Identidades trigonométricas
Organización Educativa TRILCE 191
Objetivos:
 Conocer las relaciones básicas entre las razones trigonométricas de una cierta variable.
 Aplicar las relaciones anteriores de la demostración de igualdades y simplificación de
expresiones que contiene razones trigonométricas diversas de una cierta variable.
Definición
Son aquellas igualdades entre las razones trigonométricas de un acierta variable; las cuales se
verifican para todo valor de la variable, que no indetermina la razón trigonométrica existente en la
igualdad.
Clasificación
I. I.T. Reciprocas
sen 𝑥 . csc 𝑥 = 1; ∀ 𝑥 ≠ 𝑛𝜋; 𝑛 ∈ ℤ ⟶ csc 𝑥 =
1
sen 𝑥
cos 𝑥 . sec 𝑥 = 1; ∀ 𝑥 ≠ (2𝑛 + 1)
𝜋
2
; 𝑛 ∈ ℤ ⟶ sec 𝑥 =
1
cos 𝑥
tan 𝑥 . cot 𝑥 = 1; ∀ 𝑥 ≠ 𝑛
𝜋
2
; 𝑛 ∈ ℤ ⟶ cot 𝑥 =
1
tan 𝑥
II. I.T. Por División
tan 𝑥 =
sen 𝑥
cos 𝑥
; ∀ 𝑥 ≠ (2𝑛 + 1)
𝜋
2
; 𝑛 ∈ ℤ
cot 𝑥 =
𝑐𝑜𝑠 𝑥
sen 𝑥
; ∀ 𝑥 ≠ 𝑛
𝜋
2
; 𝑛 ∈ ℤ
III. I.T. Pitágoras
𝑠𝑒𝑛2
𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2
𝑥 = 1; ∀ 𝑥 ∈ ℝ ⟶ {
𝑠𝑒𝑛2
𝑥 = 1 − 𝑐𝑜𝑠2
𝑥
𝑐𝑜𝑠2
𝑥 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2
𝑥
𝑡𝑎𝑛2
𝑥 + 1 = 𝑠𝑒𝑐2
𝑥; ∀ 𝑥 ≠ (2𝑛 + 1)
𝜋
2
; 𝑛 ∈ ℝ ⟶ {
𝑠𝑒𝑐2
𝑥 − 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 = 1
𝑡𝑎𝑛2
𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 − 1
𝑐𝑜𝑡2
𝑥 + 1 = 𝑐𝑠𝑐2
; ∀ 𝑥 ≠ 𝑛𝜋; 𝑛 ∈ ℝ ⟶ {
𝑐𝑠𝑐2
𝑥 − 𝑐𝑜𝑡2
𝑥 = 1
𝑐𝑜𝑡2
𝑥 = 𝑐𝑠𝑐2
𝑥 − 1
26
Identidades
trigonométricas I
 COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE

Identidades trigonométricas
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Los tipos de ejercicios que vamos a trabajar a partir
de este capítulo son los de; demostración de
igualdades; simplificación de expresiones y ejercicio
con condición, En esta clase, veremos los dos
primeros tipos, con los siguientes ejemplos:
Tipos demostración:
1.- Demostrar:
𝑠𝑒𝑛3 𝑥.csc 𝑥 . 𝑐𝑜𝑡2 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2 𝑥
Resolución:
Trabajando en el miembro, pasaremos a
senos y cosenos; tratando de que al reducir nos
quede la expresión del segundo miembro.
𝑠𝑒𝑛3 𝑥.
1
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥 .
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
𝑠𝑒𝑛2 𝑥
= 𝑐𝑜𝑠2 𝑥
Reduciendo:
𝑐𝑜𝑠2 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 (Demostrado)
2.- Demostrar:
𝑠𝑒𝑛3 𝑥.csc 𝑥. 𝑐𝑜𝑠3 𝑥. 𝑠𝑒𝑐𝑥 = 1
Resolución:
Pasando senos y cosenos:
𝑠𝑒𝑛3 𝑥.
1
𝑠𝑒𝑛𝑥
. 𝑐𝑜𝑠3 𝑥.
