5Séquence 1 – MA01
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variation
composée
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7Sommaire séquence 1 – MA01
Sens de variation
Exercices d’apprentissage (Série 1)
Fonctions composées
Continuité d’une fon...
9Séquence 1 – MA01
Cours
Sens de variationA
ᕡ Fonction croissante (ou décroissante) sur I
Soit u une fonction définie sur u...
Séquence 1 – MA0110
Solution
³ Les fonctions u et v sont des fonctions usuelles dont le sens de variation est connu.
La fo...
11Séquence 1 – MA01
Pour , la fonction ku est la fonction nulle .
Si , alors la fonction ku est constante sur I.
➠ Cas par...
Séquence 1 – MA0112
On sait que la fonction v est décroissante sur et croissante sur .
La fonction est définie sur et sur ....
13Séquence 1 – MA01
Soit f la fonction définie sur par : .
On veut déterminer le sens de variation de f sur et sur .
Méthod...
Séquence 1 – MA0114
On a alors d’où .
Ainsi
· On a .
Posons .
On a alors d’où .
Ainsi
On présente souvent les résultats à ...
15Séquence 1 – MA01
ᕣ Sens de variation d’une fonction composée
Soit u et v deux fonctions telles que :
Considérons le cas...
Séquence 1 – MA0116
ᕡ Idée intuitive : exemples graphiques
Voici les courbes représentatives de six fonctions (voir figure ...
17Séquence 1 – MA01
Illustrons cette propriété en donnant quelques exemples dans le tableau suivant :
On peut aussi énonce...
Séquence 1 – MA0118
Fig. 4
On observe que : • pour , on a ;
• pour , on a ;
• pour , on a ;
etc...
On peut dire que pour t...
19Séquence 1 – MA01
̈ On fait apparaître la courbe en faisant .
̈ Le paragraphe F de cette séquence est uniquement consacr...
Séquence 1 – MA0120
On admet la propriété suivante :
On peut noter que l’image par f d’un intervalle peut être différent d...
21Séquence 1 – MA01
ᕢ Cas d’une fonction continue et
strictement monotone sur I
Point de vue graphique
On va examiner le c...
Séquence 1 – MA0122
On peut énoncer la propriété suivante.
On est amené assez souvent à utiliser cette propriété dans un c...
23Séquence 1 – MA01
¿ ̈ Pour les mêmes raisons que ci-dessus, l’équation admet une solution unique dans
et une solution un...
Séquence 1 – MA0124
La calculatrice nous donne : et .
On peut écrire :
car f est décroissante.
D’où .
̈ On peut tracer la ...
25Séquence 1 – MA01
̈ S’il y a plusieurs courbes, on peut en supprimer en désactivant la fonction correspondante. Pour
sup...
Séquence 1 – MA0126
Méthode 4 (utilisation d’un programme)
On peut écrire un programme pour obtenir l’écran suivant :
Pour...
27Séquence 1 – MA01
· Soit g la fonction définie sur ‫ޒ‬ par .
Montrer que l’on peut décomposer g en trois fonctions u, v, ...
Synthèse
28 Séquence 1 – MA01
̈ Variation
• Si deux fonctions u et v varient dans le même sens sur I, alors varie comme u ...
29Séquence 1 – MA01
Exercices d’entraînement
On pose, pour tout x réel, .
³ Quel est le sens de variation sur ‫ޒ‬ de la fo...
Aide
aux exercices d’entraînement
Séquence 1 – MA0130
³ Penser au sens de variation sur ‫ޒ‬ de la fonction .
· Se rappeler...
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  1. 1. 5Séquence 1 – MA01 > Fonctions : variation composée continuité © Cned – Académie en ligne
  2. 2. 7Sommaire séquence 1 – MA01 Sens de variation Exercices d’apprentissage (Série 1) Fonctions composées Continuité d’une fonction sur un intervalle Continuité et équations du type f(x) = λ Fonctions et calculatrices Exercices d’apprentissage (Série 2) AA ABB AC D E F AG Chapitre 1 > Cours ...............................................................................................................................................................................9 Chapitre 3 > Exercices d’entraînement .......................................................................................................29 Chapitre 4 > Aide aux exercices d’entraînement ....................................................................30 Chapitre 2 > Synthèse ..................................................................................................................................................................28 © Cned – Académie en ligne
  3. 3. 9Séquence 1 – MA01 Cours Sens de variationA ᕡ Fonction croissante (ou décroissante) sur I Soit u une fonction définie sur un intervalle I. ̈ u est croissante sur I signifie que, pour deux réels quelconques a et b de I, l’inégalité impli- que l’inégalité . ̈ u est décroissante sur I signifie que, pour deux réels quelconques a et b de I, l’inégalité implique l’inégalité . Soit u une fonction définie sur un intervalle I. ̈ u est monotone sur I signifie que u est soit croissante sur I, soit décroissante sur I. ̈ • Si on remplace par , on dit que u est strictement croissante sur I. • Si on remplace par , on dit que u est strictement décroissante sur I. ̈ On peut donc parler de la stricte monotonie d’une fonction u sur un intervalle I. ̈ Étudier les variations d’une fonction u, c’est déterminer les intervalles sur lesquels la fonction u est monotone. ᕢ Somme de deux fonctions Les deux fonctions u et v étant définies sur un même intervalle I, leur somme est