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République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l’Enseignement supérieur et de La Recherche
Scientifique
Université : Hassiba BENBOUALI de CHLEF
Faculté : Sciences
Département : Physique
Domaine : ST-SM
TOME 1:
VIBRATIONS
Rappels de Cours
Problèmes posés aux concours d’entrée aux
Grandes Ecoles Scientifiques
Module : Physique 03
Niveau : 2ième
Année Licence
Présenté par:
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Année Universitaire : 2014 /2015
DEDICACES
Je dédie ce travail en signe de respect et de reconnaissance à:
 Mes chers parents pour tous les sacrifices qu'ils ont consentis,
pour tous les encouragements ainsi que pour leur soutient moral et
matériel qui m'a permis d’achever ce travail.
Je le dédie également à:
 Ma très chère femme et mes chers enfants
 Mes chers frères et sœurs
 Mes oncles et tantes
 Toute ma famille et mes proches
Sommaire
 Avant propos
 Nomenclature
 Sommaire
TOME 1 : VIBRATIONS
 Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations. 1
 Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté. 9
 Chapitre 3 : Mouvement oscillatoire amorti à un degré de liberté 38
 Chapitre 4 : Mouvement oscillatoire forcé à un degré de liberté. 50
 Chapitre 5 : Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté. 82
 Références bibliographiques
Nomenclature
)
t
(
p Coordonnées généralisées
T
E Energie totale du système
c
E Energie Cinétique du système
c
E Energie Cinétique moyenne du système
p
E Energie potentielle su système
L Lagrangien du système
S Action du système
exe
F

Forces extérieures appliquées au système
exe
M

Moments extérieurs appliqués au système
0
 Pulsation propre du mouvement libre
A Amplitude
 Déphasage
0
T Période propre du mouvement libre
k Constante de raideur du ressort
C Constante de torsion
J Moment d’inertie
R Rayon d’un disque
m Masse d’un système
i
x Coordonnées du système
V

Vitesse du déplacement
 Masse volumique
l Longueur du ressort
0
l Longueur du ressort à vide
0
P Pression du gaz à l’équilibre
0
V Volume du gaz à l’équilibre
dx Tranche d’élément entre les positions x et x+dx
ap
C Capacité électrique
ind
L Capacité électrique
q Charge qui circule dans le circuit
)
t
(
u Tension d’alimentation
fr
f

Force de frottement
 Coefficient de frottement
 Facteur d’amortissement
 Pseudo Pulsation du mouvement faiblement amorti
T Pseudo Période du mouvement faiblement amorti
)
t
(
f Force extérieure appliquée au système
 Pulsation Force extérieure appliquée au système
)
t
(
pg Solution générale du mouvement force
)
t
(
pp Solution particulière
r
 Pulsation de résonance du mouvement forcé
2
1 ,
 Pulsation de coupure en régime forcé

 Bande passante
Q Facteur de qualité
Z
~
Impédance
 Masse linéique de la corde
 Masse surfacique
T Tension de la corde
 Tension linéaire
E Constante de Young
w
 Longueur d’onde
0
k Vecteur d’onde
V Vitesse de propagation
s
 Coefficient de compressibilité
Avant propos
Ce document a été destiné aux étudiants de deuxième année des filières
scientifiques et techniques des universités et des écoles d’ingénieurs d’Algérie. Il
répond au programme officiel du module « Vibrations et Ondes mécaniques »
enseignés en deuxième année des filières Sciences et techniques et Sciences de la
matière.
Ce manuel contient une série de problèmes liés aux phénomènes de vibrations
et de propagation des ondes mécaniques avec un rappel de cours.
Le manuscrit est divisé en deux Tomes, vibrations et ondes mécaniques
réparties en Huit chapitres.
Le premier tome comporte cinq sections. La première porte sur l’utilisation du
formalise de Lagrange pour décrire les oscillations des systèmes physiques. L’étude
des oscillations linéaires (de faible amplitude) libres des systèmes à un degré de liberté
est présentée dans le chapitre deux. Le troisième chapitre traite le mouvement amorti
qui prend en compte les forces de frottements de viscosité proportionnelles à la vitesse
du mobile. La notion de résonance consacrée aux oscillations forcées est présentée au
quatrième chapitre. Le cinquième chapitre traite les vibrations aux plusieurs degrés de
liberté. Les analogies entre les systèmes électriques et mécaniques sont présentées
dans les cinq chapitres.
Le deuxième tome du programme est consacré aux problèmes d’ondes
mécaniques. Cette partie contient trois chapitres. Le premier introduit les généralités
des phénomènes liés à la propagation des ondes mécaniques. Le deuxième chapitre
traite la propagation des ondes mécaniques dans différents les solides. Le dernier
chapitre est consacré à la propagation des ondes mécaniques dans les fluides.
Dr Fouad BOUKLI HACENE
1
Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
Dr Fouad BOUKLI HACENE
TOME 1
VIBRATIONS
Chapitre 1:
Généralités sur les oscillations
2
Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Rappels théoriques
 La vibration est un phénomène physique oscillatoire d’un corps en mouvement
autour de sa position d’équilibre.
 Parmi les mouvements mécaniques les plus variés, il existe des mouvements qui
se répètent : les battements du cœur, le mouvement d'une balançoire, le
mouvement alternatif des pistons d'un moteur à explosion. Tous ces
mouvements ont un trait commun : une répétition du mouvement sur un cycle.
 Un cycle est une suite ininterrompue de mouvements ou de phénomènes qui se
renouvellent toujours dans le même ordre. Prenez à titre d'exemple le cycle à
quatre temps d'un moteur à explosion. Un cycle complet comprend quatre
étapes (admission, compression, explosion, échappement) qui se répètent durant
un cycle moteur.
 On appelle mouvement périodique un mouvement qui se répète et dont chaque
cycle se reproduit identiquement. La durée d'un cycle est appelée période.
 Un mouvement périodique particulièrement intéressant dans le domaine de la
mécanique est celui d'un objet qui se déplace de sa position d'équilibre et y
revient en effectuant un mouvement de va-et-vient par rapport à cette position.
 Ce type de mouvement périodique se nomme oscillation ou mouvement
oscillatoire. Les oscillations d'une masse reliée à un ressort, le mouvement d'un
pendule ou les vibrations d'un instrument à corde sont des exemples de
mouvements oscillatoires.
 Tout système mécanique, incluant les machines industrielles les plus
complexes, peut être représenté par des modèles formés d’un ressort, un
amortisseur et une masse. Le corps humain, souvent qualifié de "belle
mécanique", est décomposé à la figure 1.1 en plusieurs sous-systèmes "masse-
ressort-amortisseur" représentant la tète, les épaules, la cage thoracique et les
jambes ou les pieds.
3
Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 1.1 : Modélisation masse-ressort-amortisseur de l’homme.
 Pour comprendre le phénomène vibratoire, on associe à tous les systèmes
physiques un système "masse-ressort" qui constitue un excellent modèle
représentatif pour étudier les oscillations comme suit, figure 2.1 :
Figure 2.1: Schéma masse-ressort
F(t) s’appelle la force de rappel qui est proportionnelle à l’allongement x(t). La
constante k est appelée la constante de raideur.
4
Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
Dr Fouad BOUKLI HACENE
 Il existe deux autres configurations pour le système masse-ressort, figure 3.1 :
Figure 3.1 : Configurations pour le système masse-ressort

La représentation de plusieurs ressorts se présente en deux cas :
 En parallèle, on a la figure 4.1 :
Figure 4.1 : Ressorts en parallèles
La raideur équivalente est la somme des raideurs k1 et k2 telle que :
2
1 k
k
keq 

 En série, on a la figure 5.1 :
5
Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 5.1 : Ressorts en séries
La raideur équivalente pour les constantes k1 et k2 telle que :
2
1
1
1
1
k
k
keq


 Un système physique oscillant est repéré par la coordonnée généralisée p qui est
définit par l’écart par rapport à la position d’équilibre stable.
 On définit q le nombre de degré de liberté par le nombre de mouvements
indépendants d’un système physique qui détermine le nombre d’équations
différentielles du mouvement.
 L’énergie cinétique d’un système mécanique s’écrit sous la forme :
2
i
i
1
n
c p
m
2
1
E 



 L’énergie potentielle d’un système mécanique s’écrit à partir de développement
limité de Taylor sous la forme:
...
p
p
E
6
1
p
p
E
2
1
p
p
E
)
0
(
E
E 3
0
p
3
p
3
2
0
p
2
p
2
0
p
p
p
p 









 


 La valeur p=0 correspond à la position d’équilibre du système
caractérisée par :
0
p
E
0
p
i
p




6
Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
Dr Fouad BOUKLI HACENE
 Il existe deux types d’équilibre :
 Equilibre stable, représenté par la figure 6.1 :
Dans ce cas la, La condition nécessaire est que :
0
p
E
0
p
2
p
2




Figure 6.1: Equilibre stable
 Equilibre instable représenté par la figure 7.1 :
Dans ce cas la, La condition nécessaire est que
0
p
E
0
p
2
p
2




Figure 7.1: Equilibre instable
7
Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
Dr Fouad BOUKLI HACENE
 Le mouvement oscillatoire est dit linéaire si cet écart est infinitésimal. A cet
effet l’énergie potentielle prend la forme quadratique en fonction de l’écart par
rapport à la position d’équilibre représentée comme suit:
2
0
2
2
2
1
p
p
E
E p
p
p 



La constante 2
2
p
Ep


est appelée la constante de rappelle.
Ainsi ; la force de rappel prend la forme linéaire en fonction de l’allongement
et opposée au mouvement telle que:
p
p
E
t
F p
p 

0
2
2
)
( 




 L’équation du mouvement pour un système conservatif peut être déterminée
par trois méthodes :
 Principe de la conservation d’énergie totale :
0
tan 




dt
dE
te
Cons
E
E
E T
p
c
T
Où T
E est appelée l’énergie totale du système.
 La loi dynamique de Newton :
i
1
n
i
i a
m
F



 
Où i
a

est appelée l’accélération des composantes du système.
 Méthode de Lagrange-Euler:
te
tan
Cons
E
E
)
p
L(p, p
c 



Où L est le Lagrangien du système.
Dans le cas d’un système dit conservatif, on a les forces dérivent d’un
potentiel.
8
Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations
Dr Fouad BOUKLI HACENE
On définit l’action du système comme la sommation, entre l’intervalle du
temps,  
1
0 t
,
t le long du trajet du système, de la différence entre l'énergie
cinétique et l'énergie potentielle.


1
0
t
t
)dt
p
L(p, 

La détermination du trajet se fait par une méthode variationnelle. Cette
méthode aboutit aux équations d'Euler-Lagrange qui donnent des chemins sur
lesquels l'action est minimale.
 En appliquant le principe de moindre action, 0

 , on obtient
l’équation d’Euler- Lagrange pour un système conservatif comme suit :
n
,
1
i
0
)
p
L
)
p
L
(
dt
d
i
i








 L’équation du mouvement pour un système dissipatif (non conservatif) peut
être déterminée comme suit :
 Système en translation :
n
,
1
i
F
)
p
L
)
p
L
(
dt
d
ext
i
i










Où ext
F

sont les forces extérieures appliquées au système.
 Système en rotation
n
,
1
i
M
)
p
L
)
p
L
(
dt
d
ext
i
i










Où ext
M

sont les moments extérieurs appliqués au système.
Dans ce cas les forces ne dérivent pas d’un potentiel.
9
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Chapitre 2 :
Mouvement oscillatoire libre à un degré de
liberté
10
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Rappels théoriques
Un système isolé oscillant à un degré de liberté est déterminé par la coordonnée
généralisée p qui est l’écart par rapport à l’équilibre stable.
 On définit l’oscillation harmonique par l’équation différentielle suivante :
0
)
t
(
p
)
t
(
p 2
0 



Où ω0 est appelée la pulsation propre du système.
 On définit la période propre T0 comme suit :
0
0
2
T



 La solution de cette équation différentielle est de forme sinusoïdale tel que :
)
t
cos(
A
)
t
(
p 0 
 

Où A représente l’amplitude des oscillations et ϕ est le déphasage. Les constantes A et
ϕ sont déterminées par les conditions initiales suivantes :







0
0
p
)
0
t
(
p
p
)
0
t
(
p


A- Réponse de la position B- Réponse de la vitesse
Figure 1.2 : Mouvement oscillatoire libre
11
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
 Il faut signaler que toutes les oscillations de faible amplitude autour de la
position d’équilibre peuvent être assimilées à des mouvements linéaires et
l’énergie potentielle peut s’exprimer sous forme quadratique de la coordonnée
généralisée p.
 En revanche, au-delà d’une certaine amplitude l’oscillation devient non linéaire.
 Quelques exemples d’applications:
 Ressort :
Figure 2.2 : Mouvement oscillatoire d’un ressort
Le vecteur de position est égal à :
i
x
v
i
x
m
o








L’énergie cinétique s’écrit :
2
2
c x
m
2
1
mv
2
1
E 


L’énergie potentielle pour des petites oscillations, s’écrit sous la forme:
2
p kx
2
1
E 
Alors, le Lagrangien du système est de la forme:
2
2
2
1
2
1
kx
x
m
E
E
L p
c 


 
12
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
L’équation de mouvement est de la forme :
kx
x
L
x
m
x
L
0
x
L
)
x
L
(
dt
d

















D’ou
0
x
x
m
0
kx
x
m 2
0 



 




La pulsation propre est égale :
m
k
2
0 

La solution de l’équation différentielle s’écrit alors :
)
cos(
)
( 0 
 
 t
A
t
x
 Pendule simple :
Figure 3.2 : Mouvement Oscillatoire d’un pendule simple
Le vecteur de position s’exprime comme suit:




























sin
l
y
cos
l
x
v
cos
l
y
sin
l
x
m
o






D’où :
 2
2
2
2
l
y
x
v 


 


L’énergie cinétique s’écrit :
2
2
2
c ml
2
1
mv
2
1
E 



Pour l’énergie potentielle on a:

cos
mgl
Ep 

13
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Alors, le Lagrangien du système s’écrit :

 cos
mgl
ml
2
1
E
E
L 2
2
p
c 


 
L’équation de mouvement pour des petites oscillations, est :






sin
mgl
L
ml
L
0
L
)
L
(
dt
d 2













 


D’ou :







sin
0
mgl
ml2 

Donc l’équation du mouvement s’exprime comme suit :
0
0
l
g 2
0 



 



 



La pulsation propre est égale à :
l
g
2
0 

La solution de l’équation différentielle est de la forme :
)
cos(
)
( 0 
 
 t
A
t
x
 Système de torsion :
Un corps rigide de moment d’inertie J0 oscille autour d’un axe avec une
constante de torsion kt
Figure 4.2 : Mouvement oscillatoire de torsion
L’énergie cinétique s’écrit :
2
0
c J
2
1
E 


14
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Pour l’énergie potentielle on a :
2
t
p k
2
1
E 

Le Lagrangien du système s’écrit alors:
2
t
2
0
p
c k
2
1
J
2
1
E
E
L 
 


 
L’équation différentielle s’écrit :






t
0 k
L
J
L
0
L
)
L
(
dt
d













 


D’où :
0
J
k
0
t

 


La pulsation propre s’écrit alors :
0
t
2
0
J
k


La solution de l’équation différentielle est de la forme :
)
t
cos(
A
)
t
( 0 

 

Quelques exemples d’applications qui décrivent les oscillations de
torsion reportés dans la figure 5.2.
15
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 5.2 : mouvement oscillatoire de torsion d’un pont
16
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Applications
Problème 1:
Soient les systèmes mécaniques suivants :
o Une poulie de masse M, de moment d’inertie J, et de rayon R, suspendue au
point O par un ressort de raideur k. Le fil inextensible glisse sur la poulie sans
frottement relié par une masse m, figure 6.2
o Un système de bras rigidement liés et tournant dans le plan de la figure autour
du point fixe O. A l’équilibre le bras L3 est vertical, figure 7.2.
o Un système hydraulique de forme U constitué de deux tuyaux cylindriques de
sections S1, S3 reliés par un autre cylindre de section S2 et de longueur B qui
contient un liquide de masse volumique. Le système est équivalent à un
ressort de raideur ke et de masse Me. A l’équilibre le liquide a la hauteur H,
figure 8.2.
Figure 6.2: Mouvement oscillatoire de la polie
17
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 7.2: Mouvement oscillatoire du bras
Figure 8.2: Mouvement oscillatoire d’un liquide dans un tube
Dans le cas des oscillations linéaires, déterminer pour chaque système :
Le nombre de degré de liberté.
 L’énergie cinétique, l’énergie potentielle. En déduire le Lagrangien.
 L’équation différentielle du mouvement.
 La période propre.
18
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Solutions :
 Figure 6.2:
La figure 6.2-a représente l’état d’équilibre du système et la figure 6.2-b
représente l’état du système en mouvement.
Les paramètres, (X01, X02) et (X1, X2) représentent respectivement les positions
des masses M et m en état d’équilibre et en mouvement.
Le nombre de degré de liberté :
La longueur du fil l est la même en mouvement et en équilibre tel que:
En équilibre :
)
X
X
(
R
X
D
l 01
02
01 



 
En mouvement :
)
X
X
(
R
X
D
l 1
2
1 



 
Apres l’égalité des deux équations, on obtient :
dépendants
sont
x
,
x
x
2
x 2
1
1
2 

Le nombre de degré de liberté est alors égal à 1 qui représenté par x1.
19
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
 Le Lagrangien est :
L’énergie cinétique s’exprime:
2
2
2
1
2
1
c x
m
2
1
J
2
1
x
M
2
1
E 

 

 
Pour l’énergie potentielle:
2
1
p kx
2
1
E 
Le Lagrangien s’écrit alors :
2
1
2
1
2
p
c kx
2
1
x
)
R
J
m
2
M
(
2
1
E
E
L 




 
 L’équation différentielle s’exprime comme suit:
0
x
)
R
J
m
4
M
k
(
x
0
x
L
)
x
L
(
dt
d
1
2
1
1
1














D’où l’équation du mouvement s’écrit :
0
x
x
0
x
)
R
J
m
4
M
k
(
x 1
2
0
1
1
2
1 





 




Avec :
2
2
0
R
J
m
4
M
k




 La période propre T0 :
2
O
R
J
m
4
M
k
2
T




20
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 7.2:
 Le nombre de degré de liberté :
On définit les petits déplacements comme suit :
dépendants
sont
x
,
x
,
x
l
x
,
l
x
,
l
x 3
2
1
3
3
2
2
1
1 


 


Le nombre de degré de liberté est égal à 1, qui est représenté par θ
 Le Lagrangien du système :
Pour l’énergie cinétique on a :
2
2
3
3
2
2
2
2
2
2
1
1
2
i
i
1
i
c l
m
2
1
l
m
2
1
l
m
2
1
x
m
2
1
E 

 


 


 

L’énergie potentielle s’exprime:


 cos
gl
m
kl
2
1
kl
2
1
E 3
3
2
2
2
2
2
1
p 


Le Lagrangien s’écrit alors :


 cos
gl
m
)
l
(
k
2
1
l
m
2
1
E
E
L 3
3
2
2
1
i
i
3
1
i
2
i
2
i
i
p
c 



 
 


21
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
 L’équation différentielle est de la forme:
0
0
)
l
m
mgl
kl
kl
(
0
L
)
L
(
dt
d 2
0
3
1
i
2
i
i
1
2
1
2
2




























Avec :




 3
1
i
2
i
i
1
2
1
2
2
2
0
l
m
mgl
kl
kl

 La période propre T0 :





1
i
2
i
i
1
2
1
2
2
O
l
m
mgl
kl
kl
2
T

Figure 8.2:
22
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
 Le nombre de degré de liberté :
On a la conservation du volume d’eau déplacé dans le tube en forme U
D’où,
s
dépendante
sont
x
x
x
s
coordonnée
les
x
S
x
S
x
S 3
2
1
3
3
2
2
1
1 ,
,



Donc le nombre de degré de liberté est égal a , qui est représenté par x1.
 Le Lagrangien du système:
A partir de L’énergie cinétique, on calcule la masse équivalente du système:
2
1
e
3
1
i
2
i
i
c x
M
2
1
x
m
2
1
E 





D’où :













3
3
2
2
1
1
2
1
e
3
1
2
1
1
2
1
hS
m
,
BS
m
,
hS
m
Avec
x
M
)
S
S
S
S
h
B
1
(
hS
x



 

Après l’identité, on déduit la masse équivalente du système comme suit :
)
S
S
S
S
h
B
1
(
hS
M
3
1
2
1
1
e 

 
On calcule la constante de rappelle à partir de l’énergie potentielle, on a alors :
1
3
1
1
3
1
1
1
1
e
2
1
e
p x
)
S
S
1
(
gh
S
)
x
x
(
g
S
P
S
x
k
F
x
k
2
1
E 






 

Après l’identité, on détermine la constante de raideur équivalente du système
comme suit :
3
1
1
e
S
S
1
(
gh
S
k 

Le Lagrangien du système s’écrit alors :
2
1
e
2
1
e
1
i
2
i
i
2
i
i
1
i
p
c
x
k
2
1
x
M
2
1
x
k
2
1
x
m
2
1
L
E
E
L







 



 L’équation différentielle est de la forme :
0
x
x
0
x
)
M
k
(
x 1
2
0
1
1
e
e
1 



 




23
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
 La pulsation propre ω0 est égale à :
)
S
S
S
S
h
B
1
(
hS
)
S
S
1
(
gh
S
M
k
3
1
2
1
1
3
1
1
e
e
2
0







Problème 2:
On modélise le mouvement d’un baffe d’une radio par un résonateur d’HELMOTZ,
présenté comme un gaz parfait de pression P0, de volume V0 à l’équilibre thermique,
enfermé dans une enceinte reliée par un piston de masse m qui oscille sans frottement
suivant l’axe Ox comme le montre la figure (9.2)ci-dessous :
Figure 9.2 : Modélisation physique du mouvement d’un baffe-Résonateur
d’Helmholtz
L’ensemble du système évolue en opération adiabatique.
 Déterminer l’équation différentielle du mouvement en appliquant la loi
fondamentale de la dynamique.
 En déduire la pulsation propre du système et la solution générale.
24
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Solutions :
 En appliquant la méthode des forces on obtient :

 









