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Quelques élément très
généraux liés à la commande
des systèmes et au traitement
          du signal
Signaux & Systèmes : notions

                   u
                               Σ             y




Signaux                                           Système
• Temps ?                                         • Linéaire ?
• Déterministe ?                                  • Invariant ?
                               Modèles
• Energie ?                                       • Causal ?
• Puissance


          Externes (unicité)             Internes (non unicité)

                                liens
un cas particulièrement important
Signaux                                                                           Système
• Déterministe                                    Modèles                         • Linéaire
• Temps continu                                                                   • Causal
                                                                                  • Invariant
              Externes                                             Internes
  Equations différentielles                                     Equations différentielles

  a0 y  a1 y'  an y  b0u  b1u'  bmu
                           ( n)                ( m)                
                                                                    x  Ax  Bu
                                                                   
  ai , bi  R, n  m                                                y  Cx  Du
                                                                   
  Fonction de transfert                                     ?   Fonction de transfert
            
                             b0  b1s  bm s m
          
          0
                     st
  F (s)  f (t )e dt, G(s) 
                             a0  a1s  an s n
                                                                 G ( s )  C ( sI  A) 1 B  D

  Produit de convolution                                        Produit de convolution
                                                                                 

                                                                             
                     
    y (t ) 
                 
                 0
                     y ( )u (t   ) d                          y (t ) 
                                                                             0
                                                                                 Ce A( t  ) Bu ( ) d


                     CI=0                                                    CI=0
autres cas
     Signaux                                                         Système
     • Déterministe                                                  • Linéaire
     • Temps discret                       Modèles                   • Causal
                                                                     • Invariant

                          Similaires au cas précédent



     Signaux                                                         Système
     • Déterministe                                                  • Non linéaire
     • Temps discret                    Modèles                      • Causal
                                                                     • Invariant


      Externes                                                Internes
                                                        
g ( y, , y   (n)
                    , u,, u   (m)
                                     )0                x  f ( x, u ), y  h( x, u )

                                       Plus difficile
Problème de contrôle
                 Perturbation
                     ω
                  Monde réel
u
     Σ                y
                                  Différences :
                                  Responsables des problèmes dans les applications
    Modèle
               Monde du calcul

          Pb : Soit ys, sortie souhaitée, trouver us tel que us      ys


      Minimisation des différences sur les résultats
      •       Boucle fermée (Automatique)
      •       Prise en compte des Incertitudes (Commande Robuste)
La chaîne de traitement de l’information et le TS

                                 Signal électrique
                                 + bruit
                                                                     Affichage

                                       Canal
Système Physique




                      Capteur                         Récepteur                  Stockage
                                  de transmission

                        Bruit


                                                                                 Extraction
                                Contrôle/régulation               Traitement
                                                                                 de l’information

                     En automatique, c’est le système qui est au cœur des préoccupations.
                      On cherche alors à le caractériser, corriger, …pour qu’il fournisse une
                      réponse (signal) satisfaisant certaines contraintes.
                     En TS, c’est le signal qui nous intéresse en premier lieu. L’objectif
                      consiste alors à le caractériser, filtrer, …
TS / Automatique
    Traitement du signal                           Automatique
     – Conditionnement                              – Commande des systèmes
     – Caractérisation                                (Commande linéaire, adaptative,
     – Détection/Estimation                             optimale, …)
     – Optimisation                                 – Asservissement : système bouclé/
     – Modélisation/Identification                    performances/ Correction
     – Codage/décodage                                (Régulation, Poursuite automatique
     – Synthèse du signal                               de trajectoire, …)
     – Reconnaissance/Décision/
        Compréhension/Interprétation
   Exemple (filtrage) : La terre est soumise          Exemple : Régulation de la température
    depuis des millénaires à des fluctuations                    d’une salle
    climatiques naturelles qu’il est nécessaire          Analogique : la température est mesurée
    à les gommer (filtrage) pour mettre en                       en permanence.
    évidence les fluctuations artificielles dûes         Numérique : la température est mesurée
    à l’homme.                                                   à intervalles de temps réguliers.
Représentations Temporelles
       Des Signaux

     Plan du chapitre :
        I. Introduction
        II. Classification des signaux
        III.Signaux élémentaires
        IV. Définitions
I. Introduction
    Un signal est une représentation physique d’une information à transmettre
    • Représentation Temporelle
                    La forme la plus générale peut s’écrire :

                          x  f (v, w)                             Vecteur de dimension p faisant
                                                                   Apparaître une dépendance
Vecteur de dimension n
                                                                   statistique si le signal est aléatoire
                 distribution         Vecteur de dimension m

                                                  (t )   si t  0
    Exemple de distribution : Impulsion de Dirac                                            f(t)
                                                  (t )  0 sinon

                                Soit la fonction f(t)    (t )  lim f (t )
                                                                T 0
                                                                                 -T/2    0     T/2
    • Signal à TC, àTD
                            x : scalaire v  temps(t ),
                                         ,
                    Soit : 
                            f : fonction w : fixé(signaldéterminis )
                                           ,                      te

                           x(t )  f (t )               Vecteur à TC ou à TD
II. Classification (1/4)
       II.1. Classification morphologique
     t varie continuellement ou par morceaux                                                                          t est discret, noté n (nT)
      x(t) signal à TC                                                                                                x(t) signal à TD
                     1                                                                                       1

                    0.8                                                                                    0.8

                    0.6                                                                                    0.6




A
                    0.4                                                                                    0.4




                                                                                         échantillonnage
                    0.2                                                                                    0.2

                     0                                                                                       0




M
               -0.2                                                                                        -0.2

               -0.4                                                                                        -0.4

               -0.6                                                                                        -0.6

               -0.8                                                                                        -0.8



P                    -1
                          0      1   2         3         4         5       6   7    8
                                                                                                            -1
                                                                                                                  0     1     2       3     4       5         6       7


                               Signal analogique
                                                                                                                      Signal échantillonné
L                              (ex: tension électrique)

T
                                                   Step Response
                                                                                                              3
                     4.5


                      4                                                                                     2.5




U
                     3.5
                                                                                                              2
                      3
        Amplitude




                     2.5                                                                                    1.5




D
                      2

                                                                                                              1
                     1.5


                      1
                                                                                                            0.5




E
                     0.5

                                                                                                              0
                      0                                                                                           0     0.5       1   1.5       2       2.5       3       3.5
                           0             0.5                           1           1.5



                               Signal quantifié
                                                    Time (sec)



                                                                                                                      Signal numérique
                               (ex: compte bancaire)                                                                  (ex: notes d’un étudiant)
                                                                                   TEMPS
II. Classification (2/4)
      II.2. Classification phénoménologie
• Signal déterministe : dont l’évolution temporelle est prévisible et dont
le comportement peut être régie par une formulation
mathématique ou graphique
   Signal réel : c’est un signal représentant une grandeur physique. Sa
   formulation mathématique est une fonction réelle


   T / x(t)=x(t+kT)         Support non borné            Support borné




 Signal périodique           Signal apériodique          Signal transitoire
II. Classification (3/4)
     II.2. Classification phénoménologie

• Signal aléatoire (stochastique) : dont l’évolution temporelle est
imprévisible et dont on ne peut pas prédire la valeur à un temps t.
La description est alors basée sur les propriétés statistiques des
signaux (moyenne, variance, loi de probabilité, …)

   Signaux aléatoires stationnaires : La stationnarité suppose une
   indépendance des propriétés statistiques par rapport à l’origine des temps

           Stationnaire                      Non stationnaire
II. Classification (4/4)
    II.3. Classification énergique


                                                                Puissance
 Signaux à énergie finie                                      moyenne nulle

          Cas des signaux transitoires à support borné
                                                       

             (TC ) E 
                           
                           
                                      2
                                  x(t ) dt   (TD ) E    
                                                         
                                                              x(n)
                                                                     2




                                                              Puissance moyenne
 Signaux à énergie infinie                                        non nulle
          Cas des signaux périodiques
                         T / 2


                                                                   
                                                                     k


                          
                     1                2                     1                     2
      (TC ) P  lim             x(t ) dt     (TD )  lim                 x ( n)
                T  T                               k  2k  1
                         T / 2                                    k
III. Signaux usuels (1/2)
          Signal                           TC                     TD
Échelon                             Г(t)                       Г(n)
(fonction de Heaviside, ou      1                          1
fonction existence)
Représente un brusque             0              t        -1 0 1 2 3 4      t
changement de régime de
fonctionnement                Г(t)= 1 si t>0              Г(n)= 1 si t≥0
Notation : u ou Ф ou Г              = 0 si t<0                 = 0 si t<0

                                    ΠT(t)                         ΠT(nTe)
Fenêtre ou porte ou
impulsion                      1                           1

Notation : ΠT                -T/2 0 T/2        t           -T/2       T/2   t
                              ΠT(t)= 1 si -T/2<t<T/2   ΠT(nTe)= 1 si
                                   = 0 sinon                      -T/2<nTe<T/2
                                                                = 0 sinon
III. Signaux usuels (2/2)
          Signal                                           TC                                              TD
                                  1                                                  1


