1. UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO CURSO DE MATEMATICAI – ING.INDUSTRIAL
1
MATRICES
MOTIVACION
1. Una cadena de tiendas de electrónica tiene dos distribuidoras. Inicialmente, el
número de televisores, radios y computadoras en existencia en los
correspondientes almacenes está dado por el siguiente arreglo:
𝑇𝑉 𝑅𝑎𝑑. 𝐶𝑜𝑚𝑝.
𝐴 = [
30 30 20
18 32 28
]
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑑𝑜𝑟𝑎 1
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑑𝑜𝑟𝑎 2
Después, se hicieron entregas a los almacenes de acuerdo al arreglo:
𝑇𝑉 𝑅𝑎𝑑. 𝐶𝑜𝑚𝑝.
𝐵 = [
20 38 12
10 48 0
]
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑑𝑜𝑟𝑎 1
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑑𝑜𝑟𝑎 2
Si al final se ha vendido televisores, radios y computadoras como se especifica
en el arreglo:
𝑇𝑉 𝑅𝑎𝑑. 𝐶𝑜𝑚𝑝.
𝐶 = [
22 34 16
14 40 20
]
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑑𝑜𝑟𝑎 1
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑑𝑜𝑟𝑎 2
Determine el arreglo que representa el número de los tres artículos que quedan
en existencia.
SOLUCION
Como se observa en los arreglos, para dar respuesta a lo planteado se debe
formular la operación entre arreglos como sigue:
𝐷 = (𝐴 + 𝐵) − 𝐶
Donde 𝐷 es el arreglo que representa el número de los tres artículos que quedan
en existencia y cuya operación entre los elementos de los arreglos deben ser de
manera natural como sigue:
𝐷 = ([
30 30 20
18 32 28
]+ [
20 38 12
10 48 0
]) − [
22 34 16
14 40 20
]
𝐷 = [
30 + 20 − 22 30 + 38 − 34 20 + 12 − 16
18 + 10 − 14 32 + 48 − 40 28 + 0 − 20
] = [
28 34 16
14 40 8
]
Es decir, quedan 28 televisores, 34 radios y 16 computadoras en la distribuidora
1 y 14 televisores, 40 radios y 8 computadoras en la distribuidora 2.

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2. Si en el punto 1, los televisores, radios y computadoras de las distribuidoras 1
y 2 se vendieron en 1000, 600 y 1500 soles cada uno respectivamente,
determinar la operación y arreglo que especifica la venta total de ambas
distribuidoras.
SOLUCION
Con el fin de realizar las operaciones correctas, se debe escribir el siguiente
arreglo
𝐸 = 𝐶𝐹
Donde 𝐹 = [
1000
600
1500
] es el arreglo que representa el precio de venta de cada
artefacto. Luego, se puede escribir:
𝑇𝑉 𝑅𝑎𝑑. 𝐶𝑜𝑚𝑝.
𝐸 = [
22 34 16
14 40 20
]
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑑𝑜𝑟𝑎 1
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑑𝑜𝑟𝑎 2
𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎
[
1000
600
1500
]
𝐸 = [
(22)(1000)+ (34)(600)+ (16)(1500)
(14)(1000)+ (40)(600)+ (20)(1500)
]
𝐸 = [
22000 + 20400 + 24000
14000 + 24000 + 30000
]
𝐸 = [
66400
68000
]
Luego, la distribuidora 1 tuvo un ingreso de 66400 soles y la distribuidora 2 un
ingreso de 68000 soles.
3. Suponga que una empresa fabrica un producto usando diferentes cantidades
de tres insumos P,Q y R: Sea el numero de unidades de estos insumos usados
por cada unidad del producto dado por el siguiente arreglo renglón:
Sea entonces el costo por unidad de estos insumos dado por el siguiente arreglo
columna
El costo de los tres insumos por unidad de producto se obtiene sumando los
costos de 3 unidades de P a un costo de 10 cada una, 2 unidades de Q a 8 cada
una y 4 unidades de R a 6 cada una.

