Unidad 10. - GEOMETRIA PLANA-GONZALO REVELO PABON

Luis Gonzalo Revelo Pabón. 88
Dpto. de Matemáticas - Goretti

HISTORIAS MATEMATICAS
La palabra Geometría se deriva del antiguo griego y significa “medida de la Tierra”. Esto nos
hace pensar que en sus comienzos era muy práctica.
Parecen que fueron algunos egipcios los primeros en trabajar y desarrollar esta ciencia. Hay
pruebas tales como las inscripciones y registros en donde se ve que los egipcios utilizaron
principios de geometría para describir y delinear la superficie de un terreno.
Hoy sabemos que no fueron los griegos los que empezaron con la geometría, pero llegaron a
conocerla gracias a la relación que guardaban con el pueblo egipcio, quienes parece fueron
los primeros en trabajar y desarrollar esta ciencia. Recordemos que los egipcios habían utilizado
una geometría rudimentaria para el deslinde de terrenos y la medición de edificios, simplemente
como operación de tipo práctico de recuento y medición.

GEOMETRÍA PLANA: Es una rama de la geometría elemental que estudia las propiedades de
superficies y figuras planas, como el triángulo o el círculo. Esta parte de la geometría también
se conoce como geometría Euclidiana, en honor al matemático griego Euclides, el primero en
estudiarla en el siglo IV a.C. Su extenso tratado Elementos de geometría se mantuvo como
texto autorizado de geometría hasta la aparición de las llamadas geometrías no Euclidiana en el
siglo XIX.

FIGURAS PLANAS: Son todas aquellas figuras que carecen de grosor o espesor están formadas
por líneas rectas o curvas cerradas. Estas además se clasifican en cuatro grupos: Polígonos
Regulares, Triángulos, Cuadriláteros, y Figuras Circulares.

LÍNEAS POLIGONALES
Definición: Una línea poligonal
es un conjunto de segmentos
concatenados, donde cada
segmento empieza donde acaba el
segmento anterior. La Línea
Polinomial puede ser: abiertas o
cerradas.

La superficie contenida por una línea poligonal cerrada se llama polígono.


POLIGONO
Definición: Un polígono es una figura plana y cerrada que resulta de unir tres o más
segmentos rectilíneos. Los polígonos pueden ser: Convexo y Cóncavo.
POLIGONO CONVEXO
Definición: Un Polígono es Convexo cuando todos los ángulos interiores del polígono son
menores de 180º.
POLIGONO CONCAVO
Definición: Un Polígono es Cóncavo C u a n d o uno o más de sus ángulos interiores d e l
p o l í g o n o son mayores de 180º.

Ejemplo: Indicar en cada uno de los siguientes polígonos sí son convexos o cóncavos:

a) Convexo: todos sus ángulos interiores son menores de 180º.
b) Cóncavo: el ángulo F es mayor de 180º.
c) Cóncavo: los ángulos A y D son mayores de 180º.
d) Convexo: todos sus ángulos interiores son menores de 180º.

Los polígonos se pueden dividir en: Polígonos irregulares y Polígonos regulares.

POLIGONO IRREGULAR
Definición: Un polígono irregular es aquél cuyos
lados no tienen la misma magnitud y cuyos
ángulos NO tienen la misma magnitud.

POLÍGONO REGULAR
Definición: Un polígono regular es aquél cuyos
lados tienen la misma longitud y cuyos ángulos
son iguales.


CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS REGULARES SEGÚN SUS LADOS
Según el número de lados que tenga un polígono éste recibe su nombre. El número de
lados puede ser cualquier número natural mayor o igual a tres. En la siguiente tabla aparecen
algunos de ellos.

Numero de lados del polígono Nombre del polígono
Tres lados Triangulo
Cuatro lados Cuadrilátero
Cinco lados Pentágono
Seis lados Hexágono
Siete lados Heptágono
Ocho lados Octógono
Nueve lados Eneágono
Diez lados Decágono
Once lados Endecágono
Doce lados Dodecágono
Trece lados Tridecágono
Catorce lados tetra decágono
Quince lados Pentadecágono
Dieciséis lados Hexadecágono
Diecisiete lados Heptadecágono
Dieciocho lados Octadecágono
Diecinueve lados Eneadecágono
Veinte lados Icoságono

Los polígonos superiores a 12 lados se los nombran indicando el número de lados que lo forman,
por ejemplo: polígono de trece lados, polígono de catorce lados, etc., a excepción del polígono de
veinte lados que se llama icoságono.

