Séries de Fourier

1. Les séries de Fourier

2. Plan Introduction Approche avec des séries trigonométriques Exemple : Fonction carrée Approche avec les séries complexes Convergence des séries de Fourier

3. Superposition d’ondes

4. Superposition d’ondes Harmoniques • Différences de fréquences • Décallages de phase • Différences d’amplitude

5. Comment retrouver les différentes fréquences et décalages qui composent un signal harmonique?

6. Expression générale du mouvement harmonique y(x, t) = A sin( 2πx − λ 2πt T + φ) o` y est le d´placement p´riodique de la vibration de l’objet , λ la p´riode dans u e e e l’espace , T la p´riode dans le temps et φ la phase. Fixons la variable x, nous e avons ici une fonction f (t) p´riodique de p´riode T . e e f (t) = A sin( 2πn t + φ) T

7. Somme d’harmoniques La somme ﬁnie, constitu´e des harmoniques de la p´riode fondamentale T e e N 2πn est An sin( t + φn ) n=1 T 2πn 2πn 2πn An sin( t + φn ) = An (sin( t) cos(φn ) + cos( t) sin(φn )) T T T 2πn 2πn = An sin(φn ) cos( t) + An cos(φn ) sin( t) T T on pose an = An sin(φn ) et bn = An cos(φn ) 2πn 2πn = an cos( t) + bn sin( t) T T a0 Et un terme constant 2 N a0 2πn 2πn + (an cos( t) + bn sin( t)) 2 n=1 T T

8. Périodicité Une fonction est p´riodique de p´riode p s’il existe un nombre r´el positif le e e e plus petit possible p tel que f (x) = f (x + p) Est-ce que la somme des fonctions p´riodiques est une fonction p´riodique ? e e Si oui, quelle est sa p´riode ? e Exemple 1: 1 s(x) = sin(4x) + sin(x) + sin( x) est bien p´riodique de 4π. e 4 Exemple 2 : s(x) = sin x + sin(πx) n’est pas p´riodique. e

9. Lemme sur la périodicité à propos de l’intégrale Soit f une fonction continue par morceau p´riodique de T . e a+T L’int´grale e f (x) dx ne d´pend pas du r´el a. e e a En autres mots, a+T T T 2 f (x) dx = f (x) dx = f (x) dx = · · · −T a 0 2 D´monstration : Par l’additivit´ de l’int´grale, e e e a+T 0 T a+T f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx + f (x) dx a a 0 T Posons x = y + T ⇒ dx = dy a+T a a f (x) dx = f (y + t) dy = f (y) dy T 0 0 0 a Constatons que f (x) dx + f (y) dy = 0, a+T a T 0 Donc f (x) dx = f (x) dx qui est ind´pendante de a e a 0

10. Série de Fourier d’une fonction périodique 2π N a0 f (x) = 2 + (an cos(nx) + bn sin(nx)) n=1 Quelles sont les expressions de a0 , an et bn ? Pour les trouver, calculons d’abord (o` n, k ∈ Z) u π • cos nx cos kx dx −π π • sin nx sin kx dx −π π • cos(nx) sin(kx) dx −π

11. Si n = k: π π cos nx cos kx dx = 2 cos nx cos kx dx −π 0 π 1 =2 (cos((n + k)x) + cos((n − k)x) dx 0 2 1 1 =( sin((n + k)x) + sin((n − k)x))|π 0 n+k n−k 1 1 =( sin((n + k)π) + sin((n − k)π) n+k n−k =0 π π sin nx sin kx dx = 2 sin nx sin kx dx −π 0 π −1 =2 (cos((n + k)x) − cos((n − k)x) dx 0 2 −1 −1 =( sin((n + k)x) − sin((n − k)x))|π 0 n+k n−k −1 −1 =( sin((n + k)π) − sin((n − k)π) n+k n−k =0