la fonction définie sur I par : . Énoncé Pour tout x non nul, on pose et . Soit f la fonction définie sur par . ³ Indiquer le sens de variation de u et de v sur chacun des intervalles et . · Que peut-on dire du sens de variation de f sur ? Que peut-on dire du sens de variation de f sur ? Propriété ᕡ ̈ Si deux fonctions u et v sont croissantes sur un intervalle I, alors leur somme est croissante sur I. ̈ Si deux fonctions u et v sont décroissantes sur un intervalle I, alors leur somme est décroissante sur I. ̈ Pour tout réel k, les fonctions u et ont le même sens de variation sur I. a b< u a( ) u b( )≤ a b< u a( ) u b( )≥ u a( ) u b( )≤ u a( ) u b( )< u a( ) u b( )≥ u a( ) u b( )> u v+ u v+( ) x( ) u x( ) v x( )+= u v+ u v+ u k+ u x( ) x2= v x( ) 2 x --= ‫*ޒ‬ f x( ) u x( ) v x( )+= ] ∞ ; 0[– ]0 ; + ∞[ ] ∞ ; 0[– ]0 ; + ∞[ Définition ᕡ Définition ᕢ Remarques Exemple ᕡ © Cned – Académie en ligne
  4. 4. Séquence 1 – MA0110 Solution ³ Les fonctions u et v sont des fonctions usuelles dont le sens de variation est connu. La fonction u est : • décroissante sur . • croissante sur . La fonction v est : • décroissante sur . • décroissante sur . · ̈ Sur l’intervalle : Les fonctions u et v étant toutes les deux décroissantes, la fonction somme f sera décroissante. ̈ Sur l’intervalle : La fonction u est croissante alors que la fonction v est décroissante. La propriété ᕡ ne nous permet pas de conclure. ̈ Une calculatrice ou un grapheur peut nous permettre de conjecturer le sens de variation de f sur . Voici la courbe Ꮿ, représentative de f, obtenue à l’aide d’un grapheur (voir figure 1) : Fig. 1 On conjecture que f est décroissante sur et croissante sur . ̈ Si deux fonctions varient en sens contraires sur I, on ne peut pas, à priori, prévoir le sens de varia- tion de la somme. ᕣ Produit d’une fonction par un réel Soit u une fonction définie sur un intervalle I et k un réel. La fonction ku est définie sur I par : . x 0 x 0 0 Conclusion ̈ Sur f est décroissante. ̈ Sur on ne peut rien conclure. ∞– + ∞ ∞– + ∞ u x( ) v x( ) ] ∞ ; 0[– ]0 ; + ∞[ ] ∞ ; 0[– ]0 ; + ∞[ ] ∞ ; 0[– ]0 ; + ∞[ ] ∞ ; 0[– ]0 ; + ∞[ ]0 ; + ∞[ O –1 1 3 –1 1 2 Ꮿ y = x2 + 2/x i j y x S Ꮿ ]0 ; 1] 1 ; +∞[[ ku( ) x( ) k u x( )× ku x( )= = Remarques © Cned – Académie en ligne
  5. 5. 11Séquence 1 – MA01 Pour , la fonction ku est la fonction nulle . Si , alors la fonction ku est constante sur I. ➠ Cas particulier ̈ . Toute fonction u et sa fonction « opposée » varient en sens contraires sur I. ᕤ Produit de deux fonctions positives Les deux fonctions u et v étant définies sur un même intervalle I, leur produit uv est la fonction définie sur I par : . ̈ La propriété ᕣ ne s’applique que pour des fonctions positives. ̈ Si deux fonctions (positives ou non) varient en sens contraires sur I, on ne peut pas à priori prévoir le sens de variation du produit. ᕥ Inverse d’une fonction de signe constant La fonction v étant non nulle sur un intervalle I, la fonction inverse est la fonction définie sur I par : . ̈ La fonction v ne doit pas s’annuler sur I (donc ou sur I). ̈ v et varient donc en sens contraires sur I. Énoncé Soit f la fonction définie, pour , par : . Connaissant les variations sur ‫ޒ‬ de la fonction v qui à x associe , déterminer les variations de f sur chacun des intervalles où elle est définie. Solution On pose : et . Propriété ᕢ ̈ Si , alors les deux fonctions u et ku ont le même sens de variation sur I. ̈ Si , alors les deux fonctions u et ku varient en sens contraires sur I. Propriété ᕣ ̈ Si deux fonctions u et v sont positives et croissantes sur un intervalle I, alors leur produit uv est une fonction croissante sur I. ̈ Si deux fonctions u et v sont positives et décroissantes sur un intervalle I, alors leur produit uv est une fonction décroissante sur I. Propriété ᕤ ̈ Si v garde un signe constant et est croissante sur un intervalle I, alors l’inverse est décroissante sur I. ̈ Si v garde un signe constant et est décroissante sur un intervalle I, alors l’inverse est crois- sante sur I. k 0= x 0‫ۋ‬ k 0> k 0< k 0= k 1–= u– uv( ) x( ) u x( ) v x( )× u x( )v x( )= = 1 v -- 1 v -- ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ x( ) 1 v x( ) ----------= 1 v -- 1 v -- v x( ) 0< v x( ) 0> 1 v -- x 0≠ f x( ) 1 x2 -----= x2 v x( ) x2= f x( ) 1 x2 -----= Remarque Remarque Remarques Remarques Exemple ᕢ © Cned – Académie en ligne
  6. 6. Séquence 1 – MA0112 On sait que la fonction v est décroissante sur et croissante sur . La fonction est définie sur et sur . D’où : ̈ f est croissante sur . ̈ f est décroissante sur . Voici d’ailleurs les courbes représentatives des deux fonctions v et f, obtenues à l’aide d’un grapheur (voir figure 2). ᕦ Les fonctions trinômes Les fonctions trinômes sont les fonctions f de la forme , avec . Les fonctions trinômes peuvent être définies sur ‫.ޒ‬ La courbe représentative d’une fonction trinôme est toujours une parabole. Les paraboles peuvent être classées en deux catégories : celles dont les branches sont « tournées vers le haut » et celles dont les branches sont « tournées vers le bas ». Le sommet S de la parabole a pour coordonnées . Fig. 2 Signe de a Allure de la parabole Sens de variation de f ] ∞ ; 0[– ]0 ; + ∞[ f 1 v --= ] ∞ ; 0[– ]0 ; + ∞[ ] ∞ ; 0[– ]0 ; + ∞[ O 1 –1 1 ᏼ ᏼ y = x2 courbe d'équation y = x2 O 1 –1 1 Ꮿ Ꮿ y = 1 / x2 courbe d'équation y = 1 x2 x ax2 bx c+ +‫ۋ‬ a 0≠ a 0> a 0< S S x mini ∞– b 2a ------– + ∞ f x( ) x maxi ∞– b 2a ------– + ∞ f x( ) b 2a ------– ; f b 2a ------– ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ © Cned – Académie en ligne
