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63Séquence 3 – MA01
> Limites
et asymptotes
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65Sommaire séquence 3 – MA01
Limites des fonctions de référence (rappel)
Opérations sur les limites
Applications
Limite obtenue par comparaison ou par encadrement
Limite d’une fonction composée
Exercices d’apprentissage (Série 1)
Notion d’asymptote
Exercices d’apprentissage (Série 2)
AA
ABB
AC
D
E
F
AG
H
Chapitre 1 > Cours ...............................................................................................................................................................................67
Chapitre 3 > Exercices d’entraînement .......................................................................................................93
Chapitre 4 > Aide aux exercices d’entraînement ....................................................................95
Chapitre 2 > Synthèse ..................................................................................................................................................................91
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67Séquence 3 – MA01
Cours
Limites des fonctions de référence (Rappel)A
Le comportement des fonctions de référence, à l’infini et en zéro, a été étudié en classe de première.
Les courbes représentatives de huit fonctions « simples » ont été tracées, à l’aide d’un grapheur, sur
la figure 1.
On y retrouve les courbes de quatre fonctions de référence ( ; ; ; ) et
les courbes des quatre fonctions inverses des précédentes.
La courbe représentative de la fonction affine sur ‫ޒ‬ est une droite, notée Ᏸ (voir figure 1. a).
La courbe représentative de la fonction « carré » sur ‫ޒ‬ est une parabole, notée ᏼ (voir
figure 1. b).
La courbe représentative de la fonction « inverse » sur est une hyperbole, notée Ᏼ (voir
figure 1. e).
On peut noter que les axes de coordonnées sont des asymptotes (soit horizontales, soit verticales) pour
les quatre courbes représentatives des quatre fonctions inverses ; ; ; .
x x‫ۋ‬ x x2‫ۋ‬ x x3‫ۋ‬ x x‫ۋ‬
x x‫ۋ‬
x x2‫ۋ‬
x
1
x
--‫ۋ‬ ‫*ޒ‬
x
1
x
--
⎝
⎛ ‫ۋ‬ x
1
x2
-----‫ۋ‬ x
1
x3
-----‫ۋ‬ x
1
x
------
⎠
⎞‫ۋ‬
O
–1
–2
1
2
–1–2 1 2
Ᏸ y = xᏰ
a
O
–1
–2
1
2
–1–2 1 2
Ᏼ y =
xᏴ
e
1
O
–1
–2
1
2
–1–2 1 2
Ᏸ y = xᏰ
a
O
–1
–2
1
2
–1–2 1 2
ᏼ y = x2ᏼ
b
O
–1
–2
1
2
–1–2 1 2
Ᏼ y =
xᏴ
e
1
O
–1
–2
1
2
–1–2 1 2
Ꮿ y =
xᏯ
f
1
2
© Cned – Académie en ligne
Séquence 3 – MA0168
Fig. 1
³ Limites infinies à l’infini
̈ Pour
et .
̈ Pour
et .
̈ Pour
.
Comme est définie sur , la limite de en n’existe pas.
Énoncé
Soit f définie sur ‫ޒ‬ par (n entier et ).
Étudier la limite de f à l’infini.
Solution
La limite de en est toujours .
La limite de en dépend de la parité de n.
O
–1
–2
1
2
–1–2 1 2
Ᏸ y = xᏰ
a
O
–1
–2
1
2
–1–2 1 2
Ꮿ y = x3
Ꮿ
c
O
–1
–2
1
2
–1–2 1 2
Ᏼ y =
xᏴ
e
1
O
–1
–2
1
2
–1–2 1 2
Ꮿ y =
xᏯ
g
1
3
O
–1
–2
1
2
–1–2 1 2
Ᏸ y = xᏰ
a
O
–1
–2
1
2
–1–2 1 2
Ꮿ y = xᏯ
d
O
–1
–2
1
2
–1–2 1 2
Ᏼ y =
xᏴ
e
1
O
–1
–2
1
2
–1–2 1 2
Ꮿ y =
xᏯ
h
1
x2
x2
x + ∞→
lim + ∞= x2
x ∞–→
lim + ∞=
x3
x3
x + ∞→
lim + ∞= x3
x ∞–→
lim ∞–=
x
x
x + ∞→
lim + ∞=
x x‫ۋ‬ 0 ; + ∞[[ x ∞–
f x( ) xn= n 1≥
x xn
‫ۋ‬ + ∞ + ∞ n 1≥( )
x xn‫ۋ‬ ∞–
Exemple ³
© Cned – Académie en ligne
69Séquence 3 – MA01
On peut écrire les résultats dans un tableau.
· Limites finies à l’infini
Les courbes de la figure 1 nous permettent de donner les résultats suivants que l’on peut mettre
dans un tableau.
» Limites infinies en zéro
Les courbes de la figure 1 nous permettent de donner les résultats suivants que l’on peut mettre
dans un tableau.
• signifie que x tend vers zéro, tout en restant supérieur strictement à zéro.
peut aussi se noter ou bien .
• signifie que x tend vers zéro, tout en restant strictement inférieur à zéro.
peut aussi se noter ou bien .
Notation
peut se noter .
Dans les tableaux suivants :
• la lettre α désigne soit un nombre réel fini, soit , soit .
• les lettres L et désignent des nombres réels finis.
n entier et
n pair
n impair
si alors
; ; ;
; ;
si alors
; ; ;
; ;
n 1≥
xn
x + ∞→
lim + ∞= xn
x ∞–→
lim + ∞=
xn
x ∞–→
lim ∞–=
x + ∞→
1
x
-- 0+→
1
x2
----- 0+→
1
x3
----- 0+→
1
x
------ 0+→
x ∞–→
1
x
-- 0–→
1
x2
----- 0+→
1
x3
----- 0–→
x 0→
> 1
x
-- + ∞→
1
x2
----- + ∞→
1
x3
----- + ∞→
1
x
------ + ∞→
x 0→
< 1
x
-- ∞–→
1
x2
----- → + ∞
1
x3
----- ∞–→
x 0→
>
x 0→
>
x 0→>
x 0+→
x 0→
<
x 0→
<
x 0→<
x 0–→
Opérations sur les limitesB
f x( )
x a→
lim f
a
lim
∞– + ∞
L′
Remarque
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Séquence 3 – MA0170
³ Limite d’une somme
· Limite d’un produit
» Limite de l’inverse
Énoncé
³ ̈ Soit v la fonction définie sur ‫ޒ‬ par et Ᏸ sa courbe représentative.
Tracer Ᏸ dans un repère orthonormal.
̈ On pose .
Quel est l’ensemble de définition de f ?
Préciser le sens de variation de f.
Tracer la courbe Ᏼ représentative de f.
̈ Donner, d’après une lecture graphique, les limites suivantes :
; ; ; ; ; .
· ̈ Soit w la fonction définie sur ‫ޒ‬ par et ᏼ sa courbe représentative.
Tracer ᏼ dans un (autre) repère orthonormal.
̈ On pose .
Quel est l’ensemble de définition de g ?
Préciser le sens de variation de g.
Tracer la courbe Ꮿ représentative de g.
̈ Donner, d’après une lecture graphique, les limites suivantes :
; ; ; ; ; .
Solution
³ ̈ On a pour x réel.
La courbe représentative de v est une droite, notée Ᏸ.
Cette courbe est sur la figure 2.
Propriété ³
si L L L
et si
alors ?
Propriété ·
si L
et si 0 0
alors ? ?
u
α
lim + ∞ ∞– + ∞
v
α
lim L′ + ∞ ∞– + ∞ ∞– ∞–
u v+( )
α
lim L L′+ + ∞ ∞– + ∞ ∞–
u
α
lim L 0> L 0> L 0< L 0< + ∞ + ∞ ∞– ∞– + ∞ ∞–
v
α
lim L′ + ∞ ∞– + ∞ ∞– + ∞ ∞– ∞– + ∞
uv( )
α
lim LL′ + ∞ ∞– ∞– + ∞ + ∞ ∞– + ∞ ∞–
v x( ) x 2+=
f
1
v
--=
v
∞–
lim v
+ ∞
lim v
2–
lim f
∞–
lim f
+ ∞
lim f
2–
lim
w x( ) x 1–( )2=
g
1
w
----=
w
∞–
lim w
+ ∞
lim w
1
lim g
∞–
lim g
+ ∞
lim g
1
lim
v x( ) x 2+=
Exemple ·
© Cned – Académie en ligne
71Séquence 3 – MA01
̈ On pose , d’où .
On a pour .
L’ensemble de définition de f est donc .
Sur , f est décroissante car v est croissante.
Sur , f est décroissante car v est croissante.
Le tracé de la courbe Ᏼ représentative de la fonction f est une hyperbole. Cette courbe est sur la
figure 3.
̈ On peut faire un tableau de variations pour chacune des deux fonctions v et f.
Les limites ont été indiquées d’après lecture graphique.
On a : ; ; .
; ; ; .
· ̈ On a sur ‫.ޒ‬
La courbe représentative de w est une parabole, notée ᏼ.
Cette courbe est sur la figure 4.
̈ On pose , d’où .
On a pour .
L’ensemble de définition de g est .
Sur , g est croissante car w est décroissante.
Sur , g est décroissante car w est croissante.
Le tracé de la courbe Ꮿ représentant g est sur la figure 5.
̈ On peut faire un tableau de variation unique pour w et g.
Les limites ont été indiquées d’après lecture graphique.
On a : ; ; .
; ; .
x x
0
0
0
x 1
0
0 0
f
1
v
--= f x( )
1
x 2+
-----------=
x 2+ 0= x 2–=
Df = ] ∞ ; 2[–– ∪ ] 2 ; + ∞[–
] ∞ ; 2[––
] 2 ; + ∞[–
∞– 2– + ∞ ∞– 2– + ∞
v x( )
∞–
+ ∞ f x( )
∞–
+ ∞
v
∞–
lim ∞–= v
+ ∞
lim + ∞= v
2–
lim v 2–( ) 0= =
f
∞–
lim 0= f
+ ∞
lim 0= f x( )
x 2–→
lim ∞–=
<
f x( )
x 2–→
lim + ∞=
>
w x( ) x 1–( )2=
g
1
w
----= g x( )
1
x 1–( )2
------------------=
x 1– 0= x 1=
Dg = ] ∞ ; 1[– ∪ ]1 ; + ∞[
] ∞ ; 1[–
]1 ; + ∞[
∞– + ∞
w x( ) + ∞ + ∞
g x( )
1
w x( )
------------=
+ ∞ + ∞
w
∞–
lim + ∞= w
1
lim 0 w 1( )= = w
+ ∞
lim + ∞=
g
∞–
lim 0= g
+ ∞
lim 0= g x( )
x 1→
lim + ∞=
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Séquence 3 – MA0172
Fig. 2 Fig. 3
Fig. 4 Fig. 5
Les résultats précédents peuvent être généralisés.
On obtient le tableau suivant :
ᕤ Limite d’un quotient
Cas où la limite du dénominateur n’est pas nulle
Propriété »
si
alors
Propriété ¿
si L L ou
et si ou ou
alors
0 ?
O
–1
–2
1
2
–1–2 1
Ᏸ y = x + 2
Ᏸ
O
–1
–2
1
2
–1
–2
1
Ᏼ y =
x + 2
Ᏼ
1
x = –2
O
–1
–2
1
2
–1–2 1
Ᏸ y = x + 2
Ᏸ
O
–1
–2
1
–1–2 1 2
ᏼ y = (x–1)2
ᏼ
O
–1
–2
1
2
–1
–2
1
Ᏼ y =
x + 2
Ᏼ
1
x = –2
O
–1
–2
1
2
–1–2 1 2
Ꮿ y =
Ꮿ
1
(x–1)2
x = 1
v
α
lim L′ 0≠ 0+ 0– + ∞ ∞–
1
v
--
⎝ ⎠
⎛ ⎞
α
lim
1
L′
----
+ ∞ ∞– 0+ 0–
u
α
lim + ∞ + ∞ ∞– ∞– + ∞ ∞–
v
α
lim L′ 0≠ + ∞ ∞– L′ 0> L′ 0< L′ 0> L′ 0< + ∞ ∞–
u
v
--
α
lim
L
L′
----
+ ∞ ∞– ∞– + ∞
© Cned – Académie en ligne
73Séquence 3 – MA01
Cas où la limite du dénominateur est nulle
Dans ce tableau les signes n’ont pas été précisés.
Ainsi, par exemple :
• si et si alors .
• si et si alors .
Ne pas apprendre ces tableaux « par cœur ». Un peu d’intuition, et de nombreux exercices, permet-
tront de retrouver les résultats.
´ Les formes indéterminées
On remarque que dans certaines cases des tableaux précédents figurent des points d’interrogation.
Cela signifie que dans ces cas on ne peut pas conclure directement. Chacun des cas d’indétermination
nécessitera une étude particulière.
Les 4 cas d’indétermination peuvent être classés en trois catégories.
Les 4 cas ci-dessus sont des formes indéterminées. En abrégé on notera FI.
On va montrer, en étudiant graphiquement trois exemples du type « », que tout peut arriver.
Énoncé
Soit f, g et h les trois fonctions définies sur ‫ޒ‬ par : , , .
Les courbes représentatives de ces trois fonctions, obtenues à l’aide d’un grapheur, sont les suivantes
(voir figures 6, 7 et 8) :
Propriété ´
si ∞ 0
et si 0 0 0
alors
∞ ∞ ?
somme produit quotient
u
α
lim L 0≠
v
α
lim
u
v
--
α
lim
u
α
lim + ∞= v
α
lim 0–=
u
v
--
α
lim ∞–=
u
α
lim L= L 0<( ) v
α
lim 0–=
u
v
--
α
lim + ∞=
+ ∞( ) ∞–( )+ ∞ 0× 0
0
--
∞
∞
----
∞
∞
----
f x( )
x
1 x2+
--------------= g x( )
x2
1 x2+
--------------= h x( )
x3
1 x2+
--------------=
Remarque
Remarque
Exemple »
© Cned – Académie en ligne
Séquence 3 – MA0174
Fig. 7 Fig. 8
³ Vérifier que pour les limites à l’infini de chacune des fonctions on obtient une forme indéterminée.
· Donner, d’après les représentations graphiques, les limites de f, g et h à l’infini.
Solution
³ ̈ Pour f
.
.
Dans les deux cas, on a bien une FI « ».
̈ Pour g
.
.
Dans les deux cas, on a bien une FI « ».
̈ Pour h
.
.
Dans les deux cas, on obtient bien une FI « ».