Exponentielle                    0.9

                                 0.8
                                                                                    0.9

                                                                                    0.8



décroissante                     0.7

                                 0.6
                                                                                    0.7

                                                                                    0.6

                                                                                    0.5
                                 0.5
                                                                                    0.4
                                 0.4
                                                                                    0.3
                                 0.3
                                                                                    0.2
                                 0.2
                                                                                    0.1
                                 0.1
                                                                                     0
                                  0                                                       0   1    2   3    4   5   6   7   8   9   10
                                       0   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10




                                 y(t)=Г(t)exp(-a.t)                                  y(n)=Г(n)exp(-a.n)
                                                   a>0                                                 a>0
Impulsion de Dirac                             δ(t)                                                        δ(n)
Représente une brève                                                                                   1
perturbation ou une « claque »             1

Notation : δ                                                               t                                                        t
                                 δ(t) = ∞ si t=0                                    δ(n) = 1 si n=0
                                           = 0 sinon                                              = 0 sinon
IV. Définitions
     IV.1. Produit de convolution
                                                                       k 


                      
(TC ) x(t ) * y(t )  x( ) y(t   )d
                      
                                            (TD ) x(n) * y(n)           x( k ) y ( n  k )
                                                                        k 
       Propriétés : - le produit de convolution est commutatif,
               associatif et distributif par rapport à l’addition
     IV.2. Fonction d’intercorrélation
Elle permet la comparaison de deux signaux en traduisant la ressemblance entre eux.
          pour les signaux à énergie finie :
                                                           k 


                 
(TC )  xy (t )  x( ) y* (t   )d
                 
                                          (TD )  xy (n)    
                                                             k 
                                                                     x( k ) y * (n  k )

                     xy (t )   yx (t )
       Propriétés : (TC)                   (TD) xy (n)   yx (n)
     IV.3. Fonction d’autocorrélation
Elle traduit la vitesse de variation du signal x(t) (respectivement x(n))
       Propriétés : - la fonction d’autocorrélation est maximale pour t = 0
                (resp. pour n=0) et elle est paire
IV. Définitions (1/2)
  IV.4. Rapport Signal/bruit

   Objectif : Déterminer la qualité d’un signal


                   Rapport RS/B quantifiant l’effet du bruit




       RS/B = Puissance du signal/Puissance du bruit
       RS/B(dB) =10log10(RS/B)
V.        TD 1
Exercice 1                                                                     0 pour t  1
                                        0 pour n  1                    
                                                                          4 pour  1  t  0
On donne                      x ( n)   1                 et    y (t )  
                                        2 n pour n  1
                                                                          4t  4 pour 0  t  1
                                                                                0 pour t  1
                                                                          
a)   Représenter les graphes de ces deux signaux
b) Expliciter et représenter les deux signaux retardés, avancés, renversés,
   avec offset et amplifiés

Exercice 2
   Calculer, analytiquement et graphiquement, la convolution de deux portes
Exercice 3
a) Soit le signal porte, centré sur l’origine, d’amplitude A        b) Le signal x(t)=Asin(2Πf0.t), A>0, f0>0
                                                                        possède:
et de durée T. L’autocorrélation de ce signal est :
                                                                    •     une énergie totale infinie
•    un sinus cardinal
                                                                    •     une énergie totale finie
•    une fonction triangle
                                                                    •     une puissance totale nulle
•    impaire et maximale à l’origine
•    majorée par A2.T
Exercice 4
Calculer la fonction d’intercorrélation dans les cas suivants:
-a) x(t)=1 et y(t)=sin(wt) –b) x(t)=exp(-a|t|), a>0 et y(t) une impulsion de Dirac
–c) x(t)=sin(wt) et y(t)=cos(wt)
Transformation de Fourier
Représentation Fréquentielle
       Des Signaux
1ère partie : Signaux périodiques à TC
   I. Introduction
   II. Théorème de Fourier: décomposition en série de
       Fourier
   III.Forme exponentielle
   IV. Spectre bilatéral
   V. Propriétés
I. Introduction
     La radio – l’ouie – un radar – un téléphone portable – un réseau



Notion de contenu fréquentiel de l’information qu’elle véhicule ou qu’elle analyse




                                                Analyse fréquentielle
                                                des signaux
II. Théorème de Fourier
       II.1. Décomposition en série de Fourier
           Un signal x(t) périodique de période T, peut être sous certaines conditions,
           mis sous la forme d’une somme de fonctions sinusoïdales

Forme trigonométrique                                 Harmonique d’ordre n
                                  

            x(t )  a0       a n 1
                                                 n   cos nt  bn sin nt 
                                                                                              
                                                                                                   2
                                                                                                   T

            x(t )dt
             T /2
       1
a0 
                                  
                                    T /2
                              2                                    2    T /2
       T    T / 2

Valeur moyenne du
                         an 
                              T
                                      x (t ) cos nt dt bn 
                                    T / 2                         T   T / 2 x(t ) sin nt dt
      signal
                                             

                     x(t )  a0         c
                                         n 1
                                                      n   cos (nt   n )

                                                                                   bn
                                                                    n  arctg
                                         cn         an  bn
                                                          2    2
                                                                                   an

                       L’harmonique d’ordre 1 est appelé Fondamental
II. Théorème de Fourier
II.2. Cas particuliers
  x(t) est pair                    

                   x(t )  a0     a
                                   n1
                                             n   cos nt  bn sin nt 

                                         

                    x(t )  a0         a
                                         n1
                                                   n   cos nt  bn sin nt 

      La relation précédente devant être vraie quel que soit t, on en
      conclut que : bn =0 quel que soit n.
  x(t) est impair                
               x(t )  a0   an cosnt  bn sin nt 
                                  n 1
                                          
                 x(t )   a0    an cosnt  bn sin nt 
                                          n 1
      La relation précédente devant être vraie quel que soit t, on en
      conclut que : an =0 quel que soit n.
II. Théorème de Fourier
II.3. Spectres de fréquences
Spectre   occupation en fréquence de x(t)                densité spectrale de puissance

  spectre d’amplitude
                                c2
                      a0                            En ordonnée : l’amplitude des harmoniques
                           c1                       En abscisse : les pulsations correspondantes
                                     c3
                                          c4
                                               c5
                                                    c6
                                         c7
                     0  2 3 4 5 6 7
  spectre de phase
                                φ2
                Π          φ1                       En ordonnée : la phase des harmoniques
                                     φ3
                                                    En abscisse : les pulsations correspondantes
                      φ0         φ4
                                    5 6 7
                      0  2 3 4         φ7
                                    φ5
                                        φ6
                -Π
II. Théorème de Fourier
     II.3. Spectres de fréquences : exemples de décomposition
              x(t)               Représentation              Spectre d’amplitude
                                  fréquentielle
     car(t)                                                               an  0, n
                                                             4A/π
+A                        car (t )                                       bn 
                                                                               4A
                                                                                   , n  1,3,5,...
                                                                              n


-A
         T/2 T
                     t       4A
                                 
                                  n 0
                                          sin(2n  1)t
                                              2n  1                 4A/3π
                                                                          bn  0, n  2,4,6,...

                                                                                 4A/5π

                                                          0  2 3 4 5 6
     tri(t)                                                                     8B
                                                             8B/π2      an         , n  1,3,5,...
+B                       tri(t )                                              n 2
                                                                        an  0, n  0,2,4,6,...
                                     

                                         cos(2n  1)t
               T             8B                                         bn  0, n
                     t
       T/2
                         
                             2             (2n  1) 2               8B/9π2
-B                                 n 0

                                                          0  2 3 4 5
II. Théorème de Fourier
    II.5. Définitions                                                                        


a) Facteur de forme : est défini par le rapport entre
                                                                                 A0 
                                                                                   2  1
                                                                                      2     n1
                                                                                                   cn
                                                                                                        2



   la valeur efficace et la valeur moyenne                            F
                                                                                        A0


b) Taux d’ondulation :
                                                                      
    •   L’ondulation est la variation du signal x(t) autour de
        sa valeur moyenne A0. Elle est égale à
                                                                       cn cos(nt  n )
                                                                      n1


                                                                                1  2
    •   Le taux d’ondulation est le rapport entre la valeur                        cn
                                                                                2 n1
        efficace de l’ondulation et la valeur moyenne de x(t)     
                                                                             A0
                                                                      et on a F 2  1   2
c) Taux de distorsion harmonique : est défini par le
   rapport entre la valeur efficace de l’ensemble des
                                                                       c2  c3    cn
                                                                            2     2                2
   harmoniques d’ordre >1 et la valeur efficace du               
   fondamental (il permet de chiffrer la pureté d’un                               c1
   signal sinusoïdal)
III. Forme exponentielle
La décomposition en série de Fourier d’un signal périodique, peut être écrite
sous forme suivante (facilement démontrable) :


                  
  x(t )  a0   cn cos(nt  n )
                 n1
                                                    2
                                                        T / 2