  7. 7. 13Séquence 1 – MA01 Soit f la fonction définie sur par : . On veut déterminer le sens de variation de f sur et sur . Méthode 1 On peut écrire . Expliquer brièvement pourquoi le fait d’avoir posé ne permettra pas de répondre à la ques- tion posée. Méthode 2 On peut écrire . ̈ Quel est le sens de variation de la fonction w définie par sur chacun des intervalles et ? ̈ En déduire les variations de la fonction f. Soit f la fonction définie, pour , par : . ³ Vérifier que, pour , . · Déterminer le sens de variation de f sur et sur . Soit f la fonction définie, pour et , par : . ³ Déterminer le sens de variation de la fonction sur chacun des intervalles et . · Déterminer le sens de variation de la fonction sur chacun des intervalles et . » Déterminer le sens de variation de f sur les trois intervalles , , . Soit f la fonction trinôme définie sur ‫ޒ‬ par : . ³ Pourquoi peut-on affirmer que f est croissante sur ? · Déterminer le sens de variation de f sur ‫.ޒ‬ ᕡ Étude d’un exemple Énoncé Soient u et v les deux fonctions définies sur ‫ޒ‬ par et . ³ Soit f la fonction « u suivie de v ». Déterminer l’expression définie par . · Soit g la fonction « v suivie de u ». Déterminer l’expression définie par . Solution ³ On a . Posons . Exercices d’apprentissage (série 1)B ‫*ޒ‬ f x( ) x2 1– x2 --------------= ] ∞ ; 0[– ]0 ; + ∞[ f x( ) x2 1–( ) 1 x2 -----× u x( )v x( )= = f uv= f x( ) 1 1 x2 -----– 1 w x( )–= = w x( ) 1 x2 -----= ] ∞ ; 0[– ]0 ; + ∞[ x 3–≠ f x( ) x 5+ x 3+ -----------= x 3–≠ f x( ) 1 2 x 3+ -----------+= ] ∞ ; 3– [– ] 3– ; + ∞[ x 2–≠ x 1–≠ f x( ) 2 x 1+ ----------- 1 x 2+ -----------+= u : x 2 x 1+ -----------‫ۋ‬ ] ∞ ; 1– [– ] 1– ; + ∞[ v : x 1 x 2+ -----------‫ۋ‬ ] ∞ ; 2– [– ] 2– ; + ∞[ ] ∞ ; 2– [– ] 2– ; 1– [ ] 1– ; + ∞[ f x( ) x2 3x 4–+= 0 ; + ∞[[ Fonctions composéesC u x( ) x2= v x( ) 2x 1+= f x( ) f x( ) v u x( )( )= g x( ) g x( ) u v x( )( )= f x( ) v u x( )( ) v x2( )= = X x2= Exercice ᕡ Exercice ᕢ Exercice ᕣ Exercice ᕤ Exemple ᕣ © Cned – Académie en ligne
  8. 8. Séquence 1 – MA0114 On a alors d’où . Ainsi · On a . Posons . On a alors d’où . Ainsi On présente souvent les résultats à l’aide de la disposition suivante : ᕢ Définition et notation Soit u une fonction définie sur un intervalle I et v une fonction définie sur un intervalle J. On suppose de plus que, pour tout x de I, appartienne à J. La fonction composée « u suivie de v » est la fonction f définie sur I par . Disposition et notation ̈ . ̈ On note , ce qui se lit « f égal v rond u ». Dans l’écriture , c’est la fonction écrite à droite qui est la première. Énoncé Soit u la fonction définie sur ‫ޒ‬ par et v la fonction définie sur par . On pose . Trouver sur quel intervalle f est définie et calculer . Solution On peut écrire : Pour que existe, il faut avoir . Or . Il faut donc avoir , soit . Posons . Pour , on a bien . On peut alors calculer . . D’après ce qui précède, on a . « u suivie de v » « v suivie de u » v X( ) 2X 1+= v x2( ) 2x2 1+= f x( ) 2x2 1 sur ‫.ޒ‬+= g x( ) u v x( )( ) u 2x 1+( )= = X 2x 1+= u X( ) X2= u 2x 1+( ) 2x 1+( )2= g x( ) 2x 1+( )2 sur ‫.ޒ‬= x u x2 X v 2X 1+ x f 2x2 1+ x v 2x 1+ X u X2 x g 2x 1+( )2 u x( ) f x( ) v u x( )( )= x u u x( ) X v v X( ) x f f x( ) v u x( )( )= f v Ⴆ u= v Ⴆ u v uႦ 2e fonction 1re fonction u x( ) x 2+= 0 ; + ∞[[ v x( ) x= f v Ⴆ u= f x( ) x ‫ޒ‬∈ u x 2+ X 0 ; +∞[[∈ v X X X 0≥ X x 2+= x 2+ 0≥ x 2–≥ I 2 ; + ∞[–[= x I∈ u x( ) 0 ; + ∞[[∈ v u x( )( ) La fonction f v Ⴆ u est définie sur I 2 ; +∞[–[== f x( ) x 2+= Remarque Définition ᕣ Remarque Exemple ᕤ © Cned – Académie en ligne
  9. 9. 15Séquence 1 – MA01 ᕣ Sens de variation d’une fonction composée Soit u et v deux fonctions telles que : Considérons le cas où u est croissante sur I et v décroissante sur J. Cherchons quel est alors le sens de variation de sur I. Soit a et b deux réels de I tels que . Comme u est croissante sur I, on a : . Les réels et sont tous les deux dans J. Comme v est décroissante sur J, on a : . Ainsi la fonction est décroissante sur I. En considérant d’autres cas, on pourrait démontrer la propriété suivante que l’on va admettre. Énoncé La fonction u est définie sur par . La fonction v est définie sur par . ³ Vérifier que est bien définie sur I. · Déterminer le sens de variation de f sur I. Solution ³ On donne , d’où . On peut écrire : . Pour , on a bien . La fonction est bien définie sur . On obtient . · La fonction affine u est décroissante sur I. La fonction est décroissante sur J, donc la fonction est croissante sur J. Ainsi . Propriété ᕥ Si u est ... sur I et si v est ... sur J alors est ... sur I croissante croissante croissante croissante décroissante décroissante décroissante croissante décroissante décroissante décroissante croissante u est définie sur un intervalle I v est définie sur un intervalle J v Ⴆ u est définie sur I.⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ f v Ⴆ u= a b< u a( ) u b( )≤ u a( ) u b( ) v u a( )( ) v u b( )( )≥ f v Ⴆ u= v Ⴆ u I = ] ∞ ; 2[– u x( ) x– 2+= J = ]0 ; + ∞[ v x( ) 3 x --–= f v Ⴆ u= x 2< 0 x– 2+< x ∈ ] ∞ ; 2[– u x– 2+ X ∈ ]0 ; + ∞[ v 3 X ---– x I∈ u x( ) J∈ f v Ⴆ u= I = ] ∞ ; 2[– f x( ) 3 x– 2+ -----------------–= x 3 x --‫ۋ‬ v : x 3 x --–‫ۋ‬ la fonction f v Ⴆ u est décroissante sur ] ∞ ; 2[–= Exemple ᕥ © Cned – Académie en ligne
