matematica

1. GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU – Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a)
www.mateinfo.ro
Geometrie – pentru pregătirea Evaluării Naționale la Matematică
(Cls. a V a , a VI a, a VII a)
Arie
Capacitate
DE REȚINUT !
Volum
ei
nf
o
Lungime
.ro
UNITĂȚI DE MĂSURĂ
Masă
at
1hm 2 = 1ha
1dam 2 = 1ar
.m
1dm3 = 1l
1q = 100kg
w
w
1t = 1000kg
1v = 10000kg
Timp - secundă, minut, ora, ziua, saptamana, luna, anul, deceniul, secol (veac), mileniu
w
1 deceniu = 10 ani ; 1 secol = 100 ani ; 1 mileniu = 1000 ani
Unghi - gradul, minutul, secunda
= 60 ',1' 60",10 3600"
10 = =
1

2. GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU – Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a)
www.mateinfo.ro
UNGHIUL - Tipuri de unghiuri
Unghiuri adiacente
m(AOB) = 00 .
m(AOC ) m(AOB) + m(BOC )
=
Unghi ascuțit
Unghiuri complementare
00 < m(AOB) < 900
m(AOB) + m(BOC ) =
900
ei
nf
o
.ro
Unghi nul
Unghiuri suplementare
m(AOB) + m(BOC ) =
1800
Unghiuri opuse la vârf
w
w
Unghi obtuz
.m
m(AOB) = 900
at
Unghi drept
AOC ≡ BOD
BOC ≡ AOD
Unghi alungit
Unghiuri în jurul unui punct
m(AOB) = 1800
Suma măsurilor unghiurilor formate în jurul
unui punct este de 3600
w
900 < m(AOB ) < 1800
2

3. GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU – Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a)
www.mateinfo.ro
TRIUNGHIUL
1. Clasificare:
Triunghi scalen
(oarecare) = triunghiul
cu laturile de lungimi
diferite
Triunghi isoscel
= triunghiul care are
două laturi congruente
Proprietati:
1) B ≡ C
2) [AD] bisectoarea
unghiului de la varf ⇒
[AD] mediană,
înălțimea și
mediatoarea bazei
.ro
După laturi
ei
nf
o
[ AB] ≡ [ AC ]
Triunghi echilateral
= triunghiul care are
toate laturile congruente
Proprietăți:
1)
m(A) m(B) m(C ) 600
= = =
2)Bisectoarea oricărui
unghi este mediană,
înălțime și mediatoare
.m
at
[ AB] ≡ [ AC ] ≡ [ BC ]
w
w
Triunghi ascuțitunghic
= triunghiul care are toate
unghiurile ascuțite (<90)
Triunghi dreptunghic
= triunghiul care are un
unghi drept (900)
w
Dupa unghiuri
Triunghi obtuzunghic
= triunghiul care un unghi
obtuz (>900)
3

4. GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU – Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a)
www.mateinfo.ro
2. Linii importante in triunghi
a) Înăltimea = segmentul determinat de un vârf al triunghiului și proiecția
acestuia pe latura opusă
Intersecția înălțimilor este ortocentrul triunghiului (H)
ei
nf
o
.ro
-
Intersecția medianelor este centrul de greutate al triunghiului
w
w
.m
-
at
b) Mediana = segmentul determinat de un vârf al triunghiului și mijlocul laturii
opuse.
w
G ∈ AD

1
2
=
AD =
si AG
AD
 ⇒ GD
[ AD] − mediană 
3
3
c) Bisectoarea (unui unghi propriu) = semidreapta cu originea în vârful
unghiului, situata în interiorul lui, astfel încât cele două unghiuri formate de
ea cu laturile unghiului inițial să fie congruente.
-
intersectia bisectoarelor este centrul cercului înscris în triunghi
4

5. S
p
S - aria triunghiului
p - semiperimetrul
r - raza cercului înscris în triunghi
ei
nf
o
r=
www.mateinfo.ro
.ro
GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU – Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a)
d) Mediatoarea (unui segment) = dreapta perpendiculară dusă prin mijlocul
segmentului dat
Intersecția mediatoarelor laturilor unui triunghi este centrul cercului
circumscris triunghiului
.m
at
-
OA OB OC R
= = =
a ⋅b ⋅c
4S
R − raza cercului circumscris triunghiului
a, b, c − laturile triunghiului
w
w
R=
S − aria triunghiului
w
3. Criterii de congruență pentru triunghiul oarecare
L.U.L, U.L.U, L.L.L. , L.U.U.*
4. Cazurile de congruență pentru triunghiurile dreptunghice
C.C., C.U., I.U., I.C.
5

6. GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU – Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a)
www.mateinfo.ro
ARII
b ⋅ h l1 ⋅ l2 ⋅ sin u
=
2
2
Formula lui Heron
A∆ oarecare =
a+b+c
2
.m
at
unde p =
h∆ dreptunghic
p ( p − a )( p − b)( p − c),
c1 ⋅ c2
2
c ⋅c
= 1 2
ip
A∆ dreptunghic =
ei
nf
o
A∆ oarecare
=
2. Arie triunghiul dreptunghic
.ro
1. Arie triunghiul oarecare
4. Arie paralelogram
w
w
w
3. Arie triunghiul echilateral
l2 3
A∆ echilateral =
4
l 3
h∆ echilateral =
2
Aparale log ram = b ⋅ h
Aparale log ram = l1 ⋅ l2 ⋅ sin u
=
Pparale log ram 2( AB + BC )
6

7. GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU – Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a)
6. Arie patrat
Apatrat = l 2
Pdreptunghi 2( L + l )
=
Ppatrat = 4l
ei
nf
o
Adreptunghi= L ⋅ l
.ro
5. Arie dreptunghi
www.mateinfo.ro
at
d patrat = l 2
8. Arie trapez
w
w
.m
7. Arie romb
d1 ⋅ d 2
= b⋅h
2
Aromb= l 2 ⋅ sin A
w
Aromb =
Promb = 4l
( B + b) ⋅ h
= lm ⋅ h
2
B+b
(linia mijlocie)
lm =
2
Ptrapez = AB + BC + CD + AD
Atrapez
=
7

8. GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU – Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a)
10. Arie patrulater convex
.ro
9. Arie patrulater ortodiagonal
d1 ⋅ d 2 ⋅ sin α
d1 ⋅ d 2

= = m(d1, d 2 )
Apatrulater convex
,α
2
2
=
= AB + BC + CD + AD Apatrulater convex AABD + ABDC
ei
nf
o
Apatrulater ortodiagonal =
Ppatrulater ortodiagonal
Ppatrulater ortodiagonal = AB + BC + CD + AD
12. Arie disc
w
w
.m
at
11. Arie poligon regulat
P ⋅a
Apoligon regulat = n n
2
no
ln = 2 R sin
2
no
an = R cos
2
m(  ) = n o
AB
Adisc = π R 2
Lcerc = 2π R
larc =
w
m(ABC ) =
www.mateinfo.ro
π Rn
180
Asec tor =
180(n − 2)
n
8
π R2n
360

9. GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU – Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a)
www.mateinfo.ro
RELAȚII METRICE ÎN TRIUNGHI
1. Teorema lui Thales
 ABC 
FA GA
=
⇒
FG || BC  FB GC
Reciproca Teoremei lui Thales
ei
nf
o
.ro
 ABC 
EA DA
=
⇒
DE || BC  EB DC
GA
⇒ FG || BC
GC
DA
⇒ DE || BC
DC
at
FA
Daca =
FB
EA
Daca =
EB
2. Teorema fundamental a asemanarii
.m
 ABC 
 ⇒ AFG  ABC
FG || BC 
w
w
w
 ABC 
 ⇒ AED  ABC
DE || BC 
. 3. Triunghiuri asemenea
4. Cazuri de asemanare
1) U.U.
AB
AC
AB
AC
BC
=
2)
si
= =
,
A' B ' A'C '
A ' B ' A 'C ' B 'C '
A ≡ A '
A ≡ A ', B ≡ B ', C ≡ C '
AB
AC
BC
3) = =
A ' B ' A 'C ' B 'C '
 ABC  A ' B ' C ' ⇔
9

10. GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU – Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a)
www.mateinfo.ro
. 5. Teorema catetei
 ABC

2
 T .Catetei  AB BD ⋅ BC
 =
m= 90  ⇒  2
(A)
 AC CD ⋅ CB
 =
AD ⊥ BC 

ei
nf
o
.ro
o
6. Teorema înălțimii
 ABC
w
w
.m
7. Teorema lui Pitagora
at

 T . Inaltimii
m(A) =o  ⇒ AD 2 = ⋅ DC
BD
90
AD ⊥ BC 

 ABC
 T . Pitagora
⇒ BC 2 = 2 + AC 2
AB
o
m(A) = 90 
w
Reciproca Teorema lui Pitagora
Dacă în
 ABC avem BC > AC > AB si
BC 2 = AB 2 + AC 2 ⇒ ABC dreptunghic, m(A) = 90o
8. Teorema bisectoarei
 ABC

AB BD
=
⇒
( AD) bi sec toare 
AC DC
10

11. www.mateinfo.ro
GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU – Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a)
ELEMENTE DE TRIGONOMETRIE
cateta opusă
ipotenuză
30o
cateta alăturată
cos x =
ipotenuză
cateta opusă
cateta alăturată
ctgx =
cosx
tgx
cateta alăturată
cateta opusă
TEOREMA UNGHIULUI DE 30O
1
2
ctgx
3
2
3
3
3
2
2
2
2
60o
3
2
1
2
3
1
1
ei
nf
o
tgx =
sinx
45o
.ro
sin x =
3
3
Într-un triunghi dreptunghic cateta opusă unghiului de 300 este jumatate din ipotenuză
TEOREMA – Mediana in triunghiul dreptunghic
at
Într-un triunghi dreptunghic mediana dusă din vârful unghiului drept este jumatate din
ipotenuză
.m
TEOREMA COSINUSURILOR (se aplica în triunghiul oarecare)
w
w
ˆ
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc ⋅ cos A
ˆ
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac ⋅ cos B
ˆ
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab ⋅ cos C
w
TEOREMA SINUSURILOR (se aplică în triunghiul oarecare)
a
b
c
= = = 2R
ˆ
ˆ
ˆ
sin A sin B sin C
Material realizat de Andrei Octavian Dobre– www.mateinfo.ro
(Profesor de matematică – Ploiești)
Contact: office@mateinfo.ro ; dobre.andrei@yahoo.com
11