Este documento presenta las ecuaciones de primer grado y cómo resolverlas. Introduce las igualdades numéricas y las ecuaciones, explicando la diferencia. Explica las propiedades de la igualdad y cómo usarlas para resolver ecuaciones de primer grado, transformándolas a la forma ax = b. Proporciona ejemplos detallados de cómo aplicar estas técnicas para encontrar la solución de una ecuación.

1. Ecuaciones de primer grado en una variable
Lección 1: Ecuaciones de primer grado
3
Unidad
Exprese la relación de los pesos de ambos lados de la balanza utilizando el signo =.
1
Sección 1: Igualdades numéricas
Observe la siguiente balanza.
A
8 + 5 = 5 + 5 + 3
A la expresión anterior se le llama igualdad numérica.
Una igualdad numérica es la relación de igualdad que se establece entre dos
expresiones numéricas. La relación de igualdad se representa con el signo igual (=).
Son igualdades numéricas:
(1) 10 + 5 = 15 (2) -8 + 1 = -5 - 2 (3) - - (4) 0.7 - 2 = -1.3
=
En una igualdad numérica cada una de las expresiones a los lados del igual es un
miembro. Toda igualdad numérica tiene dos miembros.
Determine cuáles de las siguientes igualdades numéricas son verdaderas
y cuáles son falsas.
1
8 Kg 5 Kg 5 Kg 5 Kg
3 Kg
(1) 20 - 18 = 2 (2) 7 - 9 = -2 (3) 0.4 x 3 = 0.12
2
(4) - + = - 1 (5) -3 x 6 = -2 x 9 (6) - = -
( )
5
4
3
4
3
2
3
2
4
9
1
2
3
4
5
4
8 + 5 = 5 + 5 + 3
Primer
miembro
Segundo
miembro
74
74
74
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Sección 2: Ecuaciones
Observe la siguiente balanza.
B
x Kg 3 Kg 3 Kg 5 Kg
Exprese los pesos de ambos lados como una igualdad.
1
x + 3 = 3 + 5
A la expresión anterior se le llama ecuación. En una ecuación el valor de la
variable x es desconocido.
Una ecuación es una igualdad con una o más variables cuyo valor o valores
deben encontrarse.
En una ecuación puede haber más de una variable, sin embargo en este grado
sólo se estudiarán las ecuaciones con una variable.
Son ecuaciones:
(1) x + 4 = 8 (2) 2x - 3 = 7 (3) 3 + 5x = 2x + 15 (4) 5x = 30
2 Determine cuáles de las siguientes expresiones son igualdades numéricas y cuáles
son ecuaciones.
(1) 3x - 2 = 11 (2) 7 + 8 = 5 x 3 (3) - + = x
-3
(4) 8 = 4x (5) 5 - x = x + 1 (6) 2 =
7
2
-1
2
8
3
5
3
1
8
75
75
75
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2. Representando la cantidad de tortillas que tiene que hacer cada miembro con la
variable x, exprese la cantidad total de tortillas que hace la familia.
(7x + 65) tortillas.
Como la cantidad total de tortillas debe ser 100 entonces 7x + 65 = 100
Ahora investiguemos la ecuación anterior sustituyendo la variable x por
varios números.
2 Llene la siguiente tabla de los valores del miembro izquierdo de la ecuación.
Valor de x
Valor de 7x + 65
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Valor de x
Valor de 7x + 65
1 2 3 4 6 7 8 9 10
5
72 79 86 93
Cuando el valor de x = 5 la ecuación es cierta. Los otros valores de x
en la tabla hacen que la ecuación sea falsa. De esto se deduce que cada uno de
los miembros de la familia Guzmán tiene que hacer 5 tortillas.
C
1
Las soluciones de una ecuación son los valores que hacen que la igualdad
sea cierta.
Resolver una ecuación es encontrar la solución de la ecuación.
De los valores 0, 1, 2 y 3, ¿cuáles son soluciones de las siguientes ecuaciones?
3
(1) 5 - 2x = 1 (2) 2x + 3 = 12 - x
100 107 114 121 128 135
La familia Guzmán tiene 7 miembros y quiere hacer 100 tortillas para la fiesta,
ya están hechas 65. Si cada uno de los miembros de la familia hace la misma
cantidad de tortillas, ¿cuántas tiene que hacer cada uno?
76
76
76
Cuaderno de Trabajo - Matemáticas 7° grado
Sección 3: Propiedades de la igualdad
D En la sección anterior vimos que 5 es una solución de la ecuación 7x + 65 = 100
sustituyendo la variable x por varios números, pero de esta manera no estamos
seguros que haya otra solución.