1
i
rap
i
x
m
P
S
Ox
:
Sur
a
m
F
P
a
m
F








Puisque l’opération est adiabatique, on a:
Sx
V
P
P
V
V
P
P
te
tan
cons
c
PV
0
0
0
0














 L’équation différentielle s’écrit alors :
0
x
x
0
x
)
m
V
S
P
(
x 2
0
0
2
0




 





 La pulsation propre est de la forme :
m
V
S
P
0
2
0
2
0

 
 La solution générale est de la forme:
)
t
cos(
A
)
t
(
x 0 
 

Problème 3:
Soient les systèmes mécaniques constitués par une tige de masse négligeable, de
longueur l reliée par un ressort de raideur k représentés dans les figures 10.2 : A-B-C
comme suit:
25
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
(A) (B) (C)
Figure 10.2 : Couplage Pendule simple-Ressort
Pour des petites oscillations, déterminer pour chaque système de la figure (10.2):
 Le Lagrangien.
 L’équation différentielle du mouvement.
 La pulsation propre et la solution générale.
 Interpréter les résultats.
Solutions :
Figure (10.2) :
Système A :
Pour les faibles oscillations, on a la relation suivante :

a
x 
Les deux variables x, θ sont linéairement indépendant, d’où le nombre de degré de
liberté est égale à 1, représenté la variable θ
26
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
 L’énergie cinétique :
On calcule le vecteur de position et la vitesse de la masse m :































sin
l
y
cos
l
x
m
o
V
cos
l
y
sin
l
x
m
o m 







L’énergie cinétique s’écrit :
2
2
2
m
c ml
2
1
mV
2
1
E 



L’énergie potentielle s’exprime comme suit :

 a
x
avec
cos
mgl
kx
2
1
E 2
p 


 Le Lagrangien s’écrit alors :


 cos
mgl
)
a
(
k
2
1
ml
2
1
E
E
L 2
2
2
p
c 



 
 L’équation différentielle du mouvement est :
0
)
ml
mgl
ka
(
0
L
)
L
(
dt
d
2
2

















 La pulsation propre est égale à :
2
2
2
0
ml
mgl
ka 


 La solution générale est de la forme:
)
t
cos(
A
)
t
( 0 

 

27
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Système B :
 L’énergie cinétique
On calcule le vecteur de position et la vitesse de la masse m :































sin
l
y
cos
l
x
m
o
V
cos
l
y
sin
l
x
m
o m 







D’où l’énergie cinétique s’exprime comme suit :
2
2
2
m
c ml
2
1
mV
2
1
E 



L’énergie potentielle pour le deuxième système est égale à :

 a
x
avec
cos
mgl
kx
2
1
E 2
p 


 Le Lagrangien s’écrit alors :




 cos
mgl
)
a
(
k
2
1
ml
2
1
E
E
)
,
(
L 2
2
2
p
c 



 

 L’équation différentielle du mouvement est :
0
)
ml
mgl
ka
(
0
L
)
L
(
dt
d
2
2

















 La pulsation propre est :
2
2
2
0
ml
mgl
ka 


28
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
 La solution générale est de la forme:
)
t
cos(
A
)
t
( 0 

 

Système C:
 L’énergie cinétique































sin
l
y
cos
l
x
m
o
V
cos
l
y
sin
l
x
m
o m 







D’où l’énergie cinétique s’écrit comme suit :
2
2
2
m
c ml
2
1
mV
2
1
E 



L’énergie potentielle s’écrit :
2
p kx
2
1
E 
 Le Lagrangien s’écrit alors :
2
2
2
p
c )
sin
a
(
k
2
1
ml
2
1
E
E
L 
 


 
 L’équation différentielle du mouvement est :
0
ml
ka
0
L
)
L
(
dt
d
2
2
















 La pulsation propre est :
29
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
2
2
2
0
ml
ka


 La solution générale est de la forme:
)
t
cos(
A
)
t
( 0 

 

Problème 4:
On considère un fléau constitué d’une tige métallique de masse négligeable, de
longueur l portant deux masses m et M, tournant sans frottement autour de son axe au
point fixe O comme le montre la figure 11.2 A l’équilibre la barre est horizontale.
(A) Etat d’équilibre (B) Etat en mouvement
Figure 11.2 : Modèle physique du Fléau
Déterminer:
 La condition d’équilibre et l’allongement du ressort.
 Le Lagrangien du système
 L’équation différentielle du mouvement,
 La pulsation propre et la période propre.
 La solution générale avec les conditions initiales suivantes :
0
)
0
t
(
x 
 et 0
*
v
)
0
t
(
x 

30
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
 Application numérique :
On prend : m=M=1Kg, k=20N/m
Solutions :
 Le Lagrangien :
On a les déplacements infinitésimaux comme suit :
dépandants
sont
x
,
x
4
l
3
x
,
4
l
x 2
1
2
1 

 

On a donc un seul degré de liberté représenté par θ.
L’énergie cinétique s’exprime :




4
l
3
x
,
4
l
x
avec
)
l
4
3
(
M
2
1
)
l
4
1
(
m
2
1
x
M
2
1
x
m
2
1
E 2
1
2
2
2
2
2
1
c 




 



L’énergie potentielle s’écrit :
2
2
p )
4
l
(
k
2
1
)
4
l
(
k
2
1
E 
 


Le Lagrangien s’écrit alors :
2
2
2
p
c )
4
l
(
k
)
l
4
3
(
M
2
1
)
l
4
1
(
m
2
1
E
E
L 

 



 

D’où :
2
2
2
)
4
l
(
k
)
m
M
9
(
16
l
2
1
)
,
(
L 


 

 

 L’équation différentielle du mouvement :
0
M
9
m
k
2
0
L
)
L
(
dt
d

















 Respectivement, la pulsation propre ω0 et la période propre T0 sont de la
forme :
M
9
m
k
2
2
T
et
M
9
m
k
2
O
2
0






 La solution générale est de la forme:
)
t
cos(
A
)
t
( 0 

 

31
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Problème 5 :
En physique, un pendule de torsion est un dispositif constitué d'une barre horizontale,
de longueur l de moment d’inertie J0, fixée à un support par l'intermédiaire d'un fil de
torsion. Ce fil d'acier exerce un couple de rappel, proportionnel à l'angle de torsion. On
appelle D la constante de torsion du fil. Sur la barre, on positionne deux masselottes
identiques m de façon symétrique comme le montre la figure 12.2.
Figure 12.2 : Mouvement oscillatoire d’un Pendule de Torsion
 Déterminer le Lagrangien du système
 Etablir l’équation différentielle du mouvement
 En déduire la pulsation propre et la solution générale
Solutions :
 Le Lagrangien du système :
L’énergie cinétique s’exprime:
4
l
m
2
J
J
avec
J
2
1
E
2
0
2
c 

 

32
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Pour l’énergie potentielle on a:
2
p D
2
1
E 

Le Lagrangien s’écrit alors :
2
2
p
c D
2
1
J
2
1
E
E
L 
 


 
 L’équation du mouvement est de la forme:
0
0
J
D
0
L
)
L
(
dt
d 2
0 























 La pulsation propre est égale à :
J
D
2
0 

La solution générale est de la forme :
)
t
cos(
A
)
t
( 0 

 

Problème 6 :
Soit un disque de masse M, de moment d’inertie J lié par deux ressorts, l’un au centre
O, l’autre au point A distant de (R/2) du point O se glissant sans frottement suivant
l’axe Ox comme le montre la figure 13.2 :
Figure 13.2 : Mouvement oscillatoire d’un disque
 Etablir le Lagrangien du système.
 Déterminer l’équation différentielle du mouvement
 En déduire la pulsation propre du système ainsi que la solution générale
33
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Solutions :
Figure 13.2-a : Etat d’équilibre
Figure 13.2-b : Etat en mouvement
 Le degré de liberté :
On a le déplacement infinitésimal comme suit
dépendants
sont
,
x
R
x 
 

Le système a un seul degré de liberté représenté par x
 Le Lagrangien du système :
L’énergie cinétique s’exprime:

 R
x
avec
x
M
2
1
J
2
1
E 2
2
c 

 

L’énergie potentielle s’exprime :
34
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
2
2
p )
2
R
x
(
k
2
1
)
x
(
k
2
1
E





Le Lagrangien du système s’écrit alors comme suit :
2
2
2
kx
4
13
2
1
x
)
R
J
M
(
2
1
)
x
,
x
(
L 

 

 L’équation différentielle s’écrit sous la forme :
0
x
x
0
x
R
J
M
k
4
13
x
0
x
L
)
x
L
(
dt
d 2
0
2



















 La pulsation propre est égale à :
2
2
0
R
J
M
k
4
13



 La solution générale s’écrit alors :
)
t
cos(
A
)
t
(
x 0 
 

Problème 7 :
Soit un système électrique (Lind, Cap) en série représenté dans la figure 14.2 comme
suit :
Figure 14.2 : Circuit L.C Libre
 A partir des lois du Kirchhoff, établir l’équation différentielle du mouvement.
 En déduire la pulsation propre du mouvement.
Solutions :
35
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
 La loi des mailles :

ind
L
ap
L
i
i jL
Z
avec
0
C
q
)
t
(
i
Z
0
V ind
ind






D’où l’équation du mouvement s’écrit :
0
C
q
dt
)
t
(
di
L
ap
ind 

 L’équation différentielle devient alors :
dt
dq
)
t
(
i
avec
0
)
t
(
q
C
1
q
L
ap
ind 




 On a l’équivalence du système mécanique-électricité comme suit :
0
)
t
(
kx
x
m
0
)
t
(
q
C
1
q
L
ap
ind 



 



D’où :










k
c
1
)
t
(
x
)
t
(
q
m
L
ap
ind
 La pulsation propre du mouvement s’écrit sous la forme :
ap
ind
2
0
C
L
1


36
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Problèmes supplémentaires
Problème 8 :
Déterminer la fréquence propre à partir de l’écrasement x0 du système de la
suspension.
Figure 15.2 : Fréquence propre des plots anti-vibratiles
Problème 9:
Soient deux ressorts de même raideur k ont une longueur à vide l0. La figure 16.2
représente une masse m reliée à leurs extrémités peut glisser sans frottement suivant
l’axe Ox
Figure 16.2: Mouvement oscillatoire transversal
Déterminer:
 Le Lagrangien du système.
 L’équation différentielle du mouvement.
 La pulsation propre, la période propre et la solution générale.
37
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Problème 10:
On considère un gaz ionisé, un plasma, formé d’ions et d’électrons ayant une
charge globale nulle. On négligera les mouvements des ions beaucoup plus
lourds que les électrons. On suppose que les électrons ne se déplacent que
parallèlement à l’axe Ox. Au repos, le plasma est homogène et contient n0,
nombre d’électron par unité de volume. On considère une tranche de plasma dx,
les électrons situés respectivement en position x et x +dx se déplacent par les
quantités s(x, t) et s(x+dx), la figure 17.2:
Figure 17.2 : Mouvement Oscillatoire du plasma
 En utilisant l’équation de poisson, déterminer l’équation différentielle du
mouvement.
 En déduire la pulsation propre du système.
38
Chapitre 3 : Mouvement amorti à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Chapitre 3 :
Mouvement amorti à un degré de liberté
39
Chapitre 3 : Mouvement amorti à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Rappels théoriques
En réalité tous les systèmes physiques interagissent avec le milieu environnant. Dans
ce chapitre on doit tenir compte l’influence de la force de frottement visqueuse de type
V
f fr




 sur les oscillations du système. Ce type de mouvement est appelé
mouvement amorti.
On définit l’oscillation amorti comme suit :
0
)
t
(
p
)
t
(
p
2
)
t
(
p 2
0 

 



Avec
m
k
et
m
2 2
0 
 


Où  est un coefficient positif et est appelé facteur d’amortissement. La résolution de
cette équation se fait par le changement de variable, l’équation devient alors :
0
r
2
r 2
0
2


 

On calcule le discriminent ’
et on obtient alors :
2
0
2
'


 

Il existe trois types de solutions :
Cas où le système est fortement amorti : 0

 
La solution de l’équation différentielle s’écrit comme suit :
2
0
2
2
,
1
t
r
2
t
r
1
r
e
A
e
A
)
t
(
p 2
1


 





Où A1 et A2 sont coefficients à déterminer par les conditions initiales :





)
0
t
(
p
)
0
t
(
p

On dit que le système a un mouvement apériodique.
40
Chapitre 3 : Mouvement amorti à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 1.3: Mouvement amorti apériodique
Cas où l’amortissement est critique : 0

 
La solution de l’équation est de la forme :







r
r
r
e
)
A
t
A
(
)
t
(
p
2
1
t
r
2
1
Où A1 et A2 sont coefficients à déterminer par les conditions initiales :
)
0
t
(
p
),
0
t
(
p 
 
Figure 2.3: Mouvement amorti critique
Cas où l’amortissement est faible : 0

 
La solution de l’équation différentielle est de la forme :
2
2
0
t
avec
)
t
cos(
Ae
)
t
(
p 








 
41
Chapitre 3 : Mouvement amorti à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Où A et  sont des constantes à déterminer par les conditions initiales :





)
0
t
(
p
)
0
t
(
p

Figure 3.3: Mouvement oscillatoire amorti
On définit la pulsation du système comme suit:
2
2
0 

 

On définit la période du système T appelé pseudo-période comme suit :


2
T 
On définit le décrément logarithmique  qui représente la décroissance de
l’amplitude à une seule période du système comme suit:
)
T
t
(
p
)
t
(
p
Ln



Il faut signaler que le système subit une perte d’énergie totale due au travail des
forces de frottement.
0
W
E
dW
dt
)
t
(
p
)
t
(
dE r
f
T
r
f
2
T 





 

 


42
Chapitre 3 : Mouvement amorti à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Applications
Problème 1 :
On définit un oscillateur amorti régi par l’équation différentielle suivante :
0
kx
x
x
m
.


 

 
Avec m est la masse du corps, k est le coefficient de rappel et x est le déplacement du
corps. On lance le système avec une vitesse initiale v0=25cm/s.
Donc on a : t=0, x=0 et 0
v
x 

Calculer la période propre du système,
Sachant que : m=150g et k=3.8N/m.
Montrer que si α=0.6kg/s, le corps a un mouvement oscillatoire amorti.
Résoudre dans ce cas l’équation différentielle.
Calculer le pseudo-période du mouvement.
Calculer le temps m
t au bout duquel la première amplitude m
x est atteinte. En
déduire m
x .
 Calculer la vitesse d’une pseudo-période.
Solutions :
L’équation du mouvement amorti est de forme :
2
0
2
0
.
.
m
k
et
m
2
avec
0
x
x
2
x
0
kx
x
x
m 




 







 





La période propre du système est T0:
s
25
.
1
m
k
2
T
s
/
rad
5
m
k
O
0






43
Chapitre 3 : Mouvement amorti à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
L’équation différentielle du mouvement se transforme en :
21
Avec
0
21
'
0
r
2
r
2
2
0
2
0
2
'
2
0
2



















Le corps m a un mouvement oscillatoire amorti.
La résolution de cette équation différentielle est de forme :
)
t
cos(
Ae
)
t
(
x t




 
En appliquant les conditions initiales :
2
0
cos
0
x
,
0
t


 






2
avec
v
A
v
x
,
0
t 0
0








 
La solution finale sera exprimée comme suit :
t
sin
e
v
)
t
(
x
)
t
cos(
Ae
)
t
(
x t
0
t



 
 





La figure 2.1 représente le mouvement oscillatoire amorti.
Figure 4.3 : Mouvement oscillatoire amorti
La pseudo-période se calcule :
s
37
.
1
2
T 



Le temps de la première amplitude m
t
44
Chapitre 3 : Mouvement amorti à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Il faut que :



Arctg
t
0
dt
)
t
(
dx
)
t
t
(
x m
t
t
m m




 

D’où :
4
T
s
25
.
0
tm 

Problème 2 :
Soient les systèmes mécaniques représentés dans les figures 5.3 et 6.3 come suit :
figure 5.3 : Mouvement oscillatoire amorti en
rotation
Figure 6.3 : Mouvement oscillatoire
amorti en translation
Pour des petites oscillations, déterminer pour chaque système :
Le Lagrangien
L’équation différentielle du mouvement.
La pulsation propre
La solution générale pour un faible amortissement.
45
Chapitre 3 : Mouvement amorti à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Solutions :
Figure 5.3 :
Le Lagrangien :
L’énergie cinétique s’écrit :
2
2
2
c ml
2
1
mv
2
1
E 


Pour l’énergie Potentielle on a:



2
l
sin
2
l
x
avec
cos
mgl
kx
2
1
2
E 2
p 



Le Lagrangien s’écrit sous la forme :


 cos
mgl
)
2
l
(
k
ml
2
1
E
E
L 2
2
2
p
c 




Après calcule, l’équation différentielle est égale à :
0
ml
mgl
)
2
l
(
k
2
m
M
L
)
L
(
dt
d
2
2
ext 










 









D’ou :
2
2
2
0
2
0
ml
mgl
)
2
l
(
k
2
,
m
2
0
2
Avec 












 


La solution générale est pour un faible amortissement est de la forme:
)
t
cos(
Ae
)
t
( t


 

 
Figure 6.3 :
Le Lagrangien :
L’énergie cinétique on a:
2
2
c x
m
2
1
mv
2
1
E 


L’énergie Potentielle s’écrit :
2
2
p )
x
(
k
2
1
kx
2
1
E 


46
Chapitre 3 : Mouvement amorti à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Le Lagrangien s’écrit alors :
2
2
p
c kx
x
m
2
1
E
E
L 


 
On obtient l’équation différentielle du mouvement après calcul comme suit :
0
x
m
k
2
x
m
x
F
L
)
L
(
dt
d
ext 









 






D’où
m
k
2
,
m
2
0
x
x
2
x
Avec 2
0
2
0












La solution générale pour un faible amortissement est de la forme :
)
t
cos(
Ae
)
t
(
x t




 
Problème 3 :
On considère un système mécanique amorti, oscillant autour d’un axe passant par O
représenté par une tige métallique de longueur l de masse négligeable reliée par un
ressort de constante de raideur k au point l/2 comme le montre la figure 7.3:
Figure 7.3 : Mouvement oscillatoire amorti
Etablir le Lagrangien du système.
Déterminer l’équation différentielle du mouvement.
En déduire la pulsation propre du système.
47
Chapitre 3 : Mouvement amorti à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Résoudre dans le cas de faible amortissement l’équation différentielle du
mouvement avec les conditions initiales suivantes :
0
)
0
t
(
,
0
)
0
t
( 

 
 



Solutions :
Le Lagrangien :
Le système a un seul degré de liberté représenté par θ
L’énergie cinétique s’écrit :
2
2
2
c ml
2
1
mv
2
1
E 


Pour l’énergie potentielle on a:


2
l
sin
2
l
x
avec
kx
2
1
E 2
p 


Le Lagrangien s’écrit :
2
2
2
p
c )
2
l
(
k
2
1
ml
2
1
E
E
L 
 



L’équation différentielle est :
0
ml
4
l
k
m
M
L
)
L
(
dt
d
2
2
ext 









 









D’où :
2
2
2
0
2
0
ml
4
l
k
,
m
2
0
2












 


Pour un faible amortissement la solution s’écrit sous la forme :
)
t
cos(
Ae
)
t
( t


 

 
Avec les conditions initiales , on a







0
0
A
,
2
,
0
,
0
t
avec 








Alors, la solution générale s’écrit :
t
sin
e
)
t
( t
0



 



48
Chapitre 3 : Mouvement amorti à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Problème 4:
Soit une boule de masse m suspendue à une tige de longueur l, de masse négligeable et
plongée dans un liquide. Cette masse est soumise à une force de frottement visqueuse
dont le coefficient de frottement est comme le montre la figure 8.3 comme suit :
Figure 8.3 : Mouvement oscillatoire amorti du pendule
Etablir le Lagrangien du système.
Déterminer l’équation du mouvement.
Résoudre dans le cas de faible amortissement l’équation différentielle.
Application numérique :
Sachant on a: m=1Kg, l=50cm, g=10m/s. Calculer la valeur maximale ue  ne
doit pas atteindre pour que le système oscille.
On prend la valeur de  égale à 10N.s/m :
Calculer le temps nécessaire τ pour que l’amplitude diminue à ¼ de sa valeur.
Solutions :
Le Lagrangien du système :
Le système a un seul de gré de liberté représenté par θ
L’énergie cinétique s’exprime :
2
2
c ml
2
1
E 

49
Chapitre 3 : Mouvement amorti à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Pour l’énergie potentielle on a :

cos
mgl
Ep 

D’ou le Lagrangien s’écrit comme suit :



 cos
mgl
ml
2
1
E
E
)
,
(
L 2
2
p
c 




L’équation différentielle est :
l
g
,
m
2
Avec
0
2
2
0
2
0












 


La solution générale est :
)
t
cos(
Ae
)
t
( t


 

 
La valeur maximale de max
 :
m
/
s
.
N
94
.
8
l
g
m
2
0 max
2
0
2



 


 

Le temps τ :
s
28
.
0
4
ln
e
4
1
Ae t
)
t
(



 







50
Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Chapitre 4 :
Mouvement Oscillatoire forcé à un degré de
liberté
51
Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Rappels théoriques
On définit une oscillation forcée, tout système en mouvement sous l’action d’une force
extérieure.
 On définit l’équation du mouvement forcé en présence de la force de frottement
comme suit :
)
t
(
f
)
t
(
p
)
t
(
p
2
)
t
(
p 2
0 

 



Avec
m
k
et
m
2 2
0 
 


Où f(t) est appelée la fonction excitation extérieure. Cette équation est linéaire de
second ordre non homogène à coefficients constant.
 La solution p(t) de l’équation différentielle qui présente la réponse du système à
l’action extérieure, est la somme de deux thermes :
)
t
(
p
)
t
(
p
)
t
(
p p
g 

Où )
t
(
pg et )
t
(
pp représentent respectivement la solution générale la solution
particulière.
 Il faut signaler qu’au début du mouvement p(t) représente le régime
transitoire. Au fil du temps la solution homogène )
t
(
pg devient négligeable
devant la solution particulière )
t
(
pp qui définit le régime permanant. Ainsi,
la solution totale dans ce cas, est de la forme :
)
t
(
p
)
t
(
p p

La figure 1.4 montre la superposition des deux régimes :
52
Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 1.4 : Superposition du régime transitoire et du régime permanent
 Dans le cas où l’excitation est sinusoïdale de type :
t
j
0
0 e
f
t
cos
f
)
t
(
f 
 