12. Si n = k π π cos nx cos kx dx = 2 cos2 nx dx −π 0 π 1 + cos(2nx) =2 dx 0 2 1 1 = 2( x + sin(2nx))|π 0 2 4n 1 1 = 2( π + sin(2nπ)) 2 4n =π π π sin nx sin kx dx = 2 sin2 nx dx −π 0 π 1 − cos(2nx) =2 dx 0 2 1 1 = 2( x − sin(2nx))|π 0 2 4n 1 1 = 2( π − sin(2nπ)) 2 4n =π

13. cos(nx) sin(kx) est impaire car cos(nx) sin(kx) = − cos(−nx) sin(−kx) π cos(nx) sin(kx) dx = 0 −π

14. En r´sum´, pour n, k ∈ Z e e π 0 si n = k cos nx cos kx dx = π si n = k −π π 0 si n = k sin nx sin kx dx = −π π si n = k π cos(nx) sin(kx) dx = 0 −π

15. N a0 Supposons que f (x) = + (an cos(nx) + bn sin(nx)) 2 n=1 π π π N a0 f (x) dx = dx + (an cos(nx) + bn sin(nx)) dx −π −π 2 −π n=1 π N π N π a0 = dx + an cos(nx) dx + bn sin(nx) dx −π 2 n=1 −π n=1 −π N an N −bn a0 π = x|−π + sin(nx)|π + −π cos(nx)|π −π 2 n=1 n n=1 n a0 = × 2π 2 = a0 π π 1 a0 = f (x) dx π −π

16. Pour an , multiplions par cos(kx) o` k est un entier positif, puis prenons u l’int´grale. e N a0 f (x) cos(kx) = cos(kx) + (an cos(nx) cos(kx) + bn sin(nx) cos(kx)) 2 n=1 π π π N a0 f (x) cos(kx) dx = cos(kx) dx + (an cos(nx) cos(kx) + bn sin(nx) cos(kx)) dx −π −π 2 −π n=1 π N π N π a0 = cos(kx) dx + an cos(nx) cos(kx) dx + bn sin(nx) cos(kx) dx −π 2 n=1 −π n=1 −π π N π N π a0 = cos(kx) dx + an cos(nx) cos(kx) dx + bn sin(nx) cos(kx) dx 2 −π n=1 −π n=1 −π parmi les termes n, il existe un n ´gal ` k tel que e a π N N π π an cos(nx) cos(kx) dx = an cos(nx) cos(kx) dx+ak cos2 (kx) dx n=1 −π n=1,n=k −π −π π f (x) cos(kx) dx = ak π −π π 1 an = f (x) cos(nx) dx π −π

17. Pour bn , faisons le mˆme proc´d´ mais avec sin(kx) o` k est un entier positif e e e u N a0 f (x) sin(kx) = sin(kx) + (an cos(nx) sin(kx) + bn sin(nx) sin(kx)) 2 n=1 π π π N a0 f (x) sin(kx) dx = sin(kx) dx + (an cos(nx) sin(kx) + bn sin(nx) sin(kx)) dx −π −π 2 −π n=1 π N π N π a0 = sin(kx) dx + an cos(nx) sin(kx) dx + bn sin(nx) sin(kx) dx −π 2 n=1 −π n=1 −π π N π N π a0 = sin(kx) dx + an cos(nx) sin(kx) dx + bn sin(nx) sin(kx) dx 2 −π n=1 −π n=1 −π N π N π π puisque bn sin(nx) sin(kx) dx = bn sin(nx) sin(kx) dx+bk sin2 (kx) dx n=1 −π n=1,n=k −π −π π Alors f (x) sin(kx) dx = bk π −π π 1 bn = f (x) sin(nx) dx π −π

18. En résumé Soit f une fonction p´riodique de p´riode 2π, si elle peut s’´crire sous forme e e e de s´rie de Fourier, e N a0 + (an cos(nx) + bn sin(nx)) 2 n=1 Alors, 1 π a0 = f (x) dx π −π π 1 an = f (x) cos(nx) dx π −π π 1 bn = f (x) sin(nx) dx π −π

