta. A corrente de seqüência zero não pode circular nos enrolamentos do transformador.
Banco como o circuito ∆ não oferece caminho de retorno para as correntes de
seqüência zero, essas correntes não podem circular em bancos embora ela possa cir-
cular nos enrolamentos
:∆ ∆−
,∆ − ∆
.∆
A Figura 2.16 mostra os circuitos de seqüência zero para as diferentes conexões de trans-
formadores trifásicos.
Ligação Seqüência zero
−
−
−
−
−
Figura 2.16. Circuitos de seqüência zero para transformadores trifásicos.

Exemplo 2.3: Um gerador trifásico de 300 MVA, 20 kV, tem uma reatância subtransitória
de 20%. O gerador alimenta um certo número de motores síncronos através de uma linha
de transmissão de 64 km, tendo transformadores em ambas as extremidades, como mostra
o diagrama unifilar da Figura 2.17. Os motores, todos de 13,2 kV, estão representados por
dois motores equivalentes. O neutro do motor está aterrado através de uma reatância
de 0,4 Ω. O neutro do motor não está aterrado. As entradas nominais para os motores
são 200 MVA para e 100 MVA para Para ambos os motores O
transformador trifásico de 350 MVA, 230/20 kV, apresenta reatância de 10%. O
transformador é composto de três transformadores monofásicos, cada um de 100 MVA,
127/13,2 kV, com reatância de 10%. A reatância em série da linha de transmissão é
0,5 Ω/km. Considere a reatância de seqüência negativa de cada máquina igual à sua
reatância subtransitória. Para o gerador e os motores, considere a reatância de seqüência
zero igual a 5%. No neutro do gerador está presente um reator de limitação de corrente de
0,4 Ω. A reatância de seqüência zero da linha de transmissão é 1,5 Ω/km. Trace os
diagramas de seqüências positiva, negativa e zero com todas as reatâncias em pu. Escolha
os valores nominais do gerador como base no circuito deste.
1M
2M
1M 2.M 20%.X′′ =
1,T
2T

2.1. Sendo calcule as tensões em re-
lação ao neutro Apresente também o resultado na forma de um diagra-
ma.
1 2 050 0 V, 20 90 V e 10 180 V,a a aV V V= ∠ ° = ∠ ° = ∠ °
, e .a b cV V V
2.2. Quando um gerador tem o terminal a aberto e os outros dois terminais estão ligados
entre si com um curto-circuito desta conexão com a terra, os valores típicos para os
componentes simétricos da corrente na fase a são
Calcule as correntes para a terra e a corrente
em cada fase do gerador.
1 600 90 A,aI = ∠ − °
2 2250 90 A e 350 90 A.a aI I= ∠ ° = ∠ °
2.3. Calcule os componentes simétricos das três correntes 10 0 A,aI = ∠ °
10 130 A e 10 130 A.b cI I= ∠ − ° = ∠ °
2.4. As correntes que circulam nas linhas para uma carga equilibrada, ligada em são
Determine as defasagens en-
ter
,∆
100 0 A, 141,4 135 A e 100 90 A.a b cI I I= ∠ ° = ∠ − ° = ∠ °
e , e e e .a ab b bc c caI I I I I I
2.5. As tensões nos terminais de uma carga equilibrada consistindo em três resistores de
10 Ω, ligados em Y, são
Determine as defasagens entre Suponha que o neutro
da carga não está aterrado. Calcule também a potência consumida nos três resistores
usando os componentes simétricos das correntes e tensões. Verifique a resposta.
100 0 V, 80,8 121,44 V e 90 130 V.ab bc caV V V= ∠ ° = ∠ − ° = ∠ °
e , e e e .ab a bc b ca cV V V V V V
2.6. Uma carga trifásica consiste de uma carga equilibrada conectada em ∆ em paralelo
com uma outra ligada em Y. A impedância por fase da carga em ∆ é
(6 6)Z j∆ = + Ω e a impedância por fase da carga em Y vale Y (2 2) .Z O
neutro da carga conectada em Y está aterrado através de uma impedância
Um conjunto de tensões de fase desequilibradas com com-
ponentes simétricos de seqüência iguais a
j= + Ω
1 .nZ j= Ω , ean bn cnV V V
0 110 60 V, 100 0 V ean anV V= ∠ ° = ∠ °

