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Preguntas Propuestas
3
Geometría
. . .
2
Áreas de regiones planas I
1.	 Del gráfico, OM=4. Calcule el área de la región
sombreada.
	 O
MM
B
A
A)	8	 B)	4				 C)	6
D)	2						E)	5
2.	 Del gráfico, T es punto de tangencia, r=2 y
R=3, calcule el área de la región ATB.
	
T
B
R
A
r
A)	2 2 	 B)	3 2			C)	6
D)	6 2						E)	6 3
3.	 Tomando como diámetro al lado CD de un
cuadrado ABCD se dibuja interiormente una
semicircunferencia. Luego se traza AE tangen-
te a CD. Siendo AB=10, halle el área de la re-
gión que encierra el triángulo ABE.
A)	72 u2
	 B)	40 u2
			 C)	50 u2
D)	60 u2
						E)	30 u2
4.	 En el gráfico BO=K, calcule el área de la re-
gión sombreada.
	 C
B
OA
15º
A)	4K2
	 B)	2 32
K 		C)	2K2
D)	K2
3 						E)	K2
5.	 En los triángulos ABC y PCQ son equiláteros,
calcule el área de la región sombreada.
	 C
B
A
Q
a
PP
A)	
a2
3
2
	 B)	
a2
4
			C)	
3
4
2
a
D)	
a2
3
4
						E)	
4
3
2
a
6.	 Se muestra una circunferencia inscrita en el
triángulo PQR. Si AB=, calcule el área de la
región triangular PQR.
	
r
BA
P
Q
R
A)	
r
2
	 B)	
r
3
			C)	r
D)	
2r
3
						E)	
3r
2
Geometría
3
7.	 Del gráfico, G es el baricentro de la región ABC,
cuya área es A, calcule el área de la región
DGM.
	
D
CM
B
A
G
α
α
A)	
A
5
	B)	
A
6
			C)	
A
8
D)	
A
9
						E)	
A
12
8.	 Del gráfico, ABCD es un cuadrado, M, N y P son
puntos de tangencia, calcule la razón de áreas
de las regiones BCP y DNP.
	 A N
B C
D
M
P
A)	
1
2
	 B)	1				 C)	
2
3
D)	
2
2
						E)	
1
3
Áreas de regiones planas II
9.	 Del gráfico T es punto de tangencia, R=5,
BT=2(AB)=4, calcule el área de la región ABO.
	
A B
TR
O
A)	 10 2 	 B)	 8 2 			 C)	14
D)	16						E)	20
10.	 Si M y N son puntos de tangencia, R=12,
AM=16 y BN=9, calcule el área de la región
AMNB.
	 BA
M
RR
N
A)	150	 B)	200			C)	222
D)	230						E)	250
11.	 Si ABCD es un cuadrado de perímetro 16, M es
punto medio de CD y m APM=90º, calcule el
área de la región APCM.
A)	6
B)	8	
A
B C
D
M
P
C)	5
D)	10
E)	9
Geometría
. . .
4
12.	 Si ABC y DBE son triángulos equiláteros y
AD=2 cm, calcule el área de la región cua-
drangular cóncava AEDC.
	
E
D
C
B
A
DD
A)	1	
B)	 3			
C)	2
D)	2 3						
E)	3
13.	 Calcule el área de la región trapecial ABCD
(BC // AD) si AB=CD y AD=4.
	
30º30º
A D
CB
A)	6 3 	 B)	4 3 			C)	3 3
D)	3 2 						E)	
3 3
2
14.	 La circunferencia inscrita en un trapecio isósce-
les ABCD, de bases AD y BC, es tangente a los
lados laterales AB y CD en M y N. Si AM=4 cm y
CN=1 cm, calcule el área de la región trapecial
ABCD.
A)	10 cm2
B)	12 cm2
C)	15 cm2
D)	20 cm2
E)	25 cm2
15.	 En el gráfico, PB=b. Calcule el área de la re-
gión cuadrada ABCD.
	