  10. 10. Séquence 1 – MA0116 ᕡ Idée intuitive : exemples graphiques Voici les courbes représentatives de six fonctions (voir figure 3). Fig. 3 On observe que certaines courbes peuvent être tracées « d’un seul trait ». Pour d’autres courbes il est nécessaire de « lever le crayon ». Les fonctions représentées en , et sont dites continues sur ‫.ޒ‬ Les fonctions représentées en , et ne sont pas continues sur ‫.ޒ‬ ̈ La fonction représentée en est continue sur . ̈ La fonction représentée en est continue sur . ̈ La fonction représentée en est continue sur . ᕢ Définition et propriétés Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est une fonction continue sur I lorsque sa courbe représentative peut se tracer d’un trait continu, c’est-à-dire « sans lever le crayon ». Propriété ᕦ (admise) On admet que les fonctions « usuelles » sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition. Continuité d’une fonction sur un intervalleD O 1 –1 –1 1 a O 1 –1 –1 1 b O 1 –1 –1 1 c O 1 –1 –1 1 d O 1 –1 –1 1 e O 1 –1 –1 1 f a e f b c d b ]0 ; + ∞[ c 0 ; + ∞[[ d ] ∞ ; 1[– Remarques Définition ᕤ © Cned – Académie en ligne
  11. 11. 17Séquence 1 – MA01 Illustrons cette propriété en donnant quelques exemples dans le tableau suivant : On peut aussi énoncer une propriété qui peut être utile pour reconnaître si une fonction est continue ou non sur I. ᕣ La fonction « partie entière » Étudions maintenant le cas d’une fonction définie sur ‫ޒ‬ et qui présente une infinité de points de dis- continuité. Pour tout réel x, on peut trouver un entier relatif n, et un seul, vérifiant . Ainsi, x est encadré par deux entiers relatifs consécutifs. Donnons quelques exemples : ; ; ; ; . Soit x un réel quelconque. Le seul entier relatif n vérifiant est appelé partie entière de x. Notations Voici la courbe représentative de la fonction pour (voir figure 4). f est définie par Intervalle(s) où f est continue ‫ޒ‬ ‫ޒ‬ et et ‫ޒ‬ ‫ޒ‬ Propriété ᕧ Si u et v sont deux fonctions continues sur un même intervalle I, alors leur somme et leur pro- duit uv sont continus sur I. x ax b+‫ۋ‬ x ax2 bx c+ +‫ۋ‬ x x‫ۋ‬ 0 ; + ∞[[ x a x --‫ۋ‬ ] ∞ ; 0[– ]0 ; + ∞[ x a x b+ -----------‫ۋ‬ ] ∞ ; b– [– ] b– ; + ∞[ x x‫ۋ‬ x ax3 ‫ۋ‬ u v+ n x n 1+<≤ 2– 2– 1–<≤ 2– 1 4,– 1–<≤ 1 2 2<≤ 4– π– 3–<≤ 1– 2 3 --– 0<≤ n x n 1+<≤ n x n 1+<≤ n E x( ) partie entière de x= = n int x( ) partie entière de x= = E : x E x( )‫ۋ‬ 5– x 5<≤ Définition ᕥ © Cned – Académie en ligne
  12. 12. Séquence 1 – MA0118 Fig. 4 On observe que : • pour , on a ; • pour , on a ; • pour , on a ; etc... On peut dire que pour tout , on a . La fonction E est une fonction constante par intervalles. En effet, sur tout intervalle de la forme , la courbe Ꮿ est un segment horizontal fermé à gauche et ouvert à droite. Pour toutes les valeurs entières de x, la courbe Ꮿ présente une discontinuité : la courbe fait, pour tou- tes ces valeurs, un « saut » égal à 1. Pour obtenir la courbe de la fonction E sur TI 82 (ou TI 83), on peut procéder comme suit : ̈ On se place en mode « DOT ». Pour ce faire on tape : ̈ On écrit la fonction partie entière, notée int sur TI, dans . Pour ce faire on tape : En conclusion : ̈ la fonction E est continue sur . ̈ la fonction E n’est pas continue sur . ̈ la fonction E est continue sur tout intervalle de la forme avec n entier relatif. O 1 –1 –1 1 2 3 4 5 x –2–3–4–5 –2 –3 –4 –5 2 3 4 y Ꮿ y = E (x) Ꮿ courbe obtenue à l’aide d’un grapheur. x 0 ; 1[[∈ E x( ) 0= x 1 ; 2[[∈ E x( ) 1= x 1 ; 0[–[∈ E x( ) 1–= x n ; n 1[+[∈ E x( ) n= n ; n 1[+[ 0 ; 1[[ 0 ; 2[[ n ; n 1[+[ mode ̄ ̄ ̄ ̄ ̈ Enter Y1 Y= math ̈ 4 X T θ, , 5 pour une TI 83. Remarque © Cned – Académie en ligne
  13. 13. 19Séquence 1 – MA01 ̈ On fait apparaître la courbe en faisant . ̈ Le paragraphe F de cette séquence est uniquement consacré aux calculatrices. Attention ! ̈ Sur l’écran tous les segments apparaissent de la manière suivante alors qu’en réalité ils sont de la forme . ̈ Si on se place en mode « CONNECTED » au lieu de se placer en mode « DOT », observer ce qui se passe. ᕤ Image d’un intervalle par une fonction continue Énoncé Voici la courbe représentative de la fonction f définie sur ‫ޒ‬ par (voir figure 5). Fig. 5 Déterminer, d’après une lecture graphique, les images par f des quatre intervalles suivants : . Solution D’après le graphique, on obtient : . Une explication graphique plus détaillée est donnée sur la figure 6. Fig. 6 On note que dans les quatre cas l’image d’un intervalle est un intervalle et que deux intervalles dis- tincts peuvent avoir la même image . Trace [[ f x( ) x2 2x 3–+= O 1 –1 –1 1 2 –2–3–4 –2 –3 –4 i j I1 0 ; 1[ ]= I2 3 ; 1––[ ]= I3 2 ; 0–[ ]= I4 1 ; 1–[ ]= O 1 –1 I3 J3 –1 1 2–2–3–4 –2 –3 –4 f I1( ) J1 3 ; 0–[ ]= = f I2( ) J2 4 ; 0–[ ]= = f I3( ) J3 4 ; 3––[ ]= = f I4( ) J4 4 ; 0–[ ]= = f I2( ) f I4( ) 4– ; 0[ ]= =( ) Exemple ᕦ © Cned – Académie en ligne