                                                     T T/ 2
                                               cn 
                                                            x(t )e  jnt dt
                                       avec    
                                               c  c        et  n  arg cn
                                                n
                                                     n




    Application : calculer et représenter les spectres d’amplitude de :
        1. Un signal rectangulaire de rapport cyclique a
        2. Un peigne de Dirac
IV.        Spectre bilatéral (1/2)

         A l’aide des relations d’Euler, la décomposition en série de Fourier
         d’un signal périodique, peut être écrite sous la forme d’inversion :
                                                                  t0 T
                                                                1
        x(t )           X ne     jnt         avec    Xn 
                                                                T     x(t )e jnt dt
                  n                                               t0

     Il apparaît, dans cette expression, des harmoniques pour les fréquences s’étendant
     de -∞ à +∞, d’où le nom de : spectre bilatéral

Remarques
a) Dans les transformations précédentes:
    •    x(t) est resté le signal périodique réel
    •    Xn et X-n sont des nombres complexes et n’ont pas d’existence réelle, mais

         2 X n  X n  X n       an  bn , correspond à l'amplitudede l' harmoniquen
                                      2     2


                              bn
         arg X n  arctg         - n , correspond à la phase de l' harmonique n
                              an
IV.        Spectre bilatéral (2/2)
Remarques
b) Si le signal x(t) est sinusoïdal : x(t )  cos(t   )
     on peut écrire

                               e jt e j  e  jt e  j
                       x(t ) 
                                           2

     on peut écrire               e j           et            e  j
                             X1                        X 1 
                                   2                             2

     d’où le spectre bilatéral du signal sinusoïdal :


                                                 1/2



                                                     
V.         Propriétés (1/2)
(P1) Symétrie Hermitique : k :         X k  X *k     (* : conjuguéde X * )
        Pour un signal réel, |Xk| est pair   et    arg(Xk) est pair

(P2) Le spectre d’un signal périodique de période T, est discret

                                                         t0 T                 
(P3) Puissance d’un signal périodique :              1
                                                                              Xk
                                                                      2                2
                                                  P             x(t ) dt 
         Théorème de Perseval                        T                        k 
                                                           t0

          La puissance temporelle est égale à la puissance spectrale

(P4) Parité :                    PAIR                             IMPAIR
          x(t)          Réel       Imaginaire pur        Réel         Imaginaire pur
           Xk

(P5) Linéarité

(P6) Xk est généralement complexe même si x(t) est réel
V.       Propriétés (2/2)
         (P7) correspondance bi-univoque

     Opérations          Représentation Temporelle     Représentation Fréquentielle
Combinaison linéaire      u (t )  a x(t )  b y(t )    U k  a X k  bYk
Renversement du temps     y(t )  x(t )                 Yk  X k
Retard                    y(t )  x(t   )             Yk  X k e jk
offset                    y(t )  x(t )  c             Yk  X k  c k
                                     
Dérivation                                              Yk  jk. X k
                          y (t )  x(t )
Intégration                              t0 t
                                                               Xk
                           y (t )         x(u )du     Yk 
                                                               jk
                                                                         (k  0)
                                          t0

Dérivation                 y (t )  x ( p ) (t )         Yk  ( jk) p .X k
Conjugaison complexe        y (t )  x * (t )           Yk  X *k
Convolution                 u(t )  x(t ) * y(t )        U k  X k .Yk
Produit                     u(t )  x(t ). y(t )         U k  X k * Yk
Transformation de Fourier
Représentation Fréquentielle
       Des Signaux
2ère partie : Signaux non périodiques à TC
   I. Transformation de Fourier
   II. Propriétés
   III. TF d’un signal périodique à TC
   IV. Transformation de Laplace
I. Transformation de Fourier
 La transformée de Fourier (TF) d’un signal x(t) s’écrit :

                                                     j 2ft

         X ( f )  TF ( x(t ))           x(t ) e              dt
                                        

          f est la fréquence

        X(f) est la représentation fréquentielle de x(t).
                 Elle est généralement complexe même si x(t) est réel.

 Formule d’inversion :

                                                        j 2ft

       x(t )  TF 1 ( X ( f ))          X ( f )e               df
                                         
II.        Propriétés (1/3)

(P1) Symétrie Hermitique : si x(t)est réel, on a :     X ( f )  X ( f )

         Pour un signal réel, on a : X ( f ) est pair et Arg(X ( f )) est impair

(P2) Le spectre d’un signal non périodique est continu (à fréquences continus)


                                                       
(P3) Théorème de Perseval
                               P     x(t ) y(t )dt   X ( f )Y ( f )df
                                                      



                                                                  
(P4) Energie du signal
                                                                  
                                                             2                2
                                            E        x(t ) dt         X ( f ) df
    (en utilisantle théorème de Perseval)
                                                                 
II.        Propriétés (2/3)

(P5) Parité :                 PAIR                           IMPAIR
          x(t)        Réel      Imaginaire pur        Réel      Imaginaire pur
          X(f)



(P6) Linéarité


(P7) X(f) est généralement complexe même si x(t) est réel


(P8) TF de la fonction de corrélation

                     TF[xy (t )]  X ( f )Y ( f )
II.         Propriétés (3/3)
         Opérations              Représentation Temporelle          Représentation Fréquentielle
Combinaison linéaire     u (t )  a x(t )  b y(t )          U ( f )  a X ( f )  bY ( f )
Renversement du temps    y(t )  x(t )                      Y ( f )  X ( f )
Retard                   y(t )  x(t   )                   Y ( f )  X ( f )e  j 2f
offset                   y(t )  x(t )  c                   Y ( f )  X ( f )  c ( f )
Dérivation d’ordre p     y (t )  x ( p ) (t )               Y ( f )  ( j 2f ) p . X ( f )
Intégration                          t0 t
                                                                       X( f )
                                                                               C ( f )
                         y (t )        x(u )du              Y( f ) 
                                                                        j 2f
                                       t0                     C : cte à déterm iner
Conjugaison complexe     y(t )  x(t )                        Y( f ) X ( f )
Convolution              u(t )  x(t ) * y(t )                U ( f )  X ( f ).Y ( f )
Produit                  u(t )  x(t ). y(t )                U ( f )  X ( f ) *Y ( f )
Multiplication par tp                                                      1 d pX( f )
                          y (t )  t x (t )
                                       p
                                                              U( f )  
                                                                         j 2f df p
Modulation
                           y (t )  e j 2f0t x (t )            Y ( f )  X ( f  f0 )
exponentielle
III.        TF d’un signal périodique à TC
 x(t) signal périodique de période 1/f0
                        
                                       
                         X n e jn2f0t e  j 2ft dt
       TF ( x(t ))                    
                      n            

            X n  e                             dt   X TF [1]
                                                                                              
                            j 2 ( f nf0 ) t
                                                                n    var iable ( f nf0 )       X n ( f  nf0 )
           n                                        n                                   n

                                                    
                        TF( x(t ))                 X n ( f  nf0 )
                                                  n
    les coefficien ts de la série de Fourier multipliés par un peigne de Dirac

                  Xn                                                                   X(f)

                                                  X f0 ( f )

       Série de Fourier                                                            TF
IV.        Transformation de Laplace
La transformée de Laplace généralise la représentation fréquentielle

                                
      X ( p)  TL ( x(t ))      x(t )e  pt dt p    j 2f ,  et f réels
                                

                 p variable (complexe) de Laplace, notée aussi s



                           
     Si   0, X ( p)   x(t )e  pt dt     s' utilise pour les signaux x(t)causaux
                            0
TD 2
Exercice 1
On considèrent les signaux périodiques suivants :

                          x(t)                                 y(t)



                     -a          a   T                                2a    T


a.   Calculer le développement en série de Fourier complexe du signal x(t) et tracer son spectre en
     amplitude pour a=T/4 et a=T/8 .
b.   En déduire ceux de y(t).

