Geometria analítica II

PRÉ-VESTIBULAR
LIVRO DO PROFESSOR
MATEMÁTICA
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© 2006-2009 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do
detentor dos direitos autorais.
Produção
Projeto e
Desenvolvimento Pedagógico
Disciplinas Autores
Língua Portuguesa Francis Madeira da S. Sales
Márcio F. Santiago Calixto
Rita de Fátima Bezerra
Literatura Fábio D’Ávila
Danton Pedro dos Santos
Matemática Feres Fares
Haroldo Costa Silva Filho
Jayme Andrade Neto
Renato Caldas Madeira
Rodrigo Piracicaba Costa
Física Cleber Ribeiro
Marco Antonio Noronha
Vitor M. Saquette
Química Edson Costa P. da Cruz
Fernanda Barbosa
Biologia Fernando Pimentel
Hélio Apostolo
Rogério Fernandes
História Jefferson dos Santos da Silva
Marcelo Piccinini
Rafael F. de Menezes
Rogério de Sousa Gonçalves
Vanessa Silva
Geografia Duarte A. R. Vieira
Enilson F. Venâncio
Felipe Silveira de Souza
Fernando Mousquer
I229 IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. —
Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]
660 p.
ISBN: 978-85-387-0571-0
1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.
CDD 370.71

1
EM_V_MAT_021
Geometria
Analítica no
Plano: Elipse,
Hipérbole e
Parábola
Elipse
Dados dois pontos fixos F1
e F2
de um plano,
tais que, F2
F1
= 2c 0, chamamos elipse o lugar
geométrico dos pontos desse plano, cuja soma das
suas distâncias aos dois pontos F2
e F1
é a constante
2a > 2c.
Elementos da elipse
P
A1
F1
B2
B1
NM
(d2
) (d1
)
I. Pontos principais:
A2
, A1
, B2
e B1
– vértices
F2
e F1
– focos
C – centro
II. Segmento:
A2
A1
– eixo maior – m(A2
A1
) = 2a
B2
B1
– eixo menor – m(B2
B1
) = 2b
F2
F1
– distância focal – m(F2
F1
) = 2c
Os vetores de origem num dos focos e extre-
midade em qualquer ponto da elipse são chamados
raios vetores: F2
P,F1
P etc.
Da definição, decorre:
F2
M + F1
M = F2
N + F1
N = F2
A + F1
A = F2
P
+ F1
P = ... =
= F2
A1
+ F1
A1
= F2
A1
+ F2
A2
= 2a m(A2
A1
)
= 2a
III. Relações:
e= c
a
<1 Excentricidade
a2
=b2
+c2
Relação notável tirada do triângulo retângulo B1
CF1
p=
b2
a
Parâmetro.

2
EM_V_MAT_021
“Parâmetro de uma cônica é a semicorda focal
mínima.”
p=
b2
a
IV. Retas
Diretrizes da elipse são duas retas, (d1
) e (d2
),
perpendiculares ao suporte do eixo maior, distando
a
e
do centro da curva.
Equações
Equação espontânea ou natural
Da definição tiramos:
F2
P + F1
P = 2a
I. Equação reduzida: Como u=dF2P
e v=dF1P
, a
dedução é imediata:
(x+c)2
+y2
+ (x –c)2
+y2
=2a
x2
+2cx+c2
+y2
= 2a – x2
–2cx+c2
+y2
x2
+2cx+c2
+y2
=4a2
– 4a x2
–2cx+c2
+y2
+x2
–2cx+c2
+y2
a x2
–2cx+c2
+y2
= a2
– cx
a2
x2
– 2a2
cx+a2
c2
+a2
y2
=a4
–2a2
cx+c2
x2
a2
x2
– c2
x2
+a2
y2
=a4
– a2
c
(a2
– c2
)x2
+a2
y2
=a2
(a2
– c2
)
b2
x2
+a2
y2
=a2
b2
Dividindo ambos os membros por a2
b2
x2
+
a2
y2
b2 = 1
As diretrizes terão, nesse caso, as equações:
x=± e
a
II. Se C = 0, porém, A2
A1
y’y, a equação
difere da inicial na colocação do a2
e do b2
. Então,
decorre:
x2
+
b2
y2
a2
=1
III. Quando a elipse tem seu centro no ponto
C(m, n) e A2
A1
paralela ao eixo x.
(x–m)2
a2
=1
(y–n)2+
b2
e se C(m, n) e A2
A1
paralelo ao eixo y:
(x–m)2
b2
=1
(y–n)2+
a2
IV. Equação geral: A equação geral é obtida pelo
desenvolvimento das formas reduzidas.
Consideremos a elipse:
(x–m)2
E1
=1
(y–n)2+
E2
com E1
E2
e ambos positivos.
Desenvolvendo e ordenando:
E2
x2
+ E1
y2
– 2E2
mx – 2E1
ny + E2
m2
+ E1
n2
–
E1
E2
= 0
Hipérbole
Uma das propriedades das hipérboles acontece
em óptica geométrica. Um raio de luz que se aproxima
de uma hipérbole, em direção a um foco, se reflete
para fora da mesma em direção ao outro foco.
Dados 2 pontos fixos F1
e F2
de um plano, tais
que, F2
F1
= 2c ≠ 0, chamado hipérbole o lugar ge-
ométrico dos pontos desse plano, cujo módulo da
diferença de suas distâncias aos dois pontos F2
e F1
é a constante 2a < 2c.
Elementos da hipérbole