A B
D C
PP
A)	 3 2
b 	 B)	3b2	
		C)	
3
3
2
b
D)	b2		
				E)	2b2
16.	 Del gráfico, calcule razón de áreas de regiones
BTC y BDCT.
	
B C
A
T
D
A)	
1
2
	 B)	
1
3
			C)	
1
4
D)	
1
5
						E)	
2
3
Geometría
5
Áreas de regiones planas III y
Geometría del espacio I
17.	 Se muestra un semicírculo y un círculo inscrito
en el triángulo equilátero ABC, calcule la razón
de áreas de dichas regiones.
A)	
1
2
	
B)	1
A C
B
C)	
1
3
D)	
2
3
						
E)	
3
4
18.	 En el gráfico AB // CD, calcule el área de la re-
gión sombreada.
	
30º30º
A B
C
6
D
A)	3p	 B)	6p			C)	8p
D)	10p						E)	12p
19.	 Del gráfico, O es el centro del cuadrado ABCD,
AB=6. Calcule el área de la región sombreada.
(M y N son puntos de tangencia)
A)	 3 3 − π
B)	 2 3 3 −( )π 
M
A D
B C
N
OO
C)	 3 3 3 −( )π
D)	 4 3 3 −( )π
E)	 6 3 3 −( )π
20.	 Del gráfico, A y B son puntos de tangencia,
además el área de la región equilátera ABC es
27 3
4
, calcule el área de la región sombreada.
	
B
A
C
A)	 π +
3 3
2
	 B)	 2
2 3
3
π + 	 C)	 3
9 3
4
π +
D)	 6
9 3
2
π + 						E)	 9
3
2
π +




21.	 Del gráfico, T es punto de tangencia. Calcule el
área de la región sombreada.
	
55
33
TT
100º
A)	
10
3
≠
	 B)	
20
3
≠
			 C)	
40
9
≠
D)	
60
13
≠
						E)	
80
9
≠
22.	 Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F)
en las siguientes proposiciones.
	 I.	 Tres puntos siempre determinan un único
plano.
	 II.	 Si los extremos de un arco de circunferencia
pertenecen a un plano, entonces dicho arco
está contenido en el plano.
	 III.	Si se tiene dos rectas alabeadas y un plano
contiene a una de ellas entonces la otra rec-
ta será secante a dicho plano.
A)	VVF	 B)	VVF			C)	FFF
D)	FVF						E)	FFV
Geometría
. . .
6
23.	 Indique verdadero (V) o falso (F).
	 I.	 Todo plano determinado por dos rectas
paralelas a otro plano, es paralelo a dicho
plano.
	 II.	Se tiene dos rectas alabeadas, entonces
todo plano que contiene a una de ellas es
secante a la otra.
	 III.	Todo plano paralelo a una recta que está
contenida a otro plano, es paralelo a dicho
plano.
A)	FFV	 B)	FVF			C)	FVV
D)	VFV						E)	FFF
24.	 Según el gráfico H // P la circunferen-
cia está incluida en el Q, A, B, C y D son
los puntos de intersección de la circunfe-
rencia con los planos paralelos. Calcule x si
m mATB CLD + = 200.
	
BB
xx
TT
AA
LL
DDCC
A)	40º	 B)	20º			C)	30º
D)	50º						E)	80º
Geometría del espacio II
25.	 En el gráfico PM es perpendicular al plano que
contienealtrapecioABCD, CM=MD=3;AM=4 3,
el ángulo que forma PD con la región trapecial
es 53º. Calcule el ángulo que forma PB con
dicha región.
	
MM
D
CB
P
A
A)	37º	 B)	53º			C)	37º/2
D)	53º/2						E)	30º
26.	 En el gráfico, PD es perpendicular a la región
regular ABCD, BM=MC=PD. Calcule el ángulo
que forman AM CPy .
	
M C
P
B
A D
A)	30º	 B)	37º			C)	45º
D)	53º						E)	arccos
2
5




27.	 En el gráfico, el ángulo que determina PC con la
región rectangular ABCD es 37º. Calcule el ángu-
lo entre PD y dicha región, si PB=6 y DC=4 5.
	
