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Étude des variations d’une fonction
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Objectifs
◗ Réactiver les connaissances du ...
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1 a. Sur calculatrice.
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Problèmes
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b. Lorsque m 0! , Ᏸm
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  1. 1. Outils pour l’algorithmique Second degré Fonctions de référence Dérivation Étude des variations d’une fonction Suites numériques –Généralités Suites arithmétiques et géométriques Géométrie plane Trigonométrie Produit scalaire Statistiques Probabilités Loi binomiale page-titres-GF.indd 1 9/02/11 15:25:46 Jean-Paul Beltramone Vincent Brun Jean Labrosse Claudine Merdy Philippe Rousseau Olivier Sidokpohou Claude Talamoni Alain Truchan 9/02/11 15:25:46
  2. 2. ©HachetteLivre2011–Déclic1re S Livre du professeur - Outils pour l’algorithmique 1 1. Programme officiel En Seconde, les élèves ont conçu et mis en œuvre quel- ques algorithmes. Cette formation se poursuit tout au long du cycle terminal. Dans le cadre de cette activité algorithmique, les élèves sont entraînés à : - décrire certains algorithmes en langage naturel ou dans un langage symbolique ; - en réaliser quelques-uns à l’aide d’un tableur ou d’un programme sur calculatrice ou avec un logiciel adapté ; - interpréter des algorithmes plus complexes. Aucun langage, aucun logiciel n’est imposé. L’algorithmique a une place naturelle dans tous les champs des mathématiques et les problèmes posés doivent être en relation avec les autres parties du programme (analyse, géométrie, statistiques et proba- bilités, logique), mais aussi avec les autres disciplines ou le traitement de problèmes concrets. À l’occasion de l’écriture d’algorithmes et programmes, il convient de donner aux élèves de bonnes habitudes de rigueur et de les entraîner aux pratiques systémati- ques de vérification et de contrôle. Instructions élémentaires (affectation, calcul, entrée, sortie). Les élèves, dans le cadre d’une résolution de problèmes, doivent être capables : - d’écrire une formule permettant un calcul ; - d’écrire un programme calculant et donnant la valeur d’une fonction ; - ainsi que les instructions d’entrées et sorties néces- saires au traitement. Boucle et itérateur, instruction conditionnelle Les élèves, dans le cadre d’une résolution de problèmes, doivent être capables de : - programmer un calcul itératif, le nombre d’itérations étant donné ; - programmer une instruction conditionnelle, un calcul itératif, avec une fin de boucle conditionnelle. Le manuel propose dans ses différents chapitres de très nombreuses occasions de concevoir des algorithmes ou d’écrire des programmes autour des contenus et compé- tences du programme de mathématique de Première S. Dans ce chapitre, on s’attache à organiser les connais- sances et savoir-faire du programme et à proposer pour chacun au moins une activité élémentaire et une activité évoluée en rapport avec une branche des mathémati- ques du lycée. Cependant, afin de laisser au professeur la maîtrise de la progression, aucun exercice ne nécessite d’outils étrangers à un élève sortant de Seconde. L’accent est mis sur la mise en œuvre d’algorithmes « à la main » et sur calculatrice programmable, seuls outils disponibles en permanence pour l’élève. L’ouverture indispensable sur d’autres logiciels est prise en compte et facilitée par les fiches de la fin de l’ouvrage. 2. Intentions des auteurs
  3. 3. 2 Livre du professeur - Outils pour l’algorithmique ©HachetteLivre2011–Déclic1re S 2 Décomposer en instructions élémentaires ActivitéActivité 1 Analyse de trois algorithmes 1 Algo 1 : Calcul du PGCD de a et b. Algo 2 : Détermination de la liste de tous les nombres premiers entre 2 et n (Crible d’Eratosthène). Algo 3 : Calcul de la moyenne des N nombres. 2 ◗ Lire les deux entiers a et b ◗ Calculer le reste r de la division euclidienne de a par b ◗ TANT QUE r est différent de 0 – Remplacer a par b – Remplacer b par r – Remplacer r par le reste de la division euclidienne de a par b ◗ Afficher la valeur de b ◗ Lire le nombre n ◗ Écrire tous les entiers entre 2 et n ◗ Pour chacun de ces entiers, en commençant par 2 : – Si il n’est pas rayé Alors rayer tous ses multiples sauf lui-même ◗ Écrire la liste des entiers non rayés ◗ Lire le nombre de données N ◗ Lire toutes les données ◗ Calculer la somme des données ◗ Diviser cette somme par N ◗ Afficher le résultat. 3 a. ◗ Lire x ◗ Placer le point correspondant au réel x sur l’axe des abscisses ◗ Tracer une verticale passant par le point précé- dent ◗ Lire l’ordonnée du point d’intersection de la verticale et de la représentation graphique. b. ◗ Lire le réel c ◗ Tracer un segment de longueur c ◗ Prendre un écart de compas de longueur c ◗ Pour chacune des extrémités du segment : – Placer la pointe sèche du compas sur l’extrémité et tracer un cercle ◗ Relier les deux extrémités du segment à l’un des points d’intersection des deux cercles. c. ◗ Lire les réels positifs a, b et c ◗ Affecter le plus grand des trois réels à p ◗ Affecter les deux autres à q et r ◗ Affecter q r2 2 + à s ◗ Si s est égal à p2 Alors Afficher « Le triangle est rectangle » Sinon Afficher « Le triangle n’est pas rectangle » ActivitéActivité 2 La sauterelle et la grenouille 1 Lire avanceSauterelle 2 Affecter 0 à posGrenouille Affecter posGrenouille+avanceSauterelle à posSaute- relle 3 Affecter 1 à ChasseEnCours 4 Tant que ChasseEnCours est égale à 1 : Affecter posGrenouille + 40 à posGrenouille Affecter posSauterelle + 24 à posSauterelle 5 Si posSauterelle – posGrenouille est négatif Alors Affecter 0 à ChasseEnCours Affecter « La sauterelle s’est échappée » à txtFinal Sinon Si posSauterelle – posGrenouille est plus petit que 10 Alors Affecter 0 à ChasseEnCours Affecter«Lagrenouilleamangélasaute- relle » à txtFinal FinSi FinSi FinTantQue 6 Afficher txtFinal 3 Affecter une variable ActivitéActivité 1 À mon tour À l’aide d’un tableau de suivi, déterminer les valeurs contenues dans les variables a, b et c à la fin de l’algo- rithme : Ligne a b c 4 0 / / 5 0 2 / 6 0 2 2 7 4 2 2 8 4 4 2 9 4 4 0 10 4 4 0 ActivitéActivité 2 Le Bourgeois gentilhomme 1 a = « belle marquise » ; b = « vos beaux yeux » ; c = « me font » ; d = « mourir d’amour ».
  4. 4. Livre du professeur - Outils pour l’algorithmique 3 ©HachetteLivre2011–Déclic1re S a. Afficher a + b + c + d. b. Afficher a + d + b + c. c. Afficher d + b + a + c. d. Afficher c + b + a + d. 2 Nous constatons que nous pouvons donner un sens à certaines de ces phrases mais que le manque de ponc- tuation est gênant. a. Afficher a + « , » + b + c + d + « . » b. Afficher a + « , » + d + b + c + « . » c. Afficher d + « , » + a + « , » + b + c + « . » ActivitéActivité 3 Jouons avec les variables 1 Il est nécessaire de recou- rir à un troisième pot. On verse le contenu du pot noté « abricot » dans ce troisième pot libérant ainsi le pot qui pourra recevoir le contenu correspondant à son éti- quette. 2 On obtient par exemple le tableau de suivi ci-dessous. Étape a b 1 7 / 2 7 3 3 10 3 4 10 7 5 3 7 Cet algorithme permet donc également d’échanger le contenu de variables (numériques) sans avoir recours à une troisième variable. 4 Exprimer une condition ActivitéActivité 1 Valeur d’une condition Déterminer la valeur ( vrai ou faux ) de chacune des conditions suivantes : • Vrai ; • Vrai (inégalité triangulaire) ; • Faux. ActivitéActivité 2 Instructions conditionnelles 1 Algo 1 : v = « Le triangle est rectangle ». Algo 2 : v = 3. 2 a. a 1= , b 2= et c 3= conviennent (il faut 1 1a b c). b. a 1= , b 3= et c 2= conviennent (il faut 1a b et c bG ). c. a 2= , b 1= et c 3= conviennent (il faut b aG ). 3 Début Lire a^ h ; Lire b^ h ; Lire c^ h ; Delta = b*b - 4*a*c Si Delta 1 0 Alors v = « Le trinôme n’admet aucune racine » ; Sinon Si Delta == 0 Alors x0 = -b/(2*a) ; v = « Le trinome admet une unique racine : » + x0 ; Sinon x1 = (-b + sqrt(Delta))/(2*a) ; x2 = (-b - sqrt(Delta))/(2*a) ; v = « Le trinôme admet deux racines : » + x1 + « et » + x2 ; FinSi FinSi Afficher v^ h ; Fin. ActivitéActivité 1 La fonction de Heaviside 1 a. H 2 01 - =^ h ; ,H 0 5 01 - =^ h ; H 0 11 =^ h et ,H 1 5 11 =^ h . b. Début Lire x^ h ; Si 1x 0 image = 0 ; Sinon image = 1 ; FinSi Afficher(image) ; Fin. 2 a. L’unique différence est : H 0 11 =^ h et ,H 0 0 5,0 5 =^ h . b. Voir l’algorithme Heavi05 ci-dessous. Début Lire(x) ; Si 1x 0 image = 0 ; Sinon Si x == 0 Alors image = 0,5 ; Sinon image = 1 ; FinSi FinSi Afficher(image) ; Fin. Début Entrer a^ h ; Entrer b^ h ; c a= ; a b= ; b c= ; Fin.
  5. 5. 4 Livre du professeur - Outils pour l’algorithmique ©HachetteLivre2011–Déclic1re S c. H 0 00 =^ h ; d’où l’algorithme Heavi0 ci-dessous. Début Lire x^ h ; Si 2x 0 image = 1 ; Sinon image = 0 ; FinSi Afficher(image) ; Fin. 3 Début Lire x^ h ; Si 1x 2 0-^ h image = 0 ; Sinon Si x == 2 Alors image = 0,5 ; Sinon image = 1 ; FinSi FinSi Afficher(image) ; Fin. Début Lire x^ h ; Si 1x 0 image = 0 ; Sinon Si x == 0 Alors image = 0,5 ; Sinon image = 1 ; FinSi FinSi Afficher(image - 0,5) ; Fin. b. 5 Répéter une instruction en boucle ActivitéActivité 1 1 S = 55. 2 i = 11. 3 10 fois. 4 Elle sert à demander à l’utilisateur d’entrer un nombre jusqu’à ce que celui-ci soit positif. 5 Elle permet la première exécution de la boucle. ActivitéActivité 2 1 a. Il teste la propriété pour plusieurs couples ;x y^ h avec fd xG G et fd yG G . b. Il faut remplacer les pointillés par : test == 1. d. On constate que pour certaines valeurs du couple ;x y^ h la propriété est fausse. 2 a. Casio TI b. On voit deux séries de points distinctes. c. On trouve x 1= et y x= . d. Soit un couple ;x y^ h de réels tels que : x y x xy2 + = + . On a alors x x xy y2 - = - , ce qui revient à : x x y x1 1- = -^ ^h h. Cette dernière équation s’écrit aussi : y x x 1 0- - =^ ^h h ; d’où y x 0- = ou x 1 0- = . Soit encore y x= ou x 1= .
  6. 6. Livre du professeur - Outils pour l’algorithmique 5 ©HachetteLivre2011–Déclic1re S ActivitéActivité 3 La marelle de Bresenham 1 Le cas 10 # 10 Algo 1 : les entiers naturels a et b sont choisis au début du jeu et ne changent pas à chaque tour. Début x = 0 y = 0 s = 0 a = NombreAuHasard(0 ; 11) b = NombreAuHasard(0 ; 11) TantQue ( 1x 10= ET 1y 10= ) Faire AfficherPoint ;x y^ h Si 1s 0 Alors x x 1= + s s a= + Sinon y y 1= + s s b= - FinSi FinTantQue Fin. 2 Le cas 3 # 3 a. En la reproduisant sur votre feuille, tester le dépla- cement de Céline en comptant le nombre de déplace- ments dans les cas suivants : ◗ dans le cas a b= : on obtient toujours trois déplace- ments ; ◗ dans le cas a 1= et b 10= : de même. b. Au début du jeu, le compteur est à zéro. Le premier déplacement sera donc d’un carreau vers le Nord et le compteur prendra la valeur - b. On peut ainsi modifier l’algo1 précédent en initialisant y à 1 et s à - b. Remarque : Notons que dans ce cas s devient strictement négatif et le déplacement suivant sera forcément d’un carreau vers l’Est, ce qui permet d’initialiser en plus x à 1 et s à a b- .) 3 Pertinence de l’algorithme On s’intéresse cette fois à la finitude de l’algorithme. La boucle utilisée ne s’arrêtant que si une condition est remplie, il nous faut prouver que cette condition se réali- sera en un nombre fini d’étapes. Pour cela, on se remet dans la condition initiale de la marelle de 10 sur 10. a. Pour atteindre la frontière Est il faut avoir fait 9 pas vers l’Est, on en déduit qu’elle a en outre fait 8 pas vers le nord. Voici un exemple d’un tel déplacement : b. Étant donné qu’il faut (et qu’il suffit de) faire 9 pas vers l’Est pour atteindre cette frontière, on en déduit que 16 pas ont été fait vers le Nord. Cependant, au bout de 9 pas vers le Nord la frontière Nord est atteinte. On en conclut que cette situation est impossible. c. Ainsi le nombre maximal de pas au total est de 9 pas dans une direction et de 8 dans l’autre, soit 17 pas. d. n p 1+ - .
  7. 7. C H A P I T R E Second degré Livre du professeur - CHAPITRE 1 Second degré 1 ©HachetteLivre2011–Déclic1re S 1. Programme officiel Contenus Capacités attendues Commentaires Second degré Forme canonique d’une fonction polynôme de degré deux. Équation du second degré, discriminant. Signe du trinôme. ◗ Déterminer et utiliser la forme la plus adéquate d’une fonction polynôme de degré deux en vue de la résolution d’un problème : développée, factorisée, canonique. On fait le lien avec les représentations graphiques étudiées en classe de Seconde.  Des activités algorithmiques doivent être réalisées dans ce cadre. Plusieurs démonstrations, ayant valeur de modèle, sont repérées par le symbole . Certaines sont exigibles et correspondent à des capacités attendues. De même, les activités de type algorithmique sont signalées par le symbole . 2. Intentions des auteurs Les fonctions polynômes de degré 2 ont été abordées en Seconde. Dans ce chapitre, on complète les connais- sances concernant la forme canonique et on les réin- vestit pour résoudre l’équation ax bx c 02 + + = . Enfin, on réinvestit les connaissances concernant les variations pour étudier le signe de ax bx c2 + + . Du point de vue mathématique : – on met en place la forme canonique avec l’introduc- tion du discriminant ; – on résout l’équation ax bx c 02 + + = a 0!^ h et on en déduit la factorisation éventuelle de ax bx c2 + + a 0!^ h ; – on étudie le signe de ax bx c2 + + en exploitant le tableau de variations de la fonction qui à x associe ax bx c2 + + a 0!^ h. Les exercices visent avant tout à assurer une bonne connaissanceduseconddegré,tantdupointdevuefonc- tionnel que du point de vue algébrique. Les nouveaux acquis permettent de résoudre des problèmes de mise en équation.