O
–1
1
–1
1
Ꮿ y =Ꮿ
x
1 + x2
O
–1
1
–1 1
Ꮿ y =Ꮿ
x2
1 + x2
Fig. 6
O
–1
1
–1 1
Ꮿ y =
Ꮿ
x3
1 + x2
x + ∞→ x
x + ∞→
lim + ∞=
1 x2+( )
x + ∞→
lim + ∞=
x ∞–→ x
x ∞–→
lim ∞–=
1 x2+( )
x ∞–→
lim + ∞=
∞
∞
----
x + ∞→ x2
x + ∞→
lim + ∞=
1 x2+( )
x + ∞→
lim + ∞=
x ∞–→ x2
x ∞–→
lim + ∞=
1 x2+( )
x ∞–→
lim + ∞=
∞
∞
----
x + ∞→ x3
x + ∞→
lim + ∞=
1 x2+( )
x + ∞→
lim + ∞=
x ∞–→ x3
x ∞–→
lim ∞–=
1 x2+( )
x ∞–→
lim + ∞=
∞
∞
----
© Cned – Académie en ligne
75Séquence 3 – MA01
· Une lecture graphique nous permet de conjecturer les résultats suivants :
Cet exemple nous montre bien que pour la forme indéterminée « », on peut obtenir différents
résultats (finis ou infinis).
³ Limite d’une fonction polynôme en et en
Énoncé
Soit f la fonction définie sur ‫ޒ‬ par .
Déterminer et .
Solution
.
On obtient une FI « ».
On va mettre en facteur dans l’expression .
On obtient
.
D’où .
.
On obtient une FI « ».
On utilise la même factorisation de .
D’où .
On peut noter que, dans chaque cas, on peut écrire :
et .
Ainsi a même limite, à l’infini, que son terme de plus haut degré (ici est de degré 3).
Conclusion .
x + ∞→ f x( ) 0→ g x( ) 1→ h x( ) + ∞→
x ∞–→ f x( ) 0→ g x( ) 1→ h x( ) ∞–→
∞
∞
----
ApplicationsC
∞∞∞∞– + ∞∞∞∞
f x( ) x3– 2x2 3x 4+ + +=
f
∞–
lim f
+ ∞
lim
x ∞–→ 2x2
x ∞–→
lim + ∞=
3x
x ∞–→
lim ∞–=
+ ∞( ) ∞–( )+
x3 f x( )
f x( ) x3 x3
x3
-----– 2
x2
x3
----- 3
x
x3
-----
4
x3
-----+ + +
⎝ ⎠
⎛ ⎞=
f x( ) x3 1–
2
x
--
3
x2
-----
4
x3
-----+ + +
⎝ ⎠
⎛ ⎞=
1–
2
x
--
3
x2
-----
4
x3
-----+ + +
⎝ ⎠
⎛ ⎞
x ∞–→
lim 1–=
x3
x ∞–→
lim ∞–=
⎭
⎪
⎬
⎪
⎫
f x( )
x ∞–→
lim + ∞=
x + ∞→ x3–
x + ∞→
lim ∞–=
2x2
x + ∞→
lim + ∞=
∞–( ) + ∞( )+
f x( )
1–
2
x
--
3
x2
-----
4
x3
-----+ + +
⎝ ⎠
⎛ ⎞
x + ∞→
lim 1–=
x3
x + ∞→
lim + ∞=
⎭
⎪
⎬
⎪
⎫
f x( )
x + ∞→
lim ∞–=
f
∞–
lim + ∞ et f
+ ∞
lim ∞–= =
f x( )
x ∞–→
lim x– 3( )
x ∞–→
lim= f x( )
x + ∞→
lim x– 3( )
x + ∞→
lim=
f x( ) x3–
Exemple ¿
© Cned – Académie en ligne
Séquence 3 – MA0176
Ce résultat se généralise, ce qui nous donne la propriété suivante :
Énoncé
Déterminer les limites à l’infini des fonctions polynômes suivantes :
³ · »
¿ ´ ² .
Solution
On prendra, dans chaque cas, la limite du terme de plus haut degré.Attention, ce terme n’est pas tou-
jours celui qui est situé au début.
³ ; .
· ; .
» ; .
¿ ; .
´ ; .
² ; .
· Limite d’une fonction rationnelle en et en
Énoncé
Soit f la fonction définie sur ‫ޒ‬ par .
Déterminer et .
Solution
On a une FI du type « ».
On va mettre en facteur au numérateur et au dénominateur.
.
.
On a encore une FI du type « ».
Propriété ²
Toute fonction polynôme admet, en et en , la même limite que son terme de plus haut degré.∞– + ∞
f x( )
1
2
-- x2– 3x+= f x( ) 1 x2 3x3–+= f x( ) 2 x4 3–=
f x( ) 3x 2x2 1+–= f x( )
2
3
-- x3 3x2 2–+= f x( ) 5– x2 1
3
-- x4–+=
f x( )
x ∞–→
lim
1
2
-- x2–
⎝ ⎠
⎛ ⎞
x ∞–→
lim ∞–= = f x( )
x + ∞→
lim
1
2
-- x2–
⎝ ⎠
⎛ ⎞
x + ∞→
lim ∞–= =
f x( )
x ∞–→
lim 3x3–( )
x ∞–→
lim + ∞= = f x( )
x + ∞→
lim 3x3–( )
x + ∞→
lim ∞–= =
f x( )
x ∞–→
lim 2 x4
x ∞–→
lim + ∞= = f x( )
x + ∞→
lim 2 x4
x + ∞→
lim + ∞= =
f x( )
x ∞–→
lim 2x2–( )
x ∞–→
lim ∞–= = f x( )
x + ∞→
lim 2x2–( )
x + ∞→
lim ∞–= =
f x( )
x ∞–→
lim
2
3
-- x3
⎝ ⎠
⎛ ⎞
x ∞–→
lim ∞–= = f x( )
x + ∞→
lim
2
3
-- x3
⎝ ⎠
⎛ ⎞
x + ∞→
lim + ∞= =
f x( )
x ∞–→
lim
1
3
-- x4–
⎝ ⎠
⎛ ⎞
x ∞–→
lim ∞–= = f x( )
x + ∞→
lim
1
3
-- x4–
⎝ ⎠
⎛ ⎞
x + ∞→
lim ∞–= =
∞∞∞∞– + ∞∞∞∞
f x( )
x2– 2x 2–+
2x2 x 1+ +
------------------------------=
f
∞–
lim f
+ ∞
lim
x ∞–→
∞
∞
----
x2
f x( )
x2 1–
2
x
--
2
x2
-----–+
⎝ ⎠
⎛ ⎞
x2 2
1
x
--
1
x2
-----+ +
⎝ ⎠
⎛ ⎞
---------------------------------------
1–
2
x
--
2
x2
-----–+
2
1
x
--
1
x2
-----+ +
----------------------------= =
1–
2
x
--
2
x2
-----–+
⎝ ⎠
⎛ ⎞
x ∞–→
lim 1–=
2
1
x
--
1
x2
-----+ +
⎝ ⎠
⎛ ⎞
x ∞–→
lim 2=
⎭
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎫
f x( )
x ∞–→
lim
1
2
--–=
x + ∞→
∞
∞
----
Exemple ´
Exemple ²
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77Séquence 3 – MA01
On écrit sous la même forme, ce qui nous donne :
.
On peut noter que dans chaque cas on peut écrire :
et .
Ainsi a même limite, à l’infini, que le rapport de ses termes de plus haut degré.
Ce résultat se généralise, ce qui nous donne la propriété suivante :
Énoncé
Déterminer les limites à l’infini des fonctions rationnelles définies par :
³ · » .
Solution
On cherchera, dans les trois cas, la limite du quotient des termes de plus haut degré.
³ .
.
· .
.
» .
.
On peut conjecturer à l’aide de ces exemples les limites possibles pour une fonction rationnelle à l’infini.
Soit où P et Q sont deux fonctions polynômes.
On note le degré d’un polynôme P par .
Quand on écrit il faut comprendre soit , soit .
Conclusion
.
Propriété ¶
Toute fonction rationnelle admet, en et en , la même limite que le quotient de ses termes
de plus haut degré.
L réel non nul.
f x( )
1–
2
x
--
2
x2
-----–+
⎝ ⎠
⎛ ⎞
x + ∞→
lim 1–=
2
1
x
--
1
x2
-----+ +
⎝ ⎠
⎛ ⎞
x + ∞→
lim 2=
⎭
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎫
f x( )
x + ∞→
lim
1
2
--–=
f
∞–
lim f
+ ∞
lim
1
2
--–= =
f x( )
x ∞–→
lim
x2–
2x2
---------
x ∞–→
lim
1
2
--–= = f x( )
x + ∞→
lim
x2–
2x2
---------
x + ∞→
lim
1
2
--–= =
f x( )
∞– + ∞
f x( )
x3– x 1–+
2x 1+
---------------------------= f x( )
2x– 1+
x2 2+
-------------------= f x( )
2x3 1–
5x3 x+
-----------------=
f x( )
x ∞–→
lim
x3–
2x
---------
x ∞–→
lim
x2
2
-----–
x ∞–→
lim ∞–= = =
f x( )
x + ∞→
lim
x3–
2x
---------
x + ∞→
lim
x2
2
-----–
x + ∞→
lim ∞–= = =
f x( )
x ∞–→
lim
2x–
x2
---------
x ∞–→
lim
2–
x
------
x ∞–→
lim 0= = =
f x( )
x + ∞→
lim
2x–
x2
---------
x + ∞→
lim
2–
x
------
x + ∞→
lim 0= = =
f x( )
x ∞–→
lim
2x3
5x3
--------
x ∞–→
lim
2
5
--= =
f x( )
x + ∞→
lim
2x3
5x3
--------
x + ∞→
lim
2
5
--= =
f x( )
P x( )
Q x( )
-----------=
d°P
f x( )
P x( )
Q x( )
-----------=
d°P d°Q> d°P d°Q< d°P d°Q=
f
∞
lim ∞= f
∞
lim 0= f
∞
lim L=
∞ ∞– + ∞
Exemple ¶
© Cned – Académie en ligne
Séquence 3 – MA0178
³ Limite obtenue par comparaison
Énoncé
Soit f et u les fonctions définies par et .
Les courbes Ꮿ et ᏼ représentatives de f et u sont sur la figure 9.
³ Donner, d’après le graphique, les positions relatives des deux courbes Ꮿ et ᏼ. Comment peut-on le
justifier ?
· En déduire les limites de f en et en .
Fig. 9 Fig. 10
Solution
³ D’après le graphique de la figure 9, la courbe Ꮿ est située au-dessus de la parabole ᏼ pour x non nul.
On a : .
Donc .
Ceci montre bien que Ꮿ est toujours au-dessus de ᏼ.
· On sait que .
D’où .
Énoncé
Soit f et v les fonctions définies par et .
Les courbes Ꮿ et représentant respectivement f et v sont sur la figure 10.
³ Donner, d’après le graphique, les positions relatives des deux courbes Ꮿ et . Comment peut-on
le justifier ?
· En déduire les limites de f en et en .
Limite obtenue par comparaison ou par encadrementD
f x( ) x2 1
x2
-----+= u x( ) x2=
∞– + ∞
O
1
–1 1
Ꮿ y = x2 +
Ꮿ
1
x2
ᏼ y = x2
O
1
–1
1
Ꮿ y = x3 +
Ꮿ
1
x
C
1
3
(C) y = x31
3
f x( ) x2–
1
x2
-----=
f x( ) x2– 0>
x2 f x( )≤
x2
x ∞–→
lim + ∞=
x2
x + ∞→
lim + ∞=
⎩
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎧
f x( )
x ∞–→
lim f x( )
x + ∞→
lim + ∞= =
f x( )
1
3
-- x3 1
x
--+= v x( )
1
3
-- x3=
C( )
C( )
∞– + ∞
Exemple º
Exemple ¾
© Cned – Académie en ligne
79Séquence 3 – MA01
Solution
³ D’après le graphique de la figure 10, on peut dire que :
̈ sur , Ꮿ est en dessous de .
̈ sur , Ꮿ est au-dessus de .
On a : .
Si , alors et .
Si , alors et .
Ceci confirme la conjecture faite sur le graphique.
· ̈ Sur , on a .
On sait que . Donc .
̈ Sur , on a .
On sait que . Donc .
Dans les exemples º et ¾, on vient de voir que :
̈ une fonction f plus grande qu’une fonction u qui tend vers tend elle aussi vers .
̈ une fonction f plus petite qu’une fonction v qui tend vers tend elle aussi vers .
On peut énoncer les deux propriétés suivantes.
Propriété º
̈ Si • pour tout ,
•
alors .
̈ Si • pour tout ,
•
alors .
Propriété ¾
̈ Si • pour tout ,
•
alors .
̈ Si • pour tout ,
•
alors .
] ∞ ; 0[– C( )
]0 ; + ∞[ C( )
f x( )
1
3
-- x3–
1
x
--=
x 0<
1
x
-- 0< f x( )
1
3
-- x3<
x 0>
1
x
-- 0> f x( )
1
3
-- x3>
] ∞ ; 0[– f x( )
1
3
-- x3<
1
3
-- x3
x ∞–→
lim ∞–= f x( )
x ∞–→
lim ∞–=
]0 ; + ∞[ f x( )
1
3
-- x3>
1
3
-- x3
x + ∞→
lim + ∞= f x( )
x + ∞→
lim + ∞=
+ ∞ + ∞
∞– ∞–
x A ; + ∞[[∈ u x( ) f x( )≤
u x( )
x + ∞→
lim + ∞=
f x( )
x + ∞→
lim + ∞=
x ∈ ] ∞ ; A]– u x( ) f x( )≤
u x( )
x ∞–→
lim + ∞=
f x( )
x ∞–→
lim + ∞=
x A ; + ∞[[∈ f x( ) v x( )≤
v x( )
x + ∞→
lim ∞–=
f x( )
x + ∞→
lim ∞–=
x ∈ ] ∞ ; A]– f x( ) v x( )≤
v x( )
x ∞–→
lim ∞–=
f x( )
x ∞–→
lim ∞–=
© Cned – Académie en ligne
Séquence 3 – MA0180
· Limite obtenue par encadrement
Énoncé
Soit f la fonction définie sur par et Ꮿ sa courbe représentative.
Soit v la fonction définie sur par et sa courbe représentative.
Soit Ᏸ la droite d’équation .
Les courbes Ꮿ, et Ᏸ sont sur la figure 11.
³ Conjecturer les positions relatives de Ꮿ, et Ᏸ.
· Montrer que, pour , .
» Déterminer et en déduire .
Fig. 11
Solution
³ On conjecture, d’après le graphique, que la courbe Ꮿ est située au-dessus de la droite Ᏸ et en des-
sous de .
· On a .
Comme , et .
Ainsi .
On a .
Pour , on peut écrire :
.
d’où .
Ainsi .