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
= 1
Reduciendo:
𝑠𝑒𝑛2 𝑥. 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 = 1 ⟶ 1 = 1(𝐷𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜)
1
3.- Demostrar:
[(𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)2 − 1]. 𝑡𝑎𝑛𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛2 𝑥
Resolución:
Recuerde que:
( 𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎 + 𝑏2
En el primer miembro:
[( 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 2𝑠𝑒𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑥)− 1]. 𝑡𝑎𝑛𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛2 𝑥
1
(1 + 2𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1). 𝑡𝑎𝑛𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛2 𝑥
Pasando a senos y cosenos:
2𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥.
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
= 2𝑠𝑒𝑛2 𝑥
Reduciendo:
2𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛2 𝑥(Demostrado)
Tipo de simplificación:
1.- Simplificar:
𝐶 = 𝑠𝑒𝑛𝑥.cot 𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥.( 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 + 1)
Antes de pasar a senos y cosenos, reconozca:
𝑡𝑎𝑛2 𝑥 + 1 = 𝑠𝑒𝑐2 𝑥
Luego:
𝐶 = 𝑠𝑒𝑛𝑥.cot 𝑥 . 𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑠𝑒𝑐2 𝑥
𝐶 = 𝑠𝑒𝑛𝑥.
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
. 𝑐𝑜𝑠𝑥.
1
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
Reduciendo:
C = 1
2.- Simplificación:
𝐿 = 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑡𝑎𝑛𝑥+ 𝑐𝑜𝑠𝑥
Resolución:
Pasando a senos y cosenos:
𝐿 = 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑡𝑎𝑛𝑥+ 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝐿 = 𝑠𝑒𝑛𝑥.
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
+ 𝑐𝑜𝑠𝑥
Operando:
𝐿 =
𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
Pero: 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 = 1
Luego: 𝐿 =
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
= 𝑠𝑒𝑐𝑥
3.- Reducir:
Resolución:
Pasando a senos y cosenos:
𝐶 = (
1
𝑠𝑒𝑐𝑥
−
𝑐𝑜𝑠𝑥
1
)(
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
+
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
) 𝑠𝑒𝑛𝑥

Identidades trigonométricas
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Operando:
𝐶 = (
1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
)(
𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥
) 𝑠𝑒𝑛𝑥
Pero:1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛2 𝑥; 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 = 1
Luego:
𝐶 =
𝑠𝑒𝑛2 𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
.
1
𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑥
. 𝑠𝑒𝑛𝑥
Reduciendo:
𝐶 =
𝑠𝑒𝑛2 𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
= 𝑡𝑎𝑛2 𝑥
1.- Demostrar: 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑡𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠𝑥 = 3𝑐𝑜𝑠𝑥
2.- Demostrar: 𝑡𝑎𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥
3.- Demostrar: 𝑠𝑒𝑛4 𝑥. 𝑐𝑠𝑐2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠4 𝑥. 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 = 1
4.- Simplificar: 𝐶 = 𝑠𝑒𝑛2 𝑥. 𝑐𝑜𝑡𝑥. 𝑠𝑒𝑐𝑥
5.- Simplificar: 𝐶 =
( 𝑠𝑒𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥)2−1
𝑠𝑒𝑛𝑥
4.- Reducir:
𝐶 = ( 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠𝑥)2.(2𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥)2
Resolución:
En este caso solo nos queda desarrollar los binomios:
𝐶 = 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 4𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 4𝑐𝑜𝑠2 𝑥+ 4𝑠𝑒𝑛2 𝑥
− 4𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥+ 𝑐𝑜𝑠2 𝑥
Reduciendo:
𝐶 = 5𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 5𝑐𝑜𝑠2 𝑥
𝐶 = 5( 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑥) ⟶ C = 5
1
6.- A qué es igual: 𝑘 = 𝑡𝑎𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑥
7.- Reducir: 𝑘 = (1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥) 𝑠𝑒𝑐𝑥
8.- Reducir: 𝑘 =
𝑡𝑎𝑛𝑥+1
𝑠𝑒𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥
9.- Reducir: 𝑘 = (𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)2 − 2𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥
10.- Si: 𝑡𝑎𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑡𝑥 = √3; 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒: 𝑘 = 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 + 𝑐𝑜𝑡2
𝑥
Test de aprendizaje previo

Identidades trigonométricas
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1.- Demostrar que:
𝑡𝑎𝑛𝑥. 𝑠𝑒𝑐𝑥. 𝑐𝑜𝑡2 = 𝑐𝑠𝑐𝑥
2.- Demostrar que:
𝑠𝑒𝑛3 𝑥. 𝑐𝑜𝑡2 𝑥. 𝑐𝑠𝑐𝑥. 𝑠𝑒𝑐𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥
3.- Demostrar que:
𝑠𝑒𝑛4 𝑥. 𝑐𝑠𝑐2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠4 𝑥. 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 = 1
4.- Demostrar que:
𝑠𝑒𝑛5 𝑥. 𝑐𝑠𝑐3 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠5 𝑥. 𝑠𝑒𝑐3 𝑥 = 1
5.- Demostrar que:
[( 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)2 − 1] 𝑐𝑠𝑐𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠𝑥
6.- Demostrar que:
[( 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)2 − 1] 𝑠𝑒𝑐𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛𝑥
7.- Demostrar que:
(𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑥). 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑥
8.- Demostrar que:
(𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑥). 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡𝑥
9.- Demostrar que:
(𝑠𝑒𝑐𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥)(𝑐𝑠𝑐𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥
10.- Demostrar que:
(𝑠𝑒𝑐𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑡𝑎𝑛𝑥)(𝑐𝑠𝑐𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑐𝑜𝑡𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥
11.-Simplificar:
𝐶 = 𝑠𝑒𝑛𝑥(1 + 𝑐𝑜𝑡𝑥) + 𝑐𝑜𝑠𝑥(1 − 𝑡𝑎𝑛𝑥)
a) 2 b) 1 c) 2senx
d) 2cosx e) 0
12.-Simplificar:
𝐿 = 𝑡𝑎𝑛𝑥(1 + 𝑐𝑜𝑡𝑥) − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥. 𝑐𝑠𝑐𝑥
a) tanx b) 2tanx c) cosx
d) 2cosx e) senx
13.-Reducir:
𝐶 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 (1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥) + 𝑐𝑜𝑠𝑥(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥) − 1
a) Senx b) cosx c) 2senx.cosx
d) senx + cosx e) senx-cosx
14.-Reducir:
𝐶 = 𝑠𝑒𝑛𝑥( 𝑐𝑠𝑐𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥) + 𝑐𝑜𝑠𝑥( 𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥) + 1
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
15.-Reducir:
𝐶 =
𝑠𝑒𝑛2
𝑥 − 𝑠𝑒𝑛4
𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠4 𝑥
a) tan2
x b) cot2
x c) 1
d) sec2
x e) csc2
x
16.-Reducir:
𝐶 =
𝑠𝑒𝑛4
𝑥 − 𝑠𝑒𝑛6
𝑥
𝑐𝑜𝑠4 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠6 𝑥
a) 1 b) tan2
x c) cot2
x
d) tan4
x e) cot4
x
17.-Reducir:
𝑐 = (3𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠𝑥)2 + (2𝑠𝑒𝑛𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠𝑥)2
a) 7 b) 5 c) 12
d) 13 e) 15
18.-Reducir:
𝑐 = (3𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠𝑥)2 + (𝑠𝑒𝑛𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠𝑥)2
a) 3 b) 4 c) 5
d) 9 e) 10
19.-Reducir:
𝑐 =
1
𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑥
+
1
𝑠𝑒𝑐𝑥 − 𝑡𝑎𝑛𝑥
a) 2 b) 2secx c) 2tanx
d) 2cscx e) 2cotx
20.-Reducir:
𝑐 =
1
𝑐𝑠𝑐𝑥 − 𝑐𝑜𝑡𝑥
+
1
𝑐𝑠𝑐𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑥
a) 2 b) 2secx c) 2tanx
d) 2cscx e) 2cotx
Practiquemos