1.
Números
reales

2.
Estudiante
DauglismarGimenez
sección0113

3.
Índice

4.
¿Que son los conjuntos?
En matemáticas llamamos conjuntos a la colección o agrupación
En matemáticas llamamos conjuntos a la colección o agrupación
de elementos siempre y cuando exista una condición para que
de elementos siempre y cuando exista una condición para que
tales elementos pertenezcan a los conjuntos, los elementos del
tales elementos pertenezcan a los conjuntos, los elementos del
conjunto también se les denomina objetos del conjunto.
conjunto también se les denomina objetos del conjunto.
Si bien, el concepto de conjunto se podría atribuir con objetos
Si bien, el concepto de conjunto se podría atribuir con objetos
reales como una agrupación de animales, personas, países,
reales como una agrupación de animales, personas, países,
capitales del mundo, tipos de palomas, en fin cualquier cosa que
capitales del mundo, tipos de palomas, en fin cualquier cosa que
tenga algo en común en la vida real para agruparlos,no fue hasta
tenga algo en común en la vida real para agruparlos,no fue hasta
el siglo XIX comenzo a aplicarse el concepto de conjunto como un
el siglo XIX comenzo a aplicarse el concepto de conjunto como un
objeto abstracto donde sus elementos se conformaban por
objeto abstracto donde sus elementos se conformaban por
ejemplo con números.
ejemplo con números.
Ejercicios:
Ejercicios:
Conjunto de los números primos:
Conjunto de los números primos:
P={2,3,5,7,11,⋯}
P={2,3,5,7,11,⋯}

5.
Operaciones
conconjuntos

6.
Unióndeconjuntos
ES LA OPERACIÓN QUE NOS PERMITE UNIR DOS O MÁS CONJUNTOS PARA FORMAR OTRO
ES LA OPERACIÓN QUE NOS PERMITE UNIR DOS O MÁS CONJUNTOS PARA FORMAR OTRO
CONJUNTO QUE CONTENDRÁ A TODOS LOS ELEMENTOS QUE QUEREMOS UNIR PERO SIN QUE SE
CONJUNTO QUE CONTENDRÁ A TODOS LOS ELEMENTOS QUE QUEREMOS UNIR PERO SIN QUE SE
REPITAN. ES DECIR DADO UN CONJUNTO A Y UN CONJUNTO B, LA UNIÓN DE LOS CONJUNTOS A Y B
REPITAN. ES DECIR DADO UN CONJUNTO A Y UN CONJUNTO B, LA UNIÓN DE LOS CONJUNTOS A Y B
SERÁ OTRO CONJUNTO FORMADO POR TODOS LOS ELEMENTOS DE A, CON TODOS LOS
SERÁ OTRO CONJUNTO FORMADO POR TODOS LOS ELEMENTOS DE A, CON TODOS LOS
ELEMENTOS DE B SIN REPETIR NINGÚN ELEMENTO. EL SÍMBOLO QUE SE USA PARA INDICAR LA
ELEMENTOS DE B SIN REPETIR NINGÚN ELEMENTO. EL SÍMBOLO QUE SE USA PARA INDICAR LA
OPERACIÓN DE UNIÓN ES EL SIGUIENTE: ∪.
OPERACIÓN DE UNIÓN ES EL SIGUIENTE: ∪.
EJERCICIOS:
EJERCICIOS:
1) DADOS DOS CONJUNTOS A={1,2,3,4,5,6,7,} Y B={8,9,10,11} LA UNIÓN DE ESTOS
1) DADOS DOS CONJUNTOS A={1,2,3,4,5,6,7,} Y B={8,9,10,11} LA UNIÓN DE ESTOS
CONJUNTOS SERÁ A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. USANDO DIAGRAMAS DE VENN SE
CONJUNTOS SERÁ A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. USANDO DIAGRAMAS DE VENN SE
TENDRÍA LO SIGUIENTE:
TENDRÍA LO SIGUIENTE:

7.
2) DADOS LOS DOS CONJUNTOS A={3, 5, 6, 7} Y B={5,6}, EN DONDE B ESTÁ
2) DADOS LOS DOS CONJUNTOS A={3, 5, 6, 7} Y B={5,6}, EN DONDE B ESTÁ
INCLUIDO EN A, LA UNIÓN SERÁ AUB={3,5,6,7}. USANDO DIAGRAMAS DE VENN
INCLUIDO EN A, LA UNIÓN SERÁ AUB={3,5,6,7}. USANDO DIAGRAMAS DE VENN
SE TENDRÍA
SE TENDRÍA