En prenant les deux conditions sur , on obtient, pour tout , .
1 ; + ∞[[ f x( ) 2
x 1–
x
---------------+=
1 ; + ∞[[ v x( ) 2
1
x
------+= C( )
y 2=
C( )
C( )
x 1≥ 2 f x( ) v x( )≤ ≤
v x( )
x + ∞→
lim f x( )
x + ∞→
lim
O 1
1
2
2
(C)
(C) y = 2 + 1
3
x
Ꮿ y = 2 +
x
x – 1
Ꮿ
Ᏸ y = 2
C( )
f x( ) 2–
x 1–
x
---------------=
x 1≥ x 1– 0≥ x 0>
f x( ) 2– 0≥
v x( ) f x( )–
1
x
------
x 1–
x
---------------–
x x 1––
x
----------------------------= =
x 1≥ 0 x 1– x≤ ≤
0 x 1– x≤ ≤
x x 1–– 0≥
v x( ) f x( )– 0≥
f x( ) x 1≥ 2 f x( ) v x( )≤ ≤
Exemple µ
© Cned – Académie en ligne
81Séquence 3 – MA01
» car .
Comme est compris entre le nombre 2 et une expression qui tend vers 2 en , on conçoit
intuitivement que ne peut tendre que vers 2.
Ainsi .
Dans l’exemple µ, on vient de voir qu’une fonction f encadrée par deux fonctions qui ont même limite
L (ici ) ne peut que tendre vers L.
On peut énoncer la propriété suivante :
Cette propriété est parfois appelée propriété, ou plutôt, théorème des gendarmes.
Le dessin suivant peut aider à comprendre cette appellation.
³ Étude d’un exemple
Énoncé
Soit f la fonction définie sur ‫ޒ‬ par .
³ Montrer que l’on peut écrire , la fonction v étant la fonction « racine carrée ».
· Déterminer et en déduire .
Solution
³ On peut décomposer f sur ‫ޒ‬ comme suit :
.
Propriété µ
̈ Si • pour tout ,
•
alors .
̈ Si • pour tout ,
•
alors .
v x( )
x + ∞→
lim 2
1
x
------+
⎝ ⎠
⎛ ⎞
x + ∞→
lim 2= =
1
x
------
x + ∞→
lim 0=
f x( ) + ∞
f x( )
v x( )
x + ∞→
lim 2 et f x( )
x + ∞→
lim 2= =
L 2=
x A ; + ∞[[∈ u x( ) f x( ) v x( )≤ ≤
u x( )
x + ∞→
lim v x( )
x + ∞→
lim L= =
f x( )
x + ∞→
lim L=
x ∈ ] ∞ ; A]– u x( ) f x( ) v x( )≤ ≤
u x( )
x ∞–→
lim v x( )
x ∞–→
lim L= =
f x( )
x ∞–→
lim L=
u (x) f (x) v (x)
L
< <
}
Limite d’une fonction composéeE
f x( )
4x2 x 1+ +
x2 1+
--------------------------=
f v Ⴆ u=
u x( )
x + ∞→
lim f x( )
x + ∞→
lim
x
u 4x2 x 1+ +
x2 1+
--------------------------
X
v
X
x
f v Ⴆ u=
4x2 x 1+ +
x2 1+
--------------------------
Remarque
Exemple ¸
© Cned – Académie en ligne
Séquence 3 – MA0182
· La fonction u est une fonction rationnelle.
On a .
On sait que .
Comme , .
Ainsi .
On peut présenter la limite de f de la manière suivante :
d’où .
· Limite de
On admet la propriété suivante qui généralise ce qui précède.
̈ Les lettres a, b, c peuvent désigner soit des réels finis, soit , soit .
̈ Bien voir que la lettre intervient toujours, au moins, deux fois.
̈ Il est possible d’avoir .
Soit P et Q les fonctions polynômes définies sur ‫ޒ‬ par :
et .
Déterminer les limites de P et de Q à l’infini.
Soit f la fonction définie pour par :
.
³ Déterminer .
· Déterminer les limites de f à l’infini.
Soit f la fonction définie pour par :
.
³ Déterminer .
· Déterminer les limites de f à l’infini.
Déterminer les limites à l’infini des trois fonctions f, g et h définies par :
; ; .
Propriété ¸
Si alors
u x( )
x + ∞→
lim
4x2
x2
--------
x + ∞→
lim 4= =
f x( ) v u x( )( ) u x( )= =
u x( )
x + ∞→
lim 4= f x( )
x + ∞→
lim 4 2= =
u x( )
x + ∞→
lim 4 et f x( )
x + ∞→
lim 2= =
u x( )
x + ∞→
lim 4=
v X( )
X 4→
lim 2=
⎭
⎪
⎬
⎪
⎫
f x( )
x + ∞→
lim 2=
v Ⴆ u
u x( )
x a→
lim b=
v X( )
X b→
lim c=
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
v Ⴆ u( ) x( )
x a→
lim c=
∞– + ∞
b
a b c= =
Exercices d’apprentissage (Série 1)F
P x( ) 3x2– 5x 1–+= Q x( ) 4x3 2x– 1–=
x 2–≠
f x( )
3–
x 2+( )2
-------------------=
f
2–
lim
x 2–≠
f x( )
x 1–
2x 4+
---------------=
f
2–
lim
f x( )
x 1+
x 2+( )2
-------------------= g x( )
1 x x2+ +
1 x– 3x2+
--------------------------= h x( )
x2– 2x 3+ +
x 4–
-------------------------------=
Remarque
Remarques
Exercice ³
Exercice ·
Exercice »
Exercice ¿
© Cned – Académie en ligne
83Séquence 3 – MA01
Soit f la fonction définie sur ‫ޒ‬ par .
Déterminer les limites de f à l’infini.
Soit f la fonction définie pour par :
.
³ Déterminer les limites de f à l’infini.
· Déterminer la limite de f quand x tend vers trois.
Dans ce paragraphe, on considère le plan muni d’un repère orthogonal .
³ Asymptote parallèle à l’axe des ordonnées
Étude d’un exemple
Énoncé
Soit f la fonction définie pour par .
³ Déterminer la limite de f quand x tend vers 1.
· Que peut-on penser, intuitivement, de la courbe Ꮿ représentant f lorsque x est proche de 1 ?
Solution
³ Quand on obtient :
d’où .
· Appelons Ꮿ la courbe représentative de f et Δ la droite verti-
cale d’équation .
Intuitivement, lorsque x se rapproche de 1 (en étant soit inférieur
à 1, soit supérieur à 1), on peut penser que Ꮿ se rapprochera de
la droite Δ (voir figure 12).
Fig. 12
Définition d’une asymptote verticale
Soit a un réel fini.
Si la limite de f en a est infinie, on dit que la droite d’équation est asymptote verticale à la
courbe représentative de f.
Ainsi ̈ dans l’exercice ·, la droite d’équation est asymptote verticale à Ꮿ.
̈ dans l’exercice », la droite d’équation est asymptote verticale à Ꮿ.
f x( )
x2 2+
9x2 1+
-----------------=
x 3≠
f x( ) 2x– 1
4
x 3–
-----------–+=
Notion d’asymptoteG
᏾ O ; i j,( )=
x 1≠ f x( )
2x
x 1–( )2
------------------=
x 1→
2x
x 1→
lim 2=
x 1–( )2
x 1→
lim 0+=
⎭
⎪
⎬
⎪
⎫
f x( )
x 1→
lim + ∞=
1
0 1
Ꮿ
Δ x = 1
x 1=
x a=
x 2–=
x 2–=
Exercice ´
Exercice ²
Exemple ¹
Définition ³
© Cned – Académie en ligne
Séquence 3 – MA0184
On peut illustrer la définition en donnant quelques représentations graphiques admettant des asymp-
totes verticales (voir figure 13).
Fig. 13
̈ Une courbe peut avoir plusieurs asymptotes verticales.
̈ Une courbe ne peut jamais traverser une asymptote verticale.
· Asymptote parallèle à l’axe des abscisses
Étude d’un exemple
Énoncé
Soit f la fonction définie sur ‫ޒ‬ par et Ꮿ sa courbe représentative.
³ Déterminer la limite de f à l’infini.
· Que peut-on penser, intuitivement, de la courbe Ꮿ représentative de f à l’infini ?
» Vérifier que peut s’écrire .
En déduire les positions relatives de Ꮿ et de la droite Δ d’équation .
Solution
³ La fonction f est une fonction rationnelle.
.
.
· Soit Ꮿ la courbe représentative de f et Δ la droite horizontale d’équation .
Intuitivement on peut penser qu’à l’infini (soit en , soit en ) la courbe Ꮿ se rapprochera de Δ.
» On peut écrire :
.
D’où .
Cherchons le signe de .
Comme , on a .
x
y
x x
yy
0 0 0 x
y
0
f x( )
x2 1–
2x2 1+
-----------------=
f x( ) f x( )
1
2
--
3
2 2x2 1+( )
-------------------------–=
y
1
2
--=
f x( )
x ∞–→
lim
x2
2x2
--------
x ∞–→
lim
1
2
--= =
f x( )
x + ∞→
lim
x2
2x2
--------
x + ∞→
lim
1
2
--= =
y
1
2
--=
∞– + ∞
1
2
--
3
2 2x2 1+( )
-------------------------–
2x2 1+( ) 3–
2 2x2 1+( )
-------------------------------
2 x2 1–( )
2 2x2 1+( )
-------------------------
x2 1–
2x2 1+
-----------------= = =
f x( )
1
2
--
3
2 2x2 1+( )
-------------------------–=
f x( )
1
2
--–
3
2 2x2 1+( )
-------------------------–=
2x2 1 0>+ f x( )
1
2
--– 0<
Remarques
Exemple Ƹ
© Cned – Académie en ligne
85Séquence 3 – MA01
Ceci signifie, comme , que la courbe Ꮿ est toujours située en dessous de la droite horizontale
Δ d’équation (voir figure 14).
Fig. 14
Définition d’une asymptote horizontale
La lettre b désigne un réel fini.
̈ Si la limite de f en est égale à b, on dit que la droite d’équation est asymptote horizon-
tale à la courbe représentative de f en .
̈ Si la limite de f en est égale à b, on dit que la droite d’équation est asymptote horizon-
tale à la courbe représentative de f en .
Ainsi : ̈ dans l’exemple ², la droite Δ d’équation est asymptote horizontale à Ꮿ en et
en .
̈ dans l’exemple µ, la droite Δ d’équation est asymptote horizontale à Ꮿ en .
On peut illustrer la définition en donnant quelques représentations graphiques admettant des asymp-
totes horizontales (voir figure 15).
Fig. 15
̈ Une courbe peut avoir une asymptote horizontale seulement en (ou en ).
̈ Une courbe peut traverser une asymptote horizontale.
f x( )
1
2
--<
y
1
2
--=
O 1–1
1
1/2
–1
Ᏸ y = 1
2
Ꮿ y =
2 x2 + 1
x2 – 1
+ ∞ y b=
+ ∞
∞– y b=
∞–
y
1
2
--–= ∞–
+ ∞
y 2= + ∞
x
y
O x
y
O x
y
O x
y
O
+ ∞ ∞–
Définition ·
Remarques
© Cned – Académie en ligne
Séquence 3 – MA0186
» Asymptote oblique
Étude d’un exemple
Énoncé
Soit f la fonction définie sur ‫ޒ‬ par et Ꮿ sa courbe représentative.
On appelle Δ la droite d’équation .
³ Déterminer les limites de f à l’infini.
· Montrer que .
Que peut-on penser intuitivement de la courbe Ꮿ en et en ?
» Trouver les positions relatives de Ꮿ et Δ.
Solution
³
d’où .
d’où .
· On a .
.
Intuitivement, on peut penser qu’à l’infini (soit en , soit en ) la courbe Ꮿ se rapprochera de Δ.
» D’après ce qui précède, .
Comme , .
Ceci signifie, comme , que la courbe Ꮿ est toujours située au-dessus de la droite obli-
que Δ d’équation (voir figure 16).
Fig. 16
f x( ) 2x 1–
3
x2 1+
--------------+=
y 2x 1–=
f x( ) 2x 1–( )–[ ]
x ∞–→
lim f x( ) 2x 1–( )–[ ]
x + ∞→
lim 0= =
∞– + ∞
2x 1–( )
x ∞–→
lim ∞–=
3
x2 1+
--------------
x ∞–→
lim 0=
⎭
⎪
⎬
⎪
⎫
f x( )
x ∞–→
lim ∞–=
2x 1–( )
x + ∞→
lim + ∞=
3
x2 1+
--------------
x + ∞→
lim 0=
⎭
⎪
⎬
⎪
⎫
f x( )
x + ∞→
lim + ∞=
f x( ) 2x 1–( )–[ ]
x ∞–→
lim
3
x2 1+
--------------
x ∞–→
lim 0= =
f x( ) 2x 1–( )–[ ]
x + ∞→
lim
3
x2 1+
--------------
x + ∞→
lim 0= =
∞– + ∞
f x( ) 2x 1–( )–
3
x2 1+
--------------=
x2 1 0>+ f x( ) 2x 1–( )– 0>
f x( ) 2x 1–>
y 2x 1–=
O 1–1
1
2
–1
Ꮿ y = 2 x – 1 +
3
x2 + 1
Ᏸ y = 2 x – 1
Exemple ƹ
© Cned – Académie en ligne
87Séquence 3 – MA01
Définition d’une asymptote oblique
̈ Si , on dit que la droite d’équation est asymptote obli-
que à la courbe représentative de f en .
̈ Si , on dit que la droite d’équation est asymptote obli-
que à la courbe représentative de f en .
On peut donner une autre définition qui est équivalente à la définition ».
̈ Si avec , on dit que la droite d’équation est
asymptote oblique à Ꮿ en .
̈ Si avec , on dit que la droite d’équation est
asymptote oblique à Ꮿ en .
Ainsi, dans l’exercice ², la droite Δ d’équation est asymptote oblique à Ꮿ en et
en .
On peut illustrer la définition en donnant quelques courbes admettant des asymptotes obliques (voir
figure 17).
Fig. 17
̈ Une courbe peut traverser une asymptote oblique.
̈ Une courbe peut avoir deux asymptotes obliques, une en et une autre en .
¿ Positions relatives d’une courbe Ꮿ et
d’une asymptote horizontale ou oblique
Cas de l’asymptote horizontale
Énoncé
On reprend la fonction f de l’exemple µ définie sur par .
On désigne par Ꮿ la courbe représentant f et Δ la droite d’équation .
³ Sachant que l’on a déjà montré que , en déduire que la droite Δ est asymptote à Ꮿ en
.
· Déterminer la position de Ꮿ par rapport à Δ.