 La solution totale s’écrit alors comme suit :
)
t
cos(
A
)
t
(
p
)
t
(
p p 
 


Où A représente l’amplitude de la solution totale et  le déphasage.
 On cherche la solution de l’équation différentielle sous forme complexe :
)
t
(
j
p Ae
)
t
(
p
)
t
(
p 
 


Avec
)
t
(
j
Ae
j
)
t
(
p 

 


)
t
(
j
2
Ae
)
t
(
p 

 




Alors l’amplitude s’écrit sous la forme :





j
2
f
Ae 2
0
2
0
j




 En module :
2
2
2
2
0
2
0
4
)
(
f
A



 


 En phase :
2
0
2
2
Artg






53
Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
L’étude des variations du module de l’amplitude se fait par :
0
d
A
d



 Il existe deux pulsations :
2
2
0
r 2
0











A-Réponse de l’amplitude B-Réponse de la phase
Figure 2.4 : Réponse du système en régime forcé
On appelle r
 la pulsation de résonance.
On définit ainsi :
 La largeur de la bande passante 
 :
1
2 


 

 Le facteur de qualité Q pour un faible amortissement :
1
2
r
Q





54
Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Applications
Problème 1:
Soit un immeuble A modélisé par le système physique représenté par une masse m et
un ressort de raideur k subit à un mouvement sismique sinusoïdal d’amplitude a de
forme t
cos
a
xs 
 représenté dans la figure 3.4 comme suit:
Figure 3.4 : Modélisation d’un mouvement sismique
 Quelle est la réponse du système. Justifier le résultat.
Solutions :
 Le Lagrangien du système :
L’énergie cinétique s’écrit:
2
2
c x
m
2
1
mv
2
1
E 


L’énergie potentielle s’exprime:
2
s
p )
x
x
(
k
2
1
E 

Le Lagrangien du système s’écrit alors :
2
s
2
)
x
x
(
k
2
1
x
m
2
1
L 

 
 L’équation différentielle est de forme :
t
cos
m
a
)
t
(
x
m
k
)
t
(
x
F
L
)
L
(
dt
d
ext 











 


55
Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
D’où :
m
k
e
m
a
R
)
t
(
x
)
t
(
x
avec
2
0
t
j
e
2
0










 


 La solution de cette équation est de la forme :
)
t
(
j
p Ae
)
t
(
x
)
t
(
x 
 


En remplaçant dans l’équation de mouvement, on détermine l’amplitude de la
réponse comme suit :
2
0
2
m
a
)
(
A





Le système présente une singularité au point 0

  comme le montre la figure
4.4:
0
lorsque
)
(
A 

 


Figure 4.4 : Phénomène de résonance
Singularité à la fréquence propre du système
 L’immeuble va s’effondrer face au séisme car le système oscille avec la
pulsation propre. On appelle ce phénomène la résonance. On se propose dans ce
cas la de mettre en place un moyen d’amortir les oscillations extérieurs du
système qui se traduit par une force de frottement visqueuse.
56
Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Problème 2 :
Une machine mécanique de masse m est excitée par l’intermédiaire des supports de
suspension de raideur k et un amortisseur de coefficient de frottement  comme le
montre la figure 5.4 :
Figure 5.4 : Excitation de la masse par le support vibrant
On suppose que le support possède un déplacement harmonique de la forme :
t
cos
B
)
t
(
y 

 Déterminer le Lagrangien du système.
 Etablir l’équation différentielle du mouvement.
 On pose les constantes suivantes :
0
2
0
m
2
et
m
k



 

On cherche une solution de la forme :
)
t
cos(
A
)
t
(
x 
 

Déterminer le rapport des modules d’amplitudes
B
A
T  en fonction des
paramètres, ω0 et ω.
 On pose la variable suivante :
0
r



 Tracer la courbe T(r)
 Interpréter les résultats.
57
Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Solutions :
Le mouvement du système est schématisé dans la figure 6.4 comme suit :
Figure 6.4 : Mouvement forcé de l’ensemble (support + machine)
 Le Lagrangien du système s’écrit :
L’énergie cinétique s’exprime:
2
c x
m
2
1
E 

Pour L’énergie potentielle on a :
2
p )
y
x
(
k
2
1
E 

D’ou le Lagrangien du système s’écrit :
2
2
)
y
x
(
k
2
1
x
m
2
1
)
x
,
x
(
L 

 

 L’équation du mouvement s’écrit sous la forme :
)]
t
(
y
)
t
(
x
[
)]
t
(
y
)
t
(
x
[
k
)
t
(
x
m
F
x
L
)
x
L
(
dt
d
ext 
















 
D’ou :
)
t
(
ky
)
t
(
y
)
t
(
kx
)
t
(
x
)
t
(
x
m 


 


 

 La solution de l’équation différentielle:
58
Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
En posant les constantes :
0
2
0
m
2
et
m
k



 

L’équation du mouvement se réécrit avec les nouvelles constantes :
)
t
(
y
)
t
(
y
2
)
t
(
x
)
t
(
x
2
)
t
(
x
m 2
0
0
2
0
0 


 


 



On considère que le support possède un déplacement sinusoïdal :
 
t
j
Be
Re
t
cos
B
)
t
(
y 
 

On chercher des solutions de la forme :
 
)
t
(
j
Ae
Re
)
t
cos(
A
)
t
(
x 


 



L’équation du mouvement devient alors :
B
)
2
j
(
Ae
)
2
j
( 2
0
0
j
2
0
0
2






 




 
Le rapport des modules des amplitudes s’écrit sous la forme:
2
1
2
0
2
2
0
2
2
0
2
0
)
2
(
)
(
)
2
(
B
A
T





















 En posant la constante :
0
r


 ,
La courbe de la fonction T(r) est décrite comme suit:
2
1
2
2
2
2
)
r
2
(
)
1
r
(
1
)
r
2
(
B
A
T
















59
Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 7.4 : Rapport de transmissibilité en déplacement en fonction de la
pulsation réduite
On a vu que la solution particulière pouvait représenter seule la solution stationnaire.
Problème 3:
Soit le circuit forme par l’association parallèle R, Lind, Cap et alimente par une source
de courant sinusoïdale délivrant un courant d’intensité t
cos
2
i
)
t
(
i 0 
 comme le
montre la figure 8.4 ci-dessous.
Figure 8.4 : Circuit R.L.C en parallèle
60
Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
 Exprimer la tension complexe u aux bornes de l’association parallèle en
fonction de, i0, et des paramètres du circuit.
On pose les constantes suivantes :
ap
ind
2
0
C
L
1

 ,
0
x



Et on définit le facteur de qualité du circuit comme suit :
0
ap
RC
Q 

 Exprimer le module de la tension u aux bornes de l’association parallèle en
fonction de R, i0, Q et x.
 Montrer que u passe par un maximum max
u pour une valeur de x à
déterminer.
 Représenter sommairement
max
u
u
)
x
(
f  en fonction de x.
 Que retrouve t- on ?
 Calculer la largeur de la bande passante.
Solutions :
 La tension complexe u du système est de forme :
)
t
(
i
Z
~
)
t
(
u équi

D’ou le courant est égale a :
équi
Z
~
)
t
(
u
)
t
(
i 
Soit équi
Z
~
l’impédance complexe équivalente du circuit R.L.C en parallèle
qui se calcule comme suit :
Avec :


ind
ap
équi jL
1
jC
R
1
Z
~
1



D’ou la tension est égale à :
)
L
1
C
(
jR
1
)
t
(
Ri
)
t
(
u
où
'
d
ind
ap

 


 Le module de la tension s’écrit alors :
61
Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
2
2
0
)
x
1
x
(
Q
1
2
Ri
)
t
(
u



 On constate que :
1
x
lorsque
2
Ri
u
u 0
max 


 Le schéma de la fonction
max
u
u
)
x
(
f  est représenté dans la figure 9.4
comme suit :
2
2
max
)
x
1
x
(
Q
1
1
u
u
)
x
(
f




On obtient la résonnance lorsque x=1, c'est-à-dire :
Résonance
1
x
si
1
)
x
(
f 


Figure 9.4 : Phénomène de résonnance en tension dans le circuit R.L.C
en parallèle
 La bande passante 
 se calcule comme suit :
1
2 x
x
x 


En résolvant l’équation paramétrique suivante :
2
2
)
x
1
x
(
Q
1
1
2
1



62
Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Après transformation on obtient la largeur réelle de la bande passante devient
alors:
RC
1
où
'
d
x
0 
 





Problème 4:
On considère un système de réception radio modélisé par un circuit R, Lind, Cap en série
et alimenté par une source de tension sinusoïdale d’intensité t
cos
u
)
t
(
u 0 
 comme
le montre la figure 10.4 ci-dessous.
Figure 10.4 : Circuit R.L.C en Série
 Déterminer l’impédance totale du système.
 En déduire le module du courant parcourue par le circuit en fonction des
paramètres R, Lind, Cap et ω.
 Etudier les variations du module de courant en fonction de ω
 Trouver la fréquence de résonance. En déduire le courant maximum.
 Etablir la bande passante et le facteur de qualité en fonction des paramètres du
circuit R, Lind, Cap et ω.
 Donner une explication pour le fonctionnement de ce système.
63
Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Solutions :
 Le circuit est en série, on peut le schématiser comme suit :
Figure 10.4-a : Circuit RLC en série équivalent
L’impédance équivalente totale est égale à :
)
C
1
L
(
j
R
Z
~
ap
ind
éq

 


 Le module du courant s’écrit :
2
ap
ind
2
0
éq
0
)
C
1
L
(
R
u
Z
~
)
t
(
u
)
(
I







 Les variations du module du courant sont :
Le module du courant maximum est égale à :
R
u
I 0
max
0 
Lorsqu’on a le module du dénominateur est minimum, c'est-à-dire :
0
C
1
L
ap
ind 



On obtient alors la valeur de r
ap
ind
0
r
C
L
1

 

Où r est appelée la pulsation de résonance qui ne dépend que de l’inductance
et de la capacité.
64
Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
 La figure 11.4 représente l’allure I0 en fonction de ω
Figure 11.4 : Phénomène de résonance en courant
dans le circuit R.L.C en série
 La bande passante est définit :
1
2 

 

En résolvant l’équation paramétrique suivante:
2
ap
ind
2
0
max
0
)
C
1
L
(
R
u
2
I

 


On obtient :
ind
1
2
L
R


 


Le facteur de qualité s’écrit
R
L
Q 0
ind
0 




 L’application technique de ce phénomène est la sélection des fréquences de
résonances pour différentes stations de radio.
Problème 5:
On définit un sismomètre comme un système physique appelé capteur qui comprend
un support et une masse m relié par un ressort et un amortisseur disposés en parallèle,
65
Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
la figure 12.4. La masse, de centre de gravité G, ne peut se déplacer que verticalement.
Le support, le ressort et l’amortisseur ont une masse négligeable.
Figure 12.4 : Modélisation d’un sismomètre
Le ressort a une longueur à vide l et une rigidité k. La constante de frottement est. On
précise que si, les extrémités A et B d’un amortisseur appartenant à un système
mécanique, décrivent un axe Δ parallèle à l’axe Ox avec des vitesses respectives a
v et
b
v , l’amortisseur exercice sur le reste du système en point A une force i
)
v
v
( a
b


 et
en point B une force i
)
v
v
( a
a


 où i

est le vecteur unitaire.
Partie A :
Le support est immobile par rapport au repère (R0).
 Calculer l’abscisse x0 du centre d’inertie de la masse en équilibre.
 Ecrire l’équation différentielle du mouvement de la masse écarté de sa position
d’équilibre.
 Que devient cette équation quand on pose x=x0+X.
On pose les constantes suivantes :
66
Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
m
k
2
0 
 , C
f

  avec km
4
f 2
c  .
Montrer que l’équation différentielle s’écrit sous la forme suivante :
0
x
x
x
.
..


 



 Calculer α*
et β*
en fonction de λ et ω0.
 On donne λ= 0.5, ω0=10 rad/s. A l’instant initial, X=1 cm et 0
X 
 .
Déterminer X pour t= 0.2s.
Partie B :
On suppose maintenant que le support est solidaire du carter d’une machine animé
d’un mouvement sinusoïdale verticale t
sin
b
x1 
 par rapport au repère (R0),
comme le montre la figure 13.4. On suppose que b est positif.
Figure 13.4 : Système est en mouvement forcé
 Ecrire l’équation de la masse par rapport à (R0).
 Montrer que l’équation différentielle peut s’écrire sous la forme suivante :
t
sin
b
C
X
x
Avec
t
sin
H
x
x
x
.
..









 

 Déterminer H et C, que représente X ?
67
Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
 Etudier la solution en régime permanent
)
t
sin(
B
)
t
(
X 
 

Avec B positif.
 Calculer le rapport
b
B
et 
tan en fonction de λ et
0


  .
 Tracer l’allure du graphe de B en fonction de μ tel que B=f ().
 On suppose que λ=0.5 :
Montrer que si μ est supérieur à une certaine valeur μ1, 1
b
B
 est inférieur à
10-2
. Calculer dans ce cas μ1.
 En déduire une condition pour que l’appareil puisse fonctionner en capteur
d’amplitude.
Solutions :
Partie A : Le support est immobile par rapport au repère (R0).
 A l’équilibre, l’abscisse x0 s’écrit comme suit :
)
a
l
(
k
mg
x
0
F 0
1
i
i 








 L’équation différentielle du mouvement est de forme :
En appliquant la loi dynamique
x
mg
))
a
l
(
x
(
k
x
m 

 






D’ou
X
x
X
x
où
'
d 




 

Alors :
0
kX
X
X
m 

 

 
 La nouvelle équation du mouvement s’écrit alors :
2
0
0
2
0
0
2
Avec
0
X
X
2
X
















 La résolution de cette équation différentielle :
68
Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
2
2
0
2
2
0
2
0
0
2
1
5
.
0
)
1
(
0
r
2
r























 La solution est de la forme :
2
0
0
t
1
X
B
X
A
Avec
)
t
sin
B
t
cos
A
(
e
)
t
(
X 0









 
 Le système a un mouvement amorti.
 La valeur de X est : X=0.15m
Partie B : Le support est mobile par rapport au repère (R0).
 La relation dynamique du mouvement :
t
sin
b
X
x
x
et
x
X
x
où
'
d
)
x
x
(
mg
))
a
l
(
x
x
(
k
x
m
2
1
1
1
1





























L’équation du mouvement devient alors :
b
H
Avec
t
sin
b
X
X
2
X
2
2
2
0
0








 


 La solution totale de l’équation différentielle en régime permanent est :
)
t
sin(
B
)
t
(
X
)
t
(
X p 
 


 En notation complexe on aura la forme suivante :
)
2
t
(
j
p Be
)
t
(
X
~
)
t
(
X
~


 



 En remplaçant dans l’équation différentielle, on obtient alors :
0
2
2
2
2
2
Avec
1
2
tan
)
2
(
)
1
(
b
B















 Les variations de B=f(μ) :
69
Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
2
1
si
2
1
1
0
0
d
dB
2
m
m
















Ainsi, on peut distinguer deux cas :

2
1

  Amortissement faible  Résonance

2
1

  Amortissement important
 On peut en déduire que :
b
B
0
B
0









 Pour =0.5, on aura :
05
.
7
où
'
d
10
1
)
1
(
si
10
1
b
B
2
pour
b
15
.
1
B
B
1
2
2
1
2
1
2
1
1
2
m
max




















 On peut conclure que l’appareil reproduit les oscillations du carter si la
pulsation ω est importante. Il fonctionne alors en capteur d’amplitude.
Problème 6:
On définit le modèle d’un oscillateur harmonique, figure 14.4, représentée par une
masse m placée dans un potentiel élastique du type :
2
2
1
kx
Ep 
Cette masse est soumise à une force de frottement visqueuse et dont le coefficient de
frottement est α.
Figure 14.4 : Modèle physique d’un amortisseur
70
Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Parti A ::
Dans le cas des oscillations libres
 Déterminer le Lagrangien du système.
 Etablir l’équation du mouvement.
 En déduire la solution générale avec les conditions initiales suivantes :
x(t=0)=0 et 0
v
)
0
t
(
x 

 .
Partie B:
On admet que les frottements existent, la masse m effectue des oscillations forcées
sous l’effet d’une force sinusoïdale de la forme :
t
cos
f
)
t
(
f 
 0
On admet que la vitesse du mobile est de forme :
)
t
cos(
v
)
t
(
v 0 
 

 Établir l’équation du mouvement.
 Résoudre l’équation différentielle en régime permanent.
 Déterminer l’impédance mécanique complexe définit comme rapport entre la
force appliquée et la vitesse du mobile.
 Comparer le résultat avec le système électrique.
Solutions :
Mode libre :
 Le Lagrangien du système s’écrit :
Pour l’énergie cinétique on a :
2
c x
m
2
1
E 

Et pour l’énergie cinétique on a
2
p kx
2
1
E 
71
Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Alors, le lagrangien du système s’écrit :
2
2
kx
2
1
x
m
2
1
L 
 
 L’équation du mouvement :
m
k
avec
0
x
x
0
kx
x
m 2
0
2
0 




 





 La solution générale est de la forme :
t
sin
v
)
t
(
x 0
0
0



Mode forcé :
 L’équation du mouvement s’écrit sous la forme:
)
t
(
f
kx
x
x
m 

 

 
D’où
m
k
m
2
avec
m
)
t
(
f
x
x
2
x
2
0
2
0









 


C’est une équation différentielle inhomogène linéaire, d’un mouvement force.
 La résolution de cette équation différentielle en régime permanent est :
)
t
(
j
e
p Ae
R
)
t
cos(
A
)
t
(
x
)
t
(
x 


 




 Soient A l’amplitude de la solution et  son argument.
En remplaçant dans l’équation différentielle et après le calcul, On obtient
Le module d’amplitude suivant :
2
2
2
0
2
0
)
2
(
)
(
m
f
)
(
A








Et la phase du mouvement comme suit :
2
0
2
2
tan








 Les variations de )
(
A  sont déterminées par :
2
2
r 2
0
d
)
(
dA










 
72
Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Cette pulsation est appelée pulsation de résonance.
 l’impédance complexe est définit comme suit :
)
t
(
v
)
t
(
f
Z
~
mécani 
En remplaçant dans l’équation du mouvement, on obtient:
)
k
m
(
j
Z
~
mécani


 


 Pour le système électrique, le résultat est donné comme suit:
)
C
1
L
(
j
R
Z
~
)
t
(
i
)
t
(
u
Z
~
ap
ind
électri
électri

 




 On conclue donc les équivalences entre le système mécanique et le système
électrique comme suit :
ap
ind
C
1
k
L
m
R




Problème 7:
Lorsqu’un moteur électrique fonctionne, il présente des vibrations naturelles qu’il est
nécessaire d’amortir pour éviter de les transmettre a son châssis. On prévoit donc un
système de suspension.
Le moteur est assimile au point matériel m de masse m pouvant se déplacer
parallèlement à l’axe vertical Oz. La suspension le reliant au châssis est modélisée par
un ressort de longueur à vide l0 et de raideur k en parallèle avec un amortisseur
exerçant sur le moteur une force de freinage z
fr u
z
f






Le châssis reste fixe dans un référencier galiléen et on note le champ de pesanteur g

73
Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 15.4 : Etude les vibrations d’un moteur
Mode A :
Le moteur ne fonctionne pas et il est immobile.
 Déterminer dans ce cas la longueur l du ressort. On prend la référence z=0 au
point m.
Mode B :
Le moteur étant toujours arrêté, on l’écarte de sa position d’équilibre et puis on le
laisse évoluer librement.
 Déterminer le Lagrangien du système.
 Établir l’équation différentielle du mouvement vérifiée par z(t).
On pose les constantes suivantes :
m
k
2
0 
 et
0
m
2 

 
 Donner la forme de la solution générale z(t) en fonction des paramètres ν et ω0,
on suppose que ν<1.
 Comment appelle-t-on ce régime ?
 Écrire l’expression de l’énergie totale ET en fonction de z(t) et
dt
)
t
(
dz
 Que vaut-t-il la valeur de l’expression
dt
dE T
. Le système est il conservatif ?
74
Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Mode C :
Le moteur fonctionne, et tout se passe comme s’il apparaissait une force
supplémentaire de forme : z
0 u
t
cos
F
)
t
(
F





 Établir la nouvelle équation du mouvement vérifiée par z(t)
 En régime permanent, on cherche des solutions de la forme
)
t
cos(
V
)
t
(
etV
)
t
cos(
z
)
t
(
z 


 


 0
0

Donner l’expression de la grandeur 
i
e
V
V 0

 Exprimer l’amplitude V0 en fonction de ω et des paramètres v, ω0 et F0/m.
 Donner l’allure de V0 (ω).
 Application numérique: la pulsation ω vaut 628 rad/s, le moteur a une masse
m=10kg. On dispose de deux ressorts de raideurs k1=4 106
n/m et k2=106
n/m.
lequel faut il choisir pour réaliser la suspension ?
Solutions :
Mode A :
Le système est en équilibre
 La longueur du ressort :
k
mg
l
l
0
F 0
1
i
i 







Mode B :
Le système est en mouvement amorti
 Le Lagrangien du système :
2
2
kz
2
1
z
m
2
1
L 
 
 L’équation différentielle :
0
kz
z
z
m
0
z
L
z
L
dt
d















D’ou :
0
2
0
2
0
0
m
2
m
k
Avec
0
z
z
2
z





 



 


 La résolution de l’équation du mouvement :
1
0
)
1
(
)
(
0
2
2
2
2
2
0
2
0
2
0
2
0
0
2

 







j
r
r






 



75
Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
 Le systeme a un mouvement oscillatoire amorti.
 La solution est de la forme :
)
t
cos(
Ae
)
t
(
z t
0




 
 l’énergie totale du système s’écrit sous la forme:
2
2
T kz
2
1
)
dt
dz
(
m
2
1
)
t
(
E 

A partir de l’équation du mouvement, on obtient :
0
z
dt
)
t
(
dE
]
z
kz
z
m
[
z 2
T





 
 





 Le systeme n’est conservatif. La diminution d’énergie totale est due au travail
des forces de frottement.
Mode C :
Le système est en mouvement forcé
 L’équation du mouvement s’écrit :
)
t
(
F
kz
z
z
m 

 