Exercice 2
On considère les signaux :

        x(t )  eat , a  0, t  0 ; y(t )  cos(2f0t ) ; z(t )  x(t ). y(t )
a. Tracer les allures de ces signaux, pour a=1 et f0 = 1Hz
b. Déterminer la transformée de Fourier de y(t) et tracer l’allure de son spectre
c. Déterminer la transformée de Fourier de z(t) et tracer l’allure de son spectre en supposant que f0>>a.
TD 2

Exercice 3
Soit les signaux suivants (y(t) est périodique de période 2T )

            x(t)                      y(t)                                     z(t)
             A                          A                                  A

                                                                                 T-T/2   T+T/2
     -T/2        T/2           -T/2      T/2   2T-T/2   2T+T/2
                                                                            -A
a.   Déterminer la puissance totale et l’énergie totale des signaux x(t) et y(t).
b.   Déterminer la transformée de Fourier de x(t). Tracer le spectre en module de x pour A=3 et T=2.
c.   En déduire la transformée de Fourier de y(t).
d.   Développer y(t) en série de Fourier à coefficients complexes. Comparer avec le résultat précédent
e.   Tracer le spectre en module de y. Faire apparaître l’allure du spectre de x et les valeurs des
     coefficients du développement en séries de Fourier
f.   Déterminer la transformée de Fourier de z(t) et tracer son spectre en module
g.   Tracer l’allure de s(t)=cos(2πf0t)x(t). Quel phénomène physique est modélisé via la multiplication
     par x(t)
h.   Déterminer S(f) et racer le spectre en module de s(t).
Caractérisations
Temporelles et Fréquentielles
Des Systèmes linéaires à TC
    I.   Introduction : Définition et classification
    II. Caractérisation temporelle
         II.1. Relation Entrée/sortie
         II.2. Réponse impulsionnelle
    III. Caractérisation fréquentielle
         III.1. Réponse fréquentielle d’un SLTI
         III.2. Système LTI et transformée de Fourier
         III.3. Représentation fréquentielle de Laplace
I. Introduction (1/3)
                      Perturbations                 Définition : Un système est un ensemble
                                                   d’éléments fonctionnels interagissant entre eux
x
    Signaux    Système             Signaux
                                               y
    D’entrée                       de sortie       et qui établit un lien de cause à effet entre
                    Σ                              ses signaux d’entrées et ses signaux de sortie

Exemples

       Système électrique

                                                                   Entrée : tension u(t)
                                                                   Sortie : tension y(t)
                                   Circuit RC intégrateur
       Système mécanique
       k : coeff. de frottement
       élastique
                                                                   Entrée : force f(t)
       a : coeff. de frottement
       visqueux                                                    Sortie : position x(t) % x0
       x0 : position d’équilibre
                                       Intégrateur mécanique
I. Introduction (2/3)
           Caractéristiques
• Système statique / dynamique :
    • statique : la réponse à une excitation est instantanée

                                                                                             u (t )
                                   - Entrée: tension u (t )     - Sortie : courant i(t ) 
                                                                                              R

    • dynamique : la réponse à une excitation est fonction des réponses passées

                                              -Entrée: tension u (t ) - Sortie : tension Vc (t )
                                                   dVc (t )
                                              RC            Vc (t )  u (t )
                                                     dt
• Système monovariable / multivariable :
        - système monovariable : une entrée et une sortie
        - système multivariable : nbre d’entrées et de sorties > 2
• Système linéaire : tel que les effets sont proportionnels aux causes

     si x(t )  1 x1 (t )  2 x2 (t ) alors y(t )  1 [ x1 (t )]  2 [ x2 (t )]
I. Introduction (3/3)
            Caractéristiques
• Système causal : La réponse du système ne peut pas se produire avant
                   l’excitation qui l’engendre
        si x(t )  0 pour t  0, alors y(t )  [ x(t )]  0 pour t  0
• Système invariant ou stationnaire : un décalage temporel en entrée induit le
                                      même décalage en sortie
        si y (t )  [ x(t )] alors y (t  t0 )  [ x(t  t0 )]
• Système stable :
    • Si à une entrée bornée répond par une sortie bornée (stabilité au sens large)
    • perturbé, il revient à son état initial après disparition de la perturbation
        (stabilité asymptotique au sens de Lyapunov)




            Dans la suite, on considère les systèmes monovariables LTI
                                (Linéaire Invariant dans le Temps)
II. Caractérisation temporelle (1/4)
 II.1. Relation Entrée / Sortie d’un système LTI
   généralement, c’est une équation différentielle à coefficients constants


     d n y (t )          dy(t )                  x m x(t )          dx(t )
  an      n
                   a1         a0 y (t )  bm      m
                                                              b1         b0 x(t )
       dt                 dt                       dt                dt
  Généraleme nt, m  n

   connaissance des coefficients           caractérisation complète du système
   connaissance de l’entrée                sortie calculable

 Exemple : Circuit RLC
                                 Entrée du système: u(t)
                                 Sortie du système: Vc(t)
                                     d 2Vc (t )      dVc (t )
                                  LC       2
                                                 RC           Vc (t )  u (t )
                                        dt             dt
II. Caractérisation temporelle (2/4)
II.2. Réponse impulsionelle (RI)
    La RI d’un système est sa réponse pour une entrée impulsion de Dirac

                   x(t )   (t )     Système   y (t ) : h(t )

                                                h(t )  [ (t )]
                                        Σ
    Propriétés :
     La RI Caractérise complètement un système LTI
       La seule connaissance de h(t) permet de prédire la réponse du SLTI
       à n’importe quelle entrée x(t)
     Un système est stable ssi sa RI est absolument intégrable :
                             

                               h( ) d  
                             
          Il en découle que la RI d’un système causal stable vérifie:

                              lim h(t )  0
                              t 
II. Caractérisation temporelle (3/4)
    Démonstration de la relation fondamentale des SLTI

                         x (t )      Système           y(t )  ?

                                           Σ
 (t ) est l'élément neutre                                                                     
                                                       y (t )  x(t )     x( ) (t   )d 
   de la convolutio
                  n                                                                             
                                                                                                  
                                                                              

x(t )  x(t ) *  (t )                              Σ : linéaire    y(t )     x( )  (t   )d
                                                                              
                                                                            
        x( ) (t   )d                         Σ : invariant   y(t )     x( )h(t   ) d
        
                                                                              

                                  y (t )  x(t ) * h(t )
             La réponse d’un SLTI à une entrée quelconque est
             la convolution de cette entrée avec la RI de ce système
II. Caractérisation temporelle (4/4)
 Convolution : Rappel
                                                                                      
                                         Cas de signaux
 x(t ) * y(t )     x( ) y(t   )d                             x(t ) * y (t )       x( ) y(t   )d
                                       causaux                                         0

Commutativité                                   f (t ) * g (t )  g (t ) * f (t )

associativité                                  e(t ) * f (t ) * g (t )  e(t ) * ( f (t ) * g (t ))
                                                                           (e(t ) * f (t )) * g (t )

Distributivité par rapport à l’addition        e(t ) * ( f (t )  g (t ))  e(t ) * f (t )  e(t ) * g (t )

Élément neutre : impulsion de Dirac            f (t )  f (t ) *  (t )


Translation temporelle                         f (t  t 0 )  f (t ) *  (t  t 0 )

                                                                                                  
Convolution avec                             f (t ) *  T (t )     f (t ) * (t  nT )   f (t  nT )
un peigne de Dirac                                                 n                          n




    Exemple :
III. Caractérisation fréquentielle (1/9)
  III.1. Réponse fréquentielle d’un SLTI

      Soit:                                     x (t )   Système        y (t )
                   x(t )  Ae j 2ft                       Σ

                                                                                                 

                                                  h( ) Ae                                        
         j 2ft                    j 2ft                      j 2f ( t  )             j 2ft
 [ Ae            ]  h(t ) * Ae                                               d  Ae              h( )e  j 2f d
                                                                                                 


                                                                                               TF de la RI := H(f)
                     Donc :            [ Ae j 2ft ]  Ae j 2ft H ( f )


  La réponse d’un système lTI à une exponentielle (resp. à un signal sinusoïdal)
      est égale au produit de cette exponentielle (resp. du signal sinusoïdal)
                                         par le gain complexe H(f)
III. Caractérisation fréquentielle (2/9)
 III.2. Système LTI et TF

   Le signal d’entrée est quelque :                                   

   On peut l’exprimer à l’aide de la TF inverse             x(t )     X ( f ) e j 2ft df
                                                                      

                                                          
     y(t )  [ x(t )]  [  X ( f ) e   j 2ft
                                                   df ]     [ X ( f ) e j 2ft ] df        (ppté de linéarité)
                                                          
                                                                 Forme exponentielle

   OR     [ X ( f )e j 2ft ]  X ( f )e j 2ft H ( f )
                         
               y(t )     H ( f ) X ( f ) e j 2ft df : TF inverse
                         

                          Y ( f )  TF y(t)


        y (t )  h(t ) * x(t )                     Y ( f )  H ( f ). X ( f )
                                                     H ( f ) : Fonction de Transfert
III. Caractérisation fréquentielle (3/9)
  Représentation fréquentielle d’un SLTI
    Cette représentation fréquentielle illustre l’aptitude du système à faire passer une composante
    fréquentielle présente dans le signal d’entrée

           X(f )     Système Y ( f ) 
                       H(f)       H ( f ). X ( f )
                                                           H ( f ) : module
       H ( f ) : Fonction de Transfert
                   Représentation fréquentielle
                                                          arg H ( f ) : argument

  Relation E/S fréquentielle
    La relation entrée/sortie dans le domaine fréquentiel est caractérisée par sa simplicité
        Y ( f )  H ( f ). X ( f )
                      • Module :       Y( f )  H( f ). X ( f )

                      • Argument :          arg Y ( f )   arg H ( f )   arg  X ( f ) 

                      • Densité spectrale d’énergie : S yy ( f )  S xx ( f ).Shh ( f )
III. Caractérisation fréquentielle (4/9)
 III.3. Représentation fréquentielle de Laplace
             III.3. 1. De la TF à la TL
 La transformée de Laplace généralise la représentation fréquentielle. En effet :
                  