Solution
³ On sait que .
f x( ) ax b+( )–[ ]
x ∞–→
lim 0= y ax b+=
∞–
f x( ) ax b+( )–[ ]
x + ∞→
lim 0= y ax b+=
+ ∞
f x( ) ax b ε x( )+ += ε x( )
x ∞–→
lim 0= y ax b+=
∞–
f x( ) ax b ε x( )+ += ε x( )
x + ∞→
lim 0= y ax b+=
+ ∞
y 2x– 1+= ∞–
+ ∞
x
y
O x
y
O x
y
O x
y
O
∞– + ∞
1 ; + ∞[[ f x( ) 2
x 1–
x
---------------+=
y 2=
f
+ ∞
lim 2=
+ ∞
f
+ ∞
lim 2=
Définition »
Définition ¿
Remarques
Exemple ƺ
© Cned – Académie en ligne
Séquence 3 – MA0188
Comme la limite de f en est un réel fini (ici c’est 2), on en déduit que :
· On cherche le signe de .
On a .
On sait que .
On a donc et , d’où .
Dans l’exemple traité, on a appliqué une méthode pour étudier la position d’une courbe par rapport à
une asymptote horizontale. Cette méthode peut s’appliquer à n’importe quelle fonction.
Cas de l’asymptote oblique
Énoncé
On reprend la fonction f de l’exercice ² définie pour par .
On désigne par Ꮿ la courbe représentative de f et Δ la droite d’équation .
³ Déterminer et .
En déduire que Ꮿ est asymptote à Δ en et en .
· Étudier les positions relatives de Ꮿ et Δ.
Solution
³ On a .
Comme , on en déduit :
.
Ceci prouve que :
· On cherche le signe de .
On a .
Le signe de change pour .
la droite Δ d’équation est asymptote horizontale à Ꮿ en .
Pour , Ꮿ et Δ ont un point commun.
Pour , Ꮿ est au-dessus de Δ.
Propriété ¹
Soit Ꮿ la courbe représentative de f et Δ une asymptote horizontale d’équation .
Pour étudier la position de Ꮿ par rapport à Δ, on étudie le signe de la différence .
̈ lorsque , Ꮿ est au-dessus de Δ.
̈ lorsque , Ꮿ est en dessous de Δ.
̈ lorsque , Ꮿ et Δ ont un point commun.
la droite Δ d’équation est asymptote oblique à Ꮿ
en et en .
+ ∞
y 2= + ∞
f x( ) 2–
f x( ) 2–
x 1–
x
---------------=
x 1≥
x 0> x 1– 0≥ f x( ) 0≥
x 1=
x 1>
y b=
f x( ) b–
f x( ) b 0>–
f x( ) b– 0<
f x( ) b– 0=
x 3≠ f x( ) 2x– 1
4
x 3–
-----------–+=
y 2x– 1+=
f x( ) 2x– 1+( )–[ ]
x ∞–→
lim f x( ) 2x– 1+( )–[ ]
x + ∞→
lim
∞– + ∞
f x( ) 2x– 1+( )–
4–
x 3–
-----------=
4–
x 3–
-----------
x ∞–→
lim
4–
x 3–
-----------
x + ∞→
lim 0= =
f x( ) 2x– 1+( )–[ ]
x ∞–→
lim f x( ) 2x– 1+( )–[ ]
x + ∞→
lim 0= =
y 2x– 1+=
∞– + ∞
f x( ) 2x– 1+( )–
f x( ) 2x– 1+( )–
4–
x 3–
-----------=
x 3– x 3=
Exemple ƻ
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89Séquence 3 – MA01
On peut faire un tableau rassemblant tous les résultats.
La méthode précédente peut s’appliquer à n’importe quelle fonction.
Soit f la fonction définie pour par et Ꮿ sa courbe représentative dans un
repère ᏾.
³ Étudier la limite de f à l’infini.
En déduire que Ꮿ possède une asymptote horizontale.
Situer Ꮿ par rapport à cette asymptote.
· Déterminer la limite de f en .
Que peut-on en déduire ?
x 3
– –
– 0 +
+ –
positions Ꮿ est au-dessus de Δ Ꮿ est en dessous de Δ
Conclusion
Propriété Ƹ
Soit Ꮿ la courbe représentative de f et Δ une asymptote oblique d’équation .
Pour étudier la position de Ꮿ par rapport à Δ, on étudie le signe de la différence .
̈ Lorsque , Ꮿ est au-dessus de Δ.
̈ Lorsque , Ꮿ est en dessous de Δ.
̈ Lorsque , Ꮿ et Δ ont un point commun.
∞– + ∞
4–
x 3–
4–
x 3–
------------
Ꮿ est au-dessus de Δ sur ] ∞ ; 3 .[–
Ꮿ est en dessous de Δ sur ]3 ; + ∞ .[
y ax b+=
f x( ) ax b+( )–
f x( ) ax b+( )– 0>
f x( ) ax b+( )– 0<
f x( ) ax b+( )– 0=
Exercices d’apprentissage (Série 2)H
x 1–≠ f x( )
2–
x 1+( )2
-------------------=
1–
Exercice ᕧ
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Séquence 3 – MA0190
Les courbes suivantes sont les courbes représentatives de quatre fonctions. Préciser, dans chaque cas,
l’ensemble de définition de la fonction et les équations des asymptotes à la courbe (voir figure 8).
On donne .
³ Pour quelles valeurs de x la fonction f est-elle définie ?
· Trouver les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
» Montrer que la droite d’équation est asymptote oblique à la courbe repré-
sentative de f. Quelle est l’équation de l’autre asymptote à ?
¿ Quelles sont les positions relatives de et de ?
Soit f la fonction définie sur ‫ޒ‬ par et sa courbe représentative dans un
repère ᏾.
Démontrer que est asymptote à une courbe simple dont on donnera l’équation. Donner les positions
relatives des deux courbes.
0
i
–2
(C1)
j
0
i–2
–1
(C2)
j
2
0
i
–1
(C3)
j
0 i
–2
(C4)
j
Fig. 8
f x( ) x– 2
x
x 1–( )2
------------------+ +=
D( ) y x– 2+= C( )
C( )
C( ) D( )
f x( ) x2 x
x2 1+
--------------+= C( )
C( )
Exercice ᕨ
Exercice ᕩ
Exercice µ
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91Séquence 3 – MA01
Synthèse
̈ Opérations sur les limites
• On suppose que L et sont deux réels finis alors que α peut désigner soit un réel fini, soit ,
soit .
Si et si alors .
• ; ; .
̈ Formes indéterminées (ou abrégé FI)
̈ Fonctions polynômes et
fonctions rationnelles à l’infini
• La limite d’un polynôme à l’infini est la limite de son terme de plus haut degré.
• La limite d’une fonction rationnelle à l’infini est la limite du rapport de ses termes de plus haut
degré.
̈ Limite obtenue par comparaison
• Si pour alors
• Si pour alors
• On a deux énoncés analogues en remplaçant par (dans ce cas ).
̈ Limite obtenue par encadrement
Si pour alors .
somme produit quotient
L′ ∞–
+ ∞
u
α
lim L= v
α
lim L′=
u v+( )
α
lim L L′+=
uv( )
α
lim LL′=
1
v
--
⎝ ⎠
⎛ ⎞
α
lim
1
L′
---- si L′ 0≠=
u
v
--
⎝ ⎠
⎛ ⎞
α
lim
L
L′
---- si L′ 0≠=
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎧
1
x a–
-----------
x a→
lim ∞–=
<
1
x a–
-----------
x a→
lim + ∞=
>
1
x a–( )2
------------------
x a→
lim + ∞=
+ ∞( ) ∞–( )+ ∞ 0× 0
0
--
∞
∞
----
x A
u x( ) f x( )≤
u x( )
x + ∞→
lim + ∞=
⎩
⎨
⎧
≥ f x( )
x + ∞→
lim + ∞=
x A
f x( ) v x( )≤
v x( )
x + ∞→
lim – ∞=
⎩
⎨
⎧
≥ f x( )
x + ∞→
lim ∞–=
x + ∞→ x ∞–→ x A≤
x A
u x( ) f x( ) v x( )≤≤
u x( )
x + ∞→
lim v x( )
x + ∞→
lim L= =
⎩
⎨
⎧
≥ f x( )
x + ∞→
lim L=
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Séquence 3 – MA0192
Cas particulier
Si pour alors .
• On a deux énoncés analogues en remplaçant par (dans ce cas ).
• Ce théorème est parfois appelé « théorème des gendarmes ».
̈ Limite d’une fonction composée
Si alors
̈ Asymptotes
• La droite d’équation (avec a fini) est asymptote verticale à si on a
(ou ).
• La droite d’équation (avec b fini) est asymptote horizontale à en si on a
(on peut remplacer par ).
• La droite d’équation est asymptote oblique à en si on a
.
On peut aussi dire que la droite d’équation est asymptote oblique à en si on a :
et .
(on peut remplacer par ).
➠
x A
0 f x( ) v x( )≤≤
v x( )
x + ∞→
lim 0=
⎩
⎨
⎧
≥ f x( )
x + ∞→
lim 0=
x + ∞→ x ∞–→ x A≤
u
a
lim „ et si v
„
lim c= =
Idem
(nombre fini ou non)
v Ⴆ u
a
lim c=
(a et c finis ou non)
x a= Ꮿf f
a
lim + ∞=
f
a
lim ∞–=
y b= Ꮿf + ∞
f
+ ∞
lim b= + ∞ – ∞
y ax b+= Ꮿf + ∞
f x( ) ax b+( )–[ ]
x + ∞→
lim 0=
y ax b+= Ꮿf + ∞
f x( ) ax b ε x( )+ += ε x( )
x + ∞→
lim 0=
+ ∞ – ∞
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93Séquence 3 – MA01
Exercices d’entraînement
Soit f la fonction définie pour par :
et Ꮿ sa courbe représentative.
³ Étudier la limite de f quand x tend vers . Que peut-on en conclure ?
· Déterminer les limites de f à l’infini.
» Montrer que la droite Δ d’équation est asymptote oblique à Ꮿ à l’infini.
Étudier les positions relatives de Ꮿ et de Δ.
Soit f la fonction définie sur par et Ꮿ sa courbe
représentative.
³ Déterminer les limites de f en . Que peut-on en déduire ?
· Déterminer les limites de f à l’infini.
En déduire que Ꮿ possède une droite asymptote Δ.
» Vérifier que .
Étudier les positions relatives de Ꮿ et de Δ.
Soit f la fonction définie sur ‫ޒ‬ par et Ꮿ sa courbe représentative.
³ Étudier les limites de f à l’infini.
Montrer que Ꮿ possède une asymptote Δ.
Situer Ꮿ par rapport à Δ.
· On pose, pour tout x réel, .
On appelle la courbe représentative de g, dans le même repère.
Déterminer les limites de g à l’infini.
Montrer que possède une asymptote .
Situer par rapport à .
Soit f la fonction définie sur l’ensemble par et Ꮿ sa
courbe représentative dans un repère orthogonal (unités graphiques : 2 cm en abscisse,
1 cm en ordonnée).
³ Déterminer les limites de f en 2. Que peut-on en déduire ?
· Déterminer les limites de f à l’infini.
Montrer que Ꮿ admet une asymptote Δ dont on donnera l’équation.
Situer Ꮿ par rapport à Δ.
» Déterminer la dérivée de f ainsi que le signe de cette dérivée. Dresser le tableau de variation de f.
¿ Soit A le point où Ꮿ coupe son asymptote Δ. Donner les coordonnées de A. On désigne par la
tangente à Ꮿ en A.
Trouver une équation de .
x 2–≠
f x( ) x 1
x 1–
x 2+( )2
-------------------+ +=
2–
y x 1+=
E = ] ∞– ; 1– [ ∪ ] 1– ; + ∞[ f x( )
x2 4x+
x 1+( )2
-------------------=
1–
f x( ) 1
2x 1–
x 1+( )2
-------------------+=
f x( )
4x2 2+
x2 1+
-----------------=
g x( ) f x( )=
C( )
C( ) D( )
C( ) D( )
E = ] ∞– ; 2[ ∪ ]2 ; + ∞[ f x( )
x2
x 2–( )2
------------------=
O ; i j,( )
T( )
T( )
Exercice ¸
Exercice ¹
Exercice Ƹ
Exercice ƹ
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Séquence 3 – MA0194
´ Tracer les asymptotes, la tangente en A et la courbe Ꮿ.
² On voit sur le graphique que coupe Ꮿ en un point K. Conjecturer graphiquement les coordon-
nées de K et le vérifier par le calcul.
Résoudre graphiquement l’inéquation .
Soit f la fonction définie sur ‫ޒ‬ par et Ꮿ sa courbe représentative dans un repère
orthogonal (unités graphiques : 2 cm en abscisse et 4 cm en ordonnée).
³ Déterminer les limites de f à l’infini.
En déduire l’existence d’une asymptote Δ à la courbe Ꮿ.
Étudier les positions relatives de Ꮿ et de Δ.
· Déterminer la dérivée et étudier son signe.
En déduire les variations de f sur ‫.ޒ‬
» Tracer Δ et Ꮿ.
La courbe Ꮿ présente une particularité : laquelle ? Pouvait-on le prévoir dès le début ?
T( )
f x( ) 4x 3–≤
f x( ) 2
x2
x4 1+
--------------–=
O ; i j,( )
f′ x( )
Exercice ƺ
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95Séquence 3 – MA01
Aides
aux exercices d’entraînement
³ Le dénominateur tend toujours vers .
Attention au signe du numérateur.
· Appliquer la règle donnant la limite à l’infini d’une fonction rationnelle. Ne pas oublier ensuite .
» On cherche la limite, puis le signe, de .
³ Le dénominateur tend toujours vers .
· Règle donnant la limite à l’infini d’une fonction rationnelle.
» On écrit sous le même dénominateur.
Étudier le signe de .
³ Règle donnant la limite à l’infini d’une fonction rationnelle.
On obtient l’équation de Δ et on cherche le signe de .
· On peut écrire g comme une fonction composée : .
Pour situer par rapport à , le plus simple est d’utiliser le fait que . La fonction
« racine carrée » conserve l’ordre des nombres.
³ Le dénominateur tend vers .
· Règle donnant la limite à l’infini d’une fonction rationnelle.
On étudie le signe de .
» On écrit et on utilise la formule donnant la dérivée d’un quotient.
On peut simplifier par mais ce n’est pas conseillé.
Dans ce cas la valeur annule le numérateur mais pas la dérivée.
¿ Chercher l’abscisse de A revient à résoudre . On peut le faire en utilisant la question ᕢ.
Le coefficient directeur de est . On écrit ensuite l’équation de sous la forme
. On trouve p en écrivant que passe par A.
