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BACCALAUREAT G NERAL
SESSION 2014
MATHÉMATIQUES
sÉnrn s
Candidats n'ayant pas suivi I'enseignement de spécialité
Durée de l'épreuve : 4 heures - CoeffTcient : 7
Ce sujet comporte 7 pages numérotées de ll7 à717.
L'annexe, page 717, est à rendre avec la copie.
L'usage des calculatrices est autorisé selon les termes de la circulaire
n"99-186 du l6 novembre 1999.
*- *_ rt _:!
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
II est rappelé que la qualité de la rédaction, Ia clarté et Ia précision des raisonnentents entreront
une part importante dans l'appréciation des copies.
14MASCOG1I SUJET Page Il7
Dans I'ensentble du sujet, et pour chaque question, loule îrace de recherche ntême incotnplète, ou
d'inif ialive ntême nonfructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Exercice 1 (4 points)
Commun à tous les candidats
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples cornportant quatre questions indépendantes.
Pour chaqtte question, une seule des quatre ffirmations proposées esT exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le nuntéro de Ia question eî la lettre correspondant à
l'ffimmlion exacîe. Attume justification n'est dennndée. Une réponse exacte rapporte un point ;
une réponsefausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.
Question 1
Dans un hypermarché,75 yo des clients sont des femmes. Une femme sur cinq achète un article au
rayon bricolage, alors que sept hommes sur dix le font.
Une personne, choisie au hasard, a fait un achat au rayon bricolage.
La probabilité que cette personne soit une femme a pour valeur arondie au millième :
a. 0,750 b.0,150 c. 0,462 d. 0,700
Question 2
Dans cet hypermarché, un modèle d'ordinateur est en promotion. Une étude statistique a permis
d'établir que, chaque fois qu'un client s'intéresse à ce modèle, la probabilité qu'il l'achète est égale
à 0,3. On considère un échantillon aléatoire de dix clients qui se sont intéressés à ce modèle.
La probabilité qu'exactement trois d'entre eux aient acheté un ordinateur de ce modèle a pour
valeur arrondie au millième :
^.
0,900 b. 0,092 c. 0,002 d. 0,267
Question 3
Cet hypermarché vend des téléviseurs dont la durée de vie, exprimée en année, peut être rnodélisée
par une variable aléatoire réelle qui suit une loi exponentielle de paramètre )" . La durée de vie
moyenne d'un téléviseur est de huit ans, ce qui se traduit par : )" =! .
8
La probabilité qu'un téléviseur pris au hasard fonctionne encore au
arrondie au millième :
bout de six ans a pour valeur
d. 0,528
^.
0,750 b. 0,250 c. 0,472
Question 4
cet hypermarché vend des baguettes de pain dont la masse, exprimée en gramme,
aléatoire réelle qui suit une loi normale de moyenne 200 g. La probabilité que
baguette soit comprise entre 184 g et 216 g est égale à 0,954.
La probabilité qu'une baguette prise au hasard ait une masse inferieure à 192
arrondie au centième :
c. 0,84
est une variable
la masse d'une
g a pour valeur
14MASCOGl1
a. 0,16 b. 0,32
SUJET
d. 0,48
Page2/7
Exercice 2 (4 points)
Commun à tous les candidats
On définit, pour tout entier naturel n, les nombres complexes z,t par ..
I
" :16,
l'0
I l+i
lz,*r: ,.
,,, pour tout entier naturel n.
On note 4, le module du nombre complexe zù : rn =lt,,l.
Dans le plan muni d'un repère orthononné direct d'origine O, on considère les points 4,,
d'affixes 2,,.
1. a) Calculer zt, 22 et z3 .
b) Placer les points A, et A, sur le graphique de l'annexe, à rendre avec la copie.
c) Écrire le nombre complexe $ ,ou, forme trigonométrique.'2
d) Démontrer que le triangle O A0Ar est isocèle rectangle en A, .
2, Démontrer que la suite (4, ) est géométrique, O. ,u,ron
@ .
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Interpréter géométriquement le résultat précédent.
