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³ Traduisons les pourcentages donnés dans l’énoncé en termes de probabilités.
On sait que : ...
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Soit X une loi numérique prenant n valeurs distinctes notées .
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On démontre que la variance d’une loi numérique X peut s’exprimer par une formule plus simple.
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̈ à chaque nœud, il y a 2 branches qui p...
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On rassemble tous ces résultats dans un tableau.
c) L’espérance mathématique de X est égale à 2,8.
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On sait que dans le groupe R, il y a deux fois plus d’hommes que de femmes,
d’où et .
³ a) On vient d...
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̈ Si deux exactement pratiquent la randonnée.
On observe trois chemins possibles de probabilité chacu...
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Énoncé
On lance une fois un dé cubique, non pipé, dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
On appelle...
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· On peut obtenir 0, 1, 2 ou 3 succès lors des trois lancers.
L’arbre pondéré représente bien un sché...
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On en déduit le résultat suivant :
Dans la pratique, on se limitera à des petites valeurs de n (en pr...
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Indiquer le montant du gain algébrique qu’il faut attribu...
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D’autre part, parmi les tailles no 1, 30 % des pantalons sont noirs et 50 % sont bleus. Enfin pour cha...
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Synthèse
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On définit une loi numérique X en associant à chaque résultat d’une expérienc...
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Un schéma de Bernoulli peut être illustré par un arbre.
Ci-dessous on donne l’arbre correspondant à ....
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  1. 1. 131Séquence 5 – MA01 > Lois numériques Lois de Bernoulli © Cned – Académie en ligne
  2. 2. 133Sommaire séquence 5 – MA01 Lois numériques Schéma de Bernoulli - Loi binomiale Exercices d’apprentissage AA ABB AC Chapitre 1 > Cours ...............................................................................................................................................................................135 Chapitre 3 > Exercices d’entraînement .......................................................................................................155 Chapitre 4 > Aide aux exercices d’entraînement ....................................................................158 Chapitre 2 > Synthèse ..................................................................................................................................................................153 © Cned – Académie en ligne
  3. 3. 135Séquence 5 – MA01 Cours Lois numériquesA ᕡ Étude de 3 exemples Somme de deux dés Énoncé On va simuler sur un tableur (Excel) 50 lancers de deux dés cubiques, non pipés et numérotés de 1 à 6. À chaque lancer on associe la somme des points inscrits sur les faces supérieures de chacun des deux dés. Désignons cette somme par X. ³ Quelles sont les valeurs prises par X ? · Donner, d’après les résultats donnés par le tableur, les effectifs correspondant aux 11 valeurs pri- ses par X. Quelles sont les fréquences de chacune des valeurs de X ? (dans la suite on assimilera ces fréquences à des probabilités). lancer dé 1 dé 2 somme issue effectif fréquence 1 3 5 8 2 1 0,02 2 3 5 8 3 2 0,04 3 2 3 5 4 6 0,12 4 3 5 8 5 6 0,12 5 6 1 7 6 7 0,14 6 4 4 8 7 9 0,18 7 4 6 10 8 7 0,14 8 2 2 4 9 7 0,14 9 3 1 4 10 3 0,06 10 2 5 7 11 1 0,02 11 4 1 5 12 1 0,02 12 2 5 7 13 3 1 4 Total 50 1 14 3 6 9 15 1 5 6 16 6 6 12 17 1 5 6 18 5 1 6 19 6 1 7 20 2 6 8 21 3 1 4 22 3 3 6 23 1 5 6 24 4 5 9 25 2 4 6 26 6 1 7 27 1 1 2 28 2 2 4 29 4 3 7 30 3 4 7 31 3 3 6 32 5 6 11 33 1 3 4 34 2 3 5 35 6 3 9 36 4 3 7 37 2 1 3 38 5 5 10 39 4 1 5 40 1 4 5 41 5 4 9 42 1 2 3 43 2 5 7 44 4 5 9 45 3 2 5 46 5 4 9 47 5 3 8 48 5 5 10 49 3 5 8 50 6 3 9 Exemple ³ © Cned – Académie en ligne
  4. 4. Séquence 5 – MA01136 » Reproduire et compléter le tableau suivant : Calculer la somme de toutes les sommes obtenues lors des 50 lancers. Quelle est, en moyenne, la somme obtenue lors d’un lancer de deux dés ? Comment pourrait-on encore calculer cette moyenne ? La moyenne ainsi calculée s’appelle l’espérance mathématique de X et se note . ¿ Reproduire et compléter le tableau suivant : Calculer le nombre, noté , défini par : . Le nombre est la variance de X. Solution ³ La somme des points inscrits sur les deux dés est un nombre entier compris entre 2 et 12 (2 et 12 sont compris). Les valeurs prises par X sont 2, 3, 4, ..., 11, 12. · Le tableur nous donne, pour chaque valeur de X, les effectifs et les fréquences. On a donc : » En assimilant les fréquences aux probabilités, on obtient le tableau suivant : Le total des sommes obtenues lors des 50 lancers est égal à : . Pour trouver la moyenne de la somme obtenue lors d’un lancer, on divise ce total par 50. On calcule . La somme obtenue lors d’un lancer est, en moyenne, égale à 6,78. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0,02 0,02 0,04 0,24 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 144 0,02 0,02 0,08 2,88 valeur de X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 effectif 1 2 6 6 7 9 7 7 3 1 1 fréquence 0,02 0,04 0,12 0,12 0,14 0,18 0,14 0,14 0,06 0,02 0,02 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0,02 0,04 0,12 0,12 0,14 0,18 0,14 0,14 0,06 0,02 0,02 0,04 0,12 0,48 0,60 0,84 1,26 1,12 1,26 0,60 0,22 0,24 xi pi p X xi=( )= pi∑ = pixi pixi∑ = E X( ) xi xi 2 pi pixi 2 pixi 2 ∑ = V X( ) V X( ) pi xi( )2 ∑ E X( )[ ]2–= V X( ) Total 50= Somme 1= xi pi p X xi=( )= pi∑ 1= pixi pixi∑ 6 78,= 1 2×( ) 2 3×( ) 6 4×( ) 6 5×( ) 7 6×( ) 9 7×( ) 7 8×( ) 7 9×( ) 3 10×( )+ + + + + + + + 1 11×( ) 1 12×( )+ 339= 339 50 -------- 6 78,= Définition ³ Définition · © Cned – Académie en ligne
