Este documento presenta información sobre conjuntos y números reales. Define conjuntos, operaciones con conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento. Explica los diferentes tipos de números reales como naturales, enteros, racionales e irracionales. También cubre temas como desigualdades matemáticas, inecuaciones, valor absoluto e inecuaciones con valor absoluto.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular Para la Educación Universitaria
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
CONJUNTOS
Materia:
Matemática
Sección: DL0200
Alumno:
Emily Sinaí González Oviedo
CI: 28.679.167
Barquisimeto, 22 de Marzo del 2021.

2. CONJUNTOS
Definición de Conjuntos:
Los Conjuntos Numéricos: Son agrupaciones de números que guardan una
serie de propiedades estructurales. Por ejemplo el sistema más usual en
aritmética natural está formado por el conjunto de los números naturales, con la
suma, la multiplicación y las relaciones usuales de orden aditivo.
Los conjuntos numéricos utilizados en las matemáticas básicas son: Naturales
(N), enteros (Z), racionales (Q), irracionales (I ), reales (R) y complejos (C). Son
utilizados en diversas situaciones, por todas las ramas del conocimiento.
Operaciones con Conjuntos.
Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos,
nos permiten realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto.
De las operaciones con conjuntos veremos las siguientes: unión, intersección,
diferencia, diferencia simétrica y complemento.
Unión de Conjuntos:
Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro
conjunto que contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin que se
repitan. Es decir dado un conjunto A y un conjunto B, la unión de los conjuntos A y
B será otro conjunto formado por todos los elementos de A, con todos los
elementos de B sin repetir ningún elemento. El símbolo que se usa para indicar la
operación de unión es el siguiente: U.
Ejemplo
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la unión de estos conjuntos
será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

3. Intersección de Conjuntos:
Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo con los elementos
comunes involucrados en la operación. Es decir dados dos conjuntos A y B, la de
intersección de los conjuntos A y B, estará formado por los elementos de A y los
elementos de B que sean comunes, los elementos no comunes A y B, serán
excluidos. El símbolo que se usa para indicar la operación de intersección es el
siguiente: ∩.
Ejemplo
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la intersección de estos
conjuntos será A∩B={4,5}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Diferencia de Conjuntos:
Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos
el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que pertenecen al
primero pero no al segundo. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia de
los conjuntos entra A y B, estará formado por todos los elementos de A que no
pertenezcan a B. El símbolo que se usa para esta operación es el mismo que se
usa para la resta o sustracción, que es el siguiente: -.
Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos
conjuntos será A-B={1,2,3}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Diferencia de Simétrica de Conjuntos:

4. Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos
el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que no sean comunes
a ambos conjuntos. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica
estará formada por todos los elementos no comunes a los conjuntos A y B. El
símbolo que se usa para indicar la operación de diferencia simétrica es el
siguiente: △.
Ejemplo
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia simétrica de
estos conjuntos será A △ B={1,2,3,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría
lo siguiente:
Complemento de un Conjunto:
Es la operación que nos permite formar un conjunto con todos los elementos del
conjunto de referencia o universal, que no están en el conjunto. Es decir dado un
conjunto A que está incluido en el conjunto universal U, entonces el conjunto
complemento de A es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto
universal pero sin considerar a los elementos que pertenezcan al conjunto A. En
esta operación el complemento de un conjunto se denota con un apostrofe sobre
el conjunto que se opera, algo como esto A' en donde el conjunto A es el conjunto
del cual se hace la operación de complemento.
Ejemplo
Dado el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el conjunto A={1,2,9}, el
conjunto A' estará formado por los siguientes elementos A'={3,4,5,6,7,8}. Usando
diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

5. NÚMEROS REALES
Los números reales son cualquier número que corresponda a un punto en la
recta real y pueden clasificarse en números naturales, enteros, racionales e
irracionales.
En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre menos infinito
y más infinito y podemos representarlo en la recta real. Los números reales se
representan mediante la letra R.
Números reales en la recta real:
Esta recta recibe el nombre de recta real dado que podemos representar en ella
todos los números reales.
Línea real.
Esquema de los números reales
En este esquema podemos ver claramente la organización de los números reales.
.