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successivement par les points A,, A, , Ar, etc.
i=n-l
Ainsi !, = I A,A,*, = AoA, +ArA2 +...+A,,_rA,, .
r=0
3. a) Démontrer que, pour tout entier naturel n : A,, A,+t = /,+r.
b) Donner une expression de 2,, en fonction de n.
c) Déterminer la limite éventuelle de la suite (2,,).
Exercice 3 (7 points)
Commun à tous les candidats
Les parties A et B sont indépendantes.
Une image numérique en noir et blanc est composée de petits carrés (pixels) dont la couleur va du
blanc au noir en passant par toutes les nuances de gris. Chaque nuance est codée par un réel x de la
façon suivante :
. x = 0 pour le blanc ;
. x=l pourlenoir;
. x =0,01; x=0,02 et ainsi de suite jusqu'à x=0,99 par pas de 0,01 pour toutes les
nuances intermédiaires (du clair au foncé).
L'image A, ci-après, est composée de quatre pixels et donne un échantillon de ces nuances avec
leurs codes.
14MASCOG11 SUJET page 317
Un logiciel de retouche d'image utilise des fonctions numériques dites < fonctions de retouche >.
Une fonction/définie sur l'intervalle [0;1] est dite < fonction de retouche > si elle possède les
quatre propriétés suivantes :
o ./(0)=0;
o .f(t)=t;
o f est continue sur l'intervatte l0;1] ;
o ;f est croissante sur l'intervatte [O;t].
Une nuance codée x est dite assombrie par la fonction f si /("x) ) x, et éclaircie si /(x) < :c .
Ainsi, si /(x) : n2 , un pixel de nuance codée 0,2 prendra la nuance codée 0,22 = 0.04 .
L'image A sera transformée en I'image B ci-dessous.
Si /(x) : Ji ,la nuance codée 0,2 prendra la nuance codée 1f 0j = e,45 .
L'image A sera transformée en I'image C ci-dessous.
Partie A
1. on considère la fonction I définie sur l'intervatte [0;t] par : fr(x) = 4x3 - 6x2 +3x .
a) Démontrer que la fonction f est une fonction de retouche.
b) Résoudre graphiquement l'inéquation fr(") <", à l'aide du graphique donné en annexe, à
rendre avec la copie, en faisant apparaître les pointillés utiles.
Interpréter ce résultat en termes d'éclaircissement ou d'assombrissement.
2. on considère la fonction f, définie sur l'intervalle [0;l] nar : fr(x)=ln(l+(e-l)x).
On admet que -f2 est une fonction de retouche.
On définit sur l'intervalle [0;l] la fonction g par i g(x) : .fr(x) - * .
a; Établir que, pour toutx de l,intervaffe [0;f] : g,(x) =
(e:2)--(e- l)x
.
1+(e-1)x
b) Déterminer les variations de la fonction g.sur I'intervalle [o;t].
Démontrer que la fonction g admet un maximurn
"n "-?, maximum dont la valeur
e-l'
arrondie au centième est 0,12.
c) Établir que l'équation g(x)=0,05 admet sur l,intervalle [0;l] deux solutions A et p,
avec a < B.
On admettra que : 0,08 < a <0,09 et que : 0,85 < p <0,96 .
Image A hnage B Image C
14MASCOG11 SUJET Page 417
Partie B
On remarque qu'une rnodification de nuance n'est perceptible visuellement que si la valeur absolue
de l'écart entre le code de la nuance initiale et le code de la nuance modifiée èst supérieure ou égale
à 0,05.
1. Dans I'algorithrne décrit ci-dessous, ;f désigne une fonction de retouche.
Quel est le rôle de cet algorithme ?
Variables :
Initialisation :
Traitement :
Sortie :
x (nuance initiale)
y (nuance retouchée)
E (écart)
c (compteur)
k
c prend la valeur 0
Pour ft allant de 0 à 100, faire
x prend 1u uu1.u.
tr
100
y prend la valeur /(x)
E prend la valeur ly - *l
SiE>0,05,faire
c prend la valeur c + 1
Fin si
Fin pour
Afficher c
2. Quelle valeur affichera cet algorithme si on l'applique à la fonction f, définie dans la
deuxième question de la partie A ?