  5. 5. 137Séquence 5 – MA01 On peut aussi écrire : . . . ¿ Le tableau complété est le suivant : La variance est définie par : . D’où . La variance de X est égale à 4,851 6. Prix de l’abonnement Énoncé Une salle de spectacle propose, pour la saison, des abonnements pour 4, 5 ou 6 spectacles. Dans la population des abonnés, la répartition est la suivante : ̈ 43 % ont choisi l’abonnement 4 spectacles ; ̈ 34 % ont choisi l’abonnement 5 spectacles ; ̈ le reste a choisi l’abonnement 6 spectacles. L’abonnement pour 4 spectacles coûte 60 euros, celui pour 5 spectacles coûte 70 euros et celui pour 6 spectacles coûte 80 euros. On interroge un abonné au hasard et on désigne par X la somme (en euros) dépensée par l’abonné interrogé. ³ Reproduire et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de X (c’est-à-dire les pro- babilités de chaque valeur ). · On suppose maintenant qu’il y a 500 abonnés pour la saison 2000-2001. Calculer la somme que la directrice de la salle de spectacle reçoit, en moyenne, pour un abonnement. Proposer deux manières pour effectuer ce calcul. » Calculer la variance de X. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 0,02 0,04 0,12 0,12 0,14 0,18 0,14 0,14 0,06 0,02 0,02 0,08 0,36 1,92 3 5,04 8,82 8,96 11,34 6 2,42 2,88 60 70 80 1 2×( ) 2 3×( ) 6 4×( ) ... 1 11×( ) 1 12×( )+ + + + + 50 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 0 02, 2×( ) 0 04, 3×( ) 0 12, 4×( ) ...+ + += 0 02, 11×( ) 0 02, 12×( )+ + pixi∑= 1 2×( ) 2 3×( ) 6 4×( ) ... 1 11×( ) 1 12×( )+ + + + + 50 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 6 78,= xi xi 2 pi pixi 2 pixi 2 ∑ 50 82,= V X( ) V X( ) pi xi( )2 ∑ E X( )[ ]2–= V X( ) 50 82, 6 78,( )2–= V X( ) 4 851 6,= pi xi xi pi p X xi=( )= pi∑ = pixi pixi∑ = Exemple · © Cned – Académie en ligne
  6. 6. Séquence 5 – MA01138 ¿ a) Pour la saison 2001-2002, la directrice décide d’augmenter le prix de chaque abonnement de 5 euros. On suppose que la répartition des abonnés ne change pas. Quelle est alors la somme que la directrice de la salle de spectacle reçoit, en moyenne, pour un abonnement ? b) Si la directrice avait décidé d’augmenter, pour la saison 2001-2002, le prix de chaque abonne- ment de 5 %, quelle somme aurait-elle reçue, en moyenne, pour un abonnement ? Solution ³ Calculons le pourcentage d’abonnés qui ont choisi un abonnement 6 spectacles. On a . L’abonné étant choisi au hasard, on est en situation d’équiprobabilité. Les pourcentages connus nous permettent de donner la loi de probabilité de X. On a . On obtient alors le tableau suivant : · On sait qu’il y a 500 abonnés pour la saison 2000-2001. Comme on connaît la répartition des abonnés, on peut calculer combien il y a d’abonnés dans chacune des trois catégories. On a . La somme totale payée par les abonnés est donc égale à : . Le prix total des abonnements est égal à 34 000 euros. Comme il y a 500 abonnés, on peut calculer ce que coûte, en moyenne, un abonnement. On calcule . La directrice reçoit, en moyenne, 68 euros pour un abonnement. Autre méthode On peut écrire : Ainsi le nombre obtenu dans le tableau indique le « prix moyen » d’un abonnement. On peut dire que l’espérance mathématique de X est égale à 68. Ainsi . 60 70 80 0,43 0,34 0,23 25,8 23,8 18,4 100 43 34+( )– 23= p X 60=( ) 0 43,= p X 70=( ) 0 34,= p X 80=( ) 0 23,= xi pi p X xi=( )= pi∑ 1= pixi pixi∑ 68= 500 43 100 --------× 215= 500 34 100 --------× 170= 500 23 100 --------× 115= 215 60×( ) 170 70×( ) 115 80×( )+ + 34 000= 34 000 500 ---------------- 68= 215 60× 170 70× 115 80×+ + 500 --------------------------------------------------------------------------- 0 43, 60× 0 34, 70× 0 23, 80×+ += pixi∑= pixi∑ 68= E X( ) 68= © Cned – Académie en ligne
  7. 7. 139Séquence 5 – MA01 » Pour calculer la variance, on peut utiliser le tableau suivant : La variance est définie par : . D’où . . La variance de X est égale à 62. ¿ a) On augmente tous les abonnements de 5 euros pour la saison 2001-2002. On pourrait refaire un tableau comme celui de la question ᕡ en remplaçant 60, 70, 80 par 65, 75, 85. On peut aussi se dire que, si tous les abonnements augmentent de 5 euros, cela revient à augmenter aussi la moyenne de 5 euros. En 2001-2002 la directrice recevrait, en moyenne, 73 euros pour un abonnement. b) Si les prix des abonnements avaient augmenté de 5 %, la moyenne aurait subi la même augmen- tation (en pourcentage). Augmenter un prix de 5 % revient à le multiplier par 1,05. La moyenne est donc multipliée par 1,05. On calcule . Si les prix des abonnements avaient augmenté de 5 % en 2001-2002, le « prix moyen » d’un abonnement aurait été égal à 71,40 euros. Le patineur Énoncé Un patineur participe à une compétition. Deux de ses sauts l’inquiètent. Il ne réussit le premier saut que dans 95 % des cas. Comme il est émotif, s’il ne réussit pas ce premier saut, il rate le deuxième 3 fois sur 10 ; sinon, si tout va bien lors du premier saut, il réussit le deuxième dans 90 % des cas. Soit l’événement « le patineur réussit le premier saut ». Soit l’événement « le patineur réussit le deuxième saut ». ³ a) Calculer la probabilité de l’événement . b) Calculer la probabilité de l’événement sachant que est réalisé. c) Calculer la probabilité de l’événement sachant que n’est pas réalisé. · Construire un arbre pondéré et déterminer la probabilité de l’événement : « le patineur réussit les deux sauts ». » a) Calculer la probabilité de l’événement . b) Un spectateur, arrivé on retard, voit le patineur réussir le deuxième saut. Calculer la probabilité qu’il ait aussi réussi le premier saut (on arrondira en donnant 3 décimales). ¿ Manquer le premier saut fait perdre 0,1 point, manquer le deuxième saut fait perdre 0,2 point ; le règlement prévoit que les pénalités s’ajoutent. On désigne par X le total des pénalités obtenues par ce patineur lors de la compétition. a) Déterminer, à l’aide de l’arbre, la loi de probabilité de X. b) Calculer l’espérance mathématique de X. Quelle interprétation peut-on en faire ? 60 70 80 3 600 4 900 6 400 0,43 0,34 0,23 1 548 1 666 1 472 xi xi 2 pi pixi 2 pixi 2 ∑ 4 686= V X( ) V X( ) pixi 2 ∑ E X( )[ ]2–= V X( ) 4 686= 682– V X( ) 62= 68 1 05,× 71 4,= R1 R2 R1 R2 R1 R2 R1 R2 Exemple » © Cned – Académie en ligne