   TF x(t )     x(t ) e  j 2ft dt   Cette TF existe si l’intégrale converge
                  

  Dans le cas contraire, le signal est multiplié par une exponentielle décroissante telle que :
                                                                    
                                                TF
       x(t )e t dt   avec   0                   X ( f , )     x(t )e t e  j 2ft dt
                                                                           
                                                                    

       En posant s    j 2f , on obtient:
                                                                           x(t )e (  j 2f )t dt
                                                                           

                                  
                    X ( s)        x(t )est dt  TL( x(t ))
                                 
                       Définition de la Transformée de Laplace
III. Caractérisation fréquentielle (5/9)
               III.3. 2. Propriétés de la TL

 Linéarité                        TLax(t )  b y(t )  a.TLx(t ) b.TLy(t )  aX ( s)  bY ( s)
 Convolution                        TLx(t ) *y (t )  X ( s).Y ( s)

 Translation temporelle             TLx(t   )  e  s X ( s )

 Translation fréquentielle                     
                                    TL e at x(t )  X ( s  a )

 Dérivation                            dx(t )                
                                    TL          sX (s)  x(0 )
                                       dt 
 Intégration                           t
                                                  X (s)
                                                  
                                    TL  x( )d  
                                       0
                                                 
                                                     s
 Théorème le la valeur initiale     x(0  )  lim x(t )  lim sX ( s )
                                              t 0          s 

 Théorème le la valeur finale       x()  lim x(t )  lim sX ( s)
                                              t            s0
III. Caractérisation fréquentielle (6/9)
        III.3. 3. TL de quelques signaux usuels
        Impulsion de Dirac


                                            TL (t )  1
                                               

     Rampe ou Échelon de vitesse


                                           TL (t )  2
                                                       1
                                              
                                                      s

               Échelon unité

                                            TL (t ) 
                                                         1
                                                         s
III. Caractérisation fréquentielle (7/9)
            III.3. 4. Dualité temps/fréquence

                  Temps                                    Fréquence
  Réponse Indicielle (RI) : h(t )           Fonction de transfert (FT) : H (s)
  Système invariant (STI)                   Filtre
  Système linéaire invariant (SLTI)         Filtre linéaire
  Relation E/S : convolution                Relation E/S : produit
  Relation E/S d’un SLTI                    Fraction rationnelle en s
  Eq. diff. à coeff. Constants:                  Quotient rationnelle en s
   les conditions initiales (CI)                 de deux polynômes en s
     supposées nulles                          Transmittancen

     n
         d (i ) x(t ) m d (i ) y(t )   TL              Y (s)
                                                                  ai s i
     ai dti   bi dti                      H (s) 
                                                       X (s)
                                                                i 0
                                                                   m
                                                                            , (CI  0)
    i 0              i 0
                                                                  bi s i
                                                                 i 0
III. Caractérisation fréquentielle (8/9)
                III.3. 5. Notions de pôles et de zéros

                         N (s) an s n  an1s n1    a1s  a0
                H ( s)       
                         D(s) bm s m  bm1s m1    b1s  b0


    Les pôles, notés i , i  1,..., n sont les racines de l’équation caractéristique:
                             D( s )  0


    Les racines, notés zi , i  1,..., m sont les racines de l’équation N ( s)  0

Un système est stable ssi tous ses pôles sont à parties réelles strictement négatives

   Exemple : dans chaque cas, dire si le système est stable ou non

                  s                          s2                            5
      H (s)                 H ( s)                       H ( s) 
                s 1                    ( s  1)( s  1)              s 2  5s  6
III. Caractérisation fréquentielle (9/9)
       III.3. 6. Application

