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Para clases, proyectos o lo que necesites en matemáticas. Móvil: 0980700611 | Guayaquil - Ecuador
Para lo que necesites en matemáticas de pregrado, puedes llamarnos o escribirnos
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Para clases, proyectos o lo que necesites en matemáticas. Móvil: 0980700611 | Guayaquil - Ecuador
1. Si 𝑴 = √𝟖 − 𝒔𝒈𝒏 (𝒔𝒆𝒏 (
𝟏𝟏𝝅
𝟔
)) y 𝑷 = 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎𝟎
𝒄𝒐𝒔(
𝟐𝝅
𝟑
)
, el valor numérico de (
𝑴
𝟔
+ 𝑷) es:
11𝜋
6
=
(11)(180)
6
= 330
𝑠𝑒𝑛 (
11𝜋
6
) = 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
6
) =
−1
2
𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
6
) = −
1
2
330°
x
y
30°
-1
3
2
Reemplazando tenemos:
𝑀 = √8 − 𝑠𝑔𝑛 (−
1
2
) pero, 𝑠𝑔𝑛(𝑥) = {
1 𝑥 > 0
0 𝑥 = 0
−1 𝑥 < 0
Entonces:
𝑀 = √8 − (−1) = √9 ∴ 𝑴 = 𝟑
Ahora:
𝑃 = log 100
𝑐𝑜𝑠(
2𝜋
3
)
pero, log 𝑎 𝑀 𝛼
= 𝛼 log 𝑎 𝑀 𝛼
Entonces:
𝑃 = (𝑐𝑜𝑠
2𝜋
3
) (log 100) = (𝑐𝑜𝑠
2𝜋
3
) (log 102) = (𝑐𝑜𝑠
2𝜋
3
) (2)(log 10) = (−
1
2
) (2)(1)
𝑷 = −𝟏

3. 3
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Reemplazando valores:
(
𝑀
6
+ 𝑃) =
3
6
+ (−1) =
1
2
− 1
Por tanto:
(
𝑴
𝟔
+ 𝑷) = −
𝟏
𝟐
2. Para que la expresión
𝒔𝒆𝒏(𝟏𝟏𝒙)+𝒔𝒆𝒏(𝟓𝒙)
𝒄𝒐𝒔(𝟏𝟏𝒙)+𝒄𝒐𝒔(𝟓𝒙)
= 𝛁 sea una identidad trigonométrica, 𝛁 debe ser
reemplazada por:
Tengamos en cuenta las siguientes identidades trigonométricas:
𝒔𝒆𝒏(𝒙) + 𝒔𝒆𝒏(𝒚) = 𝟐𝒔𝒆𝒏 (
𝒙 + 𝒚
𝟐
) 𝒄𝒐𝒔 (
𝒙 − 𝒚
𝟐
) 𝒄𝒐𝒔(𝒙) + 𝒄𝒐𝒔(𝒚) = 𝟐𝒄𝒐𝒔 (
𝒙 + 𝒚
𝟐
) 𝒄𝒐𝒔 (
𝒙 − 𝒚
𝟐
)
Entonces:
𝑠𝑒𝑛(11𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(5𝑥)
𝑐𝑜𝑠(11𝑥) + 𝑐𝑜𝑠(5𝑥)
=
2𝑠𝑒𝑛 (
11𝑥 + 5𝑥
2
) 𝑐𝑜𝑠 (
11𝑥 − 5𝑥
2
)
2𝑐𝑜𝑠 (
11𝑥 + 5𝑥
2
) 𝑐𝑜𝑠 (
11𝑥 − 5𝑥
2
)
=
2𝑠𝑒𝑛 (
16𝑥
2
) 𝑐𝑜𝑠 (
6𝑥
2
)
2𝑐𝑜𝑠 (
16𝑥
2
) 𝑐𝑜𝑠 (
6𝑥
2
)
=
𝑠𝑒𝑛(8𝑥)cos(3𝑥)
cos(8𝑥) cos(3𝑥)
=
𝑠𝑒𝑛(8𝑥)
cos(8𝑥)
Por tanto:
𝛁 = 𝐭𝐚𝐧(𝟖𝒙)