19. Exemple concret : la fonction carrée

20. Fonction carr´e p´riodique de 2π, d´ﬁnie dans R comme : e e e 1 si 2kπ ≤ x (2k + 1)π f (x) = −1 si (2k + 1)π ≤ x 2kπ

21. Calculons les coefﬁcients

22. N a0 + (an cos(nx) + bn sin(nx)). 2 n=1 0 π 1 a0 = ( f (x) dx + f (x) dx) π −π 0 0 π 1 = ( −1 dx + 1 dx) π −π 0 1 = (π − π) = 0 π 1 π an = f (x) cos(nx) dx π −π 0 π 1 = ( − cos(nx) dx + cos(nx) dx) π −π 0 1 −1 1 = ( sin(nx)|−π + sin(nx)|π ) 0 0 π n n 1 −1 1 = ( (sin(0) − sin(−nπ)) + (sin(nπ) − sin(0))) π n n =0

23. π 1 bn = f (x) sin(nx) dx π −π 0 π 1 = ( − sin(nx) dx + sin(nx) dx) π −π 0 1 1 0 −1 = ( cos(nx)|−π + cos(nx)|π ) 0 π n n 1 1 −1 = ( (cos(0) − cos(−nπ)) + (cos(nπ) − cos(0))) π n n 1 1 −1 = ( (1 − cos(−nπ)) + (cos(nπ) − 1)) π n n 2 = (1 − cos(nπ)) nπ bn d´pend de la parit´ de n. e e 2 1 Si n = 2k alors (1 − cos(nπ)) = (1 − cos(2kπ)) = 0 nπ kπ 2 2 4 Si n = 2k+1, alors (1−cos(nπ)) = (1−cos((2k+1)π)) = nπ (2k + 1)π (2k + 1)π 0 si n est un entier pair Donc on a bn = 4 si n est un entier impair nπ

24. Nous avons donc trouv´ que la s´rie de Fourier de f (x) est e e N 4 sin((2k + 1)x) (2k + 1)π k=0 Deux questions se posent : Combien de termes doit-on additionner aﬁn d’obtenir exactement le graphe de la fonction d´sir´e? e e Comment peut-on construire une fonction discontinue ` chaque x = kπ (o` k a u est un entier) ` l’aide de la somme de fonctions continues en tout point dans R? a

25. N=1 N=5 N=11 N= 49

26. Phénomène de Gibbs

27. Conclusion Plus le nombre N croˆ plus la fonction a l’air de coller au graphe de la ıt, fonction carré. De cette idé intuitive, on peut d´duire que la s´rie de Fourier e e e e ∞ 4 associé ` cette fonction carré f (x) est e a e sin((2k + 1)x) (2k + 1)π k=0

28. Pourquoi la s´rie est compos´e seulement de termes de sinus? e e Si une fonction est paire, alors sa s´rie de Fourier est une somme de cosinus. e Si une fonction est impaire, alors sa s´rie de Fourier est une somme de sinus. e

29. D´monstration : Si f (x) est paire, alors f (x) sin nx est impaire et f (x) cos nx e est paire. π 2 a0 = f (x) dx π 0 π 2 an = f (x) cos(nx) dx π 0 π 1 bn = f (x) sin(nx) dx = 0 π −π Si f (x) est impaire, alors f (x) sin nx est paire et f (x) cos nx est impaire. π 1 a0 = f (x) dx = 0 π −π π 1 an = f (x) cos(nx) dx = 0 π −π π 2 bn = f (x) sin(nx) dx π 0

30. Par cons´quent, e ∞ a0 Si f (x) paire, la s´rie = e + an cos(nx) 2 n=1 ∞ Si f (x) impaire, la s´rie = e bn sin(nx) n=1

31. Une ćriture plus gń´rale. e e e Si une fonction f (x) p´riodique de p´riode 2π peut ˆtre ćrite sous forme de e e e e s´rie de Fourier, alors cette s´rie est ´gale ` e e e a ∞ a0 + (an cos(nx) + bn sin(nx)) 2 n=1

