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Les séries de Fourier
Plan

Introduction

Approche avec des séries trigonométriques

     Exemple : Fonction carrée

Approche avec les séries complexes

Convergence des séries de Fourier
Superposition d’ondes
Superposition d’ondes
     Harmoniques



              • Différences de
                    fréquences
              •    Décallages de
                       phase
              •     Différences
                   d’amplitude
Comment retrouver les différentes
   fréquences et décalages qui
 composent un signal harmonique?
Expression générale du mouvement
                  harmonique
                         y(x, t) = A sin( 2πx −
                                           λ
                                                  2πt
                                                   T    + φ)

o` y est le d´placement p´riodique de la vibration de l’objet , λ la p´riode dans
  u          e             e                                          e
l’espace , T la p´riode dans le temps et φ la phase. Fixons la variable x, nous
                 e
avons ici une fonction f (t) p´riodique de p´riode T .
                              e             e
                             f (t) = A sin( 2πn t + φ)
                                             T
Somme d’harmoniques

    La somme finie, constitu´e des harmoniques de la p´riode fondamentale T
                             e                       e
    N
                2πn
est     An sin(     t + φn )
    n=1
                 T

             2πn                     2πn                    2πn
     An sin(     t + φn ) = An (sin(     t) cos(φn ) + cos(     t) sin(φn ))
              T                       T                      T
                                             2πn                       2πn
                          = An sin(φn ) cos(     t) + An cos(φn ) sin(       t)
                                              T                         T
                         on pose an = An sin(φn ) et bn = An cos(φn )
                                    2πn              2πn
                          = an cos(     t) + bn sin(     t)
                                     T                T
                     a0
Et un terme constant
                     2
                           N
                    a0              2πn              2πn
                      +     (an cos(     t) + bn sin(     t))
                    2   n=1
                                      T                T
Périodicité


   Une fonction est p´riodique de p´riode p s’il existe un nombre r´el positif le
                       e              e                            e
plus petit possible p tel que f (x) = f (x + p)

Est-ce que la somme des fonctions p´riodiques est une fonction p´riodique ?
                                       e                        e
Si oui, quelle est sa p´riode ?
                       e
Exemple 1:
                                1
s(x) = sin(4x) + sin(x) + sin( x) est bien p´riodique de 4π.
                                             e
                                4
Exemple 2 :
s(x) = sin x + sin(πx) n’est pas p´riodique.
                                  e
Lemme sur la périodicité à propos de l’intégrale
    Soit f une fonction continue par morceau p´riodique de T .
                                               e
             a+T
L’int´grale
     e            f (x) dx ne d´pend pas du r´el a.
                               e             e
               a
En autres mots,
                      a+T                         T                   T
                                                                         2
                             f (x) dx =                 f (x) dx =            f (x) dx = · · ·
                                                                         −T
                   a                            0                         2


D´monstration : Par l’additivit´ de l’int´grale,
 e                             e         e
         a+T              0             T                                               a+T
               f (x) dx =     f (x) dx +     f (x) dx +                                           f (x) dx
           a                        a                           0                          T

Posons x = y + T ⇒ dx = dy
                 a+T                                  a                            a
                      f (x) dx =                            f (y + t) dy =                f (y) dy
                       T                            0                             0
                       0                  a
Constatons que     f (x) dx +      f (y) dy = 0,
      a+T       a     T       0

Donc       f (x) dx =      f (x) dx qui est ind´pendante de a
                                                e
       a                       0
Série de Fourier d’une fonction périodique 2π
                          N
                          
                 a0
   f (x) =       2    +         (an cos(nx) + bn sin(nx))
                          n=1

Quelles sont les expressions de a0 , an et bn ?
Pour les trouver, calculons d’abord (o` n, k ∈ Z)
                                        u
      π
   •      cos nx cos kx dx
           −π
          π
   •            sin nx sin kx dx
           −π
          π
   •            cos(nx) sin(kx) dx
           −π
Si n = k:
   π                        π
       cos nx cos kx dx = 2     cos nx cos kx dx
   −π                        0
                             π
                                1
                        =2        (cos((n + k)x) + cos((n − k)x) dx
                             0 2
                              1                     1
                        =(        sin((n + k)x) +       sin((n − k)x))|π
                                                                       0
                            n+k                   n−k
                              1                     1
                        =(        sin((n + k)π) +       sin((n − k)π)
                            n+k                   n−k
                        =0

     π                                  π
           sin nx sin kx dx = 2               sin nx sin kx dx
      −π                              0
                                         π
                                  −1
                           =2        (cos((n + k)x) − cos((n − k)x) dx
                               0  2
                               −1                    −1
                           =(      sin((n + k)x) −        sin((n − k)x))|π
                                                                         0
                              n+k                   n−k
                               −1                    −1
                           =(      sin((n + k)π) −        sin((n − k)π)
                              n+k                   n−k
                           =0
Si n = k
              π                                  π
                    cos nx cos kx dx = 2               cos2 nx dx
               −π                              0
                                                  π
                                           1 + cos(2nx)
                                    =2                  dx
                                        0        2
                                        1     1
                                    = 2( x +     sin(2nx))|π
                                                           0
                                        2    4n
                                        1     1
                                    = 2( π +     sin(2nπ))
                                        2    4n
                                    =π

               π                                 π
                    sin nx sin kx dx = 2               sin2 nx dx
               −π                              0
                                                  π
                                           1 − cos(2nx)
                                    =2                  dx
                                        0        2
                                        1     1
                                    = 2( x −     sin(2nx))|π
                                                           0
                                        2    4n
                                        1     1
                                    = 2( π −     sin(2nπ))
                                        2    4n
                                    =π
cos(nx) sin(kx) est impaire car
cos(nx) sin(kx) = − cos(−nx) sin(−kx)
 π
     cos(nx) sin(kx) dx = 0
 −π
En r´sum´, pour n, k ∈ Z
         e     e
 π                     
                           0 si n = k
     cos nx cos kx dx =
                          π si n = k
 −π
 π                     
                          0 si n = k
     sin nx sin kx dx =
 −π                       π si n = k
 π
     cos(nx) sin(kx) dx = 0
 −π
N
                                                       
                                  a0
            Supposons que f (x) =    +     (an cos(nx) + bn sin(nx))
                                  2    n=1


   π                    π                 π   N
                                                 
                               a0
         f (x) dx =               dx +                (an cos(nx) + bn sin(nx)) dx
    −π                    −π   2             −π n=1
                         π              
                                         N       π                      
                                                                        N     π
                               a0
                 =                dx +                an cos(nx) dx +              bn sin(nx) dx
                          −π   2       n=1       −π                     n=1   −π
                             N
                             an               N
                                               −bn
                   a0 π
                 = x|−π +         sin(nx)|π +
                                          −π        cos(nx)|π
                                                            −π
                    2       n=1
                                n             n=1
                                                  n
                   a0
                 =     × 2π
                    2
                 = a0 π
                                                      π
                                          1
                                     a0 =                  f (x) dx
                                          π           −π
Pour an , multiplions par cos(kx) o` k est un entier positif, puis prenons
                                         u
l’int´grale.
     e
                             N
                a0
f (x) cos(kx) =    cos(kx) +     (an cos(nx) cos(kx) + bn sin(nx) cos(kx))
                2            n=1

   π                             π                           π   N
                                                                    
                                        a0
         f (x) cos(kx) dx =                cos(kx) dx +                   (an cos(nx) cos(kx) + bn sin(nx) cos(kx)) dx
    −π                             −π   2                       −π n=1
                                  π                        
                                                            N        π                                   
                                                                                                         N          π
                                        a0
                           =               cos(kx) dx +                      an cos(nx) cos(kx) dx +                    bn sin(nx) cos(kx) dx
                                   −π   2               n=1          −π                                  n=1    −π
                                       π                   N
                                                                           π                           N
                                                                                                                      π
                             a0
                           =                 cos(kx) dx +           an            cos(nx) cos(kx) dx +         bn            sin(nx) cos(kx) dx
                             2          −π                  n=1              −π                          n=1            −π


parmi les termes n, il existe un n ´gal ` k tel que
                                   e    a
  π
 N                                  N        π                                                  π
   an      cos(nx) cos(kx) dx =           an     cos(nx) cos(kx) dx+ak                                 cos2 (kx) dx
n=1         −π                                 n=1,n=k      −π                                   −π

                          π
                             f (x) cos(kx) dx = ak π
                          −π               π
                                        1
                                 an =         f (x) cos(nx) dx
                                        π −π
Pour bn , faisons le mˆme proc´d´ mais avec sin(kx) o` k est un entier positif
                              e       e e                    u

                             N
                a0
f (x) sin(kx) =    sin(kx) +     (an cos(nx) sin(kx) + bn sin(nx) sin(kx))
                2            n=1