2 15 160 VanV = ∠ − ° são aplicadas à carga trifásica descrita acima.
a) Construa os diagramas de seqüência positiva, negativa e zero.
b) Calcule a potência complexa por seqüência fornecida às cargas em ∆ e em Y.
c) Calcule a potência complexa total fornecida à carga trifásica.
2.7. Suponha que as correntes especificadas no Exercício 2.4 estejam circulando por uma
linha de transmissão conectada ao lado Y de um transformador com valores
nominais 10 MVA e 66 Y/13,2 ∆ kV. A carga está conectada ao lado ∆ do transfor-
mador. Calcule as correntes que circulam nas linhas da carga convertendo em pu os
componentes simétricos das correntes na base dos valores nominais do transformador
e defasando os componentes de acordo com a equação X(2.21)X. Verifique os resultados
calculando as correntes em cada fase dos enrolamentos ∆, em A, diretamente a partir
das correntes no lado Y multiplicando pela relação de espiras dos enrolamentos.
Complete a verificação calculando as correntes de linha em função das correntes de
fase no lado ∆.
Y − ∆
2.8. São aplicadas tensões de linha trifásicas equilibradas de 100 V a uma carga ligada em
Y consistindo de três resistores. O neutro da carga não está aterrado. A resistência na
fase a é 10 Ω, na fase b é 20 Ω e na fase c é 30 Ω. Escolhendo como referência,
calcule a corrente na fase a e a tensão
abV
.aV
2.9. O diagrama unifilar de um sistema sem carga está apresentado na Figura 2.19. Os ge-
radores e transformadores apresentam as seguintes características:
Gerador 1: 20 MVA, 13,8 kV, 2 020%, 20% e 5%X X X′′ = = =
Gerador 2: 30 MVA, 18 kV, 2 020%, 20% e 5%X X X′′ = = =
Transformador 1: 25 MVA, 220Y / 13,8Δ kV, 10%X =
Transformador 2: unidades monofásicas, cada uma de 10 MVA, 127/18 kV, 10%X =
Transformador 3: 35 MVA, 220Y / 22Y kV, 10%X =
Construa as redes de seqüência positiva, negativa e zero para o sistema. Coloque to-
dos os valores em pu na base de 50 MVA e 13,8 kV no circuito do gerador 1. Os neu-

tros dos geradores 1 e 3 são ligados à terra através de reatores de limitação de corren-
te, cada um com uma reatância de 5% na base da máquina a qual é conectado. A rea-
tância de seqüência zero da linha de transmissão é 210 Ω de A até B e 250 Ω de B até
C.
2.10. Construa as redes de seqüência positiva, negativa e zero do sistema elétrico apresen-
tado na Figura 2.20. Represente as reatâncias em pu em uma base de 50 MVA e
138 kV na linha de 40 Ω. As características dos geradores, motores e transformadores
são:
Motor síncrono: 30 MVA, 13,8 kV, 2 020%, 20% e 8%X X X′′ = = =
Transformadores Y−Y: 20 MVA, 138Y / 20Y kV, 10%X =
Transformadores Y−∆: 15 MVA, 138Y / 13,8∆ kV, 10%X =
Os neutros das máquinas estão aterrados através de reatores de limitação de corrente,
tendo reatâncias de 5% na base da máquina a qual estão conectados. As reatâncias de
seqüência zero das linhas de transmissão valem três vezes as suas reatâncias de se-
qüência positiva.

III. FALTAS ASSIMÉTRICAS
3.1. Introdução
A maioria das faltas que ocorre em sistemas elétricos é assimétrica podendo constituir-se
em curto-circuitos fase-terra, fase-fase ou fase-fase-terra. O caminho para a corrente de fal-
ta pode ou não conter uma impedância.
Como qualquer falta assimétrica provoca o fluxo de correntes desequilibradas no siste-
ma, o método dos componentes simétricos é muito útil na determinação das correntes e
tensões no sistema após a ocorrência de uma falta assimétrica.
3.2. Faltas em Geradores em Vazio
Do capítulo 2, seção 2.8, equações (2.33), (2.34) e (2.35), pode-se escrever, em notação
matricial, a relação para os componentes simétricos das tensões na fase a em um gerador
em vazio como
(3.1)
0 0
1 1
2 2
0 0 0
0 0
0 0 0
a a
a a
a a
V Z
V E Z I
V Z
⎡ ⎤ ⎡⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥= −
⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣
0
1
2
a
I
I
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
2
2
onde são os componentes simétricos de seqüência zero, positiva e negativa,
respectivamente, da tensão da fase a, é a tensão em vazio da fase a, são as
impedâncias de seqüência zero, positiva e negativa, respectivamente, do gerador,
são os componentes simétricos de seqüência zero, positiva e negativa, respectivamente,
da corrente da fase a.
0 1, ea a aV V V
aE 0 1, eZ Z Z
0 1, ea aI I
2aI

Faltas Assimétricas Prof. Luciano V. Barboza
3.2.1. Falta entre Fase e Terra
O circuito para uma falta fase-terra em um gerador em vazio ligado em Y, com seu neu-
tro aterrado através de uma reatância, é mostrado na Figura 3.1, onde a falta ocorre na fa-
se a.
Figura 3.1. Diagrama para uma falta fase-terra em um gerador em vazio.
As condições na falta são
(3.2)0 0 0b cI I V= = a =
Os componentes simétricos da corrente na fase a são
0
2
1
2
2
1 1 1
1
1
3
01
a a
a
a c
I I
I a a I
I Ia a
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ =⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣
0b
⎤
⎥
⎥=
⎥
⎥
⎦⎣ ⎦
(3.3)
o que resulta em
1 2 0
1
3
a a aI I I= = = aI (3.4)
Para que os três componentes simétricos da corrente na fase a sejam iguais, os circuitos
de seqüência do gerador devem ser conectados em série, como mostra a Figura 3.2.