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  • 1. Quelques élément très généraux liés à la commande des systèmes et au traitement du signal
  • 2. Signaux & Systèmes : notions u Σ y Signaux Système • Temps ? • Linéaire ? • Déterministe ? • Invariant ? Modèles • Energie ? • Causal ? • Puissance Externes (unicité) Internes (non unicité) liens
  • 3. un cas particulièrement important Signaux Système • Déterministe Modèles • Linéaire • Temps continu • Causal • Invariant Externes Internes Equations différentielles Equations différentielles a0 y  a1 y'  an y  b0u  b1u'  bmu ( n) ( m)   x  Ax  Bu  ai , bi  R, n  m  y  Cx  Du  Fonction de transfert ? Fonction de transfert  b0  b1s  bm s m  0 st F (s)  f (t )e dt, G(s)  a0  a1s  an s n G ( s )  C ( sI  A) 1 B  D Produit de convolution Produit de convolution    y (t )   0 y ( )u (t   ) d y (t )  0 Ce A( t  ) Bu ( ) d CI=0 CI=0
  • 4. autres cas Signaux Système • Déterministe • Linéaire • Temps discret Modèles • Causal • Invariant Similaires au cas précédent Signaux Système • Déterministe • Non linéaire • Temps discret Modèles • Causal • Invariant Externes Internes  g ( y, , y (n) , u,, u (m) )0 x  f ( x, u ), y  h( x, u ) Plus difficile
  • 5. Problème de contrôle Perturbation ω Monde réel u Σ y Différences : Responsables des problèmes dans les applications Modèle Monde du calcul Pb : Soit ys, sortie souhaitée, trouver us tel que us ys Minimisation des différences sur les résultats • Boucle fermée (Automatique) • Prise en compte des Incertitudes (Commande Robuste)
  • 6. La chaîne de traitement de l’information et le TS Signal électrique + bruit Affichage Canal Système Physique Capteur Récepteur Stockage de transmission Bruit Extraction Contrôle/régulation Traitement de l’information  En automatique, c’est le système qui est au cœur des préoccupations. On cherche alors à le caractériser, corriger, …pour qu’il fournisse une réponse (signal) satisfaisant certaines contraintes.  En TS, c’est le signal qui nous intéresse en premier lieu. L’objectif consiste alors à le caractériser, filtrer, …
  • 7. TS / Automatique Traitement du signal Automatique – Conditionnement – Commande des systèmes – Caractérisation (Commande linéaire, adaptative, – Détection/Estimation optimale, …) – Optimisation – Asservissement : système bouclé/ – Modélisation/Identification performances/ Correction – Codage/décodage (Régulation, Poursuite automatique – Synthèse du signal de trajectoire, …) – Reconnaissance/Décision/ Compréhension/Interprétation  Exemple (filtrage) : La terre est soumise  Exemple : Régulation de la température depuis des millénaires à des fluctuations d’une salle climatiques naturelles qu’il est nécessaire Analogique : la température est mesurée à les gommer (filtrage) pour mettre en en permanence. évidence les fluctuations artificielles dûes Numérique : la température est mesurée à l’homme. à intervalles de temps réguliers.
  • 8. Représentations Temporelles Des Signaux Plan du chapitre : I. Introduction II. Classification des signaux III.Signaux élémentaires IV. Définitions
  • 9. I. Introduction Un signal est une représentation physique d’une information à transmettre • Représentation Temporelle La forme la plus générale peut s’écrire : x  f (v, w) Vecteur de dimension p faisant Apparaître une dépendance Vecteur de dimension n statistique si le signal est aléatoire distribution Vecteur de dimension m  (t )   si t  0 Exemple de distribution : Impulsion de Dirac  f(t)  (t )  0 sinon Soit la fonction f(t)  (t )  lim f (t ) T 0 -T/2 0 T/2 • Signal à TC, àTD  x : scalaire v  temps(t ), , Soit :   f : fonction w : fixé(signaldéterminis ) , te x(t )  f (t ) Vecteur à TC ou à TD
  • 10. II. Classification (1/4) II.1. Classification morphologique t varie continuellement ou par morceaux t est discret, noté n (nT) x(t) signal à TC x(t) signal à TD 1 1 0.8 0.8 0.6 0.6 A 0.4 0.4 échantillonnage 0.2 0.2 0 0 M -0.2 -0.2 -0.4 -0.4 -0.6 -0.6 -0.8 -0.8 P -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 Signal analogique Signal échantillonné L (ex: tension électrique) T Step Response 3 4.5 4 2.5 U 3.5 2 3 Amplitude 2.5 1.5 D 2 1 1.5 1 0.5 E 0.5 0 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0 0.5 1 1.5 Signal quantifié Time (sec) Signal numérique (ex: compte bancaire) (ex: notes d’un étudiant) TEMPS
  • 11. II. Classification (2/4) II.2. Classification phénoménologie • Signal déterministe : dont l’évolution temporelle est prévisible et dont le comportement peut être régie par une formulation mathématique ou graphique Signal réel : c’est un signal représentant une grandeur physique. Sa formulation mathématique est une fonction réelle T / x(t)=x(t+kT) Support non borné Support borné Signal périodique Signal apériodique Signal transitoire
  • 12. II. Classification (3/4) II.2. Classification phénoménologie • Signal aléatoire (stochastique) : dont l’évolution temporelle est imprévisible et dont on ne peut pas prédire la valeur à un temps t. La description est alors basée sur les propriétés statistiques des signaux (moyenne, variance, loi de probabilité, …) Signaux aléatoires stationnaires : La stationnarité suppose une indépendance des propriétés statistiques par rapport à l’origine des temps Stationnaire Non stationnaire
  • 13. II. Classification (4/4) II.3. Classification énergique Puissance  Signaux à énergie finie moyenne nulle Cas des signaux transitoires à support borné   (TC ) E    2 x(t ) dt (TD ) E    x(n) 2 Puissance moyenne  Signaux à énergie infinie non nulle Cas des signaux périodiques T / 2  k  1 2 1 2 (TC ) P  lim x(t ) dt (TD )  lim x ( n) T  T k  2k  1 T / 2 k
  • 14. III. Signaux usuels (1/2) Signal TC TD Échelon Г(t) Г(n) (fonction de Heaviside, ou 1 1 fonction existence) Représente un brusque 0 t -1 0 1 2 3 4 t changement de régime de fonctionnement Г(t)= 1 si t>0 Г(n)= 1 si t≥0 Notation : u ou Ф ou Г = 0 si t<0 = 0 si t<0 ΠT(t) ΠT(nTe) Fenêtre ou porte ou impulsion 1 1 Notation : ΠT -T/2 0 T/2 t -T/2 T/2 t ΠT(t)= 1 si -T/2<t<T/2 ΠT(nTe)= 1 si = 0 sinon -T/2<nTe<T/2 = 0 sinon
  • 15. III. Signaux usuels (2/2) Signal TC TD 1 1 Exponentielle 0.9 0.8 0.9 0.8 décroissante 0.7 0.6 0.7 0.6 0.5 0.5 0.4 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y(t)=Г(t)exp(-a.t) y(n)=Г(n)exp(-a.n) a>0 a>0 Impulsion de Dirac δ(t) δ(n) Représente une brève 1 perturbation ou une « claque » 1 Notation : δ t t δ(t) = ∞ si t=0 δ(n) = 1 si n=0 = 0 sinon = 0 sinon
  • 16. IV. Définitions IV.1. Produit de convolution  k   (TC ) x(t ) * y(t )  x( ) y(t   )d  (TD ) x(n) * y(n)   x( k ) y ( n  k ) k  Propriétés : - le produit de convolution est commutatif, associatif et distributif par rapport à l’addition IV.2. Fonction d’intercorrélation Elle permet la comparaison de deux signaux en traduisant la ressemblance entre eux. pour les signaux à énergie finie :  k   (TC )  xy (t )  x( ) y* (t   )d  (TD )  xy (n)   k  x( k ) y * (n  k ) xy (t )   yx (t ) Propriétés : (TC) (TD) xy (n)   yx (n) IV.3. Fonction d’autocorrélation Elle traduit la vitesse de variation du signal x(t) (respectivement x(n)) Propriétés : - la fonction d’autocorrélation est maximale pour t = 0 (resp. pour n=0) et elle est paire
  • 17. IV. Définitions (1/2) IV.4. Rapport Signal/bruit Objectif : Déterminer la qualité d’un signal Rapport RS/B quantifiant l’effet du bruit RS/B = Puissance du signal/Puissance du bruit RS/B(dB) =10log10(RS/B)
  • 18. V. TD 1 Exercice 1  0 pour t  1  0 pour n  1    4 pour  1  t  0 On donne x ( n)   1 et y (t )    2 n pour n  1   4t  4 pour 0  t  1  0 pour t  1  a) Représenter les graphes de ces deux signaux b) Expliciter et représenter les deux signaux retardés, avancés, renversés, avec offset et amplifiés Exercice 2 Calculer, analytiquement et graphiquement, la convolution de deux portes Exercice 3 a) Soit le signal porte, centré sur l’origine, d’amplitude A b) Le signal x(t)=Asin(2Πf0.t), A>0, f0>0 possède: et de durée T. L’autocorrélation de ce signal est : • une énergie totale infinie • un sinus cardinal • une énergie totale finie • une fonction triangle • une puissance totale nulle • impaire et maximale à l’origine • majorée par A2.T Exercice 4 Calculer la fonction d’intercorrélation dans les cas suivants: -a) x(t)=1 et y(t)=sin(wt) –b) x(t)=exp(-a|t|), a>0 et y(t) une impulsion de Dirac –c) x(t)=sin(wt) et y(t)=cos(wt)
  • 19. Transformation de Fourier Représentation Fréquentielle Des Signaux 1ère partie : Signaux périodiques à TC I. Introduction II. Théorème de Fourier: décomposition en série de Fourier III.Forme exponentielle IV. Spectre bilatéral V. Propriétés
  • 20. I. Introduction La radio – l’ouie – un radar – un téléphone portable – un réseau Notion de contenu fréquentiel de l’information qu’elle véhicule ou qu’elle analyse Analyse fréquentielle des signaux