  14. 14. Séquence 1 – MA0120 On admet la propriété suivante : On peut noter que l’image par f d’un intervalle peut être différent de et de . Dans l’exemple ᕦ, on a : ; ; ; et . ᕡ Cas d’une fonction « quelconque » sur I Fig. 7 Sur la figure 7, on a tracé la courbe Ꮿ représentative d’une fonction f continue sur . On se donne quatre nombres réels α, β, γ et δ et on cherche si ces nombres possèdent des antécé- dents, dans I, par f. La droite d’équation coupe la courbe Ꮿ en deux points : ainsi le nombre α possède deux antécédents dans I. On peut aussi dire que l’équation possède deux solutions dans I. On peut faire de même pour β, γ et δ. Rassemblons les résultats observés sur le graphique dans un tableau. Propriété ᕨ L’image d’un intervalle par une fonction continue est toujours un intervalle. Équation Nombre de solutions dans I Remarque 2 3 1 0 I a ; b[ ]= f a( ) ; f b( )[ ] f b( ) ; f a( )[ ] f I1( ) f 0( ) ; f 1( )[ ]= f I2( ) f 1–( ) ; f 3–( )[ ]= f I4( ) f 1–( ) ; f 1( )[ ]= f I3( ) f 2–( ) ; f 0( )[ ]≠ f I3( ) f 0( ) ; f 2–( )[ ]≠ Continuité et équations du type f x( ) λ=E O 1 1 y = α y = β y = γ y = δ f(a) f(b) a b β α δ γ Ꮿ I f(I) I a ; b[ ]= y α= f x( ) α= f x( ) α= f x( ) β= f x( ) γ= f x( ) δ= δ f I( )∉ Remarque © Cned – Académie en ligne
  15. 15. 21Séquence 1 – MA01 ᕢ Cas d’une fonction continue et strictement monotone sur I Point de vue graphique On va examiner le cas où f est strictement croissante sur I puis le cas où f est strictement décroissante sur . Pour tout réel λ appartenant à , il existe un réel x, et un seul, dans I tel que . On peut aussi dire que pour tout réel , l’équation admet une solution unique dans I. ̈ On s’intéresse uniquement aux fonctions continues sur I. ̈ La lettre grecque λ se lit « lambda ». Tableau de variation et stricte monotonie sur I Le fait que f soit continue et strictement monotone sur se traduit dans un tableau de variation par une flèche oblique qui « monte » si f est strictement croissante et qui « descend » si f est strictement décroissante. Propriété des valeurs intermédiaires On peut observer que pour toute valeur intermédiaire λ comprise entre et , on peut trouver un réel x unique entre a et b tel que x ait pour image λ. On peut aussi dire que x est l’unique antécédent de λ dans I. f est strictement croissante sur I f est strictement décroissante sur I Fig. 8 Fig. 9 f est strictement croissante sur I f est strictement décroissante sur I I a ; b[ ]= O 1 y = λ f(a) f(b) a bx f(I) λ O 1 1 y = λ f(a) f(b) a b x f(I) λ f I( ) f x( ) λ= λ f I( )∈ f x( ) λ= x a x b λf x( ) f a( ) f b( ) x a x b λf x( ) f a( ) f b( ) I a ; b[ ]= f a( ) f b( ) Remarques © Cned – Académie en ligne
  16. 16. Séquence 1 – MA0122 On peut énoncer la propriété suivante. On est amené assez souvent à utiliser cette propriété dans un cas particulier (Voir figures 8 et 9). Supposons que et soient de signes contraires, ce qui est bien vrai sur les figures 8 et 9. La valeur est alors une valeur intermédiaire entre et . On peut ainsi dire que l’équa- tion admet une solution unique dans I. Énoncé Voici le tableau de variation d’une fonction f définie sur ‫.ޒ‬ ³ Quel est le nombre de solutions de l’équation ? · Quel est le nombre de solutions de l’équation ? » Quel est le nombre de solutions de l’équation ? ¿ Quel est le nombre de solutions de l’équation ? Solution ³ La valeur minimale de f est égale à pour . L’équation n’a donc pas de solution dans ‫.ޒ‬ · La valeur minimale de f est égale à pour . L’équation a donc une solution qui est . » ̈ Sur , f est continue et strictement décroissante. On a . Comme , l’équation admet une solution unique dans . ̈ Sur , f est continue et strictement croissante. On a . Comme , l’équation admet une solution unique dans . ̈ Pour tout , on a . L’équation ne peut pas avoir de solution dans . En conclusion, l’équation admet deux solutions dans ‫.ޒ‬ Propriété ᕩ (dite propriété des valeurs intermédiaires) Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I. ̈ Pour tout réel , il existe un réel x, et un seul, dans I tel que . Autre énoncé ̈ Pour tout réel , l’équation admet une solution unique dans I. Propriété µ Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle . Si , alors l’équation admet une solution unique dans I. x 3 2 4 1 λ f I( )∈ f x( ) λ= λ f I( )∈ f x( ) λ= f a( ) f b( ) λ 0= f a( ) f b( ) f x( ) 0= I a ; b[ ]= f a( ) f b( )× 0< f x( ) 0= ∞– 2– + ∞ f x( ) 1– f x( ) 2–= f x( ) 1–= f x( ) 0= f x( ) 3 2 --= 1– x 2–= f x( ) 2–= 1– x 2–= f x( ) 1–= x 2–= ] ∞ ; 2]–– f ] ∞ ; 2]––( ) 1 ; 2[–[= 0 1 ; 2[–[∈ f x( ) 0= ] ∞ ; 2]– 2 ; 3–[ ] f 2 ; 3–[ ]( ) 1 ; 4–[ ]= 0 1 ; 4–[ ]∈ f x( ) 0= 2 ; 3–[ ] x 3 ; + ∞[[∈ f x( ) 1> f x( ) 0= 3 ; + ∞[[ f x( ) 0= Exemple ᕧ © Cned – Académie en ligne