Figura 3.2. Conexão das redes de seqüência de um gerador em vazio para uma falta fase-terra.
Da Figura 3.2, tem-se que
1 2 0
1 2
a
a a a
E
I I I
Z Z Z
= = =
+ + 0
0
(3.5)
Se o neutro do gerador não estiver aterrado, a rede de seqüência zero estará aberta e
será infinita. Assim, as correntes serão nulas e, portanto, a corrente na fase a
será zero. Esta mesma conclusão pode ser obtida analisando o circuito da Figura 3.1. Note
que se não há ligação entre a terra e o neutro do gerador, não existe caminho para a cor-
rente na falta.
0Z
1 2, ea a aI I I
Exemplo 3.1: Um gerador tem valores nominais de 20 MVA, 13,8 kV e uma reatância sub-
transitória de eixo direto de 0,25 pu. As reatâncias de seqüência negativa e zero são, res-
pectivamente, 0,35 e 0,10 pu. O neutro do gerador está solidamente aterrado. Calcule a
corrente subtransitória no gerador e as tensões de linha em condições subtransitórias quan-
do ocorre uma falta fase-terra nos terminais do gerador, quando este está operando sem
carga com tensão nominal.

3.2.2. Falta entre Fase e Fase
O circuito para uma falta fase-fase em um gerador ligado em Y, com aterramento, sem
carga é mostrado na Figura 3.3. As fases em falta são b e c.
Figura 3.3. Diagrama para uma falta fase-fase em um gerador em vazio.
As condições para a falta são
(3.6)0b c a cV V I I I= = b= −
Os componentes simétricos da tensão na fase a são
0
2
1
2
2
1 1 1
1
1
3
1
a a
a
a c
V V
V a a V
V Va a
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ =⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣
b
bV
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦⎣ ⎦
(3.7)
resultando em 1 2.a aV V=
Para os componentes simétricos da corrente na fase a, tem-se
0
2
1
2
2
1 1 1 0
1
1
3
1
a a
a
a c
I I
I a a I
I Ia a
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ = −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣
b
bI
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦⎣ ⎦
(3.8)

o que fornece 0 20 e .a aI I= = − 1aI
2a
Havendo conexão entre o neutro do gerador e a terra, será finito, e assim0Z
(3.9)0 0 0 0a aV Z I= − =
Com igual à zero, a rede de seqüência zero está em curto-circuito e, portanto, não
influi na falta, não sendo usada. Com iguais e com igual a deve-se co-
nectar as redes de seqüência positiva e negativa em paralelo, conforme mostra a Figura 3.4.
0aV
1 eaV V 1aI 2,aI−
Figura 3.4. Conexão das redes de seqüência de um gerador em vazio para uma falta fase-fase.
Da figura 3.4, tem-se que
1
1 2
a
a
E
I
Z Z
=
+
(3.10)
Como a falta não envolve a terra, não existe corrente para a terra. Na dedução das
equações, encontrou-se Este resultado confirma o fato de não haver corrente no
neutro, pois a corrente é igual a
0 0.aI =
nI 03 .aI
Exemplo 3.2: Calcule as correntes e as tensões de linha subtransitórias na falta quando
ocorre uma falta fase-fase os terminais do gerador do Exemplo 3.1. O gerador está em va-
zio e operando com tensão nominal quando a falta ocorre.

3.2.3. Falta entre Duas Fases e Terra
A Figura 3.5 mostra o circuito para uma falta entre duas fases e terra em um gerador li-
gado em Y e em vazio, com o neutro aterrado. As fases em falta são b e c.
Figura 3.5. Diagrama para uma falta fase-fase-terra em um gerador em vazio.
As condições na falta são
(3.11)0 0 0b cV V I= = a =
Os componentes simétricos da tensão na fase a são
0
2
1
2
2
1 1 1
1
1
3
01
a a
a
a c
V V
V a a V
V Va a
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ =⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣
0b
⎤
⎥
⎥=
⎥
⎥
⎦⎣ ⎦
(3.12)
o que fornece
1 2 0
1
3
a a aV V V V= = = a (3.13)
Para que os três componentes simétricos da tensão na fase a sejam iguais, os circuitos de
seqüência do gerador devem ser conectados em paralelo, como mostra a Figura 3.6.