1. TRIÁNGULO: Es un polígono de tres lados, determinado por tres rectas que se
cortan de dos en dos en tres puntos diferentes.
Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta son los
lados del triángulo.
Dos lados contiguos forman a un ángulo interior del triángulo. Por lo tanto, un triángulo tiene 3
ángulos interiores, 3 lados y 3 vértices.

Los elementos característicos de un triangulo son: lados, base, altura, vértices y ángulos.


BASE DE UN TRIÁNGULO: La base de un triángulo es uno cualquiera de sus lados.
ALTURA DE UN TRIÁNGULO (h): La altura de un triángulo es el segmento perpendicular bajada
desde un vértice del triangulo a su lado-base opuesto o a la prolongación del lado- base.

PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS
1. Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos.
2. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
3. El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes.

CLASIFICACION DE LOS TRIÁNGULOS
Los triángulos se clasifican según la longitud de sus lados y según la medida de sus ángulos.

CLASIFICACION DE LOS TRIÁNGULOS SEGÚN LA LONGITUD DE SUS LADOS: Según sus
lados se clasifican en:
 Equiláteros: Sí los tres lados son iguales.
 Isósceles: Cuando dos lados son iguales y un su lado es longitud diferente.
 Escalenos: Cuando los tres lados sus longitudes son diferente.

CLASIFICACION DE LOS TRIÁNGULOS SEGÚN LA MEDIDA DE SUS ÁNGULOS: Los
triángulos se pueden clasificar según sus ángulos en:
 Acutángulo: Sí los tres ángulos son agudos.
 Rectángulo: Sí un ángulo es recto y dos ángulos son agudos.
 Obtusángulo: Sí un ángulo obtuso y dos agudos.


2. CUADRILÁTEROS: Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados. La suma de
los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360°. La notación de un
cuadrilátero se indica por las letras mayúsculas de sus vértices.
PROPIEDADES DE LOS CUADRILATEROS
Los “LADOS OPUESTOS” son iguales y que no tienen ningún vértice en común.
Los “LADOS CONSECUTIVOS” son los que tienen un vértice en común.
Los “VÉRTICES Y ÁNGULOS OPUESTOS” son los que no pertenecen a un mismo lado, siendo los
ángulos iguales.
La “SUMA DE ÁNGULOS INTERIORES” es igual a cuatro rectos (360°).
Los “ÁNGULOS ADYACENTES” a un mismo lado son suplementarios, es decir, suman 180°.
Las “DIAGONALES” se cortan en su punto medio.
CLASIFICACION DE LOS CUADRILATEROS
Los cuadriláteros se clasifican en: Paralelogramos, Trapecios y Trapezoides.

2.1 PARALELOGRAMO: Es un cuadrilátero que tienen los lados paralelos dos a dos,
cuyos dos pares de lados opuestos son iguales entre sí. Los Paralelogramos se clasifican
en: Cuadrados, Rectángulos, Rombos y Romboides

-Cuadrado: Tiene los cuatro lados iguales y los cuatro ángulos rectos. Sus diagonales
son iguales y perpendiculares.
-Rectángulo: Tiene los lados iguales d e dos en dos y sus cuatro ángulos son rectos.
-Rombo: Tiene los cuatro lados iguales y dos de sus ángulos son mayores que los otros dos.
Sus diagonales son desiguales y perpendiculares.
-Romboide: Tiene los lados vecinos o contiguos desiguales y dos de sus ángulos son
mayores que los otros dos. Sus diagonales son desiguales y oblicuas.

2.2 TRAPECIO: Es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y los otros dos lados no
paralelos.
Los lados paralelos se llaman bases del trapecio y la distancia entre ellos, s e l l a m a altura.

El trapecio puede ser:
Trapecio Rectángulo: Tiene dos ángulos rectos
Trapecio Escaleno: No tiene ningún lado igual ni ángulo recto
Trapecio Isósceles: Tiene dos lados no paralelos de igual longitud.


2.2 TRAPEZOIDE: Es un cuadrilátero que no tiene ningún lado de igual
longitud y no tiene lados paralelos
3. POLÍGONO REGULAR: Polígono regular es aquel que tiene todos sus lados de
igual longitud, y sus vértices están circunscritos (encerrados, contenidos) en una
circunferencia.
Se clasifican en:

 Triángulo equilátero: polígono regular de 3 lados,
 Cuadrado: polígono regular de 4 lados,
 Pentágono regular: polígono regular de 5 lados
 Hexágono regular: polígono regular de 6 lados,
 Heptágono regular: polígono regular de 7 lados,
 Octágono regular: polígono regular de 8 lados,... y así sucesivamente.