 
D’où :
m
)
t
(
F
z
z
2
z 2
0
0 

 
 


Avec :
0
2
0
m
2
m
k



 

 La solution de l’équation différentielle est :
)
t
(
z
j
)
t
(
z
j
)
t
(
z
)
t
(
z
Avec
e
V
R
)
t
cos(
V
)
t
(
V
)
t
(
z )
t
(
j
0
e
0








 






 
 En remplaçant dans l’équation du mouvement on obtient alors :
t
j
2
2
0
0
0
e
)
1
(
j
2
m
F
)
t
(
V 



 


76
Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
 Le module de la vitesse est de la forme :
2
2
2
0
2
2
0
0
0
)
1
(
)
2
(
m
F
)
(
V








 L’étude des variations du module de la vitesse :
0
r
max
0
0
V
)
(
V
0
d
)
(
dV











 Pour cette pulsation on a le phénomène de résonance.
 L’allure de la courbe V0(ω) est de forme :
Figure 16.4 : Phénomène de la résonance du moteur
 Application numérique :
02
01
01
02
02
0
02
2
max
2
02
2
r
01
0
01
1
max
1
01
1
r
)
(
V
)
(
V
m
2
F
)
(
V
m
k
m
2
F
)
(
V
m
k




















77
Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Problèmes supplémentaires
Problème 8 :
Soit un disque de masse négligeable enroulé par un fil inextensible et non glissant,
comme le montre la figure 17.4 ci-dessous :
Figure 17.4 : Mouvement forcé du disque
Mode libre :
Dans le cas des oscillations libres
 Déterminer le Lagrangien du système
 Etablir l’équation différentielle du mouvement.
 En déduire la pulsation propre
 Donner la solution générale avec les conditions suivantes :
0
)
0
t
( 

 , 0
)
0
t
( 
 

 .
Mode forcé :
On admet que les frottements existent, la masse m1 effectue des oscillations forcées
sous l’effet d’une force sinusoïdale :
t
cos
f
)
t
(
f 
 0
78
Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
 Etablir la nouvelle équation du mouvement.
 Déterminer le module de la solution permanente de l’équation différentielle.
 Quelle est la fréquence pour que le module de l’amplitude soit maximum.
 Donner la bande passante et le facteur de qualité Q pour les faibles
amortissements.
 Application numérique :
On donne m1=2Kg, m2=1Kg, k=10N/m et =0.1N.s/m. Calculer Q.
Problème 9:
Une machine mécanique tournante constitue des sources de vibrations très
courantes. De petites irrégularités dans la distribution des masses des parties en
rotation causent des niveaux vibratoires importants. On schématise une machine
de masse m comportant une masse m0 en rotation à une distance R de son
centre. Un guidage sans friction autorise seulement un mouvement dans la
direction x, comme le montre la figure 18.4. On considère la vitesse de rotation
R
 constante. On a t
sin
R
x R
R 
 .
Figure 18.4 : Excitation d’une machine suspendue par une masse en
rotation
 Etablir le Lagrangien du système
79
Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
 Ecrire l’équation différentielle du mouvement.
 On pose la variable :
0
r



On cherche des solutions de la forme :
)
t
cos(
A
)
t
(
x 
 

 Déterminer l’amplitude du déplacement en fonction de r.
 Interpréter le résultat.
Problème 10:
On se propose d’étudier le comportement vibratoire de matériaux en caoutchouc afin
de l’utiliser dans la construction, représenté dans la figure 19.4.
Figure 19.4: Modélisation physique du mouvement oscillatoire du caoutchouc
Nous assimilons l’élasticité du matériau à celle d’un ressort de raideur k et les pertes
énergétiques par frottement à celle ayant lieu dans un amortisseur de coefficient. Le
ressort ainsi considérés sont associés en parallèle. On néglige le poids du caoutchouc
devant les forces mise en jeu.
Partie A :
On place un bloc de masse m=1t sur le caoutchouc qui se comprime d’une distance d.
Après une compression supplémentaire, on relâche le système oscillé autour de sa
position d’équilibre qu’on le repère par la coordonnée y comme le montre la figure
20.4
 Déterminer le Lagrangien du système
80
Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
 Etablir l’équation différentielle du mouvement de la masse m
 Donner la solution générale de la solution y(t) sachant que le mouvement a un
mouvement oscillatoire amorti.
 L’intervalle de temps, t=0.2s qui sépare le premier et le sixième maximum.
correspond à la diminution d’amplitude de 60%.
Déterminer les valeurs de k et .
 On refait la même expérience avec un autre caoutchouc. On trouve
’=4.5103
Kg/s. Au bout de combien de temps, t’, obtient-on la même
diminution d’amplitude que dans l’expérience précédente ?
 Quel est le matériau le plus adéquat pour la construction ?
Figure 20.4: Mouvement oscillatoire du « caoutchouc+le bloc »
Partie B :
On prend dans cette partie un caoutchouc de caractéristiques physiques suivantes :
k=25106
N/m et =104
Kg/s qui sera utilisé dans la construction d’un pont d’autoroute,
de masse m=12.5t. On assimile l’effet du passage des véhicules sur le pont à celui
d’une force sinusoïdale F(t) d’amplitude F0=10kN et de pulsation ω, appliquée
perpendiculairement au pont comme le montre la figure 21.4
81
Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 21.4 : Modélisation physique du mouvement du pont
 Etablir le Lagrangien du système.
 Exprimer l’équation différentielle du mouvement du pont pour la coordonnée
y(t) donnant son déplacement par rapport à l’état d’équilibre.
 Déterminer l’expression de la solution y(t) en régime permanent.
 Déterminer la fréquence de résonance f0
 Donner l’expression de l’amplitude maximale à laquelle le pont peut vibrer.
 Quelle est la phase correspondante dans ce cas la ?
 Calculer l’énergie communiquée au pont pendant un intervalle de temps égale à
une période, lorsque le passage des véhicules le fait vibrer à la fréquence de
résonance. Interpréter le résultat.
82
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Chapitre 5 :
Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés
de liberté
83
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Rappels théoriques
On définit les systèmes à plusieurs degrés de libertés par les systèmes qui
nécessitent plusieurs coordonnées indépendantes pour spécifier leurs. Le nombre de
degré de liberté détermine les modes propres.
Il existe deux types de systèmes :
 Systèmes simples à plusieurs sous systèmes découplés comme le montre la
figure 1.5:
Figure 1.5 : mouvement oscillatoire non couple a deux degrés de liberté
 Il existe deux degrés de liberté : 2
1 x
,
x
 Le Lagrangien du système s’écrit alors :

 



2
1
i
2
i
i
2
i
2
1
i
i x
k
2
1
x
m
2
1
L 
 Les deux sous systèmes sont indépendants et découplés: Le système différentiel
s’exprime alors :



























0
x
k
x
m
0
x
k
x
m
0
x
L
x
L
dt
d
0
x
L
x
L
dt
d
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1






D’ou le systeme différentiel s’exprime :
1
1
2
02
1
1
2
01
2
2
02
2
1
2
01
1
m
k
,
m
k
avec
0
x
x
0
x
x



















84
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
 Les deux solutions des sous systèmes sont indépendantes de formes :







)
t
cos(
B
)
t
(
x
)
t
cos(
A
)
t
(
x
2
02
2
1
01
1




 Systèmes complexe à plusieurs sous systèmes couplés comme le montre la
figure 2.5:
Figure 2.5 : Mouvement oscillatoire d’un système couplé à deux degré de liberté
Le Lagrangien du système
Pour l’énergie cinétique on a s’écrit comme suit :
2
i
2
1
i
i
c x
m
2
1
E 



Pour l’énergie potentielle on a :





2
1
i
2
i
i
2
2
1
p x
k
2
1
)
x
x
(
k
2
1
E
D’où le Lagrangien s’écrit :

 





2
1
i
2
i
i
2
2
1
2
i
2
1
i
i x
k
2
1
)
x
x
(
k
2
1
x
m
2
1
L 
 Le système différentiel couplé devient alors :

































0
x
k
x
)
k
k
(
x
m
0
x
k
x
)
k
k
(
x
m
0
x
L
)
x
L
(
dt
d
0
x
L
)
x
L
(
dt
d
1
1
2
2
1
2
2
2
2
1
2
1
1
1
2
2
1
1






 La solution s’écrit sous la forme d’une superposition des deux modes propres,
comme suit :
85
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE











)
t
cos(
B
)
t
cos(
B
)
t
(
x
)
t
cos(
A
)
t
cos(
A
)
t
(
x
2
02
2
1
01
1
2
2
02
2
1
01
1
1








 Il existe plusieurs types de couplage :
Figure 3.5 : Couplage équivalent, Resistance-Force de frottement
Figure 4.5 : Couplage équivalent, Capacité-Ressort
86
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Applications
Problème 1 :
Partie1 :
On représente un système mécanique complexe, constitué par deux oscillateurs
harmonique couplé par ressort de raideur k, comme le montre la figure5.5:
Figure 5.5 : Mouvement oscillatoire couplé de deux ressorts
 Quel est le nombre de degré de liberté ?
 Déterminer le Lagrangien du système
 Etablir les équations différentielles du mouvement.
 En déduire les modes fondamentales
Partie2 :
Les deux sous systèmes sont identiques, On pose alors les paramètres suivants :
k1=k2=k et m1=m2=m, et on lance le système sans vitesses initiales avec les conditions
initiales suivantes: x1(t)=C, x2 (t)= 0.
 Etablir les nouvelles équations différentielles du mouvement.
 En déduire les pulsations propres
 Donner les solutions générales.
 Quelle est la nature du phénomène étudié ?
87
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Parie3 :
On impose une force sinusoïdale extérieure au premier sous système. De la forme
suivante :
t
cos
f
)
t
(
f 0 

 Déterminer les nouvelles équations du mouvement.
 En déduire le module des amplitudes.
 Quelles est la nature du phénomène étudié ?
Solutions :
Partie1 :
 Le nombre de degré de liberté du système est de 2
 Le Lagrangien du système est :
Pour l’énergie cinétique on a :
2
2
2
2
1
1
c x
m
2
1
x
m
2
1
E 
 

Et pour l’énergie potentielle on a :
2
2
2
2
1
1
2
2
1
p x
k
2
1
x
k
2
1
)
x
x
(
k
2
1
E 



Le Lagrangien s’écrit comme suit :

 





2
1
i
2
i
i
2
2
1
2
i
2
1
i
i x
k
2
1
)
x
x
(
k
2
1
x
m
2
1
L 
 Le système différentiel s’écrit :
























0
kx
x
)
k
k
(
x
m
0
kx
x
)
k
k
(
x
m
0
x
L
)
x
L
(
dt
d
0
x
L
)
x
L
(
dt
d
1
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1






 Les pulsations propres :
 On considère les solutions du système de type sinusoïdal :







)
t
(
j
2
)
t
(
j
1
p
p
Be
)
t
(
x
Ae
)
t
(
x




 En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient un
système linéaire suivant :
88
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE















0
kA
B
)
k
k
m
(
0
kB
A
)
k
k
m
(
2
2
p
2
1
2
p
1


 Le système admet des solutions non nulles si seulement si :
0
det 
D’où :
0
k
k
m
k
k
k
k
m
2
2
p
2
1
2
p
1











L’équation paramétrique s’écrit :
0
)
K
1
(
)
( 2
2
2
2
1
2
p
2
2
2
1
4
p 



 





Avec :
)
k
k
)(
k
k
(
k
K
m
k
m
k
2
1
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1




 

Ou K est appelée le coefficient du couplage
 Les deux pulsations propres sont :

















2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
p
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
p
1
K
4
)
(
2
1
2
K
4
)
(
2
1
2














Partie 2 :
 Les nouvelles équations du mouvement s’écrivent comme suit :









0
kx
kx
2
x
m
0
kx
kx
2
x
m
1
2
2
2
1
1




 Les pulsations propres :
 Les solutions du système sont de types sinusoïdaux :







)
t
(
j
2
)
t
(
j
1
p
p
Be
)
t
(
x
Ae
)
t
(
x




 En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient un
système linéaire symétrique suivant :













0
kA
B
)
k
2
m
(
0
kB
A
)
k
2
m
(
2
p
2
p


 Le système admet des solutions non nulles si seulement si :
0
det 
89
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
D’ou :
0
k
2
m
k
k
k
2
m
2
p
2
p









Alors on obtient l’équation paramétrique suivante :
0
k
)
k
2
m
( 2
2
2
p 


 
 Les deux pulsations propres sont :







m
k
3
m
k
2
p
2
2
p
1


 Les solutions générales :











)
t
cos(
B
)
t
cos(
B
)
t
(
x
)
t
cos(
A
)
t
cos(
A
)
t
(
x
p
2
2
p
1
1
2
p
2
2
p
1
1
1








 En appliquant les conditions initiales, on trouve :














t
2
sin
t
2
sin
C
)
t
(
x
t
2
cos
t
2
cos
C
)
t
(
x
p
2
p
1
p
2
p
1
2
p
2
p
1
p
2
p
1
1








 Le phénomène étudié est le battement ou modulation d’amplitude.
Figure 6.5 : Phénomène les battements où modulation d’amplitude
90
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Partie 3 :
 Les équations du mouvement s’écrivent comme suit :
 

























0
kx
kx
2
x
m
e
f
R
)
t
(
f
kx
kx
2
x
m
0
x
L
)
x
L
(
dt
d
0
x
L
)
x
L
(
dt
d
1
2
2
t
j
0
e
2
1
1
2
2
1
1





 
 Les solutions particulières sont :











)
t
(
j
p
2
2
)
t
(
j
p
1
1
p
p
Be
)
t
(
x
)
t
(
x
Ae
)
t
(
x
)
t
(
x




 En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient un
système linéaire forcé suivant :




j
j
2
p
0
2
p
e
B
B
~
Ae
A
~
Avec
0
A
~
k
B
~
)
k
2
m
(
f
B
~
k
A
~
)
k
2
m
(















 Les modules des amplitudes sont exprimés comme suit :











































)
)(
(
m
k
f
k
2
m
k
k
k
2
m
0
k
f
k
2
m
B
)
)(
(
)
m
k
(
m
f
k
2
m
k
k
k
2
m
k
2
m
0
k
f
A
2
p
2
2
2
p
1
2
2
0
2
p
2
p
0
2
p
2
p
2
2
2
p
1
2
2
0
2
p
2
p
2
p
0















 Les phénomènes étudiés sont :
 La résonance
p
2
p
1
quand
B
A



 








 Anti résonance.
m
k
quand
te
tan
cons
B
0
A







Problème 2 :
Partie 1 :
On considère deux circuits électriques )
C
,
L
,
R
( ap
ind couplés par une capacité
représentés par la figure 7.5 comme suit:
91
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Figure 7.5 : Deux circuits couplés par une capacité
 Quel est le nombre de degré de liberté ?
 Déterminer le Lagrangien du système.
 Donner les équations du mouvement
Partie 2 :
On néglige les résistances des deux circuits. On prend les nouvelles grandeurs
physiques telles que :
ind
ind
2
ind
1 L
L
L 
 et ap
ap
2
ap
1 C
C
C 
 et
ap
ind
2
0
C
L
1

 .
 Etablir les nouvelles équations différentielles du mouvement.
 En déduire les pulsations propres du système en fonction de 0.
 Donner les solutions générales.
 Quel est le modèle mécanique équivalent ?
Solutions :
Partie 1 :
 Le nombre de degré de liberté est 2 car les deux courants parcourus dans les
deux circuits sont différents.
 Le Lagrangien du système est exprimé comme suit :

 





2
1
i
2
i
iap
2
2
1
ap
2
i
2
1
i
iind q
C
1
2
1
)
q
q
(
C
2
1
q
L
2
1
L̂ 
92
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
 Le système différentiel :















0
q
C
1
q
)
C
1
C
1
(
q
L
0
q
C
1
q
)
C
1
C
1
(
q
L
1
ap
2
ap
ap
2
2
ind
2
2
ap
1
ap
ap
1
1
ind
1




Partie 2 :
 Les nouvelles équations du mouvement :













0
q
C
1
q
C
2
q
L
0
q
C
1
q
C
2
q
L
1
ap
2
ap
2
ind
2
ap
1
ap
1
ind




 Les pulsations propres :
 On considère les solutions du système de type sinusoïdal :









)
t
(
j
2
)
t
(
j
1
p
p
Be
)
t
(
q
Ae
)
t
(
q




 En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient un
système linéaire symétrique suivant :















0
A
C
1
B
)
C
2
L
(
0
B
C
1
A
)
C
2
L
(
ap
ap
2
p
ap
ap
ap
2
p
ind


 Le système admet des solutions non nulles si seulement si :
0
det 
D’où :
0
)
C
1
(
)
C
1
L
( 2
ap
2
ap
2
p
ind 


 
 Les deux pulsations propres sont :









ap
ind
2
p
2
ap
ind
2
p
1
C
L
3
C
L
1


 Les solutions générales :











)
t
cos(
B
)
t
cos(
B
)
t
(
q
)
t
cos(
A
)
t
cos(
A
)
t
(
q
p
2
2
p
1
1
2
p
2
2
p
1
1
1








93
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
 Le système mécanique équivalent est représenté par la figure 5.9 comme suit:
Figure 8.5 : Mouvement oscillatoire couplé
Problème 3 :
On a un système mécanique constitué par trois masses couplées par deux ressorts
identiques de constante de raideur k représenté dans la figure 9.5 comme suit:
Figure 9.5 : Mouvement oscillatoire à trois degrés de liberté
 Etablir le Lagrangien du système.
 Déterminer les équations différentielles du mouvement.
 En déduire les pulsations propres ainsi la nature du mouvement.
 Donner la matrice de passage.
 Donner les solutions générales.
Solutions :
 Le Lagrangien du système :
Pour l’énergie cinétique on a :
2
3
3
2
2
2
2
1
i
1
c x
m
2
1
x
m
2
1
x
m
2
1
E 

 


Pour l’énergie potentielle on a :
2
3
2
2
2
1
p )
x
x
(
k
2
1
)
x
x
(
k
2
1
E 



94
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
Le Lagrangien s’exprime alors :
2
3
2
2
2
1
2
i
3
1
i
i )
x
x
(
k
2
1
)
x
x
(
k
2
1
x
m
2
1
L 



 


 L’équation différentielle :



































0
kx
kx
x
m
0
kx
kx
kx
2
x
m
2
0
kx
kx
x
m
0
x
L
)
x
L
(
dt
d
0
x
L
)
x
L
(
dt
d
0
x
L
)
x
L
(
dt
d
2
3
3
3
1
2
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1









 Les pulsations propres :
 On considère les solutions du système de type sinusoïdal :













)
t
(
j
3
)
t
(
j
2
)
t
(
j
1
p
p
p
Ce
)
t
(
x
Be
)
t
(
x
Ae
)
t
(
x






 En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient un
système linéaire suivant :


















0
kB
C
)
k
m
(
0
kC
kA
B
)
k
2
m
2
(
0
kB
A
)
k
m
(
2
p
2
p
2
p



 Le système admet des solutions non nulles si seulement si :
0
det 
D’ou
0
]
k
)
k
m
)[(
k
m
( 2
2
2
p
2
p 




 

 Les pulsations propres sont :










m
k
2
0
m
k
2
p
3
2
p
2
2
p
1



 La matrice de passage s’écrit:












0
0
0
1
1
0
1
1
1
P
95
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
 La solution générale est :


























)
t
cos(
)
t
cos(
)
t
cos(
P
)
t
(
x
)
t
(
x
)
t
(
x
3
p
3
2
p
2
1
p
1
1
2
1






Problème 4 :
Sur un arbre OO’ horizontal et fixe, de masse négligeable, encastré à ses extrémités O
et O’, sont fixés trois disques (D1), (D2) et (D3) de centres respectifs O1, O2 et O3 et de
même moment d’inertie J par rapport à leur axe commun OO’. On désignera 1(t),
2(t) et 3(t), les angles angulaires de rotation de chacun des trois disques par rapport à
leur position de repos, figure 10.5:
Figure 10.5 : Mouvement oscillatoire couplés de trois disques de torsion
Les quatre partis OO1, O1O2, O2O3 et O3O’de l’arbre ont même constante de torsion C.
On posera la constante :
J
C
2
0 
 .
Régime libre :
 Déterminer le Lagrangien de ce système.
 Etablir les équations différentielles du second ordre vérifiées par les angles
1(t), 2(t) et 3(t).
 En déduire les trois pulsations propres 1p, 2p et 3p de ce système en fonction
de 0.
96
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
 Déterminer pour chaque des trois modes propres, les amplitudes angulaires des
disques D2 et D3 si l’amplitude angulaire du disque D1 est A= 1 radian.
 Calculer l’énergie mécanique totale ET de cette chaîne de trois disques, pour
chacun des modes propres, en fonction de C et de l’amplitude angulaire 10 du
disque D1.
Régime forcé :
On applique au seul disque (D1) un couple moteur de moment sinusoïdal, de pulsation
 réglable et d’amplitude 0.
)
t
cos(
)
t
( 0 

  ,
 Etablir en fonction du paramètre 2
0
)
(
X


 , les amplitudes angulaires A1, A2 et
A3 de chacun des disques en régime forcé.
 Pour quelles valeurs de X ce système est il en résonance ?
Solutions :
Régime libre :
 Le Lagrangien de ce système :
Pour l’énergie cinétique on a :
2
3
i
2
2
2
1
c J
2
1
J
2
1
J
2
1
E 

 

 


Pour l’énergie potentielle on a :
2
1
2
3
2
3
2
2
2
1
p C
2
1
C
2
1
)
(
C
2
1
)
(
C
2
1
E 




 





Le Lagrangien s’exprime alors :
2
1
2
3
2
3
2
2
2
1
2
i
3
1
i
C
2
1
C
2
1
)
(
C
2
1
)
(
C
2
1
J
2
1
L 





 





 


97
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
 Les équations différentielles sont :


































0
)
2
(
0
)
2
(
0
)
2
(
0
L
)
L
(
dt
d
0
L
)
L
(
dt
d
0
L
)
L
(
dt
d
2
3
2
0
3
3
1
2
2
0
2
2
1
2
0
1
3
3
2
2
1
1




























 Les pulsations propres :
 On considère les solutions du système de type sinusoïdal :













)
t
(
j
3
)
t
(
j
2
)
t
(
j
1
p
p
p
Ce
)
t
(
Be
)
t
(
Ae
)
t
(









 En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient un
système linéaire suivant :


