32. Et pour une période quelconque ? Soit une fonction f (x) p´riodique de p´riode T quelconque, quelle est sa e e s´rie de Fourier ? e T T changement de variable x = u tel que f ( u) soit p´riodique de periode 2π. e 2π 2π Ainsi on a ∞ T a0 f ( u) = + (an cos nu + bn sin nu) 2π 2 n=1 T T On applique le changement de variable x = 2π u ⇒ dx = 2π du π 1 T a0 = f ( u) du π −π 2π T 1 2 2π = f (x) dx π −T 2 T T T 2 2 2 = f (x) dx = f (x) dx T −T 2 T 0

33. 1 π T an = f ( u) cos(nu) du π −π 2π T 1 2 2πnx 2π = f (x) cos( ) dx π −T 2 T T T T 2 2 2πnx 2 2πn = f (x)cos( ) dx = f (x) cos( ) dx T −T 2 T T 0 T 1 π T bn = f ( u) sin(nu) du π −π 2π T 1 2 2πnx 2π = f (x) sin( ) dx π −T 2 T T T T 2 2 2πnx 2 2πn = f (x) sin( ) dx = f (x) sin( ) dx T −T 2 T T 0 T Et la s´rie de Fourier d’une fonction de p´riode quelconque T est e e ∞ a0 2πn 2πn + (an cos x + bn sin x) 2 n=1 T T

34. Démonstration logicielle

35. Approche complexe des séries de Fourier

36. Une autre ´criture de la s´rie de Fourier e e La relation d’Euler: eiπ + 1 = 0 De mani`re plus g´n´rale, e e e eiθ = cos θ + i sin θ Comme corollaire eiθ + e−iθ cos θ = 2 eiθ − e−iθ sin θ = 2i

37. a0 Sans se pr´occuper du terme constant , on peut remplacer ces expressions e 2 dans la s´rie de Fourier trigonom´trique. e e ∞ ∞ einx + e−inx einx − e−inx (an cos(nx) + bn sin(nx)) = (an + bn ) n=1 n=1 2 2i ∞ an −inx ibn inx = ( (e inx +e )− (e − e−inx )) n=1 2 2 ∞ ∞ inx an ibn −inx an ibn = e ( − )+ e ( + ) n=1 2 2 n=1 2 2 ∞ −1 inx an ibn inx a−n ib−n = e ( − )+ e ( + ) n=1 2 2 n=−∞ 2 2

38. Puisque la s´rie trigonom´trique donne une fonction rélle, alors la somme e e e de ces deux sommes doit aussi donner quelque chose de rél. La somme des e deux doit donc satisfaire la sym´trie complexe: e si on veut que la somme de deux nombres complexes soit un nombre rél il faut e alors que si l’un est z, l’autre soit son conjugu´ z. e an − ibn a−n − ib−n On pose que Cn = , donc C−n = , alors on a besoin que 2 2 an + ibn le terme correspondant de Cn soit Cn = et que celui de C−n soit 2 a−n + ib−n C−n = 2

39. La relation entre les constantes trigonom´triques et a−n et b−n . e π 1 a−n = f (x) cos(−nx) dx π −π π 1 = f (x) cos(nx) dx π −π = an π 1 b−n = f (x) sin(−nx) dx π −π π 1 =− f (x) sin(nx) dx π −π = −bn

40. Par ces deux relations, nous pouvons constater que, a−n − ib−n C−n = 2 an + ibn = 2 an − ibn = 2 = Cn Ceci nous montre bien que la somme des deux est bien r´elle puisqu’elles satis- e font Cn = C−n . il nous manque le terme n = 0. Puisqu’on sait que Cn = C−n , alors C0 = C−0 = C0 . Ca montre que C0 est un a0 terme toujours r´el : e 2