Elementos de un polígono regular
Los elementos característicos de un polígono regular son:
 Lado, L: es cada uno de los segmentos que forman el polígono.
 Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos.
 Centro, C: el punto central equidistante de todos los
vértices.
 Radio, r: el segmento que une el centro del polígono con
uno de sus vértices.
 Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, hasta el
centro del polígono.
 Diagonal, d: segmento que une dos vértices no contiguos.
 Perímetro: P: es igual a la suma de las magnitudes de
todos los lados del polígono.


4. CÍRCULO: Es superficie plana que está definida por
una circunferencia. (Es superficie sombreada).

ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO.

Circunferencia.- Se llama circunferencia a la línea, formada por todos los puntos que están a la
misma distancia de otro punto llamado centro.
Círculo.- Se llama círculo a la superficie plana que está limitada por la circunferencia.

Es importante no confundir la
circunferencia, que es una línea, con el
círculo, que es una superficie.
Arco es la parte de circunferencia
comprendida entre dos de sus puntos.
Cuerda es un segmento que une dos
puntos de la circunferencia.
Radio es un segmento que une el
centro de la circunferencia con uno de
sus puntos.
Diámetro es una cuerda que pasa por
el centro de la circunferencia. Mide el doble que
el radio.
Un diámetro divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicírcunferencias.

FIGURAS CIRCULARES


POSICION DE UNA RECTA RESPECTO A UNA CIRCUNFERENCIA
Una recta puede ocupar tres posiciones respecto de una circunferencia.

UNIDADES DE ÁREA O SUPERFICIE:
Las unidades de área o superficie salen siempre de multiplicar dos unidades de longitud, y
por ello, el resultado será una unidad de longitud elevada al cuadrado. Dichas unidades son, de
mayor a menor:

Unidades
De área o
superficie
Potencias
( (
con base 10
Potencias
con base 10

Para convertir una Unidad de Superficie que nos hayan dado (USD), a una Unidad de
Superficie pedida (USP), se aplica la siguiente expresión algebraica

.n*USD= =n*USP

Ejemplo: Convertir a
2
2,34 Hm = dm2 = 2,34x106 dm2 = 2340000 dm2

543.267 cm =
2
m2 = 543.267x10-4 m2= 54,3267m2
2 2 4 2 2
234,25 Dm = dm = 234,25x10 dm = 2342500 dm
2 2 -8 2 2
3.462.967.455 mm = Dm = 3.462.967.455x10 Dm = 34,62 Dm


TALLER
1. ¿Cuántos son 40 ? Solución: 400.000
2. ¿Cuántos son 5.000.000 ? Solución: 5
3. ¿Cuántos son 7 ? Solución: 70.000
4. ¿Cuántos son 0.000125 ? Solución: 1.250.000 .
5. ¿Cuántos son 97 ? Solución: 9.700.000 .
6. ¿Cuántos son 0.000005 ? Solución: 50.000 .
7. ¿Cuántos son 2 ? Solución: 20000000000 .
8. ¿Cuántos son 256 ? Solución: 256.000.000 .
9. ¿Cuántos son 250.000 ? Solución: 0,25 .
10. ¿Cuántos son 6 ? Solución: 600 .
11. ¿Cuántos son 1423.000.000.000 ? Solución: 14,3 .
12. ¿Cuántos son 8.000.000.000 ? Solución: 0,8 .
13. ¿Cuántos son 1.500.000 ? Solución: 150 .

PERÍMETRO Y ÁREA DE LAS FIGURAS PLANAS:
Antes de ver todas y cada una de las fórmulas que nos permiten averiguar el área de cualquier
figura plana, es conveniente tener conocimientos sobre qué es el perímetro y el área de un
polígono, así como las unidades en las que los podemos medir.

Perímetro (P): Es igual a la suma de las longitudes de todos los lados de un polígono.
Área (A): Es la superficie que queda limitada por el perímetro.

El cálculo del área se realiza de forma indirecta, es decir, hay que recurrir a diferentes
Ecuaciones matemáticas para conocerla, no podemos medirla como hacemos con las longitudes
(con regla podemos "leer" directamente la longitud de un segmento).
Para mediar las áreas o superficies de las figuras planas, hay que utilizar las unidades de
“superficie” del Sistema Métrico Decimal, las cuales son las mismas que las de longitud, pero
elevadas al cuadrado.

ECUACIONES DE ÁREAS DE LAS FIGURAS PLANAS:
Cada uno de los polígonos tiene su Ecuación correspondiente que permite calcular su área.
Siempre y cuando sean figuras conocidas, lo primero que se escribe siempre es la Ecuación
específica del polígono a estudiar, luego se sustituye los datos, se realiza las operaciones
indicadas en la ecuación, y finalmente se escribe el resultado con la unidad de área pertinente.
Dichas ecuaciones, las cuales habrá que aprender son las siguientes:


MEDIDA INDIRECTA: El Teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras dice que: “En todo triángulo rectángulo se cumple que la hipotenusa
elevada al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos ”.
Es decir:
Representación Grafica.