Partie C
Dans cette partie, on s'intéresse à des fonctions de retouche / dont
l'effet est d'éclaircir I'image dans sa globalité, c'est-à-dire telles que,
pour tout réel x de l'intervalle [O;t], _f (x)< x.
on décide de mesurer l'éclaircissement global de I'image en calculant
I'aire A, de la porlion de plan comprise entre I'axe des abscisses, la
courbe représentative de la fonction -f , et les droites d'équations
respectives x:0 et x=1.
Entre deux fonctions, celle qui aura pour effet d'éclaircir re plus l'image
sera celle correspondant à la plus petite aire.
on désire comparer l'effet des deux fonctions suivantes, dont on admet
qu'elles sont des fonctions de retouche :
fr(*) =""{"-t) f.(x = 4x -15*
60
x+4
1. a) Calculer Ar,.
b) Calculer Arn.
2- De ces deux fonctions, laquelle a pour effet d'éclaircir le plus l'image ?
l4MASCOG1l SUJET Page 517
Exercice 4 (5 points)
Candidats n'ayant pas choisi l,enseignement de spécialité
Dans I'espace muni d'un repère orlhonormé, on considère les points :
e(;z;t), B(2;0;2), c(:;t;:), D(3;-6;t) et E(+;-a;-+).
1. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
2. Soit 17(1 ,b,c) un vecteur de I'espace, où ô et c désignent deux nombres réels.
a) Déterminer les valeurs de b et c telles que r7 soit un vecteur normal au plan (afC).
b) En déduire qu'une équation cartésienne duplan (eeC) est : x -2y + z -4 =0.
c) Le point D appartient-il au plan (aeC) f
3. On considère la droite 0 de I'espace dont une représentation paramétrique est :
(x=2t+3
t^
1y=-4t+5 où r estunnombreréel.
lz =2t-l
a) La droite I est-elle orthogonale au plan (nnC) Z
b) Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite 0 et du plan (ABC).
4. Étudier la position de la droite (OE) par rapporr au plan (ABC).
l4MASCOG1I SUJET Page 617
Annexe à rendre avec la copie
,dnnexe relative à I'exercice 2
Annexe relative à I'exercice 3
Courbe représentative de la fonction f
14MASCOG1l SUJET Page 717

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  • 1. BACCALAUREAT G NERAL SESSION 2014 MATHÉMATIQUES sÉnrn s Candidats n'ayant pas suivi I'enseignement de spécialité Durée de l'épreuve : 4 heures - CoeffTcient : 7 Ce sujet comporte 7 pages numérotées de ll7 à717. L'annexe, page 717, est à rendre avec la copie. L'usage des calculatrices est autorisé selon les termes de la circulaire n"99-186 du l6 novembre 1999. *- *_ rt _:! Le candidat doit traiter les quatre exercices. II est rappelé que la qualité de la rédaction, Ia clarté et Ia précision des raisonnentents entreront une part importante dans l'appréciation des copies. 14MASCOG1I SUJET Page Il7
  • 2. Dans I'ensentble du sujet, et pour chaque question, loule îrace de recherche ntême incotnplète, ou d'inif ialive ntême nonfructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. Exercice 1 (4 points) Commun à tous les candidats Cet exercice est un questionnaire à choix multiples cornportant quatre questions indépendantes. Pour chaqtte question, une seule des quatre ffirmations proposées esT exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le nuntéro de Ia question eî la lettre correspondant à l'ffimmlion exacîe. Attume justification n'est dennndée. Une réponse exacte rapporte un point ; une réponsefausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Question 1 Dans un hypermarché,75 yo des clients sont des femmes. Une femme sur cinq achète un article au rayon bricolage, alors que sept hommes sur dix le font. Une personne, choisie au hasard, a fait un achat au rayon bricolage. La probabilité que cette personne soit une femme a pour valeur arondie au millième : a. 0,750 b.0,150 c. 0,462 d. 0,700 Question 2 Dans cet hypermarché, un modèle d'ordinateur est en promotion. Une étude statistique a permis d'établir que, chaque fois qu'un client s'intéresse à ce modèle, la probabilité qu'il l'achète est égale à 0,3. On considère un échantillon aléatoire de dix clients qui se sont intéressés à ce modèle. La probabilité qu'exactement trois d'entre eux aient acheté un ordinateur de ce modèle a pour valeur arrondie au millième : ^. 