0
B
C
)
2
(
0
C
A
B
)
2
(
0
B
A
)
2
(
2
0
2
0
2
p
2
0
2
0
2
0
2
p
2
0
2
0
2
p










 Le système admet des solutions non nulles si seulement si :
0
det 
Avec
0
2
0
2
0
2
2
0
2
p
2
0
2
0
2
0
2
p
2
0
2
0
2
0
2
p





















D’ou :
0
]
)
2
(
)
2
)[(
2
2
( 2
2
0
2
2
p
2
0
2
0
2
p 



 




 Les pulsations propres sont :
2
2
2
2
2
0
p
3
0
p
2
0
p
1











 Les amplitudes angulaires des disques D2 et D3
3
2
1
2
0
p
3
p
3
2
1
2
0
p
2
p
2
3
2
0
p
1
p
2
2
2
2
2
2
2
2
0
2





































98
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
 L’énergie mécanique totale ET :
2
1
2
3
2
3
2
2
2
1
2
i
3
1
i
T C
2
1
C
2
1
)
(
C
2
1
)
(
C
2
1
J
2
1
E 





 





 


Régime forcé :
 Les amplitudes angulaires A1, A2 et A3 :







































0
)
2
(
0
)
2
(
)
t
cos(
)
(
C
C
J
0
L
)
L
(
dt
d
0
L
)
L
(
dt
d
M
L
)
L
(
dt
d
2
3
2
0
3
3
1
2
2
0
2
0
2
1
1
1
3
3
2
2
i
ext
1
1































 En régime forcé les solutions particulières son t de la forme:








t
j
3
3
t
j
2
2
t
j
1
1
e
A
)
t
(
e
A
)
t
(
e
A
)
t
(






 En remplaçant dans le système différentiel, on obtient le résultat
suivant :




























)
X
2
2
)(
X
2
2
)(
X
2
(
1
C
A
)
X
2
2
)(
X
2
2
(
1
C
A
)
X
2
2
)(
X
2
2
)(
X
2
(
)
X
3
)(
X
1
(
C
A
0
3
0
2
0
1



 Ce système entre en résonnance pour les valeurs de X, comme suit :
2
2
X
2
2
X
2
X





Problème 5 :
On considère trois pendules simples identiques, de masses m, de longueur l, présentés
dans la figure 11.5. Les masses sont reliées entre elles par l’intermédiaire de deux
ressorts identiques, de raideur k. A l’équilibre, les pendules sont verticaux, les trois
masses sont équidistantes sur une même, et les ressorts ont leur longueur naturelle. Le
99
Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
Dr Fouad BOUKLI HACENE
système en mouvement est défini, à l’instant t, par les élongations angulaires θ1, θ2, θ3
des pendules avec la verticale descendante.
On posera les constantes suivantes :
m
k
2
0 
 et
l
g
2
0 
 .
Figure 11.5 : Mouvement oscillatoire couplés de trois pendules
 Déterminer le Lagrangien du système
 Etablir les équations différentielles du second ordre vérifiées par les élongations
angulaires θ1(t), θ2(t), et θ3(t) pour les petites oscillations du système.
 Déterminer les pulsations propres du système.
 application numérique :
On prend : m=1kg, k=10N/m ; l=1m, g=10m s-2
. Calculer les pulsations
propres.
 Déterminer le rapport des amplitudes angulaires
A
B
et
A
C
pour chacun des
modes propres de ce système.
Solutions :
 Le Lagrangien du système :
Le système a trois degrés de liberté représentés par : θ1, θ2, θ3.
L’énergie cinétique s’exprime:
2
3
2
2
2
2
2
i
2
c ml
2
1
ml
2
1
ml
2
1
E 

 

 


Tome 1 vibrations
Tome 1 vibrations
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Tome 1 vibrations
Tome 1 vibrations
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Tome 1 vibrations