4. 4
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3. Si Re = [0, 2π], tan(x) > 0, y 𝒄𝒐𝒔(𝒙) = −
𝟏
√𝟐
, entonces el valor de 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔(𝒔𝒆𝒏(𝒙)) es:
x
-1
1
2
2
-1
45°
45°
Por tanto:
𝒄𝒐𝒔(𝒙) = −
𝟏
√𝟐
Cuando:
𝑥 =
3𝜋
4
ó 𝑥 =
5𝜋
4
Dado que tan(x) > 0 entonces esto sólo se cumple cuando 𝑥 =
5𝜋
4
, por tanto:
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (𝑠𝑒𝑛 (
5𝜋
4
)) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (−
1
√2
) =
𝟓𝝅
𝟒
4. Sea la función 𝒇: [−𝝅, 𝝅] → ℝ definida por 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 (
𝟏
𝟐
|𝒙|), identifique la
proposición FALSA:
Lo primero que debemos realizar es el gráfico de la función para observar cuales son sus
características:
𝒚 = 𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏|𝒙|  Reflexión con respecto al eje Y

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𝒚 = 𝒔𝒆𝒏 (
𝟏
𝟐
|𝒙|)
Dado que B=1/2, se produce un alargamiento en el eje horizontal. De igual manera cambia el periodo de la
función: 𝑇 =
2𝜋
𝐵
=
2𝜋
1/2
= 4𝜋
Dado que 𝑓: [−𝜋, 𝜋], entonces la gráfica final estaría dada por:
a) Rg f = [ 0, 1] ≡ VERDADERA
Efectivamente se puede observar que el rango de la función está entre 0 y 1 incluido
dichos límites.
b) f es una función par ≡ VERDADERA
Gráficamente una función es par si es simétrica con respecto al eje Y

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c) f no es acotada ≡ FALSA
Esta premisa es falsa porque claramente se puede observar que la función es
acotada entre 0 y 1.
d) f no es inyectiva ≡ VERDADERA
Si trazamos una recta horizontal y dicha recta corta en más de un punto a la función,
entonces dicha función no es inyectiva.
e) f es estrictamente decreciente en el intervalo [ -π, 0] ≡ VERDADERA
En la gráfica se puede observar que la función decrece estrictamente en todo el
intervalo mencionado.
5. Sean las matrices 𝑨 = [
𝒊 𝟒
𝒔𝒆𝒏 (
𝝅
𝟐
𝒊 𝟐
)
−𝟒 𝒊 𝟔
] y 𝑩 = [
−𝟏 𝟐
𝟑 𝟏
], entonces la matriz (A + B)
es:
Lo primero a realizar es definir la matriz A
𝑖4
= 1
𝑖6
= (𝑖2)3
= (−1)3
→ 𝑖6
= −1
𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
2
𝑖2
) = 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
2
(−1)) = 𝑠𝑒𝑛 (−
𝜋
2
) → 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
2
𝑖2
) = −1
Entonces 𝐴 = [
1 −1
−4 −1
] , por tanto (A + B) = [
0 1
−1 0
]
a. Antisimétrica
Para que una matriz sea antisimétrica debe cumplir:
𝐴 𝑇
= −𝐴
(𝐴 + 𝐵) 𝑇
= [
0 −1
1 0
] Y −(𝐴 + 𝐵) = [
0 −1
1 0
]
Dado que (𝐴 + 𝐵) 𝑇
= −(𝐴 + 𝐵) entonces (A + B) es antisimétrica.

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b. Involutiva
Una matriz es involutiva si se cumple que 𝐴2
= 𝐼
(𝐴 + 𝐵)2
= [
−1 0
0 −1
]
Dado que (𝐴 + 𝐵)2
≠ 𝐼 entonces (A + B) no es involutiva.
c. Identidad
La matriz 𝐼2𝑥2 = [
1 0
0 1
], entonces (A + B) ≠ I. Por tanto (A + B) no es la matriz identidad.
d. Triangular superior
Claramente se puede observar que (A + B) no es una matriz triangular superior.
e. Simétrica
Para que una matriz sea simétrica debe cumplir que 𝐴 𝑇
= 𝐴
(𝐴 + 𝐵) 𝑇
= [
0 −1
1 0
] y (A + B) = [
0 1
−1 0
] , por tanto (𝐴 + 𝐵) 𝑇
≠ (𝐴 + 𝐵)