   π                                   π                              π   N
                                                                             
                                                 a0
         f (x) sin(kx) dx =                         sin(kx) dx +                   (an cos(nx) sin(kx) + bn sin(nx) sin(kx)) dx
    −π                                  −π       2                       −π n=1
                                        π                           
                                                                     N        π                                   
                                                                                                                  N          π
                                                 a0
                                =                   sin(kx) dx +                      an cos(nx) sin(kx) dx +                    bn sin(nx) sin(kx) dx
                                        −π       2               n=1          −π                                  n=1    −π
                                                π                   N
                                                                                    π                           N
                                                                                                                               π
                                  a0
                                =                     sin(kx) dx +           an            cos(nx) sin(kx) dx +         bn            sin(nx) sin(kx) dx
                                  2              −π                  n=1              −π                          n=1            −π

            N
                         π                                     N
                                                                                     π                               π
puisque           bn            sin(nx) sin(kx) dx =                         bn            sin(nx) sin(kx) dx+bk             sin2 (kx) dx
            n=1            −π                                  n=1,n=k               −π                               −π

                                        π
                       Alors               f (x) sin(kx) dx = bk π
                                        −π           π
                                                  1
                                           bn =         f (x) sin(nx) dx
                                                  π −π
En résumé


   Soit f une fonction p´riodique de p´riode 2π, si elle peut s’´crire sous forme
                        e             e                         e
de s´rie de Fourier,
    e
                            N
                            
                       a0
                          +     (an cos(nx) + bn sin(nx))
                       2    n=1

Alors,
                                  
                               1 π
                          a0 =       f (x) dx
                               π −π
                                  π
                               1
                          an =       f (x) cos(nx) dx
                               π −π
                                  π
                               1
                          bn =       f (x) sin(nx) dx
                               π −π
Exemple concret : la
  fonction carrée
Fonction carr´e p´riodique de 2π, d´finie dans R comme :
             e e                   e
                 
                     1 si 2kπ ≤ x  (2k + 1)π
         f (x) =
                    −1 si (2k + 1)π ≤ x  2kπ
Calculons les coefficients
N
     
a0
   +     (an cos(nx) + bn sin(nx)).
2    n=1

                0              π
          1
     a0 = (       f (x) dx +       f (x) dx)
          π −π                 0
           0              π
        1
      = (      −1 dx +        1 dx)
        π −π               0
        1
      = (π − π) = 0
        π 
          1 π
     an =        f (x) cos(nx) dx
          π −π
           0                      π
        1
      = (      − cos(nx) dx +          cos(nx) dx)
        π −π                       0
        1 −1                   1
      = (     sin(nx)|−π + sin(nx)|π )
                        0
                                            0
        π n                    n
        1 −1                              1
      = (     (sin(0) − sin(−nπ)) + (sin(nπ) − sin(0)))
        π n                              n
      =0
π
                1
           bn =             f (x) sin(nx) dx
                π    −π
                     0                     π  
                  1
              =     (     − sin(nx) dx +      sin(nx) dx)
                  π −π                    0
                  1 1           0     −1
              =     ( cos(nx)|−π +       cos(nx)|π )
                                                   0
                  π n                  n
                  1 1                           −1
              =     ( (cos(0) − cos(−nπ)) +        (cos(nπ) − cos(0)))
                  π n                            n
                  1 1                    −1
              =     ( (1 − cos(−nπ)) +        (cos(nπ) − 1))
                  π n                     n
                   2
              =       (1 − cos(nπ))
                  nπ
bn d´pend de la parit´ de n.
     e                e
                 2                    1
Si n = 2k alors    (1 − cos(nπ)) =       (1 − cos(2kπ)) = 0
                nπ                   kπ
                    2                       2                            4
Si n = 2k+1, alors     (1−cos(nπ)) =              (1−cos((2k+1)π)) =
                 nπ                    (2k + 1)π                    (2k + 1)π
                      0    si n est un entier pair
Donc on a bn =       4
                         si n est un entier impair
                    nπ
Nous avons donc trouv´ que la s´rie de Fourier de f (x) est
                        e         e
                         N
                                  4
                                         sin((2k + 1)x)
                               (2k + 1)π
                         k=0

Deux questions se posent :
Combien de termes doit-on additionner afin d’obtenir exactement le graphe de
la fonction d´sir´e?
             e e
Comment peut-on construire une fonction discontinue ` chaque x = kπ (o` k
                                                         a                   u
est un entier) ` l’aide de la somme de fonctions continues en tout point dans R?
               a
N=1


N=5


N=11


N= 49
Phénomène de Gibbs
Conclusion


   Plus le nombre N croˆ plus la fonction a l’air de coller au graphe de la
                           ıt,
fonction carr´e. De cette id´e intuitive, on peut d´duire que la s´rie de Fourier
             e               e                      e             e
                                           ∞
                                                 4
associ´e ` cette fonction carr´e f (x) est
      e a                      e                        sin((2k + 1)x)
                                              (2k + 1)π
                                         k=0
Pourquoi la s´rie est compos´e seulement de termes de sinus?
              e              e




    Si une fonction est paire, alors sa s´rie de Fourier est une somme de cosinus.
                                         e
Si une fonction est impaire, alors sa s´rie de Fourier est une somme de sinus.
                                         e
D´monstration : Si f (x) est paire, alors f (x) sin nx est impaire et f (x) cos nx
     e
est paire.
                                  π
                               2
                         a0 =        f (x) dx
                              π 0
                                  π
                               2
                        an =         f (x) cos(nx) dx
                              π 0
                                  π
                               1
                         bn =        f (x) sin(nx) dx = 0
                              π −π

   Si f (x) est impaire, alors f (x) sin nx est paire et f (x) cos nx est impaire.
                                   π
                               1
                         a0 =          f (x) dx = 0
                               π −π
                                   π
                               1
                         an =          f (x) cos(nx) dx = 0
                               π −π
                                   π
                               2
                         bn =          f (x) sin(nx) dx
                               π 0
Par cons´quent,
           e
                               ∞
                               
                           a0
Si f (x) paire, la s´rie =
                    e         +     an cos(nx)
                           2    n=1
                              ∞
                              
Si f (x) impaire, la s´rie =
                       e         bn sin(nx)
                            n=1
Une ´criture plus g´n´rale.
         e              e e
Si une fonction f (x) p´riodique de p´riode 2π peut ˆtre ´crite sous forme de
                         e               e          e    e
s´rie de Fourier, alors cette s´rie est ´gale `
 e                             e        e     a
                           ∞
                           
                      a0
                         +     (an cos(nx) + bn sin(nx))
                      2    n=1
Et pour une période quelconque ?

    Soit une fonction f (x) p´riodique de p´riode T quelconque, quelle est sa
                             e               e
s´rie de Fourier ?
 e
                             T               T
changement de variable x =      u tel que f ( u) soit p´riodique de periode 2π.
                                                       e
                             2π              2π
Ainsi on a
                                  ∞
                                  
                     T     a0
                  f ( u) =    +     (an cos nu + bn sin nu)
                     2π    2    n=1

                                              T             T
On applique le changement de variable x = 2π u ⇒ dx = 2π du
                            π
                         1           T
                    a0 =         f ( u) du
                         π −π 2π
                            T
                         1   2          2π
                       =          f (x)    dx
                         π −T 2
                                        T
                            T                   T
                         2    2               2
                       =          f (x) dx =        f (x) dx
                         T −T  2
                                              T 0
1 π        T
           an =         f ( u) cos(nu) du
                π −π 2π
                 T
              1   2             2πnx 2π
            =        f (x) cos(      )    dx
              π −T 2
                                 T     T
                 T                             T
              2   2             2πnx         2                2πn
            =        f (x)cos(       ) dx =        f (x) cos(     ) dx
              T −T 2
                                 T           T 0               T

                   
                1 π       T
           bn =        f ( u) sin(nu) du
                π −π 2π
                 T
              1   2             2πnx 2π
            =        f (x) sin(      )   dx
              π −T 2
                                 T     T
                 T                            T
              2   2             2πnx        2                2πn
            =        f (x) sin(      ) dx =       f (x) sin(     ) dx
              T −T 2
                                  T         T 0               T

Et la s´rie de Fourier d’une fonction de p´riode quelconque T est
       e                                  e
                            ∞
                            
                       a0               2πn            2πn
                          +     (an cos     x + bn sin     x)
                       2    n=1
                                         T              T
Démonstration logicielle
Approche complexe des
  séries de Fourier
Une autre ´criture de la s´rie de Fourier
               e               e

                   La relation d’Euler: eiπ + 1 = 0

De mani`re plus g´n´rale,
       e         e e

                            eiθ = cos θ + i sin θ

Comme corollaire
                                    eiθ + e−iθ
                            cos θ =
                                         2
                                    eiθ − e−iθ
                            sin θ =
                                        2i
a0
   Sans se pr´occuper du terme constant , on peut remplacer ces expressions
              e
                                          2
dans la s´rie de Fourier trigonom´trique.
         e                       e
∞
                                ∞
                                       einx + e−inx      einx − e−inx
    (an cos(nx) + bn sin(nx)) =     (an              + bn              )
n=1                             n=1
                                              2                2i
                                ∞
                                an
                                               −inx    ibn inx
                             =     ( (e inx
                                            +e      )−    (e   − e−inx ))
                               n=1
                                    2                   2
                                 ∞
                                                              ∞
                                                               
