1. PROGRAM
LINEAR
SMA DHARMA SUCI
JAKARTA UTARA
KELAS XII IPA
MULYANI

2. STANDAR
KOMPETENSI :
Menyelesaikan masalah Program
Linear

3. Kompetensi Dasar :
 Menyelesaikan sistem pertidaksamaan
linear dua variabel
 Merancang model matematika dari
masalah program linear.
 Menyelesaikan model matematika dari
masalah program linear dan
penafsirannya.

4. Indikator :
Menentukan penyelesaian sistem
pertidaksamaan linear dua variabel.
Next

5. Indikator :
Menentukan fungsi objektif beserta
kendala yang harus dipenuhi dalam
masalah program linear.
Membuat model matematika dari masalah
program linear.
Next

6. Indikator :
Menentukan nilai optimum dari fungsi
objektif sebagai penyelesaian dari program
linear
Next

7. 2.1 Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
2.1.1 Pengertian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Definisi Pertidaksamaan Linear dengan Dua Variabel
Suatu pertidaksamaan yang didalamnya memuat dua variabel dan
masing-masing variabel itu berderajat satu
Seperti yang telah dipelajari pada kelas X dalam materi sistem
pertidaksamaan, bahwa terdapat suatu kalimat terbuka yang
memuat salah satu dari tanda-tanda ketidaksamaan seperti :
 Lebih dari (>),
 Kurang dari (<),
 Lebih dari sama dengan (≥), dan
 Kurang dari sama dengan (≤)

8. 2.1.2 Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Seperti halnya dalam pertidaksamaan pada umumnya,
pertidaksamaan linear dua variabel juga dapat ditentukan himpunan
penyelesaiannya.
Himpunan penyelesaian dari suatu pertidaksamaan linear dengan
dua variabel biasanya ditampilkan dalam bentuk grafik yang
digambarkan pada sebuah bidang Cartesius.
Cara menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear
dengan dua variabel dapat dipelajari melalui ilustrasi sebagai berikut
ini.
Next

9. 2.1.3 DEFINISI PERTIDAKSAMAAN LINEAR DENGAN DUA
VARIABEL
Pertidaksamaan linear dengan dua variabel secara umum dapat ditulis dengan :
 ax + by ≥ c atau
 ax + by ≤ c
Pertidaksamaan linear tersebut mempunyai penyelesaian berupa himpunan
pasangan terurut (x,y) yang memenuhi pertidaksamaan. Penyelesaiannya dapat
digambarkan dalam koordinat cartesius seperti pada gambar berikut ini. Daerah
yang diarsir merupakan penyelesaian dari pertidaksamaan yang diberikan.

10. (i) Y
X
a
Y = b
X ≥ a
Y
a
X ≤ a
X
X = a
(ii)
(iii)
b
X
Y
(iv)
Y
b
Y = b
Y ≥ b
Y ≤ b
X = a
X

11. (iv)
Y
X
Y
X
(v)
ax + by = c
ax + by ≥ c
ax + by = c
ax + by ≤ c

12. (vi)
Y
X
ax + by = c
ax + by ≥ c
X
ax + by = c
ax + by ≤ c
(vi) Y

13. Contoh 1 :
Tentukan penyelesaian pertidaksamaan 2x + 3y ≤ 6 pada koordinat cartesius.
Jawab :
Langkah 1 : gambar koordinat cartesius
Langkah 2 : Gambar garis 2x + 3y = 6
dengan menentukan titik-titik
potong pada sumbu x dan y yaitu :
Untuk x = 0
→ 2 . 0 + 3y = 6
→2x = 6
→ y = 2
→ titik potong sumbu y (0,2)
Untuk y = 0
→ 2x + 3 . 0 = 6
→ 2x = 6
→ x = 3
→ titik potong sumbu x (3,0)
-
-
-
-
-
2
3
1
1 2
Y
X
●
●
Langkah 3 :
Gambar garis 2x + 3y = 6
Langkah 4 :
Menentukan daerah yang diarsir untuk 2x + 3y ≤ 6
2x + 3y = 6
2x + 3y ≤ 6