En esta sección vamos a pensar en la forma sistemática para encontrar todas las
soluciones.
1 La balanza de la izquierda estaba en equilibrio. Después de efectuar la operación
quedó en equilibrio. ¿Qué hicieron? ¿Qué hace la operación ?
¿Qué hacen las operaciones y ?
2
Duplicar el peso de ambos platillos.
Reducir el peso a la mitad en ambos platillos.
La igualdad tiene las mismas propiedades que la balanza en equilibrio.
A
C
B
C
Propiedades de la igualdad
Si se suma el mismo número o expresión a ambos lados de una igualdad
1
la igualdad se mantiene, es decir, si A = B, entonces A + C = B + C.
Si se resta el mismo número o expresión de ambos lados de una igualdad,
2
la igualdad se mantiene, es decir, si A = B, entonces A - C = B - C.
Si se multiplica por el mismo número o expresión ambos lados de una
3
igualdad, la igualdad se mantiene, es decir, si A = B, entonces AC = BC.
Si se divide entre el mismo número o expresión (diferente de cero) ambos
4
lados de una igualdad, la igualdad se mantiene, es decir, si A = B, C = 0,
entonces .
Colocar en ambos platillos contrapesos del mismo peso.
Quitar de ambos platillos contrapesos del mismo peso.
1
=
2
1
2
1
2
3 4
3
4
3
4
77
77
77
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3. Resuelva x - 5 = 1 aplicando las propiedades de la igualdad.
E
x - 5 = 1
x - 5 + 5 = 1 + 5 sumar 5 en ambos lados para que en el lado izquierdo sólo quede x.
x = 6 R: x = 6
4 Resuelva aplicando las propiedades ó de la igualdad.
(1) x - 4 = 3 (2) x - 7 = -2 (3) x - 3 = -8
(4) x - 1 = 7 (5) x + 7 = -1 (6) 9 + x = -10
Resuelva 2x = 6 aplicando las propiedades de la igualdad.
5 Resuelva aplicando las propiedades de la igualdad.
F
Otra forma de resolverla es aplicando la propiedad de la igualdad.
2x = 6
1
2
1
2
1
2
2x x ( ) = 6 x ( )
x = 3 R: x = 3
3
2x = 6
=
x = 3
2x
2
6
2
(1) 5x = 40 (2) 7x = -21 (3) -3x = -15
(4) -8x = -24 (5) -6x = 60 (6) 7x = 70
3
Por lo general se presenta la solución en la forma “x = (un número)”.
La comprobación es importante para investigar errores en el cálculo.
1 2
4
1
Dividir ambos lados entre 2 para que en el lado izquierdo sólo
quede x.
Multiplicar ambos lados por para que en el lado
izquierdo sólo quede x.
78
78
78
Sección 4: Aplicación de las propiedades de la igualdad para la solución
de ecuaciones de primer grado
x - 5 = 1; x = 6
6 - 5 = 1 ... Sustituyendo x = 6
1 = 1 ... Operando 6 - 5
Comprobación:
Como ambos miembros son iguales entonces x = 6 es la solución de x - 5 = 1.
R: x = 3
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7 Resuelva aplicando las propiedades de la igualdad.
Resuelva x = 4 aplicando las propiedades de la igualdad.
G 1
3
x = 4
x x 3 = 4 x 3
x = 12
1
3
1
3
Resuelva 3x - 7 = 5 aplicando las propiedades de la igualdad.
H
3x - 7 = 5
3x - 7 + 7 = 5 + 7
3x = 12
=
x = 4
1
3x
3
4
12
3
(1) 4x + 5 = -7 (2) 1 - 3x = 7 (3) 6x + 3 = 21
(4) -5x - 1 = -11 (5) -2x - 7 = 1 (6) 4x -1 = 7
3
6 Resuelva aplicando las propiedades de la igualdad.
(1) x = 5 (2) x = -4 (3) x = -5
(4) x = 2 (5) - x = 6 (6) - x = -6
1
4
2
3
5
9
2
5
1
5
3
4
Multiplicar ambos lados por 3 para que en el lado
izquierdo sólo quede x.
R: x = 12
Sumar 7 en ambos lados.
Dividir entre 3 ambos lados.
R: x = 4
-
79
79
79
Para resolver una ecuación con variable x se aplican las propiedades
de la igualdad transformándola en la forma x a donde a es un número.
=
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4. Sección 5: Solución de ecuaciones de primer grado por transposición de términos
El siguiente ejercicio muestra la transformación de dos ecuaciones.
I
(1) 3x - 4 = 5
En cada caso, ¿cuál de las propiedades de la igualdad se utiliza?