                                           inx     an   ibn          −inx an   ibn
                             =         e         (    −     )+     e     (   +     )
                                 n=1
                                                    2    2     n=1
                                                                           2    2
                                 ∞
                                                               −1
                                                                
                                           inx     an   ibn          inx a−n   ib−n
                             =         e         (    −     )+      e (      +      )
                                 n=1
                                                    2    2     n=−∞
                                                                          2      2
Puisque la s´rie trigonom´trique donne une fonction r´elle, alors la somme
                 e              e                            e
de ces deux sommes doit aussi donner quelque chose de r´el. La somme des
                                                               e
deux doit donc satisfaire la sym´trie complexe:
                                   e
si on veut que la somme de deux nombres complexes soit un nombre r´el il faut
                                                                        e
alors que si l’un est z, l’autre soit son conjugu´ z.
                                                  e
                      an − ibn                 a−n − ib−n
On pose que Cn =               , donc C−n =               , alors on a besoin que
                           2                         2
                                               an + ibn
le terme correspondant de Cn soit Cn =                  et que celui de C−n soit
                                                   2
        a−n + ib−n
C−n =
              2
La relation entre les constantes trigonom´triques et a−n et b−n .
                                            e
                                π
                             1
                      a−n =         f (x) cos(−nx) dx
                             π −π
                                π
                             1
                          =         f (x) cos(nx) dx
                             π −π
                           = an

                                    π
                             1
                     b−n   =              f (x) sin(−nx) dx
                             π       −π
                                         π
                              1
                           =−                 f (x) sin(nx) dx
                              π          −π
                           = −bn
Par ces deux relations, nous pouvons constater que,
                                     a−n − ib−n
                             C−n   =
                                          2
                                     an + ibn
                                   =
                                        2
                                     an − ibn
                                   =
                                        2
                                   = Cn

Ceci nous montre bien que la somme des deux est bien r´elle puisqu’elles satis-
                                                      e
font Cn = C−n .

il nous manque le terme n = 0.
Puisqu’on sait que Cn = C−n , alors C0 = C−0 = C0 . Ca montre que C0 est un
                      a0
terme toujours r´el :
                e
                      2
Finalement, continuons notre raisonnement, et posons
                         an − ibn         a−n + ib−n
                    Cn =          et Cn =
                            2                 2

     ∞
                                        ∞
                                                              −1
                                                               
a0                                   a0        inx an − ibn          inx a−n + ib−n
   +     (an cos(nx) + bn sin(nx)) =    +     e (           )+      e (             )
2    n=1
                                     2    n=1
                                                      2        n=−∞
                                                                             2
                                         ∞
                                                      −1
                                                       
                                   a0
                                 =    +     Cn einx +      Cn einx
                                   2    n=1           n=−∞

                                et Cn = C−n et C0 = C−0 = C0 , donc
                                    ∞
                                    
                                 =     Cn einx
                                   n−∞
Nous avons donc que si une fonction peut ˆtre ´crite sous forme de s´rie de
                                                e    e                 e
Fourier exponentielle, alors sa s´rie de Fourier serait
                                 e
                                 ∞
                                 
                                       Cn einx
                                n=−∞
Quelle est l’expression du coefficient Cn ?
      an − ibn
Cn =
          2
            an − ibn
       Cn =
               2                           π
                   π
            1 1                          i
          = (         f (x) cos(nx) dx −       f (x) sin(nx) dx)
            2 π −π                       π −π
                π
             1
          =         f (x)(cos(nx) − isin(nx)) dx
            2π −π
          Par la relation d’Euler, on peut voir directement que
          cos(nx) − isin(nx) = e−inx , donc
                 π
              1
           =         f (x)e−inx dx
             2π −π
Une autre m´thode:
                e
Soit f p´riodique de 2π et supposons que
        e
                                              ∞
                                              
                                   f (x) =          Cn einx
                                             n=−∞

multiplions par e−ikx o` k est un entier
                       u
                                                    ∞
                                                    
                              f (x)e−ikx = e−ikx         Cn einx
                                                    −∞


        ∞
        
e−ikx          Cn einx = e−ikx (· · · + C−2 e−2ix + · · · + C1 eix + · · · + Ck eikx + · · · )
        n=−∞
                              ∞
                              
                       =               Cn ei(n−k)x + Ck
                           n=−∞,n=k

                                    ∞
                                    
                       Ck = −                Cn ei(n−k)x + f (x)e−ikx
                                n=−∞n=k
Prenons int´grale sur une p´riode,
              e               e
          π                   π                         π    ∞
                                                                
                Ck , dx =            f (x)e−ikx dx −                      Cn ei(n−k)x dx
           −π                   −π                         −π n=−∞,n=k




prenons un terme de la somme que nous devons int´grer,
                                                e
        π                      π
           Cn eix(n−k) dx = Cn     eix(n−k) dx
        −π                                 −π
                                         Cn
                                    =          ei(n−k)x |π
                                                         −π
                                      i(n − k)
                                         Cn
                                    =          (eiπ(n−k) − e−iπ(n−k) )
                                      i(n − k)
                                    = 0 (car eiπm = 1 pour un nombre m entier)
Finalement,
                               π                 π
                                     Ck dx =            f (x)e−ikx dx
                                −π              −π
                                                π
                                      πCk =             f (x)e−ikx dx
                                                   −π

             ∞
             
Si f (x) =        Cn einx
             −∞
                                              π
                                      1
                                Cn =               f (x)e−inx dx
                                     2π       −π
Pour une p´riode quelconque ?
               e
La s´rie de Fourier d’une fonction f (x) de p´riode quelconque T .
    e                                        e
              T                   T
On pose x =      u pour rendre f ( u) p´riodique de 2π.
                                          e
              2π                  2π
                                  ∞
                                                     2πinx
                                               Cn e     T

                                n=−∞

o` le coefficient de Fourier
 u
                                      T
                              1        2                −2πinx
                         Cn =                  f (x)e     T      dx
                              T        −T
                                        2


                                               ou
                                          T
                               1                        −2πinx
                          Cn =                 f (x)e     T      dx
                               T       0
Convergence
   Simple
Soient I un intervalle de R, (fn )n∈Z une suite de fonctions d´finies sur I, et
                                                                  e
f d´finie sur I. On dit que (fn ) converge simplement vers f sur I si ∀x ∈ I, la
    e
suite (fn (x)) converge vers f (x). Autrement dit :
          ∀x ∈ I, ∀  0, ∃n0 (, x) ∈ N, ∀n ≥ n0 ⇒ |fn (x) − f (x)|  

   O` la notation (, x) signifie que le choix du n0 d´pend et de , et du x
     u                                               e
d´termin´.
 e      e
Exemple 1 : Soit sur [0, 1], fn (x) = xn . Il est clair que la fonction fn
converge simplement vers la fonction d´finie par f (x) = 0 si x est dans [0, 1[ et
                                       e
f (1) = 1.
MAIS la continuit´ n’est pas toujours pr´serv´e par la convergence simple. 1`re
                 e                       e   e                                e
insuffisance.
Exemple 2 Soit la suite de fonctions d´finie sur [0,1] par
                                            e
                                 2                        1
                                                              
                    fn (x) = n x,                0 ≤ x ≤ 2n
                  fn (x) = n2 ( 1 − x),         1
                                                   ≤x≤ n  1
                                    n           2n
                                                     1
                    fn (x) = 0,                 x≥ n


                  1
    Soit x  0. n → 0 lorsque n → ∞, donc ` partir d’un certain rang N ,
                                                  a
        1
on a : n  x. Donc ` partir du mˆme rang N , fn (x) = 0 et donc fn (x) → 0
                        a             e
lorsque n → ∞.
    Ainsi, la suite (fn (x)) converge simplement vers la fonction nulle sur [0,1].
1             1
                     2n
                                1
                                 n
      fn (x) =       n2 xdx +      n − n2 xdx = 1/4 (Ind´pendant de n)
                                                         e
                                 1
    0            0
            1              1 2n               1
   → lim       fn (x)dx =     lim fn (x)dx =      f (x)dx = 0.
       n→∞   0            0 n→∞               0

   Ces deux insuffisances motivent une nouvelle notion : la convergence uni-
forme.
Convergence
   Uniforme
D´finition : Soient I un intervalle de R, (fn )n∈Z une suite de fonctions
      e
d´finies sur I, et f d´finie sur I. On dit que (fn ) converge uniform´ment vers f
 e                   e                                             e
sur I si :
            ∀  0, ∃n0 () ∈ N, ∀x ∈ I, ∀n ≥ n0 , |fn (x) − f (x)|  .
Toute suite de fonctions qui converge uniform´ment converge simplement.
                                                e

R´solution de la seconde insuffisance :
 e

   Majoration par la d´finition de convergence uniforme :
                       e
                   b
                      |fn x − f (x)|dx ≤ (b − a)max|fn − f |
                    a