Ea
Z1
Ia1
Va1
Z2
Ia2
Va2
3Zn
Ia0
Va0
Zg0
Z0
Figura 3.6. Conexão das redes de seqüência de um gerador em vazio para uma falta fase-fase e terra.
Da Figura 3.6, pode-se escrever que
1
2 0
1
2 0
a
a
E
I
Z Z
Z
Z Z
=
⋅
+
+
(3.14)
O esquema de conexão das redes de seqüência mostra que a corrente de seqüência posi-
tiva é determinada pela tensão aplicada em em série com a combinação em pa-
ralelo de
1aI aE 1Z
2 0e .Z Z
Na ausência de uma conexão com a terra no gerador, nenhuma corrente flui para a terra
na falta. Neste caso, é infinita e é nula. Do ponto de vista da corrente, o resultado
é o mesmo de uma falta fase-fase. A equação X(3.14)X, para uma falta fase-fase e terra, tende
à equação X(3.10)X, para uma falta fase-fase, quando tende para o infinito.
0Z 0aI
0Z
Exemplo 3.3: Calcule as correntes e tensões de linha subtransitória na falta quando ocorre
um curto-circuito entre duas fases e terra nos terminais do gerador do Exemplo 3.1. O ge-
rador estava operando em vazio e com tensão nominal quando a falta ocorre.
3.3. Faltas Assimétricas em Sistemas de Potência
A Figura 3.7 mostra os três condutores do sistema trifásico na parte da rede onde ocorre
a falta. As correntes são as correntes que saem do sistema originalmente equili-
brado para a falta, através de fios hipotéticos.
, ea bI I Ic

a
c
b
Ia
Ic
Ib
Figura 3.7. Três condutores do sistema trifásico.
As tensões de fase no local da falta serão designadas por A tensão de fase
da fase a antes da ocorrência da falta, no local da falta, será chamada
, e .a b cV V V
,fV que é uma ten-
são de seqüência positiva porque o sistema está equilibrado antes da ocorrência da falta.
Como as redes de seqüência são circuitos lineares, cada uma delas pode ser substituída
pelo seu equivalente Thèvenin entre a barra de referência e o ponto de falta. A fem do úni-
co gerador no circuito equivalente de Thèvenin de seqüência positiva é ,fV a tensão de fase
pré-falta no ponto de falta. A impedância do circuito equivalente é a impedância entre
o ponto de falta e a barra de referência na rede de seqüência positiva, com todas as fem
curto-circuitadas. Analogamente, as impedâncias são as impedâncias entre o ponto
de falta e a barra de referência nas redes de seqüência negativa e zero, respectivamente.
1Z
2 eZ Z0
Dessa forma, a equação matricial para os componentes simétricos da tensão de falta na
fase a é semelhante àquela para geradores em vazio, equação X(3.1)X, exceto com a substitui-
ção de poraE .fV
(3.15)
0 0
1 1
2 2
0 0 0
0 0
0 0 0
a a
a f
a a
V Z
V V Z I
V Z
⎡ ⎤ ⎡⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥= −
⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣
0
1
2
a
I
I
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
0onde correspondem às impedâncias de Thèvenin entre o ponto de falta e a
barra de referência.
1 2, eZ Z Z

3.3.1. Falta entre Fase e Terra
Para uma falta fase-terra, os fios hipotéticos do sistema elétrico são conectados como
mostra a Figura 3.8.
a
c
b
Ia
Ic
Ib
Figura 3.8. Diagrama de ligação dos fios hipotéticos para uma falta fase-terra.
As relações existentes nesta falta são
(3.16)0 0 0b cI I V= = a =
Estas relações são as mesmas que se aplicaram à falta fase-terra em um gerador em va-
zio. Assim, as relações para os componentes simétricos da corrente na fase a devem ser os
mesmos, exceto pela troca de poraE fV e os equivalentes Thèvenin de seqüência positiva,
negativa e zero também devem ser interligados em série.
1 2 0
1
1 2
a a a
f
a
I I I
V
I
Z Z Z
= =
=
+ + 0
(3.17)
3.3.2. Falta entre Fase e Fase
Para uma falta entre fase e fase, os fios hipotéticos das três linhas na falta são conecta-
dos como é mostrado na Figura 3.9.

a
c
b
Ia
Ic
Ib
Figura 3.9. Diagrama de ligação dos fios hipotéticos para uma falta fase-fase.
As relações existentes neste tipo de falta são
(3.18)0b c a cV V I I I= = b= −
As relações anteriores são idênticas, em forma, àquelas que se aplicam a uma falta fase-
fase em um gerador em vazio. Dessa forma, os equivalentes Thèvenin das redes de seqüên-
cia positiva e negativa devem ser conectados em paralelo e a rede de seqüência zero não
participa da falta. As relações matemáticas para a falta são
1 2
1
1 2
a a
f
a
V V
V
I
Z Z
=
=
+
(3.19)
3.3.3. Falta entre Duas Fases e Terra
Para uma falta entre duas fases e terra, os fios são conectados como mostra a Figura
3.10.