  17. 17. 23Séquence 1 – MA01 ¿ ̈ Pour les mêmes raisons que ci-dessus, l’équation admet une solution unique dans et une solution unique dans . ̈ Sur , f est continue et strictement décroissante. On a . Comme , l’équation admet une solution unique dans . En conclusion, l’équation admet trois solutions dans ‫.ޒ‬ ᕣ Recherche d’une solution approchée de l’équation Énoncé Soit f la fonction définie sur ‫ޒ‬ par . ³ Prouver que f est strictement décroissante sur ‫.ޒ‬ · Montrer que l’équation admet une solution unique, notée α, dans ‫.ޒ‬ À l’aide de la calculatrice, donner un encadrement de α d’amplitude . » Montrer que l’équation admet une solution unique, notée β, dans ‫.ޒ‬ À l’aide de la calculatrice, donner un encadrement de β d’amplitude 0,01. Solution ³ On donne . Posons et . Les fonctions u et v sont continues et strictement décroissantes sur ‫.ޒ‬ La fonction f qui est égale à la somme est donc continue et strictement décroissante sur ‫.ޒ‬ · On calcule et . La fonction f est continue et strictement décroissante sur . On obtient . Comme , l’équation admet une solution unique, notée α, dans . La fonction f étant continue et strictement décroissante sur ‫,ޒ‬ l’équation peut avoir au maximum une solution. Ainsi l’équation admet une solution unique α dans ‫.ޒ‬ La calculatrice nous donne : et . On peut écrire : car f est décroissante. D’où . » On calcule et . On peut dresser le tableau de variation de f sur ‫.ޒ‬ La fonction f est continue et strictement décroissante sur ‫.ޒ‬ Le tableau de variation nous montre bien qu’il existe un réel tel que et que l’équation n’admet pas d’autre solution. x β 0 4 3 1 f x( ) 3 2 --= ] ∞ ;– 2]– 2 ; 3–[ ] 3 ; +[ ∞[ f 3 ;[ + ∞[( ) = ]1 ; 4] 3 2 -- ∈ ]1 ; 4] f x( ) 3 2 --= 3 ; + ∞[[ f x( ) 3 2 ---= f x( ) λλλλ= f x( ) x3– 2x– 1+= f x( ) 0= 10 2– f x( ) 3= f x( ) x3– 2x– 1+= u x( ) x3–= v x( ) 2x– 1+= u v+ f 0( ) 1= f 1( ) 2–= 0 ; 1[ ] f 0 ; 1[ ]( ) 2 ; 1–[ ]= 0 2 ; 1–[ ]∈ f x( ) 0= 0 ; 1[ ] f x( ) 0= f x( ) 0= f 0 45,( ) 0 008 875,= f 0 46,( ) 0 017 336,–= 0 017 336,– 0 0 008 875,< < f 0 46,( ) f α( ) f 0 45,( )< < 0 45, α 0 46,< < 0 45, α 0 46,< < f 1–( ) 4= f 0( ) 1= ∞– 1– + ∞ f x( ) β 1 ; 0–[ ]∈ f β( ) 3= f x( ) 3= Exemple ᕨ © Cned – Académie en ligne
  18. 18. Séquence 1 – MA0124 La calculatrice nous donne : et . On peut écrire : car f est décroissante. D’où . ̈ On peut tracer la courbe représentant f sur une calculatrice. Pour le calcul des valeurs de , voir le paragraphe F sur les calculatrices. ̈ L’amplitude d’un intervalle , avec , est la différence . On a bien ici et . ᕡ Tracer la courbe représentative d’une fonction Énoncé Soit la fonction f définie sur ‫ޒ‬ par : . Tracer la courbe représentative de la fonction f sur l’écran de la calculatrice. Solution Méthode On appuie sur la touche . On écrit l’expression de dans . On appuie sur la touche . Dans la pratique La courbe apparaît à l’écran, ainsi que des valeurs de x et y. En général les valeurs de x ne sont pas simples. Aussi si l’on veut s’en servir pour tracer la courbe sur la copie, il vaut mieux changer la « fenêtre » à l’aide de la touche . La touche . On choisira multiple de 94 (le plus souvent : 9,4 ; 4,7). Ici on peut choisir : ; . En revenant au mode et en déplaçant le curseur sur la courbe on obtient des coordonnées de points. ̈ Il y a deux touches « moins » sur la Ti 82 : . La touche indique l’opposé. La touche indique que l’on fait une soustraction. ̈ S’il y a déjà une fonction dans , on peut la supprimer en appuyant sur la touche avant d’en introduire une autre. ̈ Les flèches ̇ et ̈ permettent de déplacer le curseur sur une courbe. ̈ On peut introduire 10 fonctions dans la calculatrice. L’une en et les autres en , , ... , . On pourra passer d’une courbe à l’autre avec le curseur en se déplaçant à l’aide des flèches ̆ et ̄. f 0 78,–( ) 3 034 552,= f 0 77,–( ) 2 996 533,= 2 996 533, 3 3 034 552,< < f 0 77,–( ) f β( ) f 0 78,–( )< < 0 78,– β 0 77,–< < 0 78,– β 0 77,–< < f x( ) a ; b[ ] a b< b a– 0 46 0 45,–, 10 2–= 0 77,– 0 78,–( )– 0 01,= Fonctions et calculatrices TI 82 © Texas Instruments incorporatedF f x( ) x3– x2– x 1+ += C1 Y = f x( ) Y1 TRACE Y = –( ) X T θ, , ^ 3 – X T θ, , x2 + X T θ, , + 1 TRACE WINDOW WINDOW Xmax Xmin– Xmin 4 7 : Xmax,– 4 7 : X scl, 1= = = Ymin 5 : Ymax– 5 : Y scl 1= = = TRACE –( ) – –( ) – Y1 CLEAR Y1 Y2 Y3 Y9 Y10 Remarques Exemple µ Remarques © Cned – Académie en ligne
  19. 19. 25Séquence 1 – MA01 ̈ S’il y a plusieurs courbes, on peut en supprimer en désactivant la fonction correspondante. Pour supprimer la courbe , on désactive la fonction marquée dans . Supposons que l’on ait en la fonction . À l’écran on a : À l’aide des flèches ̇ ̄ ̆ ̈, on se positionne sur . On appuie sur ce qui donne à l’écran : La fonction est alors désactivée ; pour la réactiver on recommence le même travail. ᕢ Valeurs de Plusieurs méthodes existent. Méthode 1 On a vu qu’en déplaçant le curseur, en mode , on obtient les images de certaines valeurs de x. Ainsi, par exemple, . Méthode 2 On veut calculer . On va afficher . Pour cela on fait : On obtient alors . Si la fonction f est en , on calculera . On remplacera alors par . Méthode 3 (utilisation d’un tableau de valeurs) On règle tout d’abord deux paramètres en appuyant sur . On choisit la valeur initiale et le pas ( qui est la distance entre deux valeurs consécutives de x). ̈ en option auto Pour obtenir l’affichage de la table, il suffit de faire . La calculatrice calculera , , , , , ... etc. ̈ en option ask (ici les paramètres choisis sont inutiles) On choisit les valeurs x dont on veut calculer les images par f. Par exemple : ; ; ; ; ; ; ... etc. C2 Y2 Y2 x x2‫ۋ‬ Y2 x2 ENTER Y2 x2= f x( ) TRACE f 1 5,–( ) 0 625,= f 0 32,( ) Y1 0 32,( ) 2nd Y VARS– 1 1 * ( · 3 2 ) ENTER f 0 32,( ) Y1 0 32,( ) 1 184 832,= = Yi Yi x( ) 1 * i 2nd WINDOW Tbl Min 5–=( ) Δ Tbl 0 1,= 2nd GRAPH f 5–( ) f 4 9,–( ) f 4 8,–( ) f 4 7,–( ) f 4 6,–( ) x 2–= x 1 5,–= x 1 2,= x 2= x 2= x 2 5,= x 3 2,= Remarque © Cned – Académie en ligne