3
EM_V_MAT_021
Pontos principais:I.
A1
e A2
– vértices
F2
e F1
– focos
C – centro
Segmentos:II.
A2
A1
– eixo real ou transverso – m(A2
A1
)
= 2a
B2
B1
– eixo imaginário ou não–transverso
– m(B2
B1
) = 2b
F2
F1
– distância focal – m(F2
F1
) = 2c
Os vetores de origem num dos focos e extremi-
dade em qualquer ponto da hipérbole são chamados
raios vetores: F2
P, F1
P etc.
Da definição de hipérbole, concluímos que:
| F2
Q – F1
Q | = | F2
P – F1
P|= ... = | F2
A2
– F2
A1
| = |F2
A1
– F1
A1
| = 2a → m(A2
A1
) = 2a
Relações:III.
e =
c
a
> 1 (Excentricidade)
c2
= a2
+ b2
(Relação notável tirada do triân-
gulo retângulo CA1
M)
p = b2
a
(Parâmetro)
RIV. etas:
Diretrizes são duas retas, (d1
) e (d2
), perpen-
diculares ao suporte do eixo real, distando a
edo centro da hipérbole.
Assíntotas são duas retas, (a1
) e (a2
), que pas-
sam pelo centro da hipérbole e posições–limite das
tangentes a ela, quando os pontos de contato se
afastam indefinidamente.
Equações
Seja a hipérbole de eixos real A2
A1
e imaginário
B2
B1
, referida num sistema x O y, de tal modo que seu
centro C = 0 e A2
A1
está contido em x’x. Considere-
mos P(x, y) o ponto genérico da curva.
j
Equação espontânea ou natural
Decorre da definição que:
|F2
P|– F1
P| = 2a ou u – v = 2a
equação espontânea.
Equação reduzida:I.
(x+c)2
+y2 – (x – c)2
+y2 = 2a
(x+c)2
+y2 = 2a + (x – c)2
+y2
x2
+ 2cx + c2
+ y2
=
= 4a2
4a x2
– 2cx + c2
+ y2
+x2
– 2cx + c2
+ y2

4cx – 4a2
= 4a x2
– 2cx + c2
+ y2
cx – a2
= x2
– 2cx + c2
+ y2
c2
x2
– 2a2
cx + a4
= a2
x2
– 2a2
cx + a2
c2
+ a2
y2
c2
x2
– a2
x2
– a2
x2
– a2
y2
= a2
c2
– a4
(c2
– a2
) x2
– a2
y2
= a2
(c2
– a2
)
b2
x2
– a2
y2
= a2
y2
Dividindo ambos os membros por a2
b2
, temos:
x2
a2
–
y2
b2
= 1
Para y = 0, temos: x = a, abscissas dos vérti-
ces A1
e A2
.
Para x = 0, temos: y = bi, o que significa que
a curva não é interceptada pelo eixo dos y.
As equações das diretrizes (d1) e (d2) são

4
EM_V_MAT_021
x =
a
e
, pois são retas paralelas ao eixo y’y.
As equações das assíntotas, retas que passam
pelo centro e, neste caso C = 0, serão do tipo y = tg
. x y =
b
a
x
Se C = 0 e AII. 2
A1
contido em y’y, como na
elipse, a equação da hipérbole assumirá a
forma:
x2
–b2
+
y2
a2 = 1
As diretrizes são, agora, paralelas ao eixo
x’ x e suas equações:
y =
a
e
e as assíntotas: y =
a
b
x
Quando a hipérbole tem seu centro no pontoIII.
C (m, n) e A2
A1
// x’x
Aplicando a translação de eixos x’ = x – m e
y’ = y – n logo,
(x–m)2
a2
– (y–n)2
b2
= 1
As equações das diretrizes são
x = m
a
e
a das assíntonas
y = n
b
a
(x – m)
e C 0, com A2
A1
//y’ y
(x–m)2
–b2
+
(y–n)2
a2
= 1
As equações das diretrizes assumem a for-
ma y = n a
e
e as das assíntonas y = n a
b(x – m)
Equação geral: A equação geral é obtida peloIV.
desenvolvimento das formas reduzidas.
Consideramos a hipérbole
(x–m)2
E1
+ (y–n)2
E2
= 1
tendo E1
e E2
sinais contrários.
Se E1
> 0 e E2
< 0, sabemos que E1
= a2
e E2
= –b2
então, o eixo real é horizontal.
Se E1
< 0 e E2
> 0, E2
= a2
então, o eixo real
é vertical.
Parábola
A interseção de um plano com um cone dá ori-
gem às cônicas. Neste módulo veremos uma dessas
cônicas, a parábola.
Elementos da parábola
Parábola é o lugar geométrico dos pontos de um
plano, situados a igual distância de uma reta fixa (d)
e de um ponto fixo F não pertencente a (d), do plano
considerado.
Pontos principais:I.
F – foco
V – vértice
Segmentos:II.
V’F = p – parâmetro (semicorda focal míni-
ma)
FP – raio vetor
Relação:III.
Relação notável VF =
p
2
Reta e eixo:IV.
A reta fixa (d) é a diretriz e e, eixo que passa
pelo foco é perpendicular à diretriz, eixo de
simetria da parábola.
Da definição da parábola, concluímos que:
FT = UT, FP = MP, FR = SR = p, FQ = NQ etc.