  8. 8. Séquence 5 – MA01140 Solution ³ Traduisons les pourcentages donnés dans l’énoncé en termes de probabilités. On sait que : ; ; . a) Ainsi la probabilité de l’événement est : . La probabilité de l’événement est 0,95. b) La probabilité de l’événement sachant que est réalisé est : . La probabilité de l’événement sachant que est réalisé est 0,90. c) La probabilité de l’événement sachant que n’est pas réalisé est . On a . D’où . . La probabilité de l’événement sachant que n’est pas réalisé est 0,70. · On peut construire un arbre pondéré décrivant la compétition. La probabilité de l’événement « le patineur réussit les deux sauts » est . » a) Les événements et forment un système complet d’événements. On a donc . D’où . . La probabilité de l’événement est 0,89. b) On cherche à calculer . On a la formule car . p R1( ) 0 95,= p R1 R2( ) 0 30,= pR1 R2( ) 0 90,= R1 p R1( ) 0 95,= R1 R2 R1 pR1 R2( ) 0 90,= R2 R1 R2 R1 p R1 R2( ) p R1 R2( ) p R1 R2( )+ 1= p R1 R2( ) 1 0 30,–= p R1 R2( ) 0 70,= R2 R1 R2 R2 R1 R1 R2 R2 p (R1∩ R2) = 0,95 ϫ 0,90 p (R1∩ R2) = 0,95 ϫ 0,10 p (R1∩ R2) = 0,05 ϫ 0,70 p (R1∩ R2) = 0,05 ϫ 0,30 0,95 0,05 0,90 0,10 0,70 0,30 0 valeurs de X 0,2 0,1 0,3 p R1 R2∩( ) 0 95, 0 90,× 0 855,= = R1 R1 p R2( ) p R1 R2∩( ) p R1 R2∩( )+= p R2( ) 0 95, 0 90 0 05, 0 70,×+,×= p R2( ) 0 89,= R2 PR2 R1( ) pR2 R1( ) p R1 R2∩( ) p R2( ) ---------------------------= p R2( ) 0≠ © Cned – Académie en ligne
  9. 9. 141Séquence 5 – MA01 D’où . La probabilité d’avoir réussi le premier saut sachant que le second saut est réussi est environ égale à 0,961. ¿ a) On cherche d’abord les valeurs prises par X. X peut prendre 4 valeurs, suivant le nombre de sauts ratés. Les valeurs de X sont indiquées sur l’arbre pondéré. X prend les valeurs : 0 ; 0,1 ; 0,2 ; 0,3. L’événement « » est l’événement . L’événement « » est l’événement . L’événement « » est l’événement . L’événement « » est l’événement . On a donc : . . . . On peut résumer la loi de probabilité de X dans un tableau et le compléter pour trouver l’espérance mathématique. b) L’espérance mathématique est définie par : . D’où . L’espérance mathématique est égale à 0,027. Ce résultat signifie que sur un certain nombre de compétitions réalisées dans les mêmes conditions, le patineur risque, en moyenne, une pénalité de 0,027 point par compétition. Ainsi, par exemple, pour 20 compétitions, le patineur risque d’obtenir 0,54 point de pénalité en tout. · Loi numérique Soit Ω un univers sur lequel on réalise une expérience aléatoire. Définir une loi numérique X sur Ω, c’est associer à chaque résultat de l’expérience un nombre réel, positif ou négatif, que l’on peut noter . Ainsi ̈ dans l’exemple ³, à chaque lancer de deux dés, le tableur associe la somme des points ; ̈ dans l’exemple ·, à chaque lecteur interrogé, on associe le prix de son abonnement ; ̈ dans l’exemple », à chaque compétition, on associe le total des pénalités obtenues par le patineur. On note l’événement constitué de tous les résultats pour lesquels X prend la valeur . La probabilité de l’événement est la probabilité . 0 0,1 0,2 0,3 0,855 0,035 0,095 0,015 0 0,003 5 0,019 0,004 5 pR2 R1( ) 0 855, 0 89, ------------- 0 960 67...,= = pR2 R1( ) 0 961,≈ X 0= R1 R2∩ X 0 1,= R1 R2∩ X 0 2,= R1 R2∩ X 0 3,= R1 R2∩ p X 0=( ) 0 95, 0 90,× 0 855,= = p X 0 1,=( ) 0 05, 0 70,× 0 035,= = p X 0 2,=( ) 0 95, 0 10,× 0 095,= = p X 0 3,=( ) 0 05, 0 30,× 0 015,= = xi pi p X xi=( )= pi∑ 1= pixi pixi∑ 0 027,= E X( ) E X( ) pixi∑= E X( ) 0 027,= xi X xi=( ) xi X xi=( ) pi p X xi=( )= Définition » © Cned – Académie en ligne
  10. 10. Séquence 5 – MA01142 » Loi de probabilité Soit X une loi numérique prenant n valeurs distinctes notées . Déterminer la loi de probabilité de X, c’est calculer les probabilités des événements , , ... . On note : ; ; ... ; . Déterminer la loi de probabilité de X, c’est déterminer toutes les probabilités définies par . Notation On écrit souvent la loi de probabilité de X dans un tableau comme le tableau suivant : Penser toujours à vérifier que la somme de toutes les probabilités est bien égale à 1. Ainsi . ᕤ Espérance mathématique d’une loi numérique Soit X une loi numérique définie par sa loi de probabilité pour . On peut calculer la moyenne des valeurs prises par X, ces valeurs étant pondérées par leurs probabi- lité respectives. L’espérance mathématique d’une loi numérique X est le nombre défini par : . Dans la pratique, pour calculer , on peut rajouter au tableau donnant la loi de probabilité de X une ligne donnant les valeurs pour (comme dans les exemples ³, · et »). ᕥ Variance d’une loi numérique L’espérance mathématique est un indicateur de position pour une loi numérique. Mais il arrive que des lois numériques très différentes aient la même espérance mathématique. On sait qu’en statistique la dispersion se mesure par la variance de la série statistique : cette variance est la moyenne pondérée de la série . De manière analogue, en probabilités, la variance d’une loi numérique est l’espérance mathématique de . Définition La variance d’une loi numérique X est le nombre défini par : . D’où Autre expression de la variance Lorsque l’espérance mathématique n’est pas simple, et c’est souvent le cas, la formule donnant la définition de la variance mène à des calculs assez compliqués. ... ... ... ... x1 x2 ... xn, , , X x1=( ) X x2=( ) X xn=( ) p1 p X x1=( )= p2 p X x2=( )= pn p X xn=( )= pi pi p X xi=( )= xi x1 x2 xi xn pi p X xi=( )= p1 p2 pi pn pi∑ 1= pi pi∑ p1 p2 ... pn+ + + 1= = pi p X xi=( )= 1 i n≤ ≤ E X( ) E X( ) p1x1 p2x2 ... pnxn+ + + pixi i ∑= = E X( ) pixi 1 i n≤ ≤ xi x–( )2 X E X( )–[ ]2 V X( ) V X( ) E X E X( )–( )2[ ]= V X( ) p1 x1 E X( )–( )2 p2 x2 E X( )–( )2 ... pn xn E X( )–( )2.+ + += V X( ) pi xi E X( )–( )2. i ∑= Définition ¿ Remarque Définition ´ Définition ² © Cned – Académie en ligne