P
B
D
C
A
A)	37º/2	 B)	53º/2			 C)	37º
D)	53º						E)	30º
Geometría
7
28.	 En el gráfico, OP es perpendicular al plano Q
que contiene a la circunferencia de centro O.
Si OP=R, (AO)(OB)=12 y T punto de tangencia,
calcule el área de la región APB. (R es el radio
de dicha circunferencia).
	
BB
TT
AA
OO
PP
A)	4 2 	 B)	8 2 			C)	6 2
D)	8						E)	6
29.	 En el gráfico, mAB = 60º, AB=6. Calcule BP, si
PQ es perpendicular al plano que contiene a la
semicircunferencia.
	
QQ
BB
AA 53º/253º/2
P
A)	10	
B)	8				
C)	14
D)	16					
E)	12
30.	 En un cuadrado ABCD de centro O se traza OP
perpendicular al plano que contiene a dicho
cuadrado. Si PB=4  y  OA=2, calcule el área de
la región APD.
A)	2 3 	 B)	6 3 			C)	8 3
D)	2 7 						E)	4 3
31.	 Se traza BP perpendicular al plano que con-
tiene al triángulo equilátero ABC. Si AB=6 y
PB = 4 3 , calcule la medida del ángulo diedro
AC .
A)	45º	 B)	30º			C)	37º
D)	53º						E)	60º
32.	 Se tiene el cuadrado ABCD y el rombo ABPQ
contenido en planos perpendiculares. Si
m BPQ=30º, calcule la medida del diedro
determinado por la región QCD y la región
ABCD.
A)	30	 B)	53º/2			 C)	37º/2
D)	37º						E)	53º
Claves
01 - A	
02 - C	
03 - E	
04 - D	
05 - D	
06 - C	
07 - D	
08 - D
09 - C	
10 - C	
11 - B	
12 - B	
13 - C	
14 - D	
15 - B	
16 - C
17 - D	
18 - B	
19 - E	
20 - C	
21 - C	
22 - C	
23 - E	
24 - A
25 - E	
26 - B	
27 - B	
28 - C	
29 - E	
30 - D	
31 - D	
32 - B
01 - A	
02 - C	
03 - E	
04 - D	
05 - D	
06 - C	
07 - D	
08 - D
09 - C	
10 - C	
11 - B	
12 - B	
13 - C	
14 - D	
15 - B	
16 - C
17 - D	
18 - B	
19 - E	
20 - C	
21 - C	
22 - C	
23 - E	
24 - A
25 - E	
26 - B	
27 - B	
28 - C	
29 - E	
30 - D	
31 - D	
32 - B