8.
Intersecciónde
conjuntos

9.
1) DADOS DOS CONJUNTOS A={1,2,3,4,5} Y B={4,5,6,7,8,9} LA INTERSECCIÓN DE ESTOS
1) DADOS DOS CONJUNTOS A={1,2,3,4,5} Y B={4,5,6,7,8,9} LA INTERSECCIÓN DE ESTOS
CONJUNTOS SERÁ A∩B={4,5}. USANDO DIAGRAMAS DE VENN SE TENDRÍA LO SIGUIENTE:
CONJUNTOS SERÁ A∩B={4,5}. USANDO DIAGRAMAS DE VENN SE TENDRÍA LO SIGUIENTE:
EJERCICIOS:
EJERCICIOS:
2) DADOS DOS CONJUNTOS A={X/X ESTUDIANTES QUE JUEGAN FÚTBOL} Y B={X/X ESTUDIANTES QUE
2) DADOS DOS CONJUNTOS A={X/X ESTUDIANTES QUE JUEGAN FÚTBOL} Y B={X/X ESTUDIANTES QUE
JUEGAN BÁSQUET}, LA INTERSECCIÓN SERÁ F∩B={X/X ESTUDIANTES QUE JUEGAN FÚTBOL Y BÁSQUET}.
JUEGAN BÁSQUET}, LA INTERSECCIÓN SERÁ F∩B={X/X ESTUDIANTES QUE JUEGAN FÚTBOL Y BÁSQUET}.
USANDO DIAGRAMAS DE VENN SE TENDRÍA LO SIGUIENTE:
USANDO DIAGRAMAS DE VENN SE TENDRÍA LO SIGUIENTE:

10.
Diferenciasde
conjuntos

11.
1) DADOS DOS CONJUNTOS A={1,2,3,4,5} Y B={4,5,6,7,8,9} LA DIFERENCIA DE ESTOS CONJUNTOS
1) DADOS DOS CONJUNTOS A={1,2,3,4,5} Y B={4,5,6,7,8,9} LA DIFERENCIA DE ESTOS CONJUNTOS
SERÁ A-B={1,2,3}. USANDO DIAGRAMAS DE VENN SE TENDRÍA LO SIGUIENTE:
SERÁ A-B={1,2,3}. USANDO DIAGRAMAS DE VENN SE TENDRÍA LO SIGUIENTE:
EJERCICIOS:
EJERCICIOS:
2) DADOS DOS CONJUNTOS F={X/X ESTUDIANTES QUE JUEGAN FÚTBOL} Y B={X/X
2) DADOS DOS CONJUNTOS F={X/X ESTUDIANTES QUE JUEGAN FÚTBOL} Y B={X/X
ESTUDIANTES QUE JUEGAN BÁSQUET}, LA DIFERENCIA DE F CON B, SERÁ F-B={X/X
ESTUDIANTES QUE JUEGAN BÁSQUET}, LA DIFERENCIA DE F CON B, SERÁ F-B={X/X
ESTUDIANTES QUE SÓLO JUEGAN FÚTBOL}. USANDO DIAGRAMAS DE VENN SE TENDRÍA LO
ESTUDIANTES QUE SÓLO JUEGAN FÚTBOL}. USANDO DIAGRAMAS DE VENN SE TENDRÍA LO
SIGUIENTE:
SIGUIENTE:

12.
Númerosreales
Se puede definir a los números reales como aquellos
Se puede definir a los números reales como aquellos
números que tienen expansión decimal periódica o tienen
números que tienen expansión decimal periódica o tienen
expansión decimal no periódica.
expansión decimal no periódica.
Los números reales son todos los números que encontramos
Los números reales son todos los números que encontramos
más frecuentemente dado que los números complejos no se
más frecuentemente dado que los números complejos no se
encuentran de manera accidental, sino que tienen que
encuentran de manera accidental, sino que tienen que
buscarse expresamente.
buscarse expresamente.
Los números racionales se clasifican en:
Los números racionales se clasifican en:
a)Números Naturales (N), los que usamos para contar. Por
a)Números Naturales (N), los que usamos para contar. Por
ejemplo, 1, 2, 3, 4, 5,6, 7, 8, 9, 10, 11, …
ejemplo, 1, 2, 3, 4, 5,6, 7, 8, 9, 10, 11, …