  11. 11. 143Séquence 5 – MA01 On démontre que la variance d’une loi numérique X peut s’exprimer par une formule plus simple. C’est essentiellement cette dernière formule qui est utilisée pour le calcul de la variance. ³ Étude de 2 exemples Le basketteur Énoncé Le début de l’énoncé est celui de l’exercice µ de la séquence 4. On a montré que la probabilité du succès lors d’une tentative est égale à 0,7. On suppose que le joueur effectue quatre tentatives successives et indépendantes. Cela signifie qu’à chaque tentative la probabilité du succès est égale à 0,7. À chaque tentative on désignera par S le succès et par E l’échec. ³ Construire un arbre pondéré décrivant les quatre tentatives. · Désignons par X la loi numérique indiquant le nombre de succès obtenus lors des quatre tentatives. a) Calculer et . b) Déterminer la loi de probabilité de X. c) Calculer l’espérance mathématique de X. d) Si le joueur effectue dix tentatives dans les mêmes conditions,combien de tentatives peut-il espérer réussir ? Solution Propriété ³ La variance d’une loi numérique X peut s’écrire sous la forme : V X( ) p1x1 2 p2x2 2 ... pnxn 2 E X( )( )– 2.+ + += V X( ) pi xi( )2 E X( )( )– 2. i ∑= Schéma de Bernoulli - Loi binomialeB p X 0=( ) p X 4=( ) S S S S E 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,7 E E E E E 0,3 valeurs de Xprobas S (0,7)4 (0,7)3 ϫ 0,3 (0,7)3 ϫ 0,3 (0,7)2 ϫ (0,3)2 (0,7)3 ϫ 0,3 (0,7)2 ϫ (0,3)2 (0,7)2 ϫ (0,3)2 0,7 ϫ (0,3)3 (0,7)3 ϫ 0,3 (0,7)2 ϫ (0,3)2 (0,7)2 ϫ (0,3)2 0,7 ϫ (0,3)3 (0,7)2 ϫ (0,3)2 0,7 ϫ (0,3)3 0,7 ϫ (0,3)3 (0,3)4 4 3 3 2 3 2 2 1 3 2 2 1 2 1 1 0 ³ Remarque Exemple ¿ © Cned – Académie en ligne
  12. 12. Séquence 5 – MA01144 Donnons quelques explications concernant cet arbre pondéré : ̈ à chaque nœud, il y a 2 branches qui partent ; ̈ les branches dirigées vers le haut correspondent toutes à des succès : elles sont en trait plein ; ̈ les branches dirigées vers le bas correspondent toutes à des échecs : elles sont en pointillé ; ̈ les probabilités portées par les branches partant d’un même nœud sont toujours 0,7 et 0,3 ; ̈ il n’est pas utile d’écrire les probabilités sur toutes les branches : ce qui est écrit doit être assez explicite. Dans un tel arbre, il est conseillé de différencier les branches menant au succès des branches menant à l’échec : ceci peut se faire en choisissant une couleur pour le succès et une autre couleur pour l’échec. · Dans un arbre qui décrit des expériences indépendantes et réalisées dans les mêmes conditions, la probabilité d’un chemin est égal au produit des probabilités portées par les branches qui mènent à ce chemin. a) L’événement « » est l’événement « EEEE ». Les tentatives étant indépendantes, on a donc : . De même l’événement « » est l’événement « SSSS ». On a . b) La loi numérique X peut prendre cinq valeurs qui sont : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4. ̈ pour On trouve 4 chemins qui mènent à 1 succès et 3 échecs. Chacun de ces 4 chemins a pour probabilité . Ces chemins sont incompatibles, ce qui fait que pour calculer on ajoute 4 fois la même probabilité. Ainsi : . ̈ pour On trouve 6 chemins menant à 2 succès et 2 échecs. Chacun de ces 6 chemins a pour probabilité . ̈ pour On trouve 4 chemins menant à 3 succès et 1 échec. Chacun de ces 4 chemins a pour probabilité . D’où . . X 0= p X 0=( ) p E( )( )4 0 3,( )4 0 008 1,= = = X 4= p X 4=( ) p S( )( )4 0 7,( )4 0 240 1,= = = X 1= 0 7, 0 3,( )3× p X 1=( ) p X 1=( ) 4 0 7, 0 3,( )3×× 0 075 6,= = X 2= 0 7,( )2 0 3,( )2× p X 2=( ) 6 0 7,( )2 0 3,( )2××= p X 2=( ) 0 264 6,= probabilité de l’échec probabilité du succès nombre de chemins nombre d’échecs nombre de succès X 3= 0 7,( )3 0 3,× p X 3=( ) 4 0 7,( )3 0 3,××= p X 3=( ) 0 411 6,= Remarque © Cned – Académie en ligne
  13. 13. 145Séquence 5 – MA01 On rassemble tous ces résultats dans un tableau. c) L’espérance mathématique de X est égale à 2,8. . d) Pour 4 tentatives, l’espérance mathématique est égale à 2,8. Cela correspond en moyenne au nombre de tentatives réussies. En faisant 40 tentatives, le basketteur peut espérer 28 succès. En 10 tentatives le joueur peut espérer en réussir 7. Le résultat trouvé n’est pas surprenant. À chaque tentative, la « chance » de réussir est égale à . Comme les tentatives sont indépendantes, avec toujours la même chance pour le succès, on peut effectivement penser qu’en effectuant 10 tentatives on peut espérer en réussir 7. Stage et randonnée Énoncé Une enquête est faite auprès des inscrits à un stage multi-activités (randonnée, natation, parapente, ...). On note : ̈ F l’ensemble des femmes participant à ce stage ; ̈ R l’ensemble des stagiaires pratiquant la randonnée. L’enquête révèle que : ̈ F représente 30 % de l’ensemble des stagiaires ; ̈ R représente 48 % de l’ensemble des stagiaires ; ̈ chez les stagiaires du groupe R, il y a deux fois plus d’hommes que de femmes. ³ On interroge un stagiaire au hasard. a) Quelle est la probabilité que ce stagiaire pratique la randonnée ? b) Quelle est la probabilité que ce stagiaire soit une femme pratiquant la randonnée ? · On interroge au hasard une stagiaire femme. Quelle est la probabilité qu’elle pratique la randonnée ? » On interroge trois stagiaires au hasard, de manière indépendante. Quelle est la probabilité que parmi ces trois stagiaires : • aucun ne pratique la randonnée ? • deux exactement pratiquent la randonnée ? • au plus deux pratiquent la randonnée ? Solution Traduisons les données en termes de probabilités. On sait que 30 % des stagiaires sont des femmes, d’où . On sait que 48 % des stagiaires pratiquent la randonnée, d’où . 0 1 2 3 4 0,008 1 0,075 6 0,264 6 0,411 6 0,240 1 0 0,075 6 0,529 2 1,234 8 0,960 4 xi pi p X xi=( )= pi∑ 1= pixi pixi∑ 2 8,= E X( ) 2 8,= 0 7, 7 10 -----= p F( ) 0 30,= p R( ) 0 48,= Remarque Exemple ´ © Cned – Académie en ligne
  14. 14. Séquence 5 – MA01146 On sait que dans le groupe R, il y a deux fois plus d’hommes que de femmes, d’où et . ³ a) On vient de voir que . La probabilité que le stagiaire pratique la randonnée est égale à 0,48. b) On veut calculer . On a la formule . . La probabilité que le stagiaire soit une femme pratiquant la randonnée est égale à 0,16. · On interroge une stagiaire femme. On veut calculer . On a la formule car . . La probabilité que le stagiaire pratique la randonnée sachant que c’est une femme est envi- ron égale à 0,533. » On interroge trois stagiaires de manière indépendante. Pour chaque stagiaire il y a deux « issues » : • soit il pratique la randonnée avec une probabilité de 0,48 ; • soit il ne pratique pas la randonnée avec une probabilité de 0,52. On peut construire un arbre pondéré illustrant la situation. Toutes les branches vers le haut représentent des randonneurs et les probabilités sont toujours égales à 0,48 (ici en trait plein). ̈ Si aucun ne pratique la randonnée, on est dans la situation qui veut dire en fait . Appelons X le nombre de randonneurs. On a donc . pR F( ) 2 3 --= pR F( ) 1 3 --= p R( ) 0 48,= p F R∩( ) p F R∩( ) p R( ) pR F( )×= p F R∩( ) 0 48, 1 3 --×= p F R∩( ) 0 16,= pF R( ) pF R( ) p F R∩( ) p F( ) ---------------------= p F( ) 0≠ pF R( ) 0 16, 0 30, ---------- 0 533...,= = pF R( ) 8 15 -----= R R probabilités somme = 1 nombre de randonneurs (0,48)3 (0,48)2 ϫ 0,52 (0,48)2ϫ 0,52 0,48 ϫ (0,52)2 (0,48)2 ϫ 0,52 0,48 ϫ (0,52)2 0,48 ϫ (0,52)2 (0,52)3 3 2 2 1 2 1 1 0 R R R R R R RR 0,52 0,52 0,52 0,52 0,48 0,48 0,48 0,48 R R R R RRR R R R∩ ∩ p X 0=( ) 0 52,( )3 0 140 608,= = © Cned – Académie en ligne