  • 1. République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l’Enseignement supérieur et de La Recherche Scientifique Université : Hassiba BENBOUALI de CHLEF Faculté : Sciences Département : Physique Domaine : ST-SM TOME 1: VIBRATIONS Rappels de Cours Problèmes posés aux concours d’entrée aux Grandes Ecoles Scientifiques Module : Physique 03 Niveau : 2ième Année Licence Présenté par: Dr Fouad BOUKLI HACENE Année Universitaire : 2014 /2015
  • 2. DEDICACES Je dédie ce travail en signe de respect et de reconnaissance à:  Mes chers parents pour tous les sacrifices qu'ils ont consentis, pour tous les encouragements ainsi que pour leur soutient moral et matériel qui m'a permis d’achever ce travail. Je le dédie également à:  Ma très chère femme et mes chers enfants  Mes chers frères et sœurs  Mes oncles et tantes  Toute ma famille et mes proches
  • 3. Sommaire  Avant propos  Nomenclature  Sommaire TOME 1 : VIBRATIONS  Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations. 1  Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté. 9  Chapitre 3 : Mouvement oscillatoire amorti à un degré de liberté 38  Chapitre 4 : Mouvement oscillatoire forcé à un degré de liberté. 50  Chapitre 5 : Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté. 82  Références bibliographiques
  • 4. Nomenclature ) t ( p Coordonnées généralisées T E Energie totale du système c E Energie Cinétique du système c E Energie Cinétique moyenne du système p E Energie potentielle su système L Lagrangien du système S Action du système exe F  Forces extérieures appliquées au système exe M  Moments extérieurs appliqués au système 0  Pulsation propre du mouvement libre A Amplitude  Déphasage 0 T Période propre du mouvement libre k Constante de raideur du ressort C Constante de torsion J Moment d’inertie R Rayon d’un disque m Masse d’un système i x Coordonnées du système V  Vitesse du déplacement
  • 5.  Masse volumique l Longueur du ressort 0 l Longueur du ressort à vide 0 P Pression du gaz à l’équilibre 0 V Volume du gaz à l’équilibre dx Tranche d’élément entre les positions x et x+dx ap C Capacité électrique ind L Capacité électrique q Charge qui circule dans le circuit ) t ( u Tension d’alimentation fr f  Force de frottement  Coefficient de frottement  Facteur d’amortissement  Pseudo Pulsation du mouvement faiblement amorti T Pseudo Période du mouvement faiblement amorti ) t ( f Force extérieure appliquée au système  Pulsation Force extérieure appliquée au système ) t ( pg Solution générale du mouvement force ) t ( pp Solution particulière r  Pulsation de résonance du mouvement forcé 2 1 ,  Pulsation de coupure en régime forcé   Bande passante
  • 6. Q Facteur de qualité Z ~ Impédance  Masse linéique de la corde  Masse surfacique T Tension de la corde  Tension linéaire E Constante de Young w  Longueur d’onde 0 k Vecteur d’onde V Vitesse de propagation s  Coefficient de compressibilité
  • 7. Avant propos Ce document a été destiné aux étudiants de deuxième année des filières scientifiques et techniques des universités et des écoles d’ingénieurs d’Algérie. Il répond au programme officiel du module « Vibrations et Ondes mécaniques » enseignés en deuxième année des filières Sciences et techniques et Sciences de la matière. Ce manuel contient une série de problèmes liés aux phénomènes de vibrations et de propagation des ondes mécaniques avec un rappel de cours. Le manuscrit est divisé en deux Tomes, vibrations et ondes mécaniques réparties en Huit chapitres. Le premier tome comporte cinq sections. La première porte sur l’utilisation du formalise de Lagrange pour décrire les oscillations des systèmes physiques. L’étude des oscillations linéaires (de faible amplitude) libres des systèmes à un degré de liberté est présentée dans le chapitre deux. Le troisième chapitre traite le mouvement amorti qui prend en compte les forces de frottements de viscosité proportionnelles à la vitesse du mobile. La notion de résonance consacrée aux oscillations forcées est présentée au quatrième chapitre. Le cinquième chapitre traite les vibrations aux plusieurs degrés de liberté. Les analogies entre les systèmes électriques et mécaniques sont présentées dans les cinq chapitres. Le deuxième tome du programme est consacré aux problèmes d’ondes mécaniques. Cette partie contient trois chapitres. Le premier introduit les généralités des phénomènes liés à la propagation des ondes mécaniques. Le deuxième chapitre traite la propagation des ondes mécaniques dans différents les solides. Le dernier chapitre est consacré à la propagation des ondes mécaniques dans les fluides. Dr Fouad BOUKLI HACENE
  • 8. 1 Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations Dr Fouad BOUKLI HACENE TOME 1 VIBRATIONS Chapitre 1: Généralités sur les oscillations
  • 9. 2 Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations Dr Fouad BOUKLI HACENE Rappels théoriques  La vibration est un phénomène physique oscillatoire d’un corps en mouvement autour de sa position d’équilibre.  Parmi les mouvements mécaniques les plus variés, il existe des mouvements qui se répètent : les battements du cœur, le mouvement d'une balançoire, le mouvement alternatif des pistons d'un moteur à explosion. Tous ces mouvements ont un trait commun : une répétition du mouvement sur un cycle.  Un cycle est une suite ininterrompue de mouvements ou de phénomènes qui se renouvellent toujours dans le même ordre. Prenez à titre d'exemple le cycle à quatre temps d'un moteur à explosion. Un cycle complet comprend quatre étapes (admission, compression, explosion, échappement) qui se répètent durant un cycle moteur.  On appelle mouvement périodique un mouvement qui se répète et dont chaque cycle se reproduit identiquement. La durée d'un cycle est appelée période.  Un mouvement périodique particulièrement intéressant dans le domaine de la mécanique est celui d'un objet qui se déplace de sa position d'équilibre et y revient en effectuant un mouvement de va-et-vient par rapport à cette position.  Ce type de mouvement périodique se nomme oscillation ou mouvement oscillatoire. Les oscillations d'une masse reliée à un ressort, le mouvement d'un pendule ou les vibrations d'un instrument à corde sont des exemples de mouvements oscillatoires.  Tout système mécanique, incluant les machines industrielles les plus complexes, peut être représenté par des modèles formés d’un ressort, un amortisseur et une masse. Le corps humain, souvent qualifié de "belle mécanique", est décomposé à la figure 1.1 en plusieurs sous-systèmes "masse- ressort-amortisseur" représentant la tète, les épaules, la cage thoracique et les jambes ou les pieds.
  • 10. 3 Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations Dr Fouad BOUKLI HACENE Figure 1.1 : Modélisation masse-ressort-amortisseur de l’homme.  Pour comprendre le phénomène vibratoire, on associe à tous les systèmes physiques un système "masse-ressort" qui constitue un excellent modèle représentatif pour étudier les oscillations comme suit, figure 2.1 : Figure 2.1: Schéma masse-ressort F(t) s’appelle la force de rappel qui est proportionnelle à l’allongement x(t). La constante k est appelée la constante de raideur.
  • 11. 4 Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations Dr Fouad BOUKLI HACENE  Il existe deux autres configurations pour le système masse-ressort, figure 3.1 : Figure 3.1 : Configurations pour le système masse-ressort  La représentation de plusieurs ressorts se présente en deux cas :  En parallèle, on a la figure 4.1 : Figure 4.1 : Ressorts en parallèles La raideur équivalente est la somme des raideurs k1 et k2 telle que : 2 1 k k keq    En série, on a la figure 5.1 :
  • 12. 5 Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations Dr Fouad BOUKLI HACENE Figure 5.1 : Ressorts en séries La raideur équivalente pour les constantes k1 et k2 telle que : 2 1 1 1 1 k k keq    Un système physique oscillant est repéré par la coordonnée généralisée p qui est définit par l’écart par rapport à la position d’équilibre stable.  On définit q le nombre de degré de liberté par le nombre de mouvements indépendants d’un système physique qui détermine le nombre d’équations différentielles du mouvement.  L’énergie cinétique d’un système mécanique s’écrit sous la forme : 2 i i 1 n c p m 2 1 E      L’énergie potentielle d’un système mécanique s’écrit à partir de développement limité de Taylor sous la forme: ... p p E 6 1 p p E 2 1 p p E ) 0 ( E E 3 0 p 3 p 3 2 0 p 2 p 2 0 p p p p                La valeur p=0 correspond à la position d’équilibre du système caractérisée par : 0 p E 0 p i p    
  • 13. 6 Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations Dr Fouad BOUKLI HACENE  Il existe deux types d’équilibre :  Equilibre stable, représenté par la figure 6.1 : Dans ce cas la, La condition nécessaire est que : 0 p E 0 p 2 p 2     Figure 6.1: Equilibre stable  Equilibre instable représenté par la figure 7.1 : Dans ce cas la, La condition nécessaire est que 0 p E 0 p 2 p 2     Figure 7.1: Equilibre instable
  • 14. 7 Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations Dr Fouad BOUKLI HACENE  Le mouvement oscillatoire est dit linéaire si cet écart est infinitésimal. A cet effet l’énergie potentielle prend la forme quadratique en fonction de l’écart par rapport à la position d’équilibre représentée comme suit: 2 0 2 2 2 1 p p E E p p p     La constante 2 2 p Ep   est appelée la constante de rappelle. Ainsi ; la force de rappel prend la forme linéaire en fonction de l’allongement et opposée au mouvement telle que: p p E t F p p   0 2 2 ) (       L’équation du mouvement pour un système conservatif peut être déterminée par trois méthodes :  Principe de la conservation d’énergie totale : 0 tan      dt dE te Cons E E E T p c T Où T E est appelée l’énergie totale du système.  La loi dynamique de Newton : i 1 n i i a m F      Où i a  est appelée l’accélération des composantes du système.  Méthode de Lagrange-Euler: te tan Cons E E ) p L(p, p c     Où L est le Lagrangien du système. Dans le cas d’un système dit conservatif, on a les forces dérivent d’un potentiel.
  • 15. 8 Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations Dr Fouad BOUKLI HACENE On définit l’action du système comme la sommation, entre l’intervalle du temps,   1 0 t , t le long du trajet du système, de la différence entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle.   1 0 t t )dt p L(p,   La détermination du trajet se fait par une méthode variationnelle. Cette méthode aboutit aux équations d'Euler-Lagrange qui donnent des chemins sur lesquels l'action est minimale.  En appliquant le principe de moindre action, 0   , on obtient l’équation d’Euler- Lagrange pour un système conservatif comme suit : n , 1 i 0 ) p L ) p L ( dt d i i          L’équation du mouvement pour un système dissipatif (non conservatif) peut être déterminée comme suit :  Système en translation : n , 1 i F ) p L ) p L ( dt d ext i i           Où ext F  sont les forces extérieures appliquées au système.  Système en rotation n , 1 i M ) p L ) p L ( dt d ext i i           Où ext M  sont les moments extérieurs appliqués au système. Dans ce cas les forces ne dérivent pas d’un potentiel.
  • 16. 9 Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté
  • 17. 10 Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Rappels théoriques Un système isolé oscillant à un degré de liberté est déterminé par la coordonnée généralisée p qui est l’écart par rapport à l’équilibre stable.  On définit l’oscillation harmonique par l’équation différentielle suivante : 0 ) t ( p ) t ( p 2 0     Où ω0 est appelée la pulsation propre du système.  On définit la période propre T0 comme suit : 0 0 2 T     La solution de cette équation différentielle est de forme sinusoïdale tel que : ) t cos( A ) t ( p 0     Où A représente l’amplitude des oscillations et ϕ est le déphasage. Les constantes A et ϕ sont déterminées par les conditions initiales suivantes :        0 0 p ) 0 t ( p p ) 0 t ( p   A- Réponse de la position B- Réponse de la vitesse Figure 1.2 : Mouvement oscillatoire libre
  • 18. 11 Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE  Il faut signaler que toutes les oscillations de faible amplitude autour de la position d’équilibre peuvent être assimilées à des mouvements linéaires et l’énergie potentielle peut s’exprimer sous forme quadratique de la coordonnée généralisée p.  En revanche, au-delà d’une certaine amplitude l’oscillation devient non linéaire.  Quelques exemples d’applications:  Ressort : Figure 2.2 : Mouvement oscillatoire d’un ressort Le vecteur de position est égal à : i x v i x m o         L’énergie cinétique s’écrit : 2 2 c x m 2 1 mv 2 1 E    L’énergie potentielle pour des petites oscillations, s’écrit sous la forme: 2 p kx 2 1 E  Alors, le Lagrangien du système est de la forme: 2 2 2 1 2 1 kx x m E E L p c     
  • 19. 12 Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE L’équation de mouvement est de la forme : kx x L x m x L 0 x L ) x L ( dt d                  D’ou 0 x x m 0 kx x m 2 0           La pulsation propre est égale : m k 2 0   La solution de l’équation différentielle s’écrit alors : ) cos( ) ( 0     t A t x  Pendule simple : Figure 3.2 : Mouvement Oscillatoire d’un pendule simple Le vecteur de position s’exprime comme suit:                             sin l y cos l x v cos l y sin l x m o       D’où :  2 2 2 2 l y x v        L’énergie cinétique s’écrit : 2 2 2 c ml 2 1 mv 2 1 E     Pour l’énergie potentielle on a:  cos mgl Ep  
  • 20. 13 Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Alors, le Lagrangien du système s’écrit :   cos mgl ml 2 1 E E L 2 2 p c      L’équation de mouvement pour des petites oscillations, est :       sin mgl L ml L 0 L ) L ( dt d 2                  D’ou :        sin 0 mgl ml2   Donc l’équation du mouvement s’exprime comme suit : 0 0 l g 2 0               La pulsation propre est égale à : l g 2 0   La solution de l’équation différentielle est de la forme : ) cos( ) ( 0     t A t x  Système de torsion : Un corps rigide de moment d’inertie J0 oscille autour d’un axe avec une constante de torsion kt Figure 4.2 : Mouvement oscillatoire de torsion L’énergie cinétique s’écrit : 2 0 c J 2 1 E   
  • 21. 14 Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Pour l’énergie potentielle on a : 2 t p k 2 1 E   Le Lagrangien du système s’écrit alors: 2 t 2 0 p c k 2 1 J 2 1 E E L        L’équation différentielle s’écrit :       t 0 k L J L 0 L ) L ( dt d                  D’où : 0 J k 0 t      La pulsation propre s’écrit alors : 0 t 2 0 J k   La solution de l’équation différentielle est de la forme : ) t cos( A ) t ( 0      Quelques exemples d’applications qui décrivent les oscillations de torsion reportés dans la figure 5.2.
  • 22. 15 Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Figure 5.2 : mouvement oscillatoire de torsion d’un pont
  • 23. 16 Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Applications Problème 1: Soient les systèmes mécaniques suivants : o Une poulie de masse M, de moment d’inertie J, et de rayon R, suspendue au point O par un ressort de raideur k. Le fil inextensible glisse sur la poulie sans frottement relié par une masse m, figure 6.2 o Un système de bras rigidement liés et tournant dans le plan de la figure autour du point fixe O. A l’équilibre le bras L3 est vertical, figure 7.2. o Un système hydraulique de forme U constitué de deux tuyaux cylindriques de sections S1, S3 reliés par un autre cylindre de section S2 et de longueur B qui contient un liquide de masse volumique. Le système est équivalent à un ressort de raideur ke et de masse Me. A l’équilibre le liquide a la hauteur H, figure 8.2. Figure 6.2: Mouvement oscillatoire de la polie
  • 24. 17 Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Figure 7.2: Mouvement oscillatoire du bras Figure 8.2: Mouvement oscillatoire d’un liquide dans un tube Dans le cas des oscillations linéaires, déterminer pour chaque système : Le nombre de degré de liberté.  L’énergie cinétique, l’énergie potentielle. En déduire le Lagrangien.  L’équation différentielle du mouvement.  La période propre.
  • 25. 18 Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Solutions :  Figure 6.2: La figure 6.2-a représente l’état d’équilibre du système et la figure 6.2-b représente l’état du système en mouvement. Les paramètres, (X01, X02) et (X1, X2) représentent respectivement les positions des masses M et m en état d’équilibre et en mouvement. Le nombre de degré de liberté : La longueur du fil l est la même en mouvement et en équilibre tel que: En équilibre : ) X X ( R X D l 01 02 01       En mouvement : ) X X ( R X D l 1 2 1       Apres l’égalité des deux équations, on obtient : dépendants sont x , x x 2 x 2 1 1 2   Le nombre de degré de liberté est alors égal à 1 qui représenté par x1.
  • 26. 19 Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE  Le Lagrangien est : L’énergie cinétique s’exprime: 2 2 2 1 2 1 c x m 2 1 J 2 1 x M 2 1 E        Pour l’énergie potentielle: 2 1 p kx 2 1 E  Le Lagrangien s’écrit alors : 2 1 2 1 2 p c kx 2 1 x ) R J m 2 M ( 2 1 E E L         L’équation différentielle s’exprime comme suit: 0 x ) R J m 4 M k ( x 0 x L ) x L ( dt d 1 2 1 1 1               D’où l’équation du mouvement s’écrit : 0 x x 0 x ) R J m 4 M k ( x 1 2 0 1 1 2 1             Avec : 2 2 0 R J m 4 M k      La période propre T0 : 2 O R J m 4 M k 2 T    
  • 27. 20 Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Figure 7.2:  Le nombre de degré de liberté : On définit les petits déplacements comme suit : dépendants sont x , x , x l x , l x , l x 3 2 1 3 3 2 2 1 1        Le nombre de degré de liberté est égal à 1, qui est représenté par θ  Le Lagrangien du système : Pour l’énergie cinétique on a : 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 2 i i 1 i c l m 2 1 l m 2 1 l m 2 1 x m 2 1 E              L’énergie potentielle s’exprime:    cos gl m kl 2 1 kl 2 1 E 3 3 2 2 2 2 2 1 p    Le Lagrangien s’écrit alors :    cos gl m ) l ( k 2 1 l m 2 1 E E L 3 3 2 2 1 i i 3 1 i 2 i 2 i i p c          
  • 28. 21 Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE  L’équation différentielle est de la forme: 0 0 ) l m mgl kl kl ( 0 L ) L ( dt d 2 0 3 1 i 2 i i 1 2 1 2 2                             Avec :      3 1 i 2 i i 1 2 1 2 2 2 0 l m mgl kl kl   La période propre T0 :      1 i 2 i i 1 2 1 2 2 O l m mgl kl kl 2 T  Figure 8.2:
  • 29. 22 Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE  Le nombre de degré de liberté : On a la conservation du volume d’eau déplacé dans le tube en forme U D’où, s dépendante sont x x x s coordonnée les x S x S x S 3 2 1 3 3 2 2 1 1 , ,    Donc le nombre de degré de liberté est égal a , qui est représenté par x1.  Le Lagrangien du système: A partir de L’énergie cinétique, on calcule la masse équivalente du système: 2 1 e 3 1 i 2 i i c x M 2 1 x m 2 1 E       D’où :              3 3 2 2 1 1 2 1 e 3 1 2 1 1 2 1 hS m , BS m , hS m Avec x M ) S S S S h B 1 ( hS x       Après l’identité, on déduit la masse équivalente du système comme suit : ) S S S S h B 1 ( hS M 3 1 2 1 1 e     On calcule la constante de rappelle à partir de l’énergie potentielle, on a alors : 1 3 1 1 3 1 1 1 1 e 2 1 e p x ) S S 1 ( gh S ) x x ( g S P S x k F x k 2 1 E           Après l’identité, on détermine la constante de raideur équivalente du système comme suit : 3 1 1 e S S 1 ( gh S k   Le Lagrangien du système s’écrit alors : 2 1 e 2 1 e 1 i 2 i i 2 i i 1 i p c x k 2 1 x M 2 1 x k 2 1 x m 2 1 L E E L              L’équation différentielle est de la forme : 0 x x 0 x ) M k ( x 1 2 0 1 1 e e 1          
  • 30. 23 Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE  La pulsation propre ω0 est égale à : ) S S S S h B 1 ( hS ) S S 1 ( gh S M k 3 1 2 1 1 3 1 1 e e 2 0        Problème 2: On modélise le mouvement d’un baffe d’une radio par un résonateur d’HELMOTZ, présenté comme un gaz parfait de pression P0, de volume V0 à l’équilibre thermique, enfermé dans une enceinte reliée par un piston de masse m qui oscille sans frottement suivant l’axe Ox comme le montre la figure (9.2)ci-dessous : Figure 9.2 : Modélisation physique du mouvement d’un baffe-Résonateur d’Helmholtz L’ensemble du système évolue en opération adiabatique.  Déterminer l’équation différentielle du mouvement en appliquant la loi fondamentale de la dynamique.  En déduire la pulsation propre du système et la solution générale.
  • 31. 24 Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Solutions :  En appliquant la méthode des forces on obtient :             1 i rap i x m P S Ox : Sur a m F P a m F         Puisque l’opération est adiabatique, on a: Sx V P P V V P P te tan cons c PV 0 0 0 0                L’équation différentielle s’écrit alors : 0 x x 0 x ) m V S P ( x 2 0 0 2 0             La pulsation propre est de la forme : m V S P 0 2 0 2 0     La solution générale est de la forme: ) t cos( A ) t ( x 0     Problème 3: Soient les systèmes mécaniques constitués par une tige de masse négligeable, de longueur l reliée par un ressort de raideur k représentés dans les figures 10.2 : A-B-C comme suit:
  • 32. 25 Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE (A) (B) (C) Figure 10.2 : Couplage Pendule simple-Ressort Pour des petites oscillations, déterminer pour chaque système de la figure (10.2):  Le Lagrangien.  L’équation différentielle du mouvement.  La pulsation propre et la solution générale.  Interpréter les résultats. Solutions : Figure (10.2) : Système A : Pour les faibles oscillations, on a la relation suivante :  a x  Les deux variables x, θ sont linéairement indépendant, d’où le nombre de degré de liberté est égale à 1, représenté la variable θ
  • 33. 26 Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE  L’énergie cinétique : On calcule le vecteur de position et la vitesse de la masse m :                                sin l y cos l x m o V cos l y sin l x m o m         L’énergie cinétique s’écrit : 2 2 2 m c ml 2 1 mV 2 1 E     L’énergie potentielle s’exprime comme suit :   a x avec cos mgl kx 2 1 E 2 p     Le Lagrangien s’écrit alors :    cos mgl ) a ( k 2 1 ml 2 1 E E L 2 2 2 p c        L’équation différentielle du mouvement est : 0 ) ml mgl ka ( 0 L ) L ( dt d 2 2                   La pulsation propre est égale à : 2 2 2 0 ml mgl ka     La solution générale est de la forme: ) t cos( A ) t ( 0     
  • 34. 27 Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Système B :  L’énergie cinétique On calcule le vecteur de position et la vitesse de la masse m :                                sin l y cos l x m o V cos l y sin l x m o m         D’où l’énergie cinétique s’exprime comme suit : 2 2 2 m c ml 2 1 mV 2 1 E     L’énergie potentielle pour le deuxième système est égale à :   a x avec cos mgl kx 2 1 E 2 p     Le Lagrangien s’écrit alors :      cos mgl ) a ( k 2 1 ml 2 1 E E ) , ( L 2 2 2 p c         L’équation différentielle du mouvement est : 0 ) ml mgl ka ( 0 L ) L ( dt d 2 2                   La pulsation propre est : 2 2 2 0 ml mgl ka   
  • 35. 28 Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE  La solution générale est de la forme: ) t cos( A ) t ( 0      Système C:  L’énergie cinétique                                sin l y cos l x m o V cos l y sin l x m o m         D’où l’énergie cinétique s’écrit comme suit : 2 2 2 m c ml 2 1 mV 2 1 E     L’énergie potentielle s’écrit : 2 p kx 2 1 E   Le Lagrangien s’écrit alors : 2 2 2 p c ) sin a ( k 2 1 ml 2 1 E E L         L’équation différentielle du mouvement est : 0 ml ka 0 L ) L ( dt d 2 2                  La pulsation propre est :
  • 36. 29 Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE 2 2 2 0 ml ka    La solution générale est de la forme: ) t cos( A ) t ( 0      Problème 4: On considère un fléau constitué d’une tige métallique de masse négligeable, de longueur l portant deux masses m et M, tournant sans frottement autour de son axe au point fixe O comme le montre la figure 11.2 A l’équilibre la barre est horizontale. (A) Etat d’équilibre (B) Etat en mouvement Figure 11.2 : Modèle physique du Fléau Déterminer:  La condition d’équilibre et l’allongement du ressort.  Le Lagrangien du système  L’équation différentielle du mouvement,  La pulsation propre et la période propre.  La solution générale avec les conditions initiales suivantes : 0 ) 0 t ( x   et 0 * v ) 0 t ( x  
  • 37. 30 Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE  Application numérique : On prend : m=M=1Kg, k=20N/m Solutions :  Le Lagrangien : On a les déplacements infinitésimaux comme suit : dépandants sont x , x 4 l 3 x , 4 l x 2 1 2 1      On a donc un seul degré de liberté représenté par θ. L’énergie cinétique s’exprime :     4 l 3 x , 4 l x avec ) l 4 3 ( M 2 1 ) l 4 1 ( m 2 1 x M 2 1 x m 2 1 E 2 1 2 2 2 2 2 1 c           L’énergie potentielle s’écrit : 2 2 p ) 4 l ( k 2 1 ) 4 l ( k 2 1 E      Le Lagrangien s’écrit alors : 2 2 2 p c ) 4 l ( k ) l 4 3 ( M 2 1 ) l 4 1 ( m 2 1 E E L           D’où : 2 2 2 ) 4 l ( k ) m M 9 ( 16 l 2 1 ) , ( L           L’équation différentielle du mouvement : 0 M 9 m k 2 0 L ) L ( dt d                   Respectivement, la pulsation propre ω0 et la période propre T0 sont de la forme : M 9 m k 2 2 T et M 9 m k 2 O 2 0        La solution générale est de la forme: ) t cos( A ) t ( 0     
  • 38. 31 Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Problème 5 : En physique, un pendule de torsion est un dispositif constitué d'une barre horizontale, de longueur l de moment d’inertie J0, fixée à un support par l'intermédiaire d'un fil de torsion. Ce fil d'acier exerce un couple de rappel, proportionnel à l'angle de torsion. On appelle D la constante de torsion du fil. Sur la barre, on positionne deux masselottes identiques m de façon symétrique comme le montre la figure 12.2. Figure 12.2 : Mouvement oscillatoire d’un Pendule de Torsion  Déterminer le Lagrangien du système  Etablir l’équation différentielle du mouvement  En déduire la pulsation propre et la solution générale Solutions :  Le Lagrangien du système : L’énergie cinétique s’exprime: 4 l m 2 J J avec J 2 1 E 2 0 2 c     
  • 39. 32 Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Pour l’énergie potentielle on a: 2 p D 2 1 E   Le Lagrangien s’écrit alors : 2 2 p c D 2 1 J 2 1 E E L         L’équation du mouvement est de la forme: 0 0 J D 0 L ) L ( dt d 2 0                          La pulsation propre est égale à : J D 2 0   La solution générale est de la forme : ) t cos( A ) t ( 0      Problème 6 : Soit un disque de masse M, de moment d’inertie J lié par deux ressorts, l’un au centre O, l’autre au point A distant de (R/2) du point O se glissant sans frottement suivant l’axe Ox comme le montre la figure 13.2 : Figure 13.2 : Mouvement oscillatoire d’un disque  Etablir le Lagrangien du système.  Déterminer l’équation différentielle du mouvement  En déduire la pulsation propre du système ainsi que la solution générale
  • 40. 33 Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Solutions : Figure 13.2-a : Etat d’équilibre Figure 13.2-b : Etat en mouvement  Le degré de liberté : On a le déplacement infinitésimal comme suit dépendants sont , x R x     Le système a un seul degré de liberté représenté par x  Le Lagrangien du système : L’énergie cinétique s’exprime:   R x avec x M 2 1 J 2 1 E 2 2 c      L’énergie potentielle s’exprime :