En (1) la propiedad , sumar 4 en ambos lados mantiene la igualdad.
En (2) la propiedad , restar 2x en ambos lados mantiene la igualdad.
Compare las ecuaciones anteriores, ¿qué observa?
En (1) el término -4 en el lado izquierdo, se trasladó al lado derecho cambiando su signo.
En (2) el término 2x en el lado derecho, se trasladó al lado izquierdo cambiando su signo.
1
2
Aplicando las propiedades y se puede trasladar un término de un
1 2
lado de la ecuación al otro lado cambiando su signo. Este proceso se llama
transposición de términos.
En la ecuación 5x - 4 = 3x + 6 transponga los términos que contienen x al lado
izquierdo y los demás términos al lado derecho.
5x - 4 = 3x + 6
5x - 3x = 6 + 4
8 En las siguientes ecuaciones transponga los términos para que sean de la forma
ax = b.
(1) 2x + 3 = -x (2) 8 = 3x - 1
(4) 4x + 1 = x + 4 (6)
(3)
3x + 1 = x + 9
-2x - 1= 3x + 14
(5) 6x - 5 = 2x + 7
2x = 10
J
La ecuación 5x - 4 = 3x + 6 se ha convertido en
la forma ax = b por medio de la transposición de
términos.
La ecuación que se puede transformar a la forma ax = b (a 0) por medio de
la transposición de términos se llama ecuación de primer grado.
=
5x = 12 - 2x
3x = 5 + 4
5x + 2x - 2x = 12 - 2x
5x + 2x = 12
3x - 4 + 4 = 5 + 4
(2)
1
2
80
80
80
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Resuelva la ecuación 7x - 3 = 2x - 23 por medio de la transposición de términos.
K
9
(1) 9x - 3 = 5x + 9 (2) -3x + 5 = -x - 1 (3) -5x + 3 = x - 3
(4) 2x + 5 = 4x - 3 (5) x + 4 = -3x (6) -x + 5 = 4x - 10
Se dice despejar al proceso de encontrar el valor de x como solución.
10 Resuelva las siguientes ecuaciones.
Resuelva las siguientes ecuaciones cambiándolas a la forma x usando la
=
transposición de términos.
b
a
(1) -1 - 3x = 2x + 9 (2) 4 = -3y + 13
(3) 5x - 5 = 26 + 4x (4) 10 + 2y = 12 + 3y
(5) 5 + x = 2x + 1 (6) 4x - 1 = 2x - 15
(7) 6x + 7 = 17 (8) 4 - 3x = 4 - x
(9) -6x = 12 - 2x (10) 6 + 2x = 5x - 3
7x - 3 = 2x - 23
5x = -20 ............ Efectuando la suma
= ............ Dividiendo entre 5
x = -4
-20
5
5x
5
81
81
81
7x - 2x = -23 + 3 ....... Transponiendo -3 y 2x
Procedimiento para resolver una ecuación de primer grado
Transponer los términos con variable x al lado izquierdo y los otros al lado
derecho.
Calcular cada lado y escribir la ecuación en la forma ax = b.
Dividir ambos lados entre el coeficiente de x, es decir, encontrar x .
=
1
2
3 b
a
R: x = -4
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5. Sección 6: Resolución de ecuaciones de primer grado
Resuelva la ecuación 2(x - 3) + 5 = -x + 8. Para empezar elimine los paréntesis.
L
2(x - 3) + 5 = -x + 8
2x - 6 + 5 = -x + 8 ..................... Eliminando paréntesis (propiedad distributiva)
2x + x = 8 + 6 - 5 ................. Transponiendo términos
3x = 9 ………………...... Efectuando la suma
x = 3 ............................ Dividiendo entre 3
11 Resuelva las siguientes ecuaciones.
(1) 1 + 4(x - 2) = - 5 - 5(x - 5) (2) 2x + 5(x + 3) = 3(x + 6) + 5
(3) 5 - 4(3x + 1) = 1 + 4(2x + 20) (4) 5(3x - 2) = 2(x + 3) - 3
(5) 3(5x - 4) + 3 = 10x + 6 (6) 2(x - 1) + 2x = 3(x + 1) - 5
Resuelva x + 0.6 = 0.2x + 3. Para empezar multiplique por 10 ambos lados para
trabajar con números enteros.
¿Por qué se puede calcular de esta manera?