  15. 15. 147Séquence 5 – MA01 ̈ Si deux exactement pratiquent la randonnée. On observe trois chemins possibles de probabilité chacun. D’où . ̈ Si au plus deux pratiquent la randonnée. Au plus deux signifie : 0 ; 1 ou 2. On peut passer par l’événement contraire qui est . . ̈ On pouvait calculer la dernière probabilité d’une autre manière en calculant . ̈ L’événement est aussi défini par : . · Épreuve de Bernoulli Beaucoup de situations qui paraissent à priori bien différentes, comme celles du basketteur et des sta- giaires, peuvent se traiter de la même manière car elles correspondent à un même type de schéma. Ces situations sont celles qui admettent deux issues possibles, le plus souvent appelées « succès » et « échec ». Une expérience aléatoire qui ne présente que deux issues possibles (« succès » et « échec ») est appelée épreuve de Bernoulli. Donnons quelques situations qui sont des épreuves de Bernoulli : • le jeu de pile ou face ; • la naissance d’un enfant ; • tirer une boule d’une urne qui ne contient que des boules de 2 couleurs ; • le fait de passer un examen ; • les jeux (loto, tiercé, ...). Une situation qui correspond à une épreuve de Bernoulli peut être représentée par un arbre ou par un tableau. On désigne : « le succès » par S et sa probabilité par p ; « l’échec » par E et sa probabilité par . Conclusion La probabilité pour que parmi les trois stagiaires : • aucun ne pratique la randonnée est égale à 0,140 608 ; • deux exactement pratiquent la randonnée est égale à 0,359 424 ; • au plus deux pratiquent la randonnée est égale à 0,889 408. événement S E probabilité p q 0 48,( )2 0 52,× p X 2=( ) 3 0 48,( )2 0 52,×× 0 359 424,= = X 3= p X 2≤( ) 1 p X 3=( )–= p X 2≤( ) 1 0 48,( )3–= p X 2≤( ) 0 889 408,= p X 0=( ) p X 1=( ) p X 2=( )+ + p X 0=( ) p X 1=( ) p X 2=( )+ + 0 52,( )3 3 0 48, 0 52,( )2×× 3 0 48,( )2 0 52,××+ += 0 889 408.,= X 2≤( ) X 2≤( ) X 0=( ) X 1=( ) X 2=( )∪ ∪= q 1 p–= p q S E p q+ 1= Remarques Définition ¶ © Cned – Académie en ligne
  16. 16. Séquence 5 – MA01148 Énoncé On lance une fois un dé cubique, non pipé, dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On appelle « succès » l’événement « obtenir un six » et « échec » l’événement « ne pas obtenir de six ». Construire un arbre pondéré illustrant cette expérience aléatoire. Solution Appelons S le succès et E l’échec. On a et . On obtient l’arbre pondéré suivant : » Schéma de Bernoulli Supposons que l’on répète une même épreuve de Bernoulli n fois. On donne alors la définition suivante : On appelle schéma de Bernoulli la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques ; cela signifie que la probabilité du succès reste la même d’une épreuve à l’autre. Dans un schéma de Bernoulli, les n épreuves sont indépendantes les unes des autres. Énoncé On effectue trois lancers d’un dé cubique, non pipé, dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Lors d’un lancer, on appelle succès l’événement « obtenir un six » et échec l’événement contraire. Désignons par X la loi numérique égale au nombre de succès obtenus lors de ces trois lancers. ³ Faire un arbre pondéré décrivant les trois lancers. · Donner la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathématique. Solution ³ En désignant par S le succès et E l’échec on a et . On obtient l’arbre pondéré suivant : p S( ) 1 6 --= p E( ) 5 6 --= 1 6 S E5 6 p S( ) 1 6 --= p E( ) 5 6 --= 1 6 S S S probabilités nombre de succès E 3 2 2 1 2 1 1 0 E S E E S S E S E E 1 6 1 6 1 6 5 6 5 6 5 6 3 5 6 3 1 6 5 6 2 ϫ 1 6 5 6 2 ϫ 1 6 5 6 2 ϫ 1 6 5 6 2 ϫ 1 6 5 6 2 ϫ 1 6 5 6 2 ϫ Exemple ¶ Définition º Remarque Exemple º © Cned – Académie en ligne
  17. 17. 149Séquence 5 – MA01 · On peut obtenir 0, 1, 2 ou 3 succès lors des trois lancers. L’arbre pondéré représente bien un schéma de Bernoulli car à chaque lancer il y a deux issues possi- bles, les lancers étant indépendants les uns des autres. D’après l’arbre on trouve : ; ; ; . On peut présenter cette loi de probabilité dans un tableau. L’espérance mathématique est . L’espérance mathématique est . ¿ Arbre de probabilité En considérant l’exemple précédent, on imagine comment construire un arbre pondéré illustrant un schéma de Bernoulli. Un tel arbre se caractérise ainsi : ̈ de chaque nœud partent 2 branches ; ̈ toutes les « branches succès » ont la même probabilité p ; ̈ toutes les « branches échecs » ont la même probabilité . D’autre part, le nombre de chemins est toujours une puissance de 2. En effet : pour , on a 2 chemins ; pour , on a chemins ; pour , on a chemins ; pour , on a chemins ; pour n épreuves, on a chemins. ´ Loi binomiale On considère un schéma de Bernoulli constitué par la répétition de n épreuves de Bernoulli, identi- ques et indépendantes. La probabilité du succès S est égale à p et celle de l’échec E est égale à . On désigne par X la loi numérique associant le nombre de succès obtenus lors de ces n épreuves. X peut prendre les valeurs 0, 1, 2, ..., n. Imaginons un arbre pondéré correspondant à n épreuves de Bernoulli. Tous les chemins ont n branches. Si un chemin comporte k succès, il comporte aussi échecs. Comme la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités portées par toutes les branches de ce chemin, la probabilité d’un chemin comportant k succès est . Appelons le nombre de chemins comportant k succès (et donc échecs). 0 1 2 3 0 p X 0=( ) 5 6 -- ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 3 = p X 1=( ) 3 1 6 -- 5 6 -- ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 2 ××= p X 2=( ) 3 1 6 -- ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 2 5 6 --××= p X 3=( ) 1 6 -- ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 3 = xi pi p X xi=( )= 125 63 -------- 75 63 ----- 15 63 ----- 1 63 ----- pi∑ 1= pixi 75 216 -------- 30 216 -------- 3 216 -------- pixi∑ 108 216 --------= E X( ) pixi∑ 108 216 -------- 1 2 --= = = E X( ) 1 2 ---= q 1 p–= n 1= n 2= 22 n 3= 23 n 4= 24 2n q 1 p–= n k–( ) pk 1 p–( )n k–× Nk n k– © Cned – Académie en ligne