Figura 3.10. Diagrama de ligação dos fios hipotéticos para uma falta fase-fase e terra.
As relações na falta são
(3.20)0 0 0b cV V I= = a =
Por comparação com a dedução realizada na Seção 3.2.3, tem-se
1 2 0
1
2 0
1
2 0
a a a
f
a
V V V
V
I
Z Z
Z
Z Z
= =
=
⋅
+
+
(3.21)
As equações X(3.20)X e X(3.21)X indicam que os equivalentes Thèvenin das redes de seqüên-
cia positiva, negativa e zero devem ser conectados em paralelo no ponto de falta para si-
mular uma falta entre duas fases e terra.
3.4. Interpretação das Redes de Seqüência Interconectadas
Nas seções anteriores, viu-se que as redes de seqüência de um sistema elétrico podem ser
interconectadas de modo que a solução da rede resultante forneça os componentes simétri-
cos das correntes e tensões na falta. Na Figura 3.11 são mostradas as conexões das redes de
seqüência para simular os diferentes tipos de falta, inclusive a falta trifásica simétrica. As
redes de seqüência estão indicadas por um retângulo em cujo interior há uma linha grossa
que representa a barra de referência e um ponto P que indica o ponto de falta. A rede de

seqüência positiva é a única que contém fem que representam as tensões internas das má-
quinas.
Falta trifásica
Falta fase-fase
Falta fase-terra
Falta fase-fase e terra
Figura 3.11. Conexões das redes de seqüência para simular os diferentes tipos de falta.
O circuito de Thèvenin entre a barra de referência e o ponto de falta para a rede de se-
qüência positiva é equivalente somente em efeito à rede original de seqüência positiva. No
circuito equivalente não há correntes circulando anteriormente a ocorrência da falta. Entre-
tanto, na rede original de seqüência positiva, se houver diferença de fase ou de amplitude
entre as fem, haverá corrente circulando antes da falta. Esta corrente é a corrente de carga
pré-falta. Dessa forma, para uma determinação mais correta das correntes de seqüência po-
sitiva no sistema original, deve-se incluir a componente de corrente pré-falta à corrente du-
rante a falta.
Exemplo 3.4: Um grupo de motores síncronos idênticos é conectado através de um trans-
formador a uma barra de 4,16 kV em local afastado das usinas geradoras de um sistema de
potência. Os motores são de 600 V e operam com rendimento de 89,5% quando em plena

carga com fator de potência unitário e tensão nominal. A soma de suas potências de saída
é de 4.476 kW (6.000 HP). As reatâncias em pu do motor equivalente, com base em seus
próprios kVA nominais de entrada, são e está
aterrado através de uma reatância de 0,02 pu. Os motores estão conectados ao barramento
de 4,16 kV através de um banco de transformadores composto de três unidades monofási-
cas, cada uma com 2.400 / 600 V, 2.500 kVA. Os enrolamentos de 600 V são ligados em Δ
e os enrolamentos de 2.400 V são conectados em Y. A reatância de dispersão de cada
transformador é de 10%.
2 00,2 pu, 0,2 pu e 0,04 puX X X′′ = = =
O sistema de potência que fornece os 4,16 kV para o barramento é representado por um
gerador equivalente de Thèvenin de 7.500 kVA, 4,16 kV, com reatâncias de
entre neutro e terra igual à 0,05 pu.2 00,1 pu, 0,05 pu e nX X X X′′ = = =
Cada um dos motores idênticos está alimentando uma parcela igual de uma carga total
de 3.730 kW (5.000 HP) e está operando com tensão nominal, com fator de potência de
85% atrasado e com rendimento de 88%, quando ocorre uma falta fase-terra no lado de
baixa tensão do banco de transformadores. Considere o grupo de motores como um único
motor equivalente. Calcule as correntes subtransitórias de linha em todas as partes do sis-
tema de energia. O diagrama unifilar do sistema elétrico está mostrado na Figura 3.12 e o
esquema de ligação do transformador, na Figura 3.13.
Figura 3.13. Ligação do banco de transformadores
do Exemplo 3.4.

3.5. Análise de Faltas Assimétricas Usando a Matriz Impedância de Barra
No Capítulo 1, usamos a matriz impedância de barras para determinar as correntes e
tensões na ocorrência de uma falta trifásica. O método pode facilmente ser estendido a fal-
tas assimétricas, notando que as redes de seqüência positiva, negativa e zero podem ser re-
presentadas por redes equivalentes de impedâncias de barras.
Assim, para uma falta fase-terra na barra 3 de um sistema hipotético tem-se
1 2
1
33 33 33
f
a
V
I
Z Z Z
=
+ + 0
0
(3.22)
onde são as impedâncias próprias da barra 3 de seqüência positiva, nega-
tiva e zero, respectivamente. As admitâncias de transferência permitem calcular as tensões
nas outras barras do sistema elétrico, com as quais se podem determinar as correntes de li-
nha.
1 233 33 33, eZ Z Z
Exemplo 3.5: Calcule as correntes subtransitórias para uma falta fase-terra, primeiro na
barra 1 e depois na barra 2, no sistema elétrico do Exemplo 3.4. Use a matriz impedância
de barra e calcule também a tensão na barra 2 com a barra 1 em falta.