0,900 b. 0,092 c. 0,002 d. 0,267 Question 3 Cet hypermarché vend des téléviseurs dont la durée de vie, exprimée en année, peut être rnodélisée par une variable aléatoire réelle qui suit une loi exponentielle de paramètre )" . La durée de vie moyenne d'un téléviseur est de huit ans, ce qui se traduit par : )" =! . 8 La probabilité qu'un téléviseur pris au hasard fonctionne encore au arrondie au millième : bout de six ans a pour valeur d. 0,528 ^. 0,750 b. 0,250 c. 0,472 Question 4 cet hypermarché vend des baguettes de pain dont la masse, exprimée en gramme, aléatoire réelle qui suit une loi normale de moyenne 200 g. La probabilité que baguette soit comprise entre 184 g et 216 g est égale à 0,954. La probabilité qu'une baguette prise au hasard ait une masse inferieure à 192 arrondie au centième : c. 0,84 est une variable la masse d'une g a pour valeur 14MASCOGl1 a. 0,16 b. 0,32 SUJET d. 0,48 Page2/7
  • 3. Exercice 2 (4 points) Commun à tous les candidats On définit, pour tout entier naturel n, les nombres complexes z,t par .. I " :16, l'0 I l+i lz,*r: ,. ,,, pour tout entier naturel n. On note 4, le module du nombre complexe zù : rn =lt,,l. Dans le plan muni d'un repère orthononné direct d'origine O, on considère les points 4,, d'affixes 2,,. 1. a) Calculer zt, 22 et z3 . b) Placer les points A, et A, sur le graphique de l'annexe, à rendre avec la copie. c) Écrire le nombre complexe $ ,ou, forme trigonométrique.'2 d) Démontrer que le triangle O A0Ar est isocèle rectangle en A, . 2, Démontrer que la suite (4, ) est géométrique, O. ,u,ron @ . 2 La suite (4,) est-elle convergente ? Interpréter géométriquement le résultat précédent. On note 2,, la longueur de la ligne brisée qui relie le point Ao au point A,, en passant successivement par les points A,, A, , Ar, etc. i=n-l Ainsi !, = I A,A,*, = AoA, +ArA2 +...+A,,_rA,, . r=0 3. a) Démontrer que, pour tout entier naturel n : A,, A,+t = /,+r. b) Donner une expression de 2,, en fonction de n. c) Déterminer la limite éventuelle de la suite (2,,). Exercice 3 (7 points) Commun à tous les candidats Les parties A et B sont indépendantes. Une image numérique en noir et blanc est composée de petits carrés (pixels) dont la couleur va du blanc au noir en passant par toutes les nuances de gris. Chaque nuance est codée par un réel x de la façon suivante : . x = 0 pour le blanc ; . x=l pourlenoir; . x =0,01; x=0,02 et ainsi de suite jusqu'à x=0,99 par pas de 0,01 pour toutes les nuances intermédiaires (du clair au foncé). L'image A, ci-après, est composée de quatre pixels et donne un échantillon de ces nuances avec leurs codes. 14MASCOG11 SUJET page 317
  • 4. Un logiciel de retouche d'image utilise des fonctions numériques dites < fonctions de retouche >. Une fonction/définie sur l'intervalle [0;1] est dite < fonction de retouche > si elle possède les quatre propriétés suivantes : o ./(0)=0; o .f(t)=t; o f est continue sur l'intervatte l0;1] ; o ;f est croissante sur l'intervatte [O;t]. Une nuance codée x est dite assombrie par la fonction f si /("x) ) x, et éclaircie si /(x) < :c . Ainsi, si /(x) : n2 , un pixel de nuance codée 0,2 prendra la nuance codée 0,22 = 0.04 . L'image A sera transformée en I'image B ci-dessous. Si /(x) : Ji ,la nuance codée 0,2 prendra la nuance codée 1f 0j = e,45 . L'image A sera transformée en I'image C ci-dessous. Partie A 1. on considère la fonction I définie sur l'intervatte [0;t] par : fr(x) = 4x3 - 6x2 +3x . a) Démontrer que la fonction f est une fonction de retouche. b) Résoudre graphiquement l'inéquation fr(") <", à l'aide du graphique donné en annexe, à rendre avec la copie, en faisant apparaître les pointillés utiles. Interpréter ce résultat en termes d'éclaircissement ou d'assombrissement. 