  18. 18. Séquence 5 – MA01150 On en déduit le résultat suivant : Dans la pratique, on se limitera à des petites valeurs de n (en principe ). Une loi numérique X ainsi définie porte un nom. Soit X la loi numérique indiquant le nombre de succès obtenus lors de n épreuves de Bernoulli, la pro- babilité du succès étant égale à p. On dit que X est la loi binomiale de paramètres n et p. Notation On peut écrire : . En regardant les différents arbres obtenus dans cette séquence, on peut donner, pour , le nom- bre de chemins qui comportent k succès lors de n épreuves de Bernoulli. Pour , l’arbre pondéré comporte chemins, soit 32 chemins. Dans ce cas, les valeurs possibles de k sont 0, 1, 2, 3, 4 et 5. La construction d’un tel arbre, comportant un grand nombre de branches, ne sera pas en principe demandé. Néanmoins, on peut donner le nombre de chemins comportant k succès, pour . Une urne contient sept boules : une rouge, deux jaunes et quatre vertes. Un joueur tire au hasard une boule : • si elle est rouge, il gagne 10 € ; • si elle est jaune, il perd 5 € ; • si elle est verte, il tire une seconde boule de l’urne sans avoir replacé la première boule tirée. Si cette deuxième boule est rouge, il gagne 8 €, sinon il perd 4 €. ³ Construire un arbre pondéré représentant l’ensemble des éventualités de ce jeu. · Calculer la probabilité de l’événement G : « le joueur est gagnant ». » Soit X la loi numérique associant à chaque tirage le gain algébrique du joueur (une perte est comp- tée négativement). a) Établir la loi de probabilité de X. b) Calculer l’espérance de X. n : nombre d’épreuves k : nombre de succès p : probabilité du succès : nombre de chemins comportant k succès. valeurs de n 1 2 3 4 valeurs de k (nombres de succès) 0 1 0 1 2 0 1 2 3 0 1 2 3 4 nombres de chemins 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 n 5 k 0 1 2 3 4 5 nombre de chemins 1 5 10 10 5 1 p X k=( ) Nk pk 1 p–( )n k–××= Nk n 5< X B n ; p( ) b n ; p( )= = n 4≤ n 5= 25 0 k 5≤ ≤ Exercices d’apprentissageC Définition ¾ Remarque Exercice ³ © Cned – Académie en ligne
  19. 19. 151Séquence 5 – MA01 ¿ Les conditions du jeu restent identiques. Indiquer le montant du gain algébrique qu’il faut attribuer à un joueur lorsque la boule tirée au second tirage est rouge, pour que l’espérance de X soit nulle. Un panneau « stop » a été installé à un carrefour extrêmement dangereux où une petite route croise une grande route très fréquentée. On a constaté que 20 % des automobilistes ne respectent pas le panneau « stop » et que 30 % des automobilistes ne respectant pas le panneau « stop » ont un acci- dent à ce carrefour. D’autre part, 95 % des automobilistes respectant le panneau « stop » n’ont pas d’accident à ce carrefour. On considère un automobiliste au hasard passant par ce carrefour et on définit les événements suivants : R : « l’automobiliste a respecté le panneau stop » ; A : « l’automobiliste a eu un accident au carrefour ». ³ a) Donner , , , et . b) Construire un arbre pondéré décrivant la situation. c) Calculer . · On observe une série de 4 automobilistes passant par ce carrefour. a) Quelle est la probabilité pour qu’au moins l’un d’eux ait eu un accident au carrefour ? b) Soit X la loi numérique qui, à la série de 4 automobilistes, associe le nombre d’accidents survenus au carrefour. Établir la loi de probabilité de X (donner les résultats sous forme décimale). c) Calculer l’espérance . » On observe maintenant une série de 10 automobilistes passant par ce carrefour. a) Calculer la probabilité pour qu’il y ait au moins un accident. b) Calculer la probabilité pour qu’il y ait au plus un accident. Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher, 5 rouges, 3 jaunes et 2 vertes. On tire au hasard et successivement 3 boules de l’urne, sans jamais remettre dans l’urne les boules déjà tirées. On désigne par RJV l’événement : « la première boule tirée est rouge, la seconde est jaune et la troi- sième est verte ». ³ a) Calculer la probabilité . b) Montrer, en les énumérant, qu’il y a 6 manières d’obtenir des boules de trois couleurs. c) On appelle C l’événement « les boules tirées sont de trois couleurs ». Montrer que . · On appelle tirage le fait de tirer 3 boules dans les conditions précédentes. On effectue trois tirages de 3 boules en ayant soin, après chaque tirage, de remettre dans l’urne les 3 boules qui ont été tirées. Calculer la probabilité d’effectuer : • 3 tirages tricolores ; • 0 tirage tricolore ; • 1 tirage tricolore ; • 2 tirages tricolores. » On effectue maintenant quarante tirages de 3 boules dans les conditions précédentes. Combien de fois peut-on espérer voir se réaliser l’événement C ? Les résultats seront donnés sous forme de fraction irréductible. Un commerçant possède un lot de 500 pantalons de taille allant de 1 à 4 et de couleur rouge, bleue ou noire. Après l’inventaire de son lot, le commerçant constate que les tailles no 1 représentent 60 % du stock, que les tailles no 2 en représentent 20 % et qu’il y a autant de tailles no 3 que de tailles no 4. p R( ) p R( ) p R A( ) pR A( ) p A( ) E X( ) p RJV( ) p C( ) 1 4 --= Exercice · Exercice » Exercice ¿ © Cned – Académie en ligne
  20. 20. Séquence 5 – MA01152 D’autre part, parmi les tailles no 1, 30 % des pantalons sont noirs et 50 % sont bleus. Enfin pour cha- cune des tailles no 2, no 3 et no 4, 20 % des pantalons sont noirs et 40 % sont bleus. ³ Recopier et compléter le tableau suivant : · Ce commerçant décide de vendre 30 euros chaque pantalon bleu de la taille no 1, ainsi que chaque pantalon noir ou rouge des tailles no 2, no 3 et no 4. Les autres pantalons de la taille no 1 seront ven- dus 40 euros l’unité, et les pantalons bleus des tailles no 2, no 3 et no 4, 15 euros l’unité. Un client choisit un pantalon au hasard. a) Déterminer la probabilité que ce pantalon soit bleu. b) Sachant que ce pantalon coûte 30 euros, déterminer la probabilité qu’il soit bleu. » On appelle Y la loi numérique qui, à chaque pantalon choisi, associe son prix. Déterminer la loi de probabilité de Y et calculer son espérance mathématique. Taille Couleur no 1 no 2 no 3 no 4 Total Rouge 20 Bleue Noire Total 500 © Cned – Académie en ligne