  8. 8. 2 Livre du professeur - CHAPITRE 1 Second degré ©HachetteLivre2011–Déclic1re S Objectifs ◗ Réactiver les connaissances du cours de Seconde concer- nant : – les représentations graphiques des fonctions polynômes de degré 2 ; – les variations de ces mêmes fonctions ; – l’utilisation de la forme canonique. ◗ Revoir également les identités remarquables pour préparer le passage forme développée-forme canonique. A 1 Faux. 2 Vrai. 3 Vrai. 4 Faux, la forme canonique est x 1 12 - +^ h . B f est associé au tableau c., g au tableau d., h au tableau b. et k au tableau a. C 1 Faux, c’est ;3 1-" ,. 2 Vrai. 3 Vrai. 4 Faux, une seule solution : 1,5. D 1 b. 2 c. 3 a. 4 a. ActivitéActivité 1 Forme canonique Objectif Revoir l’obtention de la forme canonique par la résolution de l’équation f x c=^ h et l’utilisation de l’axe de symétrie de la parabole. Puis découvrir une autre méthode utilisant les identités remarquables. 1 a. f x x x3 2 6 3 32 += + + =^ h x x2 3 0+ + =^ h x 0+ = ou x 3=- . D’où ,1 5=-a . , ,f 1 5 1 5= - =-b ^ h . , ,f x x2 1 5 1 52 = + -^ ^h h . b. g x x x1 3 5 1 12 += - + + =^ h x x3 5 0+ - + =^ h x 0+ = ou x 3 5 = . D’où 6 5 =a . g 6 5 12 37 = =b c m . g x x3 6 5 12 372 =- - +^ ch m . 2 a. , ,x x x x x2 6 2 3 2 1 5 2 252 2 2 + = + = + -^ ^h h6 @. , ,f x x x x2 6 3 2 1 5 2 25 32 2 = + + = + - +^ ^h h6 @ , ,f x x2 1 5 1 52 = + -^ ^h h . b. .x x x x x3 5 3 3 5 3 6 5 36 252 2 2 - + =- - =- - -c cm m= G g x x x3 5 12 =- + +^ h g x x3 6 5 36 25 1 2 =- - - +^ ch m= G g x x3 6 5 12 372 =- - +^ ch m . ActivitéActivité 2 Découvrir le rôle du discriminant Objectif Introduire le discriminant et conjecturer son influence sur le nombre de solutions de l’équation ax bx c 02 + + = a 0!^ h . 2 On conjecture que : – si 2 0D , alors il y a deux solutions ; – si 0=D , alors il y a une seule solution ; – si 1 0D , alors il n’y pas de solution. ActivitéActivité 3 Approche graphique Objectif « Résoudre » graphiquement l’équation ax bx c 02 + + = a 0!^ h et lire sur le graphique le signe de ax bx c2 + + . 1 a.Pour f,lacourbeestau-dessusdel’axedesabscisses et le sommet est sur cet axe. Pour g, la courbe est strictement au-dessus de l’axe des abscisses et donc le sommet aussi. Pour h, la courbe traverse l’axe des abscisses et le sommet est au-dessous de cet axe. Pour u, la courbe est strictement au-dessous de l’axe des abscisses et donc le sommet aussi. Pourv,lacourbetraversel’axedesabscissesetlesommet est au-dessus de cet axe. Pour w, la courbe est au-dessous de l’axe des abscisses et le sommet sur cet axe. b. Non, on ne peut pas. 2 a. Équation f x 0=^ h g x 0=^ h h x 0=^ h Ensemble des solutions dans R 3" , Q ;2 1-" , Équation u x 0=^ h v x 0=^ h w x 0=^ h Ensemble des solutions dans R Q ;3 0-" , 2-" , b. x 3- 3 3+ f x^ h + 0 + x 3- 3+ g x^ h + x 3- - 2 1 3+ h x^ h + 0 - 0 + x 3- 3+ u x^ h - x 3- - 3 0 3+ v x^ h - 0 + 0 - x 3- - 2 3+ w x^ h - 0 -
  9. 9. Livre du professeur - CHAPITRE 1 Second degré 3 ©HachetteLivre2011–Déclic1re S ActivitéActivité 4 Variations et équations Objectif Lier les approches fonctionnelles (tableau de varia- tions) et algébriques (nombre de solutions de l’équation ax bx c 02 + + = a 0!^ h. 1 Si 2a 0, l’équation f x 0=^ h n’admet aucune solution si 2 0b , admet une solution si 0=b et deux solutions si 1 0b . Si 1a 0, l’équation f x 0=^ h n’admet aucune solution si 1 0b , admet une solution si 0=b et deux solutions si 2 0b . 3 Si a et b sont choisis, la valeur de a ne peut pas modifier le nombre de solution(s) de l’équation a x 02 - + =a b^ h . Exercices d’applicationExercices d’application Obtenir une forme canonique a. Pour le trinôme : x x2 52 + - , on a : 1 4 2 5 412 # #= - - =D ^ h . b. Pour le trinôme : x x7 32 - + + , on a : 49 12 61= + =D . c. Pour le trinôme : , , ,x x1 2 0 4 2 32 + + , on a : , , ,0 16 11 04 10 88= - =-D . d. Pour le trinôme : x x 2 3 2 1 4 12 - + - , on a : , , ,0 25 1 5 1 25= - =-D . a. , ,x x x2 5 2 0 25 5 1252 2 + - = + -^ h . b. , ,x x x7 3 3 5 15 252 2 - + + =- - +^ h . c. , , , ,x x x1 2 0 4 2 3 1 2 6 1 15 342 2 + + = + +c m . d. x x x 2 3 2 1 4 1 2 3 6 1 24 52 2 - + - =- - -c m . a. x 3- - 0,25 3+ f x^ h - 5,125 b. x 3- 3,5 3+ f x^ h 15,25 c. x 3- 6 1- 3+ f x^ h 15 34 d. x 3- 6 1 3+ f x^ h 24 5- x x x x5 6 2 2 5 6 02 +- + = - =^ h . L’ensemble des solutions est ; ,S 0 1 2= " ,. ,0 6=a ; , , ,5 0 6 6 0 6 2 0 22 # #= - + =b . Forme canonique : , ,x x x5 6 2 5 0 6 0 22 2 - + = - +^ h . x 3- 0,6 3+ f x^ h 0,2 x x x x2 2 1 02 +- + - =- - + =^ h . Solutions de l’équation : ;S 0 1= " ,. ,0 5=a ; , , ,0 5 0 5 2 1 752 =- + - =-b . Sommet de la parabole : , ; ,S 0 5 1 75-^ h. a. x x x4 5 2 4 52 2 + - = + - -^ h x 2 92 = + -^ h . b. x x x x3 6 7 3 2 72 2 - - = - -^ h x x3 1 1 7 3 1 102 2 = - - - = - -^ ^h h6 @ . c. x x x x2 12 3 2 6 32 2 - + + =- - +^ h x x2 3 9 3 2 3 212 2 =- - - + =- - +^ ^h h6 @ . d. x x x x2 3 2 32 2 - + + =- - +^ h x x1 1 3 1 42 2 =- - - + =- - +^ ^h h6 @ . Résoudre une équation du second degré a. x x2 10 02 + - = ; 81=D ; , ;S 2 5 2= -" ,. b. , , ,x x1 2 0 4 2 3 02 + + = ; ,10 88=-D ; QS = . c. x x7 6 02 - + - = ; 25=D ; ;S 1 6= " ,. d. x x 2 1 2 1 8 1 02 - + - = ; 0=D ; ,S 0 5= " ,. a. ,x x x x2 10 2 2 5 22 + - = + -^ ^h h. b. , , ,x x1 2 0 4 2 32 + + : pas de factorisation. c. x x x x7 6 1 62 - + - =- - -^ ^h h. d. x x x 2 1 2 1 8 1 2 1 2 12 2 - + - =- -c m . a. x x x x5 9 0 5 9 02 +- = - =^ h ; ; ,S 0 1 8= " ,. b. x x x4 4 0 2 02 2 +- + = - =^ h ; S 2= " ,. c. x x11 0 112 2 +- + = = ; ;S 11 11= -# -. d. x x x4 4 1 0 2 1 02 2 +- + = - =^ h ; ,S 0 5= " ,. a. x x x x5 3 2 3 7 5 5 02 2 +- + =- + - = x 1+ = ou x 1=- . f 1 4=^ h et f 1 10- =^ h . La parabole ᏼ et la droite Ᏸ sont sécantes en ;A 1 4^ h et en ;B 1 10-^ h. b.LaparaboleᏼetladroiteᏰsontsécantesen ;A 2 1-^ h et en ;B 4 19- -^ h. c. La parabole ᏼ et la droite Ᏸ sont sécantes en ;A 0 2^ h et en ;B 3 1 2-c m. d. x x x3 7 12 5 142 - + + = + .x x3 2 2 02 + - + - = 20=-D . La parabole ᏼ et la droite Ᏸ n’ont pas de points d’intersection. e.La parabole ᏼ et la droite Ᏸ sont sécantes en ; .A 4 2-^ h
  10. 10. 4 Livre du professeur - CHAPITRE 1 Second degré ©HachetteLivre2011–Déclic1re S À la calculatrice, on a - 0,62 et 1,62 à 0,01 près. x x 1 02 - + + = . 5=D . x 2 1 5 1 = + et x 2 1 5 2 = - . Résoudre une inéquation du second degré a. x x2 102 + - ; 81=D . Comme 2 0D et 2a 0, la parabole ᏼ coupe l’axe des abscisses avec son sommet au-dessous de cet axe. b. x x3 7 52 - + ; 11=-D . Comme 1 0D et 2a 0, la parabole ᏼ est toujours au-dessus de l’axe des abscisses. c. x x4 36 812 - + ; 0=D . Comme 0=D et 2a 0, la parabole ᏼ est toujours au-dessus de l’axe des abscisses avec son sommet sur cet axe. d. x x9 6 12 - - - ; 0=D . Comme 0=D et 1a 0, la parabole ᏼ est toujours au-dessous de l’axe des abscisses avec son sommet sur cet axe. e. x x8 232 - + - ; 28=-D . Comme 1 0D et 1a 0, la parabole ᏼ est toujours au-dessous de l’axe des abscisses. f. x x2 2 402 - + + ; 324=D . Comme 2 0D et 1a 0, la parabole ᏼ coupe l’axe des abscisses avec son sommet au-dessus de cet axe. a. 2x x2 10 02 + - ; 81=D . ,x 2 51 =- et x 22 = . L’ensemble des solutions est : ; , ;S 2 5 2,3 3= - - +6 6@ @ . b. x x3 7 5 02 G- + ; 11=-D . L’ensemble des solutions est QS = . c. x x4 36 81 02 G- + ; 0=D . ,x x 4 51 2= = . L’ensemble des solutions est ,S 4 5= " ,. d. 1x x9 6 1 02 - - - ; 0=D ; x x 3 1 1 2= = - . L’ensemble des solutions est RS 3 1 = - -' 1. e. 1x x8 23 02 - + - ; 28=-D . L’ensemble des solutions est RS = . f. x x2 2 40 02 H- + + ; 324=D . x 41 =- et x 52 = . L’ensemble des solutions est ;S 4 5= -6 @. Construction géométrique d’une parabole Soit un repère dont l’axe des abscisses est la droite Ᏸ et dont l’axe des ordonnées passe par F avec y aF = . Comme M est sur l’axe des abscisses, ses coordonnées sont ;x 0^ h. La droite IM^ h est perpendiculaire à l’axe des abscisses donc I a même abscisse x que M. On note y l’ordonnée de I. Ainsi, on a ;I x y^ h. I I I IM F M F2 2 + == y x y a2 2 2 + = + -^ h y x y ay a22 2 2 2 + = + - - x ay a0 22 2 + = - - I+ appartient à la parabole d’équation ,y a x a 2 2 2 = + soit y a x a 2 2 2 = + . Lancer de balle et parabole 1 a. , ,h t t t t3 0 5 3 252 2 =- + + =- - +^ ^h h . b. h t^ h est maximum pour ,t 0 5= et la hauteur maxi- male est 3,25 m. c. Comme t 0H , , ,h t t0 0 5 3 25 02 += - - + =^ ^h h , , , ,t t0 5 3 25 3 25 0 52 + +- = = +^ h . La balle touche le sol à l’instant , ,t 3 25 0 5= + . La balle tombe à une distance , , v3 25 0 5+ l_ i du point de départ, soit à ,2 3 25 1+_ i m. 2 a. Comme x v t= l , t v x = l et .h v x v v x 32 2 = - + + l l b. Ayant une fonction trinôme, la trajectoire est une parabole. c. Pour v v 1= =l , on a h x x 32 =- + + . 3 h t t vt 32 =- + +^ h , ,h t t v v0 5 3 0 252 2 =- - + +^ ^h h . h t^ h est maximum pour ,t v0 5= et la hauteur maximale est , v3 0 25 2 + . a. Si v 3= , la hauteur maximale est 5,25 ; donc la balle atteint bien une hauteur d’au moins 5 m avant de retomber. b. Comme 2v 0, , ,v v3 0 25 5 0 25 22 2 +H H+ v 82 + H v 2 2+ H . La balle atteint une hauteur minimale d’au moins 5 m avant de retomber si v 2 2H . 4 a. Comme t 0H , , ,h t t v v0 0 5 3 0 25 02 2 += - - + + =^ ^h h , ,t v v0 5 3 0 252 2 + - = +^ h , ,t v v3 0 25 0 52 + = + + . b. La balle atteint le sol quand h t 0=^ h , c’est-à-dire quand , ,t v v3 0 25 0 52 = + + . , , , ,v v v v3 0 25 0 5 3 3 0 25 3 0 52 2 +H H+ + + - 3 , ,v v v0 25 9 3 0 252 2 + H+ - + v3 6+ H v 2+ H . v doit être supérieur ou égal à 2 pour que la balle n’at- teigne pas le sol avant l’instant t 3= s. 5 a. h t t vt3 3 32 += - + + =^ h t t v t0 0+ +- + = =^ h ou t v= . La balle est de nouveau à une hauteur de 3 m à l’instant t v= . La distance horizontale parcourue par la balle est vvl. x 1 2 1 2 3 0 y
  11. 11. Livre du professeur - CHAPITRE 1 Second degré 5 ©HachetteLivre2011–Déclic1re S b. Comme on a v v 42 2 + =l , v v42 2 = -l . vvl est maximal v v2 2 + l est maximal v v42 2 + -^ h est maximal v v44 2 + - + est maximal V V42 + - + est maximal avec V v2 = . Il faut donc V 2= ; donc v 22 = et v 2= . On a alors v 2=l . Le rapport v v l doit valoir 1, ce qui correspond à la tangente d’un angle de 45°. 1 c. 2 b. 3 c. 1 a. et b. 2 a. et c. 3 a. 1 Vrai. 2 Vrai. 3 Faux. 4 Vrai. 1 Faux. 2 Faux. 3 Vrai. 4 Vrai. Applications directes 1 Mesures des angles orientés de vecteurs 1 Vrai. 2 Faux. 3 Vrai. 1 Vrai. 2 Vrai. 3 Faux. 1 Faux, sauf si b 0= . 2 Vrai. 3 Vrai. 1 Faux, sauf si b 0= . 2 Faux, sauf si 0=D . 3 Faux, sauf si a 1= . 1 Toutes les expressions correspondent à des trinômes du second degré sauf C x^ h de degré 3 et F x^ h de degré 1. 2 Pour A x^ h, a 5= , b 3=- et c 5= . Pour B x^ h, a 2=- , b 0= et c 3= . Pour D x^ h, a 4= , b 16= et c 16= . Pour E x^ h, a 6= , b 6= et c 9= . Savoir obtenir et utiliser une forme canonique 1 33=D et , ,x x x8 0 5 8 252 2 + - = + -^ h . 2 7=D et ,x x x3 2 0 25 3 3 1 12 72 2 - + + =- - +c m . 3 60=D et , ,x x x2 2 7 2 0 5 7 52 2 - - = - -^ h . 4 6=D et la forme canonique est , x0 5 32 - . 1 x x x x5 4 3 3 5 4 02 2 +- + = - = ,x 0 8+ = ou x 0= . L’abscisse du sommet est , , 2 0 8 0 0 4+ = . , , ,5 0 4 4 0 4 3 2 22 # #- + = , donc , ; ,S 0 4 2 2^ h. , ,x x x5 4 3 5 0 4 2 22 2 - + = - +^ h . 2 , ,x x x0 5 3 5 0 02 ++ = = ou x 7=- . Sommet de la parabole : , ; ,S 3 5 6 125- -^ h. Forme canonique : , , , , ,x x x0 5 3 5 0 5 3 5 6 1252 2 + = + -^ h . 3 x x x2 8 13 13 02 +- + - =- = ou x 4= . Sommet de la parabole : ;S 2 5-^ h. Forme canonique : .x x x2 8 13 2 2 52 2 - + - =- - -^ h 4 x x x 3 2 2 1 1 02 +- + - =- = ou x 3= . Sommet de la parabole : , ; ,S 1 5 0 5^ h. Forme canonique : , ,x x x 3 2 2 1 3 2 1 5 0 52 2- + - = - - +^ h . a. , ,x x x3 4 1 5 1 5 42 2 2 + - = + - -^ h , ,x 1 5 6 252 = + -^ h . b. x x x x8 9 8 92 2 + + =- - +^ h x x4 4 9 4 252 2 2 =- - - + =- - +^ ^h h6 @ . c. ,x x x x2 3 3 2 1 5 32 2 - + + =- - +^ h , ,x2 0 75 0 75 32 2 =- - - +^ h6 @ , ,x2 0 75 4 1252 =- - +^ h . d. ,x x x x4 1 4 0 25 12 2 + - = + -^ h , ,x4 0 125 0 125 12 2 = + - -^ h6 @ , ,x4 0 125 1 06252 = + -^ h . 1 Pour , ,x x x8 0 5 8 252 2 + - = + -^ h , les coor- données du sommet de la parabole sont , ; , .S 0 5 8 25- -^ h 2 Pour ,x x x3 2 0 25 3 3 1 12 72 2 - + + =- - +c m , les coordonnées du sommet de la parabole sont ; .S 3 1 12 7c m 3 Pour , ,x x x2 2 7 2 0 5 7 52 2 - - = - -^ h , les coor- données du sommet de la parabole sont , ; ,S 0 5 7 5-^ h. 4 Pour , x0 5 32 - , les coordonnées du sommet de la parabole sont ;S 0 3-^ h. a. x 3- - 1,5 3+ f x^ h - 6,25 b. x 3- 4 3+ f x^ h 25 c. x 3- 0,75 3+ f x^ h 4,125 d. x 3- - 0,125 3+ f x^ h - 1,0625
  12. 12. 6 Livre du professeur - CHAPITRE 1 Second degré ©HachetteLivre2011–Déclic1re S 1 a. Sur calculatrice. b. La plus grande valeur prise par f x^ h semble être 7 pour x 2= . 2 a. f x x x x4 3 2 72 2 =- + + =- - +^ ^h h . b. Le sommet de la parabole est ;S 2 7^ h, donc la conjec- ture est vérifiée. 1 x x x80 480 120 80 3 6002 2 - + = - -^ h . x 3- 3 3+ f x^ h - 600 Les coordonnées du sommet de la parabole sont ;S 3 600-^ h. 2 x x x27 270 582 27 5 932 2 - - - =- + +^ h . x 3- - 5 3+ f x^ h 93 Les coordonnées du sommet de la parabole sont ;S 5 93-^ h. 3 x x x43 602 2107 43 72 2 - + = -^ h . x 3- 7 3+ f x^ h 0 Les coordonnées du sommet de la parabole sont ;S 7 0^ h. f est la seule fonction affine, donc elle est repré- sentée par la droite Ꮿ3 . g est la seule fonction trinôme ayant un maximum, donc elle est représentée par Ꮿ2 . Pour h, 23=-D , donc h x 0=^ h n’a pas de solution et h est représentée par Ꮿ5 . Pour j, 9=D , donc j x 0=^ h a deux solutions et j est représentée par Ꮿ1 . Pour k, 0=D donc k x 0=^ h a une unique solution et k est représentée par Ꮿ4 . Associer un trinôme à un tableau de variations f x a x 11 72 = - -^ ^h h avec 2a 0. , ,f x a x 1 2 2 42 = + +^ ^h h avec 2a 0. ,f x a x 4 5 232 = - -^ ^h h avec 1a 0. f x a x 12 802 = + +^ ^h h avec 1a 0. Démonstration d’un résultat du cours ax bx c a x a b x c2 2 + + = + +c m a x a b a b c 2 4 2 2 2 = + - +c m= G a x a b a b ac 2 4 42 2 = + - -c m . On complète l’algorithme par : AFFICHER“La forme canonique est” AFFICHER a,”(x+”,b,”)2 +”,d/4*a Programme sur TI : ALGO PROGRAM: FORMECAN :Input“A=”,A :Input“B=”,B :Input“C=”,C :B2 -4AC"D :Disp“DELTA=”,D :Pause :Disp“FORME CANONIQUE” :Disp A,”(X+”,B/(2A),”)2 +” :Disp -D/(4A) 2 Résolution d’une équation du second degré 1 Vrai ( 1=D ). 2 Faux ( 173=D ). 3 Faux ( 48=-D ). 4 Faux ( 13=D ). 5 Vrai ( 25=D ). 1 b. 2 a. 3 a. 1 Deux solutions. 2 Aucune solution. 3 Deux solutions. 4 Une solution. 1 Faux (deux points communs). 2 Faux (un seul point en commun). 3 Faux (point de Ꮿg d’abscisse 2). 4 Vrai. 5 Vrai. a. x x 12 02 + - = ; 49=D ; ;S 4 3= -" ,. b. x x3 5 8 02 - + - = ; 71=-D ; QS = . c. x x2 7 5 02 - + = ; 9=D ; , ;S 2 5 1= " ,. d. x x100 60 92 + + ; 0=D ; ,S 0 3= -" ,. a. x x x x2 3 1 3 2 1 02 2 ++ = + - = ; 16=D ; ;S 1 3 1 = -' 1. b. x x x x3 2 1 3 2 1 02 2 +- + =- - + + = ; 16=D ; ;S 1 3 1 = -' 1. c. x x x x7 13 7 13 02 2 += - - + = ; 3=-D ; QS = . d. x x4 5 02 - + = ; 81=D ; ; ,S 1 0 8= -" ,. a. x x x x3 7 0 3 7 02 ++ = + =^ h ; ;S 0 3 7 = -' 1. b. , ,x x5 2 7 0 0 542 2 ++ = =- ; QS = . c. , ,x x2 0 5 0 0 252 2 +- + = = ; , ; ,S 0 5 0 5= -" ,. d. x x x x8 0 1 02 +- + - = - + =^ h ; ;S 0 1= " ,. a. x x x x8 9 8 9 02 2 +- = - - = ; 100=D ; ;S 9 1= -" ,. b. x x x6 9 0 3 02 2 +- + = - =^ h ; S 3= " ,.