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6. Para que el sistema de ecuaciones lineales {
𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟐
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟓
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 + (𝒂 𝟐
− 𝟑𝟒)𝒛 = 𝒂 + 𝟏
sea
INCONSISTENTE, un posible valor real de a es:
(
1 2 1
2 3 2
2 3 𝑎2
− 34
|
2
5
𝑎 + 1
) ~ (
1 2 1
0 −1 0
0 −1 𝑎2
− 36
|
2
1
𝑎 − 3
) −2𝐹1 + 𝐹2
−2𝐹1 + 𝐹3
~ (
1 2 1
0 1 0
0 −1 𝑎2
− 36
|
2
−1
𝑎 − 3
) −1
(
1 2 1
0 1 0
0 0 𝑎2
− 36
|
2
−1
𝑎 − 4
)
𝐹2 + 𝐹3
Para que el S.E.L. sea inconsistente debe cumplirse que:
𝑎2
− 36 = 0
𝑎2
= 36
𝒂 = ±𝟔
𝑎 − 4 ≠ 0
𝒂 ≠ 𝟒
7. En una promoción de productos de limpieza el gerente plantea las siguientes opciones: la
primera es 1 jabón con 2 detergentes y 3 desinfectantes por un valor de $ 10, la segunda
es 2 jabones más 6 detergentes más 1 desinfectante por $ 19 y la tercera es 1 jabón, 4
detergentes y 1 desinfectante por $ 12. Entonces, el valor de un desinfectante, en dólares,
es:
Transformando el problema en un S.E.L. tenemos:
1𝑗𝑎𝑏 + 2𝑑𝑒𝑡 + 3𝑑𝑒𝑠 = $10
2𝑗𝑎𝑏 + 6𝑑𝑒𝑡 + 1𝑑𝑒𝑠 = $19
1𝑗𝑎𝑏 + 4𝑑𝑒𝑡 + 1𝑑𝑒𝑠 = $12
(
1 2 3
2 6 1
1 4 1
|
10
19
12
) ~ (
1 2 3
0 2 −5
0 2 −2
|
10
−1
2
) −2𝐹1 + 𝐹2
−𝐹1 + 𝐹3
~ (
1 2 3
0 1 −
5
2
0 1 −1
|
10
−
1
2
1
)
1
2
𝐹2
1
2
𝐹3

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(
1 2 3
0 1 −
5
2
0 0
3
2
||
10
−
1
2
3
2 )
−𝐹2 + 𝐹3
3
2
𝑑𝑒𝑠 =
3
2
→ 𝒅𝒆𝒔 = 𝟏
Por tanto, el valor de un desinfectante es de $1.
8. Si |
𝒂 𝒃 𝒄
𝒅 𝒆 𝒇
𝒈 𝒉 𝒊
| = 𝟓, entonces el valor de |
𝒇 −𝟑𝒆 𝒅
𝟐𝒄 −𝟔𝒃 𝟐𝒂
𝒊 −𝟑𝒉 𝒈
| es:
|
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
| = 𝑎(𝑒𝑖 − ℎ𝑓) − 𝑏(𝑑𝑖 − 𝑔𝑓) + 𝑐(𝑑ℎ − 𝑒𝑔) = 5
𝑎𝑒𝑖 − 𝑎𝑓ℎ − 𝑏𝑑𝑖 + 𝑏𝑓𝑔 + 𝑐𝑑ℎ − 𝑐𝑒𝑔 = 5
|
𝑓 −3𝑒 𝑑
2𝑐 −6𝑏 2𝑎
𝑖 −3ℎ 𝑔
| = 𝑓(−6𝑏𝑔 + 6𝑎ℎ) + 3𝑒(2𝑐𝑔 − 2𝑎𝑖) + 𝑑(−6𝑐ℎ + 6𝑏𝑖)
−6𝑏𝑓𝑔 + 6𝑎𝑓ℎ + 6𝑐𝑒𝑔 − 6𝑎𝑒𝑖 − 6𝑐𝑑ℎ + 6𝑏𝑑𝑖 = −6(𝑎𝑒𝑖 − 𝑎𝑓ℎ − 𝑏𝑑𝑖 + 𝑏𝑓𝑔 + 𝑐𝑑ℎ − 𝑐𝑒𝑔)
Pero:
(𝑎𝑒𝑖 − 𝑎𝑓ℎ − 𝑏𝑑𝑖 + 𝑏𝑓𝑔 + 𝑐𝑑ℎ − 𝑐𝑒𝑔) = 5
Entonces:
|
𝑓 −3𝑒 𝑑
2𝑐 −6𝑏 2𝑎
𝑖 −3ℎ 𝑔
| = (−6)(5) = −30