Los casos posibles que nos encontramos para el teorema de Pitágoras son dos.
1. Que en un problema conozcamos los dos catetos y nos pidan la hipotenusa.
2. Que en un problema conozcamos un cateto y la hipotenusa y nos pidan el otro cateto.

Ejemplo. En un triángulo rectángulo los catetos miden 8 cmts y 6 cmts. Hallar la hipotenusa.
.a=8 cmts (cateto)
.b=6 cmts (cateto)
.a=? (Hipotenusa)

Ejemplo. En un triángulo rectángulo un cateto mide 12
cmts y la hipotenusa mide 20cmts. Cuánto mide el otro
cateto.
.b=12 cmts (cateto)
.a= 20 cmts (hipotenusa)
.c=? (Cateto)


ÁREA Y PERIMETRO DEL TRIANGULO
TRIÁNGULO: Es un polígono de tres lados.

BASE DE UN TRIÁNGULO (b): La base de un triángulo es uno cualquiera de sus lados.
ALTURA DE UN TRIÁNGULO (h): La altura de un triángulo es el segmento perpendicular bajada
desde un vértice del triangulo a su lado opuesto o a su l prolongación del lado- base.
PERÍMETRO (P): Es igual a la suma de todos sus lados.
SEMIPERIMETRO (S): Es igual al perímetro dividido entre dos.
ÁREA (A): Es igual al producto de la base por la altura, sobre dos

Ejemplo: En un triangulo isósceles la base es igual a 18 mts y su altura es igual a 7 mts. Encontrar
su perímetro, Semiperímetro, y área.
Por el teorema de Pitágoras tenemos que:

Por lo tanto, el perímetro será igual a:

Ahora el Semiperímetro será igual a:

Calculemos al área del triangulo:

Calculemos el área por medio de la ecuación de Herón:


Ejemplo: En un triangulo rectángulo sus catetos tienen una longitud de 8,5 cmts y 3 cmts
respectivamente. Encontrar el valor del perímetro, Semiperímetro y área.





Calculemos el área por medio de la ecuación de Herón

Ejemplo: En un triangulo escaleno la base tiene una longitud de 14 mts y una altura de 8 mts...
Encontrar el valor del área.

Ejemplo: En un triangulo rectángulo-isósceles sus lados iguales tienen una longitud de 10 mts
Encontrar el valor del perímetro, Semiperímetro y área







Ejemplo: En un triangulo equilátero sus lados son iguales a una longitud de 26 mts Encontrar el
valor del perímetro, Semiperímetro y área




Calculemos al área del primer triangulo rectángulo:

Calculemos al área del segundo triangulo rectángulo:


Por la tanto el área total de los dos triángulos es igual a:


TALLER
1. En un triangulo isósceles la base es igual a 18 mts y su altura es igual a 7 mts. Encontrar su
perímetro, Semiperímetro, y área.
2. En un triangulo rectángulo sus catetos tienen una longitud de 12 mts y 12 mts respectivamente.
Encontrar el valor del perímetro, Semiperímetro y área.
3. En un triangulo escaleno la base tiene una longitud de 13 mts y una altura de 5 mts...
Encontrar el valor del área
4. En un triangulo rectángulo-isósceles sus lados iguales tienen una longitud de 20 mts Encontrar
el valor del perímetro, Semiperímetro y área.
5. En un triangulo equilátero sus lados son iguales a una longitud de 48 mts Encontrar el valor del
perímetro, Semiperímetro y área
2
6. Calcular la base de un triángulo isósceles, que tiene un área de 14 cm y una altura de 4 cm.
2
7. Calcular la altura de un triángulo isósceles, que tiene un área de 735 cm y una base de 42
cm.


ÁREA DE CUADRILATEROS

Ecuación del área
Nombre Figura Geométrica
de la figura geométrica
(Tiene los lados paralelos de Dos en Dos)

Cuadrado

Rectángulo
Paralelogramos

Rombo
Cuadriláteros

Romboide
(Tiene DOS lados paralelos)

Trapecio
Rectángulo
Trapecios

Trapecio
Isósceles

Trapecio
Escaleno
no tiene ningún

longitud y no
lado de igual
Trapezoide

tiene lados
paralelos

Se divide al trapezoide en dos
triángulos, se calcular sus áreas y
se suman sus áreas


Ejemplo: calcular el área de un cuadrado cuyos lados tienen una longitud de 4 cmts.