´ Faire attention aux unités.Tracer les asymptotes et la tangente avant la courbe.
² Il est facile de conjecturer les coordonnées de K. On peut aussi le vérifier sur l’écran de sa calculatrice.
Résoudre revient à chercher quand la courbe Ꮿ est située en dessous (au sens large) de
la tangente .
³ La fraction rationnelle tend vers 0 à l’infini.On peut étudier le signe de . La courbe
et l’asymptote ont un point commun.
· On dérive un quotient. Essayer de factoriser au maximum le numérateur. La dérivée s’annule pour
trois valeurs.
» Attention aux unités. La courbe admet trois tangentes horizontales.
On peut montrer que la courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées en montrant que f
est paire. ■
0+
x 1+
f x( ) x 1+( )–
0+
1
2x 1–
x 1+( )2
-------------------+
f x( ) 1–
f x( ) 4–
g u Ⴆ f=
C( ) D( ) 0 f x( ) 4< <
0+
f x( ) 1–
f
u
v
--=
f′ x( ) x 2–( )
x 2=
f x( ) 1=
T( ) f′ 1( ) T( )
y f′ 1( )x p+= T( )
f x( ) 4x 3–≤
T( )
x2
x4 1+
-------------- f x( ) 2–
Exercice ¸
Exercice ¹
Exercice Ƹ
Exercice ƹ
Exercice ƺ
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  • 1. 63Séquence 3 – MA01 > Limites et asymptotes © Cned – Académie en ligne
  • 2. 65Sommaire séquence 3 – MA01 Limites des fonctions de référence (rappel) Opérations sur les limites Applications Limite obtenue par comparaison ou par encadrement Limite d’une fonction composée Exercices d’apprentissage (Série 1) Notion d’asymptote Exercices d’apprentissage (Série 2) AA ABB AC D E F AG H Chapitre 1 > Cours ...............................................................................................................................................................................67 Chapitre 3 > Exercices d’entraînement .......................................................................................................93 Chapitre 4 > Aide aux exercices d’entraînement ....................................................................95 Chapitre 2 > Synthèse ..................................................................................................................................................................91 © Cned – Académie en ligne
  • 3. 67Séquence 3 – MA01 Cours Limites des fonctions de référence (Rappel)A Le comportement des fonctions de référence, à l’infini et en zéro, a été étudié en classe de première. Les courbes représentatives de huit fonctions « simples » ont été tracées, à l’aide d’un grapheur, sur la figure 1. On y retrouve les courbes de quatre fonctions de référence ( ; ; ; ) et les courbes des quatre fonctions inverses des précédentes. La courbe représentative de la fonction affine sur ‫ޒ‬ est une droite, notée Ᏸ (voir figure 1. a). La courbe représentative de la fonction « carré » sur ‫ޒ‬ est une parabole, notée ᏼ (voir figure 1. b). La courbe représentative de la fonction « inverse » sur est une hyperbole, notée Ᏼ (voir figure 1. e). On peut noter que les axes de coordonnées sont des asymptotes (soit horizontales, soit verticales) pour les quatre courbes représentatives des quatre fonctions inverses ; ; ; . x x‫ۋ‬ x x2‫ۋ‬ x x3‫ۋ‬ x x‫ۋ‬ x x‫ۋ‬ x x2‫ۋ‬ x 1 x --‫ۋ‬ ‫*ޒ‬ x 1 x -- ⎝ ⎛ ‫ۋ‬ x 1 x2 -----‫ۋ‬ x 1 x3 -----‫ۋ‬ x 1 x ------ ⎠ ⎞‫ۋ‬ O –1 –2 1 2 –1–2 1 2 Ᏸ y = xᏰ a O –1 –2 1 2 –1–2 1 2 Ᏼ y = xᏴ e 1 O –1 –2 1 2 –1–2 1 2 Ᏸ y = xᏰ a O –1 –2 1 2 –1–2 1 2 ᏼ y = x2ᏼ b O –1 –2 1 2 –1–2 1 2 Ᏼ y = xᏴ e 1 O –1 –2 1 2 –1–2 1 2 Ꮿ y = xᏯ f 1 2 © Cned – Académie en ligne
  • 4. Séquence 3 – MA0168 Fig. 1 ³ Limites infinies à l’infini ̈ Pour et . ̈ Pour et . ̈ Pour . Comme est définie sur , la limite de en n’existe pas. Énoncé Soit f définie sur ‫ޒ‬ par (n entier et ). Étudier la limite de f à l’infini. Solution La limite de en est toujours . La limite de en dépend de la parité de n. O –1 –2 1 2 –1–2 1 2 Ᏸ y = xᏰ a O –1 –2 1 2 –1–2 1 2 Ꮿ y = x3 Ꮿ c O –1 –2 1 2 –1–2 1 2 Ᏼ y = xᏴ e 1 O –1 –2 1 2 –1–2 1 2 Ꮿ y = xᏯ g 1 3 O –1 –2 1 2 –1–2 1 2 Ᏸ y = xᏰ a O –1 –2 1 2 –1–2 1 2 Ꮿ y = xᏯ d O –1 –2 1 2 –1–2 1 2 Ᏼ y = xᏴ e 1 O –1 –2 1 2 –1–2 1 2 Ꮿ y = xᏯ h 1 x2 x2 x + ∞→ lim + ∞= x2 x ∞–→ lim + ∞= x3 x3 x + ∞→ lim + ∞= x3 x ∞–→ lim ∞–= x x x + ∞→ lim + ∞= x x‫ۋ‬ 0 ; + ∞[[ x ∞– f x( ) xn= n 1≥ x xn ‫ۋ‬ + ∞ + ∞ n 1≥( ) x xn‫ۋ‬ ∞– Exemple ³ © Cned – Académie en ligne
  • 5. 69Séquence 3 – MA01 On peut écrire les résultats dans un tableau. · Limites finies à l’infini Les courbes de la figure 1 nous permettent de donner les résultats suivants que l’on peut mettre dans un tableau. » Limites infinies en zéro Les courbes de la figure 1 nous permettent de donner les résultats suivants que l’on peut mettre dans un tableau. • signifie que x tend vers zéro, tout en restant supérieur strictement à zéro. peut aussi se noter ou bien . • signifie que x tend vers zéro, tout en restant strictement inférieur à zéro. peut aussi se noter ou bien . Notation peut se noter . Dans les tableaux suivants : • la lettre α désigne soit un nombre réel fini, soit , soit . • les lettres L et désignent des nombres réels finis. n entier et n pair n impair si alors ; ; ; ; ; si alors ; ; ; ; ; n 1≥ xn x + ∞→ lim + ∞= xn x ∞–→ lim + ∞= xn x ∞–→ lim ∞–= x + ∞→ 1 x -- 0+→ 1 x2 ----- 0+→ 1 x3 ----- 0+→ 1 x ------ 0+→ x ∞–→ 1 x -- 0–→ 1 x2 ----- 0+→ 1 x3 ----- 0–→ x 0→ > 1 x -- + ∞→ 1 x2 ----- + ∞→ 1 x3 ----- + ∞→ 1 x ------ + ∞→ x 0→ < 1 x -- ∞–→ 1 x2 ----- → + ∞ 1 x3 ----- ∞–→ x 0→ > x 0→ > x 0→> x 0+→ x 0→ < x 0→ < x 0→< x 0–→ Opérations sur les limitesB f x( ) x a→ lim f a lim ∞– + ∞ L′ Remarque © Cned – Académie en ligne
  • 6. Séquence 3 – MA0170 ³ Limite d’une somme · Limite d’un produit » Limite de l’inverse Énoncé ³ ̈ Soit v la fonction définie sur ‫ޒ‬ par et Ᏸ sa courbe représentative. Tracer Ᏸ dans un repère orthonormal. ̈ On pose . Quel est l’ensemble de définition de f ? Préciser le sens de variation de f. Tracer la courbe Ᏼ représentative de f. ̈ Donner, d’après une lecture graphique, les limites suivantes : ; ; ; ; ; . · ̈ Soit w la fonction définie sur ‫ޒ‬ par et ᏼ sa courbe représentative. Tracer ᏼ dans un (autre) repère orthonormal. ̈ On pose . Quel est l’ensemble de définition de g ? Préciser le sens de variation de g. Tracer la courbe Ꮿ représentative de g. ̈ Donner, d’après une lecture graphique, les limites suivantes : ; ; ; ; ; . Solution ³ ̈ On a pour x réel. La courbe représentative de v est une droite, notée Ᏸ. Cette courbe est sur la figure 2. Propriété ³ si L L L et si alors ? Propriété · si L et si 0 0 alors ? ? u α lim + ∞ ∞– + ∞ v α lim L′ + ∞ ∞– + ∞ ∞– ∞– u v+( ) α lim L L′+ + ∞ ∞– + ∞ ∞– u α lim L 0> L 0> L 0< L 0< + ∞ + ∞ ∞– ∞– + ∞ ∞– v α lim L′ + ∞ ∞– + ∞ ∞– + ∞ ∞– ∞– + ∞ uv( ) α lim LL′ + ∞ ∞– ∞– + ∞ + ∞ ∞– + ∞ ∞– v x( ) x 2+= f 1 v --= v ∞– lim v + ∞ lim v 2– lim f ∞– lim f + ∞ lim f 2– lim w x( ) x 1–( )2= g 1 w ----= w ∞– lim w + ∞ lim w 1 lim g ∞– lim g + ∞ lim g 1 lim v x( ) x 2+= Exemple · © Cned – Académie en ligne
  • 7. 71Séquence 3 – MA01 ̈ On pose , d’où . On a pour . L’ensemble de définition de f est donc . Sur , f est décroissante car v est croissante. Sur , f est décroissante car v est croissante. Le tracé de la courbe Ᏼ représentative de la fonction f est une hyperbole. Cette courbe est sur la figure 3. ̈ On peut faire un tableau de variations pour chacune des deux fonctions v et f. Les limites ont été indiquées d’après lecture graphique. On a : ; ; . ; ; ; . · ̈ On a sur ‫.ޒ‬ La courbe représentative de w est une parabole, notée ᏼ. Cette courbe est sur la figure 4. ̈ On pose , d’où . On a pour . L’ensemble de définition de g est . Sur , g est croissante car w est décroissante. Sur , g est décroissante car w est croissante. Le tracé de la courbe Ꮿ représentant g est sur la figure 5. ̈ On peut faire un tableau de variation unique pour w et g. Les limites ont été indiquées d’après lecture graphique. On a : ; ; . ; ; . x x 0 0 0 x 1 0 0 0 f 1 v --= f x( ) 1 x 2+ -----------= x 2+ 0= x 2–= Df = ] ∞ ; 2[–– ∪ ] 2 ; + ∞[– ] ∞ ; 2[–– ] 2 ; + ∞[– ∞– 2– + ∞ ∞– 2– + ∞ v x( ) ∞– + ∞ f x( ) ∞– + ∞ v ∞– lim ∞–= v + ∞ lim + ∞= v 2– lim v 2–( ) 0= = f ∞– lim 0= f + ∞ lim 0= f x( ) x 2–→ lim ∞–= < f x( ) x 2–→ lim + ∞= > w x( ) x 1–( )2= g 1 w ----= g x( ) 1 x 1–( )2 ------------------= x 1– 0= x 1= Dg = ] ∞ ; 1[– ∪ ]1 ; + ∞[ ] ∞ ; 1[– ]1 ; + ∞[ ∞– + ∞ w x( ) + ∞ + ∞ g x( ) 1 w x( ) ------------= + ∞ + ∞ w ∞– lim + ∞= w 1 lim 0 w 1( )= = w + ∞ lim + ∞= g ∞– lim 0= g + ∞ lim 0= g x( ) x 1→ lim + ∞= © Cned – Académie en ligne
  • 8. Séquence 3 – MA0172 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4 Fig. 5 Les résultats précédents peuvent être généralisés. On obtient le tableau suivant : ᕤ Limite d’un quotient Cas où la limite du dénominateur n’est pas nulle Propriété » si alors Propriété ¿ si L L ou et si ou ou alors 0 ? O –1 –2 1 2 –1–2 1 Ᏸ y = x + 2 Ᏸ O –1 –2 1 2 –1 –2 1 Ᏼ y = x + 2 Ᏼ 1 x = –2 O –1 –2 1 2 –1–2 1 Ᏸ y = x + 2 Ᏸ O –1 –2 1 –1–2 1 2 ᏼ y = (x–1)2 ᏼ O –1 –2 1 2 –1 –2 1 Ᏼ y = x + 2 Ᏼ 1 x = –2 O –1 –2 1 2 –1–2 1 2 Ꮿ y = Ꮿ 1 (x–1)2 x = 1 v α lim L′ 0≠ 0+ 0– + ∞ ∞– 1 v -- ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ α lim 1 L′ ---- + ∞ ∞– 0+ 0– u α lim + ∞ + ∞ ∞– ∞– + ∞ ∞– v α lim L′ 0≠ + ∞ ∞– L′ 0> L′ 0< L′ 0> L′ 0< + ∞ ∞– u v -- α lim L L′ ---- + ∞ ∞– ∞– + ∞ © Cned – Académie en ligne
  • 9. 73Séquence 3 – MA01 Cas où la limite du dénominateur est nulle Dans ce tableau les signes n’ont pas été précisés. Ainsi, par exemple : • si et si alors . • si et si alors . Ne pas apprendre ces tableaux « par cœur ». Un peu d’intuition, et de nombreux exercices, permet- tront de retrouver les résultats. ´ Les formes indéterminées On remarque que dans certaines cases des tableaux précédents figurent des points d’interrogation. Cela signifie que dans ces cas on ne peut pas conclure directement. Chacun des cas d’indétermination nécessitera une étude particulière. Les 4 cas d’indétermination peuvent être classés en trois catégories. Les 4 cas ci-dessus sont des formes indéterminées. En abrégé on notera FI. On va montrer, en étudiant graphiquement trois exemples du type « », que tout peut arriver. Énoncé Soit f, g et h les trois fonctions définies sur ‫ޒ‬ par : , , . Les courbes représentatives de ces trois fonctions, obtenues à l’aide d’un grapheur, sont les suivantes (voir figures 6, 7 et 8) : Propriété ´ si ∞ 0 et si 0 0 0 alors ∞ ∞ ? somme produit quotient u α lim L 0≠ v α lim u v -- α lim u α lim + ∞= v α lim 0–= u v -- α lim ∞–= u α lim L= L 0<( ) v α lim 0–= u v -- α lim + ∞= + ∞( ) ∞–( )+ ∞ 0× 0 0 -- ∞ ∞ ---- ∞ ∞ ---- f x( ) x 1 x2+ --------------= g x( ) x2 1 x2+ --------------= h x( ) x3 1 x2+ --------------= Remarque Remarque Exemple » © Cned – Académie en ligne