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9. El valor de b para que el número complejo 𝒛 =
𝒃+𝟑𝒊
𝟏−𝒊
sea imaginario puro es igual a:
𝑏 + 3𝑖
1 − 𝑖
×
1 + 𝑖
1 + 𝑖
=
𝑏 + 𝑏𝑖 + 3𝑖 + 3𝑖2
1 + 𝑖 − 𝑖 − 𝑖2
=
𝑏 + 𝑏𝑖 + 3𝑖 + 3(−1)
1 − 𝑖2
=
𝑏 + 𝑏𝑖 + 3𝑖 − 3
2
=
(𝑏 − 3) + (𝑏 + 3)𝑖
2
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝒛 =
𝒃 − 𝟑
𝟐
+
𝒃 + 𝟑
𝟐
𝒊
Para que un número sea imaginario puro debe ser de la forma: 𝑧1 = 0 + 𝑦𝑖 , entonces
igualando los componentes reales tenemos :
𝑏 − 3
2
= 0 ∴ 𝒃 = 𝟑
10. De la figura se conoce que 𝒎(∢𝑹𝑸𝑷) = 𝟔𝟎°, 𝑨𝑩̅̅̅̅ ∥ 𝑷𝑹̅̅̅̅, 𝑩𝑹̅̅̅̅ = 𝑹𝑪̅̅̅̅ 𝒚 𝑨𝑩̅̅̅̅ = 𝟑𝒖,
entonces la longitud de 𝑸𝑹̅̅̅̅, en u, es:
A B
C
P R
Q

11. 11
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Colocando los datos y añadiendo algunas notaciones, tenemos:
A B
C
P R
Q
a
a
αβ
αβ
60
3u
x
z
Podemos observar que se forman los siguientes
triángulos:
C
A B
β α
2a
3
C
P R
β α
a
x
Por criterio AA (Angulo – Angulo): dos triángulos
son semejantes si tienen dos ángulos de igual
medida. Por tanto:
2𝑎
3
=
𝑎
𝑥
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 =
3
2
Entonces, del triángulo rectángulo QPR:
𝑠𝑒𝑛(60°) =
𝑥
𝑧
𝑧 =
𝑥
𝑠𝑒𝑛(60°)
=
3
2
√3
2
=
3
√3
𝒛 = √𝟑

12. 12
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11. Si en un polígono se han podido trazar 54 diagonales en total, entonces la suma de las
medidas de los ángulos interiores de este polígono, en grados sexagesimales, es:
La cantidad de diagonales de un polígono de n lados está dado por:
𝑛(𝑛 − 3)
2
Dado que el polígono tiene 54 diagonales, entonces:
𝑛(𝑛 − 3)
2
= 54
𝑛2
− 3𝑛 − 108 = 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 (𝑛 − 12)(𝑛 + 9) = 0
Por tanto, el polígono tiene n = 12 lados.
Ahora, para determinar la suma de los ángulos interiores, utilizamos la siguiente fórmula:
𝑆 = (𝑛 − 2)(180) = (12 − 2)(180) = (10)(180)
𝑺 = 𝟏𝟖𝟎𝟎
12. El punto notable del triángulo que equidista de los tres vértices del triángulo es el:
Circuncentro

13. 13
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13. Sea una circunferencia circunscrita a un octágono regular. La medida del ángulo central
cuyos lados son los radios que incluyen dos puntos consecutivos de este octágono, en
radianes, es:
Dado que es un polígono regular entonces sus ángulos son de igual medida, además es un
octógono, por tanto, n = 8, entonces:
𝛼 =
2𝜋
𝑛
=
2𝜋
8
𝜶 =
𝝅
𝟒
14. En la figura adjunta se tiene un triángulo inscrito en la semicircunferencia, entonces el
valor de y, en cm, es:
30°
2 cm
h
x y