41. Finalement, continuons notre raisonnement, et posons an − ibn a−n + ib−n Cn = et Cn = 2 2 ∞ ∞ −1 a0 a0 inx an − ibn inx a−n + ib−n + (an cos(nx) + bn sin(nx)) = + e ( )+ e ( ) 2 n=1 2 n=1 2 n=−∞ 2 ∞ −1 a0 = + Cn einx + Cn einx 2 n=1 n=−∞ et Cn = C−n et C0 = C−0 = C0 , donc ∞ = Cn einx n−∞

42. Nous avons donc que si une fonction peut ˆtre ´crite sous forme de s´rie de e e e Fourier exponentielle, alors sa s´rie de Fourier serait e ∞ Cn einx n=−∞

43. Quelle est l’expression du coeﬃcient Cn ? an − ibn Cn = 2 an − ibn Cn = 2 π π 1 1 i = ( f (x) cos(nx) dx − f (x) sin(nx) dx) 2 π −π π −π π 1 = f (x)(cos(nx) − isin(nx)) dx 2π −π Par la relation d’Euler, on peut voir directement que cos(nx) − isin(nx) = e−inx , donc π 1 = f (x)e−inx dx 2π −π

44. Une autre m´thode: e Soit f p´riodique de 2π et supposons que e ∞ f (x) = Cn einx n=−∞ multiplions par e−ikx o` k est un entier u ∞ f (x)e−ikx = e−ikx Cn einx −∞ ∞ e−ikx Cn einx = e−ikx (· · · + C−2 e−2ix + · · · + C1 eix + · · · + Ck eikx + · · · ) n=−∞ ∞ = Cn ei(n−k)x + Ck n=−∞,n=k ∞ Ck = − Cn ei(n−k)x + f (x)e−ikx n=−∞n=k

45. Prenons int´grale sur une p´riode, e e π π π ∞ Ck , dx = f (x)e−ikx dx − Cn ei(n−k)x dx −π −π −π n=−∞,n=k prenons un terme de la somme que nous devons int´grer, e π π Cn eix(n−k) dx = Cn eix(n−k) dx −π −π Cn = ei(n−k)x |π −π i(n − k) Cn = (eiπ(n−k) − e−iπ(n−k) ) i(n − k) = 0 (car eiπm = 1 pour un nombre m entier)

46. Finalement, π π Ck dx = f (x)e−ikx dx −π −π π πCk = f (x)e−ikx dx −π ∞ Si f (x) = Cn einx −∞ π 1 Cn = f (x)e−inx dx 2π −π

47. Pour une p´riode quelconque ? e La s´rie de Fourier d’une fonction f (x) de p´riode quelconque T . e e T T On pose x = u pour rendre f ( u) p´riodique de 2π. e 2π 2π ∞ 2πinx Cn e T n=−∞ o` le coeﬃcient de Fourier u T 1 2 −2πinx Cn = f (x)e T dx T −T 2 ou T 1 −2πinx Cn = f (x)e T dx T 0

48. Convergence Simple

49. Soient I un intervalle de R, (fn )n∈Z une suite de fonctions d´finies sur I, et e f d´finie sur I. On dit que (fn ) converge simplement vers f sur I si ∀x ∈ I, la e suite (fn (x)) converge vers f (x). Autrement dit : ∀x ∈ I, ∀ 0, ∃n0 (, x) ∈ N, ∀n ≥ n0 ⇒ |fn (x) − f (x)| O` la notation (, x) signifie que le choix du n0 d´pend et de , et du x u e d´termin´. e e

50. Exemple 1 : Soit sur [0, 1], fn (x) = xn . Il est clair que la fonction fn converge simplement vers la fonction d´finie par f (x) = 0 si x est dans [0, 1[ et e f (1) = 1. MAIS la continuit´ n’est pas toujours pr´servé par la convergence simple. 1`re e e e e insuffisance.