  • 10. Séquence 3 – MA0174 Fig. 7 Fig. 8 ³ Vérifier que pour les limites à l’infini de chacune des fonctions on obtient une forme indéterminée. · Donner, d’après les représentations graphiques, les limites de f, g et h à l’infini. Solution ³ ̈ Pour f . . Dans les deux cas, on a bien une FI « ». ̈ Pour g . . Dans les deux cas, on a bien une FI « ». ̈ Pour h . . Dans les deux cas, on obtient bien une FI « ». O –1 1 –1 1 Ꮿ y =Ꮿ x 1 + x2 O –1 1 –1 1 Ꮿ y =Ꮿ x2 1 + x2 Fig. 6 O –1 1 –1 1 Ꮿ y = Ꮿ x3 1 + x2 x + ∞→ x x + ∞→ lim + ∞= 1 x2+( ) x + ∞→ lim + ∞= x ∞–→ x x ∞–→ lim ∞–= 1 x2+( ) x ∞–→ lim + ∞= ∞ ∞ ---- x + ∞→ x2 x + ∞→ lim + ∞= 1 x2+( ) x + ∞→ lim + ∞= x ∞–→ x2 x ∞–→ lim + ∞= 1 x2+( ) x ∞–→ lim + ∞= ∞ ∞ ---- x + ∞→ x3 x + ∞→ lim + ∞= 1 x2+( ) x + ∞→ lim + ∞= x ∞–→ x3 x ∞–→ lim ∞–= 1 x2+( ) x ∞–→ lim + ∞= ∞ ∞ ---- © Cned – Académie en ligne
  • 11. 75Séquence 3 – MA01 · Une lecture graphique nous permet de conjecturer les résultats suivants : Cet exemple nous montre bien que pour la forme indéterminée « », on peut obtenir différents résultats (finis ou infinis). ³ Limite d’une fonction polynôme en et en Énoncé Soit f la fonction définie sur ‫ޒ‬ par . Déterminer et . Solution . On obtient une FI « ». On va mettre en facteur dans l’expression . On obtient . D’où . . On obtient une FI « ». On utilise la même factorisation de . D’où . On peut noter que, dans chaque cas, on peut écrire : et . Ainsi a même limite, à l’infini, que son terme de plus haut degré (ici est de degré 3). Conclusion . x + ∞→ f x( ) 0→ g x( ) 1→ h x( ) + ∞→ x ∞–→ f x( ) 0→ g x( ) 1→ h x( ) ∞–→ ∞ ∞ ---- ApplicationsC ∞∞∞∞– + ∞∞∞∞ f x( ) x3– 2x2 3x 4+ + += f ∞– lim f + ∞ lim x ∞–→ 2x2 x ∞–→ lim + ∞= 3x x ∞–→ lim ∞–= + ∞( ) ∞–( )+ x3 f x( ) f x( ) x3 x3 x3 -----– 2 x2 x3 ----- 3 x x3 ----- 4 x3 -----+ + + ⎝ ⎠ ⎛ ⎞= f x( ) x3 1– 2 x -- 3 x2 ----- 4 x3 -----+ + + ⎝ ⎠ ⎛ ⎞= 1– 2 x -- 3 x2 ----- 4 x3 -----+ + + ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ x ∞–→ lim 1–= x3 x ∞–→ lim ∞–= ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ f x( ) x ∞–→ lim + ∞= x + ∞→ x3– x + ∞→ lim ∞–= 2x2 x + ∞→ lim + ∞= ∞–( ) + ∞( )+ f x( ) 1– 2 x -- 3 x2 ----- 4 x3 -----+ + + ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ x + ∞→ lim 1–= x3 x + ∞→ lim + ∞= ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ f x( ) x + ∞→ lim ∞–= f ∞– lim + ∞ et f + ∞ lim ∞–= = f x( ) x ∞–→ lim x– 3( ) x ∞–→ lim= f x( ) x + ∞→ lim x– 3( ) x + ∞→ lim= f x( ) x3– Exemple ¿ © Cned – Académie en ligne
  • 12. Séquence 3 – MA0176 Ce résultat se généralise, ce qui nous donne la propriété suivante : Énoncé Déterminer les limites à l’infini des fonctions polynômes suivantes : ³ · » ¿ ´ ² . Solution On prendra, dans chaque cas, la limite du terme de plus haut degré.Attention, ce terme n’est pas tou- jours celui qui est situé au début. ³ ; . · ; . » ; . ¿ ; . ´ ; . ² ; . · Limite d’une fonction rationnelle en et en Énoncé Soit f la fonction définie sur ‫ޒ‬ par . Déterminer et . Solution On a une FI du type « ». On va mettre en facteur au numérateur et au dénominateur. . . On a encore une FI du type « ». Propriété ² Toute fonction polynôme admet, en et en , la même limite que son terme de plus haut degré.∞– + ∞ f x( ) 1 2 -- x2– 3x+= f x( ) 1 x2 3x3–+= f x( ) 2 x4 3–= f x( ) 3x 2x2 1+–= f x( ) 2 3 -- x3 3x2 2–+= f x( ) 5– x2 1 3 -- x4–+= f x( ) x ∞–→ lim 1 2 -- x2– ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ x ∞–→ lim ∞–= = f x( ) x + ∞→ lim 1 2 -- x2– ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ x + ∞→ lim ∞–= = f x( ) x ∞–→ lim 3x3–( ) x ∞–→ lim + ∞= = f x( ) x + ∞→ lim 3x3–( ) x + ∞→ lim ∞–= = f x( ) x ∞–→ lim 2 x4 x ∞–→ lim + ∞= = f x( ) x + ∞→ lim 2 x4 x + ∞→ lim + ∞= = f x( ) x ∞–→ lim 2x2–( ) x ∞–→ lim ∞–= = f x( ) x + ∞→ lim 2x2–( ) x + ∞→ lim ∞–= = f x( ) x ∞–→ lim 2 3 -- x3 ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ x ∞–→ lim ∞–= = f x( ) x + ∞→ lim 2 3 -- x3 ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ x + ∞→ lim + ∞= = f x( ) x ∞–→ lim 1 3 -- x4– ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ x ∞–→ lim ∞–= = f x( ) x + ∞→ lim 1 3 -- x4– ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ x + ∞→ lim ∞–= = ∞∞∞∞– + ∞∞∞∞ f x( ) x2– 2x 2–+ 2x2 x 1+ + ------------------------------= f ∞– lim f + ∞ lim x ∞–→ ∞ ∞ ---- x2 f x( ) x2 1– 2 x -- 2 x2 -----–+ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ x2 2 1 x -- 1 x2 -----+ + ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ --------------------------------------- 1– 2 x -- 2 x2 -----–+ 2 1 x -- 1 x2 -----+ + ----------------------------= = 1– 2 x -- 2 x2 -----–+ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ x ∞–→ lim 1–= 2 1 x -- 1 x2 -----+ + ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ x ∞–→ lim 2= ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎫ f x( ) x ∞–→ lim 1 2 --–= x + ∞→ ∞ ∞ ---- Exemple ´ Exemple ² © Cned – Académie en ligne
  • 13. 77Séquence 3 – MA01 On écrit sous la même forme, ce qui nous donne : . On peut noter que dans chaque cas on peut écrire : et . Ainsi a même limite, à l’infini, que le rapport de ses termes de plus haut degré. Ce résultat se généralise, ce qui nous donne la propriété suivante : Énoncé Déterminer les limites à l’infini des fonctions rationnelles définies par : ³ · » . Solution On cherchera, dans les trois cas, la limite du quotient des termes de plus haut degré. ³ . . · . . » . . On peut conjecturer à l’aide de ces exemples les limites possibles pour une fonction rationnelle à l’infini. Soit où P et Q sont deux fonctions polynômes. On note le degré d’un polynôme P par . Quand on écrit il faut comprendre soit , soit . Conclusion . Propriété ¶ Toute fonction rationnelle admet, en et en , la même limite que le quotient de ses termes de plus haut degré. L réel non nul. f x( ) 1– 2 x -- 2 x2 -----–+ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ x + ∞→ lim 1–= 2 1 x -- 1 x2 -----+ + ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ x + ∞→ lim 2= ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎫ f x( ) x + ∞→ lim 1 2 --–= f ∞– lim f + ∞ lim 1 2 --–= = f x( ) x ∞–→ lim x2– 2x2 --------- x ∞–→ lim 1 2 --–= = f x( ) x + ∞→ lim x2– 2x2 --------- x + ∞→ lim 1 2 --–= = f x( ) ∞– + ∞ f x( ) x3– x 1–+ 2x 1+ ---------------------------= f x( ) 2x– 1+ x2 2+ -------------------= f x( ) 2x3 1– 5x3 x+ -----------------= f x( ) x ∞–→ lim x3– 2x --------- x ∞–→ lim x2 2 -----– x ∞–→ lim ∞–= = = f x( ) x + ∞→ lim x3– 2x --------- x + ∞→ lim x2 2 -----– x + ∞→ lim ∞–= = = f x( ) x ∞–→ lim 2x– x2 --------- x ∞–→ lim 2– x ------ x ∞–→ lim 0= = = f x( ) x + ∞→ lim 2x– x2 --------- x + ∞→ lim 2– x ------ x + ∞→ lim 0= = = f x( ) x ∞–→ lim 2x3 5x3 -------- x ∞–→ lim 2 5 --= = f x( ) x + ∞→ lim 2x3 5x3 -------- x + ∞→ lim 2 5 --= = f x( ) P x( ) Q x( ) -----------= d°P f x( ) P x( ) Q x( ) -----------= d°P d°Q> d°P d°Q< d°P d°Q= f ∞ lim ∞= f ∞ lim 0= f ∞ lim L= ∞ ∞– + ∞ Exemple ¶ © Cned – Académie en ligne
  • 14. Séquence 3 – MA0178 ³ Limite obtenue par comparaison Énoncé Soit f et u les fonctions définies par et . Les courbes Ꮿ et ᏼ représentatives de f et u sont sur la figure 9. ³ Donner, d’après le graphique, les positions relatives des deux courbes Ꮿ et ᏼ. Comment peut-on le justifier ? · En déduire les limites de f en et en . Fig. 9 Fig. 10 Solution ³ D’après le graphique de la figure 9, la courbe Ꮿ est située au-dessus de la parabole ᏼ pour x non nul. On a : . Donc . Ceci montre bien que Ꮿ est toujours au-dessus de ᏼ. · On sait que . D’où . Énoncé Soit f et v les fonctions définies par et . Les courbes Ꮿ et représentant respectivement f et v sont sur la figure 10. ³ Donner, d’après le graphique, les positions relatives des deux courbes Ꮿ et . Comment peut-on le justifier ? · En déduire les limites de f en et en . Limite obtenue par comparaison ou par encadrementD f x( ) x2 1 x2 -----+= u x( ) x2= ∞– + ∞ O 1 –1 1 Ꮿ y = x2 + Ꮿ 1 x2 ᏼ y = x2 O 1 –1 1 Ꮿ y = x3 + Ꮿ 1 x C 1 3 (C) y = x31 3 f x( ) x2– 1 x2 -----= f x( ) x2– 0> x2 f x( )≤ x2 x ∞–→ lim + ∞= x2 x + ∞→ lim + ∞= ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ f x( ) x ∞–→ lim f x( ) x + ∞→ lim + ∞= = f x( ) 1 3 -- x3 1 x --+= v x( ) 1 3 -- x3= C( ) C( ) ∞– + ∞ Exemple º Exemple ¾ © Cned – Académie en ligne
  • 15. 79Séquence 3 – MA01 Solution ³ D’après le graphique de la figure 10, on peut dire que : ̈ sur , Ꮿ est en dessous de . ̈ sur , Ꮿ est au-dessus de . On a : . Si , alors et . Si , alors et . Ceci confirme la conjecture faite sur le graphique. · ̈ Sur , on a . On sait que . Donc . ̈ Sur , on a . On sait que . Donc . Dans les exemples º et ¾, on vient de voir que : ̈ une fonction f plus grande qu’une fonction u qui tend vers tend elle aussi vers . ̈ une fonction f plus petite qu’une fonction v qui tend vers tend elle aussi vers . On peut énoncer les deux propriétés suivantes. Propriété º ̈ Si • pour tout , • alors . ̈ Si • pour tout , • alors . Propriété ¾ ̈ Si • pour tout , • alors . ̈ Si • pour tout , • alors . ] ∞ ; 0[– C( ) ]0 ; + ∞[ C( ) f x( ) 1 3 -- x3– 1 x --= x 0< 1 x -- 0< f x( ) 1 3 -- x3< x 0> 1 x -- 0> f x( ) 1 3 -- x3> ] ∞ ; 0[– f x( ) 1 3 -- x3< 1 3 -- x3 x ∞–→ lim ∞–= f x( ) x ∞–→ lim ∞–= ]0 ; + ∞[ f x( ) 1 3 -- x3> 1 3 -- x3 x + ∞→ lim + ∞= f x( ) x + ∞→ lim + ∞= + ∞ + ∞ ∞– ∞– x A ; + ∞[[∈ u x( ) f x( )≤ u x( ) x + ∞→ lim + ∞= f x( ) x + ∞→ lim + ∞= x ∈ ] ∞ ; A]– u x( ) f x( )≤ u x( ) x ∞–→ lim + ∞= f x( ) x ∞–→ lim + ∞= x A ; + ∞[[∈ f x( ) v x( )≤ v x( ) x + ∞→ lim ∞–= f x( ) x + ∞→ lim ∞–= x ∈ ] ∞ ; A]– f x( ) v x( )≤ v x( ) x ∞–→ lim ∞–= f x( ) x ∞–→ lim ∞–= © Cned – Académie en ligne
  • 16. Séquence 3 – MA0180 · Limite obtenue par encadrement Énoncé Soit f la fonction définie sur par et Ꮿ sa courbe représentative. Soit v la fonction définie sur par et sa courbe représentative. Soit Ᏸ la droite d’équation . Les courbes Ꮿ, et Ᏸ sont sur la figure 11. ³ Conjecturer les positions relatives de Ꮿ, et Ᏸ. · Montrer que, pour , . » Déterminer et en déduire . Fig. 11 Solution ³ On conjecture, d’après le graphique, que la courbe Ꮿ est située au-dessus de la droite Ᏸ et en des- sous de . · On a . Comme , et . Ainsi . On a . Pour , on peut écrire : . d’où . Ainsi . En prenant les deux conditions sur , on obtient, pour tout , . 1 ; + ∞[[ f x( ) 2 x 1– x ---------------+= 1 ; + ∞[[ v x( ) 2 1 x ------+= C( ) y 2= C( ) C( ) x 1≥ 2 f x( ) v x( )≤ ≤ v x( ) x + ∞→ lim f x( ) x + ∞→ lim O 1 1 2 2 (C) (C) y = 2 + 1 3 x Ꮿ y = 2 + x x – 1 Ꮿ Ᏸ y = 2 C( ) f x( ) 2– x 1– x ---------------= x 1≥ x 1– 0≥ x 0> f x( ) 2– 0≥ v x( ) f x( )– 1 x ------ x 1– x ---------------– x x 1–– x ----------------------------= = x 1≥ 0 x 1– x≤ ≤ 0 x 1– x≤ ≤ x x 1–– 0≥ v x( ) f x( )– 0≥ f x( ) x 1≥ 2 f x( ) v x( )≤ ≤ Exemple µ © Cned – Académie en ligne