14. 14
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𝑠𝑒𝑛(30°) =
ℎ
2
ℎ = (2)(𝑠𝑒𝑛(30°)) = (2) (
1
2
)
𝒉 = 𝟏
Utilizando el teorema de Pitágoras:
22
= 12
+ 𝑥2
𝑥2
= 4 − 1
𝒙 = √𝟑
Utilizando la información del semicírculo, buscamos determinar la longitud del radio:
30°
2 cm
r
r O
Utilizando la ley de los cosenos:
𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
− 2𝑏𝑐(cos 𝛼)
𝑟2
= 𝑟2
+ 22
− 2(𝑟)(2)(cos 30°)
𝑟2
= 𝑟2
+ 4 − 4𝑟 (
√3
2
)
2√3𝑟 = 4
𝒓 =
𝟐√𝟑
𝟑
Dado que el diámetro es dos veces la longitud del radio, entonces:
𝑥 + 𝑦 = 2𝑟
Reemplazando tenemos:
√3 + 𝑦 = 2 (
2√3
3
)
𝑦 =
4√3
3
− √3
𝒚 =
√𝟑
𝟑

15. 15
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15. En el centro del techo de un cuarto en forma de un ortoedro, cuyas dimensiones se
muestran en la figura, se coloca en forma perpendicular una lámpara a 1m del techo. La
distancia de la parte inferior de la lámpara a la esquina E del cuarto, en m, es igual a:
6
8
4
Un ortoedro es un paralelepípedo recto rectangular por lo que podríamos aplicar el teorema
de Pitágoras en el espacio.
3
4
3 3
𝑑2
= 𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
𝑑2
= 42
+ 32
+ 32
𝑑2
= 34
𝒅 = √𝟑𝟒

16. 16
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16. El área de la superficie lateral del sólido de revolución que se genera al rotar el rectángulo
de la figura alrededor del eje Y, es:
x
y
(1, -1)
(1, 3)
El área de la superficie lateral del cilindro generado, está dado por:
𝑨 𝑳 = 𝟐𝝅𝒓𝒈
𝐴 𝐿 = 2𝜋(1)(4)
𝑨 𝑳 = 𝟖𝝅
17. Una fábrica de chocolates produce bombones en forma de esfera sólida con un diámetro
que mide 1cm. Si en cada proceso productivo se elaboran 𝟑𝟔𝝅 𝒄𝒎 𝟑
de chocolate listo
para empacar, la cantidad de cajas de 12 bombones que se pueden hacer en cada proceso
es:
El volumen de cada bombón estará dado
por:
𝑽 =
𝟒
𝟑
𝝅𝒓 𝟑
𝑉 =
4
3
𝜋 (
1
2
)
3
𝑉 =
𝜋
6
En cada proceso productivo se elaboran:
𝑏 =
36𝜋
𝜋
6
𝑏 = 216
216 bombones.

17. 17
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Si en cada caja se empacan 12 bombones, entonces el número de cajas estará dado por:
𝑐 =
216
12
→ 𝒄 = 𝟏𝟖
Por tanto, en cada proceso se empacan 18 cajas.
18. Sean los vectores 𝑽 𝟏
⃗⃗⃗⃗ = 𝒄𝒐𝒔(𝒙)𝒊 − 𝟐𝒋 + 𝟗 𝒘
𝒌 y 𝑽 𝟐
⃗⃗⃗⃗ = 𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒊 + (𝒍𝒏(𝒑) − 𝟐)𝒋 +
𝟏
𝟑
𝒌, si 𝒙 ∈
[𝟎,
𝝅
𝟐
], p > 0 y 𝒘 ∈ ℝ, entonces el valor numérico de (
𝒙
𝝅
− 𝒑 + 𝟐𝒘), conociendo que los
vectores 𝑽 𝟏
⃗⃗⃗⃗ 𝒚 𝑽 𝟐
⃗⃗⃗⃗ son iguales, es:
𝑉1
⃗⃗⃗ = (𝑐𝑜𝑠 𝑥, −2, 9 𝑤) 𝑦 𝑉2
⃗⃗⃗ = (𝑠𝑒𝑛 𝑥, 𝑙𝑛 (𝑝) − 2,
1
3
)
Dado que 𝑽 𝟏
⃗⃗⃗⃗ = 𝑽 𝟐
⃗⃗⃗⃗ , entonces 2 vectores son iguales si tienen igual recorrido, es decir:
cos 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥
En el intervalo [0,
𝜋
2
] la igualdad de
funciones se cumple sólo cuando:
𝒙 =
𝝅
𝟒
−2 = ln(𝑝) − 2 ln(𝑝) = 0 → 𝑒ln(𝑝)
= 𝑒0
→ 𝒑 = 𝟏
9 𝑤
=
1
3
log9 9 𝑤
= log9
1
3
→ 𝑤 log9 9 = log9 1 − log9 91/2