3.1. Os valores nominais de um gerador de 60 Hz são 500 MVA, 22 kV. Ele é conectado
em Y, solidamente aterrado e está operando em vazio com tensão nominal. Ele está
isolado do restante do sistema. Suas reatâncias são
Calcule:
2 0,15 pu eX X′′ = =
0 0,05 pu.X =
a) a corrente subtransitória de linha para uma falta trifásica;
b) a corrente subtransitória de linha para uma falta fase-terra;
c) a corrente subtransitória de linha para uma falta entre duas fases;
d) a corrente subtransitória de linha para uma falta entre duas fases e terra.
3.2. Calcule o valor da reatância indutiva em Ω que deve ser inserida no aterramento do
neutro do gerador do Exercício 3.1 para limitar a corrente subtransitória de linha pa-
ra uma falta fase-terra ao valor da corrente para uma falta trifásica.
3.3. Com a reatância indutiva obtida no Exercício 3.2 inserida no neutro do gerador do
Problema 3.1, calcule as correntes subtransitórias de linha para:
a) uma falta fase-terra;
b) uma falta entre duas fases;
c) uma falta fase-fase e terra.
3.4. Qual o valor da resistência em Ω que conectada o neutro do gerador do Exercício 3.1
limita a corrente subtransitória de linha para uma falta fase-terra ao valor obtido pa-
ra a falta trifásica?
3.5. Um gerador de 100 MVA, 18 kV, tendo está para ser
conectado a um sistema de potência. O gerador possui um reator limitante de corren-
te de 0,162 Ω no neutro. Antes de ser conectado ao sistema, sua tensão é ajustada pa-
ra 16 kV quando ocorre uma falta fase-fase-terra nos terminais b e c. Calcule o valor
eficaz da corrente simétrica inicial para a terra na linha b.
2 020% e 5%,X X X′′ = = =

3.6. As reatâncias de um gerador de 100 MVA, 20 kV são O
gerador está conectado a um transformador Δ−Y de 100 MVA, 20Δ − 230Y kV, com
uma reatância de 10%. O neutro do transformador está solidamente aterrado. Quan-
do a tensão terminal do gerador é de 20 kV, ocorre no transformador uma falta fase-
terra no lado de alta tensão que estava aberto. Determine o valor eficaz inicial das
correntes simétricas em todas as fases do gerador. A conexão do transformador está
apresentada na Figura 3.14.
2 020% e 5%.X X X′′ = = =
Figura 3.14. Ligação do trafo do Problema 3.6. Figura 3.15. Ligação do trafo do Problema 3.7.
3.7. Um gerador alimenta um motor através de um transformador Y−Δ. O gerador está
conectado ao lado Y do transformador. Ocorre uma falta entre os terminais do motor
e do transformador. Os componentes simétricos da corrente subtransitória do motor
para a falta são Os compo-
nentes simétricos da corrente do transformador para a falta são
Suponha para o motor e
para o gerador. Descreva o tipo de falta. A ligação do transformador está mostrada
na Figura 3.15. Calcule:
1 2 0( 0,8 2,6) pu, 2,0 pu e 3,0 pu.a a aI j I j I j= − − = − = −
1 2( 0,8 0,4) pu, 1,0 pu e 0.a aI j I j I= − − = − =0a 2X X′′ =
a) a corrente antes da falta, se existe, na linha a;
b) a corrente subtransitória, em pu, na falta;
c) a corrente subtransitória, em pu, em cada fase do gerador.
3.8. Calcule as correntes subtransitórias em todas as partes do sistema do Exemplo 3.4,
desprezando a corrente antes da falta e supondo uma falta fase-fase no lado de baixa
tensão do transformador.
3.9. Repita o Exercício 3.8 para uma falta fase-fase-terra.

3.10. Dois geradores são conectados através dos transformadores a um
barramento de alta tensão que alimenta uma linha de transmissão. A linha está em
aberto no extremo distante dos transformadores, no qual ocorre uma falta. A tensão
pré-falta no ponto de falta é de 515 kV. Os valores nominais e as reatâncias dos equi-
pamentos são:
1 eG G2 21 eT T
GB
1B
: 1.000 MVA, 20 kV, XB
SB
= 100%, 2 010% e 5%X X X′′ = = =
GB
2B
: 800 MVA, 22 kV, XB
SB
= 120%, 2 015% e 8%X X X′′ = = =
TB
1B
: 1.000 MVA, 500Y / 20Δ kV, 17,5%X =
TB
2B
: 800 MVA, 500Y / 22Y kV, 16%X =
Linha: na base de 1.500 MVA, 500 kV1 2 215%, 40%X X X= = =
O neutro do gerador 1 está aterrado através de uma reatância de 0,04 Ω. O neutro de
não está aterrado. Os neutros de todos os transformadores estão solidamente ater-
rados. Usando uma base de 1.000 MVA, 500 kV na linha de transmissão e desprezan-
do a corrente pré-falta, determine a corrente subtransitória no gerador
2G
1:G
a) na fase c para uma falta trifásica;
b) na fase b uma falta fase-fase nas linhas B e C;
c) na fase a para uma falta fase-fase-terra nas linhas B e C;
d) na fase c para uma falta fase-terra na linha A.
O esquema de ligação do transformador 1 está mostrado na Figura 3.16.
Figura 3.16. Conexão do transformador 1 para o Exercício 3.10.