Ejemplo: Calcular el área de un rectángulo que tiene 4 mts de largo (base) y 3 mts de ancho
(altura)

Ejemplo: Calcular el área de un romboide que tiene 15 mts de largo (base) y 4 mts de altura

Ejemplo: Calcular el área de un rombo cuyas diagonales tienen una longitud de 9 mts y 6 mts
respectivamente.

Ejemplo: calcular el área de un trapecio Isósceles cuya altura es de 5 mts y las longitudes de sus
bases son de 13 mts y 9 mts respectivamente.

Ejemplo: Calcular la longitud de un lado de un cuadrado cuya área es igual a 169

Ejemplo: calcular la base de un rectángulo que tiene 52 de área y su altura es igual a 4
cmts.


Ejemplo: el área de un rombo es igual a 40 . Encontrar el valor de la longitud de la diagonal
mayor, sabiendo que la diagonal menor tiene una longitud de 8 .

.

Ejemplo: el área de un romboide es igual a 450 . Encontrar el valor de la altura sabiendo que
su base es igual a 30 mts.

Ejemplo: Calcular la altura de un trapecio, sabiendo que sus lados bases miden 18 mts y 38 mts y
tiene una área de 196

AREAS DE FIGURAS COMPLEJAS
Para hallar el área de figuras complejas hay que dividirlas en otras más sencillas, de las cuales
sepamos calcular su área. Por ejemplo


Dividimos la figura a) en tres partes y luego calculamos el área de cada una de ellas. Así:

Ejemplo: Encontrar el área de la figura siguiente.

Dividimos la figura en tres partes y luego calculamos el área de cada una de ellas. Así:

TALLER de Cuadrado y Rectángulo
1) ¿Cuánto costará vallar una finca cuadrada de 14 metros de lado a razón de 4500 pesos
el metro lineal de alambrada?
2) Pintar una pared de 8 m de larga y 75 dm de ancha ha costado 15000 pesos. ¿A qué precio
se habrá pagado el metro cuadrado de pintura?
3) Una finca rectangular que mide 1698 m de largo por 540 m de ancho se sembró de trigo. Al
realizar la cosecha cada Decámetro cuadrado de terreno ha producido 7890 kg de trigo.
¿Cuántos kg se han cosechado? Si el trigo se vende a 600 pesos el kg, ¿Cuánto dinero se
obtendrá?
4) Un terreno mide 1000 metros cuadrados de superficie. Si el terreno ha costado 37.000.000
de pesos, ¿a qué precio se compro el metro cuadrado?
5) ¿Cuánto costará un espejo rectangular de 1,36 m de altura y 0,97 m de anchura, si el
decímetro cuadrado vale 6250 pesos?
6) ¿Cuánto cuesta un pequeño terreno cuadrado de 8 metros de lado a razón de 15.000.000 de
pesos la hectárea ( ?
7) ¿Cuál es la distancia máxima que se puede recorrer, en línea recta, dentro de un campo
rectangular de 80 m. de largo y 60 m. de ancho?
8) Se necesita cercar un huerto rectangular, de 180 m de longitud y 150 m de anchura, con tela


metálica. El metro lineal de valla cuesta 37500 pesos. Al mismo tiempo, es necesario
abonarlo con abono nitrogenado. El fabricante del abono recomienda 25 kg por hectárea.
a) Calcular la longitud de la tela metálica y el coste de la misma para cercar el
huerto.
b) Calcular la cantidad de abono nitrogenado necesario para abonarlo.
9) Hay que embaldosar una habitación de 5 metros de largo y 3,36 m de ancho.
¿Cuántas baldosas de 80 centímetros cuadrados de superficie se necesitan?
10) El perímetro de un trapecio isósceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30
m respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área.

PROBLEMAS DE ÁREAS DE TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS
1. Calcular el número de baldosas cuadradas que hay en un salón de forma rectangular
cuyas dimensiones son de 6 m de largo y 4,5 m de ancho, si cada baldosa mide 30 cm de lado.
1. Calcular ¿cuál es el precio de un mantel cuadrado de 3,5 m de lado si el de tela
cuesta 12.000 pesos?

2. Calcular el área del cuadrado A, de los rectángulos B y C y el triángulo D de la figura.

3. Calcular el número de árboles que se pueden plantar en un terreno que tiene una forma
geométrica de un romboide cuyo lado –base (largo) tiene una longitud de 32 m y 30 m de ancho
2
(altura), sabiendo que cada árbol necesita para desarrollarse 4 m .