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AB=[3 2 4][
10
8
6
]=3(10)+2(8)+4(6)=30+16+24=70
4. Supongamos que una empresa fabrica dos productos, I y II, usando diferentes
cantidades de las tres materias primas P,Q Y R. Sean las unidades de materias
primas usadas en los productos dadas por el arreglo:
Supongamos que la empresa produce estos dos productos en dos plantas, X y
Y. Sean los costos de las materias primas (por unidad) en las dos localidades X
y Y dados por el siguiente arreglo:
El costo total de materias primas por cada unidad del producto I producido en la
localidad X es:
3(10)+2(8)+4(6)=70
El costo total de materias primas por cada unidad del producto I producido en la
localidad Y es:
3(12)+2(7)+4(5)=70
El costo total de materias primas por cada unidad del producto II producido en la
localidad X es:
2(10)+5(8)+1(6)=66
El costo total de materias primas por cada unidad del producto II producido en la
localidad Y es:
2(12)+5(7)+1(5)=64
Los costos totales de materias primas para los dos productos elaborados en las
plantas X y Y pueden disponerse en el siguiente arreglo:
Todas las operaciones realizadas puede representarse como

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DEFINICION DE MATRIZ
Una matriz 𝐴 de 𝑚 × 𝑛 es un arreglo rectangular de 𝑚𝑛 números reales (o
complejos) ordenados en 𝑚 renglones horizontales y 𝑛 columnas verticales.
𝐴 =
[
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22
… 𝑎2𝑛
.
.
.
.
.
.
…
.
.
.
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2
… 𝑎𝑚𝑛]
(1)
El 𝑖 – ésimo renglón de 𝐴 es:
[𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 … 𝑎𝑖𝑛] , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚
La 𝑗 – ésima columna de 𝐴 es:
[
𝑎1𝑗
𝑎2𝑗
.
.
.
𝑎𝑗 ]
, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛
Con frecuencia se escribirá (1) como:
𝐴 = [𝑎𝑖𝑗]
𝑚×𝑛
ORDEN DE UNA MATRIZ
EL orden de una matriz está dado por el producto 𝑚 × 𝑛, donde 𝑚 indica el
número de filas y 𝑛 el número de columnas.
MATRICES ESPECIALES
1. Matriz cuadrada
Ocurre cuando 𝑛 = 𝑚 y se dice que 𝐴𝑛 = [𝑎𝑖𝑗] es una matriz cuadrada.
2. Matriz diagonal
La matriz cuadrada 𝐴𝑛 es diagonal si 𝑎𝑖𝑗 = 0, ∀𝑖 ≠ 𝑗 y ∃𝑎𝑖𝑖 ≠ 0 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛.

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𝐴𝑛 =
[
𝑎11 0 0 ⋯ 0
0 𝑎22 0 ⋯ 0
0
⋮
0
0
⋮
0
𝑎33
⋮
0
⋯
𝑎44
…
0
⋮
𝑎𝑛𝑛 ]
Ejemplo
𝐴4 = [
2 0 0 0
0 0 0 0
0 0 −3 0
0 0 0 0
]
3. Matriz identidad
La matriz cuadrada 𝐼𝑛 es la matriz identidad si y solo si 𝑎𝑖𝑗 = 0, ∀𝑖 ≠ 𝑗 y 𝑎𝑖𝑖 = 1,
∀𝑖.
𝐴𝑛 =
[
1 0 0 ⋯ 0
0 1 0 ⋯ 0
0
⋮
0
0
⋮
0
1
⋮
0
⋯
⋱
0
0
⋮
1]
Ejemplo
𝐼3 = [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
]
4. Matriz triangular
a) La matriz cuadrada 𝐴𝑛 es triangular superior si 𝑎𝑖𝑗 = 0 , ∀𝑖 > 𝑗.
𝐴3 = [
𝑎11 𝑎12 𝑎13
0 𝑎22 𝑎23
0 0 𝑎33
]
b) La matriz cuadrada 𝐴𝑛 es triangular inferior si 𝑎𝑖𝑗 = 0 , ∀𝑖 < 𝑗.
𝐴3 = [
𝑎11 0 0
𝑎21 𝑎22 0
𝑎31 𝑎32 𝑎33
]
5. Matriz nula
La matriz 𝐴𝑚×𝑛 es nula, si y solo si 𝑎𝑖𝑗 = 0 , ∀𝑖 ,∀𝑗.
Ejemplo