51. Exemple 2 Soit la suite de fonctions d´ﬁnie sur [0,1] par e  2 1  fn (x) = n x, 0 ≤ x ≤ 2n  fn (x) = n2 ( 1 − x), 1 ≤x≤ n  1 n 2n 1 fn (x) = 0, x≥ n 1 Soit x 0. n → 0 lorsque n → ∞, donc ` partir d’un certain rang N , a 1 on a : n x. Donc ` partir du mˆme rang N , fn (x) = 0 et donc fn (x) → 0 a e lorsque n → ∞. Ainsi, la suite (fn (x)) converge simplement vers la fonction nulle sur [0,1].

52. 1 1 2n 1 n fn (x) = n2 xdx + n − n2 xdx = 1/4 (Ind´pendant de n) e 1 0 0 1 1 2n 1 → lim fn (x)dx = lim fn (x)dx = f (x)dx = 0. n→∞ 0 0 n→∞ 0 Ces deux insuﬃsances motivent une nouvelle notion : la convergence uniforme.

53. Convergence Uniforme

54. D´finition : Soient I un intervalle de R, (fn )n∈Z une suite de fonctions e d´finies sur I, et f d´finie sur I. On dit que (fn ) converge uniform´ment vers f e e e sur I si : ∀ 0, ∃n0 () ∈ N, ∀x ∈ I, ∀n ≥ n0 , |fn (x) − f (x)| .

55. Toute suite de fonctions qui converge uniform´ment converge simplement. e R´solution de la seconde insuffisance : e Majoration par la d´finition de convergence uniforme : e b |fn x − f (x)|dx ≤ (b − a)max|fn − f | a Quand n tend vers l’infini, le second membre tend vers 0, d’o` le premier u ´galement - du fait de la valeur absolu - et e b b lim fn (x)dx = f (x)dx n→∞ a a

57. Convergence Normale

58. Soient I un intervalle de R et (fn )n∈Z une suite de fonctions d´ﬁnies sur I. e ∞ On dit que (fn ) converge normalement sur I si la s´rie e sup|fn (x)|, x ∈ I est n≥0 convergente. La convergence normale est encore plus exigeante que la convergence uniforme, dans le sens o` toute fonction qui converge normalement converge uni- u form´ment. Nous ne le d´montrerons pas. e e

59. Séries trigonométriques Proposition 1 Si les s´ries num´riques e e |an | et |bn | convergent, alors la 2πn 2πn s´rie trigonom´triques S(t) = e e an cos( t) + bn sin( )t) converge nor- T T n≥0 malement (et donc uniform´ment) sur R e Preuve Cela d´coule directement de l’in´galit´ : |an cos( 2πn t) + bn sin( 2πn )t)| ≤ e e e T T |an | + |bn | Corollaire Si les s´ries num´rique |an | et |bn | convergent, alors la s´rie trigonom´trique e e e e S(t) est continue R.sur Si les s´ries n |an | et n |bn | convergent, alors la somme S(t) est continue e sur R, ` d´riv´e continue. a e e

60. Proposition 2 Si les suites num´riques (an )et(bn ) sont d´croissantes et tendent vers 0, alors e e la s´rie trigonom´trique S(t) est convergente pour t = k.T o` k ∈ Z e e u Nous ne d´montrons pas cette proposition. e

61. Théorème de Dirichlet

62. Quelques notations et d´ﬁnitions e Notation Nous noterons pour la suite f (a+ ) la limite ` droite en a et f (b− ) la limite a a ` gauche en b. Fonction continue par morceau Une fonction f : [a, b] → C est dite continue par morceau sur [a,b] si f est continue sur [a,b] sauf ´ventuellement en un nombre ﬁni de points qui admettent e des limites ` gauche et ` droite. En particulier, f (a+ )etf (b− ) existent. a a Fonction lisse par morceaux Une fonction f : [a, b] → C est dite lisse par morceau sur [a,b] si f et f sont continues par morceaux sur [a,b]. En particulier, f (a+ )etf (b− ) existent.