2. on considère la fonction f, définie sur l'intervalle [0;l] nar : fr(x)=ln(l+(e-l)x). On admet que -f2 est une fonction de retouche. On définit sur l'intervalle [0;l] la fonction g par i g(x) : .fr(x) - * . a; Établir que, pour toutx de l,intervaffe [0;f] : g,(x) = (e:2)--(e- l)x . 1+(e-1)x b) Déterminer les variations de la fonction g.sur I'intervalle [o;t]. Démontrer que la fonction g admet un maximurn "n "-?, maximum dont la valeur e-l' arrondie au centième est 0,12. c) Établir que l'équation g(x)=0,05 admet sur l,intervalle [0;l] deux solutions A et p, avec a < B. On admettra que : 0,08 < a <0,09 et que : 0,85 < p <0,96 . Image A hnage B Image C 14MASCOG11 SUJET Page 417
  • 5. Partie B On remarque qu'une rnodification de nuance n'est perceptible visuellement que si la valeur absolue de l'écart entre le code de la nuance initiale et le code de la nuance modifiée èst supérieure ou égale à 0,05. 1. Dans I'algorithrne décrit ci-dessous, ;f désigne une fonction de retouche. Quel est le rôle de cet algorithme ? Variables : Initialisation : Traitement : Sortie : x (nuance initiale) y (nuance retouchée) E (écart) c (compteur) k c prend la valeur 0 Pour ft allant de 0 à 100, faire x prend 1u uu1.u. tr 100 y prend la valeur /(x) E prend la valeur ly - *l SiE>0,05,faire c prend la valeur c + 1 Fin si Fin pour Afficher c 2. Quelle valeur affichera cet algorithme si on l'applique à la fonction f, définie dans la deuxième question de la partie A ? Partie C Dans cette partie, on s'intéresse à des fonctions de retouche / dont l'effet est d'éclaircir I'image dans sa globalité, c'est-à-dire telles que, pour tout réel x de l'intervalle [O;t], _f (x)< x. on décide de mesurer l'éclaircissement global de I'image en calculant I'aire A, de la porlion de plan comprise entre I'axe des abscisses, la courbe représentative de la fonction -f , et les droites d'équations respectives x:0 et x=1. Entre deux fonctions, celle qui aura pour effet d'éclaircir re plus l'image sera celle correspondant à la plus petite aire. on désire comparer l'effet des deux fonctions suivantes, dont on admet qu'elles sont des fonctions de retouche : fr(*) =""{"-t) f.(x = 4x -15* 60 x+4 1. a) Calculer Ar,. b) Calculer Arn. 2- De ces deux fonctions, laquelle a pour effet d'éclaircir le plus l'image ? l4MASCOG1l SUJET Page 517
  • 6. Exercice 4 (5 points) Candidats n'ayant pas choisi l,enseignement de spécialité Dans I'espace muni d'un repère orlhonormé, on considère les points : e(;z;t), B(2;0;2), c(:;t;:), D(3;-6;t) et E(+;-a;-+). 1. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. 2. Soit 17(1 ,b,c) un vecteur de I'espace, où ô et c désignent deux nombres réels. a) Déterminer les valeurs de b et c telles que r7 soit un vecteur normal au plan (afC). b) En déduire qu'une équation cartésienne duplan (eeC) est : x -2y + z -4 =0. c) Le point D appartient-il au plan (aeC) f 3. On considère la droite 0 de I'espace dont une représentation paramétrique est : (x=2t+3 t^ 1y=-4t+5 où r estunnombreréel. lz =2t-l a) La droite I est-elle orthogonale au plan (nnC) Z b) Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite 0 et du plan (ABC). 4. Étudier la position de la droite (OE) par rapporr au plan (ABC). l4MASCOG1I SUJET Page 617
  • 7. Annexe à rendre avec la copie ,dnnexe relative à I'exercice 2 Annexe relative à I'exercice 3 Courbe représentative de la fonction f 14MASCOG1l SUJET Page 717