Quand n tend vers l’infini, le second membre tend vers 0, d’o` le premier
                                                            u
´galement - du fait de la valeur absolu - et
e
                               b             b
                          lim     fn (x)dx =     f (x)dx
                        n→∞   a              a
R´solution de la premi`re insuffisance :
    e                    e

   Nous savons que
             ∀  0, ∃n0 () ∈ N, ∀x ∈ I, ∀n ≥ n0 , |fn (x) − f (x)|  

Prenons x0 ∈ I (n’importe lequel), qui r´pond donc ` l’in´galit´, et fixons un
                                         e          a     e    e
nombre entier N qui caract´rise la fonction fN . Nous savons d’autre part que
                             e
(fN ) est continue en x0 , donc
            ∀x ∈ I, ∃δ(, x)  0, |x − x0 |  δ ⇒ |fN (x) − fN (x0 )|  
   Et par l’in´galit´ triangulaire :
              e     e

  |f (x) − f (x0 )|  |f (x) − fN (x)| + |fN (x) − fN (x0 )| + |fN x0 − f (x0 )|  3.
Convergence
   Normale
Soient I un intervalle de R et (fn )n∈Z une suite de fonctions d´finies sur I.
                                                                   e
                                                        ∞
                                                        
On dit que (fn ) converge normalement sur I si la s´rie
                                                   e       sup|fn (x)|, x ∈ I est
                                                        n≥0
convergente.
   La convergence normale est encore plus exigeante que la convergence uni-
forme, dans le sens o` toute fonction qui converge normalement converge uni-
                     u
form´ment. Nous ne le d´montrerons pas.
    e                    e
Séries trigonométriques

                                                      
    Proposition 1 Si les s´ries num´riques
                          e        e           |an | et   |bn | convergent, alors la
                                           2πn              2πn
s´rie trigonom´triques S(t) =
 e             e                    an cos(     t) + bn sin(      )t) converge nor-
                                             T                 T
                                 n≥0
malement (et donc uniform´ment) sur R
                               e
     Preuve
     Cela d´coule directement de l’in´galit´ : |an cos( 2πn t) + bn sin( 2πn )t)| ≤
              e                         e    e             T               T
|an | + |bn |
     Corollaire                      
     Si les s´ries num´rique |an | et |bn | convergent, alors la s´rie trigonom´trique
             e         e                                          e             e
S(t) est continue R.sur        
     Si les s´ries n |an | et n |bn | convergent, alors la somme S(t) est continue
              e
sur R, ` d´riv´e continue.
         a e e
Proposition 2
    Si les suites num´riques (an )et(bn ) sont d´croissantes et tendent vers 0, alors
                     e                          e
la s´rie trigonom´trique S(t) est convergente pour t = k.T o` k ∈ Z
    e              e                                             u
    Nous ne d´montrons pas cette proposition.
                e
Théorème de Dirichlet
Quelques notations et d´finitions
                                 e
   Notation
   Nous noterons pour la suite f (a+ ) la limite ` droite en a et f (b− ) la limite
                                                  a
a
` gauche en b.
   Fonction continue par morceau
   Une fonction f : [a, b] → C est dite continue par morceau sur [a,b] si f est
continue sur [a,b] sauf ´ventuellement en un nombre fini de points qui admettent
                        e
des limites ` gauche et ` droite. En particulier, f (a+ )etf (b− ) existent.
            a             a
   Fonction lisse par morceaux
   Une fonction f : [a, b] → C est dite lisse par morceau sur [a,b] si f et f  sont
continues par morceaux sur [a,b]. En particulier, f  (a+ )etf  (b− ) existent.
Introduction au th´or`me
                  e e
                                                            n
                                                            
                                                                       ikx
Expression du noyau de Dirichlet : Dn (x) =                        e
                                                            k=−n
                ix
Suite de raison e ; modifions l’´criture dans un cas g´n´ral :
                               e                     e e
                     n
                                   2n
                                                         q 2n+1
                            qk =          q −n q k = q −n
                                                          q−1
                     k=−n           k=0

                                                              −1
Multiplions num´rateur et d´nominateur par q
                 e          e                                  2   :
  −n− 1 2n+1           n+ 1   −n− 1
q     2 q     −1     q 2 −q       2

   −1              =      1   −1
  q 2     q−1           q2 − q 2
Et en r´injectant eix :
        e
                                i(n+ 1 )x              1
                                                 −i(n+ 2 )x
                            e        2      −e
                                  i( 1 )x
                                 e 2        −    −i( 1 )x
                                                e 2
D’autre part, grˆce aux formules d’Euler, on trouve :
                   a

                                     sin((n + 1 )x)
                                               2
                                        sin( x )
                                             2

   Et finalement, fort de savoir que le noyau est r´el, nous pouvons, en ne
                                                     e
conservant que les parties r´elles de l’expression complexe du noyau, trouver
                            e
une derni`re expression :
         e
                 k=n
                 
   Dn (x) = 1+2      cos(kx) , qui nous permet de calculer facilement l’int´grale
                                                                           e
                  k=1
de −π ` π (ce qui est quasi insoluble avec les autres expressions), ce qui nous
        a
sera fort utile pour la d´monstration!
                         e

   En r´sum´ :
       e   e
                        n
                                             n
                                                             sin((n + 1 )x)
           Dn (x) =            eikx = 1 + 2         cos(kx) =           2
                                                                 sin( x )
                                                                      2
                        k=−n                  k=1

Et son int´grale de 0 ` π ´quivaut ` π.
          e           a e          a
Th´or`me(Dirichlet, 1824) Si f : R → C est 2π-p´riodique et lisse par
      e e                                        e
morceau sur R, alors :
         f        1
    lim SN (x) = (f (x+ ) + f (x− )) pour tout x
  N →∞            2
  En particulier,
                                    f
                             lim SN (x) = f (x)
                              N →∞
                                       f
pour tout x o` f est continue, avec
               u                      SN (x)  la s´rie de Fourier correspondant `
                                                  e                              a
la fonction.
    Remarque : C’est donc des conditions pour une convergence simple vers la
fonction. Il peut exister des fonctions continues qui divergent en certains points
de x.
Preuve
                   p
                   
   Soit Sp (x) =          ck eikx la somme partielle de la s´rie de Fourier en un
                                                            e
                   k=−p
point x fix´.
          e
                            1
   1. Calcul de Sp (x) − (f (x+ ) + f (x− ))
                            2
                             2π
              p
                     ikx 1
   Sp (x) =        e              e−ikt f (t)dt
                        2π 0
            k=−p
           2π  p
       1
   =                  eik(x−t) f (t)dt
      2π 0
               k=−p
           2π
       1
   =           Dp (x − t)f (t)dt
      2π 0
           2π−x
       1
   =              Dp (u)f (u + x)du
      2π −x
            π
       1
   =           Dp (u)f (u + x)du
      2π −π
Nous pouvons alors ´crire, en se souvenant que l’int´grale du noyau sur la
                        e                              e
p´riode est 2π :
 e                                π                        π
           1      +      −     1                         1
   Sp (x)− (f (x )+f (x )) =          Dp (u)f (u+x)du−         Dp (u)f (x+ )du−
    π     2                  2π −π                     4π −π
 1
        Dp (u)f (x− )du
4π −π
   Par la parit´ du noyau et l’additivit´ de l’int´grale :
               e                         e         e
       π                          π                         0
   1                            1                         1
          Dp (u)f (u + x)du −                    +
                                      Dp (u)f (x )du −           Dp (u)f (x− )du
  2π −π                        2π 0                      2π −π
           0                                  π
=
    1
   2π
      (    −π
              Dp (u)(f (u + x) − f (x− ))du +
                                               0
                                                   Dp (u)((f (u + x) − f (x+ ))du   )
π
                                                    +
Calcul de lim                Dp (u)((f (u + x) − f (x ))du
           p→∞       0
Exploitons le lemme suivant :
Lemme
Toute fonction f lisse par morceau sur [a, b] v´rifie :
                                               e
      b
 lim     f (x)sin(nx)dx = 0
n→∞ a
      b
 lim     f (x)cos(nx)dx = 0
n→∞   a
Preuve
            Int´gration par partie :
               e
       b
            f (x)sin(nx)dx
    a
                             n−1  αk+1
                             
                         =                f (x)sinxdx
                             k=0   αk
                               n−1
                                                                            αk+1 n−1
                                                                                   
                           1                                 −        1
                         =                +
                                     (f (αk )cos(nαk ) − f (αk+1 )) +                    f  (x)cos(nx)dx
                           n                                          n       αk
                               k=0                                                 k=0

   Lorsque n → ∞, l’expression → 0. ( Rappelons nous de l’hypoth`se de   e
d´part : f est lisse par morceau → f et f  sont continues, donc born´es.)
 e                                                                   e