  13. 13. Livre du professeur - CHAPITRE 1 Second degré 7 ©HachetteLivre2011–Déclic1re S c. x x2 5 1 2 5 12 ++ = + =^ h ou x2 5 1+ =- ; ;S 2 3= - -" ,. d. x x5 2 5 1 0 5 1 02 2 +- + = - =^ h ; S 5 1 = ( 2. e. x x2 1 02 - - = ; 9=D ; ; ,S 1 0 5= -" ,. f. x x x x3 0 3 02 ++ = + =^ h ; ;S 0 3= -" ,. a. x x 122 + - ; 49=D ; les racines sont - 4 et 3. x x x x12 4 32 + - = + -^ ^h h. b. x x3 12 - + ; 13=-D ; on ne peut pas factoriser. c. x x2 7 52 - + - ; 9=D ; les racines sont 2,5 et 1. ,x x x x2 7 5 2 2 5 12 - + - =- - -^ ^h h. d. ,x x10 6 0 92 + + ; 0=D ; il y a une seule racine - 0,3. , ,x x x10 6 0 9 10 0 32 2 + + = +^ h . a. P x x x4 32 = - +^ h ; 4=D ; les racines sont 1 et 3. P x x x1 3= - -^ ^ ^h h h. b. P x x x2 12 = - +^ h ; 0=D ; la seule racine est 1. P x x 1 2 = -^ ^h h . c. P x x x3 1 42 = + +^ h ; 4=D ; les racines sont - 1 et 3 1- . P x x x x x3 1 3 1 1 3 1= + + = + +^ ^ c ^ ^h h m h h. d. P x x x6 22 =- + +^ h ; 49=D ; les racines sont - 0,5 et 3 2 . ,P x x x x x6 0 5 3 2 2 1 3 2=- + - = + - +^ ^ c ^ ^h h m h h. e. P x x x5 30 452 = + +^ h ; 0=D ; la seule racine est - 3. P x x5 3 2 = +^ ^h h . f. P x x x5 62 = - -^ h ; 49=D ; les racines sont - 1 et 6. P x x x6 1= - +^ ^ ^h h h. a. x x x x3 5 3 52 - = -^ h. b. x x x4 81 2 9 2 92 - = - +^ ^h h. c. x2 32 - - ne se factorise pas. d. ,x11 1 52 + ne se factorise pas. On peut mettre une valeur a avec : a. a strictement négatif ; b. a nul ; c. a strictement positif. On peut mettre une valeur a avec : a. a strictement positif ; b. a nul ; c. a strictement négatif. a. Il est impossible d’avoir deux solutions. b. Il est impossible d’avoir une solution. c. Pour toute valeur à la place des pointillés, il n’y a pas de solution à f x 0=^ h . 1 On conjecture graphiquement qu’il y a un point commun. f x g x x x x22 3 += - =^ ^h h x x x2 03 2 + - + = x x x 2 02 + - + =^ h . Pour x x 22 - + , on a 7=-D , donc x x 22 - + n’est jamais nul. La seule solution à f x g x=^ ^h h est 0. Ꮿf et Ꮿg n’ont que le point ;O 0 0^ h en commun. 2 On conjecture graphiquement qu’il y a trois points communs. f x g x x x x2 2 22 3 += + - = -^ ^h h x x x2 03 2 + - - = x x x2 1 02 + - - =^ h . Pour x x2 12 - - , on a 8=D , donc x x2 12 - - a deux racines qui sont 1 2- et 1 2+ . f x g x=^ ^h h admet donc trois solutions 0, 1 2- et 1 2+ . Ꮿf et Ꮿg sont sécantes en ;A 0 2-^ h, en ;B 1 2 5 5 2- -^ h et en ;C 1 2 5 5 2+ +^ h. 1 On conjecture graphiquement qu’il y a trois points communs. f x g x x x x x x2 3 22 4 2 += - = - -^ ^h h x x x x4 0 4 04 2 2 2 + +- = - =^ h x 0+ = ou x 2= ou x 2=- . f x g x=^ ^h h admet donc trois solutions 0, 2 et - 2. Ꮿf et Ꮿg sont sécantes en ;A 0 0^ h, en ;B 2 0^ h et en ;C 2 8-^ h. 2 On conjecture graphiquement qu’il y a trois points communs. f x g x x x x2 4 3 += = +^ ^h h x x x x x x0 1 04 3 2 2 2 + ++ - = + - =^ h . Pour x x 12 + - , on a 5=D , donc x x 12 + - a deux racines qui sont 2 1 5- + et 2 1 5- - . f x g x=^ ^h h admet donc trois solutions 0, 2 1 5- + et 2 1 5- - . Ꮿf et Ꮿg sont sécantes en ;A 0 0^ h, en ;B 2 1 5 2 3 5- + -c m et en ; .C 2 1 5 2 3 5- - +c m a. Pour X X3 5 2 02 - + = , 1=D et X 1= ou X 3 2 = . x x x3 5 2 0 14 2 2 +- + = = ou x 3 22 = . ; ; ;S 1 1 3 2 3 2 = - -' 1. b. Pour X X3 2 02 + + = , 1=D et X 1=- ou X 2=- . x x x3 5 2 0 14 2 2 +- + = =- ou x 22 =- . QS = . c. Pour X X2 1 02 - - + = , 9=D et X 1=- ou ,X 0 5= . x x x3 5 2 0 14 2 2 +- + = =- ou ,x 0 52 = . , ; ,S 0 5 0 5= -# -. d. Pour X X2 2 02 - + - = , 4=-D et QS = . 1 Pour x 0! , x x x x x1 2 3 3 2 1 02 2 2 +- = - - + = x x3 2 1 02 + - - + = .
  14. 14. 8 Livre du professeur - CHAPITRE 1 Second degré ©HachetteLivre2011–Déclic1re S On a 16=D et ;S 1 3 1 = -' 1. 2 Pour x 0! et x 1! - , x x x x x x x x 1 1 3 2 2 1 3 02 2 ++ + + = + + - - = x x 1 02 + - - + = . On a 5=D et ;S 2 1 5 2 1 5 = - - - +' 1. 3 En posant X x 12 = + , on a X X6 5 02 - + = avec 16=D et X 1= ou X 5= . On a donc x 1 12 + = ou x 1 52 + = . ; ;S 0 2 2= -" ,. 4 Pour x 2! - et x 1! - , x x x x 2 7 1 1 2 3 4 0 ++ - - + + - = x x x x x x x x 2 1 7 1 1 2 3 2 4 2 1 + + - + - + + - + + ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ h h h h h h h h .0= x x13 15 02 + - - = . On a 229=D et ;S 2 13 229 2 13 229 = + -' 1. a. SilaparabolePcoupedeuxfoisl’axedesabscisses, alors l’équation f x 0=^ h a deux solutions et 2 0D . b. Si 0=D , alors l’ordonnée a4 -D du sommet est nulle et le sommet de P est sur l’axe des abscisses. c. Si le sommet de P est sur l’axe des ordonnées, alors son abscisse a b 2 - est nulle donc b 0= . d. Sic 0= ,alors f x ax bx2 = +^ h quis’annuleaumoins en 0 et l’équation f x 0=^ h a au moins une solution. a. « Si 2 0D , alors P coupe deux fois l’axe des abscisses»estvrai,carsi 2 0D alorsl’équation f x 0=^ h a deux solutions. b. « Si le sommet de P est sur l’axe des abscisses, alors 0=D » est vrai, car l’ordonnée nulle du sommet est a4 -D . c. « Si b 0= , alors le sommet de P est sur l’axe des ordon- nées » est vrai, car l’abscisse a b 2 - du sommet est nulle. d. « Si f x 0=^ h admet au moins une solution alors c 0= » est faux, car x x5 6 02 - - = admet deux solu- tions avec c 0! . 1 Algorithmeg ALGO Début Demander les valeurs de A, de B et de C. Calculer B2 – 4AC et ranger la valeur dans D. Si D < 0 alors Afficher“pas de solution” sinon si D = 0 alors Afficher“une solution” sinon Afficher“deux solutions” finsi finsi Fin 2 Programme sur TI : ALGO PROGRAM:DEGRE2 :Input“A=”,A :Input“B=”,B :Input“C=”,C :B2 – 4AC"D :If D>0 :Then :Disp“PAS DE SOLUTION” :Else If D=0 :Then :Disp“UNE SOLUTION” :Else :Disp“DEUX SOLUTIONS” END END 1 Algorithme ALGO Début Demander les valeurs de A, de B et de C. Calculer B2 – 4AC et ranger la valeur dans D. Si D < 0 alors Afficher“pas de solution” sinon si D = 0 alors Afficher“une solution”et la valeur de a b 2 - sinon Afficher “deux solutions” et les valeurs a b 2 - + D et a b 2 - - D finsi finsi Fin 2 Programme sur TI : ALGO PROGRAM:DEGRE2 :Input“A=”,A :Input“B=”,B :Input“C=”,C :B2 – 4AC"D :If D>0 :Then :Disp“PAS DE SOLUTION” :Else If D=0 :Then :Disp“UNE SOLUTION”,-b/(2A) :Else :Disp“DEUX SOLUTIONS”,(-b+ (D))/(2A),(-b – (D))/(2A) END END
  15. 15. Livre du professeur - CHAPITRE 1 Second degré 9 ©HachetteLivre2011–Déclic1re S 1 Algorithme ALGO Début Demander les valeurs de A, de B et de C. Calculer B2 – 4AC et ranger la valeur dans D. Si D < 0 alors Afficher“pas de factorisation” sinon si D = 0 alors Afficher la valeur de A,”(x+”, la valeur de a b 2 - et“)2 ” sinon Afficher la valeur de A,”(x+”, la valeur de a b D 2 - + ,“) (x+”, la valeur de a b 2 - - D et“)” finsi finsi Fin 2 Programme sur TI : ALGO PROGRAM:DEGRE2 :Input“A=”,A :Input“B=”,B :Input“C=”,C :B2 – 4AC"D :If D>0 :Then :Disp“PAS DE FACTORISATION” :Else If D=0 :Then :Disp A,”(X+”,-b/(2A),”)2 ” :Else :Disp A,”(X+”,(-b+ (D))/(2A),”)(X+,(-b– (D))/(2A),”)” END END 1 x x a b 1 2+ =- . 2 x1 et x2 sont les solutions de f x 0=^ h . L’abscisse a b 2 - du sommet est aussi égale à x x 2 1 2+ . On en déduit le résultat du 1 . Démonstration d’un résultat du cours Pour a 0! , on a : ax bx c a x a b x c2 2 + + = + +c m a x a b a b c 2 4 2 2 2 = + - +b l= G a x a b a b ac 2 4 42 2 = + - -c m a x a b a2 4 2 = + - Dc m . 1 Si 0=D , on a : ax bx c a x a b 2 2 2 + + = +c m . 2 Si 2 0D , on a : ax bx c a x a b a2 4 2 2 + + = + - Dc m a x a b a2 2 2 2 = + - Dc cm m= G a x a b a x a b a2 2 2 2 = + + + - D Dc cm m. On a bien ax bx c a x x x x2 1 2+ + = - -^ ^h h. 3 Si 1 0D , ax bx c 02 + + = n’a pas de solution. Supposons que l’on puisse écrire : ax bx c a x m g x2 + + = -^ ^h h. m serait solution de ax bx c 02 + + = , ce qui est absurde. On ne peut pas écrire ax bx c a x m g x2 + + = -^ ^h h. 3 Signe d’un trinôme du second degré 1 Vrai ( 47=-D et 2a 0). 2 Vrai ( 13=D ). 3 Faux ( 25=D ). 4 Faux (nul pour - 1). 1 Faux. 2 Faux. 3 Vrai. 4 Vrai. 5 Faux. 6 Vrai. 1 a. et c. 2 a. et c. 3 a. et b. 4 b. et d. 1 c. 2 b. 3 d. a. 1x x 12 02 + - ; 49=D ; x 41 =- et x 32 = ; ;S 4 3= - 6@ . b. x x3 5 8 02 H- + - ; 71=-D ; QS = . c. x x2 7 5 02 G- + ; 9=D ; x 11 = et ,x 2 52 = ; ; ,S 1 2 5= 6 @. d. 2x x100 60 9 02 + + ; 0=D ; ,x 0 3S =- ; ; , , ;S 0 3 0 3,3 3= - - - +6 6@ @ . a. x x3 2 1 02 G+ - ; 16=D ; x 11 =- et ;x 3 1 2 = ;S 1 3 1 = -; E. b. 2x x3 2 1 02 - + + ; 16=D ; x 11 = et x 3 1 2 = - ; ;S 3 1 1= - ;E . c. 2x x7 13 02 - + ; 3=-D ; QS = . d. x x4 5 02 H- + ; 81=D ; x 11 = et ,x 0 82 =- ; , ;S 0 8 1= -6 @. a. P x x x2 12 =- + +^ h ; 9=D ; ,x 0 51 =- et x 12 = . x 3- - 0,5 1 3+ P x^ h - 0 + 0 - b. ,P x x x10 56 78 42 = - +^ h ; 0=D ; ,x 2 8S = . x 3- 2,8 3+ P x^ h + 0 +
  16. 16. 10 Livre du professeur - CHAPITRE 1 Second degré ©HachetteLivre2011–Déclic1re S c. ,P x x x5 0 12 = + +^ h ; 1=-D . x 3- 3+ P x^ h + d. P x x x4 4 242 = + -^ h ; 400=D ; x 31 =- et .x 22 = x 3- - 3 2 3+ P x^ h + 0 - 0 + a. P x x x2 12 =- + +^ h ; 9=D ; ,x 0 51 =- et x 12 = . Le sommet est au-dessus de l’axe des abscisses et la parabole traverse l’axe des abscisses en - 0,5 et en 1. b. ,P x x x10 56 78 42 = - +^ h ; 0=D ; ,x 2 8S = . La parabole est au-dessus de l’axe des abscisses avec son sommet d’abscisse 2,8 sur cet axe. c. ,P x x x5 0 12 = + +^ h ; 1=-D . La parabole est toujours strictement au-dessus de l’axe des abscisses. d. P x x x4 4 242 = + -^ h ; 400=D ; x 31 =- et .x 22 = Le sommet est au-dessous de l’axe des abscisses et la parabole traverse l’axe des abscisses en - 3 et en 2. Résoudre avec un tableau de signes 1 Les solutions de l’inéquation correspondent aux abscisses des points de l’hyperbole situés au-dessous de la droite. L’ensemble des solutions ne comprend pas de valeurs inférieures à - 2. 2 Zoé a multiplié par x 2+^ h dans une inéquation. Or x 2+^ h peut être négatif ou positif et le sens de l’iné- quation doit être modifié ou conservé selon les valeurs de x. 3 x x x x x x 2 2 1 3 2 2 1 3 0+G G + + + + - x x x 2 3 4 1 0 2 + G + - - + . Soit x1 et x2 les racines de x x3 4 12 - - + trouvées par Zoé. x 3- - 2 x2 x1 3+ x x3 4 12 - - + - - 0 + 0 - x 2+ - 0 + + + Quotient + - 0 + 0 - ; ;S 2 3 2 7 3 2 7, 3= - - - - + +; ;E E . a. 2 2 x x x x x 2 1 2 2 0 2 2 ++ + - - 2 x x x 2 1 2 0+ + + -^ ^h h . ; ;S 2 1 2, 3= - - +6 6@ @ . b. x x x x x x x x 2 3 1 3 4 5 2 3 1 3 4 5 0+G G - - + + - + - - + + + - x x x x 2 3 7 5 7 0 2 + G - + - + - ^ ^h h . x x7 5 72 - + - a un discriminant négatif et x x7 5 72 - + - est toujours négatif. x x2 3- +^ ^h h est positif sur ;3 2- 6@ . On en déduit que ;S 3 2= - 6@ . 2 On conjecture que ;S 0 1= 6@ . 3 a. .x x bx c x b x c x c1 1 12 3 2 - + + = + - + - -^ ^ ^ ^h h h h En identifiant, pour tout réel x, avec x 13 - , on a b 1= et c 1= . b. 1 1x x x x 1 1 02 2 + - 1 x x 1 0 3 + - 1 x x x x1 1 0 2 + - + +^ ^h h . x x 12 + + est toujours strictement positif. On obtient ;S 0 1= 6@ . Résoudre une inéquation bicarrée 1 Pour X X3 13 42 - + , 121=D et les racines sont 4 et 3 1 . 2 X X X X3 13 4 4 3 12 - + = - -^ ^h h. 3 2 2X x x x3 13 4 0 4 3 1 04 2 2 2 +- + - -^ ^h h . ; ; ;S 2 3 1 3 1 2, ,3 3= - - - +6 ; 6@ E @ . a. Pour X X2 5 72 - + + , 81=D et les racines sont - 1 et 3,5. On a X X X X2 5 7 1 2 72 - + + = + - +^ ^h h et : x x x x2 5 7 0 1 2 7 04 2 2 2 +G G- + + + - +^ ^h h Comme x 12 + est strictement positif, il suffit de résoudre x2 7 02 G- + . ; , , ;S 3 5 3 5,3 3= - - +6 6@ @ . b. Pour X X9 12 42 - + , 0=D et la seule racine est 3 2 . On a X X X9 12 4 3 22 2 - + = -^ h . x x x9 12 4 0 3 2 04 2 2 2 +G G- + -^ h . Il faut donc avoir x3 2 02 - = . ;S 3 2 3 2 = -' 1. c. Pour X X6 5 12 + + , 1=D et les racines sont - 0,5 et 3 1- . On a X X X X6 5 1 2 1 3 12 + + = + +^ ^h h. 2 2x x x x6 5 1 0 2 1 3 1 04 2 2 2 ++ + + +^ ^h h , ce qui est toujours vrai. RS = . d. On pose ici X x3 = . Pour X X 12 - + - , 3=-D . Il n’a pas de racine et X X 12 - + - est strictement négatif. Il en est de même de x x 16 3 - + - , donc QS = .