18. 18
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𝑤 = 0 − (
1
2
) log9 9
𝒘 = −
𝟏
𝟐
Entonces:
(
𝑥
𝜋
− 𝑝 + 2𝑤) =
𝜋
4
𝜋
− 1 + (2) (−
1
2
) =
1
4
− 1 − 1 =
1
4
− 2
(
𝒙
𝝅
− 𝒑 + 𝟐𝒘) = −
𝟕
𝟒
19. Las coordenadas de un vector unitario perpendicular a la superficie del paralelogramo
sustentado por los vectores 𝑽 𝟏
⃗⃗⃗⃗ = (−𝟐, 𝟏, 𝟎) y 𝑽 𝟐
⃗⃗⃗⃗ = (𝟑, −𝟐, −𝟏), es:
Realizando el producto 𝑽 𝟏
⃗⃗⃗⃗ × 𝑽 𝟐
⃗⃗⃗⃗ obtendremos un vector perpendicular al paralelogramo
formado por los vectores mencionados y a su vez dicho vector será paralelo al vector
unitario buscado.
𝑽 𝟏
⃗⃗⃗⃗ × 𝑽 𝟐
⃗⃗⃗⃗ = |
𝒊 𝒋 𝒌
−2 1 0
3 −2 −1
|
= [(1)(−1) − (0)(−2)]𝑖 − [(−2)(−1) − (0)(3)]𝑗 + [(−2)(−2) − (1)3)]𝑘
= −𝑖 − 2𝑗 + 𝑘
𝑽 𝟏
⃗⃗⃗⃗ × 𝑽 𝟐
⃗⃗⃗⃗ = (−𝟏, −𝟐, 𝟏)
Para que dos vectores sean paralelos, debe cumplirse que:
𝑉⃗ = 𝜇(𝑽 𝟏
⃗⃗⃗⃗ × 𝑽 𝟐
⃗⃗⃗⃗ )
Y dado que el vector debe ser unitario entonces la norma debe ser igual a 1, esto es:

19. 19
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‖𝑉⃗ ‖ = 𝜇‖(𝑽 𝟏
⃗⃗⃗⃗ × 𝑽 𝟐
⃗⃗⃗⃗ )‖ = 1
𝜇√(−1)2 + (−2)2 + (1)2 = 1
𝜇√6 = 1
𝝁 =
√𝟔
𝟔
Por tanto, el vector unitario perpendicular buscado es:
𝑽⃗⃗ =
√𝟔
𝟔
(−𝟏, −𝟐, 𝟏)
20. Dada la función 𝒇: ℝ → ℝ definida por 𝒇(𝒙) = −𝟐𝒔𝒆𝒏(𝝅𝒙). La ecuación de la recta L
que se muestra en la figura es:
f
L
Para determinar la ecuación de la recta L necesitamos conocer dos puntos
𝑃1(𝑥1, 𝑦1) 𝑦 𝑃2(𝑥2, 𝑦2) que pertenezcan a dicha recta, por la ecuación de la función f
podemos observar que es acotada en 𝒚 𝟏 = 𝟐.
Por otra parte, conociendo el periodo de la función f podemos determinar en que puntos
intersecta al eje x:
𝑇 =
2𝜋
𝐵
=
2𝜋
𝜋
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑻 = 𝟐

20. 20
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f
L
21
-1/2
2
Del gráfico adjunto podemos obtener los siguientes puntos que pertenecen tanto a L como
a f.
𝑃1 (−
1
2
, 2) 𝑦 𝑃2(1,0)
Para obtener la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, utilizamos:
𝒙 − 𝒙 𝟏
𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟏
=
𝒚 − 𝒚 𝟏
𝒚 𝟐 − 𝒚 𝟏
𝑥 − (−
1
2)
1 − (−
1
2)
=
𝑦 − 2
0 − 2
→
𝑥 +
1
2
3
2
=
𝑦 − 2
−2
−2𝑥 − 1 =
3
2
𝑦 − 3 → −2𝑥 −
3
2
𝑦 + 2 = 0
𝟒𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟒 = 𝟎

21. 21
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21. Dada la función 𝒇: ℝ → ℝ definida por 𝒇(𝒙) = −|𝒙 − 𝟐|. La ecuación de la parábola P
que contiene la raíz de f y su vértice es V(1,2), es:
P
f
Para obtener la ecuación de la parábola necesitamos las coordenadas del vértice y un punto
perteneciente a dicha parábola. Dado que ya conocemos el vértice sólo falta conocer un
punto que pertenezca a la parábola, el cual podemos obtener a partir de f.
𝒇(𝒙) = −|𝒙 − 𝟐|
Si y = 0 entonces −|𝑥 − 2| = 0 ∴ 𝒙 = 𝟐 → 𝑷 𝑳(𝟐, 𝟎)
Ahora, reemplazando el vértice y el punto obtenido en la ecuación canónica de la parábola,
tenemos:
(𝒙 − 𝒉) 𝟐
= −𝟒𝒑(𝒚 − 𝒌)
(𝑥 − ℎ)2
= −4𝑝(𝑦 − 𝑘) → (2 − 1)2
= −4𝑝(0 − 2)
1 = 8𝑝 → 𝒑 =
𝟏
𝟖
(𝑥 − 1)2
= −4 (
1
8
) (𝑦 − 2)
𝑥2
− 2𝑥 + 1 = −
𝑦
2
+ 1 → 𝑥2
− 2𝑥 +
𝑦
2
= 0
𝟐𝒙 𝟐
− 𝟒𝒙 + 𝒚 = 𝟎

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22. Sea la elipse 𝟑𝒙 𝟐
+ 𝟐𝒚 𝟐
+ 𝟔𝒙 + 𝟖𝒚 + 𝟓 = 𝟎. El perímetro del triángulo que se forma al
unir los focos y un punto de la elipse que no sea colineal con los focos, en u, es igual a:
Lo primero que necesitamos determinar son las coordenadas de los focos, para ello
convertimos la ecuación a su forma canónica.
3𝑥2
+ 2𝑦2
+ 6𝑥 + 8𝑦 + 5 = 0
3𝑥2
+ 6𝑥 + 2𝑦2
+ 8𝑦 + 5 = 0
3(𝑥2
+ 6𝑥) + 2(𝑦2
+ 4𝑦) + 5 = 0
3(𝑥2
+ 2𝑥 + 1) + 2(𝑦2
+ 4𝑦 + 4) + 5 − 3 − 8 = 0
3(𝑥 + 1)2
+ 2(𝑦 + 2)2
= 6
3(𝑥 + 1)2
6
+
2(𝑦 + 2)2
6
=
6
6
(𝑥 + 1)2
2
+
(𝑦 + 2)2
3
= 1
Entonces:
𝑎2
= 3 → 𝒂 = √𝟑
𝑏2
= 2 → 𝒃 = √𝟐
ℎ = −1 ∧ 𝑘 = −2
𝑐2
= 𝑎2
− 𝑏2
= 3 − 2 → 𝒄 = 𝟏
Por tanto, las coordenadas de los focos están dadas por:
𝐹1(ℎ, 𝑘 + 𝑐) → 𝑭 𝟏(−𝟏, −𝟏)
𝐹2(ℎ, 𝑘 − 𝑐) → 𝑭 𝟐(−𝟏, −𝟑)