5
EM_V_MAT_021
Equações
Seja a parábola de foco F e diretriz (d), referida
num sistema x O y, de tal modo que V = 0, o eixo de
simetria coincida com o eixo x. Seja P(x, y) o ponto
genérico.
Equação espontânea ou natural: no sistema
foco–diretriz a equação espontânea da parábola é
FP = MP ou u = v (1)
j
Equação reduzida: o ponto F tem coordena-I.
das
p
, 0
2
calculemos u e v
u = dFP
= e+ y2x– p
2
2
2
v =
p
+ x
Igualando, conforme (1), vem:
+ y2x– p
2
2
2
=
p
+ x
x2
– px +
p2
+ y2
=
p2
+ px + x2
4 4
y2
= 2px
Equação da diretriz x=–
p
2
Se V = 0 e o eixo de simetria coincidir com oII.
eixo dos y as coordenadas do foco passam a
ser 0 ,
p
2
, então a equação da parábola toma
a forma
x2
= 2py
e a da diretriz
y=–
p
2
Quando a parábola tem V(m, n), portanto,III.
V ≠ 0 e o eixo de simetria paralelo ao eixo 0x,
vem
(y’)2
= 2px
e aplicando a translação de eixos de I re-
sulta
(y – n)2
= 2p(x – m) ou (y – n)2
= –2p(x – m)
(x – m)2
= 2p(y – n) ou (x – m)2
= –2p(y – n)
e as equações das diretrizes, respectiva-
mente,
y = n ±
p
2 .
Equação geral: a equação geral é obtida,IV.
como vimos, desenvolvendo as reduzidas.
Assim: (y – n)2
= 2p(x – m), parábola com eixo
horizontal,
y2
– 2ny + n2
= 2px – 2mp ⇒
⇒ x =
1
y2
–
n
y +
n2
+ 2mp
2p p 2p
(1)
Se
1
> 0
2p
, concavidade à direita e
1
< 0
2p
,
concavidade à esquerda.
De (x – m)2
= 2p(y – n), parábola com eixo
vertical,
x2
– 2mx + m2
= 2py – 2np ⇒
⇒ y =
1
x2
–
m
x +
m2
+ 2np
2p p 2p
(2)
Se
1
> 0
2p
, concavidade para cima e
1
< 0
2p
,
concavidade para baixo.
Uma equação do 2.º grau com duas variáveis
representa uma parábola com eixo horizontal
ou vertical se, e somente se, for redutível às
formas:
x = ay2
+ by + c, com a ≠ 0 (3)
ou
y = ax2
+ bx + c, com a ≠ 0 (4)
Comparando (1) e (3):
a =
1
2p
⇒ p =
1
2a
b= – n
p ⇒ n = – bp ⇒ n= –
b
2a
c =
n2
+2mp
⇒ 2cp = n2
= 2mp ⇒
2p

6
EM_V_MAT_021
⇒
c
=
b2
+
m
⇒ m =
4ac – b2
ou m =
b2
– 4ac
a 4a2
a 4a 4a
então, o vértice é e V
–Δ , – b
4a 2a
o parâmetro
p =
1
2a .
De modo análogo, comparando (2) e (4),
concluímos que o vértice é V
–b , –
2a 4a
e o
parâmetro p =
1
2a
.
Escreva a equação da elipse de C = 0, A1. 2
A1
sobre y’y,
eixo maior 10 e distância focal 8.
Solução:``
A equação procurada é do tipo
+x 2
=1
a2
y 2
b2
e
2a = 10 a = 5
2x = 8 c = 4
Da relação notável a2
= b2
+ c2
b = 25–16=3 logo,
a equação procurada é:
+x2
=1
9
y2
25
Escreva a equação da elipse de eixos 20 e 16, tendo2.
C =(0, 0) e eixo maior pertencente ao eixo x.
Solução:``
2a = 20 a = 10
2b = 16 b = 8
e a elipse tem por equação
+x 2
=1
a2
y2
b2 , logo +x2
=1
100
y 2
64