   Fort de ce lemme, nous pouvons prouver ce qui nous int´resse, en nous
                                                              e
rappelant que par l’hypoth`se du th´or`me de Dirichlet, la fonction f est lisse
                          e         e e
                             sin((p+ 1 )x)
par morceau, et que Dp (x) = sin( x2) .
                                                 2
                                          +
                             f (x+u)−f (x )
            Posons g(u) =                   ,
                               qui est lisse par morceau sur [0, π]
                                 sin( u )
                                      2 π
                                                        1
   Donc, par le lemme pr´c´dent, lim
                          e e              g(u)sin((p + )u) = 0
                                   p→∞ 0                2
Ce que l’on cherchait ` d´montrer.
                      a e
3.Synth`se de la d´monstration du th´or`me de Dirichlet.
          e          e                 e e
   Nous avons donc d´montr´ que :
                      e     e
                                  1
                      lim Sp (x) − (f (x+ ) + f (x− )) = 0
                     p→∞          2
pour une fonction f lisse par morceau et de p´riode 2π.
                                             e
x
f (x) = e si x ∈] − π; π[
Calcul de a0
            π
         1              eπ − e−π
   a0 =        ex dx =
         π −π               π
   Calcul de an
             
   Soit I =     ex cos(nx)dx. Apr`s la premi`re int´gration par partie, nous
                                 e          e      e
trouvons :
     x            
    e sin(nx)   1
I=            −     ex sin(nx)
        n       n                    
Int´grons maintenant par partie J = ex sin(nx); nous trouvons :
    e
         x                 π
      −e cos(nx)        1
J=                   +        ex cos(nx)
            n           n −π
             ex sin(nx)     1 −ex cos(nx)      1
Ainsi, I =                − (               + I)
                   nx       n      x
                                      n        n
           1        e sin(nx) e cos(nx)
⇔ I(1 + 2 ) =                  +
           nx           n x            n2
         n.e sin(nx) + e cos(nx)
⇔I=
            π      n2 + 1
                                  eπ .cos(nπ) e−π .cos(nπ)  cos(nπ) π
D`s lors,
  e               x
                e cos(nx)dx =                 −            = 2     (e − e−π )
             −π                      n2 + 1         n2 + 1   n +1
                            1 cos(nπ) π
     Et finalement, an = ( 2              (e − e−π ))
                            π n +1
Calcul de bn
        π                     π
     1      x               1
bn =       e sin(nx)dx = (       ex(ni+1) )
     π −π                   π −π

        
    1 π x(ni+1)     eπ(ni+1)   e−π(ni+1)
  ⇒       e      =           −
    π −π             ni + 1     ni + 1
 −ni + 1 π nπi
= 2     (e e   − e−π e−nπi )
  n +1
    En prenant uniquement la partie imaginaire, en consid´rant bien que sin(nπ)
                                                         e
est de toute fa¸on nul, nous trouvons :
               c
      1 −n
bn = ( 2        (eπ cos(nπ) − e−π cos(nx)))
      π n +1
                         1 ncos(nπ) −π
    Et finalement, bn = ( 2            (e − eπ ))
                         π n +1
     Et en groupant le tout, nous trouvons l’expression de la s´rie. (En con-
                                                               e
sid´rant bien que suivant que n est pair ou impair, cos(nπ) ´quivaudra ` 1 ou
    e                                                       e          a
-1)
S´rie de Fourier associ´e ` la fonction
 e                     e a



            π     −π     ∞
                         
           e −e               (−1)n
   f (x) =             +               (eπ − e−π )(cos(nx) − nsin(nx))
             2π          n=1
                             π(n2 + 1)
            π     −π        ∞
                            
          e −e          1      (−1)n
        =              ( +        2 + 1)
                                         (cos(nx) − nsin(nx))
            π           2 n=1 π(n
Merci pour votre
   attention
Fréquence




Une seconde
Applications en
       téléphonie

Multiplexing

Compression

Numérotation

Suppression de l’écho
Structure:
         - Approche son (fred)
- Séries trigonométriques (jie fang)
- Calculs des coefficients (Antoine) +
      fonction carrée (jie fang)
 - Application logicielle (fred) (gibbs)
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Le timbre
Qualité spécifique du son produit par un
instrument, indépendante de la hauteur et
l’amplitude