4. Calcular las longitudes de las diagonales de un rombo que se
encuentra inscrito en un rectángulo. Sabiendo que el área del rectángulo
es igual a 210 de área y tiene uno de sus lados una longitud de 30
cm. ¿Cuál es el área del rombo?

5. Calcular lo que costará sembrar césped en un jardín que
tiene una forma geométrica de trapecio isósceles tal como se
muestra en la figura, sabiendo que 1 de césped plantado
cuesta 8000 pesos.


6. Una piscina tiene 210 de área y tiene la forma
geométrica de un rectángulo para uso exclusivo de adultos y
una piscina en forma geométrica de un trapecio para uso de los
niños. Observa el dibujo y calcular: a) El área para cada una de
las piscinas. b) ¿Cuál es la longitud de la piscina de adultos?

7. Lucía está haciéndose una bufanda de rayas trasversales de muchos colores.
La bufanda mide 120 cm de largo y 30 cm de ancho y cada franja mide 8 cm de ancho. a)
¿Cuántas rayas de colores tiene la bufanda? b) Calcular el área de cada franja y el área total de la
bufanda.
8. Las casillas cuadradas de un tablero de ajedrez miden 4 cm de lado. Calcular cuánto tiene
de longitud el lado y el área del tablero de ajedrez. Sabiendo que cada
lado del tablero tiene 8 casillas cuadradas.

9. Observa la figura. a) ¿Cuál es el área del cuadrado? b) ¿Cuál
es el área del trapecio? c) ¿Cuál es el área del rectángulo? d) ¿Cuál
es el área total de la figura?

10. Eduardo y Marina están cada uno forrando sus libros. Cada uno tiene un rollo de plástico
de 1,5 m de largo y 1 m de ancho. Para realizar su labor necesitan para cada libro un plástico de
forma rectangular de 49 cm de largo y 34 cm de ancho. Observa en los dibujos cómo ha cortado
cada niño los rectángulos. a) Calcular en cada caso cuántos de plástico les han sobrado b)
¿Quién ha aprovechado mejor el rollo de plástico para forrar libros?

11. Encontrar el área de la siguiente figura.


ÁNGULOS DE UN POLÍGONO REGULAR
Los ángulos que se encuentran en un polígono regular son los siguientes:
 Ángulo Central
 Ángulo Interior
 Ángulo Exterior.

Ángulo central de un Polígono Regular ( )
El ángulo Central α está formado por dos radios consecutivos y su magnitud puede obtenerse a
partir de la siguiente ecuación:

Ángulo interior de un Polígono regular ( )
El ángulo Interior , está formado por dos lados consecutivos. Para calcular la magnitud del ángulo
interior de un polígono regular se tiene la siguiente expresión:

O también:

Para encontrar el valor de la suma de los ángulos Internos de un polígono
regular e irregular se tiene la siguiente expresión:


Ángulo exterior de un polígono regular
El ángulo exterior , está formado por un lado del polígono regular y por la prolongación del
lado consecutivo o vecino a esté.

Para determinar el valor de un ángulo exterior de un polígono regular, aplicamos la siguiente
ecuación.

De lo que se deduce que:

 La suma de los ángulos exteriores , de un polígono regular es:

TALLER

1) En cada uno de los polígonos regulares, encontrar el valor del ángulo desconocido (x)

2) En cada uno de los polígonos irregulares, encontrar el valor del ángulo desconocido (x)


ECUACIONES DE AREA, APOTEMA, RADIO Y LADO DE UN POLIGONO REGULAR

Del triangulo rectángulo, se deduce que:

Entonces

Entonces

Ahora: el área de un polígono regular es igual a la semisuma del producto del perímetro (P) por la
apotema (a). Es decir

Pero:

Al remplazar las ecuaciones (1) Y (2) en la ecuación (4), se obtiene.

Pero: remplazamos

Pero: remplazamos:

Ahora de la ecuación número (3), se tiene que:

Entonces

Entonces


Al remplazar las ecuaciones (5) y (6), en la ecuación de área del polígono regular se tiene:

Parte 1

Parte 2: la ecuación de área del polígono regular es:


ÁREAS DE POLIGONOS REGULARES

POLÍGONO REGULAR: Es aquel que tiene todos sus lados de igual longitud.
 Centro, C: el punto central equidistante de todos los vértices.
 Radio, r: el segmento que une el centro del polígono con uno de sus
vértices.
 Apotema, a: segmento perpendicular bajada desde el centro del
polígono a un lado cualquiera del polígono.

1. Para calcular el área de un polígono regular cualquiera es igual al semiproducto del
perímetro (P) por la apotema (a). Es decir:

2. Para calcular el área de un polígono regular, en función del radio (r) del círculo, se tiene la
siguiente ecuación.

3. Para calcular el área de un polígono regular, en función de la longitud de la apotema (a), se
tiene la siguiente ecuación.