  20. 20. Séquence 1 – MA0126 Méthode 4 (utilisation d’un programme) On peut écrire un programme pour obtenir l’écran suivant : Pour écrire ce programme voici les touches qu’il faut taper sur la calculatrice : (les touches correspondent à l’écriture du nom du programme VALF) (dans on inscrit le no du programme VALF) Pour exécuter ce programme, on fait : (dans on inscrit le no du programme VALF). On tape une valeur pour x, on fait et on obtient . On recommence pour autant de valeurs de x que l’on veut. ̈ Les touches correspondent à car l’expression de est en . Si l’expression de était en , en , en , ... on taperait , , ... ̈ Pour l’image, la première ligne correspond à l’écriture décimale et la seconde à l’écriture fractionnaire. Ainsi . Soit u et v deux fonctions définies sur ‫ޒ‬ par : et . Déterminer les fonctions composées f et g définies sur ‫ޒ‬ par et . ³ Soit f la fonction définie sur ‫ޒ‬ par : . Déterminer deux fonctions u et v telles que . PRGM ̇ ENTER 6 MATH ) COS ENTER 6 MATH ) COS PRGM ̈ 2 X T θ, , ENTER PRGM ̈ 3( )2nd VARS 1 1 , 2nd VARS 1 1 MATH 1 ENTER PRGM ̇ ENTER 2nd MODE PRGM ENTER ENTER f x( ) 1 Y1 f x( ) Y1 f x( ) Y2 Y3 Y4 2 3 4 f 2 5,( ) 18 375,– 147 8 --------–= = Exercices d’apprentissage (série 2)G u x( ) x2– x+= v x( ) 1 1 x2+ --------------= f v Ⴆ u= g u Ⴆ v= f x( ) x2 x 1+ + 1+= f v Ⴆ u= Remarques Exercice ᕥ Exercice ᕦ © Cned – Académie en ligne
  21. 21. 27Séquence 1 – MA01 · Soit g la fonction définie sur ‫ޒ‬ par . Montrer que l’on peut décomposer g en trois fonctions u, v, et w telles que (on admet qu’une telle décomposition existe sur ‫.)ޒ‬ On désigne par « int » la fonction partie entière définie au paragraphe D. ᕣ. Ainsi, pour tout x réel tel que , on a . ³ Montrer que pour tout x réel on a : . · Soit f la fonction définie sur ‫ޒ‬ par . Montrer que f est périodique, de période , c’est-à-dire que . » Déterminer pour .Tracer alors la courbe représentant f sur , puis en déduire la courbe représentative de f sur l’intervalle . Peut-on prévoir toutes les valeurs réelles x pour lesquelles la fonction f est discontinue ? Si oui, préciser ces valeurs. ¿ Déduire du graphique que, pour tout x réel, . Montrer alors que, pour tout x réel, . ³ Résoudre dans ‫ޒ‬ l’équation . Tracer, à l’aide de la calculatrice, la parabole P d’équation . En déduire, suivant les valeurs de x, le signe du trinôme . · On pose et . Préciser, pour chacune des deux fonctions f et g, les intervalles sur lesquels elles sont continues. g x( ) 2 2 x4+ ------------------= g w Ⴆ v Ⴆ u= n x n 1+<≤ int x( ) n= int x 1+( ) 1 int x( )+= f x( ) x int x( )–= T 1= f x 1+( ) f x( )= f x( ) 0 x 1<≤ 0 ; 1[[ 3– ; 3[[ 0 f x( ) 1<≤ x 1– int x( ) x≤< 2x2 3x 5–+ 0= y 2x2 3x 5–+= 2x2 3x 5–+ f x( ) 2x2 3x 5–+= g x( ) x 2– 2x2 3x 5–+ -----------------------------= Exercice ᕧ Exercice ᕨ © Cned – Académie en ligne
  22. 22. Synthèse 28 Séquence 1 – MA01 ̈ Variation • Si deux fonctions u et v varient dans le même sens sur I, alors varie comme u et v sur I. Si deux fonctions u et v varient en sens contraires sur I, alors on ne peut rien dire sur le sens de varia- tion de sur I. Pour k réel, les fonctions u et ont le même sens de variation sur I. • Si , alors u et ku ont le même sens de variation sur I. Si , alors u et ku varient en sens contraires sur I. • Si deux fonctions positives u et v varient dans le même sens sur I, alors uv varie comme u et v sur I. Si deux fonctions positives u et v varient en sens contraires sur I, alors on ne peut rien dire sur le sens de variation de uv sur I. • Les deux fonctions v et varient en sens contraires sur tout intervalle où v ne s’annule pas. • Le sens de variation d’une fonction trinôme (avec ) change pour , qui est l’abscisse du sommet de la parabole. ̈ Fonctions composées . • Soit I un intervalle où existe. Si u et v varient dans le même sens, alors est croissante. Si u et v varient en sens contraires, alors est décroissante. ̈ Fonction continue sur un intervalle • La fonction f est continue sur un intervalle I si on peut tracer la courbe représentant f sur I « sans lever le crayon ». • Les fonctions « usuelles » sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition (c’est le cas pour quasiment toutes les fonctions étudiées en terminale ES). • La somme et le produit de deux fonctions continues sur I sont des fonctions continues sur I. • Contre exemple La fonction « partie entière » est définie sur ‫ޒ‬ mais n’est pas continue sur ‫.ޒ‬ Elle est continue sur tout intervalle de la forme où n est un entier relatif. • L’image d’un intervalle par une fonction continue est toujours un intervalle. • Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I, alors pour tout réel , l’équation admet une solution unique dans I. Ainsi, si , l’équa- tion admet une solution unique dans . u v+ u v+ u k+ k 0> k 0< 1 v -- x ax2 bx c+ +‫ۋ‬ a 0≠ x b 2a ------–= x u u x( ) X v v X( ) x f v Ⴆ u= v u x( )( ) f x( ) v Ⴆ u( ) x( ) v u x( )( )= = f v Ⴆ u= v Ⴆ u v Ⴆ u n ; n 1[+[ λ f I( )∈ f x( ) λ= f a( ) f b( )× 0< f x( ) 0= a ; b[ ] © Cned – Académie en ligne