Determine a equação da elipse de centro (–2, 1), ex-3.
centricidade 3
5
e eixo maior horizontal de comprimento
20.
Solução:``
Elipse C(–2, 1)
C = 3
5
(x–xC
)2
=1
a2
(y–yC
)2
b2
+=
Eixo maior horizontal de comprimento 20 2a = 20,
a = 10, pois a é o comprimento do semieixo maior.
c2
= a2
– b2
= 100 – b2
3
5
3
5
3
5
c
a
= c = . a = . 10 = 6
Então, c2
= 36 =100 – b2
b2
= 64
Assim, :
(x+2)2
=1
100
(y–1 )2
64
+
A segunda Lei de Kepler mostra que os planetas4.
movem-se mais rapidamente quando próximos ao
Sol do que quando afastados dele. Lembrando que
os planetas descrevem órbitas elípticas nas quais o
Sol é um dos focos, podemos afirmar que, dos pontos
assinalados na figura, aquele no qual a velocidade da
Terra é maior, é o ponto:
A a)
Bb)
C c)
Dd)
Ee)
Solução:`` E
Velocidade maior está mais próximo do Sol.
dSol
, A = a + c
dSol
, B = a
dSol
, C = a – c2
a
dSol
, D
dSol
, C
dSol
, E
= a – c
x2
+ 4c2
= 4a2
– 4ax + x2
c2
= a2
– ax
ax = a2
– c2
x = a – c2
a
Logo, a menor distância é (E).

7
EM_V_MAT_021
Determine as coordenadas do centro e dos vértices5.
da hipérbole x2
– 4y2
+ 6x – 8y + 21 = 0, verificando a
direção do eixo real e determinando as equações das
diretrizes e assíntotas.
Solução:``
x2
+ 6x + 9 – 4y2
+ 8y – 4 + 4 + 21 = 0
(x2
+ 6x + 9) – (4y2
– 8y + 4) = –16
(x + 3)2
– (2y – 2)2
= –16
(x–3)2
–16
–
[2(y –1)]2
–16
= 1
(x+3)2
–16
+
4(y –1)2
16
= 1
(x+3)2
–16
+
4(y –1)2
16
= 1
(x+3)2
–16
+
(y –1)2
4
= 1 b2
= 16 e a2
= 4
b = 4 e a = 2
C (–3, 1); A1 (–3, 3) e A2 (–3, –1)
O eixo real é vertical.
As diretrizes (d) y = n a
e
c2
= a2
+ b2
c2
= 16 + 4 = 2 5 c = 2 5
2
= 5
logo, y = 1
2
5
As assíntotas (a) y = n a
b
(x – m)
y = 1 2
4
. (x+3) x y = 1 (x+3)
2
O gráfico da equação x² – y² = 4 representa uma hipér-6.
bole. Os focos dessa hipérbole são:
(1/2, 0) e (–1/2, 0)a)
(2, 0) e (–2, 0)b)
(2c) 2 , 0) e (–2 2 , 0)
(0,d) 2 ) e (0,– 2 )
(0, 1/2) e (0, –1/2)e)
Solução:`` C
x2
– y2
= 4
C = (0, 0)
a2
= b2
= 4 a = b = 2
c2
= a2
+ b2
= 8 c = 2 2
Como o sinal positivo está no x2
, a hipérbole tem seu eixo
real sobre o eixo x, ou seja, os focos serão:
(–2 2 , 0) e (2 2 , 0)
Determine as coordenadas dos focos e dos vérti-7.
ces, as equações das diretrizes, as equações das
assíntotas e as equações paramétricas da hipérbole
9x2
– 16y2
– 144 = 0.
Solução:``
Escrevamos a equação dada na forma reduzida
x2
16
– y2
9
= 1 (eixo real horizontal)
Então, a2
= 16 ⇒ a = 4 e b2
= 9 ⇒ b = 3
Da relação notável, c2
= a2
+ b2
, resulta c = 16 + 9 = 5
Os focos são: F( 5;0)
As equações das diretrizes: x =
4
5
4
x = 16
5
As equações das assíntotas: y = b
a
x y = 3
4
x
As equações paramétricas:
x = 4 sec
y = 3 tg
A8. 3
2
, 15
2
é um ponto da hipérbole x2
-y2
/3 = 1,
cujos focos são F1
e F2
, então o triângulo AF1
F2
é :
retângulo e isósceles.a)
obtusângulo e escaleno.b)
acutângulo e isósceles.c)
acutângulo e escaleno.d)
Solução:`` C
A 3
2
, 15
2
x2
–y2
3
= 1; c2
= a2
+ b2
= 1 + 3 = 4
c = 2
F1
= (–2, 0) F2
= (2, 0)
AF1
= –2 – 3
2
2
+ 15
4
= 4
AF2 = 2 – 3
2
2
+ 15
4
= 2
F1F2= (2 +2) 2 = 4
F1
F2
4 4
2A