  • 17. 81Séquence 3 – MA01 » car . Comme est compris entre le nombre 2 et une expression qui tend vers 2 en , on conçoit intuitivement que ne peut tendre que vers 2. Ainsi . Dans l’exemple µ, on vient de voir qu’une fonction f encadrée par deux fonctions qui ont même limite L (ici ) ne peut que tendre vers L. On peut énoncer la propriété suivante : Cette propriété est parfois appelée propriété, ou plutôt, théorème des gendarmes. Le dessin suivant peut aider à comprendre cette appellation. ³ Étude d’un exemple Énoncé Soit f la fonction définie sur ‫ޒ‬ par . ³ Montrer que l’on peut écrire , la fonction v étant la fonction « racine carrée ». · Déterminer et en déduire . Solution ³ On peut décomposer f sur ‫ޒ‬ comme suit : . Propriété µ ̈ Si • pour tout , • alors . ̈ Si • pour tout , • alors . v x( ) x + ∞→ lim 2 1 x ------+ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ x + ∞→ lim 2= = 1 x ------ x + ∞→ lim 0= f x( ) + ∞ f x( ) v x( ) x + ∞→ lim 2 et f x( ) x + ∞→ lim 2= = L 2= x A ; + ∞[[∈ u x( ) f x( ) v x( )≤ ≤ u x( ) x + ∞→ lim v x( ) x + ∞→ lim L= = f x( ) x + ∞→ lim L= x ∈ ] ∞ ; A]– u x( ) f x( ) v x( )≤ ≤ u x( ) x ∞–→ lim v x( ) x ∞–→ lim L= = f x( ) x ∞–→ lim L= u (x) f (x) v (x) L < < } Limite d’une fonction composéeE f x( ) 4x2 x 1+ + x2 1+ --------------------------= f v Ⴆ u= u x( ) x + ∞→ lim f x( ) x + ∞→ lim x u 4x2 x 1+ + x2 1+ -------------------------- X v X x f v Ⴆ u= 4x2 x 1+ + x2 1+ -------------------------- Remarque Exemple ¸ © Cned – Académie en ligne
  • 18. Séquence 3 – MA0182 · La fonction u est une fonction rationnelle. On a . On sait que . Comme , . Ainsi . On peut présenter la limite de f de la manière suivante : d’où . · Limite de On admet la propriété suivante qui généralise ce qui précède. ̈ Les lettres a, b, c peuvent désigner soit des réels finis, soit , soit . ̈ Bien voir que la lettre intervient toujours, au moins, deux fois. ̈ Il est possible d’avoir . Soit P et Q les fonctions polynômes définies sur ‫ޒ‬ par : et . Déterminer les limites de P et de Q à l’infini. Soit f la fonction définie pour par : . ³ Déterminer . · Déterminer les limites de f à l’infini. Soit f la fonction définie pour par : . ³ Déterminer . · Déterminer les limites de f à l’infini. Déterminer les limites à l’infini des trois fonctions f, g et h définies par : ; ; . Propriété ¸ Si alors u x( ) x + ∞→ lim 4x2 x2 -------- x + ∞→ lim 4= = f x( ) v u x( )( ) u x( )= = u x( ) x + ∞→ lim 4= f x( ) x + ∞→ lim 4 2= = u x( ) x + ∞→ lim 4 et f x( ) x + ∞→ lim 2= = u x( ) x + ∞→ lim 4= v X( ) X 4→ lim 2= ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ f x( ) x + ∞→ lim 2= v Ⴆ u u x( ) x a→ lim b= v X( ) X b→ lim c= ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ v Ⴆ u( ) x( ) x a→ lim c= ∞– + ∞ b a b c= = Exercices d’apprentissage (Série 1)F P x( ) 3x2– 5x 1–+= Q x( ) 4x3 2x– 1–= x 2–≠ f x( ) 3– x 2+( )2 -------------------= f 2– lim x 2–≠ f x( ) x 1– 2x 4+ ---------------= f 2– lim f x( ) x 1+ x 2+( )2 -------------------= g x( ) 1 x x2+ + 1 x– 3x2+ --------------------------= h x( ) x2– 2x 3+ + x 4– -------------------------------= Remarque Remarques Exercice ³ Exercice · Exercice » Exercice ¿ © Cned – Académie en ligne
  • 19. 83Séquence 3 – MA01 Soit f la fonction définie sur ‫ޒ‬ par . Déterminer les limites de f à l’infini. Soit f la fonction définie pour par : . ³ Déterminer les limites de f à l’infini. · Déterminer la limite de f quand x tend vers trois. Dans ce paragraphe, on considère le plan muni d’un repère orthogonal . ³ Asymptote parallèle à l’axe des ordonnées Étude d’un exemple Énoncé Soit f la fonction définie pour par . ³ Déterminer la limite de f quand x tend vers 1. · Que peut-on penser, intuitivement, de la courbe Ꮿ représentant f lorsque x est proche de 1 ? Solution ³ Quand on obtient : d’où . · Appelons Ꮿ la courbe représentative de f et Δ la droite verti- cale d’équation . Intuitivement, lorsque x se rapproche de 1 (en étant soit inférieur à 1, soit supérieur à 1), on peut penser que Ꮿ se rapprochera de la droite Δ (voir figure 12). Fig. 12 Définition d’une asymptote verticale Soit a un réel fini. Si la limite de f en a est infinie, on dit que la droite d’équation est asymptote verticale à la courbe représentative de f. Ainsi ̈ dans l’exercice ·, la droite d’équation est asymptote verticale à Ꮿ. ̈ dans l’exercice », la droite d’équation est asymptote verticale à Ꮿ. f x( ) x2 2+ 9x2 1+ -----------------= x 3≠ f x( ) 2x– 1 4 x 3– -----------–+= Notion d’asymptoteG ᏾ O ; i j,( )= x 1≠ f x( ) 2x x 1–( )2 ------------------= x 1→ 2x x 1→ lim 2= x 1–( )2 x 1→ lim 0+= ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ f x( ) x 1→ lim + ∞= 1 0 1 Ꮿ Δ x = 1 x 1= x a= x 2–= x 2–= Exercice ´ Exercice ² Exemple ¹ Définition ³ © Cned – Académie en ligne
  • 20. Séquence 3 – MA0184 On peut illustrer la définition en donnant quelques représentations graphiques admettant des asymp- totes verticales (voir figure 13). Fig. 13 ̈ Une courbe peut avoir plusieurs asymptotes verticales. ̈ Une courbe ne peut jamais traverser une asymptote verticale. · Asymptote parallèle à l’axe des abscisses Étude d’un exemple Énoncé Soit f la fonction définie sur ‫ޒ‬ par et Ꮿ sa courbe représentative. ³ Déterminer la limite de f à l’infini. · Que peut-on penser, intuitivement, de la courbe Ꮿ représentative de f à l’infini ? » Vérifier que peut s’écrire . En déduire les positions relatives de Ꮿ et de la droite Δ d’équation . Solution ³ La fonction f est une fonction rationnelle. . . · Soit Ꮿ la courbe représentative de f et Δ la droite horizontale d’équation . Intuitivement on peut penser qu’à l’infini (soit en , soit en ) la courbe Ꮿ se rapprochera de Δ. » On peut écrire : . D’où . Cherchons le signe de . Comme , on a . x y x x yy 0 0 0 x y 0 f x( ) x2 1– 2x2 1+ -----------------= f x( ) f x( ) 1 2 -- 3 2 2x2 1+( ) -------------------------–= y 1 2 --= f x( ) x ∞–→ lim x2 2x2 -------- x ∞–→ lim 1 2 --= = f x( ) x + ∞→ lim x2 2x2 -------- x + ∞→ lim 1 2 --= = y 1 2 --= ∞– + ∞ 1 2 -- 3 2 2x2 1+( ) -------------------------– 2x2 1+( ) 3– 2 2x2 1+( ) ------------------------------- 2 x2 1–( ) 2 2x2 1+( ) ------------------------- x2 1– 2x2 1+ -----------------= = = f x( ) 1 2 -- 3 2 2x2 1+( ) -------------------------–= f x( ) 1 2 --– 3 2 2x2 1+( ) -------------------------–= 2x2 1 0>+ f x( ) 1 2 --– 0< Remarques Exemple Ƹ © Cned – Académie en ligne
  • 21. 85Séquence 3 – MA01 Ceci signifie, comme , que la courbe Ꮿ est toujours située en dessous de la droite horizontale Δ d’équation (voir figure 14). Fig. 14 Définition d’une asymptote horizontale La lettre b désigne un réel fini. ̈ Si la limite de f en est égale à b, on dit que la droite d’équation est asymptote horizon- tale à la courbe représentative de f en . ̈ Si la limite de f en est égale à b, on dit que la droite d’équation est asymptote horizon- tale à la courbe représentative de f en . Ainsi : ̈ dans l’exemple ², la droite Δ d’équation est asymptote horizontale à Ꮿ en et en . ̈ dans l’exemple µ, la droite Δ d’équation est asymptote horizontale à Ꮿ en . On peut illustrer la définition en donnant quelques représentations graphiques admettant des asymp- totes horizontales (voir figure 15). Fig. 15 ̈ Une courbe peut avoir une asymptote horizontale seulement en (ou en ). ̈ Une courbe peut traverser une asymptote horizontale. f x( ) 1 2 --< y 1 2 --= O 1–1 1 1/2 –1 Ᏸ y = 1 2 Ꮿ y = 2 x2 + 1 x2 – 1 + ∞ y b= + ∞ ∞– y b= ∞– y 1 2 --–= ∞– + ∞ y 2= + ∞ x y O x y O x y O x y O + ∞ ∞– Définition · Remarques © Cned – Académie en ligne
  • 22. Séquence 3 – MA0186 » Asymptote oblique Étude d’un exemple Énoncé Soit f la fonction définie sur ‫ޒ‬ par et Ꮿ sa courbe représentative. On appelle Δ la droite d’équation . ³ Déterminer les limites de f à l’infini. · Montrer que . Que peut-on penser intuitivement de la courbe Ꮿ en et en ? » Trouver les positions relatives de Ꮿ et Δ. Solution ³ d’où . d’où . · On a . . Intuitivement, on peut penser qu’à l’infini (soit en , soit en ) la courbe Ꮿ se rapprochera de Δ. » D’après ce qui précède, . Comme , . Ceci signifie, comme , que la courbe Ꮿ est toujours située au-dessus de la droite obli- que Δ d’équation (voir figure 16). Fig. 16 f x( ) 2x 1– 3 x2 1+ --------------+= y 2x 1–= f x( ) 2x 1–( )–[ ] x ∞–→ lim f x( ) 2x 1–( )–[ ] x + ∞→ lim 0= = ∞– + ∞ 2x 1–( ) x ∞–→ lim ∞–= 3 x2 1+ -------------- x ∞–→ lim 0= ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ f x( ) x ∞–→ lim ∞–= 2x 1–( ) x + ∞→ lim + ∞= 3 x2 1+ -------------- x + ∞→ lim 0= ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ f x( ) x + ∞→ lim + ∞= f x( ) 2x 1–( )–[ ] x ∞–→ lim 3 x2 1+ -------------- x ∞–→ lim 0= = f x( ) 2x 1–( )–[ ] x + ∞→ lim 3 x2 1+ -------------- x + ∞→ lim 0= = ∞– + ∞ f x( ) 2x 1–( )– 3 x2 1+ --------------= x2 1 0>+ f x( ) 2x 1–( )– 0> f x( ) 2x 1–> y 2x 1–= O 1–1 1 2 –1 Ꮿ y = 2 x – 1 + 3 x2 + 1 Ᏸ y = 2 x – 1 Exemple ƹ © Cned – Académie en ligne
  • 23. 87Séquence 3 – MA01 Définition d’une asymptote oblique ̈ Si , on dit que la droite d’équation est asymptote obli- que à la courbe représentative de f en . ̈ Si , on dit que la droite d’équation est asymptote obli- que à la courbe représentative de f en . On peut donner une autre définition qui est équivalente à la définition ». ̈ Si avec , on dit que la droite d’équation est asymptote oblique à Ꮿ en . ̈ Si avec , on dit que la droite d’équation est asymptote oblique à Ꮿ en . Ainsi, dans l’exercice ², la droite Δ d’équation est asymptote oblique à Ꮿ en et en . On peut illustrer la définition en donnant quelques courbes admettant des asymptotes obliques (voir figure 17). Fig. 17 ̈ Une courbe peut traverser une asymptote oblique. ̈ Une courbe peut avoir deux asymptotes obliques, une en et une autre en . ¿ Positions relatives d’une courbe Ꮿ et d’une asymptote horizontale ou oblique Cas de l’asymptote horizontale Énoncé On reprend la fonction f de l’exemple µ définie sur par . On désigne par Ꮿ la courbe représentant f et Δ la droite d’équation . ³ Sachant que l’on a déjà montré que , en déduire que la droite Δ est asymptote à Ꮿ en . · Déterminer la position de Ꮿ par rapport à Δ. Solution ³ On sait que . f x( ) ax b+( )–[ ] x ∞–→ lim 0= y ax b+= ∞– f x( ) ax b+( )–[ ] x + ∞→ lim 0= y ax b+= + ∞ f x( ) ax b ε x( )+ += ε x( ) x ∞–→ lim 0= y ax b+= ∞– f x( ) ax b ε x( )+ += ε x( ) x + ∞→ lim 0= y ax b+= + ∞ y 2x– 1+= ∞– + ∞ x y O x y O x y O x y O ∞– + ∞ 1 ; + ∞[[ f x( ) 2 x 1– x ---------------+= y 2= f + ∞ lim 2= + ∞ f + ∞ lim 2= Définition » Définition ¿ Remarques Exemple ƺ © Cned – Académie en ligne