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  • 2. Geometría . . . 2 Áreas de regiones planas I 1. Del gráfico, OM=4. Calcule el área de la región sombreada. O MM B A A) 8 B) 4 C) 6 D) 2 E) 5 2. Del gráfico, T es punto de tangencia, r=2 y R=3, calcule el área de la región ATB. T B R A r A) 2 2 B) 3 2 C) 6 D) 6 2 E) 6 3 3. Tomando como diámetro al lado CD de un cuadrado ABCD se dibuja interiormente una semicircunferencia. Luego se traza AE tangen- te a CD. Siendo AB=10, halle el área de la re- gión que encierra el triángulo ABE. A) 72 u2 B) 40 u2 C) 50 u2 D) 60 u2 E) 30 u2 4. En el gráfico BO=K, calcule el área de la re- gión sombreada. C B OA 15º A) 4K2 B) 2 32 K C) 2K2 D) K2 3 E) K2 5. En los triángulos ABC y PCQ son equiláteros, calcule el área de la región sombreada. C B A Q a PP A) a2 3 2 B) a2 4 C) 3 4 2 a D) a2 3 4 E) 4 3 2 a 6. Se muestra una circunferencia inscrita en el triángulo PQR. Si AB=, calcule el área de la región triangular PQR. r BA P Q R A) r 2 B) r 3 C) r D) 2r 3 E) 3r 2
  • 3. Geometría 3 7. Del gráfico, G es el baricentro de la región ABC, cuya área es A, calcule el área de la región DGM. D CM B A G α α A) A 5 B) A 6 C) A 8 D) A 9 E) A 12 8. Del gráfico, ABCD es un cuadrado, M, N y P son puntos de tangencia, calcule la razón de áreas de las regiones BCP y DNP. A N B C D M P A) 1 2 B) 1 C) 2 3 D) 2 2 E) 1 3 Áreas de regiones planas II 9. Del gráfico T es punto de tangencia, R=5, BT=2(AB)=4, calcule el área de la región ABO. A B TR O A) 10 2 B) 8 2 C) 14 D) 16 E) 20 10. Si M y N son puntos de tangencia, R=12, AM=16 y BN=9, calcule el área de la región AMNB. BA M RR N A) 150 B) 200 C) 222 D) 230 E) 250 11. Si ABCD es un cuadrado de perímetro 16, M es punto medio de CD y m APM=90º, calcule el área de la región APCM. A) 6 B) 8 A B C D M P C) 5 D) 10 E) 9
  • 4. Geometría . . . 4 12. Si ABC y DBE son triángulos equiláteros y AD=2 cm, calcule el área de la región cua- drangular cóncava AEDC. E D C B A DD A) 1 B) 3 C) 2 D) 2 3 E) 3 13. Calcule el área de la región trapecial ABCD (BC // AD) si AB=CD y AD=4. 30º30º A D CB A) 6 3 B) 4 3 C) 3 3 D) 3 2 E) 3 3 2 14. La circunferencia inscrita en un trapecio isósce- les ABCD, de bases AD y BC, es tangente a los lados laterales AB y CD en M y N. Si AM=4 cm y CN=1 cm, calcule el área de la región trapecial ABCD. A) 10 cm2 B) 12 cm2 C) 15 cm2 D) 20 cm2 E) 25 cm2 15. En el gráfico, PB=b. Calcule el área de la re- gión cuadrada ABCD. A B D C PP A) 3 2 b B) 3b2 C) 3 3 2 b D) b2 E) 2b2 16. Del gráfico, calcule razón de áreas de regiones BTC y BDCT. B C A T D A) 1 2 B) 1 3 C) 1 4 D) 1 5 E) 2 3
  • 5. Geometría 5 Áreas de regiones planas III y Geometría del espacio I 17. Se muestra un semicírculo y un círculo inscrito en el triángulo equilátero ABC, calcule la razón de áreas de dichas regiones. A) 1 2 B) 1 A C B C) 1 3 D) 2 3 E) 3 4 18. En el gráfico AB // CD, calcule el área de la re- gión sombreada. 30º30º A B C 6 D A) 3p B) 6p C) 8p D) 10p E) 12p 19. Del gráfico, O es el centro del cuadrado ABCD, AB=6. Calcule el área de la región sombreada. (M y N son puntos de tangencia) A) 3 3 − π B) 2 3 3 −( )π M A D B C N OO C) 3 3 3 −( )π D) 4 3 3 −( )π E) 6 3 3 −( )π 20. Del gráfico, A y B son puntos de tangencia, además el área de la región equilátera ABC es 27 3 4 , calcule el área de la región sombreada. B A C A) π + 3 3 2 B) 2 2 3 3 π + C) 3 9 3 4 π + D) 6 9 3 2 π + E) 9 3 2 π +     21. Del gráfico, T es punto de tangencia. Calcule el área de la región sombreada. 