63. Introduction au thór`me e e n ikx Expression du noyau de Dirichlet : Dn (x) = e k=−n ix Suite de raison e ; modifions l’ćriture dans un cas gń´ral : e e e n 2n q 2n+1 qk = q −n q k = q −n q−1 k=−n k=0 −1 Multiplions num´rateur et dńominateur par q e e 2 : −n− 1 2n+1 n+ 1 −n− 1 q 2 q −1 q 2 −q 2 −1 = 1 −1 q 2 q−1 q2 − q 2 Et en rínjectant eix : e i(n+ 1 )x 1 −i(n+ 2 )x e 2 −e i( 1 )x e 2 − −i( 1 )x e 2

64. D’autre part, grˆce aux formules d’Euler, on trouve : a sin((n + 1 )x) 2 sin( x ) 2 Et finalement, fort de savoir que le noyau est rél, nous pouvons, en ne e conservant que les parties rélles de l’expression complexe du noyau, trouver e une derni`re expression : e k=n Dn (x) = 1+2 cos(kx) , qui nous permet de calculer facilement l’int´grale e k=1 de −π ` π (ce qui est quasi insoluble avec les autres expressions), ce qui nous a sera fort utile pour la d´monstration! e En r´sum´ : e e n n sin((n + 1 )x) Dn (x) = eikx = 1 + 2 cos(kx) = 2 sin( x ) 2 k=−n k=1 Et son int´grale de 0 ` π ´quivaut ` π. e a e a

65. Th´or`me(Dirichlet, 1824) Si f : R → C est 2π-p´riodique et lisse par e e e morceau sur R, alors : f 1 lim SN (x) = (f (x+ ) + f (x− )) pour tout x N →∞ 2 En particulier, f lim SN (x) = f (x) N →∞ f pour tout x o` f est continue, avec u SN (x) la s´rie de Fourier correspondant ` e a la fonction. Remarque : C’est donc des conditions pour une convergence simple vers la fonction. Il peut exister des fonctions continues qui divergent en certains points de x.

66. Preuve p Soit Sp (x) = ck eikx la somme partielle de la s´rie de Fourier en un e k=−p point x ﬁx´. e 1 1. Calcul de Sp (x) − (f (x+ ) + f (x− )) 2 2π p ikx 1 Sp (x) = e e−ikt f (t)dt 2π 0 k=−p 2π p 1 = eik(x−t) f (t)dt 2π 0 k=−p 2π 1 = Dp (x − t)f (t)dt 2π 0 2π−x 1 = Dp (u)f (u + x)du 2π −x π 1 = Dp (u)f (u + x)du 2π −π

67. Nous pouvons alors ´crire, en se souvenant que l’int´grale du noyau sur la e e p´riode est 2π : e π π 1 + − 1 1 Sp (x)− (f (x )+f (x )) = Dp (u)f (u+x)du− Dp (u)f (x+ )du− π 2 2π −π 4π −π 1 Dp (u)f (x− )du 4π −π Par la parit´ du noyau et l’additivit´ de l’int´grale : e e e π π 0 1 1 1 Dp (u)f (u + x)du − + Dp (u)f (x )du − Dp (u)f (x− )du 2π −π 2π 0 2π −π 0 π = 1 2π ( −π Dp (u)(f (u + x) − f (x− ))du + 0 Dp (u)((f (u + x) − f (x+ ))du )

68. π + Calcul de lim Dp (u)((f (u + x) − f (x ))du p→∞ 0 Exploitons le lemme suivant : Lemme Toute fonction f lisse par morceau sur [a, b] v´riﬁe : e b lim f (x)sin(nx)dx = 0 n→∞ a b lim f (x)cos(nx)dx = 0 n→∞ a