  • 41. 34 Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE 2 2 p ) 2 R x ( k 2 1 ) x ( k 2 1 E      Le Lagrangien du système s’écrit alors comme suit : 2 2 2 kx 4 13 2 1 x ) R J M ( 2 1 ) x , x ( L       L’équation différentielle s’écrit sous la forme : 0 x x 0 x R J M k 4 13 x 0 x L ) x L ( dt d 2 0 2                     La pulsation propre est égale à : 2 2 0 R J M k 4 13     La solution générale s’écrit alors : ) t cos( A ) t ( x 0     Problème 7 : Soit un système électrique (Lind, Cap) en série représenté dans la figure 14.2 comme suit : Figure 14.2 : Circuit L.C Libre  A partir des lois du Kirchhoff, établir l’équation différentielle du mouvement.  En déduire la pulsation propre du mouvement. Solutions :
  • 42. 35 Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE  La loi des mailles :  ind L ap L i i jL Z avec 0 C q ) t ( i Z 0 V ind ind       D’où l’équation du mouvement s’écrit : 0 C q dt ) t ( di L ap ind    L’équation différentielle devient alors : dt dq ) t ( i avec 0 ) t ( q C 1 q L ap ind       On a l’équivalence du système mécanique-électricité comme suit : 0 ) t ( kx x m 0 ) t ( q C 1 q L ap ind          D’où :           k c 1 ) t ( x ) t ( q m L ap ind  La pulsation propre du mouvement s’écrit sous la forme : ap ind 2 0 C L 1  
  • 43. 36 Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Problèmes supplémentaires Problème 8 : Déterminer la fréquence propre à partir de l’écrasement x0 du système de la suspension. Figure 15.2 : Fréquence propre des plots anti-vibratiles Problème 9: Soient deux ressorts de même raideur k ont une longueur à vide l0. La figure 16.2 représente une masse m reliée à leurs extrémités peut glisser sans frottement suivant l’axe Ox Figure 16.2: Mouvement oscillatoire transversal Déterminer:  Le Lagrangien du système.  L’équation différentielle du mouvement.  La pulsation propre, la période propre et la solution générale.
  • 44. 37 Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Problème 10: On considère un gaz ionisé, un plasma, formé d’ions et d’électrons ayant une charge globale nulle. On négligera les mouvements des ions beaucoup plus lourds que les électrons. On suppose que les électrons ne se déplacent que parallèlement à l’axe Ox. Au repos, le plasma est homogène et contient n0, nombre d’électron par unité de volume. On considère une tranche de plasma dx, les électrons situés respectivement en position x et x +dx se déplacent par les quantités s(x, t) et s(x+dx), la figure 17.2: Figure 17.2 : Mouvement Oscillatoire du plasma  En utilisant l’équation de poisson, déterminer l’équation différentielle du mouvement.  En déduire la pulsation propre du système.
  • 45. 38 Chapitre 3 : Mouvement amorti à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Chapitre 3 : Mouvement amorti à un degré de liberté
  • 46. 39 Chapitre 3 : Mouvement amorti à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Rappels théoriques En réalité tous les systèmes physiques interagissent avec le milieu environnant. Dans ce chapitre on doit tenir compte l’influence de la force de frottement visqueuse de type V f fr      sur les oscillations du système. Ce type de mouvement est appelé mouvement amorti. On définit l’oscillation amorti comme suit : 0 ) t ( p ) t ( p 2 ) t ( p 2 0        Avec m k et m 2 2 0      Où  est un coefficient positif et est appelé facteur d’amortissement. La résolution de cette équation se fait par le changement de variable, l’équation devient alors : 0 r 2 r 2 0 2      On calcule le discriminent ’ et on obtient alors : 2 0 2 '      Il existe trois types de solutions : Cas où le système est fortement amorti : 0    La solution de l’équation différentielle s’écrit comme suit : 2 0 2 2 , 1 t r 2 t r 1 r e A e A ) t ( p 2 1          Où A1 et A2 sont coefficients à déterminer par les conditions initiales :      ) 0 t ( p ) 0 t ( p  On dit que le système a un mouvement apériodique.
  • 47. 40 Chapitre 3 : Mouvement amorti à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Figure 1.3: Mouvement amorti apériodique Cas où l’amortissement est critique : 0    La solution de l’équation est de la forme :        r r r e ) A t A ( ) t ( p 2 1 t r 2 1 Où A1 et A2 sont coefficients à déterminer par les conditions initiales : ) 0 t ( p ), 0 t ( p    Figure 2.3: Mouvement amorti critique Cas où l’amortissement est faible : 0    La solution de l’équation différentielle est de la forme : 2 2 0 t avec ) t cos( Ae ) t ( p           
  • 48. 41 Chapitre 3 : Mouvement amorti à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Où A et  sont des constantes à déterminer par les conditions initiales :      ) 0 t ( p ) 0 t ( p  Figure 3.3: Mouvement oscillatoire amorti On définit la pulsation du système comme suit: 2 2 0      On définit la période du système T appelé pseudo-période comme suit :   2 T  On définit le décrément logarithmique  qui représente la décroissance de l’amplitude à une seule période du système comme suit: ) T t ( p ) t ( p Ln    Il faut signaler que le système subit une perte d’énergie totale due au travail des forces de frottement. 0 W E dW dt ) t ( p ) t ( dE r f T r f 2 T             
  • 49. 42 Chapitre 3 : Mouvement amorti à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Applications Problème 1 : On définit un oscillateur amorti régi par l’équation différentielle suivante : 0 kx x x m .        Avec m est la masse du corps, k est le coefficient de rappel et x est le déplacement du corps. On lance le système avec une vitesse initiale v0=25cm/s. Donc on a : t=0, x=0 et 0 v x   Calculer la période propre du système, Sachant que : m=150g et k=3.8N/m. Montrer que si α=0.6kg/s, le corps a un mouvement oscillatoire amorti. Résoudre dans ce cas l’équation différentielle. Calculer le pseudo-période du mouvement. Calculer le temps m t au bout duquel la première amplitude m x est atteinte. En déduire m x .  Calculer la vitesse d’une pseudo-période. Solutions : L’équation du mouvement amorti est de forme : 2 0 2 0 . . m k et m 2 avec 0 x x 2 x 0 kx x x m                      La période propre du système est T0: s 25 . 1 m k 2 T s / rad 5 m k O 0      
  • 50. 43 Chapitre 3 : Mouvement amorti à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE L’équation différentielle du mouvement se transforme en : 21 Avec 0 21 ' 0 r 2 r 2 2 0 2 0 2 ' 2 0 2                    Le corps m a un mouvement oscillatoire amorti. La résolution de cette équation différentielle est de forme : ) t cos( Ae ) t ( x t       En appliquant les conditions initiales : 2 0 cos 0 x , 0 t           2 avec v A v x , 0 t 0 0           La solution finale sera exprimée comme suit : t sin e v ) t ( x ) t cos( Ae ) t ( x t 0 t             La figure 2.1 représente le mouvement oscillatoire amorti. Figure 4.3 : Mouvement oscillatoire amorti La pseudo-période se calcule : s 37 . 1 2 T     Le temps de la première amplitude m t
  • 51. 44 Chapitre 3 : Mouvement amorti à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Il faut que :    Arctg t 0 dt ) t ( dx ) t t ( x m t t m m        D’où : 4 T s 25 . 0 tm   Problème 2 : Soient les systèmes mécaniques représentés dans les figures 5.3 et 6.3 come suit : figure 5.3 : Mouvement oscillatoire amorti en rotation Figure 6.3 : Mouvement oscillatoire amorti en translation Pour des petites oscillations, déterminer pour chaque système : Le Lagrangien L’équation différentielle du mouvement. La pulsation propre La solution générale pour un faible amortissement.
  • 52. 45 Chapitre 3 : Mouvement amorti à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Solutions : Figure 5.3 : Le Lagrangien : L’énergie cinétique s’écrit : 2 2 2 c ml 2 1 mv 2 1 E    Pour l’énergie Potentielle on a:    2 l sin 2 l x avec cos mgl kx 2 1 2 E 2 p     Le Lagrangien s’écrit sous la forme :    cos mgl ) 2 l ( k ml 2 1 E E L 2 2 2 p c      Après calcule, l’équation différentielle est égale à : 0 ml mgl ) 2 l ( k 2 m M L ) L ( dt d 2 2 ext                       D’ou : 2 2 2 0 2 0 ml mgl ) 2 l ( k 2 , m 2 0 2 Avec                  La solution générale est pour un faible amortissement est de la forme: ) t cos( Ae ) t ( t        Figure 6.3 : Le Lagrangien : L’énergie cinétique on a: 2 2 c x m 2 1 mv 2 1 E    L’énergie Potentielle s’écrit : 2 2 p ) x ( k 2 1 kx 2 1 E   
  • 53. 46 Chapitre 3 : Mouvement amorti à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Le Lagrangien s’écrit alors : 2 2 p c kx x m 2 1 E E L      On obtient l’équation différentielle du mouvement après calcul comme suit : 0 x m k 2 x m x F L ) L ( dt d ext                   D’où m k 2 , m 2 0 x x 2 x Avec 2 0 2 0             La solution générale pour un faible amortissement est de la forme : ) t cos( Ae ) t ( x t       Problème 3 : On considère un système mécanique amorti, oscillant autour d’un axe passant par O représenté par une tige métallique de longueur l de masse négligeable reliée par un ressort de constante de raideur k au point l/2 comme le montre la figure 7.3: Figure 7.3 : Mouvement oscillatoire amorti Etablir le Lagrangien du système. Déterminer l’équation différentielle du mouvement. En déduire la pulsation propre du système.
  • 54. 47 Chapitre 3 : Mouvement amorti à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Résoudre dans le cas de faible amortissement l’équation différentielle du mouvement avec les conditions initiales suivantes : 0 ) 0 t ( , 0 ) 0 t (          Solutions : Le Lagrangien : Le système a un seul degré de liberté représenté par θ L’énergie cinétique s’écrit : 2 2 2 c ml 2 1 mv 2 1 E    Pour l’énergie potentielle on a:   2 l sin 2 l x avec kx 2 1 E 2 p    Le Lagrangien s’écrit : 2 2 2 p c ) 2 l ( k 2 1 ml 2 1 E E L       L’équation différentielle est : 0 ml 4 l k m M L ) L ( dt d 2 2 ext                      D’où : 2 2 2 0 2 0 ml 4 l k , m 2 0 2                 Pour un faible amortissement la solution s’écrit sous la forme : ) t cos( Ae ) t ( t        Avec les conditions initiales , on a        0 0 A , 2 , 0 , 0 t avec          Alors, la solution générale s’écrit : t sin e ) t ( t 0        
  • 55. 48 Chapitre 3 : Mouvement amorti à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Problème 4: Soit une boule de masse m suspendue à une tige de longueur l, de masse négligeable et plongée dans un liquide. Cette masse est soumise à une force de frottement visqueuse dont le coefficient de frottement est comme le montre la figure 8.3 comme suit : Figure 8.3 : Mouvement oscillatoire amorti du pendule Etablir le Lagrangien du système. Déterminer l’équation du mouvement. Résoudre dans le cas de faible amortissement l’équation différentielle. Application numérique : Sachant on a: m=1Kg, l=50cm, g=10m/s. Calculer la valeur maximale ue  ne doit pas atteindre pour que le système oscille. On prend la valeur de  égale à 10N.s/m : Calculer le temps nécessaire τ pour que l’amplitude diminue à ¼ de sa valeur. Solutions : Le Lagrangien du système : Le système a un seul de gré de liberté représenté par θ L’énergie cinétique s’exprime : 2 2 c ml 2 1 E  
  • 56. 49 Chapitre 3 : Mouvement amorti à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Pour l’énergie potentielle on a :  cos mgl Ep   D’ou le Lagrangien s’écrit comme suit :     cos mgl ml 2 1 E E ) , ( L 2 2 p c      L’équation différentielle est : l g , m 2 Avec 0 2 2 0 2 0                 La solution générale est : ) t cos( Ae ) t ( t        La valeur maximale de max  : m / s . N 94 . 8 l g m 2 0 max 2 0 2           Le temps τ : s 28 . 0 4 ln e 4 1 Ae t ) t (            
  • 57. 50 Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Chapitre 4 : Mouvement Oscillatoire forcé à un degré de liberté
  • 58. 51 Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Rappels théoriques On définit une oscillation forcée, tout système en mouvement sous l’action d’une force extérieure.  On définit l’équation du mouvement forcé en présence de la force de frottement comme suit : ) t ( f ) t ( p ) t ( p 2 ) t ( p 2 0        Avec m k et m 2 2 0      Où f(t) est appelée la fonction excitation extérieure. Cette équation est linéaire de second ordre non homogène à coefficients constant.  La solution p(t) de l’équation différentielle qui présente la réponse du système à l’action extérieure, est la somme de deux thermes : ) t ( p ) t ( p ) t ( p p g   Où ) t ( pg et ) t ( pp représentent respectivement la solution générale la solution particulière.  Il faut signaler qu’au début du mouvement p(t) représente le régime transitoire. Au fil du temps la solution homogène ) t ( pg devient négligeable devant la solution particulière ) t ( pp qui définit le régime permanant. Ainsi, la solution totale dans ce cas, est de la forme : ) t ( p ) t ( p p  La figure 1.4 montre la superposition des deux régimes :
  • 59. 52 Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Figure 1.4 : Superposition du régime transitoire et du régime permanent  Dans le cas où l’excitation est sinusoïdale de type : t j 0 0 e f t cos f ) t ( f      La solution totale s’écrit alors comme suit : ) t cos( A ) t ( p ) t ( p p      Où A représente l’amplitude de la solution totale et  le déphasage.  On cherche la solution de l’équation différentielle sous forme complexe : ) t ( j p Ae ) t ( p ) t ( p      Avec ) t ( j Ae j ) t ( p       ) t ( j 2 Ae ) t ( p         Alors l’amplitude s’écrit sous la forme :      j 2 f Ae 2 0 2 0 j      En module : 2 2 2 2 0 2 0 4 ) ( f A         En phase : 2 0 2 2 Artg      
  • 60. 53 Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE L’étude des variations du module de l’amplitude se fait par : 0 d A d     Il existe deux pulsations : 2 2 0 r 2 0            A-Réponse de l’amplitude B-Réponse de la phase Figure 2.4 : Réponse du système en régime forcé On appelle r  la pulsation de résonance. On définit ainsi :  La largeur de la bande passante   : 1 2        Le facteur de qualité Q pour un faible amortissement : 1 2 r Q     
  • 61. 54 Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Applications Problème 1: Soit un immeuble A modélisé par le système physique représenté par une masse m et un ressort de raideur k subit à un mouvement sismique sinusoïdal d’amplitude a de forme t cos a xs   représenté dans la figure 3.4 comme suit: Figure 3.4 : Modélisation d’un mouvement sismique  Quelle est la réponse du système. Justifier le résultat. Solutions :  Le Lagrangien du système : L’énergie cinétique s’écrit: 2 2 c x m 2 1 mv 2 1 E    L’énergie potentielle s’exprime: 2 s p ) x x ( k 2 1 E   Le Lagrangien du système s’écrit alors : 2 s 2 ) x x ( k 2 1 x m 2 1 L      L’équation différentielle est de forme : t cos m a ) t ( x m k ) t ( x F L ) L ( dt d ext                
  • 62. 55 Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE D’où : m k e m a R ) t ( x ) t ( x avec 2 0 t j e 2 0                La solution de cette équation est de la forme : ) t ( j p Ae ) t ( x ) t ( x      En remplaçant dans l’équation de mouvement, on détermine l’amplitude de la réponse comme suit : 2 0 2 m a ) ( A      Le système présente une singularité au point 0    comme le montre la figure 4.4: 0 lorsque ) ( A       Figure 4.4 : Phénomène de résonance Singularité à la fréquence propre du système  L’immeuble va s’effondrer face au séisme car le système oscille avec la pulsation propre. On appelle ce phénomène la résonance. On se propose dans ce cas la de mettre en place un moyen d’amortir les oscillations extérieurs du système qui se traduit par une force de frottement visqueuse.
  • 63. 56 Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Problème 2 : Une machine mécanique de masse m est excitée par l’intermédiaire des supports de suspension de raideur k et un amortisseur de coefficient de frottement  comme le montre la figure 5.4 : Figure 5.4 : Excitation de la masse par le support vibrant On suppose que le support possède un déplacement harmonique de la forme : t cos B ) t ( y    Déterminer le Lagrangien du système.  Etablir l’équation différentielle du mouvement.  On pose les constantes suivantes : 0 2 0 m 2 et m k       On cherche une solution de la forme : ) t cos( A ) t ( x     Déterminer le rapport des modules d’amplitudes B A T  en fonction des paramètres, ω0 et ω.  On pose la variable suivante : 0 r     Tracer la courbe T(r)  Interpréter les résultats.
  • 64. 57 Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Solutions : Le mouvement du système est schématisé dans la figure 6.4 comme suit : Figure 6.4 : Mouvement forcé de l’ensemble (support + machine)  Le Lagrangien du système s’écrit : L’énergie cinétique s’exprime: 2 c x m 2 1 E   Pour L’énergie potentielle on a : 2 p ) y x ( k 2 1 E   D’ou le Lagrangien du système s’écrit : 2 2 ) y x ( k 2 1 x m 2 1 ) x , x ( L       L’équation du mouvement s’écrit sous la forme : )] t ( y ) t ( x [ )] t ( y ) t ( x [ k ) t ( x m F x L ) x L ( dt d ext                    D’ou : ) t ( ky ) t ( y ) t ( kx ) t ( x ) t ( x m            La solution de l’équation différentielle:
  • 65. 58 Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE En posant les constantes : 0 2 0 m 2 et m k       L’équation du mouvement se réécrit avec les nouvelles constantes : ) t ( y ) t ( y 2 ) t ( x ) t ( x 2 ) t ( x m 2 0 0 2 0 0             On considère que le support possède un déplacement sinusoïdal :   t j Be Re t cos B ) t ( y     On chercher des solutions de la forme :   ) t ( j Ae Re ) t cos( A ) t ( x         L’équation du mouvement devient alors : B ) 2 j ( Ae ) 2 j ( 2 0 0 j 2 0 0 2               Le rapport des modules des amplitudes s’écrit sous la forme: 2 1 2 0 2 2 0 2 2 0 2 0 ) 2 ( ) ( ) 2 ( B A T                       En posant la constante : 0 r    , La courbe de la fonction T(r) est décrite comme suit: 2 1 2 2 2 2 ) r 2 ( ) 1 r ( 1 ) r 2 ( B A T                
  • 66. 59 Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Figure 7.4 : Rapport de transmissibilité en déplacement en fonction de la pulsation réduite On a vu que la solution particulière pouvait représenter seule la solution stationnaire. Problème 3: Soit le circuit forme par l’association parallèle R, Lind, Cap et alimente par une source de courant sinusoïdale délivrant un courant d’intensité t cos 2 i ) t ( i 0   comme le montre la figure 8.4 ci-dessous. Figure 8.4 : Circuit R.L.C en parallèle
  • 67. 60 Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE  Exprimer la tension complexe u aux bornes de l’association parallèle en fonction de, i0, et des paramètres du circuit. On pose les constantes suivantes : ap ind 2 0 C L 1   , 0 x    Et on définit le facteur de qualité du circuit comme suit : 0 ap RC Q    Exprimer le module de la tension u aux bornes de l’association parallèle en fonction de R, i0, Q et x.  Montrer que u passe par un maximum max u pour une valeur de x à déterminer.  Représenter sommairement max u u ) x ( f  en fonction de x.  Que retrouve t- on ?  Calculer la largeur de la bande passante. Solutions :  La tension complexe u du système est de forme : ) t ( i Z ~ ) t ( u équi  D’ou le courant est égale a : équi Z ~ ) t ( u ) t ( i  Soit équi Z ~ l’impédance complexe équivalente du circuit R.L.C en parallèle qui se calcule comme suit : Avec :   ind ap équi jL 1 jC R 1 Z ~ 1    D’ou la tension est égale à : ) L 1 C ( jR 1 ) t ( Ri ) t ( u où ' d ind ap       Le module de la tension s’écrit alors :
  • 68. 61 Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE 2 2 0 ) x 1 x ( Q 1 2 Ri ) t ( u     On constate que : 1 x lorsque 2 Ri u u 0 max     Le schéma de la fonction max u u ) x ( f  est représenté dans la figure 9.4 comme suit : 2 2 max ) x 1 x ( Q 1 1 u u ) x ( f     On obtient la résonnance lorsque x=1, c'est-à-dire : Résonance 1 x si 1 ) x ( f    Figure 9.4 : Phénomène de résonnance en tension dans le circuit R.L.C en parallèle  La bande passante   se calcule comme suit : 1 2 x x x    En résolvant l’équation paramétrique suivante : 2 2 ) x 1 x ( Q 1 1 2 1   
  • 69. 62 Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Après transformation on obtient la largeur réelle de la bande passante devient alors: RC 1 où ' d x 0         Problème 4: On considère un système de réception radio modélisé par un circuit R, Lind, Cap en série et alimenté par une source de tension sinusoïdale d’intensité t cos u ) t ( u 0   comme le montre la figure 10.4 ci-dessous. Figure 10.4 : Circuit R.L.C en Série  Déterminer l’impédance totale du système.  En déduire le module du courant parcourue par le circuit en fonction des paramètres R, Lind, Cap et ω.  Etudier les variations du module de courant en fonction de ω  Trouver la fréquence de résonance. En déduire le courant maximum.  Etablir la bande passante et le facteur de qualité en fonction des paramètres du circuit R, Lind, Cap et ω.  Donner une explication pour le fonctionnement de ce système.
  • 70. 63 Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Solutions :  Le circuit est en série, on peut le schématiser comme suit : Figure 10.4-a : Circuit RLC en série équivalent L’impédance équivalente totale est égale à : ) C 1 L ( j R Z ~ ap ind éq       Le module du courant s’écrit : 2 ap ind 2 0 éq 0 ) C 1 L ( R u Z ~ ) t ( u ) ( I         Les variations du module du courant sont : Le module du courant maximum est égale à : R u I 0 max 0  Lorsqu’on a le module du dénominateur est minimum, c'est-à-dire : 0 C 1 L ap ind     On obtient alors la valeur de r ap ind 0 r C L 1     Où r est appelée la pulsation de résonance qui ne dépend que de l’inductance et de la capacité.
  • 71. 64 Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE  La figure 11.4 représente l’allure I0 en fonction de ω Figure 11.4 : Phénomène de résonance en courant dans le circuit R.L.C en série  La bande passante est définit : 1 2      En résolvant l’équation paramétrique suivante: 2 ap ind 2 0 max 0 ) C 1 L ( R u 2 I      On obtient : ind 1 2 L R       Le facteur de qualité s’écrit R L Q 0 ind 0       L’application technique de ce phénomène est la sélection des fréquences de résonances pour différentes stations de radio. Problème 5: On définit un sismomètre comme un système physique appelé capteur qui comprend un support et une masse m relié par un ressort et un amortisseur disposés en parallèle,
  • 72. 65 Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE la figure 12.4. La masse, de centre de gravité G, ne peut se déplacer que verticalement. Le support, le ressort et l’amortisseur ont une masse négligeable. Figure 12.4 : Modélisation d’un sismomètre Le ressort a une longueur à vide l et une rigidité k. La constante de frottement est. On précise que si, les extrémités A et B d’un amortisseur appartenant à un système mécanique, décrivent un axe Δ parallèle à l’axe Ox avec des vitesses respectives a v et b v , l’amortisseur exercice sur le reste du système en point A une force i ) v v ( a b    et en point B une force i ) v v ( a a    où i  est le vecteur unitaire. Partie A : Le support est immobile par rapport au repère (R0).  Calculer l’abscisse x0 du centre d’inertie de la masse en équilibre.  Ecrire l’équation différentielle du mouvement de la masse écarté de sa position d’équilibre.  Que devient cette équation quand on pose x=x0+X. On pose les constantes suivantes :
  • 73. 66 Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE m k 2 0   , C f    avec km 4 f 2 c  . Montrer que l’équation différentielle s’écrit sous la forme suivante : 0 x x x . ..         Calculer α* et β* en fonction de λ et ω0.  On donne λ= 0.5, ω0=10 rad/s. A l’instant initial, X=1 cm et 0 X   . Déterminer X pour t= 0.2s. Partie B : On suppose maintenant que le support est solidaire du carter d’une machine animé d’un mouvement sinusoïdale verticale t sin b x1   par rapport au repère (R0), comme le montre la figure 13.4. On suppose que b est positif. Figure 13.4 : Système est en mouvement forcé  Ecrire l’équation de la masse par rapport à (R0).  Montrer que l’équation différentielle peut s’écrire sous la forme suivante : t sin b C X x Avec t sin H x x x . ..              Déterminer H et C, que représente X ?
  • 74. 67 Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE  Etudier la solution en régime permanent ) t sin( B ) t ( X     Avec B positif.  Calculer le rapport b B et  tan en fonction de λ et 0     .  Tracer l’allure du graphe de B en fonction de μ tel que B=f ().  On suppose que λ=0.5 : Montrer que si μ est supérieur à une certaine valeur μ1, 1 b B  est inférieur à 10-2 . Calculer dans ce cas μ1.  En déduire une condition pour que l’appareil puisse fonctionner en capteur d’amplitude. Solutions : Partie A : Le support est immobile par rapport au repère (R0).  A l’équilibre, l’abscisse x0 s’écrit comme suit : ) a l ( k mg x 0 F 0 1 i i           L’équation différentielle du mouvement est de forme : En appliquant la loi dynamique x mg )) a l ( x ( k x m           D’ou X x X x où ' d         Alors : 0 kX X X m         La nouvelle équation du mouvement s’écrit alors : 2 0 0 2 0 0 2 Avec 0 X X 2 X                  La résolution de cette équation différentielle :
  • 75. 68 Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE 2 2 0 2 2 0 2 0 0 2 1 5 . 0 ) 1 ( 0 r 2 r                         La solution est de la forme : 2 0 0 t 1 X B X A Avec ) t sin B t cos A ( e ) t ( X 0             Le système a un mouvement amorti.  La valeur de X est : X=0.15m Partie B : Le support est mobile par rapport au repère (R0).  La relation dynamique du mouvement : t sin b X x x et x X x où ' d ) x x ( mg )) a l ( x x ( k x m 2 1 1 1 1                              L’équation du mouvement devient alors : b H Avec t sin b X X 2 X 2 2 2 0 0              La solution totale de l’équation différentielle en régime permanent est : ) t sin( B ) t ( X ) t ( X p       En notation complexe on aura la forme suivante : ) 2 t ( j p Be ) t ( X ~ ) t ( X ~         En remplaçant dans l’équation différentielle, on obtient alors : 0 2 2 2 2 2 Avec 1 2 tan ) 2 ( ) 1 ( b B                 Les variations de B=f(μ) :
  • 76. 69 Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE 2 1 si 2 1 1 0 0 d dB 2 m m                 Ainsi, on peut distinguer deux cas :  2 1    Amortissement faible  Résonance  2 1    Amortissement important  On peut en déduire que : b B 0 B 0           Pour =0.5, on aura : 05 . 7 où ' d 10 1 ) 1 ( si 10 1 b B 2 pour b 15 . 1 B B 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 m max                      On peut conclure que l’appareil reproduit les oscillations du carter si la pulsation ω est importante. Il fonctionne alors en capteur d’amplitude. Problème 6: On définit le modèle d’un oscillateur harmonique, figure 14.4, représentée par une masse m placée dans un potentiel élastique du type : 2 2 1 kx Ep  Cette masse est soumise à une force de frottement visqueuse et dont le coefficient de frottement est α. Figure 14.4 : Modèle physique d’un amortisseur
  • 77. 70 Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Parti A :: Dans le cas des oscillations libres  Déterminer le Lagrangien du système.  Etablir l’équation du mouvement.  En déduire la solution générale avec les conditions initiales suivantes : x(t=0)=0 et 0 v ) 0 t ( x    . Partie B: On admet que les frottements existent, la masse m effectue des oscillations forcées sous l’effet d’une force sinusoïdale de la forme : t cos f ) t ( f   0 On admet que la vitesse du mobile est de forme : ) t cos( v ) t ( v 0      Établir l’équation du mouvement.  Résoudre l’équation différentielle en régime permanent.  Déterminer l’impédance mécanique complexe définit comme rapport entre la force appliquée et la vitesse du mobile.  Comparer le résultat avec le système électrique. Solutions : Mode libre :  Le Lagrangien du système s’écrit : Pour l’énergie cinétique on a : 2 c x m 2 1 E   Et pour l’énergie cinétique on a 2 p kx 2 1 E 