55 33 TT 100º A) 10 3 ≠ B) 20 3 ≠ C) 40 9 ≠ D) 60 13 ≠ E) 80 9 ≠ 22. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) en las siguientes proposiciones. I. Tres puntos siempre determinan un único plano. II. Si los extremos de un arco de circunferencia pertenecen a un plano, entonces dicho arco está contenido en el plano. III. Si se tiene dos rectas alabeadas y un plano contiene a una de ellas entonces la otra rec- ta será secante a dicho plano. A) VVF B) VVF C) FFF D) FVF E) FFV
  • 6. Geometría . . . 6 23. Indique verdadero (V) o falso (F). I. Todo plano determinado por dos rectas paralelas a otro plano, es paralelo a dicho plano. II. Se tiene dos rectas alabeadas, entonces todo plano que contiene a una de ellas es secante a la otra. III. Todo plano paralelo a una recta que está contenida a otro plano, es paralelo a dicho plano. A) FFV B) FVF C) FVV D) VFV E) FFF 24. Según el gráfico H // P la circunferen- cia está incluida en el Q, A, B, C y D son los puntos de intersección de la circunfe- rencia con los planos paralelos. Calcule x si m mATB CLD + = 200. BB xx TT AA LL DDCC A) 40º B) 20º C) 30º D) 50º E) 80º Geometría del espacio II 25. En el gráfico PM es perpendicular al plano que contienealtrapecioABCD, CM=MD=3;AM=4 3, el ángulo que forma PD con la región trapecial es 53º. Calcule el ángulo que forma PB con dicha región. MM D CB P A A) 37º B) 53º C) 37º/2 D) 53º/2 E) 30º 26. En el gráfico, PD es perpendicular a la región regular ABCD, BM=MC=PD. Calcule el ángulo que forman AM CPy . M C P B A D A) 30º B) 37º C) 45º D) 53º E) arccos 2 5     27. En el gráfico, el ángulo que determina PC con la región rectangular ABCD es 37º. Calcule el ángu- lo entre PD y dicha región, si PB=6 y DC=4 5. P B D C A A) 37º/2 B) 53º/2 C) 37º D) 53º E) 30º
  • 7. Geometría 7 28. En el gráfico, OP es perpendicular al plano Q que contiene a la circunferencia de centro O. Si OP=R, (AO)(OB)=12 y T punto de tangencia, calcule el área de la región APB. (R es el radio de dicha circunferencia). BB TT AA OO PP A) 4 2 B) 8 2 C) 6 2 D) 8 E) 6 29. En el gráfico, mAB = 60º, AB=6. Calcule BP, si PQ es perpendicular al plano que contiene a la semicircunferencia. QQ BB AA 53º/253º/2 P A) 10 B) 8 C) 14 D) 16 E) 12 30. En un cuadrado ABCD de centro O se traza OP perpendicular al plano que contiene a dicho cuadrado. Si PB=4  y  OA=2, calcule el área de la región APD. A) 2 3 B) 6 3 C) 8 3 D) 2 7 E) 4 3 31. Se traza BP perpendicular al plano que con- tiene al triángulo equilátero ABC. Si AB=6 y PB = 4 3 , calcule la medida del ángulo diedro AC . A) 45º B) 30º C) 37º D) 53º E) 60º 32. Se tiene el cuadrado ABCD y el rombo ABPQ contenido en planos perpendiculares. Si m BPQ=30º, calcule la medida del diedro determinado por la región QCD y la región ABCD. A) 30 B) 53º/2 C) 37º/2 D) 37º E) 53º Claves 01 - A 02 - C 03 - E 04 - D 05 - D 06 - C 07 - D 08 - D 09 - C 10 - C 11 - B 12 - B 13 - C 14 - D 15 - B 16 - C 17 - D 18 - B 19 - E 20 - C 21 - C 22 - C 23 - E 24 - A 25 - E 26 - B 27 - B 28 - C 29 - E 30 - D 31 - D 32 - B 01 - A 02 - C 03 - E 04 - D 05 - D 06 - C 07 - D 08 - D 09 - C 10 - C 11 - B 12 - B 13 - C 14 - D 15 - B 16 - C 17 - D 18 - B 19 - E 20 - C 21 - C 22 - C 23 - E 24 - A 25 - E 26 - B 27 - B 28 - C 29 - E 30 - D 31 - D 32 - B