13.
b)
b)Números Enteros (Z)
Números Enteros (Z)
, son los números naturales, sus negativos y el cero. Por
, son los números naturales, sus negativos y el cero. Por
ejemplo:
ejemplo:
-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…
-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…
c)
c)Números Fraccionarios
Números Fraccionarios, son aquellos números que se
, son aquellos números que se
pueden expresar como cociente de dos números enteros, es
pueden expresar como cociente de dos números enteros, es
decir, son números de la forma a/b con a, b enteros y b ≠ 0.
decir, son números de la forma a/b con a, b enteros y b ≠ 0.
d)
d)Números Algebraicos
Números Algebraicos, son aquellos que provienen de la
, son aquellos que provienen de la
solución de alguna ecuación algebraica y se representan por
solución de alguna ecuación algebraica y se representan por
un número finito de radicales libres o anidados. Por ejemplo,
un número finito de radicales libres o anidados. Por ejemplo,

 √3
√3

14.
No pueden representarse mediante un número finito de
No pueden representarse mediante un número finito de
raíces libres o anidadas; provienen de las llamadas
raíces libres o anidadas; provienen de las llamadas
funciones trascendentes: trigonométricas, logarítmicas y
funciones trascendentes: trigonométricas, logarítmicas y
exponenciales. El número
exponenciales. El número
π
π
y e son irracionales trascendentes, puesto que no
y e son irracionales trascendentes, puesto que no
pueden expresarse mediante radicales. Los irracionales
pueden expresarse mediante radicales. Los irracionales
trascendentes también surgen al escribir números
trascendentes también surgen al escribir números
decimales no periódicos al azar o con un patrón que no
decimales no periódicos al azar o con un patrón que no
lleva periodo definido.
lleva periodo definido.
Números
Trascendentales

15.
3
3 + 1
+ 1
8
8 4
4
3 +1
3 +1
8
8 4
4
= 12+8
= 12+8
32
32
=20
=20
32
32
3 + 1
3 + 1
8
8 4
4
= 12+8
= 12+8
32
32
=20
=20
32
32
= 5
= 5
8
8
Violeta tomo un total de
= 5
= 5
8
8
2) 1,33+...=0
1,33+...=0
0
0-1,33=-1,33
-1,33=-1,33 1,33 NO ES
1,33 NO ES
UN
UN
NUMERO
NUMERO
NATURAL
NATURAL
1)
1) (+5) + (+4) = +9
(+5) + (+4) = +9
ES LO MISMO QUE:
ES LO MISMO QUE:
5 + 4 = 9
5 + 4 = 9
EJERCICIOS
EJERCICIOS
NUMEROS ENTEROS:
NUMEROS ENTEROS:
2)
2) (- 5) + (- 4) = - 9
(- 5) + (- 4) = - 9
ES LO MISMO QUE:
ES LO MISMO QUE:
- 5 - 4 = - 9
- 5 - 4 = - 9
EJERCICIOS NUMEROS
EJERCICIOS NUMEROS
NATURALES:
NATURALES:
1)Encontrad el número que
falta y decid si es número
natural:
300+...=150
300+...=150
150-300
150-300=-150
=-150 -150 NO ES
-150 NO ES
UN
UN
NUMERO
NUMERO
NATURAL
NATURAL
EJERCICIOS NUMEROS
EJERCICIOS NUMEROS
FRACCIONARIOS:
FRACCIONARIOS:
1) Violeta bebió 3/8 de litro de malta en la
mañana y 1/4 de litro en la tarde ¿Cuanta
leche tomo en total?
multiplicamos los
denominaodres y luego se
multiplica en X
= 5
= 5
8
8
simplificamos el resultado
que nos dio y el resultado
seria
de litros de malta

16.
1
1 +
+ 4
4
3
3 5
5
1
1 + 4
+ 4
3
3 5
5
= 5+6
= 5+6
15
15
=11
=11
15
15
En las dos primeras horas recorrió los 11/15 de
la etapa
aquí haremos el mismo
procedimiento que hicimos
anteriormente
2) Un ciclista recorre 1/3 de la etapa en la primera hora y
2/5 en la segunda hora ¿Qué fracción de la etapa ha
recorrido en las dos primeras vueltas?