  • 78. 71 Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Alors, le lagrangien du système s’écrit : 2 2 kx 2 1 x m 2 1 L     L’équation du mouvement : m k avec 0 x x 0 kx x m 2 0 2 0              La solution générale est de la forme : t sin v ) t ( x 0 0 0    Mode forcé :  L’équation du mouvement s’écrit sous la forme: ) t ( f kx x x m        D’où m k m 2 avec m ) t ( f x x 2 x 2 0 2 0              C’est une équation différentielle inhomogène linéaire, d’un mouvement force.  La résolution de cette équation différentielle en régime permanent est : ) t ( j e p Ae R ) t cos( A ) t ( x ) t ( x           Soient A l’amplitude de la solution et  son argument. En remplaçant dans l’équation différentielle et après le calcul, On obtient Le module d’amplitude suivant : 2 2 2 0 2 0 ) 2 ( ) ( m f ) ( A         Et la phase du mouvement comme suit : 2 0 2 2 tan          Les variations de ) ( A  sont déterminées par : 2 2 r 2 0 d ) ( dA            
  • 79. 72 Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Cette pulsation est appelée pulsation de résonance.  l’impédance complexe est définit comme suit : ) t ( v ) t ( f Z ~ mécani  En remplaçant dans l’équation du mouvement, on obtient: ) k m ( j Z ~ mécani        Pour le système électrique, le résultat est donné comme suit: ) C 1 L ( j R Z ~ ) t ( i ) t ( u Z ~ ap ind électri électri         On conclue donc les équivalences entre le système mécanique et le système électrique comme suit : ap ind C 1 k L m R     Problème 7: Lorsqu’un moteur électrique fonctionne, il présente des vibrations naturelles qu’il est nécessaire d’amortir pour éviter de les transmettre a son châssis. On prévoit donc un système de suspension. Le moteur est assimile au point matériel m de masse m pouvant se déplacer parallèlement à l’axe vertical Oz. La suspension le reliant au châssis est modélisée par un ressort de longueur à vide l0 et de raideur k en parallèle avec un amortisseur exerçant sur le moteur une force de freinage z fr u z f       Le châssis reste fixe dans un référencier galiléen et on note le champ de pesanteur g 
  • 80. 73 Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Figure 15.4 : Etude les vibrations d’un moteur Mode A : Le moteur ne fonctionne pas et il est immobile.  Déterminer dans ce cas la longueur l du ressort. On prend la référence z=0 au point m. Mode B : Le moteur étant toujours arrêté, on l’écarte de sa position d’équilibre et puis on le laisse évoluer librement.  Déterminer le Lagrangien du système.  Établir l’équation différentielle du mouvement vérifiée par z(t). On pose les constantes suivantes : m k 2 0   et 0 m 2      Donner la forme de la solution générale z(t) en fonction des paramètres ν et ω0, on suppose que ν<1.  Comment appelle-t-on ce régime ?  Écrire l’expression de l’énergie totale ET en fonction de z(t) et dt ) t ( dz  Que vaut-t-il la valeur de l’expression dt dE T . Le système est il conservatif ?
  • 81. 74 Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Mode C : Le moteur fonctionne, et tout se passe comme s’il apparaissait une force supplémentaire de forme : z 0 u t cos F ) t ( F       Établir la nouvelle équation du mouvement vérifiée par z(t)  En régime permanent, on cherche des solutions de la forme ) t cos( V ) t ( etV ) t cos( z ) t ( z         0 0  Donner l’expression de la grandeur  i e V V 0   Exprimer l’amplitude V0 en fonction de ω et des paramètres v, ω0 et F0/m.  Donner l’allure de V0 (ω).  Application numérique: la pulsation ω vaut 628 rad/s, le moteur a une masse m=10kg. On dispose de deux ressorts de raideurs k1=4 106 n/m et k2=106 n/m. lequel faut il choisir pour réaliser la suspension ? Solutions : Mode A : Le système est en équilibre  La longueur du ressort : k mg l l 0 F 0 1 i i         Mode B : Le système est en mouvement amorti  Le Lagrangien du système : 2 2 kz 2 1 z m 2 1 L     L’équation différentielle : 0 kz z z m 0 z L z L dt d                D’ou : 0 2 0 2 0 0 m 2 m k Avec 0 z z 2 z                La résolution de l’équation du mouvement : 1 0 ) 1 ( ) ( 0 2 2 2 2 2 0 2 0 2 0 2 0 0 2           j r r           
  • 82. 75 Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE  Le systeme a un mouvement oscillatoire amorti.  La solution est de la forme : ) t cos( Ae ) t ( z t 0        l’énergie totale du système s’écrit sous la forme: 2 2 T kz 2 1 ) dt dz ( m 2 1 ) t ( E   A partir de l’équation du mouvement, on obtient : 0 z dt ) t ( dE ] z kz z m [ z 2 T                Le systeme n’est conservatif. La diminution d’énergie totale est due au travail des forces de frottement. Mode C : Le système est en mouvement forcé  L’équation du mouvement s’écrit : ) t ( F kz z z m        D’où : m ) t ( F z z 2 z 2 0 0         Avec : 0 2 0 m 2 m k        La solution de l’équation différentielle est : ) t ( z j ) t ( z j ) t ( z ) t ( z Avec e V R ) t cos( V ) t ( V ) t ( z ) t ( j 0 e 0                    En remplaçant dans l’équation du mouvement on obtient alors : t j 2 2 0 0 0 e ) 1 ( j 2 m F ) t ( V        
  • 83. 76 Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE  Le module de la vitesse est de la forme : 2 2 2 0 2 2 0 0 0 ) 1 ( ) 2 ( m F ) ( V          L’étude des variations du module de la vitesse : 0 r max 0 0 V ) ( V 0 d ) ( dV             Pour cette pulsation on a le phénomène de résonance.  L’allure de la courbe V0(ω) est de forme : Figure 16.4 : Phénomène de la résonance du moteur  Application numérique : 02 01 01 02 02 0 02 2 max 2 02 2 r 01 0 01 1 max 1 01 1 r ) ( V ) ( V m 2 F ) ( V m k m 2 F ) ( V m k                    
  • 84. 77 Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Problèmes supplémentaires Problème 8 : Soit un disque de masse négligeable enroulé par un fil inextensible et non glissant, comme le montre la figure 17.4 ci-dessous : Figure 17.4 : Mouvement forcé du disque Mode libre : Dans le cas des oscillations libres  Déterminer le Lagrangien du système  Etablir l’équation différentielle du mouvement.  En déduire la pulsation propre  Donner la solution générale avec les conditions suivantes : 0 ) 0 t (    , 0 ) 0 t (      . Mode forcé : On admet que les frottements existent, la masse m1 effectue des oscillations forcées sous l’effet d’une force sinusoïdale : t cos f ) t ( f   0
  • 85. 78 Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE  Etablir la nouvelle équation du mouvement.  Déterminer le module de la solution permanente de l’équation différentielle.  Quelle est la fréquence pour que le module de l’amplitude soit maximum.  Donner la bande passante et le facteur de qualité Q pour les faibles amortissements.  Application numérique : On donne m1=2Kg, m2=1Kg, k=10N/m et =0.1N.s/m. Calculer Q. Problème 9: Une machine mécanique tournante constitue des sources de vibrations très courantes. De petites irrégularités dans la distribution des masses des parties en rotation causent des niveaux vibratoires importants. On schématise une machine de masse m comportant une masse m0 en rotation à une distance R de son centre. Un guidage sans friction autorise seulement un mouvement dans la direction x, comme le montre la figure 18.4. On considère la vitesse de rotation R  constante. On a t sin R x R R   . Figure 18.4 : Excitation d’une machine suspendue par une masse en rotation  Etablir le Lagrangien du système
  • 86. 79 Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE  Ecrire l’équation différentielle du mouvement.  On pose la variable : 0 r    On cherche des solutions de la forme : ) t cos( A ) t ( x      Déterminer l’amplitude du déplacement en fonction de r.  Interpréter le résultat. Problème 10: On se propose d’étudier le comportement vibratoire de matériaux en caoutchouc afin de l’utiliser dans la construction, représenté dans la figure 19.4. Figure 19.4: Modélisation physique du mouvement oscillatoire du caoutchouc Nous assimilons l’élasticité du matériau à celle d’un ressort de raideur k et les pertes énergétiques par frottement à celle ayant lieu dans un amortisseur de coefficient. Le ressort ainsi considérés sont associés en parallèle. On néglige le poids du caoutchouc devant les forces mise en jeu. Partie A : On place un bloc de masse m=1t sur le caoutchouc qui se comprime d’une distance d. Après une compression supplémentaire, on relâche le système oscillé autour de sa position d’équilibre qu’on le repère par la coordonnée y comme le montre la figure 20.4  Déterminer le Lagrangien du système
  • 87. 80 Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE  Etablir l’équation différentielle du mouvement de la masse m  Donner la solution générale de la solution y(t) sachant que le mouvement a un mouvement oscillatoire amorti.  L’intervalle de temps, t=0.2s qui sépare le premier et le sixième maximum. correspond à la diminution d’amplitude de 60%. Déterminer les valeurs de k et .  On refait la même expérience avec un autre caoutchouc. On trouve ’=4.5103 Kg/s. Au bout de combien de temps, t’, obtient-on la même diminution d’amplitude que dans l’expérience précédente ?  Quel est le matériau le plus adéquat pour la construction ? Figure 20.4: Mouvement oscillatoire du « caoutchouc+le bloc » Partie B : On prend dans cette partie un caoutchouc de caractéristiques physiques suivantes : k=25106 N/m et =104 Kg/s qui sera utilisé dans la construction d’un pont d’autoroute, de masse m=12.5t. On assimile l’effet du passage des véhicules sur le pont à celui d’une force sinusoïdale F(t) d’amplitude F0=10kN et de pulsation ω, appliquée perpendiculairement au pont comme le montre la figure 21.4
  • 88. 81 Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Figure 21.4 : Modélisation physique du mouvement du pont  Etablir le Lagrangien du système.  Exprimer l’équation différentielle du mouvement du pont pour la coordonnée y(t) donnant son déplacement par rapport à l’état d’équilibre.  Déterminer l’expression de la solution y(t) en régime permanent.  Déterminer la fréquence de résonance f0  Donner l’expression de l’amplitude maximale à laquelle le pont peut vibrer.  Quelle est la phase correspondante dans ce cas la ?  Calculer l’énergie communiquée au pont pendant un intervalle de temps égale à une période, lorsque le passage des véhicules le fait vibrer à la fréquence de résonance. Interpréter le résultat.
  • 89. 82 Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Chapitre 5 : Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté
  • 90. 83 Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Rappels théoriques On définit les systèmes à plusieurs degrés de libertés par les systèmes qui nécessitent plusieurs coordonnées indépendantes pour spécifier leurs. Le nombre de degré de liberté détermine les modes propres. Il existe deux types de systèmes :  Systèmes simples à plusieurs sous systèmes découplés comme le montre la figure 1.5: Figure 1.5 : mouvement oscillatoire non couple a deux degrés de liberté  Il existe deux degrés de liberté : 2 1 x , x  Le Lagrangien du système s’écrit alors :       2 1 i 2 i i 2 i 2 1 i i x k 2 1 x m 2 1 L   Les deux sous systèmes sont indépendants et découplés: Le système différentiel s’exprime alors :                            0 x k x m 0 x k x m 0 x L x L dt d 0 x L x L dt d 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1       D’ou le systeme différentiel s’exprime : 1 1 2 02 1 1 2 01 2 2 02 2 1 2 01 1 m k , m k avec 0 x x 0 x x                   
  • 91. 84 Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE  Les deux solutions des sous systèmes sont indépendantes de formes :        ) t cos( B ) t ( x ) t cos( A ) t ( x 2 02 2 1 01 1      Systèmes complexe à plusieurs sous systèmes couplés comme le montre la figure 2.5: Figure 2.5 : Mouvement oscillatoire d’un système couplé à deux degré de liberté Le Lagrangien du système Pour l’énergie cinétique on a s’écrit comme suit : 2 i 2 1 i i c x m 2 1 E     Pour l’énergie potentielle on a :      2 1 i 2 i i 2 2 1 p x k 2 1 ) x x ( k 2 1 E D’où le Lagrangien s’écrit :         2 1 i 2 i i 2 2 1 2 i 2 1 i i x k 2 1 ) x x ( k 2 1 x m 2 1 L   Le système différentiel couplé devient alors :                                  0 x k x ) k k ( x m 0 x k x ) k k ( x m 0 x L ) x L ( dt d 0 x L ) x L ( dt d 1 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1        La solution s’écrit sous la forme d’une superposition des deux modes propres, comme suit :
  • 92. 85 Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE            ) t cos( B ) t cos( B ) t ( x ) t cos( A ) t cos( A ) t ( x 2 02 2 1 01 1 2 2 02 2 1 01 1 1          Il existe plusieurs types de couplage : Figure 3.5 : Couplage équivalent, Resistance-Force de frottement Figure 4.5 : Couplage équivalent, Capacité-Ressort
  • 93. 86 Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Applications Problème 1 : Partie1 : On représente un système mécanique complexe, constitué par deux oscillateurs harmonique couplé par ressort de raideur k, comme le montre la figure5.5: Figure 5.5 : Mouvement oscillatoire couplé de deux ressorts  Quel est le nombre de degré de liberté ?  Déterminer le Lagrangien du système  Etablir les équations différentielles du mouvement.  En déduire les modes fondamentales Partie2 : Les deux sous systèmes sont identiques, On pose alors les paramètres suivants : k1=k2=k et m1=m2=m, et on lance le système sans vitesses initiales avec les conditions initiales suivantes: x1(t)=C, x2 (t)= 0.  Etablir les nouvelles équations différentielles du mouvement.  En déduire les pulsations propres  Donner les solutions générales.  Quelle est la nature du phénomène étudié ?
  • 94. 87 Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Parie3 : On impose une force sinusoïdale extérieure au premier sous système. De la forme suivante : t cos f ) t ( f 0    Déterminer les nouvelles équations du mouvement.  En déduire le module des amplitudes.  Quelles est la nature du phénomène étudié ? Solutions : Partie1 :  Le nombre de degré de liberté du système est de 2  Le Lagrangien du système est : Pour l’énergie cinétique on a : 2 2 2 2 1 1 c x m 2 1 x m 2 1 E     Et pour l’énergie potentielle on a : 2 2 2 2 1 1 2 2 1 p x k 2 1 x k 2 1 ) x x ( k 2 1 E     Le Lagrangien s’écrit comme suit :         2 1 i 2 i i 2 2 1 2 i 2 1 i i x k 2 1 ) x x ( k 2 1 x m 2 1 L   Le système différentiel s’écrit :                         0 kx x ) k k ( x m 0 kx x ) k k ( x m 0 x L ) x L ( dt d 0 x L ) x L ( dt d 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1        Les pulsations propres :  On considère les solutions du système de type sinusoïdal :        ) t ( j 2 ) t ( j 1 p p Be ) t ( x Ae ) t ( x      En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient un système linéaire suivant :
  • 95. 88 Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE                0 kA B ) k k m ( 0 kB A ) k k m ( 2 2 p 2 1 2 p 1    Le système admet des solutions non nulles si seulement si : 0 det  D’où : 0 k k m k k k k m 2 2 p 2 1 2 p 1            L’équation paramétrique s’écrit : 0 ) K 1 ( ) ( 2 2 2 2 1 2 p 2 2 2 1 4 p            Avec : ) k k )( k k ( k K m k m k 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1        Ou K est appelée le coefficient du couplage  Les deux pulsations propres sont :                  2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 p 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 p 1 K 4 ) ( 2 1 2 K 4 ) ( 2 1 2               Partie 2 :  Les nouvelles équations du mouvement s’écrivent comme suit :          0 kx kx 2 x m 0 kx kx 2 x m 1 2 2 2 1 1      Les pulsations propres :  Les solutions du système sont de types sinusoïdaux :        ) t ( j 2 ) t ( j 1 p p Be ) t ( x Ae ) t ( x      En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient un système linéaire symétrique suivant :              0 kA B ) k 2 m ( 0 kB A ) k 2 m ( 2 p 2 p    Le système admet des solutions non nulles si seulement si : 0 det 
  • 96. 89 Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE D’ou : 0 k 2 m k k k 2 m 2 p 2 p          Alors on obtient l’équation paramétrique suivante : 0 k ) k 2 m ( 2 2 2 p       Les deux pulsations propres sont :        m k 3 m k 2 p 2 2 p 1    Les solutions générales :            ) t cos( B ) t cos( B ) t ( x ) t cos( A ) t cos( A ) t ( x p 2 2 p 1 1 2 p 2 2 p 1 1 1          En appliquant les conditions initiales, on trouve :               t 2 sin t 2 sin C ) t ( x t 2 cos t 2 cos C ) t ( x p 2 p 1 p 2 p 1 2 p 2 p 1 p 2 p 1 1          Le phénomène étudié est le battement ou modulation d’amplitude. Figure 6.5 : Phénomène les battements où modulation d’amplitude
  • 97. 90 Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Partie 3 :  Les équations du mouvement s’écrivent comme suit :                            0 kx kx 2 x m e f R ) t ( f kx kx 2 x m 0 x L ) x L ( dt d 0 x L ) x L ( dt d 1 2 2 t j 0 e 2 1 1 2 2 1 1         Les solutions particulières sont :            ) t ( j p 2 2 ) t ( j p 1 1 p p Be ) t ( x ) t ( x Ae ) t ( x ) t ( x      En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient un système linéaire forcé suivant :     j j 2 p 0 2 p e B B ~ Ae A ~ Avec 0 A ~ k B ~ ) k 2 m ( f B ~ k A ~ ) k 2 m (                 Les modules des amplitudes sont exprimés comme suit :                                            ) )( ( m k f k 2 m k k k 2 m 0 k f k 2 m B ) )( ( ) m k ( m f k 2 m k k k 2 m k 2 m 0 k f A 2 p 2 2 2 p 1 2 2 0 2 p 2 p 0 2 p 2 p 2 2 2 p 1 2 2 0 2 p 2 p 2 p 0                 Les phénomènes étudiés sont :  La résonance p 2 p 1 quand B A               Anti résonance. m k quand te tan cons B 0 A        Problème 2 : Partie 1 : On considère deux circuits électriques ) C , L , R ( ap ind couplés par une capacité représentés par la figure 7.5 comme suit:
  • 98. 91 Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Figure 7.5 : Deux circuits couplés par une capacité  Quel est le nombre de degré de liberté ?  Déterminer le Lagrangien du système.  Donner les équations du mouvement Partie 2 : On néglige les résistances des deux circuits. On prend les nouvelles grandeurs physiques telles que : ind ind 2 ind 1 L L L   et ap ap 2 ap 1 C C C   et ap ind 2 0 C L 1   .  Etablir les nouvelles équations différentielles du mouvement.  En déduire les pulsations propres du système en fonction de 0.  Donner les solutions générales.  Quel est le modèle mécanique équivalent ? Solutions : Partie 1 :  Le nombre de degré de liberté est 2 car les deux courants parcourus dans les deux circuits sont différents.  Le Lagrangien du système est exprimé comme suit :         2 1 i 2 i iap 2 2 1 ap 2 i 2 1 i iind q C 1 2 1 ) q q ( C 2 1 q L 2 1 L̂ 
  • 99. 92 Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE  Le système différentiel :                0 q C 1 q ) C 1 C 1 ( q L 0 q C 1 q ) C 1 C 1 ( q L 1 ap 2 ap ap 2 2 ind 2 2 ap 1 ap ap 1 1 ind 1     Partie 2 :  Les nouvelles équations du mouvement :              0 q C 1 q C 2 q L 0 q C 1 q C 2 q L 1 ap 2 ap 2 ind 2 ap 1 ap 1 ind      Les pulsations propres :  On considère les solutions du système de type sinusoïdal :          ) t ( j 2 ) t ( j 1 p p Be ) t ( q Ae ) t ( q      En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient un système linéaire symétrique suivant :                0 A C 1 B ) C 2 L ( 0 B C 1 A ) C 2 L ( ap ap 2 p ap ap ap 2 p ind    Le système admet des solutions non nulles si seulement si : 0 det  D’où : 0 ) C 1 ( ) C 1 L ( 2 ap 2 ap 2 p ind       Les deux pulsations propres sont :          ap ind 2 p 2 ap ind 2 p 1 C L 3 C L 1    Les solutions générales :            ) t cos( B ) t cos( B ) t ( q ) t cos( A ) t cos( A ) t ( q p 2 2 p 1 1 2 p 2 2 p 1 1 1        
  • 100. 93 Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE  Le système mécanique équivalent est représenté par la figure 5.9 comme suit: Figure 8.5 : Mouvement oscillatoire couplé Problème 3 : On a un système mécanique constitué par trois masses couplées par deux ressorts identiques de constante de raideur k représenté dans la figure 9.5 comme suit: Figure 9.5 : Mouvement oscillatoire à trois degrés de liberté  Etablir le Lagrangien du système.  Déterminer les équations différentielles du mouvement.  En déduire les pulsations propres ainsi la nature du mouvement.  Donner la matrice de passage.  Donner les solutions générales. Solutions :  Le Lagrangien du système : Pour l’énergie cinétique on a : 2 3 3 2 2 2 2 1 i 1 c x m 2 1 x m 2 1 x m 2 1 E       Pour l’énergie potentielle on a : 2 3 2 2 2 1 p ) x x ( k 2 1 ) x x ( k 2 1 E    
  • 101. 94 Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE Le Lagrangien s’exprime alors : 2 3 2 2 2 1 2 i 3 1 i i ) x x ( k 2 1 ) x x ( k 2 1 x m 2 1 L          L’équation différentielle :                                    0 kx kx x m 0 kx kx kx 2 x m 2 0 kx kx x m 0 x L ) x L ( dt d 0 x L ) x L ( dt d 0 x L ) x L ( dt d 2 3 3 3 1 2 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1           Les pulsations propres :  On considère les solutions du système de type sinusoïdal :              ) t ( j 3 ) t ( j 2 ) t ( j 1 p p p Ce ) t ( x Be ) t ( x Ae ) t ( x        En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient un système linéaire suivant :                   0 kB C ) k m ( 0 kC kA B ) k 2 m 2 ( 0 kB A ) k m ( 2 p 2 p 2 p     Le système admet des solutions non nulles si seulement si : 0 det  D’ou 0 ] k ) k m )[( k m ( 2 2 2 p 2 p          Les pulsations propres sont :           m k 2 0 m k 2 p 3 2 p 2 2 p 1     La matrice de passage s’écrit:             0 0 0 1 1 0 1 1 1 P
  • 102. 95 Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE  La solution générale est :                           ) t cos( ) t cos( ) t cos( P ) t ( x ) t ( x ) t ( x 3 p 3 2 p 2 1 p 1 1 2 1       Problème 4 : Sur un arbre OO’ horizontal et fixe, de masse négligeable, encastré à ses extrémités O et O’, sont fixés trois disques (D1), (D2) et (D3) de centres respectifs O1, O2 et O3 et de même moment d’inertie J par rapport à leur axe commun OO’. On désignera 1(t), 2(t) et 3(t), les angles angulaires de rotation de chacun des trois disques par rapport à leur position de repos, figure 10.5: Figure 10.5 : Mouvement oscillatoire couplés de trois disques de torsion Les quatre partis OO1, O1O2, O2O3 et O3O’de l’arbre ont même constante de torsion C. On posera la constante : J C 2 0   . Régime libre :  Déterminer le Lagrangien de ce système.  Etablir les équations différentielles du second ordre vérifiées par les angles 1(t), 2(t) et 3(t).  En déduire les trois pulsations propres 1p, 2p et 3p de ce système en fonction de 0.
  • 103. 96 Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE  Déterminer pour chaque des trois modes propres, les amplitudes angulaires des disques D2 et D3 si l’amplitude angulaire du disque D1 est A= 1 radian.  Calculer l’énergie mécanique totale ET de cette chaîne de trois disques, pour chacun des modes propres, en fonction de C et de l’amplitude angulaire 10 du disque D1. Régime forcé : On applique au seul disque (D1) un couple moteur de moment sinusoïdal, de pulsation  réglable et d’amplitude 0. ) t cos( ) t ( 0     ,  Etablir en fonction du paramètre 2 0 ) ( X    , les amplitudes angulaires A1, A2 et A3 de chacun des disques en régime forcé.  Pour quelles valeurs de X ce système est il en résonance ? Solutions : Régime libre :  Le Lagrangien de ce système : Pour l’énergie cinétique on a : 2 3 i 2 2 2 1 c J 2 1 J 2 1 J 2 1 E          Pour l’énergie potentielle on a : 2 1 2 3 2 3 2 2 2 1 p C 2 1 C 2 1 ) ( C 2 1 ) ( C 2 1 E             Le Lagrangien s’exprime alors : 2 1 2 3 2 3 2 2 2 1 2 i 3 1 i C 2 1 C 2 1 ) ( C 2 1 ) ( C 2 1 J 2 1 L                 
  • 104. 97 Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE  Les équations différentielles sont :                                   0 ) 2 ( 0 ) 2 ( 0 ) 2 ( 0 L ) L ( dt d 0 L ) L ( dt d 0 L ) L ( dt d 2 3 2 0 3 3 1 2 2 0 2 2 1 2 0 1 3 3 2 2 1 1                              Les pulsations propres :  On considère les solutions du système de type sinusoïdal :              ) t ( j 3 ) t ( j 2 ) t ( j 1 p p p Ce ) t ( Be ) t ( Ae ) t (           En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient un système linéaire suivant :                   0 B C ) 2 ( 0 C A B ) 2 ( 0 B A ) 2 ( 2 0 2 0 2 p 2 0 2 0 2 0 2 p 2 0 2 0 2 p            Le système admet des solutions non nulles si seulement si : 0 det  Avec 0 2 0 2 0 2 2 0 2 p 2 0 2 0 2 0 2 p 2 0 2 0 2 0 2 p                      D’ou : 0 ] ) 2 ( ) 2 )[( 2 2 ( 2 2 0 2 2 p 2 0 2 0 2 p            Les pulsations propres sont : 2 2 2 2 2 0 p 3 0 p 2 0 p 1             Les amplitudes angulaires des disques D2 et D3 3 2 1 2 0 p 3 p 3 2 1 2 0 p 2 p 2 3 2 0 p 1 p 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2                                     
  • 105. 98 Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE  L’énergie mécanique totale ET : 2 1 2 3 2 3 2 2 2 1 2 i 3 1 i T C 2 1 C 2 1 ) ( C 2 1 ) ( C 2 1 J 2 1 E                  Régime forcé :  Les amplitudes angulaires A1, A2 et A3 :                                        0 ) 2 ( 0 ) 2 ( ) t cos( ) ( C C J 0 L ) L ( dt d 0 L ) L ( dt d M L ) L ( dt d 2 3 2 0 3 3 1 2 2 0 2 0 2 1 1 1 3 3 2 2 i ext 1 1                                 En régime forcé les solutions particulières son t de la forme:         t j 3 3 t j 2 2 t j 1 1 e A ) t ( e A ) t ( e A ) t (        En remplaçant dans le système différentiel, on obtient le résultat suivant :                             ) X 2 2 )( X 2 2 )( X 2 ( 1 C A ) X 2 2 )( X 2 2 ( 1 C A ) X 2 2 )( X 2 2 )( X 2 ( ) X 3 )( X 1 ( C A 0 3 0 2 0 1     Ce système entre en résonnance pour les valeurs de X, comme suit : 2 2 X 2 2 X 2 X      Problème 5 : On considère trois pendules simples identiques, de masses m, de longueur l, présentés dans la figure 11.5. Les masses sont reliées entre elles par l’intermédiaire de deux ressorts identiques, de raideur k. A l’équilibre, les pendules sont verticaux, les trois masses sont équidistantes sur une même, et les ressorts ont leur longueur naturelle. Le
  • 106. 99 Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE système en mouvement est défini, à l’instant t, par les élongations angulaires θ1, θ2, θ3 des pendules avec la verticale descendante. On posera les constantes suivantes : m k 2 0   et l g 2 0   . Figure 11.5 : Mouvement oscillatoire couplés de trois pendules  Déterminer le Lagrangien du système  Etablir les équations différentielles du second ordre vérifiées par les élongations angulaires θ1(t), θ2(t), et θ3(t) pour les petites oscillations du système.  Déterminer les pulsations propres du système.  application numérique : On prend : m=1kg, k=10N/m ; l=1m, g=10m s-2 . Calculer les pulsations propres.  Déterminer le rapport des amplitudes angulaires A B et A C pour chacun des modes propres de ce système. Solutions :  Le Lagrangien du système : Le système a trois degrés de liberté représentés par : θ1, θ2, θ3. L’énergie cinétique s’exprime: 2 3 2 2 2 2 2 i 2 c ml 2 1 ml 2 1 ml 2 1 E         