4. Para calcular el área de un polígono regular, en función de la longitud del lado (l) del
polígono se tiene la siguiente ecuación.

5. Para encontrar la longitud del lado de un polígono regular, en función de la longitud de
la apotema (a) se tiene la siguiente ecuación:

6. Para encontrar la longitud de la apotema (a) de un polígono regular, en función de la
longitud del lado (l) del polígono, se tiene la siguiente ecuación:

7. Para encontrar la longitud de la apotema (a) de un polígono regular, en función de la
longitud del radio (r), se tiene la siguiente ecuación:


8. Para encontrar la longitud del lado (i) de un polígono regular, en función del radio (r), se
tiene la siguiente ecuación:

9. Para encontrar la longitud del radio (r) del circulo, en función de la apotema (a) y de la
longitud del lado (l) , se tiene la siguiente ecuación:

Ejemplo:
Calcular a) La longitud del lado (l) b) el perímetro c) La apotema (a) y d) el área
de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 6 cm.

Solución:

a) La longitud del lado (l) de un polígono regular, en función del radio

b) El perímetro se define


c) La apotema (a), de un polígono regular en función del radio (r), está definida por:

d) El área del triángulo equilátero, inscrito en una circunferencia es igual a:
1 forma:

2 forma: El área de un polígono regular, en función del radio está definido por:

Ejemplo: Hallar a) La longitud del lado (l) b) el perímetro c) La apotema (a) y d) el
área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 5 cm de radio.

Solución:

a) La longitud del lado (l) de un polígono regular, en función del radio

b) El perímetro se define

c) La apotema (a), de un polígono regular en función del radio (r), está definida por:


d) El área del triángulo equilátero, inscrito en una circunferencia es igual a:
1 forma:

2 forma: El área de un polígono regular, en función del radio está definido por:

Ejemplo: Hallar a) el perímetro b) La apotema (a) y c) el área de un pentágono
regular d) La longitud del radio. Sí los lados tienen una longitud de 6 cm.

Solución:

a) El perímetro del pentágono regular está definido por:

b) La apotema (a) del polígono regular, en función de la longitud (i) del lado del polígono esta
dado por la siguiente ecuación:

c) El área del pentágono regular, es igual a:
1 forma:


2 forma: El área de un polígono regular, en función del lado de un polígono está definido por:

d) El radio (r) en función de la longitud del lado del polígono es igual a:

Ejemplo: Hallar el área de un hexágono inscrito en una circunferencia cuya apotema
es igual a 4 cm . a) ¿Cuál es la longitud del lado del polígono (l)? (r) b) ¿Cuál es el
valor del perímetro (P)? c) ¿Cuál es el valor del radio(r)?

Solución:

a) La longitud del lado de un polígono regular, en función de la apotema (a) está dado por la
siguiente ecuación:


b) El valor del perímetro es igual a:

c) El valor del radio (r), en función de la apotema (a) está dada por la siguiente ecuación:

d) El área del hexágono regular, es igual a:
1 forma:

2 forma: El área de un polígono regular, en función de la longitud de la apotema (a) está definido
por:

TALLER DE POLIGONOS REGULARES
1) Hallar el área de un polígono de 7 lados inscrito en una circunferencia de 4 cm
de radio.
2) Hallar el área de un polígono de 8 lados inscrito en una circunferencia de 5
cm de radio.
3) Calcular el área de un polígono de 9 lados equilátero inscrito en una
circunferencia de radio 6 cm.
4) Determinar el área de un polígono de 10 lados inscrito en una circunferencia
de longitud 18.84 m.
5) En un cuadrado de 2 m de lado se inscribe un círculo y en este círculo un
cuadrado y en este otro círculo. Hallar el área comprendida entre el último
cuadrado y el último círculo.
6) Calcular el perímetro y el área de un pentágono que tiene 6 cmts de apotema.
7) Calcular el perímetro y el área de un hexágono q u e t i e n e 3,46 m de apotema.
8) Calcular el perímetro y el área de un polígono que tiene 8 lados y 6 cmts de apotema.
9) Calcular el perímetro y el área de un polígono que tiene 12 lados y 3,46 m de apotema.
10) Calcular el perímetro y el área de un hexágono de 6 cm de lado.
11) Calcular el perímetro y el área de un pentágono que tiene 10 cmts de lado
12) Calcular el perímetro y el área de un hexágono q u e t i e n e 1 0 m t s d e l a d o .
13) Calcular el perímetro y el área de un polígono que tiene 8 lados y 16 cmts de lado.
14) Calcular el perímetro y el área de un polígono que tiene 12 lados y 3,46 m de lado. Calcular