  21. 21. 153Séquence 5 – MA01 Synthèse ̈ Loi numérique On définit une loi numérique X en associant à chaque résultat d’une expérience aléatoire un nombre réel, souvent noté . ̈ Loi de probabilité Une loi de probabilité est déterminée par la connaissance des probabilités . On représente souvent une loi de probabilité dans un tableau. ̈ Espérance mathématique . Le calcul de peut se faire en complétant le tableau donnant la loi de probabilité de X. ̈ Variance Il existe deux formules donnant la variance de X. • . • . ̈ Épreuve de Bernoulli Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire comportant 2 issues, l’une appelée « succès », l’autre appelée « échec ». ̈ Schéma de Bernoulli Un schéma de Bernoulli est une expérience aléatoire qui consiste à répéter n épreuves de Bernoulli, identiques et indépendantes. valeurs de X ... probabilités ... à vérifier xi pi p X xi=( )= xi x1 x2 xn pi p X xi=( )= p1 p2 pn pi∑ 1= E X( ) p1x1 p2x2 ... pnxn+ + + pixi i ∑= = E X( ) V X( ) pi xi E X( )–( )2 i ∑= V X( ) pi xi 2( ) E X( )( )– 2 i ∑ p1x1 2 p2x2 2 ... pnxn 2 E X( )( )2–+ + += = © Cned – Académie en ligne
  22. 22. Séquence 5 – MA01154 Un schéma de Bernoulli peut être illustré par un arbre. Ci-dessous on donne l’arbre correspondant à . ̈ Loi binomiale La loi numérique X donnant le nombre de succès lors de n épreuves de Bernoulli est la loi binomiale de paramètres n et p. La loi de probabilité de la loi binomiale est donnée par : pour . n 3= p p p p p p p S S E S E S E S E S E S E q q q q q q q probabilités somme = 1 nombre de succès p3 p2 q p2 q pq2 p2q pq2 pq2 q3 3 2 2 1 2 1 1 0 E épreuve 3épreuve 2épreuve 1 p (succès) = p (S) = p p (échec) = p (E) = q = 1–p X b n p;( )= p X k=( ) nombre de façons d′obtenir k succès pk× 1 p–( )n k–×= 0 k n≤ ≤ © Cned – Académie en ligne
  23. 23. 155Séquence 5 – MA01 Exercices d’entraînement Un groupe de 20 personnes décide d’aller au cinéma deux samedis de suite pour voir deux films A et B. Le premier samedi, huit personnes vont voir le film A, et les autres vont voir le film B. Le deuxième samedi, quatre personnes décident de revoir le film A, deux vont revoir le film B, et les autres vont voir le film qu’elles n’ont pas vu la semaine précédente.Après la deuxième séance, on interroge au hasard une personne de ce groupe. On considère les événements suivants : : « la personne interrogée a vu le film A le premier samedi » ; : « la personne interrogée a vu le film A le deuxième samedi » ; : « la personne interrogée a vu le film B le premier samedi » ; : « la personne interrogée a vu le film B le deuxième samedi ». ³ a) Calculer les probabilités et . b) Calculer les probabilités des événements suivants : ; ; . c) Reproduire et compléter l’arbre pondéré suivant, en remplaçant chaque point d’interrogation par la probabilité correspondante.Aucune justification n’est demandée pour cette question. d) Retrouver à partir de l’arbre pondéré que . · Le prix du billet est de 6 euros pour le film A et de 4 euros pour le film B. Soit C la loi numérique égale au coût total, pour la personne interrogée, de deux séances de cinéma. a) Déterminer la loi de probabilité de C. b) Calculer l’espérance mathématique de C. c) Calculer la variance de la loi C. Un carrefour muni d’un feu tricolore est situé sur le trajet d’un automobiliste. La probabilité pour qu’il rencontre le feu au vert est toujours égale à . ³ L’automobiliste passe 4 fois par jour par ce carrefour. Calculer la probabilité pour que dans une journée il rencontre : ̈ 4 fois le feu au vert ; ̈ 1 fois exactement le feu au vert ; ̈ au moins une fois le feu au vert. · L’automobiliste passe par ce carrefour le lundi et le mardi. Calculer la probabilité pour que durant ces deux jours il rencontre : ̈ aucune fois le feu au vert ; ̈ au moins une fois le feu au vert ; ̈ au plus une fois le feu au vert. A1 A2 B1 B2 p A1( ) p A2( ) pA1 A2( ) pB1 A2( ) p A1 A2∩( ) A2A1 ? B2 A2 B2 B1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? p A2( ) 7 10 -----= 2 3 -- Exercice ´ Exercice ² © Cned – Académie en ligne
  24. 24. Séquence 5 – MA01156 Une usine fabrique des moteurs électriques pour l’industrie spatiale. Ceux-ci doivent être très fiables et performants ; pour cela ils passent des contrôles très sévères. Chaque moteur est testé en fin de fabrication. Si le test est positif, le moteur est acheminé chez le client ; si le test est négatif, le moteur retourne en usine où il est réparé puis testé une seconde fois. Si, cette fois, le test est positif, le moteur part chez le client mais, si le test est négatif, le moteur est définitivement écarté et détruit. Une étude statistique a permis de montrer que le test est positif pour 85 % des moteurs neufs sortis directement des chaînes de fabrication mais que, parmi les moteurs révisés, seulement 65 % d’entre eux passent le second test avec succès. Sauf avis contraire, on donnera les valeurs décimales exactes des probabilités demandées. ³ On choisit un moteur au hasard dans la chaîne de fabrication. a) Construire un arbre de probabilité illustrant les différents cas qui peuvent se présenter pour ce moteur. Faire apparaître sur chaque branche les probabilités correspondantes. b) Donner la probabilité pour que le premier test en fin de fabrication soit positif pour ce moteur. c) Calculer la probabilité pour que ce moteur doive être révisé et soit ensuite acheminé chez le client. d) Calculer la probabilité pour que ce moteur soit finalement écarté et détruit. e) Calculer la probabilité pour que ce moteur soit envoyé chez le client. · La fabrication d’un moteur revient à 9 000 euros auxquels il faut ajouter 2 000 euros si le moteur est révisé. Un moteur est facturé au client la somme de t euros. Soit X la loi numérique qui, à chaque moteur fabriqué, associe le gain (éventuellement négatif) que réalise l’entreprise sur ce moteur. a) Déterminer en fonction de