  23. 23. 29Séquence 1 – MA01 Exercices d’entraînement On pose, pour tout x réel, . ³ Quel est le sens de variation sur ‫ޒ‬ de la fonction ? · En déduire le sens de variation de f sur ‫.ޒ‬ » ̈ Généralisation Soit g la fonction définie sur ‫ޒ‬ par . Dire, sans démonstration, quel est le sens de variation de g sur ‫.ޒ‬ Soit f la fonction définie, pour , par . Déterminer le sens de variation de f sur et sur . Soit f la fonction définie sur par . ³ Déterminer le sens de variation de f sur . · Tracer, en utilisant une calculatrice, la courbe Ꮿ représentant f. » Déterminer le signe de . ³ Tracer la parabole P d’équation . · Soit f la fonction définie sur ‫ޒ‬ par . Dire pourquoi f est bien définie sur ‫.ޒ‬ Donner les variations de f sur ‫ޒ‬ et tracer la courbe Ꮿ représentative de f sur ‫.ޒ‬ » Utiliser le graphique pour donner les coordonnées des points d’intersection de P et de Ꮿ. On donne : ̈ pour x réel. ̈ pour . Déterminer les fonctions f et g définies par et en précisant leur domaine de définition. Soit f la fonction définie sur ‫ޒ‬ par . ³ Déterminer le sens de variation de f sur ‫.ޒ‬ · Quel est le nombre de solutions de l’équation ? Déterminer un encadrement d’amplitude 0,001 de la solution, notée α (utiliser une calculatrice). » Montrer que l’équation admet une solution unique dans ‫ޒ‬ (elle sera notée β). Trouver un encadrement de β d’amplitude . Soit « int » la fonction partie entière. On pose, pour tout x réel, . ³ Montrer que f est périodique et de période 1. · Exprimer pour . Tracer la courbe représentant f sur . En déduire la courbe Ꮿ représentant f sur . » La fonction f est-elle continue sur ? sur ? sur ? f x( ) x 1–( )2 4–= u : x x 1–( )2 ‫ۋ‬ g x( ) x a–( )2 b+= x 1–≠ f x( ) 1 2 x 1+ -----------–= ] ∞ ; 1[–– ] 1 ; + ∞[– ]0 ; + ∞[ f x( ) 1 x -- x–= ]0 ; + ∞[ f x( ) y x2 2x 2+ += f x( ) 1 x2 2x 2+ + --------------------------= u x( ) 2x 1–= v x( ) 1 x 2+ ----------------= x 2–> f u Ⴆ v= g v Ⴆ u= f x( ) x3 x 4–+= f x( ) 0= f x( ) 3= 10 3– f x( ) x int x( )–[ ]2= f x( ) x 0 ; 1[[∈ 0 ; 1[[ 4– ; 4[[ 0 ; 1[[ 0 ; 1[ ] 0 ; 2[[ Exercice ¾ Exercice µ Exercice ¸ Exercice ¹ Exercice Ƹ Exercice ƹ Exercice ƺ © Cned – Académie en ligne
  24. 24. Aide aux exercices d’entraînement Séquence 1 – MA0130 ³ Penser au sens de variation sur ‫ޒ‬ de la fonction . · Se rappeler que u et ont le même sens de variation. » Même raisonnement que dans la question ᕢ en posant . Utiliser les propriétés suivantes : ̈ u et varient en sens contraires sur tout intervalle où u ne s’annule pas. ̈ v et varient en sens contraires sur tout intervalle où v est définie. ̈ v et ont le même sens de variation. ³ f est la somme de deux fonctions décroissantes sur . · On écrit l’expression donnant en par exemple. La touche « trace » nous donne ensuite la courbe. » Il faut trouver l’abscisse du point où la courbe coupe l’axe des abscisses. ³ On peut utiliser la calculatrice. Sinon il faut savoir que l’abscisse du sommet est égale à . · Vérifier que . Utiliser le sens de variation de la fonction inverse. » On fait une simple lecture graphique (on peut aussi utiliser une calculatrice). Faire attention à l’ordre des fonctions : f est la fonction « v suivie de u » et g la fonction « u suivie de v ». Bien voir que v existe seulement sur . ³ Décomposer f comme somme de deux fonctions croissantes sur ‫.ޒ‬ · Ne pas oublier de dire que f est continue et strictement croissante sur ‫.ޒ‬ Il faut trouver a et b tels que . On fait ensuite des essais sur la calculatrice. On peut utiliser un tableau de valeurs, en changeant éventuellement le « pas » dans « Tblset ». On peut aussi utiliser le programme donnant les valeurs de . Prendre des valeurs ayant 3 décimales. » Ici il faut trouver a et b tels que . ³ Il faut montrer que . Bien savoir que pour trouver la partie entière d’un nombre, il faut l’encadrer par 2 entiers consécutifs. · On connaît pour . Quand une fonction est périodique, il suffit de connaître la courbe sur un intervalle dont l’amplitude est justement égale à la période. Il ne reste plus ensuite qu’à faire des translations. » Repérer les valeurs de x pour lesquelles la courbe fait des « sauts ». ■ X X 2‫ۋ‬ u k+ u x( ) x a–( )2= 1 u -- v– v k+ ]0 ; + ∞[ f x( ) Y1 1– x2 2x 2+ + 0≠ ] 2 ; + ∞[– f a( )f b( ) 0< f x( ) f a( ) 3 f b( )< < f x 1+( ) f x( )= int x( ) 0 x 1<≤ Exercice ¾ Exercice µ Exercice ¸ Exercice ¹ Exercice Ƹ Exercice ƹ Exercice ƺ © Cned – Académie en ligne

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