69. Preuve Int´gration par partie : e b f (x)sin(nx)dx a n−1 αk+1 = f (x)sinxdx k=0 αk n−1 αk+1 n−1 1 − 1 = + (f (αk )cos(nαk ) − f (αk+1 )) + f (x)cos(nx)dx n n αk k=0 k=0 Lorsque n → ∞, l’expression → 0. ( Rappelons nous de l’hypoth`se de e d´part : f est lisse par morceau → f et f sont continues, donc bornés.) e e Fort de ce lemme, nous pouvons prouver ce qui nous int´resse, en nous e rappelant que par l’hypoth`se du thór`me de Dirichlet, la fonction f est lisse e e e sin((p+ 1 )x) par morceau, et que Dp (x) = sin( x2) . 2 + f (x+u)−f (x ) Posons g(u) = , qui est lisse par morceau sur [0, π] sin( u ) 2 π 1 Donc, par le lemme prć´dent, lim e e g(u)sin((p + )u) = 0 p→∞ 0 2 Ce que l’on cherchait ` d´montrer. a e

70. 3.Synth`se de la d´monstration du th´or`me de Dirichlet. e e e e Nous avons donc d´montr´ que : e e 1 lim Sp (x) − (f (x+ ) + f (x− )) = 0 p→∞ 2 pour une fonction f lisse par morceau et de p´riode 2π. e

71. x f (x) = e si x ∈] − π; π[

72. Calcul de a0 π 1 eπ − e−π a0 = ex dx = π −π π Calcul de an Soit I = ex cos(nx)dx. Apr`s la premi`re int´gration par partie, nous e e e trouvons : x e sin(nx) 1 I= − ex sin(nx) n n Int´grons maintenant par partie J = ex sin(nx); nous trouvons : e x π −e cos(nx) 1 J= + ex cos(nx) n n −π ex sin(nx) 1 −ex cos(nx) 1 Ainsi, I = − ( + I) nx n x n n 1 e sin(nx) e cos(nx) ⇔ I(1 + 2 ) = + nx n x n2 n.e sin(nx) + e cos(nx) ⇔I= π n2 + 1 eπ .cos(nπ) e−π .cos(nπ) cos(nπ) π D`s lors, e x e cos(nx)dx = − = 2 (e − e−π ) −π n2 + 1 n2 + 1 n +1 1 cos(nπ) π Et ﬁnalement, an = ( 2 (e − e−π )) π n +1

73. Calcul de bn π π 1 x 1 bn = e sin(nx)dx = ( ex(ni+1) ) π −π π −π 1 π x(ni+1) eπ(ni+1) e−π(ni+1) ⇒ e = − π −π ni + 1 ni + 1 −ni + 1 π nπi = 2 (e e − e−π e−nπi ) n +1 En prenant uniquement la partie imaginaire, en consid´rant bien que sin(nπ) e est de toute fa¸on nul, nous trouvons : c 1 −n bn = ( 2 (eπ cos(nπ) − e−π cos(nx))) π n +1 1 ncos(nπ) −π Et ﬁnalement, bn = ( 2 (e − eπ )) π n +1 Et en groupant le tout, nous trouvons l’expression de la s´rie. (En con- e sid´rant bien que suivant que n est pair ou impair, cos(nπ) ´quivaudra ` 1 ou e e a -1)

74. S´rie de Fourier associ´e ` la fonction e e a π −π ∞ e −e (−1)n f (x) = + (eπ − e−π )(cos(nx) − nsin(nx)) 2π n=1 π(n2 + 1) π −π ∞ e −e 1 (−1)n = ( + 2 + 1) (cos(nx) − nsin(nx)) π 2 n=1 π(n

75. Merci pour votre attention

76. Fréquence Une seconde

77. Applications en téléphonie Multiplexing Compression Numérotation Suppression de l’écho

78. Structure: - Approche son (fred) - Séries trigonométriques (jie fang) - Calculs des coefﬁcients (Antoine) + fonction carrée (jie fang) - Application logicielle (fred) (gibbs) - Complexes (Jie-Fang) - convergence (antoine)

79. Le timbre Qualité spéciﬁque du son produit par un instrument, indépendante de la hauteur et l’amplitude Cor Trombone ténor Clarinette

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