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𝐴3 = [
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
]
6. Matriz transpuesta
Sean las matrices 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗]
𝑚×𝑛
y 𝐵 = [𝑏𝑖𝑗]
𝑛×𝑚
. Se dice que 𝐵 es la transpuesta
de 𝐴, si y solo si 𝑏𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 , ∀ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 , ∀ 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛. Se denota 𝐵 = 𝐴𝑡
.
Ejemplo
Sea la matriz 𝐴 = [
1 0 2 3
5 1 4 1
2 3 0 6
] de orden 3 × 4. Luego, la transpuesta de 𝐴, es
Otra matriz de orden 4 × 3 que se obtiene intercambiando las filas por las
columnas
𝐴𝑡
= [
1 5 2
0 1 3
2
3
4
1
0
6
]
DIAGONAL PRINCIPAL
Dada la matriz cuadrada 𝐴𝑛 = [𝑎𝑖𝑗], se llama diagonal principal al conjunto
𝐷(𝑎11,𝑎22 , 𝑎33, …, 𝑎𝑛𝑛 ).
Ejemplo
Sea 𝐴3 = [
2 −1 0
6 1 1
4 3 0
], luego, 𝐷(2,1,0) es la diagonal principal de 𝐴3.
TRAZA DE UNA MATRIZ
Sea la matriz cuadrada 𝐴𝑛 = [𝑎𝑖𝑗]. Se llama traza de la matriz 𝐴, al número
𝑇𝑟(𝐴𝑛) = 𝑎11 + 𝑎22 + 𝑎33 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑛 (suma de los elementos de la diagonal
principal).
Ejemplo
En la matriz del ejemplo anterior 𝑇𝑟(𝐴3) = 2 + 1 + 0 = 3
7. Matriz diagonal
La matriz cuadrada 𝐴𝑛 = [𝑎𝑖𝑗] es diagonal, si y solo si, 𝑎𝑖𝑗 = 0 , ∀𝑖 ≠ 𝑗 y ∃𝑖 ,
𝑎𝑖𝑖 ≠ 0 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛.
Ejemplo
𝐴3 = [
3 0 0
0 1 0
0 0 2
]

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7
IGUALDAD DE MATRICES
Las matrices 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗]
𝑚×𝑛
y 𝐵 = [𝑏𝑖𝑗]
𝑚×𝑛
son iguales, si y solo si, 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 , ∀𝑖 ,
∀𝑗 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 , 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 .
Ejemplo
Sean las matrices, 𝐴 = [
1 2 1
2 4 0
0 1 3
] y 𝐵 = [
1 2 1
2 𝑥 0
0 1 3
], determinar en qué caso se
cumple 𝐴 = 𝐵.
Solución
Para que la matriz 𝐴 sea igual a la matriz 𝐵, se debe cumplir que 𝑥 = 4.
OPERACIONES ALGEBRAICAS CON MATRICES
1. SUMA DE MATRICES
Definición: La suma (resta) de las matrices 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] y 𝐵 = [𝑏𝑖𝑗], es la matriz
[𝑐𝑖𝑗] = [𝑎𝑖𝑗] ± [𝑏𝑖𝑗], de orden 𝑚 × 𝑛 , tal que 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 ± 𝑏𝑖𝑗 , ∀ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 ,
∀ 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛.
Ejemplo
Dadas las matrices 𝐴 = [
1 3 1
−3 −1 2
] y 𝐵 = [
2 −2 6
3 −3 2
], hallar:
a) 𝐴 + 𝐵
b) 𝐴 − 𝐵
Solución
a) 𝐴 + 𝐵 = [
1 3 1
−3 −1 2
] + [
2 −2 6
3 −3 2
] = [
3 1 7
0 −4 4
]
b) 𝐴 − 𝐵 = [
1 3 1
−3 −1 2
] − [
2 −2 6
3 −3 2
] = [
−1 5 −5
−6 2 0
]
2. PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ
Definición: El producto de un escalar 𝛼 por una matriz [𝑎𝑖𝑗] de orden 𝑚 × 𝑛 es
una matriz [𝛼𝑎𝑖𝑗] de orden 𝑚 × 𝑛 cuyos elementos se obtienen multiplicando el
escalar 𝛼 por cada elemento 𝑎𝑖𝑗 de la matriz [𝑎𝑖𝑗].
Ejemplo