  • 24. Séquence 3 – MA0188 Comme la limite de f en est un réel fini (ici c’est 2), on en déduit que : · On cherche le signe de . On a . On sait que . On a donc et , d’où . Dans l’exemple traité, on a appliqué une méthode pour étudier la position d’une courbe par rapport à une asymptote horizontale. Cette méthode peut s’appliquer à n’importe quelle fonction. Cas de l’asymptote oblique Énoncé On reprend la fonction f de l’exercice ² définie pour par . On désigne par Ꮿ la courbe représentative de f et Δ la droite d’équation . ³ Déterminer et . En déduire que Ꮿ est asymptote à Δ en et en . · Étudier les positions relatives de Ꮿ et Δ. Solution ³ On a . Comme , on en déduit : . Ceci prouve que : · On cherche le signe de . On a . Le signe de change pour . la droite Δ d’équation est asymptote horizontale à Ꮿ en . Pour , Ꮿ et Δ ont un point commun. Pour , Ꮿ est au-dessus de Δ. Propriété ¹ Soit Ꮿ la courbe représentative de f et Δ une asymptote horizontale d’équation . Pour étudier la position de Ꮿ par rapport à Δ, on étudie le signe de la différence . ̈ lorsque , Ꮿ est au-dessus de Δ. ̈ lorsque , Ꮿ est en dessous de Δ. ̈ lorsque , Ꮿ et Δ ont un point commun. la droite Δ d’équation est asymptote oblique à Ꮿ en et en . + ∞ y 2= + ∞ f x( ) 2– f x( ) 2– x 1– x ---------------= x 1≥ x 0> x 1– 0≥ f x( ) 0≥ x 1= x 1> y b= f x( ) b– f x( ) b 0>– f x( ) b– 0< f x( ) b– 0= x 3≠ f x( ) 2x– 1 4 x 3– -----------–+= y 2x– 1+= f x( ) 2x– 1+( )–[ ] x ∞–→ lim f x( ) 2x– 1+( )–[ ] x + ∞→ lim ∞– + ∞ f x( ) 2x– 1+( )– 4– x 3– -----------= 4– x 3– ----------- x ∞–→ lim 4– x 3– ----------- x + ∞→ lim 0= = f x( ) 2x– 1+( )–[ ] x ∞–→ lim f x( ) 2x– 1+( )–[ ] x + ∞→ lim 0= = y 2x– 1+= ∞– + ∞ f x( ) 2x– 1+( )– f x( ) 2x– 1+( )– 4– x 3– -----------= x 3– x 3= Exemple ƻ © Cned – Académie en ligne
  • 25. 89Séquence 3 – MA01 On peut faire un tableau rassemblant tous les résultats. La méthode précédente peut s’appliquer à n’importe quelle fonction. Soit f la fonction définie pour par et Ꮿ sa courbe représentative dans un repère ᏾. ³ Étudier la limite de f à l’infini. En déduire que Ꮿ possède une asymptote horizontale. Situer Ꮿ par rapport à cette asymptote. · Déterminer la limite de f en . Que peut-on en déduire ? x 3 – – – 0 + + – positions Ꮿ est au-dessus de Δ Ꮿ est en dessous de Δ Conclusion Propriété Ƹ Soit Ꮿ la courbe représentative de f et Δ une asymptote oblique d’équation . Pour étudier la position de Ꮿ par rapport à Δ, on étudie le signe de la différence . ̈ Lorsque , Ꮿ est au-dessus de Δ. ̈ Lorsque , Ꮿ est en dessous de Δ. ̈ Lorsque , Ꮿ et Δ ont un point commun. ∞– + ∞ 4– x 3– 4– x 3– ------------ Ꮿ est au-dessus de Δ sur ] ∞ ; 3 .[– Ꮿ est en dessous de Δ sur ]3 ; + ∞ .[ y ax b+= f x( ) ax b+( )– f x( ) ax b+( )– 0> f x( ) ax b+( )– 0< f x( ) ax b+( )– 0= Exercices d’apprentissage (Série 2)H x 1–≠ f x( ) 2– x 1+( )2 -------------------= 1– Exercice ᕧ © Cned – Académie en ligne
  • 26. Séquence 3 – MA0190 Les courbes suivantes sont les courbes représentatives de quatre fonctions. Préciser, dans chaque cas, l’ensemble de définition de la fonction et les équations des asymptotes à la courbe (voir figure 8). On donne . ³ Pour quelles valeurs de x la fonction f est-elle définie ? · Trouver les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. » Montrer que la droite d’équation est asymptote oblique à la courbe repré- sentative de f. Quelle est l’équation de l’autre asymptote à ? ¿ Quelles sont les positions relatives de et de ? Soit f la fonction définie sur ‫ޒ‬ par et sa courbe représentative dans un repère ᏾. Démontrer que est asymptote à une courbe simple dont on donnera l’équation. Donner les positions relatives des deux courbes. 0 i –2 (C1) j 0 i–2 –1 (C2) j 2 0 i –1 (C3) j 0 i –2 (C4) j Fig. 8 f x( ) x– 2 x x 1–( )2 ------------------+ += D( ) y x– 2+= C( ) C( ) C( ) D( ) f x( ) x2 x x2 1+ --------------+= C( ) C( ) Exercice ᕨ Exercice ᕩ Exercice µ © Cned – Académie en ligne
  • 27. 91Séquence 3 – MA01 Synthèse ̈ Opérations sur les limites • On suppose que L et sont deux réels finis alors que α peut désigner soit un réel fini, soit , soit . Si et si alors . • ; ; . ̈ Formes indéterminées (ou abrégé FI) ̈ Fonctions polynômes et fonctions rationnelles à l’infini • La limite d’un polynôme à l’infini est la limite de son terme de plus haut degré. • La limite d’une fonction rationnelle à l’infini est la limite du rapport de ses termes de plus haut degré. ̈ Limite obtenue par comparaison • Si pour alors • Si pour alors • On a deux énoncés analogues en remplaçant par (dans ce cas ). ̈ Limite obtenue par encadrement Si pour alors . somme produit quotient L′ ∞– + ∞ u α lim L= v α lim L′= u v+( ) α lim L L′+= uv( ) α lim LL′= 1 v -- ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ α lim 1 L′ ---- si L′ 0≠= u v -- ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ α lim L L′ ---- si L′ 0≠= ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ 1 x a– ----------- x a→ lim ∞–= < 1 x a– ----------- x a→ lim + ∞= > 1 x a–( )2 ------------------ x a→ lim + ∞= + ∞( ) ∞–( )+ ∞ 0× 0 0 -- ∞ ∞ ---- x A u x( ) f x( )≤ u x( ) x + ∞→ lim + ∞= ⎩ ⎨ ⎧ ≥ f x( ) x + ∞→ lim + ∞= x A f x( ) v x( )≤ v x( ) x + ∞→ lim – ∞= ⎩ ⎨ ⎧ ≥ f x( ) x + ∞→ lim ∞–= x + ∞→ x ∞–→ x A≤ x A u x( ) f x( ) v x( )≤≤ u x( ) x + ∞→ lim v x( ) x + ∞→ lim L= = ⎩ ⎨ ⎧ ≥ f x( ) x + ∞→ lim L= © Cned – Académie en ligne
  • 28. Séquence 3 – MA0192 Cas particulier Si pour alors . • On a deux énoncés analogues en remplaçant par (dans ce cas ). • Ce théorème est parfois appelé « théorème des gendarmes ». ̈ Limite d’une fonction composée Si alors ̈ Asymptotes • La droite d’équation (avec a fini) est asymptote verticale à si on a (ou ). • La droite d’équation (avec b fini) est asymptote horizontale à en si on a (on peut remplacer par ). • La droite d’équation est asymptote oblique à en si on a . On peut aussi dire que la droite d’équation est asymptote oblique à en si on a : et . (on peut remplacer par ). ➠ x A 0 f x( ) v x( )≤≤ v x( ) x + ∞→ lim 0= ⎩ ⎨ ⎧ ≥ f x( ) x + ∞→ lim 0= x + ∞→ x ∞–→ x A≤ u a lim „ et si v „ lim c= = Idem (nombre fini ou non) v Ⴆ u a lim c= (a et c finis ou non) x a= Ꮿf f a lim + ∞= f a lim ∞–= y b= Ꮿf + ∞ f + ∞ lim b= + ∞ – ∞ y ax b+= Ꮿf + ∞ f x( ) ax b+( )–[ ] x + ∞→ lim 0= y ax b+= Ꮿf + ∞ f x( ) ax b ε x( )+ += ε x( ) x + ∞→ lim 0= + ∞ – ∞ © Cned – Académie en ligne
  • 29. 93Séquence 3 – MA01 Exercices d’entraînement Soit f la fonction définie pour par : et Ꮿ sa courbe représentative. ³ Étudier la limite de f quand x tend vers . Que peut-on en conclure ? · Déterminer les limites de f à l’infini. » Montrer que la droite Δ d’équation est asymptote oblique à Ꮿ à l’infini. Étudier les positions relatives de Ꮿ et de Δ. Soit f la fonction définie sur par et Ꮿ sa courbe représentative. ³ Déterminer les limites de f en . Que peut-on en déduire ? · Déterminer les limites de f à l’infini. En déduire que Ꮿ possède une droite asymptote Δ. » Vérifier que . Étudier les positions relatives de Ꮿ et de Δ. Soit f la fonction définie sur ‫ޒ‬ par et Ꮿ sa courbe représentative. ³ Étudier les limites de f à l’infini. Montrer que Ꮿ possède une asymptote Δ. Situer Ꮿ par rapport à Δ. · On pose, pour tout x réel, . On appelle la courbe représentative de g, dans le même repère. Déterminer les limites de g à l’infini. Montrer que possède une asymptote . Situer par rapport à . Soit f la fonction définie sur l’ensemble par et Ꮿ sa courbe représentative dans un repère orthogonal (unités graphiques : 2 cm en abscisse, 1 cm en ordonnée). ³ Déterminer les limites de f en 2. Que peut-on en déduire ? · Déterminer les limites de f à l’infini. Montrer que Ꮿ admet une asymptote Δ dont on donnera l’équation. Situer Ꮿ par rapport à Δ. » Déterminer la dérivée de f ainsi que le signe de cette dérivée. Dresser le tableau de variation de f. ¿ Soit A le point où Ꮿ coupe son asymptote Δ. Donner les coordonnées de A. On désigne par la tangente à Ꮿ en A. Trouver une équation de . x 2–≠ f x( ) x 1 x 1– x 2+( )2 -------------------+ += 2– y x 1+= E = ] ∞– ; 1– [ ∪ ] 1– ; + ∞[ f x( ) x2 4x+ x 1+( )2 -------------------= 1– f x( ) 1 2x 1– x 1+( )2 -------------------+= f x( ) 4x2 2+ x2 1+ -----------------= g x( ) f x( )= C( ) C( ) D( ) C( ) D( ) E = ] ∞– ; 2[ ∪ ]2 ; + ∞[ f x( ) x2 x 2–( )2 ------------------= O ; i j,( ) T( ) T( ) Exercice ¸ Exercice ¹ Exercice Ƹ Exercice ƹ © Cned – Académie en ligne
  • 30. Séquence 3 – MA0194 ´ Tracer les asymptotes, la tangente en A et la courbe Ꮿ. ² On voit sur le graphique que coupe Ꮿ en un point K. Conjecturer graphiquement les coordon- nées de K et le vérifier par le calcul. Résoudre graphiquement l’inéquation . Soit f la fonction définie sur ‫ޒ‬ par et Ꮿ sa courbe représentative dans un repère orthogonal (unités graphiques : 2 cm en abscisse et 4 cm en ordonnée). ³ Déterminer les limites de f à l’infini. En déduire l’existence d’une asymptote Δ à la courbe Ꮿ. Étudier les positions relatives de Ꮿ et de Δ. · Déterminer la dérivée et étudier son signe. En déduire les variations de f sur ‫.ޒ‬ » Tracer Δ et Ꮿ. La courbe Ꮿ présente une particularité : laquelle ? Pouvait-on le prévoir dès le début ? T( ) f x( ) 4x 3–≤ f x( ) 2 x2 x4 1+ --------------–= O ; i j,( ) f′ x( ) Exercice ƺ © Cned – Académie en ligne
  • 31. 95Séquence 3 – MA01 Aides aux exercices d’entraînement ³ Le dénominateur tend toujours vers . Attention au signe du numérateur. · Appliquer la règle donnant la limite à l’infini d’une fonction rationnelle. Ne pas oublier ensuite . » On cherche la limite, puis le signe, de . ³ Le dénominateur tend toujours vers . · Règle donnant la limite à l’infini d’une fonction rationnelle. » On écrit sous le même dénominateur. Étudier le signe de . ³ Règle donnant la limite à l’infini d’une fonction rationnelle. On obtient l’équation de Δ et on cherche le signe de . · On peut écrire g comme une fonction composée : . Pour situer par rapport à , le plus simple est d’utiliser le fait que . La fonction « racine carrée » conserve l’ordre des nombres. ³ Le dénominateur tend vers . · Règle donnant la limite à l’infini d’une fonction rationnelle. On étudie le signe de . » On écrit et on utilise la formule donnant la dérivée d’un quotient. On peut simplifier par mais ce n’est pas conseillé. Dans ce cas la valeur annule le numérateur mais pas la dérivée. ¿ Chercher l’abscisse de A revient à résoudre . On peut le faire en utilisant la question ᕢ. Le coefficient directeur de est . On écrit ensuite l’équation de sous la forme . On trouve p en écrivant que passe par A. ´ Faire attention aux unités.Tracer les asymptotes et la tangente avant la courbe. ² Il est facile de conjecturer les coordonnées de K. On peut aussi le vérifier sur l’écran de sa calculatrice. Résoudre revient à chercher quand la courbe Ꮿ est située en dessous (au sens large) de la tangente . ³ La fraction rationnelle tend vers 0 à l’infini.On peut étudier le signe de . La courbe et l’asymptote ont un point commun. · On dérive un quotient. Essayer de factoriser au maximum le numérateur. La dérivée s’annule pour trois valeurs. » Attention aux unités. La courbe admet trois tangentes horizontales. On peut montrer que la courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées en montrant que f est paire. ■ 0+ x 1+ f x( ) x 1+( )– 0+ 1 2x 1– x 1+( )2 -------------------+ f x( ) 1– f x( ) 4– g u Ⴆ f= C( ) D( ) 0 f x( ) 4< < 0+ f x( ) 1– f u v --= f′ x( ) x 2–( ) x 2= f x( ) 1= T( ) f′ 1( ) T( ) y f′ 1( )x p+= T( ) f x( ) 4x 3–≤ T( ) x2 x4 1+ -------------- f x( ) 2– Exercice ¸ Exercice ¹ Exercice Ƹ Exercice ƹ Exercice ƺ © Cned – Académie en ligne