                  Cor

           Trombone ténor


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Séries de Fourier

  • 1. Les séries de Fourier
  • 2. Plan Introduction Approche avec des séries trigonométriques Exemple : Fonction carrée Approche avec les séries complexes Convergence des séries de Fourier
  • 4. Superposition d’ondes Harmoniques • Différences de fréquences • Décallages de phase • Différences d’amplitude
  • 5. Comment retrouver les différentes fréquences et décalages qui composent un signal harmonique?
  • 6. Expression générale du mouvement harmonique y(x, t) = A sin( 2πx − λ 2πt T + φ) o` y est le d´placement p´riodique de la vibration de l’objet , λ la p´riode dans u e e e l’espace , T la p´riode dans le temps et φ la phase. Fixons la variable x, nous e avons ici une fonction f (t) p´riodique de p´riode T . e e f (t) = A sin( 2πn t + φ) T
  • 7. Somme d’harmoniques La somme finie, constitu´e des harmoniques de la p´riode fondamentale T e e N 2πn est An sin( t + φn ) n=1 T 2πn 2πn 2πn An sin( t + φn ) = An (sin( t) cos(φn ) + cos( t) sin(φn )) T T T 2πn 2πn = An sin(φn ) cos( t) + An cos(φn ) sin( t) T T on pose an = An sin(φn ) et bn = An cos(φn ) 2πn 2πn = an cos( t) + bn sin( t) T T a0 Et un terme constant 2 N a0 2πn 2πn + (an cos( t) + bn sin( t)) 2 n=1 T T
  • 8. Périodicité Une fonction est p´riodique de p´riode p s’il existe un nombre r´el positif le e e e plus petit possible p tel que f (x) = f (x + p) Est-ce que la somme des fonctions p´riodiques est une fonction p´riodique ? e e Si oui, quelle est sa p´riode ? e Exemple 1: 1 s(x) = sin(4x) + sin(x) + sin( x) est bien p´riodique de 4π. e 4 Exemple 2 : s(x) = sin x + sin(πx) n’est pas p´riodique. e
  • 9. Lemme sur la périodicité à propos de l’intégrale Soit f une fonction continue par morceau p´riodique de T . e a+T L’int´grale e f (x) dx ne d´pend pas du r´el a. e e a En autres mots, a+T T T 2 f (x) dx = f (x) dx = f (x) dx = · · · −T a 0 2 D´monstration : Par l’additivit´ de l’int´grale, e e e a+T 0 T a+T f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx + f (x) dx a a 0 T Posons x = y + T ⇒ dx = dy a+T a a f (x) dx = f (y + t) dy = f (y) dy T 0 0 0 a Constatons que f (x) dx + f (y) dy = 0, a+T a T 0 Donc f (x) dx = f (x) dx qui est ind´pendante de a e a 0
  • 10. Série de Fourier d’une fonction périodique 2π N a0 f (x) = 2 + (an cos(nx) + bn sin(nx)) n=1 Quelles sont les expressions de a0 , an et bn ? Pour les trouver, calculons d’abord (o` n, k ∈ Z) u π • cos nx cos kx dx −π π • sin nx sin kx dx −π π • cos(nx) sin(kx) dx −π
  • 11. Si n = k: π π cos nx cos kx dx = 2 cos nx cos kx dx −π 0 π 1 =2 (cos((n + k)x) + cos((n − k)x) dx 0 2 1 1 =( sin((n + k)x) + sin((n − k)x))|π 0 n+k n−k 1 1 =( sin((n + k)π) + sin((n − k)π) n+k n−k =0 π π sin nx sin kx dx = 2 sin nx sin kx dx −π 0 π −1 =2 (cos((n + k)x) − cos((n − k)x) dx 0 2 −1 −1 =( sin((n + k)x) − sin((n − k)x))|π 0 n+k n−k −1 −1 =( sin((n + k)π) − sin((n − k)π) n+k n−k =0
  • 12. Si n = k π π cos nx cos kx dx = 2 cos2 nx dx −π 0 π 1 + cos(2nx) =2 dx 0 2 1 1 = 2( x + sin(2nx))|π 0 2 4n 1 1 = 2( π + sin(2nπ)) 2 4n =π π π sin nx sin kx dx = 2 sin2 nx dx −π 0 π 1 − cos(2nx) =2 dx 0 2 1 1 = 2( x − sin(2nx))|π 0 2 4n 1 1 = 2( π − sin(2nπ)) 2 4n =π
  • 13. cos(nx) sin(kx) est impaire car cos(nx) sin(kx) = − cos(−nx) sin(−kx) π cos(nx) sin(kx) dx = 0 −π
  • 14. En r´sum´, pour n, k ∈ Z e e π 0 si n = k cos nx cos kx dx = π si n = k −π π 0 si n = k sin nx sin kx dx = −π π si n = k π cos(nx) sin(kx) dx = 0 −π
  • 15. N a0 Supposons que f (x) = + (an cos(nx) + bn sin(nx)) 2 n=1 π π π N a0 f (x) dx = dx + (an cos(nx) + bn sin(nx)) dx −π −π 2 −π n=1 π N π N π a0 = dx + an cos(nx) dx + bn sin(nx) dx −π 2 n=1 −π n=1 −π N an N −bn a0 π = x|−π + sin(nx)|π + −π cos(nx)|π −π 2 n=1 n n=1 n a0 = × 2π 2 = a0 π π 1 a0 = f (x) dx π −π
  • 16. Pour an , multiplions par cos(kx) o` k est un entier positif, puis prenons u l’int´grale. e N a0 f (x) cos(kx) = cos(kx) + (an cos(nx) cos(kx) + bn sin(nx) cos(kx)) 2 n=1 π π π N a0 f (x) cos(kx) dx = cos(kx) dx + (an cos(nx) cos(kx) + bn sin(nx) cos(kx)) dx −π −π 2 −π n=1 π N π N π a0 = cos(kx) dx + an cos(nx) cos(kx) dx + bn sin(nx) cos(kx) dx −π 2 n=1 −π n=1 −π π N π N π a0 = cos(kx) dx + an cos(nx) cos(kx) dx + bn sin(nx) cos(kx) dx 2 −π n=1 −π n=1 −π parmi les termes n, il existe un n ´gal ` k tel que e a π N N π π an cos(nx) cos(kx) dx = an cos(nx) cos(kx) dx+ak cos2 (kx) dx n=1 −π n=1,n=k −π −π π f (x) cos(kx) dx = ak π −π π 1 an = f (x) cos(nx) dx π −π
  • 17. Pour bn , faisons le mˆme proc´d´ mais avec sin(kx) o` k est un entier positif e e e u N a0 f (x) sin(kx) = sin(kx) + (an cos(nx) sin(kx) + bn sin(nx) sin(kx)) 2 n=1 π π π N a0 f (x) sin(kx) dx = sin(kx) dx + (an cos(nx) sin(kx) + bn sin(nx) sin(kx)) dx −π −π 2 −π n=1 π N π N π a0 = sin(kx) dx + an cos(nx) sin(kx) dx + bn sin(nx) sin(kx) dx −π 2 n=1 −π n=1 −π π N π N π a0 = sin(kx) dx + an cos(nx) sin(kx) dx + bn sin(nx) sin(kx) dx 2 −π n=1 −π n=1 −π N π N π π puisque bn sin(nx) sin(kx) dx = bn sin(nx) sin(kx) dx+bk sin2 (kx) dx n=1 −π n=1,n=k −π −π π Alors f (x) sin(kx) dx = bk π −π π 1 bn = f (x) sin(nx) dx π −π
  • 18. En résumé Soit f une fonction p´riodique de p´riode 2π, si elle peut s’´crire sous forme e e e de s´rie de Fourier, e N a0 + (an cos(nx) + bn sin(nx)) 2 n=1 Alors, 1 π a0 = f (x) dx π −π π 1 an = f (x) cos(nx) dx π −π π 1 bn = f (x) sin(nx) dx π −π
  • 19. Exemple concret : la fonction carrée
  • 20. Fonction carr´e p´riodique de 2π, d´finie dans R comme : e e e 1 si 2kπ ≤ x (2k + 1)π f (x) = −1 si (2k + 1)π ≤ x 2kπ
  • 22. N a0 + (an cos(nx) + bn sin(nx)). 2 n=1 0 π 1 a0 = ( f (x) dx + f (x) dx) π −π 0 0 π 1 = ( −1 dx + 1 dx) π −π 0 1 = (π − π) = 0 π 1 π an = f (x) cos(nx) dx π −π 0 π 1 = ( − cos(nx) dx + cos(nx) dx) π −π 0 1 −1 1 = ( sin(nx)|−π + sin(nx)|π ) 0 0 π n n 1 −1 1 = ( (sin(0) − sin(−nπ)) + (sin(nπ) − sin(0))) π n n =0
  • 23. π 1 bn = f (x) sin(nx) dx π −π 0 π 1 = ( − sin(nx) dx + sin(nx) dx) π −π 0 1 1 0 −1 = ( cos(nx)|−π + cos(nx)|π ) 0 π n n 1 1 −1 = ( (cos(0) − cos(−nπ)) + (cos(nπ) − cos(0))) π n n 1 1 −1 = ( (1 − cos(−nπ)) + (cos(nπ) − 1)) π n n 2 = (1 − cos(nπ)) nπ bn d´pend de la parit´ de n. e e 2 1 Si n = 2k alors (1 − cos(nπ)) = (1 − cos(2kπ)) = 0 nπ kπ 2 2 4 Si n = 2k+1, alors (1−cos(nπ)) = (1−cos((2k+1)π)) = nπ (2k + 1)π (2k + 1)π 0 si n est un entier pair Donc on a bn = 4 si n est un entier impair nπ
  • 24. Nous avons donc trouv´ que la s´rie de Fourier de f (x) est e e N 4 sin((2k + 1)x) (2k + 1)π k=0 Deux questions se posent : Combien de termes doit-on additionner afin d’obtenir exactement le graphe de la fonction d´sir´e? e e Comment peut-on construire une fonction discontinue ` chaque x = kπ (o` k a u est un entier) ` l’aide de la somme de fonctions continues en tout point dans R? a
  • 27. Conclusion Plus le nombre N croˆ plus la fonction a l’air de coller au graphe de la ıt, fonction carr´e. De cette id´e intuitive, on peut d´duire que la s´rie de Fourier e e e e ∞ 4 associ´e ` cette fonction carr´e f (x) est e a e sin((2k + 1)x) (2k + 1)π k=0
  • 28. Pourquoi la s´rie est compos´e seulement de termes de sinus? e e Si une fonction est paire, alors sa s´rie de Fourier est une somme de cosinus. e Si une fonction est impaire, alors sa s´rie de Fourier est une somme de sinus. e