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8
Si 𝛼 = 2 y 𝐴 = [
1 3 2 0
−1 3 0 2
3 1 −2 0
], calcular 𝛼𝐴.
Solución
𝛼𝐴 = 2𝐴 = 2[
1 3 2 0
−1 3 0 2
3 1 −2 0
] = [
2 6 4 0
−2 6 0 4
6 2 −4 0
]
3. MULTIPLICACION DE MATRICES
Definición: El producto la matriz 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗]
𝑚×𝑛
por 𝐵 = [𝑎𝑖𝑗]
𝑛×𝑝
se define del
siguiente modo:
𝐶 = 𝐴𝐵 = [𝑐𝑖𝑗]
𝑚×𝑝
, talque 𝑐𝑖𝑗 = ∑ 𝑎𝑖𝑘
𝑛
𝑘=1 𝑏𝑘𝑗 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 , 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑝
Ejemplo
Sean las matrices 𝐴 = [
1 3 2
2 0 4
]
2×3
, 𝐵 = [
1 2
0 1
1 4
]
3×2
, hallar 𝐴𝐵.
Solución
La matriz resultante debe ser 𝐶 = [𝑐𝑖𝑗]
2×2
= [
𝑐11 𝑐12
𝑐21 𝑐22
]
Calculando los 𝑐𝑖𝑗:
𝑐11 = ∑ 𝑎1𝑘
3
𝑘=1
𝑏𝑘1 = 𝑎11𝑏11 + 𝑎12𝑏21 + 𝑎13𝑏31 = (1)(1)+ (3)(0)+ (2)(1) = 3
𝑐21 = ∑ 𝑎2𝑘
3
𝑘=1
𝑏𝑘1 = 𝑎21𝑏11 + 𝑎22𝑏21 + 𝑎23𝑏31 = (2)(1)+ (0)(0)+ (4)(1) = 6
𝑐12 = ∑ 𝑎1𝑘
3
𝑘=1
𝑏𝑘2 = 𝑎11 𝑏12 + 𝑎12𝑏22 + 𝑎13𝑏32 = (1)(2)+ (3)(1)+ (2)(4) = 13
𝑐22 = ∑ 𝑎2𝑘
3
𝑘=1
𝑏𝑘2 = 𝑎21 𝑏12 + 𝑎22𝑏22 + 𝑎23 𝑏32 = (2)(2)+ (0)(1)+ (4)(4) = 20
Luego,
𝐶 = [𝑐𝑖𝑗]
2×2
= [
3 13
6 20
]

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OBSERVACION
Un método práctico consiste en multiplicar la fila 1 de la matriz 𝐴 por la columna
1 de la matriz 𝐵; la fila 1 de la matriz 𝐴 por la columna 2 de la matriz 𝐵; la fila 2
de la matriz 𝐴 por la columna 1 de la matriz 𝐵 y finalmente la fila 2 de la matriz
𝐴 por la columna 2 de la matriz 𝐵.
PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LAS MATRICES
1. Suma de matrices
1.1 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴
1.2 (𝐴 + 𝐵) + 𝐶 = 𝐴 + (𝐵 + 𝐶)
1.3 ∃ 𝛩 𝑡𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒 𝐴 + 𝛩 = 𝛩 + 𝐴 = 𝐴 ,∀ 𝐴
1.4 ∀𝐴 , ∃! 𝐵 𝑡𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 = 𝛩
Donde 𝐵 = −𝐴
2. Propiedades del producto de un escalar por una matriz
Si 𝜆 𝑦 𝛽 son escalares y 𝐴, 𝐵 matrices:
2.1 𝜆(𝐴 + 𝐵) = 𝜆𝐴 + 𝜆𝐵
2.2 (𝜆𝛽)𝐴 = 𝜆(𝛽𝐴) = 𝛽(𝜆𝐴)
2.3 (𝜆 + 𝛽)𝐴 = 𝜆𝐴 + 𝛽𝐴
3. Propiedades de la multiplicación de matrices
3.1 𝐴(𝐵 + 𝐶) = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶
3.2 (𝐵 + 𝐶)𝐴 = 𝐵𝐴 + 𝐶𝐴
3.3 𝐼𝐴 = 𝐴𝐼 = 𝐴 , 𝐼 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑
3.4 𝛩𝐴 = 𝐴𝛩 = 𝛩 , 𝛩 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑛𝑢𝑙𝑎
3.5 𝜆(𝐴𝐵) = (𝜆𝐴)𝐵 = 𝐴(𝜆𝐵) , 𝜆 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟
OBSERVACION:
En general no se cumple 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴.