IV. ESTABILIDADE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
4.1. Aspectos Gerais
Quando os geradores CA eram acionados por máquinas a vapor, um dos principais pro-
blemas na operação do sistema era o das oscilações. As variações periódicas no conjugado
aplicado ao gerador causavam variações periódicas na velocidade. As variações resultantes
de tensão e freqüência eram transmitidas aos motores conectados ao sistema. As oscilações
nos motores, causadas pelas variações de tensão e freqüência, algumas vezes causavam a
inteira perda de sincronismo dos motores se as suas freqüências naturais de oscilação coin-
cidissem com a freqüência de oscilação causada pelas máquinas que acionavam os gerado-
res. O uso de turbinas reduziu o problema das oscilações, embora ainda esteja presente
quando a máquina primária é uma máquina diesel. A conservação do sincronismo das vá-
rias partes de um sistema de potência torna-se cada vez mais difícil à medida que os siste-
mas e interligações entre sistemas crescem.
Em estudos de estabilidade, um conceito importante é o de barra infinita. Um bar-
ramento infinito, para fins de estudo de estabilidade, pode ser considerado como uma barra
na qual está localizada uma máquina de tensão interna constante, tendo impedância zero e
inércia infinita. O ponto de conexão de um gerador a um sistema de grande porte pode ser
considerado como tal barra.
4.2. O Problema da Estabilidade
A estabilidade de um sistema de potência pode ser definida como a propriedade do sis-
tema que permite as máquinas síncronas desse sistema responder a um distúrbio, a partir
de uma condição normal de operação, de modo a retornarem a uma condição de operação
novamente normal. Os estudos de estabilidade são classificados em três tipos, dependendo
da natureza e ordem de grandeza do distúrbio: estabilidade transitória, estabilidade dinâ-
mica e estabilidade em regime permanente.
Os estudos de estabilidade transitória constituem a principal metodologia analítica para
estudos do comportamento dinâmico-eletromecânico do sistema. Estes estudos indicam se o

Estabilidade de Sistemas de Potência Prof. Luciano V. Barboza
sistema permanecerá em sincronismo após distúrbios significativos, tais como faltas no sis-
tema de transmissão, variações rápidas de demanda ou perdas de unidades geradoras. Uma
analogia mecânica para o problema da estabilidade transitória pode ser visto na Figura 4.1.
Um determinado número de massas representando as máquinas síncronas é interconectado
por fios de elástico representando as linhas de transmissão. Estando o sistema em repouso
em uma determinada posição, suponha que um dos elásticos seja cortado representando a
perda de uma linha de transmissão. Como resultado, as massas ficarão sujeitas a oscilações
transitórias e as forças atuantes no sistema variam em intensidade. O sistema então se des-
locará para uma outra posição de repouso ou, devido à nova configuração de forças, mais
alguns elásticos podem se romper representado um colapso na rede. Assim, para uma de-
terminada perturbação, deseja-se saber se o sistema possui estabilidade transitória ou se ele
fica instável.
Figura 4.1. Análogo mecânico da estabilidade transitória em sistemas de potência.
Os estudos de estabilidade dinâmica e em regime permanente são menos extensivos e
envolvem uma ou algumas poucas máquinas que sofrem variações lentas ou graduais nas
condições de operação. A distinção entre os estudos de estabilidade dinâmica e em regime
permanente é, na realidade, artificial visto que os problemas são os mesmos em natureza,
diferem somente no grau de detalhamento das máquinas. Em estudos dinâmicos, o sistema
de excitação e o sistema turbina-regulador são representados em conjunto com modelos de
máquinas síncronas que provêm às variações de enlace de fluxo no entreferro da máquina.
Problemas de estabilidade em regime permanente usam um modelo simples do gerador que
é modelado como uma fonte de tensão constante.
Estudos de estabilidade transitória são mais comumente empregados por refletirem a sua
grande importância na prática. Estes problemas envolvem grandes perturbações que não
permitem procedimentos de linearização e as equações algébrico-diferenciais devem ser re-
solvidas por métodos diretos ou procedimentos numéricos.