17.
Ejercicios de números
algebraicos
1) 2x − 5x + 39 = 0
1) 2x − 5x + 39 = 0
3
3
Necesitamos encontrar el valor de x
Necesitamos encontrar el valor de x tal que 2x −
tal que 2x −
5x + 39 es igual a 0
5x + 39 es igual a 0
3
3
Bueno,
Bueno, x = −3
x = −3 funciona porque 2(−3) − 5(−3) + 39
funciona porque 2(−3) − 5(−3) + 39
= −54+15+39 = 0
= −54+15+39 = 0
3
3
Por lo que
Por lo que −3 es un número algebraico
−3 es un número algebraico
2) 2x − ¼ = 0
2) 2x − ¼ = 0
3
3
Los coeficientes son 2 y −¼, ambos números
Los coeficientes son 2 y −¼, ambos números
racionales.
racionales.
Y
Y x = 0,5
x = 0,5, porque 2(0,5) − ¼ = 0
, porque 2(0,5) − ¼ = 0
3
3
Por lo que
Por lo que 0,5
0,5 es un número algebraico
es un número algebraico

18.
Ejercicios de números
trascendentes
La pizzería “EXÓTICA” vende pizzas de tres diámetros: pequeña de 30 cm, mediana
de 37 cm y grande de 45 cm. Un niño tiene mucha hambre y se dio cuenta que dos
pizzas pequeñas tienen el mismo costo que una grande. ¿Qué será mejor para él,
comprar dos pizzas pequeñas o una grande?
Solución
:
Entre mayor sea el área mayor será la cantidad de pizza, por esta razón se calculará el
área de una pizza grande y se comparará con la de dos pizzas pequeñas:
Área de la pizza grande = ¼ π D = ¼ ⋅3,1416⋅45 =
1590,44 cm
2 2 2
Área de la pizza pequeña = ¼ π d = ¼ ⋅3,1416⋅30 =
706,86 cm
2 2 2
Por lo tanto dos pizzas pequeña tendrán un área de 2 x 706,86= 1413,72
cm
2

19.
Desigualdades
mayor que >
mayor que >
Menor que <
Menor que <
Menor o igual que ≤
Menor o igual que ≤
Mayor o igual que ≥
Mayor o igual que ≥
Desigualdad matemática es una proposición de relación de orden
Desigualdad matemática es una proposición de relación de orden
existente entre dos expresiones algebraicas conectadas a través
existente entre dos expresiones algebraicas conectadas a través
de los signos: desigual que ≠, mayor que >, menor que <, menor
de los signos: desigual que ≠, mayor que >, menor que <, menor
o igual que ≤, así como mayor o igual que ≥, resultando ambas
o igual que ≤, así como mayor o igual que ≥, resultando ambas
expresiones de valores distintos.
expresiones de valores distintos.
Por tanto, la relación de desigualdad establecida en una
Por tanto, la relación de desigualdad establecida en una
expresión de esta índole, se emplea para denotar que dos
expresión de esta índole, se emplea para denotar que dos
objetos matemáticos expresan valores desiguales.
objetos matemáticos expresan valores desiguales.
Algo a notar en las expresiones de desigualdad matemática es
Algo a notar en las expresiones de desigualdad matemática es
que, aquellas que emplean:
que, aquellas que emplean:
Estas son desigualdades que nos revelan en qué sentido la una
Estas son desigualdades que nos revelan en qué sentido la una
desigualdad no es igual.
desigualdad no es igual.