14. Contoh 2 :
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan x ≥ 1, x ≤ 2, 2x + 3y ≥ 6, dan
y ≤ 3
Jawab :
-
-
-
-
-
-
-
Y
1 2 3
1
2
3
4
x ≥ 1 x ≤ 2 2x + 3y ≥ 6
y ≤ 3
X
x = 1 x = 2 2x + 3y = 6
y = 3
Gambar koordinat cartesius
Untuk daerah x ≥ 1
• Gambar garis x = 1
• Arsir daerah x ≥ 1
Untuk daerah x ≤ 2
• Gambar garis x = 2
• Arsir daerah x ≤ 2
Untuk daerah 2x + 3y ≥ 6
• Gambar garis
2x + 3y = 6
• Arsir daerah
2x + 3y ≥ 6
Untuk daerah y ≤ 3
• Gambar garis y = 3
• Arsir daerah y ≤ 3

15. Latihan no 1 :
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2x + y ≥ 4 ; 3x + 4y ≤ 12 ; x ≥
0 ; y ≥ 0 dapat digambarkan dengan bagian bidang yang diarsir sebagai
berikut …
Y
X
-
-
-
-
-
-
2
3
2 3
4
4
Y
X
-
-
-
-
-
-
2
3
2 3
4
4
Y
X
-
-
-
-
-
-
2
3
2 3
4
4
Y
X
-
-
-
-
-
-
2
3
2 3 4
4
A B
C D

16. Ingin jawaban dan alasannya?
Ya Tidak
Selesai Latihan no 2 :

17. Pertidaksamaan
Titik
potong
sumbu X
(y = 0)
Titik
potong
sumbu Y
(x = 0)
Daerah yang diarsir
2x + y ≥ 4
3x + 4y ≤ 12
x ≥ 0
y ≥ 0
(2,0)
(4,0)
(0,0)
Sb x
(0,3)
(0,4)
Sb y
(0,0)
Sebelah kanan garis
Sebelah kiri garis
Sebelah atas sumbu x
Sebelah kanan sumbu y
-
-
- -
-
1
2
4 -
3
1
2 3
-
4
Y
X
-
2x + y ≥ 4
3x + 4y ≤ 12

19. Latihan no 2 :
Gambarlah daerah yang diarsir untuk pertidaksamaan berikut :
3x + 2y ≥ 6
4x + 3y ≤ 12
x ≥ y
x ≥ 2y
SOLUSI

21. Pertidaksamaan
Titik
potong
sumbu X
(y = 0)
Titik
potong
sumbu Y
(X = 0)
Daerah yang diarsir
3x + 2y ≥ 6
4x + 3y ≤ 12
x ≥ y
x ≥ 2y
(2,0) (0,3)
(0,4)
(3,0)
Sebelah kanan garis
Sebelah kiri garis
x – y ≥ 0
x – 2y ≥ 0
{(0,0);(1,1);(2,2)}
{(0,0);(1,½);(2,1)}
1
2
3
4
1
2
3
3x + 2y ≥ 6
4x + 3y ≤ 12
x ≥ y
Bawah garis
x ≥ 2y
Bawah garis
Y
X

22. 2.2 PROGRAM LINEAR DAN MODEL MATEMATIKA
2.2.1 Merancang Model Matematika
Dalam pelajaran matematika di kelas X dan XI telah dibahas
cara merancang model matematika seperti :
 Model matematika yang berkaitan dengan persamaan
kuadrat dan fungsi kuadrat.
 Model matematika yang berkaitan dengan sistem persamaan
linear.
 Model matematika yang berkaitan dengan pertidaksamaan
satu variabel
 Model matematika yang berkaitan dengan fungsi
trigonometri, rumus sinus dan kosinus
 Model matematika yang berkaitan dengan ekstrim fungsi

24. Langkah-langkah dalam menyusun suatu model matematika
diantaranya adalah :
1. Tetapkan besaran masalah yang ada dalam soal sebagai variabel-
variabel (dinyatakan dalam huruf-huruf).
2. Rumuskan hubungan atau ekspresi matematika sesuai dengan
keterangan atau ketentuan yang ada dalam soal.
Definisi :
Model Matematika adalah rumusan masalah yang dinyatakan
dalam bentuk hubungan matematika.