  17. 17. Livre du professeur - CHAPITRE 1 Second degré 11 ©HachetteLivre2011–Déclic1re S Problèmes Notons n le nombre de personnes. Le nombre de poignées de mains échangées correspond au nombre de groupes de deux personnes. Donc on résout : n n n n 2 1 55 110 02 +- = - - = ^ h . 441 212 = =D ; donc, n étant positif, .n 2 1 21 11= + = 1 Notons n le plus petit des deux entiers relatifs cherchés ; on résout : n n n n1 5 725 2 2 5 724 02 2 2 ++ + = + - =^ h n n 2 862 02 + + - = . 11449 1072 = =D , donc n 2 1 107! = - . On a donc deux solutions : 53 et 54 d’une part et - 54 et - 53 d’autre part. 2 Notons n l’entier du milieu ; on résout : n n n n1 1 2 030 3 2 2 0302 2 2 2 +- + + + = + =^ ^h h n n676 262 + + != = . On a donc deux solutions : 25, 26 et 27 d’une part et - 27, - 26 et - 25 d’autre part. 1 La longueur du rectangle est , x12 5 - , donc son aire est égale à , ,x x x x12 5 12 52 - =- +^ h . Ce trinôme admet un maximum pour ,x a b 2 6 25=- = ; , , ,12 5 6 25 6 25- = . Donc dans ce cas, le rectangle est carré. 2 La longueur du rectangle est p x 2 - , donc son aire vaut x p x x p x 2 2 2 - =- +d n . Ce trinôme admet un maximum pour x a b p 2 4 =- = . p p p 2 4 4 - = . Donc dans ce cas, le rectangle est carré. a. ;S 2 3= -" ,. b. S 0= " ,. 1 a. Il faut que x x2 9 02 H- + + . 40=D ; les racines sont 1 10! et 1a 0, donc ;x 1 10 1 10! - +7 A. b. Non, car la fonction racine carrée ne prend que des valeurs positives. 2 a. Les deux membres étant positifs, on obtient une équation équivalente en élevant au carré : x x x x x x2 9 1 2 4 22 2 2 + + !- + + = + + = = . b. S 2= " , 2 1G-^ h. Il faut que ;x 0 4! 6 @. x x x x 2 9 2 1 2 9 4 9 18 02 +# #- = - + - = ^ h 9=D ; les solutions sont 2 9 3! - - , c’est-à-dire 3 et 6. Donc x 3= . Ce trapèze se décompose en un rectangle et un triangle isocèle, donc il faut que ;h 0 6! 6 @. h h h h 2 6 6 10 12 20 02 +#+ - = - + - = ^ h6 @ ; 64 82 = =D ; les solutions sont 2 12 8! - - , c’est-à-dire 2 et 10. Donc h 2= . Il faut que ;x 0 3! 6 @. L’aire de la partie bleue est x x x3 5 2 + - . Elle doit être égale à la moitié de l’aire totale ; donc : ,x x8 7 5 02 - + - = . 34=D ; les solutions sont 2 8 34! - - . Donc x 2 8 34 = - ,x 1 08.^ h. 1 a. a b a b a b a b 2 2 2 2- - + - + = - =- D D et . a b a b a b a ac a c 2 2 4 4 4 2 2 2#- - - + = - = = D D D b. Si a 1= , S b=- et P c= . c. x u x v x u v x uv2 - - = - + +^ ^ ^h h h . Donc, si u v S+ = et uv P= , alors u et v sont solutions de l’équation x Sx P 02 - + = . 2 Les deux nombres cherchés sont les solutions de l’équation x x60 851 02 - + = . 142 =D ; les solutions sont 23 et 37. 3 a. ; ; ;S 14 15 15 14= ^ ^h h" ,. b. ; ; ;S 2 1 3 1 3 1 2 1 = - -c cm m' 1. 4 L et , sont les solutions de l’équation : x x30 221 02 - + = . 16=D ; 13, = et L 17= . L et , sont les solutions de l’équation : x x130 4 081 02 - + = 576 242 = =D ; 53, = et L 77= . 1 2b a4 02 2 = +D . 2 a. Le produit des solutions est 1 a c a a 1 0= - =- . Donc avec la règle des signes, les deux solutions sont de signes contraires. b. x x 11 2# =- , donc x x 1 2 1 =- . Ainsi, x2 est l’opposé de l’inverse (ou l’inverse de l’opposé) de x1. a. f 2 0=^ h ; x 2 6 32 = = ; b. f 1 0=^ h ; x 3 2 1 3 2 2 '= = . c. ,f 0 5 0- =^ h ; ,x x2 1 52 1=- - =- ; d. f 7 0=^ h ; x 2 72 =- - . On calcule le discriminant du trinôme x x k4 52 - - - et on discute selon son signe : k k16 4 5 36 4= - - - = +D ^ h . Si 1 9-D , QS = . Si 9=-D , S 2= " ,. Si 2 9-D , S k 2 4 36 4! = +' 1.
  18. 18. 12 Livre du professeur - CHAPITRE 1 Second degré ©HachetteLivre2011–Déclic1re S On calcule le discriminant du trinôme x k x2 42 + - +^ h et on discute selon son signe : k k k2 16 2 4 2 42 = - - = - - - +D ^ ^ ^h h h k k2 6= - - - +D ^ ^h h k 3- - 2 6 3+ Signe de D + 0 - 0 + Nombre de solutions 2 1 0 1 2 1 AB AC 84 2# #= , donc AC x 168 = . Avec le théorème de Pythagore : x x x x168 25 625 28 224 02 2 2 4 2 ++ = - + =c m . En posant X x2 = , on résout X X625 28 224 02 - + = ; 5272 =D , donc X 2 625 527 576! = = ou 49. 576 242 = et 49 72 = , donc AB 7= et AC 24= (ou le contraire). 2 En notant H le pied de la hauteur issue de E, le triangle DEH a une aire de 84 cm² et son hypoténuse a pour longueur25 cm.Onretrouvelesconditionsdelaquestion 1 . Donc DH 7= ou DH 24= , donc le périmètre est : 25 25 14 64+ + = ou 25 25 48 98+ + = . 1 L’aire de la zone bleue est : B x x x x x x x8 10 2 182 = - + - =- +^ ^ ^h h h et l’aire de la zone verte est : V x x x x x x8 10 2 18 802 2 = + - - = - +^ ^ ^h h h . 2 V x B x x x4 36 80 02 +H H- +^ ^h h x x9 20 02 + H- + . 3 1=D ; les racines sont 4 et 5, donc ; ;x 0 4 5 8,! 6 6@ @. 1 x 168 et , x 2 168 0 4 - - . 2 , x x 168 2 168 0 4= - - ,x x x x168 2 168 0 4 2+ - = - -^ ^h h , ,x x0 4 0 8 336 02 + - - = . , ,538 24 23 22 = =D et x 0H , donc : , , ,x 2 0 4 0 8 23 2 30 # = + = . Il y a 30 élèves dans cette classe. Notons x le nombre de litres de gasoil achetés par Pierre et p le prix d’un litre de gasoil. Paul a alors acheté x 8-^ h litres de carburant à ,p 0 2+ € le litre. On peut donc écrire : ,p x 57 20# = et , ,p x0 2 8 57 20#+ - =^ ^h h . En remplaçant p par , x 57 2 dans la seconde, on obtient : , , ,x x0 2 1 6 457 6 02 - - = . , ,368 64 19 22 = =D et 2x 0, donc : , , ,x 2 0 2 1 6 19 2 52 # = + = . Pierre a acheté 52 litres de gasoil. Notons v la vitesse moyenne de Jean et t la durée de son trajet. La vitesse moyenne d’Ali est alors v 4+ , et la durée de son trajet t 1- . D’où les équations v t 195 = et v t 4 1 195 + = - . On résout alors : t t t t t t195 1 195 4 195 1 195 4 1+= - - - = - -^ ^h h t t4 4 195 02 + - - = . 3136 562 = =D et 2t 0, donc ,t 2 4 4 56 7 5 # = + = . Ils sont donc arrivés à 15 h 30. 1 , 5 8 1 6= . 2 a. Le format de ABCD est x x 1 = et celui de BEFC est x 1 1 - . b. x x x x 1 1 1 02 += - - - = ; 5=D et 2 0U , donc 2 1 5 = +U . c. 1 2 1 5 - = - +U et 1 12 - = - =U U U U^ h par définition de U. d. En divisant par U la dernière égalité, on obtient : 1 1 - =U U . 3 ABCD rectangle d’or + format de ABCD = U EB 1+ = -U + format de EBCF 1 1 = -U + format de EBCF EBCF+= U rectangle d’or. BEFC est un rectangle d’or x x x 1 1 2 1+ - = - - x x2 1 2 + - = -^ h x x 1 02 + - - = + ABCD est un rectangle d’or. 1 On conjecture que les courbes ont deux points communs. 2 x x x x2 2 1 2 3 3 4 02 += - - - = ; 25=D ; les solutions sont 1- et 4, donc les points communs ont pour coordonnées ;1 2- -^ h et ;4 2 1c m. 3 Par lecture graphique, ; ;S 1 0 4,3= - -@ @ @ @. 1 Pour toute valeur de m, le point de coordonnées ;1 2- -^ h appartient à Ᏸm et à Ᏼ. 2 a.
  19. 19. Livre du professeur - CHAPITRE 1 Second degré 13 ©HachetteLivre2011–Déclic1re S b. Lorsque m 0! , Ᏸm et Ᏼ semblent avoir deux points communs. c. x m x mx m x2 1 2 2 2 02 += + - + - - =^ ^h h ; pour m 0! , cette équation a une unique solution si, et seulement si, son discriminant est nul : m m0 2 8 02 += - + =D ^ h m m4 4 02 + + + = m 2 02 + + =^ h m 2+ =- . En calculant tan Bt dans les triangles rectangles BCD et BAH, on a : , , BD CD BH AH BH BH AH 2 4 2 4+= - = , HA HB HA HB2 4+ #+ =^ h . Avec le théorème de Pythagore : HA HB AB HA HB HA HB2 492 2 2 2 + #+ = + - =^ h ,HA HB HA HB4 8 49 02 + + - + - =^ ^h h . Ainsi, HA HB+ est solution de l’équation ,x x4 8 49 02 - - = . ,14 82 =D et 2HA HB 0+ ; donc : , , ,HA HB 2 4 8 14 8 9 8+ = + = . Alors, , , ,HA HB 2 4 9 8 23 52# #= = . HA et HB sont donc les solutions de l’équation , ,X X9 8 23 52 02 - + = ; ,1 42 =D et HA est plus petit que HB ; donc : , , ,HA 2 9 8 1 4 4 2= - = et , , ,HB 2 9 8 1 4 5 6= + = . R R R R R R R R R R 135 1 1 30 1 135 30 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2+ + = + = + = + = * * R R R R 135 30 135 4 050 1 2 1 2 + # + = = = * Donc R1 et R2 sont les solutions de l’équation x x135 4 050 02 - + = . 452 =D , donc les solutions sont 2 135 45! . Ainsi R 451 = X et R 902 = X (ou le contraire). Notons t la durée de la chute et d la profondeur du canyon. On a donc : , ,d g t t0 5 4 92 2 # #= = . Le son met t10 -^ h secondes pour revenir jusqu’aux enfants, d’où : d t340 10= -^ h. On résout alors : , ,t t t t4 9 340 10 4 9 340 3 400 02 2 += - + - =^ h ; 182 240=D et 2t 0, donc , t 2 4 9 340 182 240 # = - + . Finalement, ,d t4 9 3852 .= . Le canyon a une profondeur d’environ 385 m. 1 a. Le triangle FM Ml où ; ,M a 0 25l^ h est rectangle en Ml ; donc, avec le théorème de Pythagore : FM M F M M2 2 2 = +l l ,a a 0 252 2 2 = + -^ h , ,a a a0 5 0 06252 4 2 = + - + , ,a a0 5 0 06254 2 = + + ,a 0 252 2 = +^ h . Donc ,FM a 0 252 = + . b. ;R a a FM2 +^ h, donc ; ,R a a2 0 252 2 +^ h. 2 a. Le coefficient directeur de la droite FR^ h est égal à x x y y a a a2 2 R F R F 2 - - = = . b. : y ax p2= +D ; avec les coordonnées de M, on obtient : y ax a2 2 = -D . 3 a. x ax a x a x a2 02 2 2 + += - - = =^ h . b. d = D, donc d FR= ^ h, donc d est la hauteur issue de M du triangle FMR. Ce triangle étant isocèle en M, d en est l’axe de symétrie. Donc le rayon symétrique de FM^ h est MR^ h. Ainsi le rayon réfléchi est parallèle à Oy^ h. • À l’aide d’un logiciel, on conjecture que les longueurs CM et HK sont égales pour une valeur de x proche de 2,53 et que les points C, M et K ne sont pas alignés, car les angles en M mesurent 60° dans MBK et 57,6° dans MAC. • Le triangle équilatéral MBK a pour base MB x8= - et pour hauteur HK MB 2 3 = . CM HK CM HK2 2 += = x x16 4 3 82 2 + + = -^ h x x x64 4 3 64 162 2 + + = - +^ h x x48 128 02 + + - = . 2 816=D et il y a une seule solution positive .8 11 24- • Pour la valeur x 8 11 24= - , dans le triangle AMC l’angle en M a une tangente qui vaut 8 11 24 4 - diffé- rente de la tangente de l’angle en M dans MBK ; donc les points C, M et K ne sont pas alignés. Soit x le nombre de pièces de tissu achetées. Le prix unitaire est x 180 . En achetant trois pièces de plus pour la même somme, le prix unitaire serait x 3 180 + , mais aussi x 180 3- . On résout donc x x3 180 180 3 1 + = - ^ h. Pour 2x 0, x x x1 180 180 3 3+ = - +^ ^ ^h h h x x0 3 9 5402 + =- - + . Il y a une seule solution positive 12 : j’ai acheté 12 pièces de tissu. Revoir les outils de base a. x x x4 5 2 12 2 - + = - +^ h . b. x x x6 2 3 72 2 + + = + -^ h . c. , ,x x x10 0 5 9 752 2 + + = + +^ h . d. , , ,x x x0 5 1 0 25 0 93752 2 - + = - +^ h .