el perímetro y el área de un pentágono de 8 metros de lado
15) y 6 de apotema.
16) Calcular el perímetro y el área de un hexágono de 4 metros
de lado
17) y 3,46 m de apotema.
18) Calcular la apotema de un pentágono de 5 metros de lado
19) En una circunferencia de 6 cmts de diámetro se
inscribe un cuadrado círculo y en este cuadrado se
inscribe un círculo y en este círculo se inscribe un
cuadrado. Hallar el área del último cuadrado (circulo
sombreado).
20) Si el lado de un pentágono regular mide 7 cm y el radio de la circunferencia circunscrita es
de 6 cm ¿cuánto medirá la apotema? Calcula el área del pentágono.


LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA (PERIMETRO DEL CIRCULO) Y ÁREA DEL CÍRCULO
Al dividir la longitud de la circunferencia entre su diámetro, siempre obtenemos el número , cuyo
valor aproximado es igual a.

La Longitud de la circunferencia o perímetro = diámetro x =

Área del círculo =

El área de la corona circular es igual a la diferencia de las áreas de los dos círculos que la
forman.

Ejemplo: Calcular el área y la longitud de una circunferencia que tiene 6 cm de radio.
Por definición de perímetro o longitud de la circunferencia, tenemos que:

Por definición de área del círculo, tenemos que:

Ejemplo: Un disco compacto tiene un radio de 5 cm. ¿Cuál es la longitud de su borde exterior?
¿Cual es su área?
Por definición de perímetro o longitud de la circunferencia, tenemos que:

Por definición de área del círculo, tenemos que:


AREAS DE FIGURAS COMPLEJAS

Ejemplo: Este es el plano del jardín de Nicolás. ¿Cuántos
metros de alambre necesitará para cubrir su perímetro?
Calcular la superficie del jardín en .

Para hallar el área de figuras complejas, como el presente
grafico, la dividimos la figura en dos partes y luego
calculamos el área de cada una de ellas. Así:

Ejemplo: En un jardín cuadrado de 20 m de lado construimos una piscina de 6 m de radio. Calcular
la zona verde que quedara.

Ejemplo: En la pared del colegio se van a pintar de diferentes
colores 6 coronas circulares iguales, con las dimensiones que se
muestran en la figura siguiente. ¿Qué superficie de la pared se va
a pintar?


TALLER del círculo, circunferencia y corona circular
1) Calcular el área y la longitud de un círculo de 2 metros de radio.
2) Calcular el área y la longitud de un círculo de 6 metros de diámetro.
3) Calcular el radio y el área de un círculo cuya longitud de la circunferencia mide 25,12
cm.
4) Calcular el radio y la longitud de un círculo cuya área mide 28,26 decímetros cuadrados.
5) Calcular el área de un círculo si su longitud de la circunferencia es de 628 m.
6) He rodeado con una cuerda un balón. A continuación he medido la longitud del trozo
de cuerda que he utilizado para rodear el balón. ¿Cuál es el radio del balón, si el trozo de
cuerda mide 94,20 cm de longitud?
7) Calcular el área de una corona circular que tiene de radio grande 7 mts y de radio
pequeño 3 mts.
8) Calcular el área circular A y de las coronas circulares B, C de
una diana, sabiendo que los radios de las tres circunferencias
concéntricas son respectivamente 5 cm, 10 cm y 15 cm.

9) Calcular el área de un cristal de un ventanal como el que se
muestra en la figura siguiente, que hay en la pared de una
catedral.

10) Se quiere recortar de un cartón cuadrado que tiene 144
de área, el mayor círculo posible. a) ¿Cuánto medirá su
radio? b) ¿Cuál es su área? c) ¿Cuántos de cartón
se desperdiciarán (sombreado)?


11) Encontrar el valor del área sombreada de la
figura siguiente:

12) Encontrar el valor del área de la figura siguiente:

13) Encontrar el valor del área de la figura siguiente:

Unidad 10. - GEOMETRIA PLANA-GONZALO REVELO PABON

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (19)

En vedette

En vedette (20)

Similaire à Unidad 10. - GEOMETRIA PLANA-GONZALO REVELO PABON

Similaire à Unidad 10. - GEOMETRIA PLANA-GONZALO REVELO PABON (20)

Plus de GONZALO REVELO PABON . GORETTI

Plus de GONZALO REVELO PABON . GORETTI (18)

Dernier

Dernier (20)

Unidad 10. - GEOMETRIA PLANA-GONZALO REVELO PABON