6. Clasificación de los Números Reales
Los números reales pueden clasificarse entre números naturales, enteros,
racionales e irracionales.
 Números Naturales:
Los números naturales es el primer conjunto de números que aprendemos de
pequeños. Este conjunto no tiene en cuenta el número cero (0) excepto que se
especifique lo contrario (cero neutral).Los números Naturales se representan
mediante la letra N.
Elementos del conjunto de números naturales.
 Números Enteros:
Los números enteros son todos los números naturales e incluyen el cero (0) y
todos los números negativos. Los números enteros se representan mediante la
letra Z.
Elementos del conjunto de números enteros.
 Números Racionales:
Los números racionales son las fracciones que pueden formarse a partir de los
números enteros y naturales. Entendemos las fracciones como cocientes de
números enteros, y que el resultado sea un número entero o un número decimal
finito o semiperiódico. Los números racionales se representan mediante la letra Q
Elementos del conjunto de números racionales.
 Números Irracionales:
Los números irracionales son números decimales que no pueden expresarse ni
de manera exacta ni de manera periódica. Los números enteros se representan
mediante la letra I
Elementos del conjunto de números irracionales.

7. Propiedades de los números reales
1) La suma de dos números reales es cerrada, es decir, si a y b ∈ R, entonces
a+b∈R.
2) La suma de dos números reales es conmutativa, entonces a+b=b+a.
3) La suma de números es asociativa, es decir, (a+b)+c= a+(b+c).
4) La suma de un número real y cero es el mismo número; a+0=a.
5) Para cada número real existe otro número real simétrico, tal que su suma es
igual a 0: a+(-a)=0
6) La multiplicación de dos números reales es cerrado: si a y b ∈ℜ, entonces a . b
∈R.
7) La multiplicación de dos números es conmutativa, entonces a . b= b. a.
8) El producto de números reales es asociativo: (a.b).c= a.(b .c)
9) En la multiplicación, el elemento neutro es el 1: entonces, a . 1= a.
10)Para cada número real a diferente de cero, existe otro número real llamado el
inverso multiplicativo, tal que: a . a-1= 1.
11)Si a,b y c∈R, entonces a(b+c)= (a . b) + (a . c)
DESIGUALDADES MATEMÁTICAS
La desigualdad matemática es aquella proposición que relaciona dos
expresiones algebraicas cuyos valores son distintos. Se trata de una proposición
de relación entre dos elementos diferentes, ya sea por desigualdad mayor, menor,
mayor o igual, o bien menor o igual.
Signos de Desigualdad Matemática
Podemos sintetizar los signos de expresión de todas las desigualdades
matemáticas posibles en los cinco siguientes:
 Desigual a: ≠
 Menor que: <
 Menor o igual que: ≤
 Mayor que: >
 Mayor o igual que: ≥
Propiedades de la desigualdad matemática
Si se multiplica ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la
desigualdad se mantiene.
Si dividimos ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la
desigualdad se mantiene.
Si restamos el mismo valor a ambos miembros de expresión, la desigualdad se
mantiene.

8. Si sumamos el mismo valor a ambos miembros de la expresión, la desigualdad
se mantiene.
Hay que tener presente que las desigualdades matemáticas poseen también las
siguientes propiedades:
Si se multiplica ambos miembros de la expresión por un número negativo, la
desigualdad cambia de sentido.
Si se divide ambos miembros de la expresión por un número negativo, la
desigualdad cambia de sentido.
INECUACIONES
Una inecuaciones una relación de desigualdad entre dos expresiones
algebraicas en las que aparece una o más incógnitas.
La solución de una inecuación es el valor o conjunto de valores que puede
tomar la incógnita x para que se cumpla la inecuación.
Inecuación Lineal: Cuando las expresiones de ambos lados son polinomios
de primer grado
Ejemplo:
Solución
Agrupamos los monomios según su parte literal (los que tienen xy los que no)
como hacemos en las ecuaciones de primer grado, pero sin multiplicar ni dividir
toda la inecuación por un número negativo:
Por tanto, la solución es un intervalo:
Inecuación de segundo grado: Cuando las expresiones de ambos lados
son polinomios de grado menor o igual que 2.
Ejemplo:

9. Solución
Primero calculamos los valores para los que se cumple la igualdad. Para ello,
cambiamos la desigualdad por una igualdad. De este modo tendremos una
ecuación de segundo grado cuyas raíces determinan los extremos de los
intervalos de las soluciones de la inecuación:
Situamos las raíces en la recta real y obtenemos 3 intervalos:
Escogemos un número al azar de cada intervalo (por ejemplo, x=−2, x=0 y x=4) y
comprobamos si para alguno de estos valores se cumple la inecuación. No
importa cuál escogemos puesto que el signo de la inecuación se mantiene
constante en cada intervalo.
Comprobamos:
Por tanto, la inecuación se verifica en dos de los intervalos:
Inecuación racional: Cuando las expresiones de uno o ambos lados son
un cociente de polinomios.
Ejemplo:

10. Solución
Tenemos una fracción y queremos estudiar su signo. Como estamos dividiendo, el
signo de la fracción depende de los signos del numerador y del denominador.
Cuando el numerador y el denominador tienen el mismo signo, la fracción es
positiva. Si lo tienen distinto, es negativa. Tenemos que ver las distintas
posibilidades. Primero analizamos los signos del numerador y del denominador
por separado.
Numerador:
Denominador:
La segunda desigualdad es estricta (sin el igual) ya que el denominador no puede
ser 0.
Representamos los valores en dos rectas indicando el signo en cada intervalo:
Hemos representado una recta encima de otra porque ahora tenemos que trabajar
con ambas.
El único intervalo para el que el numerador y el denominador tienen el mismo
signo (y por tanto, la solución de la inecuación) es:
Siendo ambos positivos en el intervalo. El corchete indica que se incluye el
extremo del intervalo ya que en él es donde se cumple la igualdad de la
inecuación.

11. VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto o módulo de un número real cualquiera es el mismo número
pero con signo positivo. En otras palabras, es el valor numérico sin tener en
cuenta su signo, ya sea positivo o negativo. Por ejemplo, el valor absoluto del
número −4 se representa como |−4| y equivale a 4, y el valor absoluto de 4 se
representa como |4|, lo cual también equivale a 4
Formalmente, el valor absoluto de todo número real está definido
por:
|a|= {así a≥0
{−así a<0
Como podemos notar, el valor absoluto de un número real es
siempre mayor que o igual a cero y nunca es negativo.
Propiedades:
Dados los números reales cuales quiera a y b, se cumple que:
|a|≥0|a|≥0
|ab|=|a||b|
|a+b|≤|a|+|b|
Otras propiedades importantes son:
|−a|=|a|
|a−b|=0⇔a=b
|a|≤b⇔−b≤a≤b
|a|≥b⇔a≥bóa≤−b
Inecuación con valor absoluto: Cuando en las expresiones algebraicas
hay valores absolutos.
Ejemplo
Teniendo en cuenta la definición que vimos,

12. Es decir:
Por tanto, la ecuación del ejemplo (|x−3|=2|x−3|=2), se divide en dos ecuaciones:
La solución de la primera ecuación es x=5. Es una solución válida porque cumple
la condición x ≥ 3.
La solución de la segunda ecuación es x=1. Es una solución válida porque cumple
la condición x<3.
Por tanto, las soluciones de la ecuación|x−3|=2sonx=5x=5yx=1.
Ejemplo
Podemos escribir la inecuación como
Tenemos que resolver las dos inecuaciones.
Podemos hacerlo al mismo tiempo:
Sumamos 1:
O bien, separar ambas inecuaciones y resolverlas por separado:

13. De ambas formas obtenemos la misma solución:
Ejemplo
Por la propiedad,
Resolvemos la primera inecuación:
Resolvemos la segunda:
La solución de la inecuación inicial es la unión de ambas soluciones:
∈ ( ] ∪ ( ]
Observa que es lo mismo que:
∈ ( ]

14. REFERENCIAS
 www.Todamateria.com
 www.conoce3000.com
 www.es.wikipedia.org
 www.sdelsol.com
 www.economipedia.com
 www.Matesfacil.com
 www.campusvirtual
 www.problemasyecuaciones.com
 www.superprof.es