8
EM_V_MAT_021
Logo, o triângulo já é isósceles. Vejamos se é retângulo:
42 = 42 + 22 (F)
22 = 42 + 42 (F)
Logo, o triângulo AF1
F2
é isósceles e acutângulo.
Determine o vértice, o parâmetro, o foco e a equação9.
da diretriz da parábola y = x2
– 6x + 8.
Solução:``
O eixo é vertical e como
Δ = 36 – 32 = 4 ⇒ V(3, –1) e p =
1
2
A equação da diretriz é y = –1–
1
= –
5
4 4
e F 3, -
3
4
.
Determine a equação da parábola de foco F(3, 3) e diretriz10.
y = 1.
Solução:``
F (3, 3)
diretriz: y = 1
Sabemos que a equação da reta diretriz é yd
= yf
– p
⇒ p = 2 e que corresponde a uma parábola com a conca-
vidade na direção vertical. A equação da parábola é:
2|p|(y – yV
) = (x – xV
)2
yV
= 1 +
| p |
= 2
2
Logo, ficamos com: 4(y – 2) = (x – 3)2
O foco de uma parábola é o ponto F(4, 3) e sua diretriz11.
é a reta x = 2. Determine sua equação reduzida.
Solução:``
F(4, 3) diretriz ⇒ x = 2
O eixo é horizontal, p = 2 p =
1 .
2
2p (x – xV
) = (y – yV
)2
xv
= 2 +
p
= 3
2
Então, 4(x – 3) = (y – 3)2
A figura a seguir representa uma nave espacial que12.
se desloca numa região do espaço onde as forças
gravitacionais são desprezíveis. A nave desloca-se
de X para Y, em linha reta, com velocidade constante.
No ponto Y, um motor lateral da nave é acionado,
exercendo sobre ela uma força constante, perpen-
dicular à sua trajetória inicial. Depois de um certo
intervalo de tempo, quando a nave se encontra em
Z, o motor é desligado.
O diagrama que melhor representa a trajetória da
nave entre os pontos Y e Z é:
a)
b)
c)

9
EM_V_MAT_021
d)
e)
y 0
y
x
Z
B.
No caminho de Y para Z, temos, no eixo x, um
movimento uniforme, com velocidade constante.
No eixo y, temos uma força constante, logo, uma
aceleração constante, para baixo. Logo, a trajetória
é uma curva.
Como a aceleração é negativa, a concavidade é para
baixo (⇓) (B). Em “contas”:
Δ Sy
= vo
to
+
at2
= -
|a| t2
2 2
(parábolas com concavidade para baixo)
ΔSx
= vt ⇒ t =
Δ Sx
⇒ ΔSy =
| a | Δ Sx
2
v 2v2
constante > 0
Sabe–se que uma elipse de equação (x²/a²) + (y²/b²) = 11.
tangencia internamente a circunferência de equação
x² + y² = 5 e que a reta de equação 3 x+ 2y = 6 é tan-
gente à elipse no ponto P. Determine as coordenadas
de P.
Sejam F2. 1
e F2
os pontos do plano cartesiano de co-
ordenadas F1
= (– 3, 0) e F2
= ( 3, 0). Determine as
coordenadas dos pontos da reta r de equação x–y = 1,
cujas somas das distâncias F1
e F2
sejam iguais a 4 (isto
é: determine as coordenadas dos pontos P sobre a reta
r que satisfazem PF1
+ PF2
= 4).
Considere a elipse de equação (x²/25)+(y²/9)=1.3.
Mostre que o ponto P = (3,12/5) pertence à elipsea)
e calcule a distância de P ao eixo das abscissas.
Determine os vértices Q e R da elipse que perten-b)
cem ao eixo das abscissas e calcule a área do triân-
gulo PQR, onde P = (3,12/5).
Uma elipse que passa pelo ponto (0,3) tem seus focos4.
nos pontos (–4,0) e (4,0). O ponto (0,–3) é interior,
exterior ou pertence à elipse? Mesma pergunta para o
ponto (5/2, 13/5). Justifique sua resposta.
Se z = x + iy é um número complexo, o número real x5.
é chamado “parte real de z” e é indicado por Re(z), ou
seja, Re(x + iy) = x.
Mostre que o conjunto dos pontos (x, y) que satis-a)
fazem à equação Re [(z + 2i)/(z – 2)] = 1/2, ao qual
se acrescenta o ponto (2, 0), é uma circunferência.
Ache a equação da reta que passa pelo pontob)
(–2, 0) e é tangente àquela circunferência.
A equação 9x² + 4y² – 18x – 27 = 0 representa, no plano6.
cartesiano, uma curva fechada. A área do retângulo cir-
cunscrito a essa curva, em unidades apropriadas, vale:
36a)
24b)
18c)
16d)
12e)
O cometa Halley tem uma órbita elíptica com eixo maior e7.
eixo menor iguais a 540 x 107
km e 140 x 107
km, respec-
tivamente. Sabendo que o Sol está em um dos focos da
elipse, calcule o valor d/107
, em que d é a menor distância
entre o Sol e o cometa, medida em quilômetros. Descon-
sidere a parte fracionária de seu resultado, caso exista.
O gráfico da equação x² – y² = 4 representa uma hipér-8.
bole. Os focos dessa hipérbole são:
(1/2, 0) e (–1/2, 0).a)
(2, 0) e (–2, 0).b)
(2c) 2, 0) e (–2 2, 0).
(0,d) 2) e (0, – 2).
(0, 1/2) e (0, –1/2).e)
(UFF)9. As equações y–2x=0, y+x2
= 0 e y2
–x2
+1=0
representam no plano, respectivamente:
uma reta, uma hipérbole e uma parábola.a)
uma parábola, uma hipérbole e uma reta.b)
uma reta, uma parábola e uma elipse.c)