  20. 20. 14 Livre du professeur - CHAPITRE 1 Second degré ©HachetteLivre2011–Déclic1re S 1 b. Fonction trinôme avec 2a 0. 2 a. Fonction trinôme avec 1a 0. 3 c. f x x4 8= -^ h . 4 b. Fonction trinôme avec 2a 0. a. x 3- 1 3+ f x^ h 3 b. x 3- 3 3+ f x^ h - 5 c. x 3- - 2 3+ f x^ h - 8 d. x 3- - 5 3+ f x^ h 3 1 a. f x x x2 3 12 = + +^ h ; 1=D . , ,f x x2 0 75 0 1252 = - -^ ^h h . b. f x x x3 52 =- - +^ h ; 61=D . f x x3 6 1 12 612 =- + +^ ch m . 2 a. f x x x2 92 =- + +^ h ; f x x9 0+= =^ h ou x 2= . 1=a ; 10=b ; f x x 1 102 =- - +^ ^h h . b. f x x x3 2 72 = + -^ h ; f x x7 0+=- =^ h ou x 3 2 = - . 3 1 = -a ; 3 22 = -b ; f x x3 3 1 3 222 = + -^ ch m . 3 a. f x x x x4 1 2 4 12 2 = + - = + - -^ ^h h f x x 2 52 = + -^ ^h h . b. f x x x x x2 6 10 2 3 102 2 =- + + =- - +^ ^h h , ,f x x2 1 5 4 5 102 =- - + +^ ^h h , ,f x x2 1 5 14 52 =- - +^ ^h h . 1 a. x x x x17 8 0 17 8 02 +- = - =^ h ; ;S 0 17 8 = ' 1. b. x x x9 6 1 0 3 1 02 2 +- + = - =^ h ; S 3 1 = ' 1. 2 a. x x5 11 16 02 + - = ; 441=D et ; ,S 1 3 2= -" ,. b. x x4 92 - + - ; 143=-D et QS = . a. f x x x x x2 7 4 2 1 42 = - - = + -^ ^ ^h h h. b. f x x x 12 =- + -^ h ne peut être factorisée, car 3=-D . c. f x x x x x3 7 6 3 2 32 =- + + = - - -^ ^ ^h h h. d. f x x x x4 20 25 2 52 2 = - + = -^ ^h h . a. f x x x 62 = + -^ h ; les racines sont 2 et - 3. x 3- - 3 2 3+ f x^ h + 0 - 0 + ; ;S 3 2,3 3= - - +6 6@ @ . b. f x x x2 12 =- + +^ h ; les racines sont 1 et - 0,5. x 3- - 0,5 1 3+ f x^ h - 0 + 0 - , ;S 0 5 1= - 6@ . c. f x x x2 5 42 = + +^ h ; 1 0D , il n’y a pas de racine. x 3- 3+ f x^ h + QS = . d. f x x x x4 28 49 2 72 2 = + + = +^ ^h h x 3- - 7 3+ f x^ h + 0 + S 7= -" ,. e. f x x x3 4 22 =- + -^ h ; 8=-D ; il n’y a pas de racine. x 3- 3+ f x^ h - QS = . En lien avec les sciences Soit v la vitesse du vent. On veut : , v v150 308 150 308 0 5 - = + + , v v0 5 716 11250 02 + + - = . Il y a deux solutions dont une seule positive qui vaut 18. La vitesse du vent est 18 km/h. 1 Le carré a pour côté x 4 , donc son aire est x 16 2 . Le rectangle a pour largeur x 6 1 - et pour longueur x 3 1 - , donc son aire est x 18 1 1 2 -^ h . 2 a. Par développement. b. f x x 144 17 17 8 34 12 = - +^ ch m . x 3- 17 8 3+ f x^ h 34 1 3 La somme des aires est minimale pour x 17 8 = et cette somme minimale vaut 34 1 . 1 a. Le plus grand numéro manquant peut être N et la somme de tous les numéros vaut alors N260 + . On a N N N 2 1 260 1G + + ^ ^ h h. Le plus petit numéro manquant peut être 1 et la somme de tous les numéros vaut alors 261.
  21. 21. Livre du professeur - CHAPITRE 1 Second degré 15 ©HachetteLivre2011–Déclic1re S b. On a N N 2 1 261 2H +^ ^ h h. 2 N N1 520 02 + G- -^ h . 2 081=D ; x 2 1 2 081 1 = + et x 2 1 2 081 2 = - . ;S x x1 2 1= 6 @. N N2 522 02 + H+ -^ h . 2 089=D ; x 2 1 2 089 3 = - + et x 2 1 2 089 4 = - - . ; ;S x x2 4 3,3 3= - +6 6@ @ . 3 ;S S x x1 2 3 1+ = @ @, intervalle qui ne contient qu’une valeur entière 23. N 23= et le numéro manquant est 2 23 24 260# - , soit 16. 1 On conjecture que les points de C d’abscisses 3 et 0,5 ont pour milieu I. 2 a. L’ordonnée de A est a 1 . b. I milieu de AB6 @ x x x2 IB A+ = - et y y y2 IB A= - B+ a pour coordonnées ;a a2 7 3 7 1 - -c m. c. B C y x 1 B B +! = a a3 7 1 2 7 1+ - = - a a a3 7 3 7 2 2+ - = - a a a7 3 7 2 6+ - - =^ ^h h a a14 49 21 02 + - + - = a a2 7 3 02 + - + = . d. Les solutions de a a2 7 3 02 - + = sont 3 et 0,5. Il existe deux points de C de milieu I : leurs abscisses sont 3 et 0,5.
  22. 22. C H A P I T R E Fonctions de référence Livre du professeur - CHAPITRE 2 Fonctions de référence 1 ©HachetteLivre2011–Déclic1re S 1. Programme officiel Contenus Capacités attendues Commentaires Fonctions de référence x 7 x et x 7 x . ◗ Connaître les variations de ces deux fonc- tions et leur représentation graphique. Démontrer que la fonction racine carrée est croissantesur 0 ; .3+7 7 Justifier les positions relatives des courbes représentatives des fonctions x 7 x, x 7 x2 et x 7 x . Aucune technicité dans l’utilisation de la valeur absolue n’est attendue. Plusieurs démonstrations, ayant valeur de modèle, sont repérées par le symbole . Certaines sont exigibles et correspondent à des capacités attendues. De même, les activités de type algorithmique sont signalées par le symbole . 2. Intentions des auteurs Dans ce chapitre, on réactive les connaissances du cours de Seconde sur les fonctions affines, carré et inverse avant de voir les deux nouvelles fonctions de référence au programme. Les démonstrations exigibles sont détaillées dans la partie cours pour l’une et en activité de découverte pour l’autre. Bien que le programme ne le stipule pas explicitement, il nous a semblé opportun de lier la valeur absolue à la notion de distance entre deux réels. Du point de vue mathématique : – on rappelle les résultats essentiels concernant les fonctions de référence du cours de Seconde ; – on étudie la fonction racine carrée et on compare x, x2 et x lorsque x est positif ; – on étudie la fonction valeur absolue et on fait le lien avec la notion de distance. Outre l’acquisition des nouvelles notions, les exercices permettent de revoir le vocabulaire lié aux fonctions (images,antécédents,maximum…),ainsiquelesignede ax b+ pour écrire des expressions sans valeur absolue selon les valeurs de x.
  23. 23. 2 Livre du professeur - CHAPITRE 2 Fonctions de référence ©HachetteLivre2011–Déclic1re S Objectifs ◗ Revoir le vocabulaire de base relatif aux fonctions ainsi que les notions de fonctions croissantes et décroissantes sur un intervalle. ◗ Réactiver les connaissances concernant les fonctions de référence vues en Seconde. A 1 Faux. 2 Vrai. 3 Faux. 4 Vrai. 5 Faux. 6 Faux. B 1 c. 2 b. et c. 3 c. 4 a. C 1 Faux. 2 Faux. 3 Vrai. 4 Faux. 5 Vrai. ActivitéActivité 1 Exprimer au moyen d’une racine carrée Objectif Aborder la racine carrée à partir d’une figure connue (le cercle) et sensibiliser l’élève à l’influence de la nature du repère sur l’aspect d’une courbe. 1 ;M x y !^ h Ꮿ OM 22 2 + = x y 42 2 + + = . 2 a. x y 42 2 + = et y y x0 4 2 +H = - ; donc Ꮿ1 est la représentation graphique de la fonction g définie sur ;2 2-6 @ par g x x4 2 = -^ h . b. h x g x x4 2 =- =- -^ ^h h . 3 a. Le repère est orthogonal mais pas orthonormal. b. a 1=- et a b 2 0- = , donc f est croissante sur ; 03-@ @ et décroissante sur ;0 3+6 6. c. g est croissante sur ;2 0-6 @ et décroissante sur ; .0 26 @ On peut donc conjecturer que la fonction x 7 x conserve l’ordre. ActivitéActivité 2 Étudier des positions relatives de courbes Objectif Conjecturer et démontrer un résultat du cours faisant parti des exigibles du programme. 1 a. 2P P 0F H- . b. 1P P 0F H- . c. Après 60 ans la courbe de PF est au-dessus de celle de PH, et entre 30 et 50 elle est en dessous. 2 On conjecture que sur ;0 16 @ la courbe de x 7 x2 est en dessous de celle de x 7 x, elle-même en dessous de celle de x 7 x , et que sur ;1 3+6 6 les positions sont inversées. 3 a. x x x x 12 - = -^ h est du signe de x 1- (car x 0H ), c’est-à-dire négatif sur ;0 16 @ et positif sur ;1 3+6 6. b. L’affirmation est fausse sur ;0 16 @. 4 a. x x x x x x x x x x x x2 - = + - + = + -^ ^h h . b. x x+ étant positif, x x- est du signe de x x2 - donc, d’après 3 , négatif sur ;0 16 @ et positif sur ; .1 3+6 6 5 Sur ;0 16 @, x x2 - et x x- sont négatifs, donc x x x2 G G , donc la courbe de x 7 x2 est en dessous de celle de x 7 x, elle-même en dessous de celle de x 7 x . Sur ;1 3+6 6, c’est le contraire. ActivitéActivité 3 Découvrir la valeur absolue Objectif Découvrir la fonction valeur absolue à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique. 3 x 1 1 A O M y y = OA 4 L’ordonnée de M est égale à son abscisse quand cette dernière est positive et à l’opposé de son abscisse quand celle-ci est négative. Autrement dit, si x 0H , y x= et si x 0G , y x=- . ActivitéActivité 4 Distance entre deux nombres Objectif Lier les notions de valeur absolue et de distance. 1 a. OA xA=- ; OB xB=- ; OC xC= et OD xD= . b. OM x= si x 0H et OM x=- si x 0G . 2 a. CD x x2 D C= = - . b. BD x x5 D B= = - ; BA x x1 B A= = - . c. MN y x= - si y xH et MN x y= - si x yH . 3 a. x1980 8- = ou x 1980 8- = . b. x 1980 8- = . Exercices d’applicationExercices d’application Utiliser les variations des fonctions de référence a. x 3- 3+ f x^ h b. x 3- 3+ g x^ h c. x 3- 0 3+ h x^ h - 10 d. x 3- 0 3+ k x^ h
  24. 24. Livre du professeur - CHAPITRE 2 Fonctions de référence 3 ©HachetteLivre2011–Déclic1re S a. b a0 G G , donc b a2 2 G . b. b a 0G G , donc a b2 2 G . c. a b=- , donc a b2 2 = . d. b a0 G G , donc b a2 2 G . a. x 3- 1,5 3+ f x^ h - 0 + b. x 3- 1,5 3+ g x^ h + 0 - a. 1 a b0 G , donc b a 1 1G . b. 1a b 0G , donc b a 1 1G . c. 1 1a b0 , donc 1 1 a b 1 0 1 . d. 1b a0 G , donc a b 1 1G . a. x x x x2 4 1 4 82 3 + = + . x x x x 4 2 2 42 = + - +^ ^h h Le discriminant de x x2 42 - + est négatif donc, pour tout réel x, 2x x2 4 02 - + . Le quotient est donc du signe de x x4 2+^ h. Finalement, la courbe de f : x 7 x 4 1 2 - est en dessous de celle de g : x 7 x 2 sur les intervalles ; 23- -@ @ et ;0 3+ 6@ , et au-dessus sur ;2 0-6 6. b. Sur ;0 3+ 6@ , 2 x 2 0 et 1x 4 1 02 - , donc la compa- raison est immédiate. Sur ; 03- 6@ , la calculatrice amène à conjecturer que les positions relatives des deux courbes changent lorsque x 2=- . On vérifie que f g2 2 1- = - =-^ ^h h . La fonction f est croissante sur ; 03- 6@ , donc, si x 2G - , on a f x 1G -^ h . La fonction g est décroissante sur ; 03- 6@ , donc, si x 2G - , g x 1H -^ h . Ainsi, sur ; 23- -@ @, fg x xH^ ^h h. De même, si 1x2 0G- , on a f x 1H -^ h et g x 1G -^ h , donc sur ;2 0-6 6, fg x xG^ ^h h. On retrouve les résultats de a. Utiliser la fonction racine carrée a. D , ;2 5f 3= - +6 6. b. D ;14f 3= +6 6. c. D ; 3 1 f 3= -E E. d. D ; 6f 3= - -@ @. a. ,f 0 5 0=^ h et f est toujours positive, donc elle admet pour minimum 0 atteint en 0,5. b. La fonction x 7 x1 2 - est croissante puis décrois- sante, donc elle admet un maximum. Ce maximum est atteint en a b 2 0- = et vaut 1. La fonction racine carrée étant croissante sur ;0 3+6 6, la fonction g admet un maximum en 0 valant 1 1= . a. RD f = ( 1 0D et 2a 0). b. 49=D ; les racines sont 2- et 3 1 , et 1a 0 ; d’où D ;2 3 1 f = -; E. D ;2 3 1 f = -; E (voir exercice 8.b.). La fonction x 7 x x3 5 22 - - + est « d’abord crois- sante, puis décroissante », donc elle admet un maximum atteint en a b 2 6 5 - =- valant : 3 6 5 5 6 5 2 12 492 - - - - + =c cm m . Ainsi, pour tout ;x 2 3 1! -; E, x x3 5 2 12 492 G- - + avec égalité si x 6 5 =- . En prenant la racine carrée, on obtient f x 12 49G^ h avec égalité si ,x 6 5 0 83.=- - , ce qui prouve la conjecture émise. Résoudre un problème de distance en utilisant la valeur absolue a. 7. b. 0,001. c. ,3 14-r . d. 2 3- . a. x 3- 2 3+ f x^ h x 2- + x 2- b. x 3- 2- ,0 5 3+ g x^ h x3 1- - x 3- + x3 1+ a. x 3- 2 3+ f x^ h 0 x 3- 0,5 3+ g x^ h 2,5 b. x y 10 1 Ꮿf Ꮿg a. S 3= -" ,. b. ;S 2 6= -" ,. c. S 2 1 = -' 1. d. QS = . a. 1- et 3. b. ; ;1 3,3 3- - +6 6@ @ .