  • 29. D´monstration : Si f (x) est paire, alors f (x) sin nx est impaire et f (x) cos nx e est paire. π 2 a0 = f (x) dx π 0 π 2 an = f (x) cos(nx) dx π 0 π 1 bn = f (x) sin(nx) dx = 0 π −π Si f (x) est impaire, alors f (x) sin nx est paire et f (x) cos nx est impaire. π 1 a0 = f (x) dx = 0 π −π π 1 an = f (x) cos(nx) dx = 0 π −π π 2 bn = f (x) sin(nx) dx π 0
  • 30. Par cons´quent, e ∞ a0 Si f (x) paire, la s´rie = e + an cos(nx) 2 n=1 ∞ Si f (x) impaire, la s´rie = e bn sin(nx) n=1
  • 31. Une ´criture plus g´n´rale. e e e Si une fonction f (x) p´riodique de p´riode 2π peut ˆtre ´crite sous forme de e e e e s´rie de Fourier, alors cette s´rie est ´gale ` e e e a ∞ a0 + (an cos(nx) + bn sin(nx)) 2 n=1
  • 32. Et pour une période quelconque ? Soit une fonction f (x) p´riodique de p´riode T quelconque, quelle est sa e e s´rie de Fourier ? e T T changement de variable x = u tel que f ( u) soit p´riodique de periode 2π. e 2π 2π Ainsi on a ∞ T a0 f ( u) = + (an cos nu + bn sin nu) 2π 2 n=1 T T On applique le changement de variable x = 2π u ⇒ dx = 2π du π 1 T a0 = f ( u) du π −π 2π T 1 2 2π = f (x) dx π −T 2 T T T 2 2 2 = f (x) dx = f (x) dx T −T 2 T 0
  • 33. 1 π T an = f ( u) cos(nu) du π −π 2π T 1 2 2πnx 2π = f (x) cos( ) dx π −T 2 T T T T 2 2 2πnx 2 2πn = f (x)cos( ) dx = f (x) cos( ) dx T −T 2 T T 0 T 1 π T bn = f ( u) sin(nu) du π −π 2π T 1 2 2πnx 2π = f (x) sin( ) dx π −T 2 T T T T 2 2 2πnx 2 2πn = f (x) sin( ) dx = f (x) sin( ) dx T −T 2 T T 0 T Et la s´rie de Fourier d’une fonction de p´riode quelconque T est e e ∞ a0 2πn 2πn + (an cos x + bn sin x) 2 n=1 T T
  • 35. Approche complexe des séries de Fourier
  • 36. Une autre ´criture de la s´rie de Fourier e e La relation d’Euler: eiπ + 1 = 0 De mani`re plus g´n´rale, e e e eiθ = cos θ + i sin θ Comme corollaire eiθ + e−iθ cos θ = 2 eiθ − e−iθ sin θ = 2i
  • 37. a0 Sans se pr´occuper du terme constant , on peut remplacer ces expressions e 2 dans la s´rie de Fourier trigonom´trique. e e ∞ ∞ einx + e−inx einx − e−inx (an cos(nx) + bn sin(nx)) = (an + bn ) n=1 n=1 2 2i ∞ an −inx ibn inx = ( (e inx +e )− (e − e−inx )) n=1 2 2 ∞ ∞ inx an ibn −inx an ibn = e ( − )+ e ( + ) n=1 2 2 n=1 2 2 ∞ −1 inx an ibn inx a−n ib−n = e ( − )+ e ( + ) n=1 2 2 n=−∞ 2 2
  • 38. Puisque la s´rie trigonom´trique donne une fonction r´elle, alors la somme e e e de ces deux sommes doit aussi donner quelque chose de r´el. La somme des e deux doit donc satisfaire la sym´trie complexe: e si on veut que la somme de deux nombres complexes soit un nombre r´el il faut e alors que si l’un est z, l’autre soit son conjugu´ z. e an − ibn a−n − ib−n On pose que Cn = , donc C−n = , alors on a besoin que 2 2 an + ibn le terme correspondant de Cn soit Cn = et que celui de C−n soit 2 a−n + ib−n C−n = 2
  • 39. La relation entre les constantes trigonom´triques et a−n et b−n . e π 1 a−n = f (x) cos(−nx) dx π −π π 1 = f (x) cos(nx) dx π −π = an π 1 b−n = f (x) sin(−nx) dx π −π π 1 =− f (x) sin(nx) dx π −π = −bn
  • 40. Par ces deux relations, nous pouvons constater que, a−n − ib−n C−n = 2 an + ibn = 2 an − ibn = 2 = Cn Ceci nous montre bien que la somme des deux est bien r´elle puisqu’elles satis- e font Cn = C−n . il nous manque le terme n = 0. Puisqu’on sait que Cn = C−n , alors C0 = C−0 = C0 . Ca montre que C0 est un a0 terme toujours r´el : e 2
  • 41. Finalement, continuons notre raisonnement, et posons an − ibn a−n + ib−n Cn = et Cn = 2 2 ∞ ∞ −1 a0 a0 inx an − ibn inx a−n + ib−n + (an cos(nx) + bn sin(nx)) = + e ( )+ e ( ) 2 n=1 2 n=1 2 n=−∞ 2 ∞ −1 a0 = + Cn einx + Cn einx 2 n=1 n=−∞ et Cn = C−n et C0 = C−0 = C0 , donc ∞ = Cn einx n−∞
  • 42. Nous avons donc que si une fonction peut ˆtre ´crite sous forme de s´rie de e e e Fourier exponentielle, alors sa s´rie de Fourier serait e ∞ Cn einx n=−∞
  • 43. Quelle est l’expression du coefficient Cn ? an − ibn Cn = 2 an − ibn Cn = 2 π π 1 1 i = ( f (x) cos(nx) dx − f (x) sin(nx) dx) 2 π −π π −π π 1 = f (x)(cos(nx) − isin(nx)) dx 2π −π Par la relation d’Euler, on peut voir directement que cos(nx) − isin(nx) = e−inx , donc π 1 = f (x)e−inx dx 2π −π
  • 44. Une autre m´thode: e Soit f p´riodique de 2π et supposons que e ∞ f (x) = Cn einx n=−∞ multiplions par e−ikx o` k est un entier u ∞ f (x)e−ikx = e−ikx Cn einx −∞ ∞ e−ikx Cn einx = e−ikx (· · · + C−2 e−2ix + · · · + C1 eix + · · · + Ck eikx + · · · ) n=−∞ ∞ = Cn ei(n−k)x + Ck n=−∞,n=k ∞ Ck = − Cn ei(n−k)x + f (x)e−ikx n=−∞n=k
  • 45. Prenons int´grale sur une p´riode, e e π π π ∞ Ck , dx = f (x)e−ikx dx − Cn ei(n−k)x dx −π −π −π n=−∞,n=k prenons un terme de la somme que nous devons int´grer, e π π Cn eix(n−k) dx = Cn eix(n−k) dx −π −π Cn = ei(n−k)x |π −π i(n − k) Cn = (eiπ(n−k) − e−iπ(n−k) ) i(n − k) = 0 (car eiπm = 1 pour un nombre m entier)
  • 46. Finalement, π π Ck dx = f (x)e−ikx dx −π −π π πCk = f (x)e−ikx dx −π ∞ Si f (x) = Cn einx −∞ π 1 Cn = f (x)e−inx dx 2π −π
  • 47. Pour une p´riode quelconque ? e La s´rie de Fourier d’une fonction f (x) de p´riode quelconque T . e e T T On pose x = u pour rendre f ( u) p´riodique de 2π. e 2π 2π ∞ 2πinx Cn e T n=−∞ o` le coefficient de Fourier u T 1 2 −2πinx Cn = f (x)e T dx T −T 2 ou T 1 −2πinx Cn = f (x)e T dx T 0
  • 48. Convergence Simple
  • 49. Soient I un intervalle de R, (fn )n∈Z une suite de fonctions d´finies sur I, et e f d´finie sur I. On dit que (fn ) converge simplement vers f sur I si ∀x ∈ I, la e suite (fn (x)) converge vers f (x). Autrement dit : ∀x ∈ I, ∀ 0, ∃n0 (, x) ∈ N, ∀n ≥ n0 ⇒ |fn (x) − f (x)| O` la notation (, x) signifie que le choix du n0 d´pend et de , et du x u e d´termin´. e e
  • 50. Exemple 1 : Soit sur [0, 1], fn (x) = xn . Il est clair que la fonction fn converge simplement vers la fonction d´finie par f (x) = 0 si x est dans [0, 1[ et e f (1) = 1. MAIS la continuit´ n’est pas toujours pr´serv´e par la convergence simple. 1`re e e e e insuffisance.
  • 51. Exemple 2 Soit la suite de fonctions d´finie sur [0,1] par e  2 1  fn (x) = n x, 0 ≤ x ≤ 2n  fn (x) = n2 ( 1 − x), 1 ≤x≤ n  1 n 2n 1 fn (x) = 0, x≥ n 1 Soit x 0. n → 0 lorsque n → ∞, donc ` partir d’un certain rang N , a 1 on a : n x. Donc ` partir du mˆme rang N , fn (x) = 0 et donc fn (x) → 0 a e lorsque n → ∞. Ainsi, la suite (fn (x)) converge simplement vers la fonction nulle sur [0,1].
  • 52. 1 1 2n 1 n fn (x) = n2 xdx + n − n2 xdx = 1/4 (Ind´pendant de n) e 1 0 0 1 1 2n 1 → lim fn (x)dx = lim fn (x)dx = f (x)dx = 0. n→∞ 0 0 n→∞ 0 Ces deux insuffisances motivent une nouvelle notion : la convergence uni- forme.
  • 53. Convergence Uniforme
  • 54. D´finition : Soient I un intervalle de R, (fn )n∈Z une suite de fonctions e d´finies sur I, et f d´finie sur I. On dit que (fn ) converge uniform´ment vers f e e e sur I si : ∀ 0, ∃n0 () ∈ N, ∀x ∈ I, ∀n ≥ n0 , |fn (x) − f (x)| .
  • 55. Toute suite de fonctions qui converge uniform´ment converge simplement. e R´solution de la seconde insuffisance : e Majoration par la d´finition de convergence uniforme : e b |fn x − f (x)|dx ≤ (b − a)max|fn − f | a Quand n tend vers l’infini, le second membre tend vers 0, d’o` le premier u ´galement - du fait de la valeur absolu - et e b b lim fn (x)dx = f (x)dx n→∞ a a
  • 56. R´solution de la premi`re insuffisance : e e Nous savons que ∀ 0, ∃n0 () ∈ N, ∀x ∈ I, ∀n ≥ n0 , |fn (x) − f (x)| Prenons x0 ∈ I (n’importe lequel), qui r´pond donc ` l’in´galit´, et fixons un e a e e nombre entier N qui caract´rise la fonction fN . Nous savons d’autre part que e (fN ) est continue en x0 , donc ∀x ∈ I, ∃δ(, x) 0, |x − x0 | δ ⇒ |fN (x) − fN (x0 )| Et par l’in´galit´ triangulaire : e e |f (x) − f (x0 )| |f (x) − fN (x)| + |fN (x) − fN (x0 )| + |fN x0 − f (x0 )| 3.