10
EM_V_MAT_021
uma elipse, uma parábola e uma hipérbole.d)
uma reta, uma parábola e uma hipérbole.e)
Assinale10. V se ela for verdadeira e F se a sentença for
falsa. Caso assinale F, justifique a resposta.
xa) 2
/9 + y2
/4 = 1, no plano cartesiano, é a equação
de uma elipse com excentricidade igual a 0,6.
No plano cartesiano, a equação xb) 2
– y2
= 0 repre-
senta uma hipérbole equilátera.
No plano cartesiano, a equação xc) 2
+ y2
– 2x – 4y +
6 = 0 representa uma circunferência.
No plano cartesiano, a equação |2x – y| = 3 repre-d)
senta um par de retas paralelas.
(Unirio)11. As equações x2
–9y2
–6x–18y–9=0,
x2
+y2
–2x+4y+1=0 e x2
–4x–4y+8=0 representam, res-
pectivamente, uma:
hipérbole, uma elipse e uma parábola.a)
hipérbole, uma circunferência e uma reta.b)
hipérbole, uma circunferência e uma parábola.c)
elipse, uma circunferência e uma parábola.d)
elipse, uma circunferência e uma reta.e)
O produto de duas variáveis reais, x e y, é uma constante.12.
Portanto, dentre os gráficos abaixo, o único que pode
representar essa relação é:
a)
b)
c)
d)
e)
a) y
0 x
y
0 x
y
0 x
y
0 x
y
0 x
d) e)
b) c)
a) y
0 x
y
0 x
y
0 x
y
0 x
y
0 x
d) e)
b) c)
x
x
y
0 x
y
0 x
y
0 x
e)
b) c)
a) y
0 x
y
0 x
y
0 x
y
0 x
y
0 x
d) e)
b) c)
a) y
0 x
y
0 x
y
0 x
y
0 x
y
0 x
d) e)
b) c)
(ITA)Considere a família de circunferências com centros13.
no segundo quadrante e tangentes ao eixo 0y. Cada uma
destas circunferências corta o eixo 0x em dois pontos,
distantes entre si de 4cm. Então, o lugar geométrico dos
centros destas circunferências é parte:
de uma elipse.a)
de uma parábola.b)
de uma hipérbole.c)
de duas retas concorrentes.d)
da reta y = – x.e)
Determine as coordenadas do centro e dos vértices da14.
hipérbole x2
– 3y2
– 4x + 6y – 5 = 0.
Determine as coordenadas do centro e dos focos da15.
cônica 2x2
–7y2
–4x+14y–19=0.
Considere os pontos:16.
P1
(0, 0), P2
(1, 1) e P3
(2, 6).
Determine a equação da parábola que passa pora)
P1
, P2
e P3
e tem eixo de simetria paralelo ao eixo Y
das ordenadas.
Determine outra parábola que passe pelos pontos Pb) 1
,
P2
e P3
.
São dadas as parábolas p17. 1
: y = –x² – 4x – 1 e
p2
: y = x² – 3x + 11/4 cujos vértices são denotados,
respectivamente, por V1
e V2
. Sabendo que r é a reta que
contém V1
e V2
, então a distância de r até a origem é:
5/a) 26
7/b) 26
7/c) 50
17/d) 50
11/e) 74
Duas plantas de mesma espécie, A e B, que nasceram18.
no mesmo dia, foram tratadas desde o início com adubos
diferentes. Um botânico mediu todos os dias o cresci-
mento, em centímetros, destas plantas. Após 10 dias de
observação, ele notou que o gráfico que representa o
crescimento da planta A é uma reta passando por (2,3),
e o que representa o crescimento da planta B pode ser
descrito pela lei matemática y=(24x–x²)/12. Um esboço
desses gráficos está apresentado na figura.
x (dias)
planta A
altura y (centímetros)
planta B
2
3