  • 21. II. Théorème de Fourier II.1. Décomposition en série de Fourier Un signal x(t) périodique de période T, peut être sous certaines conditions, mis sous la forme d’une somme de fonctions sinusoïdales Forme trigonométrique Harmonique d’ordre n  x(t )  a0   a n 1 n cos nt  bn sin nt   2 T  x(t )dt T /2 1 a0   T /2 2 2 T /2 T T / 2 Valeur moyenne du an  T x (t ) cos nt dt bn  T / 2 T T / 2 x(t ) sin nt dt signal  x(t )  a0  c n 1 n cos (nt   n ) bn  n  arctg cn  an  bn 2 2 an L’harmonique d’ordre 1 est appelé Fondamental
  • 22. II. Théorème de Fourier II.2. Cas particuliers  x(t) est pair  x(t )  a0   a n1 n cos nt  bn sin nt    x(t )  a0   a n1 n cos nt  bn sin nt  La relation précédente devant être vraie quel que soit t, on en conclut que : bn =0 quel que soit n.  x(t) est impair  x(t )  a0   an cosnt  bn sin nt  n 1    x(t )   a0    an cosnt  bn sin nt  n 1 La relation précédente devant être vraie quel que soit t, on en conclut que : an =0 quel que soit n.
  • 23. II. Théorème de Fourier II.3. Spectres de fréquences Spectre occupation en fréquence de x(t) densité spectrale de puissance  spectre d’amplitude c2 a0 En ordonnée : l’amplitude des harmoniques c1 En abscisse : les pulsations correspondantes c3 c4 c5 c6 c7 0  2 3 4 5 6 7  spectre de phase φ2 Π φ1 En ordonnée : la phase des harmoniques φ3 En abscisse : les pulsations correspondantes φ0 φ4 5 6 7 0  2 3 4 φ7 φ5 φ6 -Π
  • 24. II. Théorème de Fourier II.3. Spectres de fréquences : exemples de décomposition x(t) Représentation Spectre d’amplitude fréquentielle car(t) an  0, n 4A/π +A car (t )  bn  4A , n  1,3,5,...  n -A T/2 T t 4A   n 0 sin(2n  1)t 2n  1 4A/3π bn  0, n  2,4,6,... 4A/5π 0  2 3 4 5 6 tri(t) 8B 8B/π2 an   , n  1,3,5,... +B tri(t )  n 2 an  0, n  0,2,4,6,...   cos(2n  1)t T 8B bn  0, n t T/2  2 (2n  1) 2 8B/9π2 -B n 0 0  2 3 4 5
  • 25. II. Théorème de Fourier II.5. Définitions  a) Facteur de forme : est défini par le rapport entre A0  2 1 2  n1 cn 2 la valeur efficace et la valeur moyenne F A0 b) Taux d’ondulation :  • L’ondulation est la variation du signal x(t) autour de sa valeur moyenne A0. Elle est égale à  cn cos(nt  n ) n1 1  2 • Le taux d’ondulation est le rapport entre la valeur  cn 2 n1 efficace de l’ondulation et la valeur moyenne de x(t)  A0 et on a F 2  1   2 c) Taux de distorsion harmonique : est défini par le rapport entre la valeur efficace de l’ensemble des c2  c3    cn 2 2 2 harmoniques d’ordre >1 et la valeur efficace du  fondamental (il permet de chiffrer la pureté d’un c1 signal sinusoïdal)
  • 26. III. Forme exponentielle La décomposition en série de Fourier d’un signal périodique, peut être écrite sous forme suivante (facilement démontrable) :  x(t )  a0   cn cos(nt  n ) n1  2 T / 2 T T/ 2 cn   x(t )e  jnt dt avec  c  c et  n  arg cn  n  n Application : calculer et représenter les spectres d’amplitude de : 1. Un signal rectangulaire de rapport cyclique a 2. Un peigne de Dirac
  • 27. IV. Spectre bilatéral (1/2) A l’aide des relations d’Euler, la décomposition en série de Fourier d’un signal périodique, peut être écrite sous la forme d’inversion :  t0 T 1 x(t )   X ne jnt avec Xn  T  x(t )e jnt dt n t0 Il apparaît, dans cette expression, des harmoniques pour les fréquences s’étendant de -∞ à +∞, d’où le nom de : spectre bilatéral Remarques a) Dans les transformations précédentes: • x(t) est resté le signal périodique réel • Xn et X-n sont des nombres complexes et n’ont pas d’existence réelle, mais 2 X n  X n  X n  an  bn , correspond à l'amplitudede l' harmoniquen 2 2 bn arg X n  arctg   - n , correspond à la phase de l' harmonique n an
  • 28. IV. Spectre bilatéral (2/2) Remarques b) Si le signal x(t) est sinusoïdal : x(t )  cos(t   ) on peut écrire e jt e j  e  jt e  j x(t )  2 on peut écrire e j et e  j X1  X 1  2 2 d’où le spectre bilatéral du signal sinusoïdal : 1/2  
  • 29. V. Propriétés (1/2) (P1) Symétrie Hermitique : k : X k  X *k (* : conjuguéde X * ) Pour un signal réel, |Xk| est pair et arg(Xk) est pair (P2) Le spectre d’un signal périodique de période T, est discret t0 T  (P3) Puissance d’un signal périodique : 1   Xk 2 2 P x(t ) dt  Théorème de Perseval T k  t0 La puissance temporelle est égale à la puissance spectrale (P4) Parité : PAIR IMPAIR x(t) Réel Imaginaire pur Réel Imaginaire pur Xk (P5) Linéarité (P6) Xk est généralement complexe même si x(t) est réel
  • 30. V. Propriétés (2/2) (P7) correspondance bi-univoque Opérations Représentation Temporelle Représentation Fréquentielle Combinaison linéaire u (t )  a x(t )  b y(t ) U k  a X k  bYk Renversement du temps y(t )  x(t ) Yk  X k Retard y(t )  x(t   ) Yk  X k e jk offset y(t )  x(t )  c Yk  X k  c k  Dérivation Yk  jk. X k y (t )  x(t ) Intégration t0 t Xk y (t )   x(u )du Yk  jk (k  0) t0 Dérivation y (t )  x ( p ) (t ) Yk  ( jk) p .X k Conjugaison complexe y (t )  x * (t ) Yk  X *k Convolution u(t )  x(t ) * y(t ) U k  X k .Yk Produit u(t )  x(t ). y(t ) U k  X k * Yk
  • 31. Transformation de Fourier Représentation Fréquentielle Des Signaux 2ère partie : Signaux non périodiques à TC I. Transformation de Fourier II. Propriétés III. TF d’un signal périodique à TC IV. Transformation de Laplace
  • 32. I. Transformation de Fourier La transformée de Fourier (TF) d’un signal x(t) s’écrit :   j 2ft X ( f )  TF ( x(t ))   x(t ) e dt  f est la fréquence X(f) est la représentation fréquentielle de x(t). Elle est généralement complexe même si x(t) est réel. Formule d’inversion :  j 2ft x(t )  TF 1 ( X ( f ))   X ( f )e df 
  • 33. II. Propriétés (1/3) (P1) Symétrie Hermitique : si x(t)est réel, on a : X ( f )  X ( f )  Pour un signal réel, on a : X ( f ) est pair et Arg(X ( f )) est impair (P2) Le spectre d’un signal non périodique est continu (à fréquences continus)   (P3) Théorème de Perseval P  x(t ) y(t )dt   X ( f )Y ( f )df     (P4) Energie du signal   2 2 E x(t ) dt  X ( f ) df (en utilisantle théorème de Perseval)  
  • 34. II. Propriétés (2/3) (P5) Parité : PAIR IMPAIR x(t) Réel Imaginaire pur Réel Imaginaire pur X(f) (P6) Linéarité (P7) X(f) est généralement complexe même si x(t) est réel (P8) TF de la fonction de corrélation TF[xy (t )]  X ( f )Y ( f )
  • 35. II. Propriétés (3/3) Opérations Représentation Temporelle Représentation Fréquentielle Combinaison linéaire u (t )  a x(t )  b y(t ) U ( f )  a X ( f )  bY ( f ) Renversement du temps y(t )  x(t ) Y ( f )  X ( f ) Retard y(t )  x(t   ) Y ( f )  X ( f )e  j 2f offset y(t )  x(t )  c Y ( f )  X ( f )  c ( f ) Dérivation d’ordre p y (t )  x ( p ) (t ) Y ( f )  ( j 2f ) p . X ( f ) Intégration t0 t X( f )  C ( f ) y (t )   x(u )du Y( f )  j 2f t0 C : cte à déterm iner Conjugaison complexe y(t )  x(t ) Y( f ) X ( f ) Convolution u(t )  x(t ) * y(t ) U ( f )  X ( f ).Y ( f ) Produit u(t )  x(t ). y(t ) U ( f )  X ( f ) *Y ( f ) Multiplication par tp 1 d pX( f ) y (t )  t x (t ) p U( f )   j 2f df p Modulation y (t )  e j 2f0t x (t ) Y ( f )  X ( f  f0 ) exponentielle
  • 36. III. TF d’un signal périodique à TC x(t) signal périodique de période 1/f0       X n e jn2f0t e  j 2ft dt TF ( x(t ))      n   X n  e dt   X TF [1]       j 2 ( f nf0 ) t n var iable ( f nf0 )   X n ( f  nf0 ) n  n n  TF( x(t ))   X n ( f  nf0 ) n les coefficien ts de la série de Fourier multipliés par un peigne de Dirac Xn X(f) X f0 ( f ) Série de Fourier TF
  • 37. IV. Transformation de Laplace La transformée de Laplace généralise la représentation fréquentielle  X ( p)  TL ( x(t ))   x(t )e  pt dt p    j 2f ,  et f réels  p variable (complexe) de Laplace, notée aussi s  Si   0, X ( p)   x(t )e  pt dt s' utilise pour les signaux x(t)causaux 0
  • 38. TD 2 Exercice 1 On considèrent les signaux périodiques suivants : x(t) y(t) -a a T 2a T a. Calculer le développement en série de Fourier complexe du signal x(t) et tracer son spectre en amplitude pour a=T/4 et a=T/8 . b. En déduire ceux de y(t). Exercice 2 On considère les signaux : x(t )  eat , a  0, t  0 ; y(t )  cos(2f0t ) ; z(t )  x(t ). y(t ) a. Tracer les allures de ces signaux, pour a=1 et f0 = 1Hz b. Déterminer la transformée de Fourier de y(t) et tracer l’allure de son spectre c. Déterminer la transformée de Fourier de z(t) et tracer l’allure de son spectre en supposant que f0>>a.
  • 39. TD 2 Exercice 3 Soit les signaux suivants (y(t) est périodique de période 2T ) x(t) y(t) z(t) A A A T-T/2 T+T/2 -T/2 T/2 -T/2 T/2 2T-T/2 2T+T/2 -A a. Déterminer la puissance totale et l’énergie totale des signaux x(t) et y(t). b. Déterminer la transformée de Fourier de x(t). Tracer le spectre en module de x pour A=3 et T=2. c. En déduire la transformée de Fourier de y(t). d. Développer y(t) en série de Fourier à coefficients complexes. Comparer avec le résultat précédent e. Tracer le spectre en module de y. Faire apparaître l’allure du spectre de x et les valeurs des coefficients du développement en séries de Fourier f. Déterminer la transformée de Fourier de z(t) et tracer son spectre en module g. Tracer l’allure de s(t)=cos(2πf0t)x(t). Quel phénomène physique est modélisé via la multiplication par x(t) h. Déterminer S(f) et racer le spectre en module de s(t).