  25. 25. 4 Livre du professeur - CHAPITRE 2 Fonctions de référence ©HachetteLivre2011–Déclic1re S a. 76543210–1–2–3–4–5 x b. 43210–1–2–3–4–5–6–7–8 x c. 76543210–1–2–3–4–5 x d. 76543210–1–2–3–4–5 x Rechercher un lieu géométrique AM AN MN2 2 2 = + OM a a OM1 12 2 2 2 2 + + = + + +^ h OM a1 2 1 2 2 + + = + OM a2 + = . Ainsi ;R a a2 _ i, donc il appartient à la courbe de la fonc- tion racine carrée. Déduire une courbe d’une autre 1 La transformation qui permet de passer de Ᏺ à Ꮿ semble être une translation. 2 ;OM x y^ h ; ;OA 3 2^ h ; ;AM X Y^ h. 3 y x Y x Y x 2 3 1 2 2 1 1+ += + - + = + = . 4 La transformation qui permet de passer de Ᏺ à Ꮿ est la translation de vecteur OA. Identifier la nature d’une courbe 1 g 1 0=^ h , donc I ! Ꮿ et g 0 1=^ h , donc J ! Ꮿ. 2 y x y g x y x x x x1 2 1 + = = = = - + -^ h * * y x x y x x1 2 1 1 4 1+ + = - = = - = * * y x 4 3+ = = . Donc ;A 4 3 4 3c m. 3 Non, car OA 16 9 16 9 8 9 12 != + = . Distances minimales 1 Il semble que la somme est minimale lorsque a 2= et que cette somme minimale vaut 3. 2 AD BE CF x x x4 1 2+ + = - + - + - f x= ^ h. 3 Si x 1G , f x x7 3= -^ h ; si x1 2G G , f x x5= -^ h ; si x2 4G G , f x x1= +^ h ; et si x 4H , f x x3 7= -^ h . D’où : x 3- 2 3+ f x^ h 3 4 La conjecture est démontrée : f admet un minimum en 2 valant 3. 1 c. 2 a. 3 a. 4 b. 5 c. 1 a. et c. 2 b. et c. 3 c. 4 c. 5 b. 6 a. et b. 1 b. 2 c. 3 a. 4 a. 5 b. 1 Vrai : si x est négatif, x x0G G et si x est positif, x x= . 2 Vrai : la fonction racine carrée est croissante sur ;0 3+6 6. 3 Faux : x 4 1 = . 4 Vrai : x x0 0+H G- . 5 Vrai : 2 3 4 5 6 7 8 9 x 6 Faux : 5 6- est négatif. Applications directes 1 Les fonctions de référence déjà connues 1 Vrai. 2 Faux. 3 Vrai. 4 Vrai. 1 Faux. 2 Faux. 3 Vrai. 4 Vrai. 1 Vrai. 2 Faux. 3 Vrai. 4 Vrai. a. x 3- 8 3+ f x^ h - 0 +
  26. 26. Livre du professeur - CHAPITRE 2 Fonctions de référence 5 ©HachetteLivre2011–Déclic1re S b. x 3- 3 1 3+ g x^ h + 0 - c. x 3- 4,5 3+ h x^ h + 0 - d. x 3- - 3 3+ k x^ h - 0 + a. a et b sont positifs et 1a b, donc 1a b2 2 . b. a 492 = et b 482 = , donc 2a b2 2 . c. a b=- , donc a b2 2 = . d. a et b sont positifs et 1a b, donc 1a b2 2 . a. a4 252 G G . b. a100 4002 G G . c. a0 92 G G . d. a0 252 G G . a. 1211 212, donc 2 211 1 212 1 . b. 2 4 3 1- - , donc 1 3 4 1- - . c. 1,3 14 r, donc 2 ,3 14 1 1 r . d. 2, ,2 0395 2 039, donc 1 ,2 0395 1 4 078 2 000 . a. x4 1 1 3 1G G . b. x 1 1 2 1G G- - . c. 1 x5 1 1 0G- . d. 1 1 x 0 1 7 1 . 1 f 3 6- =^ h ; f 2 1=-^ h ; f 2 1 4 11 =-c m . 2 x x x3 2 5 52 2 + +- = = = ou x 5=- . 3 On considère deux réels quelconques a et b tels que 1a b0 G . On a successivement 1a b0 2 2 G , puis 1a b3 3 32 2 G- - - ; c’est-à-dire 1f fa b^ ^h h, donc f est croissante sur ;0 3+6 6. On considère deux réels quelconques a et b tels que 1a b 0G . On a successivement 1b a0 2 2 G , puis 1b a3 3 32 2 G- - - ; c’est-à-dire 2f fa b^ ^h h, donc f est décroissante sur ; 03-@ @. 4 x 3- 0 3+ f x^ h - 3 1 f 1 0- =^ h ; f 3 2=-^ h ; f 3 2 9 5 =c m . 2 x x1 5 62 2 +- + =- = x 6+ = ou x 6=- . 3 On considère deux réels quelconques a et b tels que 1a b0 G . On a successivement 1a b0 2 2 G , puis 2a b2 2 - - , puis 2a b1 12 2 - + - + ; c’est-à-dire 2f fa b^ ^h h, donc f est décroissante sur ;0 3+6 6. On considère deux réels quelconques a et b tels que 1a b 0G . On a successivement 1b a0 2 2 G , puis 2 ,b a2 2 - - puis 2b a1 12 2 - + - + ; c’est-à-dire 1f fa b^ ^h h, donc f est croissante sur ; 03-@ @. 4 Comme f est d’abord croissante puis décroissante, elle admet un maximum. Ce maximum est réalisé pour x 0= et il vaut f 0 1=^ h . Revoir les généralités sur les fonctions 1 x 3- - 1 1 1 3+ f x^ h 2 - 2 2 a. ;S 2 1= -" ,. b. ; ;S 3 0 3, 3= - +7 7 7A . 3 On doit enlever les valeurs qui annulent la fonction f . Donc l’ensemble de définition de f 1 est : R ; ;3 0 3-# -. 1 L’ensemble de définition de f est l’intervalle ;3 4-6 @. 2 x - 3 - 1 2 4 f x^ h - 2 5 1 4 3 Si ;k 2 1 5,! -6 6 " ,, on a une solution. Si ;k 4 5 1,! 6@ " ,, on a deux solutions. Si ;k 1 4! @ @, on a trois solutions. Pour les autres valeurs de k, il n’y a pas de solution. 4 AB^ h : x 7 x 2 7 2 17 + . BC^ h : x 7 x 3 4 3 11 - + . CD^ h : x 7 x 2 3 2- . a. Faux. b. Vrai. c. Vrai. d. Faux. 2 La fonction racine carrée 1 c. 2 b. 1 Vrai. 2 Faux. 3 Faux. 4 Faux. 1 Faux. 2 Vrai. 3 Vrai. a. D ;1f 3= +6 6. b. D ; ;1 1f ,3 3= - - +6 6@ @ . c. D ; ;2 3f ,3 3= - +6 6@ @ . d. D ;3f 3= +6 6. e. D ; 2f 3= -@ @ 0" ,.
  27. 27. 6 Livre du professeur - CHAPITRE 2 Fonctions de référence ©HachetteLivre2011–Déclic1re S Le réel x doit être à la fois supérieur ou égal à 5 et inférieur à 3, c’est impossible. La calculatrice ne trace rien. 1 On considère deux réels quelconques a et b tels que 1a b2 G- . On a successivement 1a b0 2 2G + + , puis 1a b2 2+ + , puis 1a b2 1 2 1+ - + - , donc 1f fa b^ ^h h, et f est croissante sur ;2 3- +6 6. 2 x - 2 3+ f x^ h - 1 3 f x x x4 2 1 4 2 5+ += + - = + =^ h . Or x 2+ et 5 sont positifs, donc : x x x2 5 2 5 25 2 232 + ++ = + = = - = . D ;2f 3= - +6 6, c’est la courbe orange. D ; 2g 3= -@ @, c’est la courbe bleue. D ,0h 3= +6 6, c’est la courbe rouge. RDk = , c’est la courbe violette. 1 On considère deux réels quelconques a et b tels que 1a b3 G . On a successivement 1a b0 3 3G - - , puis 1a b3 3- - , puis 2a b3 3- - - - , puis 2a b3 2 3 2- - + - - + , donc 2f fa b^ ^h h, donc f est décroissante sur ;3 3+6 6. 2 Comme f est décroissante sur ;3 3+6 6, pour tout x 3H , on a : f f fx x3 2+G G^ ^ ^h h h . Le maximum de f est 2, il est atteint pour x 3= . 3 f x x x0 2 3 0 3 2+ += - - = - =^ h . Or x 3- et 2 sont positifs, donc : x x x3 2 3 2 4 3 72 + +- = - = = + = . 1 Pour les valeurs - 1, 0 et 1 la réponse est impos- sible. Les valeurs obtenues pour 2, 3 et 5 sont respecti- vement 2, 1,414 et 1. 2 Comme on calcule x 1- qui est au dénominateur, on doit avoir 2x 1 0- , c’est-à-dire 2x 1. 3 f : x 7 x 1 2 - . D ;1f 3= + 6@ . 4 On considère deux réels quelconques a et b tels que 1 1a b1 . On a successivement 1 1a b0 1 1- - , puis 1a b1 1- - , puis 2 a b1 1 1 1 - - , puis 2 a b1 2 1 2 - - , donc 2f fa b^ ^h h, et f est décroissante sur ;1 3+ 6@ . 3 La fonction valeur absolue 1 a. 2 c. 3 a. 4 b. 1 Faux. 2 Vrai. 3 Vrai. 4 Faux. 1 b. 2 b. 3 a. 4 c. 1 Faux. 2 Faux. 3 Vrai. 4 Vrai. 5 Vrai. A 5= ; B 3= ; C 15= ; D 4= ; E 6= ; F 0= . A 3 1 = ; B 12 1 = ; C 3 5 = ; ,D 0 09= ; E 300 1 = . A 4 3 2 2 = - ; B 5 1= + ; C 3 6= + ; D 2 1= - . E 3 2 2 3 =- + . A 1= -r ; B 2 3 3= - ; C 102 =- +r ; D 2 3 1 = - ; E 3 1= + . a. E x x x1 2 2 5= - + - + =-^ ^h h . b. E x x x x 3 2 1 3 5 = - - - + - + = -c ^ ^m h h . c. E x x x x2 2 1 3 5 5= + + + + = +^ ^ ^h h h . a. E x x1 1= - + + =^ h . b. E x x x x5 1 4= - + - + - = -^ ^h h . c. E x x x x3 3 3= - + - + - =- +^ ^ ^h h h . a. ;S 4 4= -" ,. b. QS = . c. Si x 0H , on a x x x2 1 3 1++ =- =- impos- sible. Si x 0G , on a x x x2 1 1+- + =- =- . Donc S 1= -" ,. d. x 5 3 8= + = ou x 5 3 2= - = . Donc ;S 2 8= " ,. e. Si x 2 1H - , on a x x x2 1 7 2 6 3+ ++ = = = . Si x 2 1G - , on a : x x x2 1 7 2 8 4+ +- - = - = =- . Donc ;S 4 3= -" ,. f. x x x x5 8 5 8++ = - + = - ou ,x x x5 8 1 5++ =- + = . Donc ;S 1 5= " ,. a. La distance de x à 0 vaut 4 , donc ;S 4 4= -" ,. b. Une distance ne peut être négative , donc QS = . d. La distance entre x et 5 vaut 3 : 2 3 4 5 6 7 8 9 x A B ;S 2 8= " ,. f. La distance entre x et - 5 doit être égale à celle entre x et 8, donc sur la droite graduée x est au milieu des deux autres nombres. ,x 2 5 8 1 5= - + = . Donc ,S 1 5= " ,.
  28. 28. Livre du professeur - CHAPITRE 2 Fonctions de référence 7 ©HachetteLivre2011–Déclic1re S a. La distance entre x et 0 est inférieure ou égale à 4 : ;S 4 4= -6 @. –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 x A B b. La distance entre x et 0 est supérieure ou égale à 1 : ; ;S 1 1,3 3= - - +6 6@ @ . –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 x BA c. x x3 2 5+G G- . La distance entre x et 0 est inférieure ou égale à 5 : ;S 5 5= -6 @. –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 x A B d. La distance entre x et 4 est supérieure ou égale à 2 : ; ;S 2 6,3 3= - +6 6@ @ . –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x A B e. x x4 3 1 4 3 4 1+G G+ + . La distance entre x et 4 3 - est inférieure ou égale à 4 1 . On a ;x 4 3 4 1 4 3 4 1! - - - +; E, donc ;S 1 2 1 = - -; E. –1 –0,9 –0,8 –0,7 3 –— 4 –0,6 –0,5 –0,4 x B CA f est associée à la courbe orange Ꮿ2 . g est associée à la courbe bleue Ꮿ4 . h est associée à la courbe rouge Ꮿ1 . k est associée à la courbe verte Ꮿ3 . Démonstrations de cours 1 Si x 0H , x x 0H= . Si x 0G , x x 0H=- . Donc pour tout réel x, x x 0H= . 2 Si x 0= , alors x 0 0= = . Si x 0= , alors la distance de x à 0 est nulle donc x 0= . Conclusion : x x0 0+= = . 3 Si x 0G , x x=- , de plus x 0H- , donc x x- =- : on a bien égalité dans ce cas. Si x 0H , x x= , de plus x 0G- , donc x x x- =- - =^ h : on a bien égalité dans ce cas égale- ment. Pour tout réel x, x x= - . 4 Si x y= ou x y=- , alors x y= ou x y y= - = , donc dans tous les cas on obtient x y= . Si x y= , alors x et y ont la même distance à 0, ils sont donc égaux ou symétriques par rapport à 0 , c’est-à-dire opposés. 5 x x2 2 2 =_ i et x x2 2 = . Ces deux nombres positifs ont le même carré, donc ils sont égaux. a. On obtient la bande de plan « verticale » limitée par les droites d’équations x 3=- et x 3= . b. On obtient la bande de plan « horizontale » limitée par les droites d’équations y 4=- et y 4= . c. On obtient la bande de plan « verticale » limitée par les droites d’équations x 1=- et x 3= . d. On obtient la bande de plan « horizontale » limitée par les droites d’équations y 3=- et y 1=- . 1 y 1 2G- . 2 x 2 1 2 3G+ . Calculs de distances a. AB 5 8 3= - = . b. AB 3 7 4= - + = . c. AB 15 62 77= - - = . d. AB 3 1 4 1 12 1 = - = . e. AB 5 3 2 1 10 11 = + = . f. AB 3 2 3 2= - =- + . a. , , ,AB 1 2 2 7 3 9= - - = . b. , , ,AB 0 42 0 402 0 018= - = . c. AB 2 3 2 2 3 2 = - =- + r r . d. AB 1 5 1 5= - + =- + . e. AB 3 2 3 2= + = + . f. AB 3 2 3 2 2 2= + - + = . Demander les valeurs de a, b, x. Calculer ax b+ et le mettre dans z. Si z 0H , afficher « y z= ». Sinon afficher y z=- . Problèmes 1 ;M x x1 2 -_ i. 2 OM x x x x1 1 12 2 2 2 2 = + - = + - =^ h . M appartient au demi-cercle de centre O de rayon 1 situé au-dessus de l’axe des abscisses si, et seulement si, on a y 0H et OM 1= . OM OM x y1 1 12 2 2 + += = + = y x12 2 + = - . Comme y 0H , on obtient y x1 2 = - . 1 On conjecture que Ꮿf est au-dessus de Ꮿg sur l’intervalle ;0 1@ @ et en dessous sur l’intervalle ;1 3+6 6. 2 D’après le cours, on sait que pour tout x appartenant à ;0 1@ @ on a x xG , donc sur cet intervalle on aura x x 1 1H c’est-à-dire Ꮿf au-dessus de Ꮿg . De même, pour tout ;x 1 3! +6 6 on a x xH , donc sur cet inter- valle on aura x x 1 1G c’est-à-dire Ꮿf en dessous de Ꮿg .