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Un punto de la elipse que no sea colineal con los focos se da cuando y = -2. Reemplazando
en la ecuación original:
𝟑𝒙 𝟐
+ 𝟐𝒚 𝟐
+ 𝟔𝒙 + 𝟖𝒚 + 𝟓 = 𝟎
3𝑥2
+ 2(−2)2
+ 6𝑥 + 8(−2) + 5 = 0
3𝑥2
+ 6𝑥 + 8 − 16 + 5 = 0
3𝑥2
+ 6𝑥 − 3 = 0
𝑥2
+ 2𝑥 − 1 = 0
𝒙 =
−𝒃 ± √𝒃 𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
𝑥 =
−2 ± √4 − 4(1)(−1)
2
=
−2 ± √8
2
=
−2 ± 2√2
2
= −1 ± √2
Podemos elegir cualquiera de las dos raíces obtenidas, resumiendo los puntos tenemos:
𝑭 𝟏(−𝟏, −𝟏) ∧ 𝑭 𝟐(−𝟏, −𝟑) ∧ 𝑷(−𝟏 + √𝟐, −𝟐)
Para determinar el perímetro del triángulo, necesitamos calcular las distancias que hay
entre los puntos obtenidos.
𝑑(𝐹1, 𝐹2) = √(−1 + 1)2 + (−1 + 3)2 = √4 → 𝒅(𝑭 𝟏, 𝑭 𝟐) = 𝟐
𝑑(𝐹1, 𝑃) = √(−1 + 1 − √2)
2
+ (−1 + 2)2 = √(−√2)
2
+ 1 → 𝒅(𝑭 𝟏, 𝑷) = √𝟑
𝑑(𝐹2, 𝑃) = √(−1 + 1 − √2)
2
+ (−3 + 2)2 = √(−√2)
2
+ 1 → 𝒅(𝑭 𝟏, 𝑭 𝟐) = √𝟑
Por tanto:
𝑃 = 𝑑(𝐹1, 𝐹2) + 𝑑(𝐹1, 𝑃) + 𝑑(𝐹2, 𝑃) = 2 + √3 + √3
𝑷 = 𝟐 + 𝟐√𝟑

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23. Dados 𝑹𝒆 𝒙 = 𝑹𝒆 𝒚 = [ 𝟎, +∞) y el predicado de dos variables 𝒑(𝒙, 𝒚): {
𝒙 𝟐
− 𝒚 𝟐
= 𝟏
𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
= 𝟒
. Si
𝑨𝒑(𝒙, 𝒚) = {(𝒂, 𝒃)}, entonces el PRODUCTO (a*b) es:
𝑦2
= 𝑥2
− 1 ∧ 𝑦2
= 4 − 𝑥2
𝑥2
− 1 = 4 − 𝑥2
2𝑥2
= 5
𝒙 =
√𝟓
√𝟐
Reemplazando el valor de x en
𝑦2
= 𝑥2
− 1 =
5
2
− 1 =
3
2
𝑦 =
√3
√2
Entonces, el producto (a*b):
(
√𝟓
√𝟐
) (
√𝟑
√𝟐
) =
√𝟏𝟓
𝟐
24. Dado el siguiente conjunto de datos ordenados 8, 12, 13, 14, k, 17, 19, 19, 25, 27. Si se
conoce que la mediana es 16, entonces el número k es:
La mediana se obtiene promediando los valores centrales del conjunto de datos cuando la
cantidad de datos es par, entonces:
𝑘 + 17
2
= 16
𝑘 + 17 = 32
𝒌 = 𝟏𝟓

25. 25
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25. La probabilidad de que un número natural n menor que 10 tomado al azar, cumpla con la
siguiente inecuación (𝒏 𝟑
− 𝟑𝒏 𝟐
− 𝟏𝟎𝒏 > 𝟎), es:
Definiendo cuales son los números naturales menores que 10 tenemos:
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Resolviendo la inecuación tenemos:
𝑛3
− 3𝑛2
− 10𝑛 > 0
𝑛(𝑛2
− 3𝑛 − 10) > 0
𝑛(𝑛 − 5)(𝑛 + 2) > 0
Dado que no puede darse que n < 0, entonces, sólo son factibles los siguientes escenarios
en lo que respecta a la solución de la inecuación planteada:
1
𝑛 > 0 ∧ (𝑛 − 5) > 0 ∧ (𝑛 + 2) > 0
𝑛 > 0 ∧ 𝑛 > 5 ∧ 𝑛 > −2
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ∩ { 6, 7, 8, 9} ∩ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} = {6, 7, 8, 9}
2
𝑛 > 0 ∧ (𝑛 − 5) < 0 ∧ (𝑛 + 2) < 0
𝑛 > 0 ∧ 𝑛 < 5 ∧ 𝑛 < −2
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ∩ { 1, 2, 3, 4} ∩ {∅} = {∅}

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Por tanto, la probabilidad estará dada por:
𝑃 =
𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑎𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑎 10
𝑷 =
𝟒
𝟗
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