11
EM_V_MAT_021
Determine:
a equação da reta;a)
o dia em que as plantas A e B atingiram a mesmab)
altura e qual foi essa altura.
O foco de uma parábola é o ponto F(4, 3) e sua diretriz19.
é a reta x=2. Determine sua equação reduzida e suas
equações paramétricas.
Determine as coordenadas do foco do vértice e a equa-20.
ção da diretriz da parábola y2
– 6y – 8x + 17 = 0.
Determine a equação da parábola que tem eixo de21.
simetria vertical e passa pelos pontos A(0, 0), B(2, 2)
e C(–4, 20).
Determine k para que a reta 2x – y + k = 0 seja tangente22.
à parábola x2
= 5y.
Do ponto (2, 3) traçam–se as tangentes à parábola23.
y2
+ 8x = 0. Determine a equação destas retas.
Uma montagem comum em laboratórios escolares de1.
Ciências é constituída por um plano inclinado, de altura
aproximadamente igual a 40cm, com quatro canaletas
paralelas e apoiado em uma mesa forrada de feltro, cuja
borda é curvilínea. Sobre a mesa há um ponto marcado
no qual se coloca uma bola de gude. A experiência
consiste em largar, do alto do plano inclinado, outra bola
de gude, a qual, depois de rolar por uma das canaletas,
cai na mesa e colide sucessivamente com a borda da
mesa e com a primeira bola.
A borda da mesa tem a forma de um arco de:
elipse, e o ponto marcado é um de seus focos.a)
parábola, e o ponto marcado é seu foco.b)
hipérbole, e o ponto marcado é um de seus focos.c)
hipérbole, e o ponto marcado é seu centro.d)
circunferência, e o ponto marcado é seu centro.e)
A elipse x² + (y²/2) = 9/4 e a reta y = 2x + 1, do plano2.
cartesiano, se interceptam nos pontos A e B. Pode–se,
pois, afirmar que o ponto médio do segmento AB é:
(–2/3, –1/3)a)
(2/3, –7/3)b)
(1/3, –5/3)c)
(–1/3, 1/3)d)
(–1/4, 1/2)e)
Tangenciando externamente a elipse3. e1
, tal que e1
:
9x²+4y²–72x–24y+144 = 0, considere uma elipse e2
de
eixo maior sobre a reta que suporta o eixo menor de e1
e cujos eixos têm a mesma medida que os eixos de e1
.
Sabendo que e2
está inteiramente contida no primeiro
quadrante, o centro de e2
é:
(7,3)a)
(8,2)b)
(8,3)c)
(9,3)d)
(9,2)e)
Determine a equação da elipse de centro (–2, 1), ex-4.
centricidade 3
5
e eixo maior horizontal de comprimento
20.
Determine os pontos em que a reta x+y–5 = 0 intercepta5.
a elipse 3x2
+7y2
–115=0.
Determine para que valores de k a reta x+y–k=0 é6.
secante, tangente, exterior à elipse x2
+4y=20.
Determine as equações das retas tangentes à elipse7.
x y
2
20
2
5
1+ = e perpendiculares à reta 2x–2y–13=0.
Determine a equação da elipse de excentricidade8.
2
2
,
cujos focos são pontos da reta (r) y+6=0 e sendo
B1
(3, 1) um dos extremos do seu eixo menor.
Determine as equações das retas tangentes à hipérbole9.
2 2
1
16 4
− + =
x y
e paralelas à reta x – 5y = a.
O eixo real de uma hipérbole é horizontal e suas assín-10.
totas são as retas 2x + y – 3 = 0 e 2x – y – 1 = 0. Ache
a equação da hipérbole, sabendo–se que o ponto (4,
6) pertence a ela.
Os focos de uma hipérbole são F11. 2
(6, 2) e F1
(6, 12) e o
comprimento de seu eixo imaginário é 6. Determine a
equação reduzida da hipérbole.
Determine as coordenadas dos focos da hipérbole xy = 8.12.
Determine a equação da hipérbole equilátera que passa13.
pelo ponto P0
(13, 12) e que tem por eixos de simetria
os eixos coordenados, as coordenadas dos focos e dos
vértices.
Determine a equação da reta tangente à hipérbole14.
x2
– 3y2
– 2x + 36y – 116 = 0 no seu ponto T(7, 9).
Os eixos, real e imaginário, de uma hipérbole de eixo15.
real horizontal têm, respectivamente, os comprimentos
8 e 6. Determine a equação desta hipérbole e da sua
conjugada, sendo seu centro o ponto C(1, –3).
Determine as coordenadas dos focos da cônica16.
(x – 2)2
16
–
(y – 1)2
9
– 4.

12
EM_V_MAT_021
Demonstre que o paralelogramo limitado pelas assíntotas17.
da hipérbole
x2
a2
–
y2
b2
= 1 e as retas traçadas de qualquer
um de seus pontos, paralelamente às assíntotas, é a
constante
ab
2
O eixo real de uma hipérbole tem o comprimento igual18.
a 12, sendo seus focos os pontos F2
(4, –9) e F1
(4, 11).
Determine a equação das tangentes à hipérbole, con-
duzidas do ponto P1
(0, 1).
Determine a equação da tangente à parábola y19. 2
= 8x
paralela à reta 2x–y+4 = 0.
Demonstre que a equação da reta tangente à pará-20.
bola y2
= 2px e paralela à reta y = ax+b, para a ≠ 0 ,
y = ax +
p
2a
Sejam A e B os pontos de interseção da parábola y = x²21.
com a circunferência de centro na origem e raio 2 .
Quais as coordenadas dos pontos A e B?a)
Se C é um ponto da circunferência diferente de A eb)
de B, calcule as medidas possíveis para os ângulos
A ˆC B.
Determine a equação da parábola de vértice (6, –2), cujo22.
eixo é y + 2 = 0 e que passa pelo ponto (8, 2).
Uma parábola tem o eixo de simetria vertical e passa23.
pelos pontos (–2, 0), (6, 0) e (2, –4), determine sua
equação, seu vértice e seu parâmetro.
Determine a equação da família de parábolas de eixo de24.
simetria vertical e foco comum (2, 6).
Determine as equações das tangentes à parábola25.
x = – y2
conduzidas pelo ponto P(5, 0).
Umalvodealtura1,0mencontraacertadistânciaxdoponto26.
de disparo de uma arma. A arma é, então, mirada no centro
do alvo e o projétil sai com velocidade horizontal 500m/s.
Supondonulaaresistênciadoar,adotandog=10m/s2
,qual
a distância máxima que se deve localizar a arma do alvo, de
modo que o projétil o atinja?
Um menino andando de27. skate com velocidade v = 2,5m/s
num plano horizontal, lança para cima uma bolinha de
gude com velocidade v = 4,0m/s e a apanha de volta.
Considere g = 10m/s2
.
Esboçe a trajetória descrita pela bolinha em relaçãoa)
à Terra.
Qual é a altura máxima que a bolinha atinge?b)
Que distâc) ncia horizontal a bolinha percorre?
Mostre que a corda dos contatos das tangentes, à pa-28.
rábola (y–2)2
=8(x–4), traçadas do ponto (1, 2), passa
pelo foco da mesma.