  • 40. Caractérisations Temporelles et Fréquentielles Des Systèmes linéaires à TC I. Introduction : Définition et classification II. Caractérisation temporelle II.1. Relation Entrée/sortie II.2. Réponse impulsionnelle III. Caractérisation fréquentielle III.1. Réponse fréquentielle d’un SLTI III.2. Système LTI et transformée de Fourier III.3. Représentation fréquentielle de Laplace
  • 41. I. Introduction (1/3) Perturbations  Définition : Un système est un ensemble d’éléments fonctionnels interagissant entre eux x Signaux Système Signaux y D’entrée de sortie et qui établit un lien de cause à effet entre Σ ses signaux d’entrées et ses signaux de sortie Exemples Système électrique Entrée : tension u(t) Sortie : tension y(t) Circuit RC intégrateur Système mécanique k : coeff. de frottement élastique Entrée : force f(t) a : coeff. de frottement visqueux Sortie : position x(t) % x0 x0 : position d’équilibre Intégrateur mécanique
  • 42. I. Introduction (2/3)  Caractéristiques • Système statique / dynamique : • statique : la réponse à une excitation est instantanée u (t ) - Entrée: tension u (t ) - Sortie : courant i(t )  R • dynamique : la réponse à une excitation est fonction des réponses passées -Entrée: tension u (t ) - Sortie : tension Vc (t ) dVc (t ) RC Vc (t )  u (t ) dt • Système monovariable / multivariable : - système monovariable : une entrée et une sortie - système multivariable : nbre d’entrées et de sorties > 2 • Système linéaire : tel que les effets sont proportionnels aux causes si x(t )  1 x1 (t )  2 x2 (t ) alors y(t )  1 [ x1 (t )]  2 [ x2 (t )]
  • 43. I. Introduction (3/3)  Caractéristiques • Système causal : La réponse du système ne peut pas se produire avant l’excitation qui l’engendre si x(t )  0 pour t  0, alors y(t )  [ x(t )]  0 pour t  0 • Système invariant ou stationnaire : un décalage temporel en entrée induit le même décalage en sortie si y (t )  [ x(t )] alors y (t  t0 )  [ x(t  t0 )] • Système stable : • Si à une entrée bornée répond par une sortie bornée (stabilité au sens large) • perturbé, il revient à son état initial après disparition de la perturbation (stabilité asymptotique au sens de Lyapunov) Dans la suite, on considère les systèmes monovariables LTI (Linéaire Invariant dans le Temps)
  • 44. II. Caractérisation temporelle (1/4) II.1. Relation Entrée / Sortie d’un système LTI généralement, c’est une équation différentielle à coefficients constants d n y (t ) dy(t ) x m x(t ) dx(t ) an n    a1  a0 y (t )  bm m    b1  b0 x(t ) dt dt dt dt Généraleme nt, m  n  connaissance des coefficients caractérisation complète du système  connaissance de l’entrée sortie calculable Exemple : Circuit RLC Entrée du système: u(t) Sortie du système: Vc(t) d 2Vc (t ) dVc (t ) LC 2  RC  Vc (t )  u (t ) dt dt
  • 45. II. Caractérisation temporelle (2/4) II.2. Réponse impulsionelle (RI) La RI d’un système est sa réponse pour une entrée impulsion de Dirac x(t )   (t ) Système y (t ) : h(t ) h(t )  [ (t )] Σ Propriétés :  La RI Caractérise complètement un système LTI La seule connaissance de h(t) permet de prédire la réponse du SLTI à n’importe quelle entrée x(t)  Un système est stable ssi sa RI est absolument intégrable :   h( ) d    Il en découle que la RI d’un système causal stable vérifie: lim h(t )  0 t 
  • 46. II. Caractérisation temporelle (3/4) Démonstration de la relation fondamentale des SLTI x (t ) Système y(t )  ? Σ  (t ) est l'élément neutre    y (t )  x(t )     x( ) (t   )d  de la convolutio n       x(t )  x(t ) *  (t ) Σ : linéaire y(t )   x( )  (t   )d      x( ) (t   )d Σ : invariant y(t )   x( )h(t   ) d   y (t )  x(t ) * h(t ) La réponse d’un SLTI à une entrée quelconque est la convolution de cette entrée avec la RI de ce système
  • 47. II. Caractérisation temporelle (4/4) Convolution : Rappel   Cas de signaux x(t ) * y(t )   x( ) y(t   )d x(t ) * y (t )   x( ) y(t   )d  causaux 0 Commutativité f (t ) * g (t )  g (t ) * f (t ) associativité e(t ) * f (t ) * g (t )  e(t ) * ( f (t ) * g (t ))  (e(t ) * f (t )) * g (t ) Distributivité par rapport à l’addition e(t ) * ( f (t )  g (t ))  e(t ) * f (t )  e(t ) * g (t ) Élément neutre : impulsion de Dirac f (t )  f (t ) *  (t ) Translation temporelle f (t  t 0 )  f (t ) *  (t  t 0 )   Convolution avec f (t ) *  T (t )   f (t ) * (t  nT )   f (t  nT ) un peigne de Dirac n n Exemple :
  • 48. III. Caractérisation fréquentielle (1/9) III.1. Réponse fréquentielle d’un SLTI Soit: x (t ) Système y (t ) x(t )  Ae j 2ft Σ    h( ) Ae  j 2ft j 2ft j 2f ( t  ) j 2ft [ Ae ]  h(t ) * Ae  d  Ae h( )e  j 2f d   TF de la RI := H(f) Donc : [ Ae j 2ft ]  Ae j 2ft H ( f ) La réponse d’un système lTI à une exponentielle (resp. à un signal sinusoïdal) est égale au produit de cette exponentielle (resp. du signal sinusoïdal) par le gain complexe H(f)
  • 49. III. Caractérisation fréquentielle (2/9) III.2. Système LTI et TF Le signal d’entrée est quelque :  On peut l’exprimer à l’aide de la TF inverse x(t )   X ( f ) e j 2ft df    y(t )  [ x(t )]  [  X ( f ) e j 2ft df ]   [ X ( f ) e j 2ft ] df (ppté de linéarité)   Forme exponentielle OR [ X ( f )e j 2ft ]  X ( f )e j 2ft H ( f )  y(t )   H ( f ) X ( f ) e j 2ft df : TF inverse  Y ( f )  TF y(t) y (t )  h(t ) * x(t ) Y ( f )  H ( f ). X ( f ) H ( f ) : Fonction de Transfert
  • 50. III. Caractérisation fréquentielle (3/9)  Représentation fréquentielle d’un SLTI Cette représentation fréquentielle illustre l’aptitude du système à faire passer une composante fréquentielle présente dans le signal d’entrée X(f ) Système Y ( f )  H(f) H ( f ). X ( f ) H ( f ) : module H ( f ) : Fonction de Transfert Représentation fréquentielle arg H ( f ) : argument  Relation E/S fréquentielle La relation entrée/sortie dans le domaine fréquentiel est caractérisée par sa simplicité Y ( f )  H ( f ). X ( f ) • Module : Y( f )  H( f ). X ( f ) • Argument : arg Y ( f )   arg H ( f )   arg  X ( f )  • Densité spectrale d’énergie : S yy ( f )  S xx ( f ).Shh ( f )
  • 51. III. Caractérisation fréquentielle (4/9) III.3. Représentation fréquentielle de Laplace III.3. 1. De la TF à la TL La transformée de Laplace généralise la représentation fréquentielle. En effet :  TF x(t )   x(t ) e  j 2ft dt Cette TF existe si l’intégrale converge  Dans le cas contraire, le signal est multiplié par une exponentielle décroissante telle que :   TF  x(t )e t dt   avec   0 X ( f , )   x(t )e t e  j 2ft dt    En posant s    j 2f , on obtient:   x(t )e (  j 2f )t dt   X ( s)   x(t )est dt  TL( x(t ))  Définition de la Transformée de Laplace
  • 52. III. Caractérisation fréquentielle (5/9) III.3. 2. Propriétés de la TL Linéarité TLax(t )  b y(t )  a.TLx(t ) b.TLy(t )  aX ( s)  bY ( s) Convolution TLx(t ) *y (t )  X ( s).Y ( s) Translation temporelle TLx(t   )  e  s X ( s ) Translation fréquentielle   TL e at x(t )  X ( s  a ) Dérivation  dx(t )   TL   sX (s)  x(0 )  dt  Intégration t   X (s)  TL  x( )d   0    s Théorème le la valeur initiale x(0  )  lim x(t )  lim sX ( s ) t 0 s  Théorème le la valeur finale x()  lim x(t )  lim sX ( s) t  s0
  • 53. III. Caractérisation fréquentielle (6/9) III.3. 3. TL de quelques signaux usuels Impulsion de Dirac TL (t )  1  Rampe ou Échelon de vitesse TL (t )  2 1  s Échelon unité TL (t )  1 s
  • 54. III. Caractérisation fréquentielle (7/9) III.3. 4. Dualité temps/fréquence Temps Fréquence  Réponse Indicielle (RI) : h(t )  Fonction de transfert (FT) : H (s)  Système invariant (STI)  Filtre  Système linéaire invariant (SLTI)  Filtre linéaire  Relation E/S : convolution  Relation E/S : produit  Relation E/S d’un SLTI  Fraction rationnelle en s Eq. diff. à coeff. Constants: Quotient rationnelle en s les conditions initiales (CI) de deux polynômes en s supposées nulles Transmittancen n d (i ) x(t ) m d (i ) y(t ) TL Y (s)  ai s i  ai dti   bi dti H (s)  X (s)  i 0 m , (CI  0) i 0 i 0  bi s i i 0
  • 55. III. Caractérisation fréquentielle (8/9) III.3. 5. Notions de pôles et de zéros N (s) an s n  an1s n1    a1s  a0 H ( s)   D(s) bm s m  bm1s m1    b1s  b0  Les pôles, notés i , i  1,..., n sont les racines de l’équation caractéristique: D( s )  0  Les racines, notés zi , i  1,..., m sont les racines de l’équation N ( s)  0 Un système est stable ssi tous ses pôles sont à parties réelles strictement négatives Exemple : dans chaque cas, dire si le système est stable ou non s s2 5 H (s)  H ( s)  H ( s)  s 1 ( s  1)( s  1) s 2  5s  6
  • 56. III. Caractérisation fréquentielle (9/9) III.3. 6. Application