20.
Empezamos escribiendo el problema original:
-4x−5≤3
Ejerciciosdedesigualdades
Resuelve y grafica la desigualdad -4x−5≤3
En este caso, -2 sí es parte de la solución.
Entonces, usamos un punto sólido para indicar
que las soluciones son todos los números hacia la
derecha del -2, incluido el -2:
Resuelve la desigualdad 5x+3>3x−3.
Sumamos 5 a ambos lados para despejar la variable:
−4x−5+5≤3+5
−4x≤8
Dividimos ambos lados por -4 para obtener:
−4​
x≤−48​
-4 -4
Restamos 3 y 3x de ambos lados para despejar la
variable:
5x+3−3−3x>3x−3−3−3x
2x>−6
Dividimos ambos lados por 2 para resolver:
2​
x>−6​
2 2
x>−3

21.
Valor absoluto
El
El valor absoluto o módulo de un número real cualquiera es el mismo
valor absoluto o módulo de un número real cualquiera es el mismo
número pero con signo positivo. En otras palabras, es el valor numérico sin
número pero con signo positivo. En otras palabras, es el valor numérico sin
tener en cuenta su signo, ya sea positivo o negativo. Por ejemplo, el valor
tener en cuenta su signo, ya sea positivo o negativo. Por ejemplo, el valor
absoluto del número −4−4 se representa como |−4 | | −4 | y equivale a 44, y
absoluto del número −4−4 se representa como |−4 | | −4 | y equivale a 44, y
el valor absoluto de 44 se representa como | 4 | | 4 |, lo cual también
el valor absoluto de 44 se representa como | 4 | | 4 |, lo cual también
equivale a 44.
equivale a 44.
1) Resolver la siguiente ecuación
1) Resolver la siguiente ecuación
con valor absoluto:
con valor absoluto:
ejercicios:
Esto ocurre cuando x≥3x
Esto ocurre cuando x≥3x
El valor absoluto de x−3es x−3, así
El valor absoluto de x−3es x−3, así
que la ecuación que tenemos es
que la ecuación que tenemos es
Supongamos ahora que x−3 es
Supongamos ahora que x−3 es
menor que 0:
menor que 0:
Esto ocurre cuando x<3
Esto ocurre cuando x<3
El valor absoluto de x−3x es −(x−3),
El valor absoluto de x−3x es −(x−3),
así que la ecuación que tenemos es
así que la ecuación que tenemos es
La ecuación tiene dos soluciones:
La ecuación tiene dos soluciones:
x=5 y x=1.
x=5 y x=1.

22.
2) Demostrar la propiedad siguiente:
2) Demostrar la propiedad siguiente:
Escribimos el valor absoluto en función del
Escribimos el valor absoluto en función del
signo:
signo:
Por tanto, podemos escribir la igualdad de 4 formas
Por tanto, podemos escribir la igualdad de 4 formas
posibles:
posibles:
Es decir, x=−y o bien, x=y
Es decir, x=−y o bien, x=y

23.
Desigualdadesconvalor
absoluto
Una desigualdad de
Una desigualdad de valor absoluto
valor absoluto es una
es una desigualdad
desigualdad que tiene un signo de
que tiene un signo de
valor absoluto con una variable dentro.
valor absoluto con una variable dentro.
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a
considerar.
considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera numéros reales a y b , si | a | < b ,
En otras palabras, para cualesquiera numéros reales a y b , si | a | < b ,
entonces a < b Y a > - b .
entonces a < b Y a > - b .

24.
2) Resuelva y grafique.
2) Resuelva y grafique.
1) Resuelva y grafique.
1) Resuelva y grafique.
| x – 7| < 3
| x – 7| < 3
ejercicios
Para resolver este tipo de desigualdad,
Para resolver este tipo de desigualdad,
necesitamos descomponerla en una
necesitamos descomponerla en una
desigualdad compuesta
desigualdad compuesta .
.
1x – 7 < 3 Y x – 7 > –3
1x – 7 < 3 Y x – 7 > –3
–3 <
–3 < x – 7 < 3
x – 7 < 3
Sume 7 en cada expresión.
Sume 7 en cada expresión.
-3 + 7 <
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
x - 7 + 7 < 3 + 7
4 <
4 < x <10
x <10
La gráfica se vería
La gráfica se vería
así:
así:
Separe en dos desigualdades.
Separe en dos desigualdades.
Reste 2 de cada lado en cada desigualdad.
Reste 2 de cada lado en cada desigualdad.
La gráfica se vería así:
La gráfica se vería así:

25.
Bibliografia
Información obtenida de:
Información obtenida de:
*Aula de material de apoyo de matemática.
*Aula de material de apoyo de matemática.
*Varsity Tutors.
*Varsity Tutors.

26.
Gracias por
leer