13
EM_V_MAT_021
P (8/9, 5/3)1.
Os pontos são (0,–1) e (8/5, 3/5).2.
3.
12
5
a)
Q(–5, 0), R(5,0) e A = 12b)
(0, –3) pertence e (5/2, 13/5) é exterior à elipse.4.
É o conjunto dos números complexos cujos afixos são
os pontos externos à elipse representada acima.
Sendo z = x + iy um número complexo com (x,y)5. Ì IR e
i = −1.
Substituindo z por x + iy, temos;a)
(z+2i)/(z–2) = (x+iy+2i)/(x+iy–2) com z¹ 2 =
[x+(2+y)i/
(x–2)+iy]
Efetuando–se a divisão, temos que:
Re [(z+2i)/(z–2)] =
= (x²–2x+y²+2y)/(x²+y²–4x+4) = 1/2
Logo, x²+y²+4y–4 = 0 (z¹ 2).
A condição z≠ 2 exclui o ponto (2,0) da circunfe-
rência de equação x²+y²+4y–4=0, que tem centro
(0,–2) e raio 2 2 .
Portanto, se acrescentarmos o ponto (2,0) a esse con-
junto de pontos, obteremos a circunferência de centro
(0,–2) e raio 2 2 .
x – y + 2 = 0b)
B6.
97.
C8.
E9.
F, F, F, V10.
C11.
C12.
C13.
C(2, 1) e os vértices A(214. 6 ,1)
C (1;1); e focos F15. 1
(–2;1) e F2
(4;1)

14
EM_V_MAT_021
16.
y = 2xa) 2
– x
x = –2/15 yb) 2
+ 17/15 y
E17.
18.
a) y
x
=
3
2
6º dia e 9 cmb)
(y–3)19. 2
= 4(x–3) e
y t
x
t
= +
=
+




3
2
12
4
.
V (1, 3), F (3, 3) e (d) x + 1 = 0.20.
y = x21. 2
– x.
k = – 5.22.
2x – y – 1 = 0 e x + 2y – 8 = 023.
B1.
E2.
D3.
(x + 2)2
100
4. +
(y – 1)2
64
= 1
(6, –5. 1) e (1, 4)
− < < = ± > < −5 5 5 5 5K K e K ouK
ante
gente
exteriorsec
tan
,1 24 34
678
1 244 3444
6.
x +7. y ± 5 = 0
(x – 3)2
98
8. +
(y + 6)2
49
= 1
5 2 21 0− ± =x y9.
4x10. 2
– y2
– 8x + 2y – 8
(x – 6)2
9
11. +
(y – 7)2
16
= 1
F12. 2
(–4, –4) e F1
(4, 4).
x13. 2
– y2
= 25
c = 25 + 25 = 5 2 F ( 5 2,0 )
( 5, 0)±A
2x – 3y + 13 = 014.
+15.
(x – 1)2
16
+
(y + 3)2
9
=1 e +
(x – 1)2
16
+
(y + 3)2
9
=1
F16. 1
(12;1); F2
(–8;1)
Demonstração17.
y x=
±




 −
1 41
10
118.
y =19. 2x + 1.
Demonstração20.
21.
A (1; 1) e B (–1; 1)a)
45° ou 135°b)
(y+2)22. 2
= 8(x–6):
A equação da parábola é do tipo (y + 2)2
= 2p(x – 6),
pois o eixo de simetria é horizontal (y = –2).
Da pertinência do ponto (8, 2), resulta
16 = 2p . 2 ⇒ 2p = 8
A parábola é (x – 2)23. 2
= 4(y + 4); v(2;–4); p = 2
Sugestão: Tente resolver este problema tomando a
equação da parábola sob a forma y = ax2
+ bx + c.
y x p
p P= −( ) + −( ) ∈2 2
2 6 2 ;24.
As tangentes têm por equações25. y x= ± −
5
10
5( )
d26. máx
= 50 10m
27.
gráficoa)
0,8 mb)
1,0 mc)
Demonstração.28.

15
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16
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