Em todos os estudos de estabilidade, o objetivo é determinar se os rotores das máquinas,
sendo perturbados, retornam ou não à operação com velocidade constante. Isto, portanto,
significa que as velocidades dos rotores se desviam temporariamente da velocidade síncro-
na.
4.3. Dinâmica do Rotor e Equação de Oscilação
A equação que descreve o movimento do rotor de um gerador síncrono está baseada no
princípio da dinâmica (2ª lei de Newton): o torque de aceleração é igual ao produto do
momento de inércia do rotor pela sua aceleração angular. Matematicamente, tem-se
2
2
m
a m
d
J T T
dt
θ
= = − eT
m
(4.1)
onde J é o momento de inércia total das massas do rotor, em kg.mP
2
P;
é a posição angular do rotor em relação a um eixo estacionário, em rad;mθ
t é o tempo, em segundos;
é o torque mecânico aplicado ao gerador pela máquina primária, em N.m;mT
é o torque elétrico resultante, em N.m;eT
é o torque de aceleração resultante, em N.m.aT
O ângulo é uma medida absoluta do ângulo do rotor visto que é medido em relação
a um eixo de referência estacionário sobre o rotor. Conseqüentemente, cresce continuamen-
te com o tempo e com velocidade síncrona constante. Dessa forma, pode-se medir a posição
angular do rotor em relação a um eixo de referência que gira em velocidade síncrona. Por-
tanto,
mθ
(4.2)sincm m tθ ω δ= +
onde é a velocidade síncrona da máquina, em rad/s;sincmω

é a posição angular do rotor em relação a um eixo de referência girando na velo-
cidade síncrona, em rad.
mδ
As derivadas da equação X(4.2)X em relação ao tempo fornecem
sinc
m
m
d
dt dt
θ
ω= + mdδ
(4.3)
2 2
2
md d
dt dt
θ
= 2
mδ
t
t t
(4.4)
A equação X(4.3)X indica que a velocidade angular do rotor é constante e igual à
velocidade síncrona somente quando é zero. Portanto, o termo representa
o desvio de sincronismo da velocidade do rotor. Por outro lado, a equação X(4.4)X representa
a aceleração do rotor.
/md dθ
/md dδ /md dδ
Substituindo a equação X(4.4)X na equação X(4.1)X, obtém-se
2
2
m
a m
d
J T T
dt
δ
= = − eT (4.5)
Multiplicando a equação X(4.5)X por obtém-se,mω
2
2
m
m a m m m
d
J T T
dt
δ
ω ω ω= = − e mT ω (4.6)
Recordando que o termo é o momento angular do rotor (M) e que potência é igual
ao produto do torque pela velocidade angular, a equação X(4.6)X transforma-se em
mJω
2
2
m
a m
d
M P P
dt
δ
= = − eP (4.7)
onde é a potência mecânica de entrada no eixo da máquina menos as perdas rotacio-
nais;
mP

é a potência elétrica de saída do gerador mais as perdas elétricas;eP
é a potência de aceleração do rotor que leva em conta a diferença entreaP e .m eP P
Normalmente, desprezam-se as perdas rotacionais e perdas por efeito Joule na armadu-
ra, de modo que se considera como a potência mecânica suprida pela máquina primária
e como a potência elétrica de saída.
mP
eP
Em dados de geradores síncronos, um parâmetro relacionado à estabilidade é a constan-
te H, que é definida como
1
energia cinética armazenada na velocidade síncrona 2
potência nominal da máquina
sincm
nom
M
H
S
ω
= = (4.8)
onde é a potência nominal da máquina, em MVA;nomS
H é expresso em MJ/MVA ou pu-s.
A Tabela 4.1 apresenta valores típicos para a constante H.
Tabela 4.1. Constantes H típicas de máquinas síncronas.
Tipo de máquina Constante H
(MJ/MVA)
Gerador turbinado:
Condensado 1800 rpm
1300 rpm
Não condensado 3600 rpm
Gerador roda d’água:
Baixa velocidade
Alta velocidade
Condensador síncrono:
Grande
Pequeno
Motor síncrono com carga
6 – 9
4 – 7
3 – 4
2 – 3
2 – 4
1,25
1,00
1 – 5
Resolvendo para M a equação X(4.8)X, obtém-se
2
sinc
nom
m
HS
M
ω
= (4.9)

Substituindo a equação X(4.9)X na equação X(4.7)X, tem-se
2 2
2 2
2 2
ou
sinc sinc
nom m m a m e
a m e
m m
HS d d P P PH
P P P
S S Sdt dt
δ δ
ω ω
= = − = = −
nom nom nom
(4.10)
ou simplesmente
2
2
2
sinc
m
a m
m
dH
P P P
dt
δ
ω
= = − e
e
(4.11)
observando que na equação X(4.11)X, os valores de estão expressos em pu., ea mP P P
Para um gerador com P pólos, a relação entre as grandezas elétricas e mecânicas é
e
2 2 sincm sinc
P
δ δ ω ω= m
P
= (4.12)
Substituindo as equações X(4.12)X na equação X(4.11)X, tem-se
2
2
2
a m
sinc
H d
P P P
dt
δ
ω
= = − e (4.13)
A equação X(4.13)X, equação de oscilação da máquina, é a equação que descreve as dinâ-
micas rotacionais das máquinas síncronas em estudos de estabilidade transitória. É uma
equação diferencial de segunda ordem, que pode ser escrita como duas equações diferenciais
de primeira ordem
( )
2
sinc
m e
sinc
d
P P
dt H
d
dt
ωω
δ
ω ω
⎧⎪⎪ = −⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪ = −⎪⎪⎩
(4.14)
Quando a equação de oscilação é resolvida, obtém-se δ como uma função do tempo. Este

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