  29. 29. 8 Livre du professeur - CHAPITRE 2 Fonctions de référence ©HachetteLivre2011–Déclic1re S 1 x y 10 1 y = x – 1 y = x Par lecture graphique, on conjecture qu’il n’y a qu’une solution qui vaut environ 2,6. 2 Si 1x 1, alors 1x 1 0- et x ne peut pas être négatif. Donc si 1x 1, il n’y a pas de solution. 3 Si x 1H , les deux membres de l’équation étant posi- tifs, on élève au carré, on obtient une équation équiva- lente El^ h : x x 1 2 = -^ h E x x x x x2 1 3 1 02 2 + += - + - + =l^ h . 4 29 4 5 0= - =D , donc deux solutions à cette équation. x 2 3 5 1 = - et x 2 3 5 2 = + . Or 1x 11 , donc il ne peut pas être solution d’après 1 . Finalement, seul x2 est solution : S 2 3 5 = +' 1. 1 On considère deux réels quelconques a et b tels que 1a b 0G . On a successivement 2a b 0H- - , puis 2a b 0H- - , c’est-à-dire 2f fa b^ ^h h et f est décroissante sur ; 03-@ @. 2 x 3- 0 f x^ h 0 3 x x x5 25 25+ +- = - = =- . S 25= -" ,. 1 On considère deux réels quelconques a et b tels que 1a b 0G . On a successivement 2a b 0H- - , puis 2a b 0H- - et enfin 1a b- - - - , c’est-à- dire 1f fa b^ ^h h. Donc f est croissante sur , 03-@ @. On sait que la fonction racine carrée est croissante sur l’intervalle ;0 3+6 6. Conclusion : f est croissante sur R. 2 x y 10 1 ᏯᏯf 3 a. Si x est positif, l’ordonnée de M est x . b. ;M x x- -l^ h. c. Le milieu I de MMl6 @ a pour coordonnées ;x x x x 2 2 - -c m, c’est le point 0 quelle que soit la position de M sur la courbe de f . Conclusion : Ꮿf est symétrique par rapport au point 0. 1 x 0 1 3+ f x^ h 0 1 La fonction f est croissante puis décroissante, donc elle admet un maximum. Ce maximum vaut 1 et il est atteint pour x 1= . 2 Si x0 1G G , f x x x 2 1 2 1 4 1+ += = =^ h . Si x 1H , f x x x 2 1 1 2 1 2+ += = =^ h . Donc ;S 4 1 2= ' 1. 1 f f a b a b a b a 4 2 0 1 2 2 0 2 + = + = = + = + = =- ^ ^ h h * ) b a 4 2 + = =- ) . 2 On a f x x2 4=- +^ h . On considère deux réels quelconques a et b tels que 1a b0 G . On a successivement 1a b0 G , puis 2a b2 2- - , puis 2a b2 4 2 4- + - + , c’est-à-dire 2f fa b^ ^h h. La fonction f est décroissante sur l’intervalle ;0 3+6 6. 3 x 0 3+ f x^ h 4 4 On résout : x x x x2 4 0 2 4 2 4+ + +- + = = = = . 1 f f a b a b 0 2 3 3 4 = = = + = ^ ^ h h * . Les réels a et b étant strictement positifs, ce système est équivalent à : a b a b a b b b 4 3 16 4 4 3 16 2 2 2 += + = = + =^ ^h h Z [ ]] ]] * . La deuxième équation donne : b b b12 4 16 1++ = = . On obtient a a4 22 += = , car a est positif. Finalement f x x2 1= +^ h . 2 f x^ h est définie si, et seulement si, x x1 0 1+H H+ - . Donc D ;1f 3= - +6 6. 3 On considère deux réels quelconques a et b tels que 1a b1 G- . On a successivement 1a b0 1 1G + + , puis 1a b0 1 1G + + , puis 1 ,a b2 1 2 1+ + c’est-à-dire 1f fa b^ ^h h.
  30. 30. Livre du professeur - CHAPITRE 2 Fonctions de référence 9 ©HachetteLivre2011–Déclic1re S f est croissante sur ;1 3- +6 6. x - 1 3+ f x^ h 0 4 On résout : x x2 1 5 1 2 5++ = + = x x1 4 25 4 21+ ++ = = . 1 On conjecture que la fonction f est toujours décroissante sur son intervalle de définition quelle que soit la valeur de b. 2 On considère deux réels quelconques m et n tels que 1m n2 G . On a successivement 1m n0 2 2G - - , puis 1m n0 2 2G - - , puis 2m n 2 1 2 2 1 2- - - - et enfin 2m b n b 2 1 2 2 1 2- - + - - + quel que soit b, c’est-à-dire 2f fm n^ ^h h. La fonction f est toujours décroissante sur ;2 3+6 6. 3 On a f b b11 0 2 1 3 0 2 3+ +#= - + = =^ h . 1 Conjecture : Si a est strictement positif, la fonc- tion f est croissante sur ;1 3- +6 6 ; si a est négatif, elle est décroissante. Preuve : On considère deux réels quelconques m et n tels que 1m n1 G- . On a successivement 1m n0 1 1G + + , puis 1m n0 1 1G + + , puis : • si a est positif, 1a m a n1 1+ + et enfin 1a m a n1 3 1 3+ - + - , c’est-à-dire 1f fm n^ ^h h ; • si a est négatif, 2a m a n1 1+ + et enfin 2a m a n1 3 1 3+ - + - , c’est-à-dire 2f fm n^ ^h h. 2 f a a8 5 3 3 5 3 2+ +=- - =- =-^ h . Comme a est négatif, f est décroissante. f x x 3 2 1 3=- + -^ h et f 1 3- =-^ h . x - 1 3+ f x^ h - 3 f admet un maximum en - 1 qui vaut - 3, donc elle ne prend que des valeurs négatives. 1 On considère deux réels quelconques a et b tels que 1a b0 G . On a successivement 1a b0 2 2 G , puis : 1a b1 1 12 2 G + + , 1a b1 1 12 2 G + + , 1a b2 2 1 2 12 2 G + + , c’est-à-dire 1 .f fa b^ ^h h f est croissante sur ;0 3+6 6. On considère deux réels quelconques a et b tels que 1a b 0G . On a successivement 1b a0 2 2 G , puis : 1b a1 1 12 2 G + + , 1b a1 1 12 2 G + + , 1b a2 2 1 2 12 2 G + + , c’est-à-dire 2f fa b^ ^h h. f est décroissante sur ; 03-@ @. 2 La fonction f est décroissante puis croissante, donc elle admet un minimum. Ce minimum est atteint pour x 0= et il faut f 0 2=^ h . 3 L’équation f x 1=^ h n’a aucune solution puisque le minimum atteint par f est 2. QS = . f x x3 2 1 32 += + =^ h x 1 2 32 + + = x 1 4 92 + + = x 4 52 + = x 2 5+ = ou 2 5 =- . ;S 2 5 2 5 = -' 1. 1 f x x x x 1 1 12 2 2= + = +^ dh n x x x x 1 1 1 12 2 2= + . 2 Pour tout réel x non nul on a : f x g x x x x1 1 2- = + -^ ^h h .x x 1 1 12= + -d n Or 2 x 1 1 12+ , donc 2 x 1 1 1 02+ -d n . Comme dans ce cas 2x 0, on a bien : 2f x g x 0-^ ^h h . De plus 2f g0 0 1 0- =^ ^h h . Donc pour tout réel x, on a bien la relation demandée. 3 Comme pour tout réel x, 2f x g x^ ^h h, la courbe de f est toujours placée au-dessus de celle de g. 4 Arthur s’est trompé. 1 On doit avoir 2 2x x1 0 1+- . Donc D ;1f 3= + 6@ . 2 On considère deux réels quelconques a et b tels que 1 1a b1 . On a successivement 1 1a b0 1 1- - , puis 1 1a b0 1 1- - , puis 2 a b1 1 1 1 - - , c’est-à-dire 2f fa b^ ^h h. f est décroissante sur ;1 3+ 6@ .
  31. 31. 10 Livre du professeur - CHAPITRE 2 Fonctions de référence ©HachetteLivre2011–Déclic1re S 3 ᏯᏯf x y 10 1 y = x On conjecture une solution à l’équation, elle vaut environ 1,6. 4 x x x x 1 1 1 1+ - = - = , car les deux quan- tités sont positives. On obtient x x x x1 1 1 02 +- = - - =^ h . 5=D , donc l’équation a deux solutions : x 2 1 5 1 = + et x 2 1 5 2 = - . Mais x 2 1 5 2 = - est négatif, donc cette solution est impossible. Conclusion : S 2 1 5 = +' 1. 5 Une valeur approchée de ce nombre est 1,618, c’est donc cohérent avec la lecture graphique. 1 a a b aG , car on a multiplié par le même nombre positif a . a bG , car la fonction racine carrée est croissante sur ;0 3+6 6. b a b bG , car on a multiplié l’inégalité précédente par le même nombre positif b. 2 On obtient donc a a b a b bG G . On en déduit a a b bG , puis a a b b1 1G- - , c’est-à-dire f fa bG^ ^h h. f est croissante sur ;0 3+6 6. 3 f 1 1 1 1 0= - =^ h . 4 Pour tout réel x : 1x0 1G , on a 1x x 1 1 ; donc 1f x 0^ h . Pour tout réel x : 2x 1, on a 2x x 1 1 ; donc 2f x 0^ h d’après 1 et 2 . Le réel 1 est donc l’unique solution de l’équation f x 0=^ h . 1 On conjecture que f est décroissante sur l’inter- valle ;1 3+6 6. 2 On doit avoir simultanément x 1H - et x 1H , donc D ;1f 3= +6 6. 3 x x1 1+ - - x x x x x x 1 1 1 1 1 1 = + + - + - - + + -_ _i i x x x x 1 1 1 1 = + + - + - + x x1 1 2 = + + - . 4 On considère deux réels quelconques a et b tels que 1a b1 G . On a successivement 1a b1 1- - et 1 ,a b1 1+ + puis 1a b1 1- - et 1a b1 1+ + , donc on obtient : 1a a b b1 1 1 1+ + - + + - , puis 2 a a b b1 1 1 1 1 1 + + - + + - et enfin 2 a a b b1 1 2 1 1 2 + + - + + - c’est-à-dire 2f fa b^ ^h h. f est décroissante sur ;1 3+6 6. 1 Si x 0H , f x x2 1= +^ h . Si x 0G , f x 1=^ h . 2 x y 10 1 Ꮿf 3 Si x est négatif f x 1=^ h . f 0 1=^ h et la fonction affine x 7 x2 1+ est crois- sante sur ;0 3+6 6, donc pour tout réel positif x, on a f x 1H^ h . Donc pour tout réel x, on a bien f x 1H^ h . 1 Comme la valeur absolue d’un nombre est toujours positive, le nombre x existe toujours. 2 Si x est positif, on a f x x=^ h et on sait d’après le cours que cette fonction est croissante. 3 Si x est négatif, f x x= -^ h et on sait qu’elle est décroissante d’après l’exercice 78. 4 a. ;M x x^ h. b. ;M x x- -l` j, or dans ce cas x x- = , car x- est négatif. Donc ;M x x-l^ h : ce point a la même ordonnée que M. c. La courbe de f est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. 5 x y 10 1 ᏯᏯf 1 Si x 2 5H , f x x2 5= -^ h . Si x 2 5G , f x x2 5=- +^ h . 2 x 3- 2 5 3+ f x^ h 0
  32. 32. Livre du professeur - CHAPITRE 2 Fonctions de référence 11 ©HachetteLivre2011–Déclic1re S 3 x y 10 1 Ꮿf 1 Si x 1H , f x x 3= -^ h . Si x 1G , f x x 1=- -^ h . 2 x 3- 1 3+ f x^ h - 23 x y 1 0 1 Ꮿf 1 • Si x 3H , f x x x2 3= + -^ h f x x3 3= -^ h . • Si x0 3G G , f x x x2 3= - +^ h f x x 3= +^ h . • Si x 0G , f x x x2 3=- - +^ h f x x3 3=- +^ h . 2 x 3- 0 3+ f x^ h 3 3 x y 1 0 1 Ꮿf 1 • Si x 3 4H , f x x x2 3 4= + - +^ h f x x2 6=- +^ h . • Si x2 3 4G G- , f x x x2 3 4= + + -^ h f x x4 2= -^ h . • Si x 2G - , f x x x2 3 4=- - + -^ h f x x2 6= -^ h . 2 x 3- 3 4 3+ f x^ h 3 10 3 x y 20 2 ᏯᏯf 1 Si A 0H , on a A A= . Si A 0G , on a A A=- avec A 0H- , donc dans ce cas A AG - . Pour tout réel A, on a bien A AG . 2 C’est évident si A est positif. Si A est négatif, on utilise le fait que A A2 2 = -^ h . D’où le résultat. 3 D’après la question 2 , x y x y x y xy22 2 2 2 + = + = + +^ h . De plus, x y x y x y2 2 2 2 + = + +_ i x y xy22 2 = + + . Or xy xyG donc x y x y2 2 G+ +^ h . 4 Les carrés de ces deux nombres positifs sont classés dans le même ordre que les nombres eux-mêmes, donc x y x yG+ + . Partie A 1 x y x y# x y# x y x y# 2 5 10 10 2 5 10 - 3 - 4 12 12 3 4 12 7 - 2 - 14 14 7 2 14 - 5 3 - 15 15 5 3 15 2 On conjecture que x y x y# #= . Partie B 1 a. x y 0# H . b. x y x y# #= . c. x x= ; y y= ; x y x y# #= . d. Dans ce cas, on a démontré la conjecture. 2 a. x 0G ; y 0G . x y 0# H ; x y x y# #= ; x x=- ; y y=- ; x y x y# #= . Dans ce cas, on a démontré la conjecture. b. x 0H ; y 0G . x y 0# G ; x y x y# #=- ; x x= ; y y=- ; x y x y# #=- . Dans ce cas, on a démontré la conjecture. c. x 0G ; y 0H . x y 0# G ; x y x y# #=- ; x x=- ; y y= ; x y x y# #=- . Dans ce cas, on a démontré la conjecture.