Porque multiplicando el mismo número a ambos lados la igualdad se mantiene.
x + 0.6 = 0.2x + 3
x - 0.2x = 3 - 0.6 ....... Transponiendo términos
0.8x = 2.4 ……… Efectuando la suma
x = 3 .............. Dividiendo entre 0.8
12 Resuelva las siguientes ecuaciones.
(1) 0.3x + 4 = 0.2x + 4.4 (2) 0.9x + 2 = x + 1.7 (3) 2x - 0.3 = 1.7x + 2.1
(4) 3.1x + 0.4 = 3.5x - 0.4 (5) 5x - 3.4 = 1.5x + 0.1 (6) 0.2x + 1.5 = 0.25x -0.1
M1
2
La ecuación anterior también se puede resolver
transponiendo primero los términos.
82
82
82
R: x = 3
R: x = 3
x + 0.6 = 0.2x + 3
(x + 0.6) x 10 = (0.2x + 3) x 10 ..…….. Multiplicando por 10 ambos lados.
10x + 6 = 2x + 30 ....…………… Eliminando paréntesis
10x - 2x = 30 - 6 ............................. Transponiendo términos
8x = 24 ............................. Efectuando la suma
x = 3 .....……………….. Dividiendo entre 8
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Para empezar multiplique por 12 que es el mcm de 4 y 6 para convertir las fracciones
en números decimales.
x - 7 x
=
x - 7 x 12 = x x 12 ...... Multiplicando por 12 ambos lados
x x 12 - 7 x 12 = x x 12 ...... Propiedad distributiva
¿Por qué razón se puede resolver x - 7 = x con el procedimiento anterior?
5
6
1
4
Porque multiplicando el mismo número a ambos lados la igualdad se mantiene y se
convierten las fracciones en números naturales.
La ecuación anterior también se puede resolver transponiendo los
términos primero.
x - 7 = x
x - x = 7 .................. Transponiendo términos
x = 7 .................. Efectuando la suma
x = 12 ............... Dividiendo entre ambos lados
13 Resuelva las siguientes ecuaciones.
(1) x = x - 1 (2) x - 2 =
(3) x + = x - (4) - 4x = x -
(5) 7x + = x + (6) x + = x -
1
3
1
2
1
9
5
6
2
3
5
6
5
6
137
24
17
8
3
4
1
4
3
2
5
3
59
6
1
3
3
4
23
12
5
6
1
4
5
6
1
4
5
6
1
4
N1
2
5
6
1
4
5
6
1
4
7
12
7
12
Resuelva x - 7 = x.
5
6
1
4
10x - 84 = 3x ............... Efectuando la multiplicación
10x - 3x = 84 ............... Transponiendo términos
7x = 84 .............. Efectuando la suma
Dividiendo entre 7
x = 12 ..............
83
83
83
( )
R: x = 12
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6. Resuelva .
O x - 2
6
=
x + 4
9
Para empezar multiplique por 18 que es el mcm de los denominadores 6 y 9.
14 Resuelva.
(1) = (2) = (3) =
(4) = (5) = (6) =
x - 8
4
x - 5
6
2x - 7
5
x - 2
4
3x - 4
2
8x - 3
13
x + 5
3
10 - x
2
3x - 4
5
2x + 1
7
5x - 1
6
x + 3
2
x 18 = x 18 ................ Multiplicando por 18 ambos lados
(x - 2) x 3 = (x + 4) x 2 .................. Convirtiendo los números racionales en
números naturales
x - 2
6
x + 4
9
x - 2
6
=
x + 4
9
( ) ( )
Resuelva - = .
P 3x - 8
2
1
3
1
6
15 Resuelva las siguientes ecuaciones.
Para empezar multiplique por 6 que es el mcm de los denominadores 2, 3 y 6.
(1) = + (2) + = 3 (3) x - 1 = + 1
(4) - = (6) + =
4x - 3
7
3x - 8
4
1
2
x + 4
7
x - 8
2
3x - 2
5
3x - 1
2
2 - x
6
65
6
5
3
2x
4
25
6
(5) + =
x + 6
4
19
6
1
6
- =
( - )x 6 = x 6 ............
( ) x 6 - x 6 = 1 ....................
3(3x - 8) - 2 = 1 ....................
3x - 8
2
1
3
1
6
3x - 8
2
1
3
1
6
3x - 8
2
1
3
9x - 24 - 2 = 1 .....................
9x = 1 + 24 + 2 ......
9x = 27 ..................
x = 3 ....................
R: x = 3
Multiplicando por 6 ambos lados
Propiedad distributiva
Convirtiendo los números racionales en
números naturales
Eliminando paréntesis
Transponiendo términos
Efectuando la suma
Dividiendo entre 9
84
84
84
3x - 6 = 2x + 8 ........................ Propiedad distributiva
3x - 2x = 8 + 6 ......................... Transponiendo términos
x = 14 ........................... Efectuando la suma
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