t les trois valeurs que peut prendre X et déterminer la loi de probabilité de X. b) Calculer en fonction de t l’espérance mathématique de X et en déduire la valeur de t à partir de laquelle l’entreprise fera un bénéfice positif en vendant un grand nombre de moteurs (arrondir à l’euro près). Les résultats seront donnés à près. Une entreprise confie à une société de sondage par téléphone une enquête sur la qualité de ses pro- duits. Chaque enquêteur a une liste de personnes à contacter. Lors du premier appel téléphonique, la probabilité pour que le correspondant soit absent est 0,4. Sachant que le correspondant est présent, la probabilité qu’il accepte de répondre au questionnaire est 0,2. ³ On note : ̈ l’événement « la personne est absente lors du premier appel » ; ̈ l’événement « la personne accepte de répondre au questionnaire lors du premier appel ». Quelle est la probabilité de ? · Lorsqu’une personne est absente lors du premier appel, on lui téléphone une seconde fois, à une heure différente et alors la probabilité qu’elle soit absente est 0,3. Et, sachant qu’elle est présente lors du second appel, la probabilité pour qu’elle accepte de répondre au questionnaire est encore 0,2. Si une personne est absente lors du second appel, on ne tente plus de la contacter. On note : ̈ l’événement « la personne est absente lors du second appel » ; ̈ l’événement « la personne accepte de répondre au questionnaire après le second appel » ; ̈ R l’événement « la personne accepte de répondre au questionnaire ». 10 3– A1 R1 R1 A2 R2 Exercice ¶ Exercice º © Cned – Académie en ligne
  25. 25. 157Séquence 5 – MA01 Calculer, en utilisant un arbre pondéré, . » On suppose les sondages auprès des personnes d’une même liste indépendants. Un enquêteur a une liste de 20 personnes à contacter. a) Calculer la probabilité pour qu’une personne de la liste et une seule accepte de répondre au ques- tionnaire. b) Calculer la probabilité pour qu’une au moins des 20 personnes de la liste accepte de répondre au questionnaire. Un jeu de société est composé d’un grand nombre de fiches qui proposent chacune trois questions indépendantes : la première porte sur l’histoire, la seconde sur les sciences et la troisième sur les arts. À tour de rôle, chaque joueur tire une fiche au hasard et doit répondre aux trois questions dans l’ordre où elles sont proposées. Le meneur de jeu remplit un bulletin réponse dans lequel, pour chaque question, il reporte F si la réponse est fausse, J si elle est juste. Ainsi, si le joueur a bien répondu aux questions sur les sciences et sur les arts, mais n’a pas trouvé la bonne réponse à la question sur l’histoire, le bulletin réponse à cette fiche sera : ³ a) Donner la liste des huit résultats différents que l’on peut obtenir pour une fiche. b) À chaque bulletin réponse est attribuée une note : une réponse juste J fait gagner 5 points ; une réponse fausse F ou l’absence de réponse fait perdre 2 points. Donner la liste des résultats attribuant 8 points en tout. · La probabilité que Yuna donne la réponse juste à une question est toujours égale à 0,6. Yuna tire une fiche et répond aux trois questions. a) Quelle est la probabilité que Yuna obtienne le bulletin réponse cité en exemple ? b) Montrer que la probabilité que son bulletin réponse conduise à un total de 8 points est 0,432. » Soit X la loi numérique égale à la note obtenue par Yuna pour un bulletin réponse. a) Préciser toutes les valeurs (positives ou non) prises par X. b) Établir la loi de probabilité de X. c) Calculer l’espérance mathématique de X. H S A H S A . Ce résultat sera noté FJJ.F J J p R( ) Exercice ¾ © Cned – Académie en ligne
  26. 26. Aide aux exercices d’entraînement Séquence 5 – MA01158 ³ a) est immédiat d’après l’énoncé. On peut faire un tableau illustrant ce qui se passe chaque samedi. Le second samedi, il y a deux catégories de personnes qui vont voir le film A. b) Pour calculer , on peut chercher combien de personnes ont vu le film A le second samedi parmi les personnes ayant déjà vu le film A le premier samedi. Pour , on fait de même. Pour , il suffit de bien lire l’énoncé. c) Les résultats précédents permettent de construire l’arbre pondéré. d) Penser à la formule des probabilités totales. · Un arbre pondéré correct permet de répondre aux questions posées. Revoir la formule donnant la variance. ³ Passer 4 fois dans le carrefour revient à un schéma de Bernoulli. On effectue 4 épreuves, la probabilité du succès étant égale à à chaque épreuve. · On a un schéma de Bernoulli qui comporte 8 épreuves au lieu de 4. ³ a) L’arbre pondéré est composé de 3 chemins. b) Le résultat est dans l’énoncé. c) On cherche une probabilité d’intersection : on trouve le bon chemin et on multiplie deux nombres entre eux. d) On calcule la probabilité d’une intersection. e) Calculer la probabilité de l’événement contraire. On peut aussi calculer directement. · a) Le gain est égal au prix de vente diminué du prix de fabrication. En écrivant les gains au bout de chaque chemin de l’arbre, on obtient rapidement la loi de probabilité de X. b) On calcule en fonction de t et on résout . ³ est une probabilité conditionnelle. · Il y a deux chemins qui mènent à R : l’un comporte 2 branches et l’autre 3 branches. » a) On a un schéma de Bernoulli comprenant 20 épreuves. La probabilité du succès est . La personne qui accepte de répondre peut être n’importe laquelle des 20. b) Penser à l’événement contraire, c’est ici la seule méthode. ³ a) Le plus simple est de tracer un arbre ayant 8 branches finales. On écrit les 8 résultats possibles au bout des 8 branches. b) On peut indiquer sur l’arbre le nombre de points acquis. Il y a 3 résultats qui donnent 8 points. · a) L’événement FJJ correspond à un chemin : on fait le produit des probabilités inscrites sur les branches. b) Les 3 résultats qui donnent 8 points ont la même probabilité. » a) b) On peut se servir de l’arbre pour trouver les valeurs prises par X et pour établir sa loi de probabilité. c) Une formule donne le calcul de l’espérance. ■ p A1( ) pA1 A2( ) pB1 A2( ) p A1 A2∩( ) 2 3 -- E X( ) E X( ) 0> p R1( ) p R( ) Exercice ´ Exercice ² Exercice ¶ Exercice º Exercice ¾ © Cned – Académie en ligne

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