  33. 33. 12 Livre du professeur - CHAPITRE 2 Fonctions de référence ©HachetteLivre2011–Déclic1re S 3 Pour tous réels x et y on a l’égalité : x y x y# #= . 1 L’aire demandée est égale à : , , , , , A 2 0 2 0 2 2 0 4 0 2 0 2# # = + +^ h , , , , , , 2 0 6 0 4 0 2 2 0 8 0 6 0 2# # + + + +^ ^h h , , 2 1 0 8 0 2# + +^ h A +, , , , , , 2 0 4 0 2 0 4 0 6 0 8 0 2 = + + +^ h A , , , , , ,0 2 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1= + + + +^ h . 2 Le calcul précédent donne environ : ,A 0 65= . 3 , 3 2 0 666. , donc on commet une erreur inférieure à 0,02. Dans la cellule A4, on met : =1/B1. Dans la cellule A5 : =A4+(1/$B$1) que l’on tire vers le bas jusqu’à obtenir x 1= . Dans la cellule C4 : =0.5*A3*B3. Dans la cellule C5 : 0.5*(B4+B5)*(1/$B$1). Dans la cellule D4 on somme les valeurs de la colonne C et dans la cellule E4 on met : =(2/3)-D4. Pour n 5= , on retrouve effectivement les résultats de la question 2 de l’exercice 92. On obtient une erreur inférieure à 10 4- à partir de n 162= . 2 On conjecture que l’aire du carré est égale à x2 2+ . 3 y x1 2 = - . 4 AM x y1 2 2 = + +^ h AM x x1 12 2 = + + -^ h AM x2 2= + . 5 Aire de AMCD AM x2 22 = = + . C’est bien une fonction affine. 6 On résout : ,x x2 2 2 2 4 0 21+ c+ = = - - r r . Partie A – Fonction opposée 1 Ml s’obtientàpartirdeMparunesymétrieparrapport à l’axe des abscisses. 2 La courbe de f- s’obtient à partir de celle de f par la symétrie par rapport à l’axe des abscisses. Partie B – Valeur absolue d’une fonction polynôme du second degré 1 x 3- 1 3+ g x^ h - 1 2 Les racines du polynôme sont 0 et 2 donc : x x22 - est positif sur ; ;0 2,3 3- +6 6@ @ et négatif sur ;0 26 @. 3 D’après la définition de la valeur absolue, on a bien x x x x2 22 2 - = - si x appartient à ; ;0 2,3 3- +6 6@ @ et x x x x2 22 2 - =- + si x appartient à ;0 26 @. 4 x y 10 1 ᏯᏯf ᏯᏯg 1 f x x2 6= -^ h . 2 g x x 1= - +^ h . 3 h x x 2 1 =^ h . 4 k x x 1 =^ h . x y 10 1 Ꮿf x y 10 1 Ꮿg y x10 1Ꮿh y x10 1 Ꮿk
  34. 34. Livre du professeur - CHAPITRE 2 Fonctions de référence 13 ©HachetteLivre2011–Déclic1re S 5 x x x2 1, = + -^ ^ ^h h h . 1 On a x 1 0H , donc 2 x 2 1 2+ . 2 Si x est positif, f x x 2 1 = +^ h . Si x est négatif, f x x 2 1 = -^ h . 3 On considère deux réels quelconques a et b tels que 1 1a b0 . On a successivement : 2 a b 1 1 , puis 2 , a b 2 1 2 1 + + donc 2f fa b^ ^h h c’est-à-dire que f est décroissante sur ;0 3+ 6@ . On considère deux réels quelconques a et b tels que 1 1a b 0. On a successivement : 2 a b 1 1 , puis 1 a b 1 1 - - , puis 1 a b 2 1 2 1 - - ; donc 1f fa b^ ^h h, c’est-à-dire que f est croissante sur ; 03- 6@ . 4 x 3- 0 3+ f x^ h 5 On résout 2 x k x k 2 1 2 1 0++ = = - et 1 x k x k 2 1 2 1 0+- = = - . ;S k k2 1 2 1 = - - ' 1 1 Cet algorithme sert à écrire la valeur absolue d’un trinôme du second degré sans utiliser les barres de valeur absolue selon les valeurs de x. Il n’est valable que si 2a 0. 2 x 31 =- ; x 12 = ; x x x x3 6 9 3 6 92 2 + - =- - + pour x compris entre x1 et x2 ; x x x x3 6 9 3 6 92 2 + - = + - sinon. 3 1 Avec la calculatrice on conjecture que cette fonc- tion est croissante sur R. 2 Si a est négatif, son cube l’est également, si b est positif, son cube l’est également ; on a donc 1a b3 3 . 3 a. Lorsqu’on développe le produit, on obtient bien a b3 3 - . b. Si a et b sont de même signe, alors a2 , ab et b2 sont positifs, donc leur somme est positive. 4 Si a et b sont de mêmes signes, alors a b3 3 - est du signe de a b- , donc si 1a b on a 1a b 0- ; on a donc 1a b 03 3 - . Si a et b sont de signes contraires, alors 1a b3 3 d’après la question 2 . 5 x 3- 3+ f x^ h 6 y x10 1 y = x2 y = x3 x x x x 13 2 2 - = -^ h avec x 02 H . Si x 1G , on a x x 03 2 G- , donc la courbe de la fonc- tion cube est en dessous de celle de la fonction carré. Si x 1H , on a x x 03 2 H- , donc la courbe de la fonc- tion cube est au-dessus de celle de la fonction carré. Il y a deux points communs à ces deux courbes, les points ;0 0^ h et ;1 1^ h. 1 C’est la symétrie d’axe la droite d’équation y x= . 2 Le milieu I de MN6 @ a pour coordonnées ;I a b a b 2 2 + +c m dont l’ordonnée est égale à l’abs- cisse, ce point appartient à la droite d’équation y x= . De plus OM a b2 2 2 = + . IO a b a b a b 2 2 2 2 2 2 2 = + + + = + c c ^ m m h . IM a b b a a b 2 2 2 2 2 2 2 = - + - = - c c ^ m m h I IO M a ab b a ab b 2 2 22 2 2 2 2 2 + = + + + - + a b a b OM 2 2 22 2 2 2 2 = + = + = , ce qui prouve que le triangle OIM est rectangle en I, donc la droite d’équation y x= coupe le segment MN6 @ en son milieu et perpendiculairement. M et N sont bien symétriques par rapport à cette droite. 3 On considère le point ;M x x2 ^ h avec x positif quel- conque, il appartient à la courbe de la fonction carré. On en déduit que le point ;N x x2 ^ h appartient à la courbe de la fonction racine carrée. En effet, dans ce cas, x x2 = . y x10 1 ᏯᏯᐉ
  35. 35. 14 Livre du professeur - CHAPITRE 2 Fonctions de référence ©HachetteLivre2011–Déclic1re S D’après la question 2 , ces deux points sont symétriques par rapport à la droite d’équation y x= . Comme c’est vrai pour tout point de la courbe de la fonction carré, on peut dire que les deux courbes sont symétriques par rapport à cette droite. 1 , (m) 0 0,5 1 2 5 8 10 12 15 T (s) 0 1,42 2 2,84 4,49 5,67 6,34 6,95 7,77 2 On conjecture que la fonction f est croissante. On considère deux réels quelconques a et b tels que 1a b0 G . On a successivement : 1 g a g b , puis 1 g a g b , puis 1 g a g b2 2r r ; donc 1f fa b^ ^h h et f est crois- sante sur ;0 3+6 6. 3 On résout : , , , 2 9 81 5 9 81 2 5 9 81 4 25 2 + +, , , = = =r r r , , 4 9 81 25 6 2122 + #, .= r m. 4 , ,T 2 9 81 67 16 42.= r s. 1 , I Z U 40 4 0 1 500 4 2 2 2 2 # # = = + r , AI 0 013. . 2 On résout , , 1600 4 0 01 4 0 052 2 #+ = r r . On obtient , , n1600 0 04 0 05 42 2 + =r , n1600 0 04 6 4002 2 + + =r , n0 04 4 8002 2 + =r , n 0 04 4 8002 2 + = r , , n 0 04 4 800 0 2 10 48 2 + = = r r D’où Hzn 110. . 3 a. Lorsque n 0= , ,I 40 4 0 1= = A. b. L’intensité I est décroissante sur l’intervalle ; .0 5006 @ Elle décroît de 0,1 A pour n 0= à 0,13 A environ pour n 500= . c. On considère deux réels quelconques a et b tels que 1a b0 G . On a successivement : 1a b0 2 2 G ; 1R R L a R L b4 42 2 2 2 2 2 2 2 2 G + +r r ; 1R L a R L b4 42 2 2 2 2 2 2 2 + +r r ; 2 R L a R L b4 1 4 1 2 2 2 2 2 2 2 2 + +r r ; 2 R L a U R L b U 4 42 2 2 2 2 2 2 2 + +r r . Ce qui prouve que I est une fonction décroissante de la fréquence n. Revoir les outils de base 1 Faux. 2 Vrai. 3 Faux. 1 a. f 2 6=^ h . b. f 4 18- =^ h . c. f 3 2 9 22 =c m . d. f 3 5=^ h . e. f 5 2 25 52 - =c m . 2 f x x7 52 += =^ h x 5+ != . 3 et 4 a est positif, donc f est décroissante puis crois- sante ; de plus a b 2 0- = . x 3- 0 3+ f x^ h 2 1 a. f 2 11- =-^ h . b. f 1 2=-^ h . c. f 3 1 3 2 =c m . d. f 5 14- =-^ h . e. f 2 3 4 5 - =-c m . 2 f x x3 3 42 +=- =^ h x 3 2+ != . 3 et 4 a est négatif, donc f est croissante puis décrois- sante ; de plus a b 2 0- = . x 3- 0 3+ f x^ h 1 1 a. f 1 5=^ h . b. f 3 1 9=c m . c. f 5 5 2 3- =- +^ h . d. f 2 1 1- =-c m . 2 , ,f x x 2 5 2 5 5+=- =-^ h , x 5 5 2 11 4+ =- =- . 3 On prend 1 1a b0 et on obtient successivement 2 a b 1 1 , 2 a b 2 2 et enfin 2f fa b^ ^h h.
  36. 36. Livre du professeur - CHAPITRE 2 Fonctions de référence 15 ©HachetteLivre2011–Déclic1re S 4 x 0 3+ f x^ h Les savoir-faire du chapitre 1 a. On prend 1 1a b1 et on obtient successive- ment : 1 1a b0 1 1- - , 2 a b1 1 1 1 - - , 2 , a b1 4 1 4 - - 2 a b1 4 2 1 4 2 - - - - , c’est-à-dire 2g a g b^ ^h h, donc g est décroissante sur ;1 3+ 6@ . b. Si ;x 1 3! @ @, g x g 3 0H =^ ^h h . c. Si 1x 1, g x^ h est négatif. 2 Il faut que x 1! et g x 0H^ h . Si x 3H , alors g x g 3 0G =^ ^h h . 3 On prend 1 1a b1 3G et on obtient g a g b 0H H^ ^h h , puis 2f fa b^ ^h h. Donc f est décroissante sur l’intervalle ;1 3@ @. 1 • Si x 3G - , f x x x3 2=- - - -^ ^h h f x 5=-^ h . • Si x3 2G G- , f x x x3 2= + - -^ ^h h f x x2 1= +^ h . • Si x 2H , f x x x3 2= + + -^ h f x 5=^ h . 2 Sur les intervalles ; 33- -@ @ et ;2 3+6 6, f est constante ; sur l’intervalle ;3 2-6 @, f est une fonction affine croissante. 3 f est négative sur ; 33- -@ @ et positive sur ;2 3+6 6 ; de plus, x x2 1 0 2 1+G G+ - . Finalement, ;S 2 13= - -E E. a. La distance séparant x et 2 est égale à 3 : –1 0 1 2 3 4 5 6 7 x Donc ;S 1 3= -" ,. b. x est équidistant de 5- et 3 : –1–2–3–4–5 0 1 2 3 x Donc S 1= -" ,. c. x est plus proche de 5 que de 1- : –1 0 1 2 3 4 5 6 7 x Donc ;S 2 3= +6 6. g x x 1= -^ h et h x x 1= -^ h . On conjecture que g est décroissante sur ; 13-@ @ et croissante sur ;1 3+6 6. Démonstration : si x 1G , g x x 1=- +^ h est une fonction affine décrois- sante, et si x 1H , g x x 1= -^ h est une fonction affine croissante. On conjecture que h est décroissante sur ; 03-@ @ et croissante sur ;0 3+6 6. Démonstration : si x 0G , h x x 1=- -^ h est une fonction affine décrois- sante, et si x 0H , g x x 1= -^ h est une fonction affine croissante. 1 Pour g, il faut que f x 0H^ h ; le discriminant étant négatif, RDg = . Pour h, il faut que x 0H , donc D ;0h 3= +6 6. 2 Si 1a b0 G , 1a b donc 1a b2 2 ; on obtient donc 1a a b b2 3 2 3+ + + + . 3 On conjecture que g est décroissante sur ; 13- -@ @ et croissante sur ;1 3- +6 6. Démonstration : comme la fonction racine carrée est croissante sur ;0 3+6 6, g a les mêmes variations que f ; f est décrois- sante puis croissante (a est positif) et a b 2 1- =- . En lien avec les sciences 1 , , , v 15 3 6 0 029 11 63 15 273 #= + ^ ^ h h km hv 15 1224 1 $. - ^ h . 2 La fonction sous le radical est une fonction affine croissante de la variable T. Comme la fonction racine carrée est croissante sur ;0 3+6 6, elle ne change pas l’ordre ; la multiplication par le réel positif 3,6 non plus, donc la vitesse du son est une fonction croissante de la température. 3 On utilise la formule d v t#= ; donc la foudre est tombée à v 30 3 600 8 #^ h km de Medhi, soit environ 2,8 km. Approfondissement 1 Avec le théorème de Pythagore, AM x 42 = + et MB x x x6 1 12 372 2 = - + = - +^ h . 2 On utilise la formule t v d = ; d’où : f x AM MB 5 3 = +^ h .f x x x x 5 4 3 12 372 2 = + + - +^ h 3 On obtient, au mètre près, ,x 5 321= .
  37. 37. C H A P I T R E Dérivation Livre du professeur - CHAPITRE 3 Dérivation 1 ©HachetteLivre2011–Déclic1re S 1. Programme officiel Contenus Capacités attendues Commentaires Nombre dérivé d’une fonction en un point. Tangente à la courbe représentative d’une fonction dérivable en un point. Fonction dérivée. ◗ Tracerunetangenteconnaissantlenombre dérivé. ◗ Calculer la dérivée de fonctions. Lenombredérivéestdéfinicommelimitedu taux d’accroissement h a h af f+ -_ _i i , quand h tend vers 0. On ne donne pas de définition formelle de sa limite. L’utilisation des outils logiciels facilite l’in- troduction du nombre dérivé. On évite tout excès de technicité dans les calculs de dérivation. Si nécessaire, dans le cadre de la résolution de problèmes, le calcul de la dérivée d’une fonction est faci- lité par l’utilisation d’un logiciel de calcul formel. Il est intéressant de présenter le principe de démonstration de la dérivation d’un produit. Dérivée des fonctions usuelles : x 7 x , x 7 x 1 et x 7 xll (n entier naturel non nul). Dérivée d’une somme, d’un produit et d’un quotient. 2. Intentions des auteurs Une notion nouvelle et importante est abordée dans ce chapitre, celle de nombre dérivé et de fonction dérivée. La notion de tangente donne rapidement un sens concret au nombre dérivé. Les fonctions dérivées et le formulaire usuel sont étudiés ici, mais le lien avec les variations sera vu dans le chapitre 4. Le taux d’accrois- sement de f en a est introduit comme une fonction de la variable h. Cette fonction, que l’on devrait noter ax , a volontairement été notée x pour ne pas perturber les élèves avec des notations trop compliquées. Les fonctions de référence étudiées en Seconde et dans le chapitre 2 fournissent les exemples et contre-exemples nécessaires. Du point de vue mathématique : – on introduit, intuitivement, la notion de limite en zéro ; – on définit le taux d’accroissement de f en a, puis le nombre dérivé de f en a ; – on définit la tangente de f en ; fA a a^^ hh lorsque f est dérivable en a et on établit son équation ; – on établit les formules de dérivation au programme. Les exercices ont pour but de faire assimiler aux élèves la définition sans oublier d’étudier des cas de non déri- vabilité, de s’approprier la notion de tangente et d’assi- miler le formulaire. L’utilisation de la calculatrice ou d’un logiciel de calcul formel permet de vérifier les résultats.
  38. 38. 2 Livre du professeur - CHAPITRE 3 Dérivation ©HachetteLivre2011–Déclic1re S Objectifs ◗ Réactiver les connaissances du cours de Seconde concer- nant les équations de droites et la notion de coefficient directeur. ◗ Prendre contact avec le type de calculs littéraux qui sera utilisé. A 1 Faux. 2 Faux. 3 Vrai. 4 Vrai. 5 Vrai. 6 Vrai. B 1 c. 2 b. 3 d. 4 a. C 1 a., c. et d. 2 b. et c. 3 b., c. et d. ActivitéActivité 1 Taux d’accroissement d’une fonction Objectif Se familiariser avec l’expression f f h a h a+ -^ ^h h . 1 hx^ h est le coefficient directeur de la droite AM^ h. 2 a. RD =x 0" , ; h h h h 2 = =x^ h . b. RD =x 0" , ; h h h h h h h 2 4 4 4 2 2 = - + - = - = -x^ ^ h h . 3 a. RD =x ;1 0-" , ; h h h h h h h 1 1 1 1 1 1 1 1 = + - = + - + = + -x^ ^ ^ h h h . b. D ;0 3= +x 6@ ; h h h h 1 = =x^ h . ActivitéActivité 2 Approche de la « limite en zéro » Objectif Aborder intuitivement la notion de limite en zéro. 1 Dans le cas 2 b., lim h 4 h 0 =-x " ^ h . Dans le cas 3 a., lim h 1 h 0 =-x " ^ h . 2 a. h 1 0,25 0,01 10 4- 10 50- hx^ h 1 2 10 100 1025 b. Il semble que lim h h 0 3=+x " ^ h . ActivitéActivité 3 Tangente à un demi-cercle Objectif Faire le lien entre les notions de taux d’accroissement et de tangente par le biais de la seule situation connue par les élèves : la notion de tangente à un cercle. 1 OA 1 2 52 2 = + = , donc A ! Ꮿ. 2 Un point ;M x y^ h distinct de A appartient à la tangente au cercle en A si, et seulement si, OAM est un triangle rectangle en A, ce qui, d’après le théorème de Pythagore se traduit par : OA AM OM x y x y5 1 22 2 2 2 2 2 2 ++ = + - + - = +^ ^h h x y2 4 10 0+ - - + = y x 2 1 2 5+ =- + . Le coefficient directeur de cette tangente est 2 1 - . 3 a. Un point ;M x y^ h appartient à Ꮿ si, et seulement si, y 0H et OM 5= , ce qui équivaut à y 0H et OM 52 = . OM x y y x5 5 52 2 2 2 + += + = = - . b. h h h h h h5 1 2 4 2 2 2 2 = - + - = - - -x^ ^ h h .h h h h h h h h h 4 2 2 4 2 4 4 2 2 2 2 2 2 = - - + - - - = - - + - -x^ _ h i c. La limite de hx^ h quand h tend vers 0 est . 4 2 2 1 - =- C’est le coefficient directeur de la tangente. ActivitéActivité 4 À toute vitesse ! Objectif Découvrir le calcul d’une vitesse instantanée. 1 • Entre 0 et 1 s : , m s d 1 1 4 9 1 $. -^ h ; • entre 1 et 2 s : , m s d d 2 1 2 1 14 7 1 $. - - -^ ^h h ; • entre 0,5 et 1 s : , , , m s d d 1 0 5 1 0 5 7 35 1 $. - - -^ ^h h ; • entre 1 et 1,5 s : , , , m s d d 1 5 1 1 5 1 12 25 1 $ - - = -^ ^h h ; • entre 0,9 et 1 s : , , , m s d d 1 0 9 1 0 9 9 31 1 $. - - -^ ^h h ; • entre 1 et 1,1 s : , , , m s d d 1 1 1 1 1 1 10 29 1 $. - - -^ ^h h . 2 , g , g h h d h d h h 1 1 1 1 0 5 1 0 52 = + - + - = + - x^ ^ ^ ^ h h h h , g , g , ,h h h h h h 0 5 2 0 5 2 9 8 4 9.= + = + +x^ ^ ^h h h . 3 ,lim h 9 8 h 0 =x " ^ h , donc à l’instant 1, l’objet a une vitesse de , m s9 8 1 $ - , ou encore de : , , km h . 1000 9 8 3 600 35 28 1# $= - 4 , gh h d h d h 2 2 0 5 4= + - = +x^ ^ ^ ^h h h h , ,h h19 6 4 9. +x^ h . ,lim h 19 6 h 0 =x " ^ h , donc à l’instant 2, l’objet a une vitesse de , m s19 6 1 $ - , ou encore de , km h70 56 1 $ - . ActivitéActivité 5 Tangente à une parabole Objectif Envisager la tangente à la parabole au point A comme étant la seule droite non parallèle à l’axe des ordonnées ayant un unique point commun (A donc) avec la parabole, puis faire le lien avec la droite passant par A de coefficient directeur la limite de hx^ h quand h tend vers zéro.

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