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EJERCICIOS
1. Sean las matrices 𝐴 = [
1 2 1 4
0 −2 1 3
2 1 5 0
] , 𝐵 = [
2 0 1 0
1 −1 1 3
2 3 2 0
]. Calcular:
a) 𝐴 + 𝐵
b) 𝐵 − 𝐴
c) 2𝐴 − 3𝐵
d) 3𝐵 + 2𝐴
2. Sean las matrices 𝐴 = [
1 2 1 4
0 −2 1 3
2 1 5 0
] y 𝐵 = [
2 1
1 0
0
3
−2
2
] , 𝐶 = [
1 2
−1 1
2 3
]calcular:
a) 𝐴𝐵
b) (2𝐴)𝐵 − 𝐶
3. Dadas las matrices 𝐴 = [
1 2 2
3 0 3
1 2 5
] , 𝐵 = [
1 2 2
3 0 3
1 𝑥2
+ 𝑥 5
] , determine los
valores de 𝑥 para los cuales las matrices son iguales.
4. Dadas las matrices 𝐴 = [
1 2 3
0 1 2
] y 𝐵 = [
1 −2
1 1
], hallar 𝐴𝑡
𝐵 − 𝐴𝑡
5. En los almacenes de cada una de 3 farmacias se tienen los medicamentos A,
B y C. La cantidad de medicamentos de cada tipo en los almacenes son:
Almacén 1: 200 medicamentos A , 100 medicamentos B y 300 medicamentos C
Almacén 2: 50 medicamentos A, 80 medicamentos B y 200 medicamentos C
Almacén 3: 100 medicamentos A, 100 medicamentos B y 50 medicamentos C
El costo unitario de los medicamentos A es 10 soles, de los medicamentos B 5
soles y de los medicamentos C 8 soles.
Haciendo uso de las matrices:
a) Exprese la disponibilidad de los medicamentos en los tres almacenes
b) Exprese el costo unitario de los medicamentos A, B y C
c) Si se venden todos los medicamentos de los tres almacenes, calcule la venta
que tuvo cada farmacia.
6. 5 estudiantes de matemática de educación secundaria obtuvieron los
siguientes calificativos en cada unidad de 3 unidades:
Estudiante 1: 12 13 14
Estudiante 2: 10 11 13

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Estudiante 3: 09 12 15
Estudiante 4: 15 08 12
Estudiante 5: 02 14 11
Los pesos por unidad son:
Unidad 1: 1
Unidad 2: 2
Unidad 3: 3
Haciendo uso de matrices calcule el promedio de cada estudiante.
Respuesta: Estudiante 1:13.33; Estudiante 2: 11.83 ; Estudiante 3: 13 ;
Estudiante 4: 11.17 ; Estudiante 5: 10.5 .
7. Un comerciante estima que los costos por la compra y transporte de ciertas
unidades de televisores, computadores y radios desde tres diferentes ciudades
se expresan por las siguientes matrices:
CIUDAD I
CIUDAD II
CIUDAD III
Escriba la matriz que representa los costos totales de los artefactos y de
transporte por unidad de televisores, computadoras y radios desde cada una de
las ciudades.
8. Una fábrica produce tres tamaños de neumáticos en dos calidades diferentes.
La producción en miles de unidades en una de sus plantas está dada por la
siguiente matriz.
𝐶1 = [
10 30 20
20 15 10
]
Televisores Computadoras Radios
Costodel artefacto
Costode transporte
𝐶2 = [
12 22 26
10 18 8
]
Televisores Computadoras Radios
Costodel artefacto
Costode transporte
𝐶3 = [
14 20 24
12 9 8
]
Televisores Computadoras Radios
Costodel artefacto
Costode transporte

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La producción en miles de unidades en la otra de sus plantas está dada por la
siguiente matriz.
a) Escriba una matriz que represente la producción total de neumáticos en
ambas plantas.
b) Se desea instalar una nueva planta en una tercera ciudad, con una producción
de 1.5 veces la capacidad de la planta en la primera ciudad. Escriba la matriz
que representa la producción en la planta de la tercera ciudad.
c) ¿Cuál sería la producción total de las tres plantas?
9. Una empresa utiliza tres tipos de materias primas 𝑀1, 𝑀2 y 𝑀3 en la
elaboración de dos productos 𝑃1 y 𝑃2 . El número de unidades 𝑀1, 𝑀2 y 𝑀3
usados por cada unidad de 𝑃1 son 3, 2 y 4, respectivamente, y por cada unidad
de 𝑃2 son 4,1 y 3, respectivamente. Suponga que la empresa produce 20
unidades de 𝑃1 y 30 unidades de 𝑃2 a la semana. Usando matrices responda:
a) ¿Cuál es el consumo semanal de las materias primas?
b) Si los costos por unidad en soles para 𝑀1, 𝑀2 y 𝑀3 son 6, 10 y 12,
respectivamente, ¿Cuáles son los costos de las materias primas por unidad de
𝑃1 y 𝑃2?
c) ¿Cuál es la cantidad total gastada en materias primas a la semana en la
producción de 𝑃1 y 𝑃2?
[
12 30 14
18 12 10
]
Tamaño 1 Tamaño 2 Tamaño 3
Calidad1
Calidad2
[
14 20 24
13 15 12
]
Tamaño 1 Tamaño 2 Tamaño 3
Calidad1
Calidad2

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