25. Contoh 3 :
Agus membeli 6 buku gambar dan 8 pulpen di toko buku dengan
harga Rp 20.200,00. Sedangkan Ani membeli sebuah buku gambar
dan satu buah pulpen dengan harga Rp 2.800,00.
Buatlah model matematikanya !
Jawab : (sesuai dengan langkah menyusun model matematika)
1. Menetapkan besaran masalah : Misalkan harga sebuah buku
gambar adalah x rupiah dan harga sebuah pulpen adalah y
rupiah.
2. Hubungan atau ekspresi matematika :
berdasarkan keterangan yang ada dalam soal diperoleh
hubungan :
6x + 8y = 20.200 dan
x + y = 2.800
Dengan demikian model matematika tersebut adalah
6x + 8y = 20.200
x + y = 2.800
dengan x
dan y R


26. 2.2.2 Model Matematika dari Masalah Program Linear
Definisi :
Program Linear adalah salah satu bagian dari
matematika terapan yang digunakan untuk
memcahkan masalah pengoptimalan
(maksimum dan minimum suatu tujuan)
Dalam memecahkan masalah pengoptimalan dengan
program linear terdapat kendala-kendala atau batasan-
batasan yang harus diterjemahkan ke dalam suatu sistem
pertidaksamaan linear.

27. Contoh 4 :
Untuk membuat barang A diperlukan 6 jam pada mesin I dan 4
jam pada mesin II sedangkan membuat barang jenis B
memerlukan 2 jam pada mesin I dan 8 jam pada mesin II. Kedua
mesin tersebut setiap hari dibuat x buah barang A dan y buah
barang B.
Buatlah model matematikanya.
JAWABAN

28. Jawab :
Diketahui :
Barang jenis A = x buah
Barang jenis B = y buah
Persoalan di atas dapat ditulis dalam bentuk tabel di bawah
ini :
Jenis Barang Banyaknya Barang Mesin I Mesin II
A
B
x
y
6 jam
2 jam 8 jam
4 jam
Oleh karena mesin I dan mesin II bekerja tidak lebih dari 18
jam, maka :
6x + 2y ≤ 18 atau 3x + 2y ≤ 9
4x + 8y ≤ 18 atau 2x + 4y ≤ 9
Mesin I
Mesin II
Jadi model matematikanya adalah 3x + 2y ≤ 9, 2x + 4y ≤ 9,
x ≥ 0, y ≥ 0
Karena banyaknya barang A dan barang B tidak mungkin negatif maka
x ≥ 0, y ≥ 0

29. 2.3 Menentukan Nilai Optimum
Nilai optimum dapat digunakan dalam dua metode :
Metode Simpleks
Perhitungan metode ini memerlukan langkah-langkah yang
lebih rumi. Metode ini biasanya cocok untuk memecahkan
masalah program liner yang melibatkan variabelnya lebih dari
dua. Oleh karena itu metode ini tidak diajarkan di jenjang SMA
sehingga metode ini tidak perlu dibahas lebih lanjut.
Metode Grafik
Metode ini cocok digunakan untuk memecahkan masalah
program linear sederhana yaitu memerlukan hanya dengan
sistem petidaksamaan linear dua variabel.
Metode grafik menggunakan dua macam metode yaitu :
a. Metode uji titik pojok dan
b. Metode garis selidik

30. 2.3.1 Menentukan nilai Optimum dengan uji titik pojok
Langkah-langkah menggunakan uji titik pojok yaitu :
1. Gambarlah grafik himpunan penyelesaian dari kendala dalam
suatu masalah program linear. Ingat bahwa kendala ini
berbentuk sistem pertidaksaam linear dengan dua variabel.
Pada grafik ini tentukanlah titik pojoknya.
2. Hitunglah nilai fungsi tujuan f(x,y) = ax + by untuk semua
titik pojoknya, kemudian tetapkanlah :
a. Nilai f(x,y) yang terbesar sebagai nilai maksimum
b. Nilai f(x,y) yang terbesar sebagai nilai minimum
untuk memperoleh nilai tersebut substitusikanlah titik-titik
pojok tersebut ke dalam nilai fungsi tujuannya yaitu f(x,y) =
ax + by

31. Contoh 5 :
Sebuah industri kecil memproduksi dua jenis barang (barang A
dan barang B) dengan menggunakan dua mesin (mesin M1
dan mesin M2). Satu unit barang A dibuat dengan
mengoperasikan mesin M1 selama 2 menit dan mesin M2
selama 4 menit, sedangkan satu unit barang B di buat dengan
mengoperasikan mesin M1 selama 8 menit dan mesin M2
selama 4 menit. Dalam satu hari mesin M1 dan mesin M2
beroperasi tidak lebih dari 8 jam. Keuntungan bersih yang
diperoleh dari tiap satu unit barang A adalah Rp 250,00 dan
tiap satu unit barang B adalah Rp 500,00.
Buatlah model matematikanya jika keuntungan yang
diharapkan mencapai sebesar-besarnya.
Jawaban

32. Jawab :