  • 57. Convergence Normale
  • 58. Soient I un intervalle de R et (fn )n∈Z une suite de fonctions d´finies sur I. e ∞ On dit que (fn ) converge normalement sur I si la s´rie e sup|fn (x)|, x ∈ I est n≥0 convergente. La convergence normale est encore plus exigeante que la convergence uni- forme, dans le sens o` toute fonction qui converge normalement converge uni- u form´ment. Nous ne le d´montrerons pas. e e
  • 59. Séries trigonométriques Proposition 1 Si les s´ries num´riques e e |an | et |bn | convergent, alors la 2πn 2πn s´rie trigonom´triques S(t) = e e an cos( t) + bn sin( )t) converge nor- T T n≥0 malement (et donc uniform´ment) sur R e Preuve Cela d´coule directement de l’in´galit´ : |an cos( 2πn t) + bn sin( 2πn )t)| ≤ e e e T T |an | + |bn | Corollaire Si les s´ries num´rique |an | et |bn | convergent, alors la s´rie trigonom´trique e e e e S(t) est continue R.sur Si les s´ries n |an | et n |bn | convergent, alors la somme S(t) est continue e sur R, ` d´riv´e continue. a e e
  • 60. Proposition 2 Si les suites num´riques (an )et(bn ) sont d´croissantes et tendent vers 0, alors e e la s´rie trigonom´trique S(t) est convergente pour t = k.T o` k ∈ Z e e u Nous ne d´montrons pas cette proposition. e
  • 62. Quelques notations et d´finitions e Notation Nous noterons pour la suite f (a+ ) la limite ` droite en a et f (b− ) la limite a a ` gauche en b. Fonction continue par morceau Une fonction f : [a, b] → C est dite continue par morceau sur [a,b] si f est continue sur [a,b] sauf ´ventuellement en un nombre fini de points qui admettent e des limites ` gauche et ` droite. En particulier, f (a+ )etf (b− ) existent. a a Fonction lisse par morceaux Une fonction f : [a, b] → C est dite lisse par morceau sur [a,b] si f et f sont continues par morceaux sur [a,b]. En particulier, f (a+ )etf (b− ) existent.
  • 63. Introduction au th´or`me e e n ikx Expression du noyau de Dirichlet : Dn (x) = e k=−n ix Suite de raison e ; modifions l’´criture dans un cas g´n´ral : e e e n 2n q 2n+1 qk = q −n q k = q −n q−1 k=−n k=0 −1 Multiplions num´rateur et d´nominateur par q e e 2 : −n− 1 2n+1 n+ 1 −n− 1 q 2 q −1 q 2 −q 2 −1 = 1 −1 q 2 q−1 q2 − q 2 Et en r´injectant eix : e i(n+ 1 )x 1 −i(n+ 2 )x e 2 −e i( 1 )x e 2 − −i( 1 )x e 2
  • 64. D’autre part, grˆce aux formules d’Euler, on trouve : a sin((n + 1 )x) 2 sin( x ) 2 Et finalement, fort de savoir que le noyau est r´el, nous pouvons, en ne e conservant que les parties r´elles de l’expression complexe du noyau, trouver e une derni`re expression : e k=n Dn (x) = 1+2 cos(kx) , qui nous permet de calculer facilement l’int´grale e k=1 de −π ` π (ce qui est quasi insoluble avec les autres expressions), ce qui nous a sera fort utile pour la d´monstration! e En r´sum´ : e e n n sin((n + 1 )x) Dn (x) = eikx = 1 + 2 cos(kx) = 2 sin( x ) 2 k=−n k=1 Et son int´grale de 0 ` π ´quivaut ` π. e a e a
  • 65. Th´or`me(Dirichlet, 1824) Si f : R → C est 2π-p´riodique et lisse par e e e morceau sur R, alors : f 1 lim SN (x) = (f (x+ ) + f (x− )) pour tout x N →∞ 2 En particulier, f lim SN (x) = f (x) N →∞ f pour tout x o` f est continue, avec u SN (x) la s´rie de Fourier correspondant ` e a la fonction. Remarque : C’est donc des conditions pour une convergence simple vers la fonction. Il peut exister des fonctions continues qui divergent en certains points de x.
  • 66. Preuve p Soit Sp (x) = ck eikx la somme partielle de la s´rie de Fourier en un e k=−p point x fix´. e 1 1. Calcul de Sp (x) − (f (x+ ) + f (x− )) 2 2π p ikx 1 Sp (x) = e e−ikt f (t)dt 2π 0 k=−p 2π p 1 = eik(x−t) f (t)dt 2π 0 k=−p 2π 1 = Dp (x − t)f (t)dt 2π 0 2π−x 1 = Dp (u)f (u + x)du 2π −x π 1 = Dp (u)f (u + x)du 2π −π
  • 67. Nous pouvons alors ´crire, en se souvenant que l’int´grale du noyau sur la e e p´riode est 2π : e π π 1 + − 1 1 Sp (x)− (f (x )+f (x )) = Dp (u)f (u+x)du− Dp (u)f (x+ )du− π 2 2π −π 4π −π 1 Dp (u)f (x− )du 4π −π Par la parit´ du noyau et l’additivit´ de l’int´grale : e e e π π 0 1 1 1 Dp (u)f (u + x)du − + Dp (u)f (x )du − Dp (u)f (x− )du 2π −π 2π 0 2π −π 0 π = 1 2π ( −π Dp (u)(f (u + x) − f (x− ))du + 0 Dp (u)((f (u + x) − f (x+ ))du )
  • 68. π + Calcul de lim Dp (u)((f (u + x) − f (x ))du p→∞ 0 Exploitons le lemme suivant : Lemme Toute fonction f lisse par morceau sur [a, b] v´rifie : e b lim f (x)sin(nx)dx = 0 n→∞ a b lim f (x)cos(nx)dx = 0 n→∞ a
  • 69. Preuve Int´gration par partie : e b f (x)sin(nx)dx a n−1 αk+1 = f (x)sinxdx k=0 αk n−1 αk+1 n−1 1 − 1 = + (f (αk )cos(nαk ) − f (αk+1 )) + f (x)cos(nx)dx n n αk k=0 k=0 Lorsque n → ∞, l’expression → 0. ( Rappelons nous de l’hypoth`se de e d´part : f est lisse par morceau → f et f sont continues, donc born´es.) e e Fort de ce lemme, nous pouvons prouver ce qui nous int´resse, en nous e rappelant que par l’hypoth`se du th´or`me de Dirichlet, la fonction f est lisse e e e sin((p+ 1 )x) par morceau, et que Dp (x) = sin( x2) . 2 + f (x+u)−f (x ) Posons g(u) = , qui est lisse par morceau sur [0, π] sin( u ) 2 π 1 Donc, par le lemme pr´c´dent, lim e e g(u)sin((p + )u) = 0 p→∞ 0 2 Ce que l’on cherchait ` d´montrer. a e
  • 70. 3.Synth`se de la d´monstration du th´or`me de Dirichlet. e e e e Nous avons donc d´montr´ que : e e 1 lim Sp (x) − (f (x+ ) + f (x− )) = 0 p→∞ 2 pour une fonction f lisse par morceau et de p´riode 2π. e
  • 71. x f (x) = e si x ∈] − π; π[
  • 72. Calcul de a0 π 1 eπ − e−π a0 = ex dx = π −π π Calcul de an Soit I = ex cos(nx)dx. Apr`s la premi`re int´gration par partie, nous e e e trouvons : x e sin(nx) 1 I= − ex sin(nx) n n Int´grons maintenant par partie J = ex sin(nx); nous trouvons : e x π −e cos(nx) 1 J= + ex cos(nx) n n −π ex sin(nx) 1 −ex cos(nx) 1 Ainsi, I = − ( + I) nx n x n n 1 e sin(nx) e cos(nx) ⇔ I(1 + 2 ) = + nx n x n2 n.e sin(nx) + e cos(nx) ⇔I= π n2 + 1 eπ .cos(nπ) e−π .cos(nπ) cos(nπ) π D`s lors, e x e cos(nx)dx = − = 2 (e − e−π ) −π n2 + 1 n2 + 1 n +1 1 cos(nπ) π Et finalement, an = ( 2 (e − e−π )) π n +1
  • 73. Calcul de bn π π 1 x 1 bn = e sin(nx)dx = ( ex(ni+1) ) π −π π −π 1 π x(ni+1) eπ(ni+1) e−π(ni+1) ⇒ e = − π −π ni + 1 ni + 1 −ni + 1 π nπi = 2 (e e − e−π e−nπi ) n +1 En prenant uniquement la partie imaginaire, en consid´rant bien que sin(nπ) e est de toute fa¸on nul, nous trouvons : c 1 −n bn = ( 2 (eπ cos(nπ) − e−π cos(nx))) π n +1 1 ncos(nπ) −π Et finalement, bn = ( 2 (e − eπ )) π n +1 Et en groupant le tout, nous trouvons l’expression de la s´rie. (En con- e sid´rant bien que suivant que n est pair ou impair, cos(nπ) ´quivaudra ` 1 ou e e a -1)
  • 74. S´rie de Fourier associ´e ` la fonction e e a π −π ∞ e −e (−1)n f (x) = + (eπ − e−π )(cos(nx) − nsin(nx)) 2π n=1 π(n2 + 1) π −π ∞ e −e 1 (−1)n = ( + 2 + 1) (cos(nx) − nsin(nx)) π 2 n=1 π(n
  • 75. Merci pour votre attention
  • 77. Applications en téléphonie Multiplexing Compression Numérotation Suppression de l’écho
  • 78. Structure: - Approche son (fred) - Séries trigonométriques (jie fang) - Calculs des coefficients (Antoine) + fonction carrée (jie fang) - Application logicielle (fred) (gibbs) - Complexes (Jie-Fang) - convergence (antoine)
  • 79. Le timbre Qualité spécifique du son produit par un instrument, indépendante de la hauteur et l’amplitude Cor Trombone ténor Clarinette